Pruebas de Hiptesis Introduccin La experiencia sobre el
comportamiento de algn ndice de un proceso, o la exigencia del
cumplimiento de alguna norma nos lleva a realizar proposiciones
sobre el valor de algn parmetro estadstico. Estas proposiciones se
deben contrastar con la realidad (mediante el muestreo de datos)
para tomar una decisin entre aceptar o rechazar la proposicin Estas
proposiciones se denominan Hiptesis y el procedimiento para decidir
si se aceptan o se rechazan se denomina Prueba de Hiptesis Una
prueba de hiptesis es una herramienta de anlisis de datos que puede
en general formar parte de un experimento comparativo ms
completo
Diapositiva 4
Qu es una hiptesis? Una creencia sobre los parmetros de la
poblacin: Media Varianza Proporcin/Tasa Si queremos contrastarla,
debe establecerse antes del anlisis. Dicha creencia puede ser o no
ser verdadera Creo que el porcentaje de enfermos ser el 5%
Diapositiva 5
Contrastando una hiptesis Creo que la edad media es 17 aos...
Son demasiados... Gran diferencia! Rechazo la hiptesis Muestra
aleatoria
Diapositiva 6
Pruebas de Hiptesis Introduccin Una hiptesis Estadstica es un
proposicin sobre los parmetros de una poblacin o sobre la
distribucin de probabilidad de una variable aleatoria Ejemplo: Se
tiene inters en la rapidez de combustin de un agente propulsor para
los sistemas de salida de emergencia en aeronaves. (esta rapidez es
una variable aleatoria con alguna distribucin de probabilidad).
Especialmente interesa la rapidez de combustin promedio (que es un
parmetro ( ) de dicha distribucin). De manera ms especfica,
interesa decidir si esta rapidez promedio es o no 50 cm/seg. El
planteamiento formal de la situacin se realiza en trminos de una
Hiptesis Nula (que es la proposicin que se quiere poner a prueba) y
una Hiptesis Alternativa, la cual se aceptar si se rechaza la
hiptesis nula: Hiptesis Nula: H 0 : = 50 cm/seg Hiptesis
Alternativa:H 1 : 50 cm/seg En el ejemplo se tiene una Hiptesis
Alternativa Bilateral, ya que se verifica para valores de a ambos
lados de 50 cm/seg. En el ejemplo se tiene una Hiptesis Alternativa
Bilateral, ya que se verifica para valores de a ambos lados de 50
cm/seg.
Diapositiva 7
Identificacin de hiptesis Hiptesis nula H o La que contrastamos
Los datos pueden refutarla No debera ser rechazada sin una buena
razn. Hiptesis Alternativa H 1 Niega a H 0 Los datos pueden mostrar
evidencia a favor No debera ser aceptada sin una gran evidencia a
favor.
Diapositiva 8
Pruebas de Hiptesis En ocasiones interesa una Hiptesis
Alternativa Unilateral, Por ejemplo: H 0 : = 50 cm/seg H 0 : = 50
cm/seg H 0 : = 50 cm/seg H 0 : = 50 cm/seg H 1 : 50 cm/seg H 1 : 50
cm/seg De donde puede surgir una Hiptesis Nula sobre un parmetro?
Cul sera el inters dependiendo del origen de la hiptesis? 1)Origen:
Experiencia, pruebas pasadas o conocimiento del proceso. Inters:
averiguar si ha cambiado el parmetro 2)Origen: Alguna teora o
modelo sobre el funcionamiento del proceso. Inters: Verificar la
valids de dicha teora 3)Origen: Especificaciones de diseo,
obligaciones contractuales, normas a cumplir o solicitudes del
cliente. Inters: probar el cumplimiento o incumplimiento de las
especificaciones. La verdad o falsedad de la hiptesis NO puede
conocerse con total seguridad a menos que pueda examinarse toda la
poblacin La verdad o falsedad de la hiptesis NO puede conocerse con
total seguridad a menos que pueda examinarse toda la poblacin
Diapositiva 9
Quin es H 0 ? Problema: La altura media o promedio de los
estudiantes de la UNT es 1.60 m? Solucin: Traducir a lenguaje
estadstico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hiptesis
nula
Diapositiva 10
Quin es H 0 ? Problema: El tiempo de vida promedio de una
determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de
computadoras es de 20,000 horas. Solucin: Traducir a lenguaje
estadstico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hiptesis
nula
Diapositiva 11
Quin es H 0 ? Problema: El porcentaje de personas atacadas por
cierta epidemia es una ciudad grande, no es mayor del 10%. Solucin:
Traducir a lenguaje estadstico: Establecer su opuesto: Seleccionar
la hiptesis nula
Diapositiva 12
Pruebas de Hiptesis Procedimiento General para la prueba de una
hiptesis Tomar un muestra aleatoria Calcular un estadstico basado
en la muestra Usar el estadstico y sus propiedades para tomar una
decisin sobre la Hiptesis Nula
Diapositiva 13
Ejercicios: Durante los ltimos semestres, el profesor de
Estadstica de una universidad ha registrado que el rendimiento
medio de sus alumnos es de 14 puntos. Este ao le ha tocado 40
alumnos sobresalientes porque su rendimiento medio ha sido 17
puntos y el profesor les proclama como superiores a todos los
alumnos que ha tenido en la fecha. Qu hiptesis planteara?
Diapositiva 14
Regin crtica y nivel de significacin Regin crtica Valores
improbables si... Es conocida antes de realizar el experimento:
resultados experimentales que refutaran H 0 Nivel de significacin:
Nmero pequeo: 1%, 5% Fijado de antemano por el investigador Es la
probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta No rechazo H0 Reg.
Crit. =5% =40
Diapositiva 15
Contrastes: unilateral y bilateral La posicin de la regin
crtica depende de la hiptesis alternativa Unilateral Bilateral H 1
: 20 H 1 : 20
Diapositiva 16
Pruebas de Hiptesis Hiptesis Unilaterales H 0 : =50 cm/seg H 1
: 50
Diapositiva 17
Pruebas de Hiptesis Hiptesis Unilaterales Ejemplo: Un
embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que
usa tienen en promedio un valor que supera el mnimo de presin de
estallamiento de 200 psi. El embotellador puede formular una prueba
de hiptesis de dos maneras: Con el planteamiento (1) Como el
rechazo de H 0 es una conclusin fuerte, esto obliga al fabricante a
demostrar (aportar evidencia) de que las botellas soportan mayor
presin que 200 psi H 0 : =200 psiH 0 : =200 psi H 1 : >200 psiH
1 : 200 psiH 1 :
Pruebas de Hiptesis Hiptesis Unilaterales Es decir, en la
Hiptesis alternativa se debe poner la proposicin sobre la cual es
importante llegar a una conclusin fuerte: H 0 : =200 psiH 0 : =200
psi H 1 : >200 psiH 1 : 200 psiH 1 :
Pruebas de Hiptesis Prueba de hiptesis sobre la media, varianza
conocida UMSNH - FIE 5) La estadstica de prueba es 6) Rechazar H 0
si z>1.96 o si z 1.96 o si z 1.96, se rechaza H 0 : = 50 cm/seg
con un nivel de significancia = 0.05 8) Es decir, Se concluye que
en base a una muestra de 25 mediciones la rapidez promedio de
combustin es diferente de 50 cm/seg, de hecho, existe evidencia
fuerte de que sta es mayor.
Diapositiva 29
Pruebas de Hiptesis Valores P Una manera de notificar los
resultados de una prueba de hiptesis es establecer si la hiptesis
nula fue o no rechazada con un nivel especificado de significancia
Una alternativa es especificar el nivel de significancia ms pequeo
que conduce al rechazo de la hiptesis nula. A este se le llama el
Valor P Este valor P slo depende de la muestra tomada, es decir,
para una muestra y un estadstico calculado se puede obtener su
valor P y comparar con un especificado. Entonces, si P
Pruebas de Hiptesis Valores P En el caso de la distribucin
normal para la prueba sobre la media es fcil calcular el valor P.
Si z 0 fue el valor calculado del estadstico de prueba, entonces:
Donde (z) = P(Z z) (Funcin de distribucin normal N(0,1)) Para el
ejemplo z 0 = 3.25, entonces P=2(1- (3.25))=0.0012. Es decir, H 0
ser rechazada con cualquier nivel de significancia 0.0012 P = 2 [
1- (|z 0 |) ]Prueba de dos colas: H 0 : = 0, H 1 : 0 1- (z 0
)Prueba de cola superior: H 0 : = 0, H 1 : > 0 (z 0 )Prueba de
cola inferior: H 0 : = 0, H 1 : < 0 Si se usa el enfoque del
valor P el paso 6 del procedimiento general de prueba de hiptesis
ya no es necesario.
Diapositiva 31
Ejemplo 1: De acuerdo a las normas establecidas en una prueba
de aptitud acadmica, las personas que han concluido sus estudios
secundarios deban tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por
una investigacin anterior sobre el caso, que la desviacin estndar
fue de 8.6 puntos y si 45 personas que concluyeron estudios
secundarios son elegidas aleatoriamente y alcanzan un promedio de
73.2, pruebe la hiptesis de que el promedio ha disminuido. Z=-2.33
Zoz /2 o z z /2 o z
Diapositiva 34
Prueba de hiptesis sobre la igualdad de dos medias (varianzas
conocidas) Ejemplo: Un diseador quiere reducir el tiempo de secado
de una pintura. Se prueban dos frmulas de pintura. La frmula 1 es
la normal y la frmula 2 posee un ingrediente secante que se espera
reduzca el tiempo de secado. Se sabe que el tiempo de secado tiene
una desviacin estndar de 8 min y que sta no se afecta con la adicin
del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especmenes con la frmula 1, y
10 con la frmula 2, obtenindose tiempos promedio de secado de x 1
=121 min, y x 2 =112 min. respectivamente. A qu conclusin se llega
sobre la eficacia del nuevo ingrediente utilizando =0.05.?
1)Cantidad de inters: 1 - 2 2)H 0 : = 2 3)H 1 : > 2 (se busca
evidencia fuerte que indique que el tiempo de secado promedio de la
muestra 2 es menor) _ _
Diapositiva 35
Prueba de hiptesis sobre la igualdad de dos medias (varianzas
conocidas) =0.05 =0.05 5)El estadstico de prueba es 6)H 0 se
rechazar si z>z 0.05 = 1.645 7)Sustituyendo los datos, obtenemos
z=(121-112)/(12.8) 1/2 =2.52 8)Conclusin: Puesto que z = 2.52 >
1.645 se rechaza H 0 con un nivel de significancia =0.05
concluyndose el nuevo ingrediente s disminuye el tiempo de secado.
Alternativamente puede calcularse un valor P =1- (2.52) = 0.0059,
es decir, se rechazar H 0 para cualquier nivel de significancia
0.0059
Diapositiva 36
Prueba de Hiptesis sobre una media poblacional Caso B: Cuando
no se conoce la varianza poblacional es conocida y el tamao de la
muestra es pequea. T(n-1)
Diapositiva 37
Prueba de Hiptesis sobre la media, varianza desconocida Si la
poblacin tiene una distribucin Normal con media y varianza 2
desconocidas pudiera utilizarse el estadstico S 2 y el
procedimiento descrito anteriormente para varianza conocida (esto
es vlido para N grande), pero si la muestra es pequea, tendremos
que usar el estadstico siguiente, el cual tiene una distribucin t
con N-1 grados de libertad, el cual tiene una distribucin t con N-1
grados de libertad, As, para la prueba de Hiptesis bilateral H 0 :
= 0 H 1 : 0 Se rechazar H 0 si t>t /2,N-1 o si t t /2,N-1 o si
t
Diapositiva 38
Prueba de Hiptesis sobre la media, varianza desconocida
Ejercicio: Los siguientes son datos de pruebas de resistencia a la
adhesin, los siguientes datos presentan la carga (en Mpa) a la cual
22 especmenes fallaron Sugieren los datos que la carga promedio de
falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga de falla tiene una
distribucin Normal y utilice =0.05. Desarrolle los 8 pasos del
procedimiento general y encuentre un valor P para la prueba.
19.818.517.616.715.815.4 14.113.611.911.4 8.8 7.515.4 19.514.912.7
11.911.410.17.9
Diapositiva 39
Pruebas de Hiptesis Valor P de una prueba t El valor P es el ms
pequeo nivel de significancia para el que H 0 debe rechazarse, esto
es el rea de la cola (de la curva de densidad de probabilidad) que
est ms all del valor del estadstico (en este caso t). o el doble de
esta rea en pruebas bilaterales. Seleccin del Tamao de la Muestra
En todas las pruebas de hiptesis estadsticas se puede calcular el
tamao de la muestra (N) adecuada en funcin de la magnitud del error
de tipo I que se permite. En cada tipo de prueba se encuentran
frmulas diferentes para N.
Diapositiva 40
Pruebas de Hiptesis Otras pruebas de Hiptesis En forma similar
a como se describi el caso de la media y la diferencia de medias,
se pueden realizar diferentes pruebas de hiptesis para estos mismos
u otros parmetros, lo nico que cambia en cada caso es: - Las
suposiciones sobre la distribucin de la poblacin - El estadstico
elegido y por consiguiente - La distribucin del estadstico. En la
siguiente tabla se resumen algunas de las pruebas de hiptesis ms
utilizadas
Diapositiva 41
Ejemplo 3: Suponga que un estudio relativo a 28 familias de la
urbanizacin El Sol, arroj un ingreso medio durante el 2001, de
$6,548.00 con una desviacin estndar de $952.00. Pruebe la hiptesis
de que el verdadero ingreso familiar promedio diario por da de
urbanizacin es de $6,000.00 (en el ao), frente a la alternativa de
que no fue $6,000.00 use un nivel de significancia del 5%.
Diapositiva 42
Desarrollo Ejercicio 3: Ho se rechaza y se acepta H1 t=-2.052
t=2.052
Diapositiva 43
Ejercicio 4: En una muestra aleatoria de 10 sacaos de arroz
extra envasado, se obtuvo una media de 9.4 Kg. con una desviacin
estndar de 1.8 Kg. Contiene esta muestra suficiente evidencia para
indicar que el peso medio es menor que 10 Kg. de arroz, a un nivel
de significacin de 0.1?
Diapositiva 44
Ho se acepta entonces podemos decir que No existe suficiente
evidencia para indicar que el peso medio de cada bolsa de arroz
extra envasado, es menor que 10 kg. a un nivel de significancia de
10% t=-1.383 Desarrollo Ejercicio 4:
Diapositiva 45
Ejercicio 5: Suponga que se desea demostrar, sobre una base de
una muestra tomada al azar de tamao 5, si el contenido de grasa en
una mantequilla diettica, pasa el 30%.Qu puede concluir con un
nivel del 1% de significacin, si los valores de la muestra son:
31.9, 30.3, 32.1, 31.7, 30.9
Diapositiva 46
Prueba de Hiptesis para la proporcin poblacional: p Se trata de
efectuar una prueba de hiptesis acerca de la proporcin p de
elementos con cierto atributo en una poblacin.
Diapositiva 47
Ejercicio 5 Se realiz una encuesta con el fin de estudiar las
prcticas sanitarias dentales y las actutudes, de cierta poblacin
urbana de adultos. De 300 adultos entrevistados, 123 dijeron que
regularmente se sometan a una revisin dental dos veces al ao.
Pruebe la hiptesis nula de que p=0.5 (el 50 % de los adultos de
dicha poblacin se someten regularmente a una revisin dental, dos
veces al ao)
Diapositiva 48
Desarrollo Ejercicio 5: Ho se rechaza y se puede concluir por
tanto que el 50% de la poblacin no se hace una revisin dental dos
veces al ao. Z=-1.96Z=1.96
Diapositiva 49
Ejercicio 6: Suponga que se sabe que el porcentaje de artculos
buenos producidos por un cierto proceso es slo el 90%. Se elige una
muestra aleatoria de 625 artculos en un cierto momento y se
encuentran que 550 son buenos. Si ud. desea rechazar una hiptesis
verdadera no ms de una vez en 100. Concluira que el porcentaje de
artculos buenos producidos por el mencionado proceso, es
exagerado.
Diapositiva 50
Z=-2.575 Desarrollo Ejercicio 6: Ho se acepta, es decir que no
existe razn para concluir que el porcentaje de artculos buenos
producidos es exagerado.
Diapositiva 51
Prueba de Hiptesis en dos poblaciones normales Caso A: Cuando
la varianza poblacional es conocida y el tamao de la muestra es
grande o se sabe que la poblacin tiene una distribucin normal, la
estadstica de prueba es:
Diapositiva 52
Ejercicio 7: En un sistema educativo se aplicaron dos mtodos A
y B para ensear el curso de estadstica. En un grupo de 80
estudiantes se aplic el mtodo A y en otro de 120 se aplic el mtodo
B. Las medias de las calificaciones obtenidas fueron 13 y 13.5
respectivamente. Podemos admitir que los mtodos de enseanza no son
diferentes y que las diferencias encontradas en las muestras se
deben al azar? Experiencias anteriores dicen que las variables X 1
y X 2 que representan los rendimientos con los mtodos A y B,
respectivamente, tienen distribucin normal con varianza 3 y 3.5 y
=0.05
Diapositiva 53
Desarrollo Ejercicio 7: Ho se acepta, es decir que la
diferencia encontrada entre las medias de las muestras no es
significativa al nivel de significancia de 0.05. Z=-1.96Z=1.96
Diapositiva 54
Prueba de Hiptesis en dos poblaciones normales Caso B: Igualdad
de medias cuando las varianzas poblacionales son desconocidas e
iguales
Diapositiva 55
Ejercicio 8: Un investigador en el campo educativo sostiene que
el mdulo didctico empleado en la enseanza de Matemticas es uno de
los factores que influye y determina en el proceso de enseanza
aprendizaje y, por lo tanto, el mdulo adoptado incidir en el
rendimiento acadmico de los estudiantes. Para verificar su hiptesis
decide realizar el siguiente experimento: durante un semestre se
llev a cabo el trabajo lectivo en dos grupos independientes de
estudiantes de la misma carrera en la misma universidad, empleando
dos mtodos (A y B) de caractersticas bien diferenciadas, que fueron
seleccionados aleatoriamente. Al final del curso se aplic el mismo
examen y se obtuvo las siguiente notas:
Diapositiva 56
Mtodo A15161513 16 1417 Mtodo B1314 11121413 Suponiendo que las
muestra provienen de poblaciones normales con varianzas iguales,
los resultados encontrados por el profesor apoyan la hiptesis de
investigacin con nivel de significancia de 0.01
Diapositiva 57
Desarrollo Ejercicio 8: Ho se rechaza, es decir que la
diferencia encontrada entre las medias de las muestras es
significativa a un nivel de significancia de 0.05.
t=-2.947t=2.947
Diapositiva 58
Prueba de Hiptesis en dos poblaciones independientes Caso C:
Prueba de hiptesis para diferencia de proporciones
Diapositiva 59
Ejercicio 9:
Diapositiva 60
Pruebas de Hiptesis Otras pruebas paramtricas de Hiptesis
Prueba sobreHiptesis NulaSuposiciones Estadstico de Prueba La media
= 0 2 conocida Normal = 0 2 desconocida T Igualdad de medias = 2 2
= 2 conocidas Normal = 2 2 = 2 desconocidas T = 2 2 2 conocidas T
La varianza 2 = 2 dist. Normal, N pequeaJi 2 2 = 2 N grandeNormal
Igualdad de dos varianzas 2 = 2 F Una proporcinp = p 0 Normal
Igualdad de dos proporciones p 1 = p 2 Normal