Probabilidad Probabilidad Espacio muestral y Operaciones con sucesos 1) Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos, descríbelos y di el número total. a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada una d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras 2) Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son ( 1 ,C ) , ¿ a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta. Sean los sucesos: A =Sac ar uno o dos en el dado B=Sacar+ en la moneda D= ¿ b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos c) Halla A ∪ B , A∩B, A∩D' 3) A , B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función de ellos los sucesos: a) Se realiza alguno de los tres b) No se realiza ninguno de los tres c) Se realizan los tres d) Se realizan dos de los tres e) Se realizan, al menos, dos de los tres 4) Considera la experiencia “lanzar un dado”. A partir de los conjuntos A ={ 1,2,3,4 } , B {1,3,5 }, C ={ 2,4 } a) Obtén los conjuntos A ∪ B , A∩B, A' y B' . b) Obtén los conjuntos ( A ∪ B ) ' , ( A∩B ) ' , A' ∪ B' , A'∩B' , y comprueba que se cumplen las leyes de Morgan (propiedades de las operaciones con sucesos). c) Calcula B ∪ C y B∩C, y razona los resultados. Propiedades de la probabilidad 5) Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien AS o bien OROS. ¿Qué probabilidad tenemos de ganar? 6) Conocemos las siguientes probabilidades: Calcula: 1
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Probabilidad
Probabilidad
Espacio muestral y Operaciones con sucesos
1) Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experienciasaleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos,descríbelos y di el número total.
a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el númerob) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el paloc) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de
cada unad) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultadoe) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras
2) Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son (1 ,C ) , ¿a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta.
Sean los sucesos:A=Sac ar uno o dos en el dadoB=Sacar+ en la monedaD=¿
b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementosc) Halla A∪B, A∩B, A∩D '
3) A, B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función deellos los sucesos:
a) Se realiza alguno de los tresb) No se realiza ninguno de los tresc) Se realizan los tresd) Se realizan dos de los trese) Se realizan, al menos, dos de los tres
4) Considera la experiencia “lanzar un dado”. A partir de los conjuntosA={1,2,3,4 }, B {1,3,5 }, C={2,4 }
a) Obtén los conjuntos A∪B, A∩B, A ' y B' .b) Obtén los conjuntos ( A∪B ) ' , ( A∩B ) ' , A '∪B ' , A '∩B ', y comprueba
que se cumplen las leyes de Morgan (propiedades de las operaciones consucesos).
c) Calcula B∪C y B∩C, y razona los resultados.
Propiedades de la probabilidad
5) Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien AS o bien OROS.¿Qué probabilidad tenemos de ganar?
6) Conocemos las siguientes probabilidades:
Calcula:
1
Probabilidad
7) De dos sucesos conocemos:
Calcula P [B ] y P [A ]
Cálculo de probabilidades
Ley de Laplace
8) En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula laprobabilidad de que la primera bola extraída:
a) Sea un número de una sola cifrab) Sea un número múltiplo de 7c) Sea un número mayor que 25
9) Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extraccionescon reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Dos verdesb) Ninguna verdec) Una verdeRepite el problema con extracciones sin reemplazamiento.
10) Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de quesea:
a) REY o ASb) FIGURA y OROSc) NO SEA ESPADAS
11) Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, lade unos de ellos).
a) Completa la tabla y di lasprobabilidades de los seissucesos elementales 1, 2, 3,4, 5 y 6
b) Halla la probabilidad delos sucesos A :nº par ,B: nº menor que 4, A∩B
12) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dosdados correctos?
13) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferenciade sus puntuaciones sea 2?
14) Lanzamos un dado “chapucero” mil veces. Obtenemos f (1 )=117, f (2 )=302,f (3 )=38, f ( 4 )=234, f (5 )=196 y f (6 )=113. Estima las probabilidades de lasdistintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENORQUE 6, {1,2 }?
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Probabilidad
Probabilidad condicionada
15) Extraemos dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de queambas sean copas
16) Tenemos dos barajas españolas y extraemos un naipe de cada una. ¿Cuál esla probabilidad de obtener dos copas?
17) Extraemos tres cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de quelas tres sean figuras (S, C, R).
18) Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad deque alguna de ellas sea AS? ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las dossea AS?
Tablas de contingencia
19) En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así:
a) P [A ], P [O ], P [G ] y P [noG ]b) Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y
no G, A/G, G/A, G/O
20) En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Losfumadores son 40 hombres y 35 mujeres.
a) Haz con los datos una tabla de contingenciab) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea
hombre y no fume: P [H y no F ]c) Calcula también P [M yF ], P [M /F ], P [F /M ]
21) En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25%tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge unapersona al azar:
a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tengaojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabelloscastaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
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Probabilidad
22) Una clase de compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de lasalumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula laprobabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser:
a) Alumna o que aprueba las matemáticasb) Alumno que suspende las matemáticasc) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las
matemáticas?d) ¿Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA
MATEMÁTICAS?
Experiencias compuestas
23) Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad deobtener:
a) 2 asesb) Ningún asc) Algún as
24) Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. Calcula laprobabilidad de obtener:
a) Una carab) Más de una cara
25) En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Unalumno ha estudiado solo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que:
a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidosb) Solo haya estudiado uno de los dos temas elegidosc) No haya estudiado ninguno de los dos temas elegidos
26) Lanzamos cuatro monedas. Calcula la probabilidad de obtener:a) Ninguna carab) Alguna cara
27) Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga algún 5?¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los dos sea 5?
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Probabilidad
Probabilidad total
28) En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se extrae unabola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula laprobabilidad de que la bola extraída sea:
a) La que lleva el número 5b) La que lleva el número 8c) Una que lleve un número par
Nota: Ayúdate con un diagrama de árbol
29) Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina Aproduce el 50% del total de tornillos; la máquina B, el 30%, y la C, el 20%. Dela máquina A salen un 5% de los tornillos defectuosos; de la B, un 4%, y de laC, un 2%:Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso.
30) Tenemos dos bolsas con bolas y un dado:
Lanzamos el dado. Si se obtiene 1 ó 2, extraemos una bola de I. Si sale 3, 4, 5ó 6, extraemos una bola de II. Halla las siguientes probabilidades:
31) Tomamos dos cajas. . Sacamos una bola de alguna de ellasa) Calcula la probabilidad de que la bola sea rojab) Sacamos la bola y vemos que es roja. Calcula la probabilidad de haberla
sacado de I
32) En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con número positivos ylas otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sinreemplazamiento.
a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos seapositivo
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Probabilidad
b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos seanegativo
33) Lanzamos las dos monedas. Si salen 2 caras, extraemos una bola de la cajaA, y si no, la extraemos de B.
Calcula:
Distribución de probabilidad de variable discreta
34) Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:
35) Sacamos dos cartas de una baraja y apuntamos el número de ases (0, 1 ó 2).a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?b) Calcula la media y la desviación típica.
36) Describe, mediante una tabla x i, pi, la distribución del “número de caras” allanzar 3 monedas. Halla los parámetros μ y σ .
37) En una lotería de 1000 números se reparten los premios siguientes: A un número elegido al azar, 5000 € Al anterior y al posterior, 1000 € A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10 € Al resto de números, nada
a) Haz la tabla con los valores 0, 10, 1000 y 5000 con sus correspondientesprobabilidades
b) Calcula los parámetros μ y σ
38) Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidadcorrespondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.
39) En una bolsa tenemos un cierto número de bolas numeradas: 9 bolas con ununo, 5 con un dos y 6 con un tres. Sacamos una bola al azar y vemos quénúmero tiene.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?b) Calcula la media y la desviación típica
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Probabilidad
Distribución binomial
40) En una distribución binomial B (10 ;0,4 ), halla P [x=0 ],P [x=3 ], P [x=5 ],P [x=10 ] y el valor de cada uno de los parámetros μ y σ .
41) En una distribución binomial B (7 ; 0,4 ) calcula:
42) En una distribución binomial B (9 ;0,2 ) calcula:
43) Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6caras. Halla los valores de μ y σ.
44) Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomialy di los valores de n, p, μ y σ .
a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tresrespuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál esel número de preguntas acertadas?
b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce lasrespuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nospreguntamos cuántas de ellas acertará
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de carasd) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque
sea el reintegro. En una familia juegan a 46 números.e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas.
Número de soldaduras defectuosas que habrá
45) Un examen tipo test consta de diez preguntas, cada una con cuatrorespuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 4 preguntas?b) ¿Y la de que conteste bien a más de 2 preguntas?c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas
46) La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, seadefectuoso, es 0,2. Si se revisan 5 aparatos, calcula:
a) P [ningunodefectuoso ]b) P [algunodefectuoso ]
47) Una urna contiene3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota sucolor y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula laprobabilidad de obtener:
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Probabilidad
48) En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% sondefectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula laprobabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos:
¿Cuántos tornillos habrá, por término medio, en cada caja?
Distribución de probabilidad de variable continua
Funciones de densidad
49) Calcula k para que f ( x )={k , si x∈ [ 3,8 ]0, si x [ 3,8 ]
sea una función de densidad. Halla
las probabilidades:
Nota: recuerda que para que sea función de probabilidad o densidad el áreabajo la curva ha de ser 1
50) Calcula m para que f ( x )={mx , si x∈ [ 3,7 ]0, si x [3,7 ]
sea una función de densidad. Halla
las probabilidades:
Distribución normal
51) En una distribución N (110,10), calcula:
52) En una distribución N (0,1 ), calcula las siguientes probabilidades:
Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónN (0,1 )
53) En una distribución N (0,1 ), calcula:
54) En una distribución N (0,1 ), calcula las siguientes probabilidades:
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Probabilidad
55) Halla las siguientes probabilidades:
Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónN (0,1 )
56) Di el valor de k en cada caso:
Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónN (0,1 )
57) Halla:
58) Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:
59) En una distribución N (173,6 ), halla las siguientes probabilidades:
Nota: Tipifica la variable y resuelve utilizando la tabla para la distribuciónN (0,1 )
60) En una distribución N (43,10 ), calcula las siguientes probabilidades:
61) En una distribución N (151,15 ), calcula:
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Probabilidad
62) La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm, y ladesviación típica de 10cm.Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que unalumno elegido al azar mida más de 180 cm.¿Cuánto alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?
63) Los pesos de 200 soldados presentan una distribución normal de media65kg y desviación típica 8Kg. Calcula la probabilidad de que un soldadoelegido al azar pese:
64) Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 5puntos o más. Por experiencia de otros años, sabemos que la distribución depuntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos y desviacióntípica 10.
65) En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio sedistribuyen normalmente con una media de 260C y una desviación típica de40C. ¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máximacomprendida entre 220C y 280C?
