UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO
CABUDARE ESTADO LARA
INTEGRANTES: Héctor Peraza
TUTOR: Domingo Méndez
CONJUNTOSCONJUNTOS
• Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los
cuales se llaman Elementos.
• Se llama Conjunto Universal, el cual se denota por U, al
conjunto que contiene todos los elementos a considerar.
• Ejemplo:
• Considere el conjunto formado por todos los números naturales
menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A =
{1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N,
el conjunto formado por todos los números naturales.
• Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como
A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan
minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc.
• Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en
un círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.
• Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se lee
"x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se
escribe así: x є A la cual significa que x no está en A o no
pertenece a A.
Existen dos formas de determinar un conjunto:
Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno
a uno.
• Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}
• Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una
función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que
cumplen una condición dada.
Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18}
(Los números reales divisores de 18)
• Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo
cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un
elemento de B.
• Simbólicamente lo expresaremos como:
• A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )
• Ejemplo:
• A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto
formado por todos los Venezolanos
• Entonces, tenemos que todo elemento de A es también
elemento de B. Esta relación se simboliza por A B.
• TEOREMA:
• La relación de inclusión entre conjuntos es
•
• Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
• Antisimétrica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.
• Transitiva: A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
• DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido
propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B
si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.
• Ejemplo:
• Si A = { a,d,f,} y B = { a,b,c,d,e,f,h }
• Entonces A es subconjunto propio de B.
• Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o
conjunto partes de A como (A) = { X / X ⊂ A}, es decir, es el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
• Ejemplo:
• Si A = {x,y,z} entonces
• (A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}
CARACTERISTICAS:
La principal característica de este conjunto es que es un
conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de
elementos de (A), ya que si A tiene n elementos, entonces
(A) tiene 2n elementos.
• El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes
conserva la relación de inclusión:
• Teorema A ⊂ B Û (A) ⊂ (B)
• DEFINICION:
• Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:
• ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x є
A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es
subconjunto de todo conjunto A.
• REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO
• Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas
como veremos en el siguiente ejemplo.
• Ejemplo :
• Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación
tabular de AXB
• Solución
• AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
• Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son
iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {9,3,5,2,10} son
iguales.
• El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos
conjuntos son iguales.
• Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂
A
• Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión,
la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:
• (x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )
• Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el
conjunto:
• A U B = { x є U / x є A ^ X єB}
• Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
• Ejemplo:
• Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
• A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
A U A = A
A U U = U
A U Φ = A
A U B = B U A
Ejemplo:
Sea A = {a,b,c,d,e} B = {a,c,e,h,i,j,k}
La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e}
• Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
• A I A = A , ∀ A
• A I U = A , donde U es el conjunto universal
•
• A I Φ = Φ
•
• A I B = B I A
• Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia
entre A y B como el siguiente conjunto:
• A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los
elementos que están en A pero que no están en B.
• Ejemplo:
• Consideremos los conjuntos
• A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}
• Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-
4,6,8,10,18}
• TEOREMA:
• Sean A y B dos conjuntos luego:
• A - B = AI C(B)
• C(C(A)) = A
• A U C(A) = U
• A I C(A) = f
• C(U) = f
• C(f ) = U
• A Ì B Û C(B) Ì C(A)
(Leyes de Morgan para conjuntos)
• C(A U B) = C(A) I C(B)
• C(A I B) = C(A) U C(B)
• Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra
de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las
leyes del álgebra de conjuntos que veremos a
continuación:
• Leyes de Idempotencia
• A U A = A ⋂ A = A
• A
• Leyes Asociativas
• A U (B U C) = (A U B) U C
• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C
• Leyes Conmutativas • A U B = B U A • A ⋂ B = B ⋂ A
Leyes Distributivas • A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C) • A
• Leyes de Identidad • A U Φ = A ⋂ Φ = Φ• A Leyes de Dominación• A U U = U U: conjunto universal • A ⋂ U = A
Leyes de Complementación• A U C(A) = U • A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U • C (C(A)) = A • C (U) = • C
Leyes de De Morgan • C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B) • C(A)
• Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù b Î B}
• TEOREMA:• Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
• A x B = F Û A = F Ú B = F
• A x (B U C) = (A x B) U (A x C)• • A x (B I C) = (A x B) I (A x C)
• A x (B -C) = (A x B) - (A x C)
• Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de
conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un
conjunto.
• Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de
conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.
• Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de
X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
• Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir,
una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de
la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de
la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.
• Ejemplo:
• Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d,
f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
• Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.
• TEOREMA:
• Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:
• (B - A) = #B - #(A I B)
• #(A U B) = #A + #B - #(A I B)
• TEOREMA:
• Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces
• #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).
• Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana
cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos.
A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la
teoría de cardinalidad de conjuntos.