Date post: | 21-Nov-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | chad-pennington |
View: | 593 times |
Download: | 9 times |
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 1
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS Estructuras Estticamente Indeterminadas. Definicin Estructuras Estticamente indeterminadas, Equilibrio, Compatibilidad, Relacin Fuerza-Desplazamiento, Condiciones a Satisfacer en la resolucin de estructuras estticamente indeterminadas, Mtodos de generales de anlisis de estructuras estticamente indeterminadas.
2013
SECCION: V VIRTUAL
FACILITADOR: ING. LORENZO MANTILLA
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 1
INDICE.
INTRODUCCION -------------------------------------------------------------------- 2
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS ------------------------- 3
EQUILIBRIO ------------------------------------------------------------------------- 7
COMPATIBILIDAD ------------------------------------------------------------------ 11
RELACION FUERZA DESPLAZAMIENTO --------------------------------------- 15
CONDICIONES A SATISFACER ---------------------------------------------------- 16
METODOS GENERALES ------------------------------------------------------------- 19
CONCLUSION ------------------------------------------------------------------------- 31
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 2
INTRODUCCIN.
Las estructuras estticamente indeterminadas pueden estudiarse,
utilizando distintas teoras de deformaciones elsticas. Cualquier estructura
estticamente indeterminada puede convertirse en una estticamente
determinada y estable, al suprimir las ligaduras adicionales llamadas acciones
sobrantes o hiperestticas, o simplemente hiperestticas, esto es, aquellas
fuerzas que exceden del mnimo necesario para que la estructura este en
equilibrio esttico.
Las estructuras indeterminadas tienen ms reacciones en los apoyos o
miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad esttica, las
ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin
de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben
complementarse por medio de relaciones basadas en la configuracin
geomtrica de la deformacin de las estructuras.
Cuando una estructura tiene ms reacciones externa o fuerzas internas
que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la esttica, la
estructura es estticamente indeterminada o hiperesttica o contina
producir fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras
partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna
afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.
Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 3
Estructuras Estticamente indeterminadas.
En esttica, una estructura es hiperesttica o estticamente
indeterminada cuando est en equilibrio, pero las ecuaciones de la esttica
resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las
reacciones. [Una estructura en equilibrio estable que no es hiperesttica es
isosttica]. Existen diversas formas de hiperestaticidad:
Una estructura es internamente hiperesttica si las ecuaciones
de la esttica no son suficientes para determinar los esfuerzos
internos de la misma.
Una estructura es externamente hiperesttica si las ecuaciones
de la esttica no son suficientes para determinar fuerzas de
reaccin de la estructura al suelo o a otra estructura.
Una estructura es completamente hiperesttica si es internamente y
externamente hiperesttica. Este tipo de estructura tambin llamada
hiperesttica, se conoce como aquella que se encuentra en equilibrio,
destacando que las ecuaciones que expone la esttica no son suficientes para
saber las fuerzas externas y reacciones que posee, pero que necesita ms
elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresin de uno de
ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento
esttico; El grado de indeterminaciones es el nmero de reacciones
redundantes de la viga. Se determina restando el nmero de componentes
reactivas que puede colocarse por medio de la esttica, del nmero total de
componentes reactivas de la viga.
Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas.
Las losas de concreto, las vigas de apoyo, as como parte de las columnas
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 4
pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de
elemento a elemento estructural as como de claro a claro. Cuando se tienen
juntas de construccin, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto
para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse
posteriormente. Adems, el concreto viejo se limpia de manera que el nuevo
se adhiera a l tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las
estructuras de concreto reforzado son generalmente monolticas o continuas
y por ello estticamente indeterminadas.
Una estructura es hiperesttica cuando su Grado de Indeterminacin
es > 0. En ese caso el nmero de ecuaciones de equilibrio es menor que el
nmero de incgnitas estticas.
Una estructura hiperesttica tiene infinitas configuraciones
estticamente admisibles. Ser, por lo tanto, estticamente indeterminada
(para obtener la configuracin esttica real tendramos que consideras las
condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento).
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 5
Veremos que, en general, las estructuras de barras estn
estticamente indeterminadas. Se llaman entonces hiperestticas y para
resolverlas es necesario, imponer adicionalmente, condiciones de
compatibilidad sobre sus movimientos.
Si la estructura es articulada, sus barras trabajan a esfuerzo axial y
resolver la estructura consiste en hallar los valores de los axiales que actan
sobre las distintas barras. Si la estructura es hiperesttica, ser necesario
considerar explcitamente los movimientos de estos que, a su vez, debern
ser compatibles con los alargamientos o acortamientos que sufran las
diferentes barras concurrentes, por efecto del esfuerzo axial.
Si la estructura es reticulada, sus barras trabajan, en general, a flexin
compuesta y torsin, y resolver la estructura consiste en determinar las leyes
de momentos flectores, esfuerzos cortantes y axiales y, en su caso,
momentos torsores que actan sobre las distintas barras. Si la estructura es
hiperesttica, ser necesario considerar en a resolucin los movimientos
(desplazamiento y giros) de los nudos que, a su vez, debern ser compatibles
con las deformaciones que sufran las diferentes barras concurrentes en ellos.
La multiplicidad de esfuerzos que actan, en este tipo de estructura, hace
que este tipo de estructura, hace que este tipo de proceso sea mas complejo
que en las estructuras articuladas.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 6
En la figura se muestran dos ejemplos de estructuras hiperestticas.
En ambos casos, las incgnitas que implican las reacciones exteriores no
pueden determinarse utilizando solo las ecuaciones, ya que su nmero es
superior al de las ecuaciones.
Para el mtodo de anlisis de las estructuras hiperestticas es
necesario considerar conjuntamente las condiciones de equilibrio y
compatibilidad, dado el grado de indeterminacin esttica y cinemtica que
tienen estas estructuras, en el esquema de la figura se muestra como la
imposibilidad de resolver a priori la indeterminacin esttica, o bien la
cinemtica, produce un bucle cerrado en el cual es imposible proceder de
forma secuencial. Esta dificultad se resuelve de dos maneras alternativas,
dando lugar al mtodo de compatibilidad y al mtodo de equilibrio, que se
describen a continuacin.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 7
Equilibrio
Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero.
Se dice que un sistema material est en equilibrio cuando todas sus partculas
se encuentran en reposo, y permanecen en el mismo estado de reposo.
Para que se verifique el equilibrio y ste sea estable han de darse una
serie de condiciones, cuyo anlisis constituye el objeto de la esttica. sta
permitir analizar diversos tipos de problemas:
1. Para un sistema sometido a un conjunto de fuerzas dadas, establecer
la existencia de una o ms posibles configuraciones de equilibrio y
determinar stas.
2. Analizar la estabilidad de las posiciones de equilibrio. El concepto de
estabilidad consiste en garantizar si ante pequeas perturbaciones
respecto de la posicin de equilibrio se mantiene el movimiento
prximo a dicha configuracin, o si por el contrario se aleja
indefinidamente de la misma.
3. Para un sistema en una configuracin geomtrica determinada,
determinar las acciones necesarias (tanto en lo que respecta a fuerzas
activas como a reacciones) para el equilibrio y su estabilidad.
Las aplicaciones prcticas de la esttica en la ingeniera son muy
numerosas, siendo quiz la parte de la mecnica ms empleada. Esto es as
especialmente en la ingeniera civil y en el anlisis estructural: por lo general
las estructuras se disean para estar y permanecer en reposo bajo las cargas
de servicio estticas, o para que su movimiento bajo cargas dinmicas sea
pequeo y estable (vibraciones).
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 8
Mtodo de Equilibrio
El mtodo de equilibrio es un mtodo general de anlisis de
estructuras, ya que puede aplicarse tambin para resolver estructuras
isostticas, bsicamente, el mtodo consiste en identificar el nmero de
movimientos incgnita que determinan la deformacin de la estructura,
satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los
nudos de la estructura. El nmero de incgnitas del problema es, pues, igual
al grado de indeterminacin cinemtica del problema. De forma general,
estas son los giros y desplazamientos de los nudos, aunque consideraciones
adicionales de compatibilidad pueden reducir el nmero de incgnitas.
Es obvio que el hecho de elegir estas incgnitas implica liberar, en
principio, ciertas condiciones de equilibrio que deben satisfacerse en los
nudos de la estructura original. Imponiendo ahora las condiciones de
compatibilidad en las piezas individuales, estas estn cinematicamente
determinadas; por tanto, se pueden calcular, en funcin de las incgnitas
cinemticas, los esfuerzos que actan sobre las barras y, en particular, los
valores de estos en los extremos de las piezas. Entonces, se pueden imponer
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 9
a posteriori las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos
en que concurren diferentes barras y en los apoyos. Esto proporciona el
nmero de ecuaciones necesarias para resolver las incgnitas cinemticas.
Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura.
Este procedimiento de resolucin se muestra en el esquema de la
figura. Como se observa, el proceso secuencial consiste en, a partir de la
geometra de la estructura y de la definicin de las acciones:
1. Identificar el nmero mnimo de movimientos incgnita que
determinan la deformacin de la estructura, a base de considerar las
correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos.
2. Resolver las piezas individuales, en funcin de las incgnitas
cinemticas, a base de satisfacer las condiciones de compatibilidad en
las piezas.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 10
3. Determinar las incgnitas cinemticas, a base de imponer las
necesarias condiciones de equilibrio en los nudos.
4. Determinar los movimientos, esfuerzos y reacciones en la estructura.
Se puede decir que el mtodo de equilibrio resuelve el BUCLE de la
anterior figura a base de recorrerlo, en el sentido horario, en dos iteraciones,
una antes de determinar las incgnitas cinemticas y otra despus de haberlo
hecho.
El mtodo de equilibrio fue propuesto y utilizado por primera vez por
Axel Bendisen en 1.914. Recibe este nombre porque las ecuaciones que se
plantean para resolver el problema son ecuaciones de equilibrio. Se le conoce
tambin con los nombres de mtodo de los movimientos de los nudos, o
mtodo de rigidez, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones
que se plantean son de rigidez.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 11
Compatibilidad.
Establecen condiciones de congruencia geomtrica y se las conoce
tambin como relaciones cinemticas.
El mtodo de compatibilidad se basa en un planteamiento intuitivo y
fcil de entender. Bsicamente, consiste en transformar la estructura
hiperesttica en otra isosttica a base de suprimir los apoyos (o enlaces)
redundantes y sustituirlos por fuerzas (o esfuerzos) incgnita. El nmero de
incgnitas del problema es, pues, igual al grado de hiperestatismo del
problema.
Es obvio que el hecho de suprimir estos apoyos implica liberar, en
principio, ciertas condiciones de compatibilidad que debe satisfacer la
deformacin de la estructura original. A la estructura resultado de este
proceso se le llama isosttica base; sobre ella se pueden satisfacer las
necesarias condiciones de equilibrio a priori y, por lo tanto, puede ser
resuelta siguiendo el esquema de la figura que se mostrara a continuacin.
En particular, se podrn expresar los movimientos de la estructura en
funcin de las incgnitas hiperestticas. Por tanto, se pueden imponer a
posteriori las condiciones de compatibilidad, anteriormente liberadas. Esto
proporciona el nmero de ecuaciones necesarias para resolver las incgnitas
hiperestticas. Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura.
Este procedimiento de resolucin se muestra en el esquema de la
figura. Se observa que el proceso secuencial consiste en, a partir de la
geometra de la estructura y de la definicin de las acciones:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 12
1. Definir la estructura isosttica base, seleccionando las incgnitas
hiperestticas y liberando las correspondientes condiciones de
compatibilidad.
2. Resolver la estructura isosttica base, en funcin de las incgnitas
hiperestticas, y satisfaciendo las condiciones de equilibrio.
3. Determinar las incgnitas hiperestticas, imponiendo las necesarias
condiciones de compatibilidad.
4. Determinar las reacciones, esfuerzo y movimiento en las estructuras
hiperestticas original.
Se puede decir que el mtodo de compatibilidad resuelve el mismo
problema anterior a base de recorrerlo, en el sentido antihorario, en dos
iteraciones, una antes de determinar las incgnitas hiperestticas y otra
despus de haberlo hecho.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 13
El mtodo de compatibilidad fue propuesto y utilizado por primera vez
por Louis Navier en 1.826. Fue utilizado intensamente durante el siglo XIX, la
poca de expansin del ferrocarril, en el anlisis de arcos, vigas continuas y
estructuras articuladas hiperestticas. Recibe este nombre porque las
ecuaciones que se plantean para resolver este problema son ecuaciones de
compatibilidad. Se le conoce tambin con los nombres de mtodo de las
fuerzas, dado que las incgnitas hiperestticas seleccionadas para resolver el
problema son fuerzas o momentos hiperestticos, o mtodo de flexibilidad,
ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son
de flexibilidad.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 14
Relacin Fuerza Desplazamiento.
Esta relacin se definen como vectores quienes contienen
simultneamente fuerzas y desplazamientos. Si las fuerzas y los
correspondientes grados de libertad de un elemento se dividen en dos
grupos, representados por subndices s y f, para los apoyos o soportes y los
restantes grados de libertad respectivamente, la forma general de una
representacin mixta puede escribirse como:
Una forma de la relacin mixta fuerza-desplazamiento es la matriz de
transferencia, en la cual las fuerzas y los desplazamientos en el extremo de
un miembro {Ff Df} se transfieren al extremo opuesto {Fs Ds} mediante la
matriz [].
Es posible pasar de una formulacin en fuerza a una de
desplazamiento o a una mixta.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 15
Considrese por ejemplo la transformacin de rigidez a flexibilidad. Para
construir la matriz de flexibilidad se requiere que la estructura sea
estticamente determinada y estable. Ordenando el sistema de acuerdo con
la expresin anterior, la matriz de rigidez puede describirse en:
Otras formas de ecuaciones mixtas fuerza-desplazamientos pueden
derivarse directamente de la aplicacin de los conceptos bsicos de la
formulacin variacional. La formulacin mixta contiene campos de
desplazamiento y fuerza mezclados como incgnitas (e.g. energa de
Reissner, principios energticos mixtos, etc). Los principios variacionales
multicampo conducen directamente a formulaciones mixtas. El mtodo de
fuerza o de desplazamiento pueden tambin formularse por principios de la
energa potencial, energa complementaria. Estos conceptos slo se aplicarn
a la formulacin en desplazamientos. Por otro lado la formulacin mixta no
ser ms tratada, ya que no es frecuente en el anlisis de estructuras
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 16
convencionales (e.g. armaduras, marcos, parrillas) y generalmente se
presenta en textos sobre el mtodo de los elementos finitos.
Condiciones a Satisfacer en la resolucin de
estructuras estticamente indeterminadas.
Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar
las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas
internas en todos los puntos y las deformaciones.
Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de
equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en
nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones
procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de
ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la doble integracin o
trabajo virtual.
En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos
que solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad
de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes
constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los
mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las
relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben
cumplir en todo tipo de estructura.
La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el
proceso de solucin determina el mtodo. Por ejemplo, en el mtodo de las
fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de
deformaciones en el sentido de las redundantes y despus reemplazamos en
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 17
estas ecuaciones, los desplazamientos en funcin de las fuerzas redundantes,
quedando como incgnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que
aqu se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a
ser estticamente determinada, de ah debemos completar la solucin por
medio de las ecuaciones de equilibrio esttico. En conclusin, se plantean
tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este mtodo el
nmero de incgnitas es el nmero de redundantes, y las matrices a resolver
son de ese orden.
Las ventajas de las estructuras hiperestticas sobre las isostticas,
para tipologas similares sometidas a las mismas cargas, son principalmente,
tres:
1. Mayor rigidez: son ms rgidas aquellas estructuras en las que el
hiperestatismo introduce un mayor nmero de condiciones de
compatibilidad. As, una viga empotrada bajo carga lateral uniforme
exhibe flechas mucho menores que una viga doblemente apoyada
de la misma luz y con la misma carga. La condicin de giro nulo en
los apoyos resulta en una rigidez a flexin muy superior.
2. Ahorro de material: un nmero ms elevado de condiciones de
continuidad y equilibrio en los nudos suele conducir a una mejor
distribucin de las cargas y a leyes de esfuerzos con valores
mximos menores. As, una viga empotrada bajo carga lateral
uniforme soporta flectores (positivos y negativos) menores que los
que aparecen (siempre positivos) en una viga doblemente apoyada
de la misma luz y con la misma carga. Menores esfuerzos suelen
traducirse en ahorro de material al dimensionar adecuadamente las
piezas.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 18
3. Mayor seguridad: el hecho de ser hiperesttica le proporciona a la
estructura una reserva de resistencia y una relativa capacidad de
redistribucin de esfuerzos en situaciones excepcionales. As, si una
viga empotrada bajo carga lateral uniforme sufre un grado de
figuracin que llega a partirla en dos partes, cada una de estas es
isosttica y mantiene su capacidad de soportar cargas. Si le ocurre
lo mismo a una viga doblemente apoyada, la pieza se convierte en
dos mecanismos separados y colapsa.
Mtodos generales de anlisis de estructuras
estticamente indeterminadas.
Sin importar si una estructura es estticamente determinada o
indeterminada, su anlisis completo requiere el uso de tres tipos de
relaciones:
1. Ecuaciones de Equilibrio.
2. Condiciones de Compatibilidad.
3. Relaciones de fuerza. Deformacin de los miembros.
.- Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actan sobre la
estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa as como
sus partes permanezcan en equilibrio.
.- Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la
estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 19
.- Las relaciones de fuerza - deformacin en los miembros, las cuales
comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones
transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario
entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.
En el anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas, las
ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin
de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario
resolver las ecuaciones de equilibrio en conjuncin con las de condiciones de
compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de
que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las
condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como
incgnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformacin de los miembros
para expresar las fuerzas desconocidas en trminos de los desplazamientos
desconocidos o viceversa.
Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo
contiene un tipo de incgnitas, para las fuerzas o desplazamientos
desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones
fundamentes para determinar las caractersticas restantes de respuestas de la
estructura.
Mtodos de anlisis
Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos mtodos
para analizar las estructuras estticamente indeterminadas. Estos mtodos se
pueden clasificar en trminos generales en dos categoras, a saber:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 20
Los mtodos de las fuerzas (flexibilidad).
Los mtodos de los desplazamientos (rigidez).
Dependiendo del tipo de incgnitas (fuerza o desplazamiento,
respectivamente) que intervengan en la solucin de las ecuaciones que rigen.
El objetivo del anlisis estructural es a partir de una estructura con
caractersticas geomtricas y mecnicas conocidas, sometidas a acciones
(cargas o deformaciones impuestas), determinar los desplazamientos
(translaciones y/o rotaciones) de todos sus puntos, los esfuerzos internos y
las reacciones de apoyo. Este anlisis es clasificado como lineal, cuando la
estructura tiene comportamiento lineal, es no lineal en caso contrario. Para
que una estructura tenga comportamiento lineal, ella debe sufrir pequeos
desplazamientos y deformaciones especficas y su material debe ser elstico
lineal (validad de la ley de Hooke). Esto permite la aplicacin del principio de
la superposicin de los efectos.
Este tipo de estructuras no pueden ser analizadas nicamente
mediante las ecuaciones de la esttica o de equilibrio, ya que stas ltimas
proporcionan un nmero insuficiente de ecuaciones. Los problemas
hiperestticos requieren condiciones adicionales usualmente
llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos
internos y desplazamientos de puntos de la estructura.
Existen varios mtodos generales que pueden proporcionar estas
ecuaciones:
Mtodo matricial de la rigidez
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 21
Es un mtodo de clculo aplicable a estructuras hiperestticas de
barras que se comportan de forma elstica y lineal. El mtodo matricial se
basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver
las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador.
El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objeto
matemtico, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de
un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas
exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las
componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a
desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas
nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura,
mediante la siguiente ecuacin:
(1)
Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas
exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestticas
inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales
incgnita de la estructura y el nmero de grados de libertad de la
estructura.
La energa de deformacin elstica tambin puede expresarse en trminos de
la matriz de rigidez mediante la relacin:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 22
Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser
simtrica y por tanto:
Teoremas de Castigliano
Primer teorema de Castigliano
Sea un cuerpo elstico sobre el que actan el conjunto de
fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del slido A1,...,An y
llamamos a la energa potencial elstica o potencial
interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en
la direccin de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene
dada por:
Segundo teorema de Castigliano
Sea un cuerpo elstico sobre el que actan un conjunto de
fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del slido A1,...,An y
llamamos a la energa potencial elstica o potencial interno.
Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- i del punto Ai proyectado
sobre la direccin de Pi viene dada por:
Teoremas de Mohr
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 23
Los teoremas de Mohr, describen la relacin entre el momento
flector y las deformaciones que ste produce sobre una estructura, permiten
calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son mtodos de
clculo vlidos para estructuras isostticas e hiperestticas regidas por un
comportamiento elstico del material.
Primer teorema de Mohr: variaciones angulares
El ngulo que hay comprendido entre dos tangentes en dos puntos
cualesquiera A y B de la curva elstica plana, es igual al rea total del trozo
correspondiente del diagrama de momentos reducidos:
(1)
Donde los ngulos deben expresarse en radianes. El teorema de Mohr dice
que el giro de un punto de una elstica (la deformada) respecto de otro
punto de la elstica, se puede obtener mediante el rea de momentos
flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexin "EI".
Deduccin
Esta frmula puede ser obtenida directamente integrando la ecuacin de la
curva elstica linealizada:
Teniendo en cuenta que las derivadas de la flecha transversal al eje pueden
coincidir aproximadamente con los ngulos girados por la seccin, la ecuacin
anterior nos lleva que:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 24
Expresin no linealizada
El "primer teorema de Mohr" en realidad proporciona una expresin
aproximada para pequeos desplazamientos. Si se considera la expresin
completa de la elstica (no-linealizada) el primer teorema de Mohr resultara:
(1b)
Para probar esta expresin se procede igual que antes, integrando la
expresin de la curva elstica, considerando esta vez la expresin completa:
Teniendo en cuenta ahora que:
De la cual se deduce trivialmente la expresin (1b)
Segundo teorema de Mohr: flechas
Dados dos puntos A y B pertenecientes a una lnea elstica, y dada una recta
vertical que pasa por la abscisa de A, la distancia vertical entre la curva
elstica en A y la interseccin de la tangente que pasa por B y la recta
vertical anterior es igual al momento esttico con respecto a A del rea de
momentos reducidos comprendida entre A y B:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 25
(2)
El momento esttico recientemente mencionado puede calcularse en forma
muy simple multiplicando el rea total del diagrama de momentos reducidos
comprendida entre A y B por la distancia entre A y su centro de gravedad.
Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse
en figuras elementales tales como rectngulos, tringulos, parbolas, etc., el
momento esttico total resultara ser la suma de los correspondientes a cada
una de las figuras elementales.
Deduccin
Existen muchas deducciones diferentes basadas en principios fsicos. Sin
embargo, realmente el segundo teorema de Mohr puede considerarse un
caso particular de desarrollo de Taylor hasta primer orden con residuo en
forma integral. Si aproximamos la flecha o desplazamiento transversal al eje
de la viga mediante el teorema de Taylor obtenemos:
Reescribiendo las derivadas segundas en trminos de la curva elstica y las
derivadas primeras en trminos de giros angulares:
Se tiene que:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 26
E interpretando geomtricamente los trminos se aprecia que la diferencia
entre el descenso en A y el punto de corte de la tangente en B al cruzar la
vertical a es precisamente :
Que es precisamente la expresin (2).
Teorema de los tres momentos
El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relacin
deducida de la teora de flexin de vigas y usada en anlisis estructural para
resolver ciertos problemas de flexin hiperesttica. La resolucin de las
ecuaciones de compatibilidad del Mtodo de las Fuerzas para vigas continuas
se simplifica notoriamente eligiendo como la estructura isosttica
fundamental al conjunto de vigas simplemente apoyadas obtenidas
introduciendo articulaciones en los apoyos.
De esta forma, se obtiene una secuencia repetitiva que facilita el clculo de
coeficientes de la matriz de flexibilidad, ya que es posible deducir una forma
general de los mismos que no requiere resolver explcitamente las integrales
involucradas en su formulacin.
Eligiendo como incgnitas hiperestticas a los momentos flectores sobre los
apoyos, las ecuaciones de compatibilidad establecen que el "giro relativo"
entre los extremos de las barras que concurren a la articulacin es nulo (para
mantener la continuidad elstica).
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 27
Resulta importante remarcar que este mtodo es una forma particular del Mtodo de las Fuerzas, en la que las ecuaciones de compatibilidad se plantean de una manera sistemtica eligiendo como incgnitas hiperestticas i M a los momentos flectores sobre los apoyos. La ecuacin de compatibilidad para el giro en el apoyo "i" resulta:
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 28
Mtodo de cross
El Mtodo de redistribucin de momentos o mtodo de Cross es un
mtodo de anlisis estructural para vigas estticamente indeterminadas y
marcos/prticos planos, desarrollado por Hardy Cross. El mtodo slo calcula
el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiale y cortantes, lo
cual es suficiente para fines prcticos en barras esbeltas.
Implementacin
En disposicin de aplicar el mtodo de redistribucin de momentos para
analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 29
Momentos de empotramiento en extremos fijos
Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos
al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas.
Rigidez a la Flexin
La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto
del mdulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de rea, tambin
conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del
miembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es
el valor exacto pero es la Razn aritmtica de rigidez de flexin de todos los
miembros.
Coeficientes de reparto
Los factores de distribucin pueden ser definidos como las proporciones de
los momentos no equilibrados llevados por cada uno de los miembros.
Coeficientes de transmisin
Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del
miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razn de momento
acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del
extremo inicial es el coeficiente de transmisin.
-Valores tpicos:
0,5 para nodos sin empotramiento
0 para nodos empotrados
Convencin de signos
Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto
difiere de la [convencin de signos] usual en ingeniera, la cual emplea un
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 30
sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje
positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z
siendo antihorarios.
Estructuras de marcos
Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el
mtodo de distribucin de momentos.
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 31
CONCLUSION.
Queda demostrado en lo visto en este trabajo que las estructuras
hiperestticas son ms complejas de analizar que las estructuras isostticas,
y tanto ms cuanto mayor sea su grado de hiperestatismo y/o su grado de
traslacionalidad.
Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar
las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas
internas en todos los puntos y las deformaciones.
La principal desventaja de las estructuras hiperestticas frente a las
isostticas consiste en su imposibilidad de adaptarse, sin generar esfuerzos y
tensiones, a movimientos y deformaciones impuestos. Cuando este tipo de
acciones es previsible, debe contemplarse con cuidado el grado de
indeterminacin esttica y cinemtica de las estructuras que se proyectan.
Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de
equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en
nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones
procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de
ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la doble integracin o
trabajo virtual.
En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos
que solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad
de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes
constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los
mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las
ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS
ESTRUCTURA II Pgina 32
relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben
cumplir en todo tipo de estructura.