Sea (h , k) un punto distinto del origen del plano cartesiano.
Para deducir la ecuación de una parábola con vértice en (h, k,), se consideran dos casos: la parábola con eje de simetría paralelo al eje x y la parábola con eje de simetría paralelo al eje y
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (H,K)
Sea P la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (h,k) y eje paralelo al eje x. Entonces, las coordenadas del foco son: F (h + p , k) .
Además, la directriz esta dada por x= h – p y la ecuación del eje de simetría es y = k .
Como se muestra en la figura anterior
Ahora, si P (x , y) es un punto a la parábola, entonces su proyección sobre la directriz, es de la forma M ( h – p , y) . Luego,
d ( M,P) = √ [ x – (h – p) ]² + (y – y)² = √ (x – h + p)² = x – h + p
Y ,por definición de la parábola, se tiene que:
d(P,F) = d(M,P)
Esta formula se utiliza para la parábola que va hacia los lados: ( y – k )² = 4p ( x – h) Para hallar el foco:F = (h + p , k)Para hallar la directriz:X = h – p
Si p>0 La parábola se abre hacia la derecha
Si p>0 = La parábola se abre hacia la izquierda
FORMULA PARA EL EJE X EN EL VÉRTICE (H,K)
EJEMPLO
• Encontrar la ecuación canónica de la parábola que cumple las condiciones dadas
• Vértice en (-3,4) y foco en (-5,4)• Vértice en (2,-3) y pasa por el punto (5
soluciónV = (-3,4) y F= (-5,4)
Hallamos P P= (5,) -5 – (-3)= -2
Reemplazamos en la formula el valor para encontrar la ecuación de la parábola.
(y-k)² = 4P (x-h)
(y-4) ² = 4(-2) (x(-3))
(y-4) ² = -8 (x+3)
Y así obtenemos la ecuación canónica cuyo eje de simetría es paralelo al eje x
Sea p la distancia del vértice del foco de una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje y, entonces, el foco es el punto F (h, k + p).
Como la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es y = k – p . Además, la ecuación del eje de simetría es x = h .
Como lo muestra la figura anterior
La ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje y vértice en (h , k) es:
(x – h)² = 4p (y – k)
Donde p es la distancia del vértice del foco y LR =4p
La ecuación (x – h)² = 4p(y – k) representa una parábola que :
Se abre hacia arriba si p > 0
Se abre hacia abajo si p < 0
Esta formula se utiliza para la parábola que va hacia arriba y hacia abajo (x – h)² = 4p (y – k)² Para hallar el foco:(h , k + p)Para hallar la directriz:Y = k - p
Formula para el eje y en el vértice (H, K)
EJEMPLO
• Dada la ecuación de la parábola (x + 1) ² = 16 (y – 3) . Encuentra sus elementos dados Foco,Vertie,Directriz,Eje de simetría, Lado Recto, Ecuación general y grafica
COMPROMISOCOMPROMISO
• Determinar la ecuación de la parábola y graficarla
Foco (-1,3) Vértice (-1,-4)