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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 11 – 08 – 2012
Nº 05- CIRCUNFERENCIA
I. CIRCUNFERENCIA – CONCEPTOSBÁSICOS
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, dichos
puntos equidistan de un punto interior llamado
CENTRO. La distancia de un punto cualquiera de la
circunferencia al centro se denomina RADIO.
OA B
E
F
C
T
ELEMENTOSCentro: ORadio : ROB Diámetro: R2ABCuerda: BCFlecha: EFArcos: AC, CE …
Cuadrante: BOT
Longitud: 2R
01. PROPIEDADES
1. 2.
A
B
C
D
A
B C
D
Si: AB // CD Si: AB = CD
3. 4.A
R
aM a
o
P
B
1
R
o
T
L
R
Si: R AB Si: “T” es punto AM = MB de tangencia
( MP : flecha) R L1
5. 6.
A
P
t
B
t
AP
B
o
R
Si: A y B son punto Si: PA y PB sonde tangencia tangentes PA = PB PO : bisectriz
7. TRIÁNGULO DE PITHOT
n
ba
m
a+b=m+ n
8. TRIÁNGULO DE PONCELET
R
a+b = c+2R
ba
c
II. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Ángulo Central
Ejm:
x = .....
O x
x =
80º
xO
mAB mCDmAC mBC
2. Ángulo InscritoEjm:
x = .....
x
2x=
x100º
3. Ángulo Semi – inscrito
x = .....
240º
2x=
x
Tx
T
4. Ángulo Interior
x = .....
80º
2x=
x
x
60º
5. Ángulo Exterior
2
x=
x
x60º
100º
x = .........
x30º
120º
x = .........
T
6. IMPORTANTE:
tx
t
x+ =180º
III. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE ENUNA CIRCUNFERENCIA:
Un cuadrilátero será inscriptible si cumple por lo menosuna de las siguientes condiciones:
1. Que la suma de las medidas de los ángulos internosopuestos sea 180°.
Es decir:
B
A D
C
Si, + = 180°, entonces el ABCD es inscriptible.
2. Que la medida de un ángulo interior sea igual a lamedida del ángulo exterior opuesto.
Es decir:
B
A D
C
Si, = , entonces ABCD es inscriptible.
3. Que las medidas de los ángulos determinados por lasdiagonales con los lados opuestos sean de igualmedida.
Es decir:
B
A D
C
Si, = , entonces el ABCD es inscriptible.
Circunferencia - Propiedades
01. En una circunferencia de 20 cm de
diámetro, la longitud de la cuerda que limita un arco
de 60°, en cm, es:
[CEPUNT – 09 – I]a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
02. Se da una circunferencia inscrita a un
triángulo rectángulo cuyos lados miden 18 cm, 24 cm
y 30 cm. El diámetro de dicha circunferencia, en cm,
es:
[CEPUNT – 09 – I]a) 12 b) 15 c) 16
d) 18 e) 20
03. Sobre una circunferencia se toman tres puntos A, B y
C tal que AB=BC=15m y AC=24m. Entonces la
longitud de la circunferencia, en metro, es:
[UNT – 11 – I]a) 20 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
04. Si en una circunferencia, se observa que dos cuerdas
PQ y RS se cortan perpendicularmente en un punto
M de modo que: PM = MS = 21m y RM = MQ =
3m entonces el radio de dicha circunferencia, en
metros es:
[Cepunt – 11 – I]
a) 10 b) 15 c) 18
d) 20 e) 25
05. Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABC,
se trazan circunferencias tangentes dos a dos. Si AB =
5, AC =7 y BC =8, entonces el radio de la
circunferencia menor es:
[UNT – 11 – II]a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0
d) 2,5 e) 4,0
06. En la figura mostrada, si AC = 26 y BC = 22, halle
R, siendo “T” punto de tangencia y “=” el centro
a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 15
07. En la figura
10;11;8 CDBCAB =10 y O es el centro de
la circunferencia. Si 5AO , entonces el inradio del
triángulo AMO es:
[UNT – 10 – I]a) 9 b) 7 c) 5
d) 3 e) 1
Ángulos en la circunferencia
08. Calcular “x”
a) 60º
b) 80º
c) 70º
d) 30º
e) 40º
09. Del gráfico, calcule m APB
40°
BP
AO
a) 80° b) 100° c) 120°
d) 150° e) 160°
10. En el gráfico, calcular “x”.
P
Qx
R50°
a) 20° b) 25° c) 30°
d) 35° e) 40°
11. En el gráfico, calcule m PQB
A50°
P
O B
Q
a) 100° b) 150° c) 160°
d) 200° e) 180°
120º
140º
x
12. En el gráfico calcule la m AB.
A
B
50°
a) 20° b) 30° c) 45°d) 40° e) 50°
13. Halle el valor de “x” en la figura siguiente:
a) 45° b) 36° c) 30°
d) 27° e) 18°
14. Según el gráfico, calcular arcoAB (P, Q y T sonpuntos de tangencia)
a) 140º
b) 150º
c) 180º
d) 160º
e) 135º
15. Según el gráfico, calcular “x”. Si O’ y P son puntosde tangencia.
a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 40
16. Según el gráfico el valor de “x” si arco AB =arcoBC.
a) 35 b) 45 c) 55d) 65 e) 75º
17. Según la figura mostrada. Calcular el arcoQP si:arcoDE = 80º
a) 80b) 160c) 150d) 75e) 185
18. Hallar “x”.
a) 100º b) 120º c) 140º
d) 150º e) 160º
19. Hallar “x”, si 1 2L // L
A) 15º
B) 18º
C) 20º
D) 22º30’
E) 30º
Cuadrilátero inscriptible
20. En la figura calcular “x”
a) 1 b) 2º c) 3°d) 5 e) 6°
21. En la figura calcular “x”
a) 14°b) 28°c) 32°d) 62°e) 24°
22. Calcular mCAB en:
a) 27º b) 28º c) 30ºd) 31º e) 32º
23. Del gráfico, calcular “x” em función de “”
a) 90º- b) 60º + c) 90º + d) 45º + e)
24. En la figura el valor de “a” es:
a) 10º
b) 15º
c) 22º30’
d) 37º
e) 30º
25. En la figura, calcular “x” siendo UNCP un cuadrado.
a) 15º b) 30º c) 40ºd) 45º e) 90º
26. En la figura, calcular “x”
a) 25º b) 27º c) 30º
d) 36º e) 45º
27. En la figura mostrada, calcular “”
a) 9º b) 10º c) 12ºd) 15º e) 18º
Tarea domiciliaria
1. En el trapecio rectangular ABCD, recto en A y B,
DT = 8cm y CT = 2 cm, el perímetro de dicho
trapecio, en centímetros, es:
[UNT – 11 – II]a) 16 b) 18 c) 36
d) 27 e) 30
2. De la figura mostrada, calcule “x”
a) 70º
b) 110º
c) 140º
d) 100º
e) 105º
3. Según la figura arcoBAD = 12m ABN. Calcular
m BCD.
a) 100ºb) 110ºc) 135ºd) 140ºe) 144º
4. Según el gráfico r = 20 y arco OA = 74º.
Calcular AB. (T es punto de tangencia)
a) 16 b) 17 c) 32d) 35 e) 36
5. Hallar “R”, si AB = BC = 6 cm.
A) 3 cm B) 3 cm C) 4 3 cm
D) 6 cm E) 3 3 cm
6. Hallar “x”, si: m AB = 80º.
a) 20º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 80º
7. Hallar AE, si m CDF = m FDB y AD = 5cm
a) 2cm
b) 3cm
c) 5cm
d) 7cm
e) 12cm
8. En la figura mostrada AB = r. Hallar la relación
correcta.
a) b c
d e
9. En la figura: Calcular “x”.
a) 60º
b) 80º
c) 50º
d) 30º
e) 40º
10. En el gráfico calcular “x”; si
m AB = mBC = mCP
a) 120º
b) 130º
c) 140º
d) 150º
e) 160º
11. Si m AP = mPQ = mQB y AO =2 3 .
Hallar PR.
a) 3
b) 3 /2
c) 2
d) 3
e) 1
12. En la figura m a – m c = 40º, m y n son puntos
medios de los arcos, hallar x.
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 50º
e) 90º
13. Hallar R. Si: CH = 5u y CE = 4u.
a) 7u
b) 8u
c) 9u
d) 10u
e) 12u
14. Hallar xº.
a) 40ºb) 50ºc) 60ºd) 72ºe) 45º
15. Hallar xº.
a) 60ºb) 80ºc) 70ºd) 50ºe) 40º
16. Hallar xº, si: m AB = 40º
a) 50ºb) 60ºc) 70ºd) 80ºe) 65º
17. Calcular “x” si AB=BC y m FDC=
a) 90º+ b) 60º + c) 90º - d) 45º + e)
18. Calcular “x” en
a) 10º b) 20º c) 30ºd) 50º e) 80º
19. En la figura “O” ES centro, T es un punto de tangencia y
m
TC = 40º. Calcule “x”
a) 60º b) 65º c) 70º
d) 75º e) 80º
20. En el cuadrado ABCD, P y Q son puntos de tangencia.Hallar mPCH
a) 10º b) 15º c) 22º30’
d) 37º e) 30º