UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA

Área de la Energía, de las Industrias y de los Recursos Naturales No Renovables

Ingeniería Electrónica y

Telecomunicaciones

TEMA: TEOREMA DE CHEBYSHEV

VI Módulo

INTEGRANTES: Gilda Alvarado

Leonel Armijos

Katherine Minga

Santiago Ramírez

Juan Carlos Torres

DOCENTE:

Ing. Juan Pablo Cabrera

Loja – Ecuador

TEOREMA DE CHEBYSHEVBIOGRAFÍA

Pafnuty Lvovich Chebyshev nació el 16 de Mayo de 1821 al oeste de Rusia fue un célebre matemático del siglo XIX. A Chebyshev se le reconoce como el creador de la escuela matemática de San Petersburgo cuyo eco e influencia ha llegado hasta nuestro tiempo en muchas ramas de la matemática. Los méritos de Chebyshev fueron debidamente reconocidos en su tiempo.

A efectos de un resumen podemos clasificar los trabajos matemáticos de Chebyshev en las cuatro ramas siguientes: Mecanismos y Teoría de la Aproximación de Funciones, Teoría de los Números, Teoría de Probabilidades y Teoría de Integración. Sin embargo escribió acerca de muchos otros temas.

La Teoría de Probabilidades: Chebyshev se dedicó desde su juventud a la teoría de probabilidades siendo el objeto de su primera tesis. Escribió en total cuatro trabajos sobre teoría de probabilidades, en los años 1845, 1846, 1867 y 1887; según el reconocimiento universal, estos trabajos llevaron la teoría de probabilidades nuevamente al rango de ciencia matemática y sirvieron de base para la creación de toda una escuela matemática. Es sabido que se le atribuyen las leyes principales de esta teoría, como la ley de los grandes números y el teorema central del límite, aunque quizás su contribución más conocida a la teoría de la probabilidad es el llamado Teorema de Chebyshev

El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones estándar de su media para cualquier número real κ.

DEFINICIÓN

Sea X una variable aleatoria discreta con media μ y varianza σ 2, entonces la probabilidad que X tome un valor dentro de k desviaciones estándar σde su media μ

es al menos 1−1

k2:

P (μ−kσ <X<μ+kσ ) ≥1− 1k2

donde , k∈ R+, k ≥1

IFig.1. Imagen de Lvovich Chebyshev

Fig.1 Distribución estadística para demostrar el teorema de Chebyshev

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria ya sea continua o discreta en un intervalo alrededor de la media, independiente de su función de probabilidad. El valor que se obtiene es únicamente de referencia.

El teorema de Chevychev permite inferir la proporción de valores que deben quedar dentro de una cantidad especifica de desviaciones estandar respecto a la media.

Cuando menos (1− 1

k 2 )de los datos debe estar a menos de k desviaciones estandar de

separación respecto a la media, siendo k cualquier valor mayor que 1.

El este teorema se especifica el porcentaje mínimo de observaciones que caerán dentro de un número determinado de desviaciones estándar a partir de la media, independientemente de la forma de la distribución. El teorema se aplica a cualquier distribución, sin tomar en cuenta su forma.

DEMOSTRACIÓN:

PARA UNA VARIABLE DISCRETA:

Separamos el dominio de la variable aleatoria X en tres regiones R1, R2, R3:

Con la definición de varianza:

σ 2=E [ ( X−μ )2 ]

σ 2=∑x

( X−μ )2 f ( x )

σ 2=∑R1

( X−μ )2 f ( x )+∑R2

( X−μ )2 f ( x )+∑R3

( X−μ )2 f ( x )

Entonces:

Se suprime un término positivo:

σ 2>∑R1

( X−μ )2 f ( x )+∑R3

( X−μ )2 f ( x )

En R1: X ≤ μ−kσ⇒ X−μ ≤−kσ⇒−( X−μ )≥ kσ⇒(X−μ)2≥ k2σ2

En R3: X ≥ μ+kσ⇒ X−μ ≥ kσ⇒( X−μ)2≥ k2σ 2

Al sustituir en las sumatorias, se mantiene la desigualdad:

σ 2>∑R1

k2σ2 f ( x )+∑R3

k2σ2 f ( x )

De donde se obtiene simplificando:

σ 2>k2σ2¿

1

k2>∑

R1

f ( x )+∑R3

f ( x )

Las sumas son valores de probabilidad:

R1 R2 R3X

μ−kσ μ+kσ

1

k2>P ( X ≤ ( μ−kσ ) v X ≤ (μ+kσ ) ) ,

Tomando el complemento de probabilidad:

1− 1

k2≤ P ( ( μ−kσ )<X< (μ+kσ )) ,

PARA UNA VARIABLE CONTINUA:

Con la definición de varianza:

σ 2=E [ ( X−μ )2 ]

σ 2=∫−∞

∞

(x−μ )2 f (x ) dx

σ 2= ∫−∞

μ−kσ

( x−μ )2 f ( x ) dx+¿ ∫μ−kσ

μ+ kσ

(x−μ )2 f (x ) dx+¿ ∫μ+kσ

∞

( x−μ )2 f ( x ) dx¿¿

σ 2≥ ∫−∞

μ−kσ

( x−μ )2 f ( x ) dx+¿ ∫μ+kσ

∞

( x−μ )2 f ( x ) dx¿

Debido a que la segunda de las tres integrales es no negativa. Ahora bien como |X−μ|≥ kσ para cualquier x≥ μ+kσ o x≤ μ−kσ , tenemos que

(X−μ)2≥ k2σ2

En ambas integrales restantes, se sigue que:

σ 2≥ ∫−∞

μ−kσ

k2σ2 f (x ) dx+¿ ∫μ+kσ

∞

k 2σ 2 f ( x ) dx¿

σ 2≥ k2σ2 ¿

1k2

≥ ∫−∞

μ−kσ

f ( x )dx+¿ ∫μ+kσ

∞

f ( x ) dx ¿

De aquí:

P (μ−kσ <X<μ+kσ )= ∫μ−kσ

μ+kσ

f ( x ) dx≥1− 1k 2

Con lo que el teorema queda establecido

EJERCICIOS:

Como ejemplos de aplicación:

1) Suponga, que las calificaciones del examen parcial de 100 alumnos en un curso de estadistica para la administracion tuvieron un promedio de 70 y una desviacion estandar de 5. ¿Cuántos alumnos tuvieron calificaciones entre 60 y 80? ¿Cuántos entre 58 y 82?

Para las calificaciones de 60 y 80 vemos que el valor 60 esta a dos desviaciones estandar abajo del promedio, y que el valor y que el valor 80 a dos desviaciones estandar arriba. Al aplicar el teorema de Chevishef, cuando menos el 0.75 o 75% de las observaciones deben tener valores menores de dos desviaciones estandar del promedio. Así, cuando menos 75 de lso 100 alumnos deben haber obtenido calificaciones entre 60 y 80.Para las calificaciones entre 58 y 82, (58-70)/5= -2.4 indica que 58 esta a 2.4 desviaciones estandar abajo del promedio, y que (82-70)/5=+2.4 indique que 82 está a 2.4 desviaciones estandar arriba del promedio. Aplicamos el teorema de Chevyshev con z=2.4 y obtenemos

(1− 1

k 2 )=[1− 1

(2.4 )2 ]=0.826Cuando menos 82.6 % de los alumnos deben tener calificaciones entre 58 y 82.

2) El número de periódicos vendidos diariamente en un quiosco es una variable aleatoria de media 200 y desviación típica 10. ¿cuántos ejemplares diarios debe encargar el quiosquero para tener seguridad de al menos un 99% de no quedarse sin existencias?

Particularizando la expresión extendida del teorema de Chebyshev,

P (200−k⋅10<x<200+k⋅10 )≥1− 1

k2

para tener la seguridad de al menos el 99% k=10, por tanto,

P (200−100< x<200+100 )≥1− 1100

Rresultando el intervalo (100<x<300) luego 300 (extremo superior) son los periódicos que garantizan no quedarse sin existencia con al menos un 99% de probabilidad.

APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

El teorema es aplicable incluso en distribuciones que nos tienen forma de “curva de campana “y acotada la cantidad de datos que están o no” en medio”

Teorema: Sea X una variable aleatoria de media µ y varianza finita σ 2 Entonces para todos número real k>0,

En otra palabra la desigualdad de Chebyshev nos dice que la varianza es una medida de dispersión de los valores de X alrededor de su valor esperado.

Dentro de las principales aplicaciones de la desigualdad de Chebyshev, podemos mencionar las siguientes:

Calculo de cotas para probabilidades, la cual es importante cuando es difícil dar un valor exacto de la probabilidad

Teoremas limite en probabilidad Cálculo de tamaño de muestra en la aproximación de la media de una población

Acotamiento de Probabilidades

Esta aplicación es la más directa, y se utiliza para dar una cota superior para P (|X−μ|≥ k ) donde k>0, usando la esperanza y varianza de la variable aleatoria X, isn necesidad de conocer su distribución.

A continuación se presenta un ejemplo, para ilustrar mejor esta aplicación.

Ejemplo:

Supongamos que le número de artículos produciendo en una fábrica durante una semana es una variable aleatoria con media 50. Si la varianza de una semana de producción se sabe que es igual a 225, entonces ¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que es esta semana la producción difiere en más de 10 a la medida?

Solución

Por la desigualdad de Chebyshev

P (|X−μ|≥10 )≤ Var ( X )102

=14

Entonces la probabilidad de que en la semana de producción el número de artículo exceda en más de 10 a la medida es a lo más de 0.25

Teoremas Límite

La desigualdad de Chebyshev juega un papel muy importante en la demostración de algunos de los más importantes teoremas límite.

Sean X BN 1 , X1 , … Xn variables aleatorias independientes con media y varianzas finitas y

denotemos Sn=∑k=1

n

Xk Entonces, para todo n ≥1

E( Sn

n )=1n∑k=1

n

E X 1

Var ( Sn

n )= 1n2∑k=1n

Var X1

Ahora por desigualdad de Chebyshev

Var (|Sn

n−E ( Sn

n )|≥ ε)=Var ( Sn

n )ε2

=(∑k=1

n

Var X1

n2 ε2)

Para todo n ≥1

Tamaño de Muestra

La desigualdad de Chebyshev permite encontrar, en términos de la varianza, un tamaño de muestra n que es suficiente para garantizar que la probabilidad de que la desigualdad

(|Sn

n−μ|≥ ε ) ocurre es tan pequeña como se desee, lo cual permite obtener una

aproximación a la media.

Concretamente, sea X1, X2,..., Xn, una muestra aleatoria de tamaño n, es decir, variables aleatorias y supóngase que tienen mediaμ y varianzaσ 2 finitas. Entonces, por la desigualdad de Chebyshev,

P(|Sn

n−μ|≥ ε )≤

σ 2

nϵ 2

Sea δ >0 fijo. De esta manera,

P(|Sn

n−μ|≥ ε )≤ δ si n≥

σ2

nϵ 2

Ejemplo

Supóngase que X1, X2….. Xn, Son variables aleatorias, con distribución de bernulli de tal forma que toman el valor 1 con probabilidad p=0.5 . Entonces, ¿De qué tamaño se tiene que tomar la muestra para garantizar que la probabilidad de que la diferencia entre la

media aritmética Sn

ny su valor esperado no exceda en más de una décima, sea menor o

igual a una centésima?

Solución: Tenemos que μ=p=0.5 y σ 2=p (1— p )=0,52 . Por la desigualdad de Chebyshev,

P(|Sn

n−μ|≥ ε )≤

p (1— p )n ϵ 2

Con cualquier ϵ >0.Ahora para δ = 0.01, ε=0.1 se tiene que

P(|Sn

n−0.5|≥0.1)≤0.01n≥

0.52

0.012=2500

De esta manera se concluye que se necesitan un tamaño de muestra de al menos 2500

para garantizar que la probabilidad del evento |Sn

n−0.5|≥0.1sea menor que 0.01.

CONCLUSIONES: El valor que el teorema proporciona es solo un límite inferior. Solo cuando se conoce la distribución de probabilidad podemos conocer

probabilidades exactas. El uso del teorema se refleja a situaciones donde se conoce la forma de

distribución. Establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria. El tema es muy importante ya que permite determinar los límites de las

probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas si tener que especificar sus funciones de probabilidad.

Cuando una población o una muestra tienen una desviación estándar pequeña, las observaciones se encuentran cerca de la media. Por el contario, una desviación estándar más grande será resultado de que las observaciones se encuentran muy dispersas en relación con la media.

BIBLIOGRAFÍA

[1]WALPOLE Myers. Probabilidad y Estadística para Ingenieros, 6ta Edición, Pretince Hall Hispanoamericana.

[2]Prof. William la Cruz Bastidas.(2002) Teorema de Chevyshev. [Online]. Available: http://www.buenastareas.com/ensayos/Teorema-De-Chebyshev/953213.html

[3]Prof.Emilio Soria, Probabilidad: Teorema de Chevyshef. [Online]. Available: http://probabilidadunad1.blogspot.com/2010/05/teorema-de-chebyshev_14.html