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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNO Y DOS PARAMETROS OFICINA DE INVESTIGACIÓN CULTURA ESTADÍSTICA PARA LA INVESTIGACIÓN
| Date post: | 11-Jul-2016 |
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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNO
Y DOS PARAMETROS
OFICINA DE INVESTIGACIÓN
CULTURA ESTADÍSTICA PARA LA INVESTIGACIÓN
INTRODUCCION
El objetivo de este tema es exponer los métodos estadístico básicos
que se aplican para tomar decisiones sobre la conjetura que se hace
acerca del valor numérico del parámetro de una y dos poblaciones en
estudio y que es sometida a comprobación experimental con el
propósito de determinar si los resultados de las muestras aleatorias
extraídas de esas poblaciones contradicen o no en forma
significativa tal afirmación.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
Se denomina hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura
que se hace acerca de la distribución de una o mas poblaciones.
La afirmación o conjetura se puede referirse bien a la forma o tipo
de distribución de probabilidad de la población o bien referirse al
valor o valores de uno o mas parámetro de la distribución
conocida su forma.
La hipótesis estadística consiste en suponer que los parámetros,
que define a la población, toma determinado valores numéricos.
HIPÓTESIS NULA
Se denomina hipótesis nula y se representa por Ho a la hipótesis
que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez
será sometida a comprobación experimental. Toda hipótesis nula va
acompañada de una hipótesis alterna que es lo contrario de la
hipótesis nula
PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS ESTADISTICA
La prueba de una hipótesis estadística es un proceso que nos
conduce a tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis
nula, en contraposición a la alterna y en base a los resultados de
una muestra aleatoria seleccionada de la población en estudio.
PROCEDIMIENTOS PARA REALIZAR UNA PRUEBA
DE HIPOTESIS
6
Paso 4: Se formula la regla de
decisión
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 5: Se toma una muestra y se
decide: No se rechaza H0 o se
rechaza H0
Paso 2: Se selecciona el nivel de
significancia
Paso 1: Se plantean las hipótesis
nula y alternativa
TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS
El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alterna, se denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alterna es unilateral.
Si la alterna es bilateral, la prueba se denomina prueba de dos colas.
REGION RECHAZO
Es la región, del rango de la estimación que de acuerdo con una prueba prescrita, conduce al rechazo de la hipótesis nula. La región de rechazo se construye valiéndose de la hipótesis alterna
DECISIÓN
Si el valor del estadígrafo cae dentro de la región de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula
PRUEBA DE HIPOTESIS ACERCA DE
UNA MEDIA CON VARIANZA
POBLACIONAL CONOCIDA
CONTRASTE UNILATERAL HACIA LA DERECHA
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica: La región critica de la prueba de
tamaño α será de la forma:
0100 :: uuHvsuuH
n
uxZ
/
0
1
0 Z
n
xzC
Se rechaza Ho si:
aceptaciondegionRe
z 10
zZ 1
Hrechazaseno0
Z
HrechazaSe0
CONTRASTE UNILATERAL HACIA LA IZQUIERDA
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica: La región critica de la prueba de
tamaño α será de la forma.
0100 :: uuHvsuuH
n
uxZ
/
0
1)(0
1
0 Zn
xzC
/
Se rechaza Ho si:
zZ 1
aceptaciondegionRe
z
1
0
HrechazaSe0
Hrechazaseno0
Ejemplo: Una cadena de restaurantes afirma
que el tiempo medio de espera de sus clientes
esta distribuido normalmente, con una media
de 3 minutos y una desviación estándar de 1
minuto. El departamento de aseguramiento de
calidad halló en una muestra de 50 clientes,
tomada de uno de sus restaurantes, que el
tiempo medio de espera era 2.75 minutos. Al
nivel de significancia 0.05, ¿se puede concluir
que el tiempo medio de espera es menor que 3
minutos?
u: Tiempo medio de espera de clientes
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
3:3: 10 uHvsuH
77.150/1
375.2
Z
05.0
64511 . ZzC
)(, 1ZZPZHallamos
64511 .Z
Se rechaza Ho; el tiempo medio de espera
es menor de tres minutos.
77.1 645.1
645.177.1
0
CONTRASTE BILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
0100 :: uuHvsuuH
n
uxZ
/
0
1)(0
210
//
Zn
uxZC
Se rechaza H0:
ZZ 21 /
aceptaciondegionRe
z 21 / 0 z 21 /
HrechazaSe0
HrechazaSe0
Hrechazaseno0
Ejemplo: De acuerdo con el presidente del sindicato local, el ingreso bruto medio anual de empleados en el área de construcción tiene una distribución normal, con una media de $30000 (soles) y una desviación estándar de $3000. Recientemente, un reportero de investigación para un canal de televisión encontró, en una muestra de 120 empleados, que el ingreso bruto medio era $30500. Al nivel de significancia de 0.10, ¿se puede concluir que el ingreso medio no es igual a $30000?
u: el ingreso medio anual de empleados en el área de construcción
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
30000:30000: 10 uHvsuH
83.1120/3000
3000030500
Z
10.0
645.1ZZC 2/1
05021 .)(, / ZZPZHallamos
645121 ./ Z
Se rechaza Ho; entonces se puede concluir que el salario medio de los empleados de
construcción no es $30000.
645.1 645.1 83.10
83.1645.1
PRUEBA DE HIPOTESIS ACERCA DE
UNA MEDIA CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
CONTRASTE BILATERAL
MUESTRAS GRANDES: n>30
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Se rechaza Ho:
0100 :: uuHvsuuH
nS
uxZ
/
0
210
//
ZnS
uxZC
21 / ZZ
MUESTRAS PEQUEÑAS: n≤30
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Se rechaza Ho:
0100 :: uuHvsuuH
nS
uxT
/
0
)(,//
1210
ntnS
uxTC
)(,/ 121 ntT
Se rechaza H0:
aceptaciondegionRe
0
HrechazaSe0HrechazaSe
0
Hrechazaseno0
)(,/ 121 ntT
)(,/ 121 nt )(,/ 121 nt T
Ejemplo:
Un estudiante universitario toma en
promedio 27 galones de café por año, o
2.25 galones por mes. En una muestra de
12 estudiantes de una determinada
universidad se encontraron que la media
es 2.09 y desviación estándar 0.4048. En
el nivel de significancia de 0.05 ¿hay una
diferencia significativa entre el consumo
promedio general y el consumo promedio
de los estudiantes de esta universidad?
u: Consumo promedio de galones de café por mes
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
25.2:25.2: 10 uHvsuH
37.112/4048.0
25.209.2
T
05.0
2012. TC
201.2)tt(P,Hallamos )1n(;2/1
No se rechaza H0
aceptaciondegionRe
0 025.0025.0
Hrechazaseno0
201.237.1
201.2 201.237.1 0
CONTRASTE UNILATERAL
MUESTRAS GRANDES: n>30
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Se rechaza Ho:
0100 :: uuHvsuuH
nS
uxZ
/
0
1)(0
1
0 ZnS
xzC
/
1ZZ
MUESTRAS PEQUEÑAS: n≤30
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Se rechaza Ho:
0100 :: uuHvsuuH
nS
uxT
/
0
)(,/
110
ntnS
xTC
)(, 11 ntT
Se rechaza Ho si:
aceptaciondegionRe
0
Hrechazaseno0
HrechazaSe0
)(, 11 ntT
)(, 11 nt
Ejemplo: Una encuesta nacional reciente halló que estudiantes de bachillerato veían un promedio de 6.8 películas en video por mes. Una muestra aleatoria de 36 alumnos universitarios revelo que el número medio de videos vistos el mes pasado fue 6.2, con una desviación estándar de 0.5, en el nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluirse que los estudiantes de universidad ven menos películas en video al mes que los de bachillerato?
u: Promedio de estudiantes que ven menos películas en video.
uo: Promedio de estudiantes de bachillerato que ven menos películas en video.
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
8.6:8.6: 10 uHvsuH
2.736/5.0
8.62.6
Z
05.0
645.12.7 zC
64511 .Z
Hallamos
64511 . z
AceptaciondegionRe
SE RECHAZA HO; EL NUMERO MEDIO DE
VIDEOS OBSERVADOS ES MENOR QUE 6.8
POR MES
02.7z
Ejemplo:
Las pesquerías de una determinada región se
quejan de que el numero medio de truchas
muertas capturadas en un día es 4. Para su
actualización anual el personal de pescadería
selecciona una muestra de 9 pescadores del
cual obtuvo una media de truchas muertas es
4.5 y una desviación estándar 2.68. En el nivel
de 0.05, ¿puede concluirse que la cantidad
media obtenida es mayor que 4?
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
4:4: 10 uHvsuH
65.012/68.2
45.4
T
05.0
796.1 TC
796111111111 ., )()()( tttHallamos n
No se rechaza Ho; no se ha demostrado que el
numero medio de peces capturados sea mayor
que
aceptaciondegionRe
0
Hrechazaseno0
10.0
796.165.0
796.165.00
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION
n
pqZ
pp
____
Z N ( 0 , 1 )
CONTRASTE BILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
0100 :: ppHvsppH
n
pp
ppZ
)1( 00
0
1)(0
2/
00
0
)1(Z
n
pp
ppZC
CONTRASTE UNILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
0100 :: ppHvsppH
n
pp
ppZ
)1( 00
0
1)(0
Z
n
pp
ppZC
)1( 00
0
Ejemplo: En el pasado, el 15% de las solicitudes de pedidos
por correo para cierta obra de caridad dio lugar a una
contribución financiera. Un nuevo formato de solicitud se ha
diseñado y se envía a una muestra de 200 personas y 45
respondieron con una contribución. ¿En el nivel de
significación del 0.05 se puede concluir que la nueva solicitud
es más eficaz?
Solución: Contraste Unilateral
p: Proporción de solicitudes de pedidos por correo
40
225.0200
45
p
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
15.0:15.0: 10 pHvspH
0.05
97.2
200
)15.01(15.0
15.0200
45
)1( 00
0
n
pp
ppZ
645.1 ZC
645.1Zencuentrasetablalaen 0.05
Se rechaza Ho si:
Se rechaza la hipótesis nula. Más de 15% de
solicitudes responde con un compromiso. El
nuevo formato es más eficáz.
645.1Z0
645.197.2 ZZ
Hrechazaseno0
97.2Z
HrechazaSe0
05.0
Ejemplo: En una investigación hecha en una
determinada universidad se encontró que 50%
de los estudiantes, después de un año de
estudio, cambiaban de área principal de
estudio. En una muestra de 100 estudiantes de
la facultad de contabilidad se encontró que 48
habían cambiado de área de estudio. ¿Ha
habido una disminución significativa en la
proporción de estudiantes que cambian de área
de estudio?. El nivel de significancia es 0.05
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
2121
222
211
2121
112
11nnnn
snsn
UUxxT
VARIANZA DESCONOCIDAS n1 + n2 < 30
T t ( n1 + n2 - 2 )
Ejemplo
Una medicina A fue aplicada a una muestra de 10 pacientes aquejados de cierta enfermedad. Otra medicina B fue aplicada a otra muestra de 9 pacientes aquejados de la misma enfermedad. Los tiempos en días de recuperación de los pacientes fueron los siguientes:
A: 6 5 6 7 4 7 6 4 6 3
B: 7 6 7 9 5 8 7 6 8
utilizando un nivel de significancia del 5% y suponiendo poblaciones normales, ¿es valido inferir que no hay diferencia significativa en las medias de los tiempos de tratamientos de las dos medicinas?
VARIANZA DESCONOCIDAS n1 + n2 > 30
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
2
21
1
21
2121
ns
ns
UUxxZ
Z N ( 0,1 )
Ejemplo
El agente de compras de una empresa quiere decidir la adquisición de
una de dos marcas de maquina para procesar cierto producto. Por
cuestiones de precio el esta pensando de comprar la marca A, a no
ser que haya evidencia de que la maquina B es mas veloz. Se le
permitió operar los dos tipo de maquina durante un periodo de
prueba observando los tiempos por unidad producida, luego escogió
al azar una muestra de 40 tiempo por maquina y se obtuvo como
media de la maquina A 55 y desviación estándar 2,1 y de la maquina
B se obtuvo como media 52 y desviación estándar 3,2. ¿Cree usted
que el agente debería elegir la maquina B?
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA
DE PROPORCIONES
Z N (0,1)
Ejemplo
Con el fin de conocer el nivel de aceptación de un producto un analista
cuantitativo realizo un estudio de opinión en dos ciudades del interior
del país. En Chiclayo 120 consumidores de una muestra al azar de
300 opinaron aceptando el producto, mientras que en arequipa 120
consumidores de una muestra al azar de 400 opinaron estar de
acuerdo con el producto. ¿puede considerarse significativamente la
diferencia de las dos proporciones muéstrales con un nivel de
significancia del 5%?
PRUEBA DE HIPOTESIS
ACERCA DE UNA VARIANZA
CONTRASTE UNILATERAL HACIA LA DERECHA
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica: La región critica de la prueba de
tamaño α será de la forma:
22
1
22
0 ::oo
HvsH
1)(0
2
22 )1(
o
Sn
2
)1(
2
nC
CONTRASTE UNILATERAL HACIA LA IZQUIERDA
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica: La región critica de la prueba
de tamaño α será de la forma:
22
1
22
0 ::oo
HvsH
1)(0
2
22 )1(
o
Sn
2
)1(
2
nC
2
)1(
2
n
Se rechaza Ho si;
2
)1( n
CONTRASTE BILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
22
1
22
0 ::oo
HvsH
2
22 )1(
o
Sn
1)(0
2
)1)(2
(
22
)1)(2
1(2
22 )1(
nn
o
on
C S
Se rechaza Ho si;
2
)1)(2
(
22
)1)(2
1(
2
nno
Ejemplo: Los pesos de los objetos siguen una
distribución normal. Una muestra de 10
objetos elegidos al azar entre los producidos en
cierta planta industrial han mostrado los
siguientes pesos en gramos:
71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69
¿Hay razones para creer que la varianza de los
pesos de los objetos es igual a 4 gr?. Use el
nivel de significancia 0.05.
Solución:
1.68,77.61
)(11
2
2
nX
n
xn
ii
n
ii xx
s
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
4:4: 2
1
2
0 HvsH
23.154
77.6)19(2
0.05
02.1970.2
)1(
22
2
)1)(2
(
22
)1)(2
1(2
22
oC
on
Cnn
o
S
02.192270.222
:025.02
05.0
)9,025.0()1)(2
()9,975.0()1)(2
1(
nn
hallamostablalaen
No se rechaza Ho; y concluimos que la
varianza de la población es igual a 4
02.1923.157.22
)1)(2
(
2
)1)(2
1(
nn
