Date post: | 08-Dec-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | daniel-castro |
View: | 227 times |
Download: | 1 times |
29
INSTRUMENTOS TEÓRICO-PRÁCTICOS PARA EVALUAR EL
ACOPLAMIENTO - INTERACCIÓN
1.1 Introducción
El control descentralizado de sistemas multivariables normalmente se complica
debido a la interacción o el acoplamiento que existe entre las variables de los
procesos a controlar, así como debido a la direccionalidad de estos procesos, esto
es, a su tendencia a responder con una mayor o menor ganancia según sea la
relación entre las magnitudes de las entradas aplicadas.
En este capítulo se presentan los más importantes instrumentos matemáticos
utilizados para evaluar de una manera teórica-práctica el acoplamiento en los
sistemas de control. Entre estos elementos se encuentran: las Bandas de
Gershgorin, el Relative Gain Array (RGA), y el Condition Number.
Para la clara exposición de estos conceptos y las propiedades que se derivan de
ellos será necesario en algunos casos dar ciertas definiciones matemáticas
relacionadas a los mismos. En el caso específico del Condition Number se
dedicará previamente una sección a la Descomposición en Valores Singulares
(DVS) ya que es a partir de ésta que se llega a dicho concepto.
Se mostrarán también algunas de las aplicaciones de estas herramientas al estudio
de los sistemas multivariables y a la evaluación de los problemas que se presentan
en el control de los mismos.
30
1.2 Bandas de Gershgorin
Antes de definir las bandas de Gershgorin es necesario tener en claro el concepto
de dominancia diagonal[1]
y la definición de los Nyquist arrays[1]
los cuales se
presentan a continuación.
1.2.1 Dominancia diagonal
Una matriz racional sQ de dimensiones m x m es de fila diagonalmente
dominante si:
misqsqm
ijj
ijii ,,1)()(1
(1.1)
De igual manera, una matriz racional sQ de dimensiones m x m es de columna
diagonalmente dominante si:
misqsqm
ijj
jiii ,,1)()(1
(1.2)
Si denominamos sri a:
m
ijj
iji sqsr1
)()( o misqsrm
ijj
jii ,,1)()(1
(1.3)
Más diagonal es la matriz compleja sQ , cuanto menor sea sri .
1.2.2 Nyquist arrays
31
El Nyquist array de sG (no necesariamente cuadrada) es un conjunto de
gráficos, donde el (i, j)-ésimo gráfico es el lugar de Nyquist de sg ij ((i, j)-ésimo
elemento de sG ). Se hace uso también del inverse Nyquist array, el cual es el
conjunto de gráficos de los lugares de Nyquist, de los elementos de sG 1 ,
(claramente, el inverse Nyquist array está definido solamente cuando sG es
cuadrada).
1.2.3 Círculos y bandas de Gershgorin
La definición de los círculos y las bandas de Gershgoring se encuentra en el
enunciado del teorema de Gershgorin.
Teorema 1.1 (Teorema de Gershgorin): Asumimos que Z es una matriz
compleja
de dimensiones m x m. Los autovalores de Z están dentro de los m círculos, cada
uno con centro en zii y radio:
mizm
ijj
ij ,,1,1
(1.4)
que constituye la suma de los módulos de los elementos de la fila i.
Estos también están dentro de la unión de los círculos, cada uno con centro en zii y
radio:
32
mizm
ijj
ji ,,1,1
(1.5)
que constituye la suma de los módulos de los elementos de la columna i.
Luego tenemos que, considerando el Nyquist array de alguna G(s) cuadrada, si
para cada frecuencia , graficamos un círculo con centro en gii(j) (elemento de la
diagonal de G(s)), y de radio:
g jij
jj i
m
( )
1
o g jji
jj i
m
( )
1
(1.6)
A cada uno de estos círculos se les llama círculos de Gershgorin, y a la unión de
éstos, bandas de Gershgorin (ilustrados en la Figura 1.1).
Si las bandas de Gershgorin de sG excluyen el origen, diremos que sG es
diagonalmente dominante (fila dominante o columna dominante, ver Figura 1.2).
Figura 1.1: Un Nyquist array con los círculos de Gershgorin[1]
33
Figura 1.2: Bandas de Gershgorin para un sistema que: (a) es diagonalmente
dominante, (b) no es diagonalmente dominante[1]
1.3 ( A estudiarse luego)
( en lo que sigue el orden de las ecuaciones y figuras no esta correlativo)
1.4 Descomposición en Valores Singulares
Los valores singulares[5]
, y el condition number como veremos después, también
son instrumentos teóricos de gran utilidad en la evaluación del acoplamiento y la
direccionalidad de los sistemas multivariables.
En esta sección se presentarán de manera general la definición de la
descomposición en valores singulares y sus propiedades desde un punto de vista
meramente matemático y aplicable tanto a matrices cuadradas como no cuadradas.
Definición 1.1: Matriz unitaria
Una matriz compleja U es unitaria si:
1 UU (1.41)
Donde U es la transpuesta compleja conjugada de U.
Todos los autovalores de una matriz unitaria tienen valor absoluto igual a 1, y
todos sus valores singulares (como veremos más adelante) son iguales a 1.
1.4.1 Descomposición en Valores Singulares
34
Cualquier matriz compleja A de dimensiones l x m puede ser factorizada en una
descomposición en valores singulares o DVS
VUA (1.42)
donde la matriz U de dimensiones l x l y la matriz V de dimensiones m x m son
unitarias, y la matriz de dimensiones l x m contienen una matriz diagonal 1 de
valores singulares reales y no negativos, i, ordenados en orden descendente,
como se muestra a continuación
ml
;
0
1 (1.43)
o
ml ;01 (1.44)
donde
1 diag mlkk ,mín;,,, 21 (1.45)
y
k21 (1.46)
Los vectores columna de V, simbolizados por vi, son llamados vectores singulares
derechos o de entrada y los vectores columna de U, simbolizados por ui, son
llamados vectores singulares izquierdos o de salida.
Definimos kuuvvuu ,, 11 y kvv .
35
Nótese que la descomposición indicada en la ecuación (1.42) no es única ya que
'' VUA , donde 1',' VSVUSU y S diag ije
, siendo i cualquier
número real, es también una DVS de A. Sin embargo, los valores singulares, i,
son únicos.
Consideremos las siguientes relaciones, para deducir como calcular los valores
singulares y las matrices unitarias
UUUVVUVUVUAA (1.47)
dado que 1 UU , podemos escribir
UUAA (1.48)
vemos entonces que U es la matriz de autovectores de AA y 2
i son sus
autovalores.
De modo similar
VVVUUVVUVUAA (1.49)
dado que 1 VV , podemos escribir
VVAA (1.50)
vemos entonces que U es la matriz de autovectores de AA y 2
i son sus
autovalores.
Los valores singulares son entonces las raíces positivas de los mlk ,mín
autovalores más grandes de AA y AA . Esto es
AAAAA iii (1.51)
36
Además, las columnas de U y V son autovectores unitarios de AA y AA ,
respectivamente.
Definición 1.2. Rango de una matriz: El rango de una matriz es igual al
número
de valores singulares diferentes de cero de la matriz. Siendo rank rA , entonces
la matriz A es deficiente de rango si mlkr ,mín , y tiene valores singulares
i = 0 para kri ,,1 . Una matriz cuadrada deficiente de rango es una matriz
singular (una matriz no cuadrada es siempre una matriz singular).
1.4.2 Valores singulares de una matriz de 2 x 2
En general, los valores singulares tienen que ser calculados numéricamente. Sin
embargo, para matrices de 2 x 2, se puede deducir fácilmente una expresión
analítica. Establezcamos las siguientes igualdades
b tr AAcaAAji
ij
det,,
2
(1.52)
Ahora, la suma de los autovalores de una matriz es igual a su trazo y el producto
es igual a su determinante, por tanto
cb 2121 , (1.53)
Resolviendo 1 y 2 en función de b y c, y utilizando la ecuación (1.51)
obtenemos
2
4;
2
4 22 cbbA
cbbA
(1.54)
37
Por ejemplo, para
43
21A tenemos 3016941
2
ijab ,
42det22 Ac , y encontramos que 465.5A y 366.0A .
1.4.2 DVS de una matriz inversa
Dado que VUA tenemos que, siempre y cuando la matriz A de dimensiones
m x m sea no singular
UVA 11 (1.55)
esta es la DVS de A-1
pero con el orden de los valores singulares invertido. Sea
j = m – i + 1. Entonces de la ecuación (1.55) se tiene que
AuAvAvAuAA jijiji 111 ,,1 (1.56)
y en particular
AA 11 (1.57)
1.4.4 Desigualdades de los valores singulares
Los valores singulares limitan la magnitud de los autovalores:
AAA i (1.58)
Por la definición de DVS es obvio que:
AA y AA (1.59)
Hay un límite superior para el valor singular máximo del producto de dos
matrices:
38
BAAB (1.60)
Si A o B son no singulares, también existe un límite inferior para AB :
ABBA o ABBA (1.61)
También tenemos un límite inferior para el valor singular mínimo:
ABBA (1.62)
Las siguientes desigualdades son de utilidad para una matriz particionada:
BAB
ABA ,máx2,máx
(1.63)
BAB
A
(1.64)
La siguiente igualdad es usada para una matriz diagonal a bloques:
BAB
A ,máx
0
0
(1.65)
Otro resultado interesante es el teorema de Fan[5]
:
BABABA iii (1.66)
Dos casos especiales de la ecuación (1.66) son:
BABABA (1.67)
BABABA (1.68)
1.4.5 DVS como una suma de matrices de rango 1
Llamemos r al rango de una matriz A de dimensiones l x m. Podemos considerar
la DVS como una descomposición de A en r l x m, cada una de rango 1. Tenemos
39
r
i
iii vuVUA1
(1.69)
Los términos restantes, de r + 1 a mlk ,mín , tienen valores singulares iguales
a 0 y no contribuyen a la suma. La primera y más importante submatriz está dada
por 1111 vuA . Si ahora consideramos la matriz residual
1111
1 vuAAAA (1.70)
entonces
AA 2
1
1 (1.71)
Esto es, el valor singular más grande de A1 es igual al segundo valor singular de la
matriz original. Esto muestra que la dirección correspondiente a A2 es
la
segunda dirección más importante, y así sucesivamente.
1.5 Condition Number
El condition number[5]
de una matriz de dimensiones l x m se define como el
cociente
A
A
A
AA
k
1 (1.72)
donde mlk ,mín . Se dice que una matriz con un condition number grande es
una matriz mal condicionada. Según esta definición una matriz deficiente de rango
tiene un condition number infinito.
Según la ecuación (1.57) tenemos que para una matriz no singular
40
1 AAA (1.73)
De las ecuaciones (1.60) y (1.73) se tiene que para matrices no singulares
BAAB (1.74)
1.6 Aplicación de la DVS al estudio de sistemas de control multivariables
Habiendo definido ya la descomposición en valores singulares y teniendo en claro
qué son los valores singulares, cómo calcularlos y cuáles son sus principales
propiedades; podemos pasar ahora a explicar de qué manera se pueden aplicar al
estudio de sistemas de control multivariables.
En esta sección hablaremos de la utilización de los valores singulares en el cálculo
de las ganancias de los sistemas MIMO y en la evaluación de la direccionalidad de
dichos sistemas.
1.6.1 Direccionalidad de los sistemas multivariables
En un sistema SISO, y = Gd, la ganancia en una frecuencia dada es simplemente
jG
d
djG
d
y
La ganancia depende de la frecuencia , pero debido a que el sistema es lineal, es
independiente de la magnitud de la entrada d
Las cosas no son tan simples en los sistemas MIMO, porque en estos sistemas las
señales de entrada y de salida son vectores, y necesitamos considerar las
magnitudes de los elementos de cada vector utilizando la norma del vector.
41
Entonces para una frecuencia dada la magnitud de la señal de entrada vectorial
sería
2
2
2
1
2
ddddj
j (1.75)
y la magnitud de la señal de salida vectorial sería
2
2
2
1
2yyyy
i
i (1.76)
La ganancia de un sistema sG para una señal de entrada particular d viene
entonces dada por la relación
2
2
2
1
2
2
2
1
dd
yy
d
djG
d
y
(1.77)
Nuevamente la ganancia depende de la frecuencia , y nuevamente es
independiente de la magnitud de la entrada d . Sin embargo, en un sistema
MIMO hay más grados de libertad y la ganancia también depende de la dirección
de la entrada d.
Para ilustrar esto consideremos, por ejemplo, un sistema de dos entradas y dos
salidas. En este caso,
2
1
d
dd , la ganancia es en general diferente para los cinco
siguientes vectores entrada:
8.0
6.0,
707.0
707.0,
707.0
707.0,
1
0,
0
10504030201 ddddd
42
Todas las cuales tienen la misma magnitud d = 1 pero diferentes
direcciones. Sea el sistema:
23
451G (1.78)
Si calculamos los vectores salida correspondientes obtenemos
2.0
2.0,
707.0
707.0,
54.3
36.6,
2
4,
3
50504030201 yyyyy
y las normas de estos cinco vectores salida, iguales a las
correspondientes
ganancias, son
28.0,1,3.7,47.4,83.5 104030201 yyyyy
Esta dependencia de la ganancia de la dirección de entrada se ilustra gráficamente
en la Figura 1.5 donde se ha usado el cociente 12 dd como una variable
independiente para representar la dirección de la entrada. Podemos ver que,
dependiendo del cociente 12 dd , la ganancia varía entre 0.272 y 7.343.
Figura 1.5.- Ganancia ddG1 como función de 12 dd para G1 en (3.27)[5]
43
El valor máximo de la ganancia definida por la ecuación (1.77) cuando se varía la
dirección de la entrada es 7.343, que es igual al valor singular máximo de G,
GGdd
Gd
dd
10máxmáx (1.79)
mientras que la ganancia mínima es 0.272, que es igual al valor singular mínimo
de G,
GGdd
Gd
dd
10mínmín (1.80)
Las primeras igualdades en las ecuaciones (1.79) y (1.80) se deben a que la
ganancia es independiente de la magnitud de la entrada en un sistema lineal. Más
adelante veremos porqué las ganancias máxima y mínima son iguales a los
valores
singulares máximo y mínimo respectivamente.
1.6.2 Deficiencia de la medición de la ganancia de sistemas multivariables
mediante los autovalores
Antes de profundizar más en la utilidad de los valores singulares, vamos a probar
que las magnitudes de los autovalores de una matriz de transferencia, jGi ,
no proveen una manera eficiente de medir la ganancia de los sistemas MIMO. El
uso de los autovalores para la medición de la ganancia pueden causar mucha
confusión y llevar a conclusiones erróneas. Para ilustrar esto, consideremos el
sistema y = Gd en donde
44
00
1000G
la cual tiene ambos autovalores i iguales a cero. Sin embargo, sería obviamente
equivocado concluir a partir de los autovalores que la ganancia del sistema es
cero. Por ejemplo, con un vector de entrada 10d obtenemos un vector de
salida 0100d .
El problema es que los autovalores miden la ganancia en el caso especial en que
las entradas y las salidas están en la misma dirección, esto es, en la dirección de
los autovectores. Para ver esto supongamos que ti es un autovector de G y
consideremos una vector entrada d = ti. Entonces la salida será y = G ti = i ti
donde i es el correspondiente autovalor. Luego obtenemos
I
i
iI
t
t
d
y
por lo tanto i mide la ganancia en la dirección de ti. Esto puede ser útil para el
análisis de estabilidad pero no para analizar el comportamiento del sistema.
1.6.3 Uso de la DVS para medir la ganancia
Vamos ahora a dar una interpretación física de la DVS cuando esta se aplica a la
respuesta en frecuencia de un sistema MIMO sG con m entradas y l salidas.
Consideremos una frecuencia fija en la que jG una matriz compleja constante
de dimensiones l x m, y representemos a jG por G para simplificar las
expresiones. A Cualquier matriz G se le puede aplicar la DVS; por tanto
45
VUG (1.81)
donde:
es matriz de dimensiones l x m con mlk ,mín valores singulares no
negativos, i, ordenados de manera descendente en la diagonal principal; los otros
elementos son cero. Los valores singulares son las raíces cuadradas positivas de
los autovalores de GG .
U es una matriz unitaria de dimensiones l x l de vectores de salida singulares, ui.
V es una matriz unitaria de dimensiones m x m de vectores de entrada singulares,
vi.
Podemos ilustrar esto con la DVS de una matriz real de 2 x 2, la cual siempre
puede ser escrita de la forma
VU
G22
21
2
1
11
11
cossen
sencos
0
0
cossen
sencos
(1.82)
donde los ángulos 1 y 2 dependen de la matriz dada. De la ecuación (1.82)
vemos que las matrices U y V tienen columnas ortonormales.
Los valores singulares son llamados también valores principales o ganancias
principales, y las direcciones asociadas a ellos se llaman direcciones principales.
Direcciones de entrada y de salida. Los vectores columna de U, simbolizados
por ui, representan las direcciones de salida de la planta. Son ortogonales y de
longitud unitaria (ortonormales), es decir
46
122
2
2
1 iliii uuuu (1.83)
jiuuuu jiii ,0,1 (1.84)
De igual manera, los vectores columna de V, simbolizados por vi, son
ortonormales y de longitud unitaria, y representan las direcciones de entrada.
Estas direccones de entrada y de salida se relacionan a través de los valores
singulares. Para aclarar esto, recordemos que V es unitaria y por tanto IVV ,
entonces podemos escribir UGV , con lo cual al considerar la columna i
tenemos
iii uGv (1.85)
donde vi y ui son vectores y i es un escalar. Es decir, si aplicamos una entrada en
la dirección vi, entonces obtendremos una salida en la dirección ui. Además, dado
que 1iv y 1iu podemos ver que el i-ésimo valor singular i nos da
directamente la ganancia de la matriz G en esta dirección. En otras palabras:
i
i
iiv
GvGvG (1.86)
Algunas ventajas de la DVS frente a la descomposición en autovalores para el
análisis de las ganancias y la direccionalidad de plantas multivariables son:
1.- Los valores singulares proporcionan mejor información acerca de las
ganancias de la planta.
2.- Las direcciones obtenidas de la DVS son ortogonales.
3.- La DVS también se aplica directamente a plantas no cuadradas.
47
Valores singulares máximo y mínimo. Como ya se ha dicho, se puede mostrar
que la ganancia más grande en cualquier dirección es igual al valor singular
máximo
1
1
01 máx
v
Gv
d
GdGG
d
(1.87)
y la ganancia más pequeña en cualquier dirección es igual al valor singular
mínimo
k
k
dk
v
Gv
d
GdGG
0mín (1.88)
donde mlk ,mín . Así, para cualquier vector d tenemos que
Gd
GdG (1.89)
Definimos kuuvvuu ,, 11 y kvv . Luego
uvGuvG , (1.90)
El vector v corresponde a la dirección de la entrada con la mayor amplificación, y
u es la correspondiente dirección de salida en la cual las entradas son más
efectivas. Las direcciones asociadas a v y u son llamadas algunas veces las
direcciones “más fuertes”, “de alta ganancia”, o “más importantes”. Las siguientes
direcciones más importantes estás asociadas con v2 y u2, y así sucesivamente hasta
las direcciones “menos importantes”, “más débiles” o “de baja ganancia” que
están asociadas con v y u .
48
Para ilustrar todo lo que hemos dicho acerca de la descomposición en valores
singulares en esta sección, consideremos primero el mismo ejemplo que en la
sección 1.6.1,
23
451G
La descomposición en valores singulares de G1 es
VU
G794.0608.0
608.0794.0
272.00
0343.7
872.0490.0
490.0872.01
La ganancia más grande es 7.343 y se obtiene para una entrada en la
dirección
608.0
794.0v , y la ganancia más pequeña es 0.272 y se obtiene para una entrada en
la dirección
794.0
608.0v . Esto confirma lo encontrado anteriormente.
Dado que en la planta G1 ambas entradas afectan ambas salidas, se dice que el
sistema es interactivo. Adicionalmente, el sistema es mal condicionado, es decir,
algunas combinaciones de las entradas tienen un efecto fuerte en las salidas,
mientras que otras combinaciones tienen un efecto débil en las salidas. Esto se
puede cuantificar mediante el condition number, que para el sistema considerado
es 27272.0343.7 .
49
Proceso de destilación. Consideremos ahora el siguiente modelo de una columna
de destilación
6.1092.108
4.868.87
175
1
ssG (1.91)
Para analizar el modelo en el estado estacionario hagamos s = 0, y llamemos G a
0G
6.1092.108
4.868.87G
Los las magnitudes de los elementos de la matriz de transferencia son mucho
mayores que 1, lo que indica que no se tendrán problemas de restricción en las
entradas. Sin embargo, esto no es totalmente cierto ya que la ganancia en la
dirección más débil (correspondiente al valor singular más pequeño) es en
realidad
sólo u poco mayor que 1. Podemos observar esto en la DVS de G.
VU
G707.0708.0
708.0707.0
39.10
02.197
625.0781.0
781.0625.0
A partir del primer vector singular de entrada, 708.0707.0v , se puede ver
Que la ganancia es 197.2 cuando aumentamos una entrada y disminuimos la
otra
50
entrada en una cantidad similar. Por el otro lado, a partir del segundo vector
singular de entrada, 707.0708.0v , se puede ver que si aumentamos
ambas entradas en una cantidad similar, la ganancia es solamente 1.39. La razón
de esto es que la interacción en la planta es tal que los de las dos entradas se
contrarrestan. Por tanto, según este modelo, el proceso de está mal condicionado,
al menos en el estado estacionario, y el condition number es 7.14139.12.197 .
Figura 1.6.- Diagrama de Bode de los valores singulares del proceso de
destilación en (1.91)[5]
En sistemas dinámicos los valores singulares y sus direcciones asociadas varían
con la frecuencia, y para propósitos de control el rango de frecuencia de mayor
interés es el correspondiente al ancho de banda a lazo cerrado. Los valores
singulares usualmente se dibujan como una función de la frecuencia en un
diagrama de Bode de magnitud con una escala logarítmica para le frecuencia y
51
para la magnitud. En la Figura 1.6 se muestran los trazos típicos de los valores
singulares del proceso de destilación considerado en el ejemplo anterior.
1.6.4 Ganancias principales y lugares característicos
Hemos visto que la descomposición en valores singulares presenta varias ventajas
sobre los autovalores en lo que se refiere a la medición de las ganancias y la
evaluación de la direccionalidad en los sistemas MIMO. Existe sin embargo una
relación entre los lugares geométricos de los módulos de los autovalores o lugares
característicos, y los lugares geométricos de los valores singulares. En esta sección
presentamos esta relación, la misma que es útil para manipular la información,
acerca del comportamiento del sistema, proporcionada por los lugares
característicos, la cual como habíamos dicho puede ser incierta bajo algunas
circunstancias.
Definición 1.3. Matriz normal: Sea sQ una matriz cuadrada. Entonces la
matriz sQ es normal si
sQsQsQsQ (1.92)
Si además
sWssWsQ 1 (1.93)
donde s diag si y cada i es una función autovalor de sQ , entonces
sWsW 1 (1.94)
52
es decir los autovectores de una matriz normal forman un conjunto ortonormal.
Teorema 1.2: Sea sQ una matriz normal, con autovalores si y ganancias
principales si . Entonces podemos ordenar los autovalores i de manera que
miss ii ,,2,1, (1.95)
Demostración: Sea s diag si y s diag si . Entonces
sWssWsQ 1
por la propiedad de la matriz normal reemplazamos según la ecuación (1.94)
sWssWsQ
m
i
iii swswssQ1
Ahora digamos que
0,,exp iiiii sjss
y
sjswsy iii exp
Entonces
m
i
iii swsyssQ1
sYsQ diag si sW
donde
sWsY diag sj iexp
53
Por tanto
sYsY diag sj iexp sWsW diag sj iexp I
y de manera similar
IsYsY H
Por lo tanto sYsQ diag si sW es una descomposición en valores
singulares de sQ . Pero los valores singulares de sQ son únicos, entonces
diag ssi
es decir,
ss ii
Este resultado es importante para el diseño de sistemas de control, porque el
diseñador puede conseguir visualizar más fácilmente las ganancias principales de
cualquier diseño propuesto. Una conclusión que se puede sacar de este teorema es
que si uno quiere conseguir unas particulares ganancias principales, una manera de
hacerlo es diseñar el controlador C para la planta G tal que la razón de retorno GC
sea normal y tenga unas particulares ganancias características.
Otra razón para desear que la razón de retorno sea normal es que la sensibilidad de
los autovalores de una matriz a las perturbaciones de sus elementos se minimiza si
la matriz es normal[3]
. Sabiendo que el modelo que se tiene de la planta es
probablemente impreciso, se espera que el uso de un controlador que produzca
una razón de retorno normal, también reduzca la posibilidad de que el sistema a
54
lazo cerrado sea inestable cuando el compensador se use con la planta real, ya
que la
estabilidad está determinada por los lugares característicos.
Aun cuando la razón de retorno no es exactamente normal, las ganancias
características son aproximadamente iguales a las ganancias principales siempre y
cuando las autovectores estén cerca de ser ortogonales. Cuando este no es el caso,
se dice que la razón de retorno es oblicua.
La siguiente medida de la oblicuidad de una matriz cuadrada G ha sido propuesta
por Hung y MacFarlane (1982). Primero se obtiene una descomposición de G,
llamada descomposición Schur.
STDSG
donde D es diagonal, T es triangular y S es unitaria. Entonces una medida
adecuada de la oblicuidad es
ms F
F
G
TG (1.96)
donde F
simboliza la norma de Frobenius
ji
ijFaA
,
2
(1.97)
Esta medida tiene la propiedad de que
0 ms 1G (1.98)
donde 0 significa completa normalidad y 1 significa completa oblicuidad.
55
Hung y MacFarlane (1982) muestran que ms G se puede relacionar con la
sensibilidad de los lugares característicos de G, mientras que Pang y MacFarlane
(1986) muestran que se le puede relacionar con la divergencia entre las ganancias
principales y las ganancias características como se indica a continuación
(considerando la misma simbología que en la demostración del Teorema 1.2):
ms
m
i
i
m
i i
iiG
1
2
12
2
2 1
(1.99)
Cuando la oblicuidad de una matriz es apreciable, sólo podemos afirmar que
mii ,,2,1, (1.100)
lo que quiere decir que el valor de cada ganancia característica se encuentra entre
la ganancia principal más pequeña y la más grande. (Este resultando se obtiene
igualando d a un autovector en la ecuación (1.89)).
control de la planta.