ESTÁTICAProfesor: Carlos E. Joo G.
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECURAEscuela Profesional De Ingeniería Civil
UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS
1. Introducción: Conceptos de mecánica y reseña histórica
2. Repaso de vectores
3. Fuerzas concurrentes y equilibrio de una partícula
4. Resultantes de sistemas de fuerza.5. Fuerzas distribuidas
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Lic. Carlos E. Joo G. 2Estatica - 01
CLASE Nº3: RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA
RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA Producto cruz
Momento de una fuerza –formulación escalar Momento de una fuerza –formulación vectorialPrincipio de momentos. Teorema de Varignon.Momento de una fuerza con respecto a un eje
específico Momento de un par o cupla
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Lic. Carlos E. Joo G. 3Estatica - 01
El Producto vectorial o producto cruz es una operación matemática entre dos vectores ( A y B ) que genera un vector (
C ) perpendicular al plano que contiene a A y B
A x B = CEl modulo de C está dado por:
|C| = |A||B|senq
Con q el ángulo comprendido entre A y B
4.1. PRODUCTO CRUZ
A
B
A x B = C A y B son dos vectores que
pertenecen al plano XY
C
Regla de la mano derecha
x y
z
Relaciones de giro: ANTIHORARIO
B
A
A
B
B x A = - C
A y B son dos vectores que pertenecen al plano XY
Regla de la mano derecha
x y
z
C
Relaciones de giro: HORARIO
A
Bx y
z
C
Si este tornillo lo giramos a la derecha, el tornillo “baja”
Si el vector a lo giramos hacia b, entonces obtenemos el movimiento indicado con la flecha azul
Por el contrario, si giramos el vector b hacia a, obtenemos el movimiento indicado con la flecha verde
0 q
El tornillo y el producto cruz
La operación “virtual” de girar a hacia b, la denotaremos por a bY vamos a exigir que el vector resultante sea
ˆsenqa b = a b n
Donde es el vector unitario en la dirección del vector azul
n
a
bq
ˆsenq *b a = b a n
Si definimos b a entonces
Donde esta vez es el vector unitario obtenido en la dirección del vector verde.
*n
De tal forma que este producto no es conmutativo, y además
a b b a
0 q
a
bq
A
B
El producto del modulo de B y el modulo de la componente de A perpendicular a B, equivale al modulo del vector A x B
q
Acosq
Asenq
C = Asenq B
Una interpretación geométrica del producto cruz
A
B
q
El producto del modulo de A y el modulo de la componente de B perpendicular a A, equivale al modulo del vector A x B
Bcosq
Bsenq
C = Bsenq A
Una interpretación geométrica del producto cruz
Una interpretación geométrica del producto cruz
O
B
A
Ca b
a
b
qO A
CB
a
b senqb
a
El área del paralelogramo es
senq a b a b
El producto cruz corresponde a un vector normal al paralelogramo formado por a y b y de magnitud igual al área de dicho paralelogramo
a b
q
i j
k
En un sistema de orientación positiva, trivialmente se cumple lo siguiente
ˆˆ ˆj k i ˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j Y por lo demás, si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es el vector nulo.
Y es claro que a a 0¡cuidado, es el vector nulo, no el cero real!
Componentes Cartesianas: Vectores unitarios
Representación en componentes del vector a b
Sean a y b dos vectores no paralelos, con representación en componentes
1 2 3ˆˆ ˆa i a j a k a 1 2 3
ˆˆ ˆb i b j b k b
Una regla nemotécnica (es decir algo solo para recordar pero que no tiene ningún valor matemático) es como sigue
321
321
ˆˆˆ
bbbaaakji
ba
kbabajbabaibaba ˆˆˆ 122131132332 ba
4.2.MOMENTO DE UNA FUERZAEn mecánica newtoniana, se
denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.
El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición r=OA por el vector fuerza F; esto es
El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.La magnitud del momento esta dado por
Donde d es el brazo de palanca.El sentido del momento se determina mediante la regla de la
mano derecha (2).Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes,
el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.
MOMENTO DE UNA FUERZA
FrFOA
OM
FdrFseno qOM
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZAEl momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué
medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas
Ejemplo 4.1.Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con
respecto a los puntos (a) E y (b) S
Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN AMétodo escalar 1: determinación del brazo de palanca
Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN AMétodo escalar 2: descomposición de la fuerza respecto de r
Ejemplo 4.1.SOLUCIÓN B¿Qué método usamos?
Ejemplo 4.2.
Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 1068 N para que produzca el mismo momento respecto a O
Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es
La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha
in. 12lb 100
in. 1260cosin.24
O
O
Md
FdM
in lb 1200 OM
SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente
SOLUCIÓN
in. 8.20in. lb 1200
in. 8.20in. lb 1200
in. 8.2060sinin. 24
F
FFdM
d
O
lb 7.57F
Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces
SOLUCIÓN
in. 42in. lb 1200
in. 42in. lb 1200
F
FFdMO
lb 50F
Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo
SOLUCIÓN
in. 5cos60
in. 5lb 402
in. lb 1200lb 240in. lb 1200
OB
d
dFdMO
in. 10OB
El momento resultante MRo del sistema puede ser determinado sumando simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores momento son colineales. Esta suma vectorial puede escribirse en forma simbólica como
MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES
dFORM
Ejemplo 4.3.: Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la figura con respecto al punto O
4.3.COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO - FORMULACIÓN VECTORIAL
El momento de la fuerza respecto a O es
COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA
BABA
BA
rrrFr
BM
Ejemplo 4.3. La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por
un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C
El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial
SOLUCIÓN
SOLUCIÓNFrM ACA
kirrr ACAC
m 08.0m 3.0
kji
kji
rr
FFDC
DC
N 128N 69N 120m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
1289612008.003.0
kjiM A
Ejemplo 4.3.La torre tiene 100m de altura. La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y AD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.
TAC=79.59NTAD=89.86N
Ejemplos 4.4.
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.
El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.
El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL
0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA
El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es
El resultado es independiente del punto B
/
/
ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B
A B A B
M M r F
r r r
Ejemplo 4.5.
Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista AB.
(c) Con respecto a la diagonal AG
SOLUCIÓN• Moment of P about A,
jiPjiaM
jiPjiPP
jiajaiarPrM
A
AF
AFA
2
222
kjiaPM A
2
• Moment of P about AB,
kjiaPiMiM AAB
2
2aPM AB
La magnitud del momento respecto a AB es
SOLUCIÓN(c) La magnitud del momento respecto a AG es
1116
2312
31
3
aP
kjiaPkjiM
kjiaPM
kjia
kajaiarrMM
AG
A
GA
GA
AAG
6aPM AG
Ejemplo 4.6.
Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.
Ejemplo
La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza
Ejemplo 4.7.
La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB
Ejemplo 4.8.
Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.
FIN DE LA CLASE 03a: GRACIASLINKS: http://usuarios.multimania.es/pefeco/prodescalar/producto.htm
PROXIMA CLASE: PRACTICA DE EJERCICIOS Nº3
Estatica - 01
28/04/2023 12:53:21 a. m.
Lic. Carlos E. Joo G. 43
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