+ All Categories
Home > Education > Extraordinarios de Quinto Semestre 2014-B

Extraordinarios de Quinto Semestre 2014-B

Date post: 02-Aug-2015
Category:
Upload: yaz-cahuantzi
View: 59 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
25
CUADERNO DE TRABAJO CÁLCULO DIFERENCIAL ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL BACHILLERATO NOMBRE DEL ALUMNO: _____________________________________________________ NUMERO DE LISTA: _____________________________________________________ GRUPO: _______________________ PERIODO 2014-B
Transcript

CUADERNO DE TRABAJO

CÁLCULO DIFERENCIAL

ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL

BACHILLERATO

NOMBRE DEL ALUMNO:

_____________________________________________________

NUMERO DE LISTA:

_____________________________________________________

GRUPO:

_______________________

PERIODO 2014-B

0

10

20

30

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

MΓ©todo Grafico

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

MΓ©todo Grafico

LIMITES

Nota: Para calcular el lΓ­mite de una funciΓ³n polinomial se debe resolver por 2

mΓ©todos; el primero llamado mΓ©todo grΓ‘fico y el segundo mΓ©todo algebraico.

Ejemplos:

1.- Calcular el siguiente lΓ­mite de la siguiente funciΓ³n.

MΓ©todo Grafico:

𝑓(π‘₯) = π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯

𝑓(π‘₯) = (βˆ’1)2β€” 1 + 2

= 1 + 2 = πŸ’

limπ‘₯β†’2+

π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 2 = 4

limπ‘₯β†’2βˆ’

π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 2 = 4

ConclusiΓ³n:

∴ limπ‘₯β†’2

π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 2 = 4

2.- calcular el lΓ­mite de la siguiente funciΓ³n.

𝑓(π‘₯) = π‘₯2 βˆ’ 2 x β†’ 0 MΓ©todo Grafico: 𝑓(π‘₯) = π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯

𝑓(π‘₯) = (βˆ’3)2β€” 12

= 9 + 2 = πŸ•

x f(x)

-1 4

0 2

1 2

2 4

3 8

4 14

5 22

x f(x)

-3 7

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

3 7

𝑓(π‘₯) = π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 2 x β†’ 2

limπ‘₯β†’2

π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 2

= (2)2 βˆ’ (2) + 2

= 4 βˆ’ 2 + 2

= 6 βˆ’ 2

= πŸ’

MΓ©todo Algebraico:

limπ‘₯β†’2

π‘₯2 βˆ’ 2

= (π‘œ)2 βˆ’ 2

MΓ©todo Algebraico

=π‘₯2-2

=-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

MΓ©todo Grafico

3.- Calcular el siguiente lΓ­mite de la siguiente funciΓ³n.

𝑓(π‘₯) = π‘₯2 + 2 x β†’ 3

MΓ©todo Grafico: 𝑓(π‘₯) = x + 2 𝑓(π‘₯) = (0) + 2

= 0 + 2 = 𝟐

4.- Calcular el siguiente lΓ­mite de la siguiente funciΓ³n.

𝑓(π‘₯) = βˆ’π‘₯2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2 x β†’ 1

-5

0

5

10

15

-4 -2 0 2 4 6

MΓ©todo GrΓ‘fico

x f(x)

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

f(x)

-2 0

-1 -2

0 -2

1 -1

2 2

3 7

4 14

limπ‘₯β†’3

π‘₯2 + 2

= (3) + 2

MΓ©todo Algebraico

=x+2

=5

limπ‘₯β†’1

π‘₯2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2

= (1) βˆ’ (1) βˆ’ 2

MΓ©todo Algebraico

=-2

5.- Calcular el siguiente lΓ­mite de la siguiente funciΓ³n.

𝑦 = 1 βˆ’ π‘₯3 x 0

Calcula los siguientes limites por lo mΓ©todos grΓ‘fico y analΓ­tico

1.- 𝑓(π‘₯) = π‘₯3 βˆ’ π‘₯ + 5 x β†’ βˆ’1

2.- 𝑓(π‘₯) = βˆ’π‘₯2 + π‘₯ βˆ’ 8

x β†’ 0

3.- 𝑓(π‘₯) = π‘₯3 βˆ’ π‘₯ + 5 x β†’ 2

4.- 𝑓(π‘₯) = π‘₯3 + π‘₯ βˆ’ 5 x β†’ βˆ’2

5.- 𝑓(π‘₯) = βˆ’π‘₯3 + π‘₯ βˆ’ 7

x β†’ 1

πŸ”. 𝑦 = π‘₯4 βˆ’ 2; x 3

πŸ•. 𝑦 = π‘₯3 βˆ’ 1; x 0

πŸ–. 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 2; x 0

πŸ—. 𝑓(π‘₯) = π‘₯4 βˆ’ 1 x 1

𝟏𝟎. 𝑓(π‘₯) = π‘₯3 βˆ’ π‘₯ + 2 x -1

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-4 -2 0 2 4

MΓ©todo Grafico X Y

-3 28

-2 9

-1 2

0 1

1 0

2 -7

3 -26

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Valores FX

LIMITES DE FUNCIONES RACIONALES

Ejemplos:

𝑓(π‘₯) = π‘₯2βˆ’4

π‘₯+2

π‘₯ + 2 = 0

π‘₯ = βˆ’2

x F(x)

-5 -7

-4 -6

-3 -5

-2.5 -4.5

-2.2 -4.2

-2.1 -4.1

-2.01 -4.01

-1.99 -3.99

-1.9 -3.9

-1.8 -3.8

-1.5 -3.5

-1 -3

0 -2

1 -1

𝑓(π‘₯) = 4π‘₯+1

2π‘₯+1

2π‘₯ + 1 = 0

π‘₯ = βˆ’0.5

x F(x)

-3 2.20

-2.5 2.25

-2 2.33

-1.5 2.5

-1 3

-0.7 4.5

-0.3 -0.5

0 1

0.5 1.5

1 1.66

1.5 1.75

2 1.8

2.5 1.83

3 1.85

EJERCICIOS

Calcula el lΓ­mite de las siguientes funciones racionales en los puntos donde

no hay soluciΓ³n

𝑓(π‘₯) = 5𝑋+3

3π‘₯βˆ’2

𝑓(π‘₯) = 1𝑋+3

4π‘₯βˆ’1

𝑓(π‘₯) = 5𝑋+5

2π‘₯+1

𝑓(π‘₯) = π‘₯3+6

π‘₯+2

𝑓(π‘₯) = 1π‘‹βˆ’2

7π‘₯βˆ’8

𝑓(π‘₯) = 2π‘₯2βˆ’4

π‘₯βˆ’2

𝑓(π‘₯) = π‘₯2+2.3

π‘₯+4

𝑓(π‘₯) = 2π‘₯2βˆ’2𝑋

π‘₯βˆ’3

𝑓(π‘₯) = 2π‘₯2βˆ’4

βˆ’3π‘₯+2

𝑓(π‘₯) = π‘‹βˆ’8𝑋

βˆ’π‘₯+2

LIMITES INFINITOS

𝒇(𝒙) = 𝟏

π’™πŸ‘

𝒙 β†’ 𝟎

x y -3 -0.037

-2 -0.125

-1 -1

-0.5 -8

-0.2 -125

-0.1 -1000

-0.01 -1000000

0.01 1000000

0.1 1000

0.2 125

0.5 8

1 1

2 0.125

3 0.037

-1500000

-1000000

-500000

0

500000

1000000

1500000

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Valores Y

Valores Y

Calcula los siguientes lΓ­mites

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝟏

π’™πŸ

𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟏

π’™πŸ’

πŸ‘. 𝒇(𝒙) =𝟏

πŸ‘π’™

4.- 𝒇(𝒙) =𝟏

πŸπ’™

5.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™βˆ’πŸ‘

6.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™πŸ‘

7.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™πŸ’

8.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™βˆ’πŸ”

9.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™πŸ”

10.- 𝒇(𝒙) =𝟏

π’™βˆ’πŸ–

LIMITES EN EL INFINITO

𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸπ’™βˆ’πŸ‘

+

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Valores Y

Valores Y

FactorizaciΓ³n

π‘₯2 + 2π‘₯ βˆ’ 3

(π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ + 3)

π‘₯ βˆ’ 1 = 0 π‘₯ + 3 = 0

π‘₯ = 1 π‘₯ βˆ’ 3

𝑓(π‘₯) =2(1)βˆ’1

12+2(1)βˆ’3

2βˆ’1

1+2βˆ’3=

1

0= ∞

𝑓(π‘₯) = 2(βˆ’3)βˆ’1

βˆ’32+2(βˆ’3)βˆ’3

βˆ’6βˆ’1

9βˆ’6βˆ’3=

βˆ’7

0= ∞

X Y

-6 -0.6

-5 -0.9

-4 -1.8

-3.5 -3.5

-3.2 -8.8

-3.1 -17.56

-3.01 -175

-2.99 174.9

-2.9 17.4

-2.8 8.68

-2.5 3.42

-2 1.66

-1 0.75

0 0.33

0.5 0

0.8 0.78

0.9 -2.05

0.99 -24.56

1.01 -24.43

1.1 2.92

1.2 1.66

1.5 0.88

2 0.6

3 0.41

4 0.33

Calcula los siguientes lΓ­mites en el infinito

𝟏. βˆ’π’‡(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸπ’™βˆ’πŸ’

𝟐. βˆ’π’‡(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸ’π’™βˆ’πŸ‘

3.- 𝒇(𝒙) = πŸ“π’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸπ’™βˆ’πŸ‘

4.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸ”π’™βˆ’πŸ–

5.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

πŸ’π’™πŸ+πŸ‘π’™βˆ’πŸ‘

6.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸ•π’™+πŸ‘

7.- 𝒇(𝒙) = πŸ–π’™βˆ’πŸ

π’™πŸ+πŸπ’™βˆ’πŸ‘

8.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

π’™πŸβˆ’πŸ–π’™+πŸ‘

9.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

πŸπŸŽπ’™πŸ+πŸπ’™+πŸπŸ“

10.- 𝒇(𝒙) = πŸπ’™βˆ’πŸ

πŸ‘π’™πŸ+πŸ“π’™βˆ’πŸ‘

RAZΓ“N DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEO

𝟏. 𝑭(𝒙) = πŸπ’™πŸ + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ—

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2(π‘₯ + βˆ†π‘₯)2 + 7(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 9

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2(π‘₯2 + 2π‘₯βˆ†π‘₯ + βˆ†π‘₯2) + 7(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 9

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2π‘₯2 + 4π‘₯βˆ†π‘₯ + 2βˆ†π‘₯2 + 7π‘₯ + 7βˆ†π‘₯ βˆ’ 9

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = limβˆ†π‘₯β†’0 =

[2π‘₯2+4π‘₯βˆ†π‘₯+2βˆ†π‘₯2+7π‘₯+7βˆ†π‘₯βˆ’9]βˆ’[2π‘₯2+7π‘₯βˆ’9]

βˆ†π‘₯

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = limβˆ†π‘₯β†’0 =

4π‘₯βˆ†π‘₯+2βˆ†π‘₯2+7βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯= limβˆ†π‘₯β†’0 =

4π‘₯βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯+

2βˆ†π‘₯2

βˆ†π‘₯+

βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= limβˆ†π‘₯β†’0 = 4π‘₯ + 2βˆ†π‘₯ + 7 = 4π‘₯ + 2(0) + 7

𝟐. 𝑭(𝒙) = βˆ’πŸ” 𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = limβˆ†π‘₯β†’0 =

[βˆ’6]βˆ’[βˆ’6]

βˆ†π‘₯

πŸ‘. 𝒇(𝒙) = πŸπ’™ βˆ’ πŸ‘

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 3

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2π‘₯ + 2βˆ†π‘₯ βˆ’ 3 𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = lim

βˆ†π‘₯β†’0=

[2π‘₯+2βˆ†π‘₯βˆ’3]βˆ’[2π‘₯βˆ’3]

βˆ†π‘₯= lim

βˆ†π‘₯β†’0=

2βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯= lim

βˆ†π‘₯β†’0

πŸ’. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐

𝑑𝑦

𝑑π‘₯π‘š = lim

βˆ†π‘₯β†’0= [

1

2] βˆ’ [

1

2]

πŸ“. 𝒇(𝒙) = πŸ•π’™ βˆ’ πŸ’πŸŽ

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 7(π‘₯ βˆ’ βˆ†π‘₯) βˆ’ 40 = 7π‘₯ + 7βˆ†π‘₯ βˆ’ 40 𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = lim

βˆ†π‘₯β†’0=

[7π‘₯+7βˆ†π‘₯βˆ’40]βˆ’[7π‘₯βˆ’40]

βˆ†π‘₯

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= π‘š = lim

βˆ†π‘₯β†’0=

7βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯

Calcula la razΓ³n de cambio de las siguientes funciones:

1. 𝑓(π‘₯) = 14π‘₯2 βˆ’ 23π‘₯ + 9

2. 𝑓(π‘₯) = 1

5π‘₯2 +

2

3π‘₯ + 8

3. 𝑓(π‘₯) = βˆ’π‘₯3 + π‘₯2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 3

4. 𝑓(π‘₯) = βˆ’2π‘₯3 βˆ’ 6π‘₯2 βˆ’ 5π‘₯ βˆ’ 3

5. 𝑓(π‘₯) = 1

3π‘₯ +

1

7

=4x+7

=0

=2

=0

=7

6. 𝑓(π‘₯) = 12π‘₯2 + 23π‘₯ βˆ’ 9

7. 𝑓(π‘₯) = 4π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 9

8. 𝑓(π‘₯) = βˆ’2π‘₯3 + 6π‘₯2 + 4π‘₯ βˆ’ 2

9. 𝑓(π‘₯) = 2π‘₯3 βˆ’ 4π‘₯2 + 5π‘₯ βˆ’ 9

10. (π‘₯) = 1

5π‘₯ +

1

6

VELOCIDAD PROMEDIO

1.-La ciudad de MΓ©xico a la de puebla se hace en autobΓΊs una hora treinta

minutos, al recorrer la distancia de 128 km que las separa podemos calcular la

magnitud de la velocidad media durante el viaje

νᡐ= 𝑑

𝑑=

128 π‘˜π‘š

1.5 β„Ž= 85.3 π‘˜π‘š

β„Žβ„

2.-Encuentra la velocidad media o promedio de un mΓ³vil que durante su recorrido

hacia el norte tuvo las siguientes Velocidades

Datos

𝑣1 = 18.5 π‘šπ‘  𝑣2= ⁄ 22 π‘š

𝑠 ⁄ 𝑣3 = 20.3 π‘š 𝑠⁄ 𝑣4 = 21.5 π‘š 𝑠⁄ π‘£π‘š =?

Formula:

π‘£π‘š =𝑣1+ 𝑣2+ 𝑣3+ 𝑣4

4

𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣4 = βˆ‘π‘’

.. . π‘£π‘š =βˆ‘π‘£

4

SustituciΓ³n y resultado

Σ𝑣 = 18.5 π‘š 𝑠⁄ + 22 π‘š 𝑠⁄ + 20.3 π‘š 𝑠⁄ + 21.5 π‘š 𝑠⁄ = 82.3 π‘š 𝑠⁄

π‘£π‘š =82.3 π‘š 𝑠⁄

4= 20.57 π‘š 𝑠⁄

π‘£π‘š = 20.57 π‘š 𝑠⁄ π‘Žπ‘™ π‘›π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’

3.-determinar el tiempo en que un mΓ³vil recorre una distancia de 30 m si lleva una

velocidad media de 3 π‘š 𝑠⁄ al sur. SoluciΓ³n:

Datos: d= 30m π‘£π‘š = 3 π‘š 𝑠⁄ t=?

Formula: π‘£π‘š =𝑑

𝑑 ∴ 𝑑 =

𝑑

π‘£π‘š

SustituciΓ³n y resultado 𝑑 =30π‘š

3π‘š 𝑠⁄= 10𝑠

4.- Calcular la velocidad promedio de un mΓ³vil si partiΓ³ al este con velocidad inicial

de 2 m/s y su velocidad final fue de 2.7 m/s

Datos 𝑣0 = 2π‘š

𝑠 𝑣𝑓 = 2.7

π‘š

𝑠 π‘£π‘š =?

Formula= π‘£π‘š =𝑣0+ 𝑣𝑓

2

SustituciΓ³n y resultado π‘£π‘š =2π‘š 𝑠+2.7π‘š 𝑠⁄⁄

2= 2.35π‘š/𝑠

π‘£π‘š = 2.35π‘š

π‘ π‘Žπ‘™ 𝑒𝑠𝑑𝑒

5.- Calcular la distancia en metros que recorrerΓ‘ un motociclista durante 10

segundos si lleva una velocidad media de 60 km/h al oeste. SoluciΓ³n:

Datos: π‘£π‘š = 60π‘˜π‘š

β„Ž 𝑑 = 10 𝑠 𝑑 =?

Formula: π‘£π‘š =𝑑

𝑑 ∴ 𝑑 = π‘£π‘šπ‘‘

TransformaciΓ³n de unidades: 60π‘˜π‘š

β„Žπ‘₯

1000π‘š

1π‘˜π‘šπ‘₯

1β„Ž

3600𝑠= 16.66 π‘š/𝑠

SustituciΓ³n y resultado d= 16.66 m/s X10 s = 166.6 m

Ejercicios:

1.- ΒΏCuΓ‘l es la magnitud de la velocidad promedio de un autobΓΊs de pasajeros

que recorre una distancia de 120 km en 1.6h?

2.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automΓ³vil que lleva una

velocidad inicial cuya magnitud es de 3 m/s y su velocidad final es de una

magnitud de 4.2 m/s.

3.- Encuentra el desplazamiento en metros que realizara un ciclista durante 7

segundos, si lleva una velocidad media de 30km/h al norte

4.- calcular el tiempo en horas en que un automΓ³vil efectΓΊa un desplazamiento de

3 km si lleva una velocidad media de 50 km/h al sur.

5.- calcular el tiempo en horas en que un automΓ³vil efectΓΊa un desplazamiento de

8 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al norte.

6.- calcular el tiempo en horas en que un camiΓ³n de carga efectΓΊa un

desplazamiento de 3.5 km si lleva una velocidad media de 60 km/h al este.

8.- calcular el tiempo en horas en que un autobΓΊs efectΓΊa un desplazamiento de

12 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al sur.

9.- ΒΏCuΓ‘l es la magnitud de la velocidad promedio de un autobΓΊs de pasajeros

que recorre una distancia de 150 km en 2.6h?

10.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automΓ³vil que lleva

una velocidad inicial cuya magnitud es de 8 m/s y su velocidad final es de una

magnitud de 6.2 m/s.

DERIVADA

1- Ζ‘(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X

Ƒ’(X)=20X-6-24X-4-12X+X2-6

Ƒ’(X)=-6X-9+3X-4+6X2+8X-1-11X+3

Ƒ’(X)=54X-10-12X-5+12X-8X2-11+0

2- Ζ‘(X)=-6X-5+8X-3+16X4-32X-1-6

Ƒ’(X)=30X-6-24X-4+64X3+32X2-0

RESUELVE LAS SIGUIENTES DERIVADAS

1- Ζ‘(X)=18X3-28X4+16X5+7X

2- Ζ‘(X)=9X3+23X2+8X-3

3- Ζ‘(X)=4X-6+7

π‘‹βˆ’4+6X-5+6

𝑋3 +1

𝑋+ 30

4- Ζ‘(X)=1

3π‘‹βˆ’4 +

6

5𝑋2 +7

𝑋+

1

2π‘‹βˆ’8

5- Ζ‘(X)=5X4+6X2+3X5+8X+1

6- Ζ‘(X)=6X-3+8X5+36X2-23X+52

7- Ζ‘(X)=6X-9+8X3-16X-28X-5+35X3+23X2

8- Ζ‘(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X

9- Ζ‘(X)=9X3-6X2+7X4+8X+6

10- 10-Ζ‘(X)=3X-5+6X-9X2+3X3

Ƒ’(X)=30

𝑋6 βˆ’24

𝑋4 + 64𝑋3 +32

𝑋2

Ƒ’(X)=54

𝑋10βˆ’

12

𝑋5+12Xβˆ’

8

𝑋2βˆ’ 11

REGLA DEL PRODUCTO

1. La derivada de la primera expresiΓ³n por la segunda , mas

2. La derivada de la segunda expresiΓ³n por la primera

𝑑𝑦

𝑑π‘₯(𝑒. 𝑣) = (

𝑑𝑦

𝑑π‘₯) (𝑣) + (

𝑑𝑦

𝑑π‘₯) (𝑒)

Ejemplos

1. 𝒇(𝒙) = (πŸ•π±πŸ + πŸ—π’™πŸ‘ + πŸ”π’™ βˆ’ πŸ‘) (πŸπ’™πŸ’ βˆ’ πŸ•π’™ + 𝟐 + πŸπŸ”π’™πŸ )

La derivada de la primera expresiΓ³n mΓ‘s, la derivada de la segunda expresiΓ³n por

la primera.

Κ„ Β΄(x)= (14π‘₯ + 27π‘₯2 + 6) (2π‘₯4 βˆ’ 7π‘₯ + 2 + 16π‘₯2) + (8π‘₯3 βˆ’ 7 + 32π‘₯) (7π‘₯ + 9π‘₯3 + 6π‘₯ βˆ’ 3)

n

=28π‘₯5 βˆ’ 98π‘₯2 + 28π‘₯ + 224π‘₯3 + 54π‘₯6 βˆ’ 189π‘₯3 + 54π‘₯2 + 432π‘₯4 + 12π‘₯4 βˆ’ 42π‘₯ + 12 + 96π‘₯2 ,

+56π‘₯5 + 72π‘₯6 + 48π‘₯4 βˆ’ 24π‘₯3 βˆ’ 49π‘₯2 βˆ’ 63π‘₯3 βˆ’ 42π‘₯ + 21 + 224π‘₯3 + 288π‘₯4 + 192π‘₯2 βˆ’ 96π‘₯.

Sumando las expresiones obtenemos el resultado

2. 𝑓(𝒙) = (πŸ•π±πŸ” βˆ’ πŸπŸ—π±πŸ’ + πŸ•π±πŸ‘ + πŸ”π± + πŸ—) (𝟐 βˆ’ πŸ’π±πŸ‘ βˆ’ πŸπŸπ±πŸ’ + πŸ‘π±πŸ“ + πŸπŸ‘π±)

𝑓 Β΄ (π‘₯) = (42π‘₯5 βˆ’ 76π‘₯3 + 21π‘₯2 + 6) (2 βˆ’ 4π‘₯3 βˆ’ 12π‘₯4 + 3π‘₯5 + 13π‘₯)

+ (βˆ’12π‘₯2 βˆ’ 48π‘₯3 + 15π‘₯4 + 13) (7π‘₯6 βˆ’ 19π‘₯4 + 7π‘₯3 + 6π‘₯ + 9)

=84π‘₯5 βˆ’ 168π‘₯8 βˆ’ 504π‘₯9 + 126π‘₯10 + 546π‘₯6 βˆ’ 152π‘₯3 + 304π‘₯6 + 912π‘₯7 βˆ’ 288π‘₯8 βˆ’ 988π‘₯4 +

42π‘₯2 βˆ’ 84π‘₯5 βˆ’ 252π‘₯6 + 63π‘₯7 + 273π‘₯3 + 12 βˆ’ 243π‘₯3 βˆ’ 72π‘₯4 + 18π‘₯5 + 78π‘₯ ,

βˆ’84π‘₯8 + 228π‘₯6 βˆ’ 85π‘₯5 βˆ’ 72π‘₯3 βˆ’ 108π‘₯2 βˆ’ 336π‘₯9 + 912π‘₯7 βˆ’ 336π‘₯6 βˆ’ 288π‘₯4 βˆ’ 432π‘₯3 +

105π‘₯10 βˆ’ 285π‘₯8 + 105π‘₯7 + 90π‘₯5 + 135π‘₯4 + 91π‘₯6 βˆ’ 247π‘₯4 + 91π‘₯3 + 78π‘₯ + 117.

Resultado =126π‘₯6 + 84π‘₯5 + 780π‘₯4 + 172π‘₯3 + 195π‘₯2 βˆ’ 152π‘₯ + 33

Resultado=231π‘₯10 βˆ’ 840π‘₯9 βˆ’ 765π‘₯8 + 1992π‘₯7 + 581π‘₯6 + 24π‘₯5 βˆ’ 460π‘₯4 βˆ’ 316π‘₯3 βˆ’ 66π‘₯2 +

156π‘₯ + 129

3. 𝑓(𝒙) = ( ─18x + 12 ) (2x ─ 11 )

f Β΄ (x)= (─18) (=2x ─ 11) + ( 2) ( ─18x + 12 )

= ─36x+198─36x+24

=─36x─36x+198+24

4. 𝑓(𝒙) = (πŸπ’™πŸ – 𝒙) (π’™πŸ + πŸπ’™ – 𝟏)

fΒ΄(x) = (2x)( x2 + 2x βˆ’ 1) + (x + 2 βˆ’ 1)(2x2 – x)

=2π‘₯3 + 4π‘₯4 βˆ’ 2 + 2π‘₯3 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 2π‘₯2 + 1π‘₯

=2π‘₯3 + 2π‘₯3 + 4π‘₯2 + π‘₯2 + 4π‘₯2 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ + 1π‘₯ βˆ’ 2

5. 𝑓(𝒙)= (x+3) ( βˆ’π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + πŸ‘)

fΒ΄(x) = (3)(βˆ’x2 βˆ’ x + 3) + (βˆ’x + 3)(x + 3)

=βˆ’3π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 9 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 3π‘₯ + 9

=βˆ’3π‘₯2 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 3π‘₯ + 9 + 9

Ahora hazlo tú…

Resuelve los siguientes ejercicios

1. 𝑓(𝒙) = (β”€πŸπŸπ± βˆ’ πŸ‘)(𝟐𝐱 + πŸπŸ•)

2. 𝑓(𝒙)= (πŸ‘π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏)(βˆ’πŸπ’™ + 𝟐)

3. 𝑓(𝒙)= (2x+1) (βˆ’πŸ“π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + 𝟐)

4. 𝑓(𝒙)= (5x+1) (π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ – 𝟏)

5. 𝑓(𝒙)= (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ’) (π’™πŸ + πŸπ’™ βˆ’ πŸ’)

6. 𝑓(𝒙) = (πŸ’π’™ + πŸ“π’™πŸ‘)(𝟐𝐱 + πŸπŸ•)

7. 𝑓(𝒙) = (πŸπŸŽπ’™πŸ βˆ’ πŸ‘)(πŸ”π± + 𝟏)

8. 𝒇(𝒙) = (πŸ’π’™ βˆ’ πŸ‘) (π’™πŸ βˆ’ πŸ“π’™ + πŸ“)

9. 𝑓(π‘₯) = πŸ‘π’™πŸ‘ βˆ’ πŸπ’™πŸ ) (πŸπ’™πŸ βˆ’ πŸ’π’™ βˆ’ πŸ–)

10. 𝒇(𝒙) = (πŸ–π’™ βˆ’ πŸ‘π’™) (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ βˆ’ 𝟏)

Resultado = ─72x + 222

Resultado = 4π‘₯3 βˆ’ 6π‘₯2 βˆ’ 2

Resultado= βˆ’4π‘₯2 βˆ’ 6π‘₯ + 18

REGLA DEL COCIENTE

FΓ³rmula: 𝑑(

𝑒

𝑣)

𝑑π‘₯=

(𝑑𝑒

π‘₯)(𝑣)βˆ’(

π‘‘βˆ’π‘£

𝑑π‘₯)(𝑒)

𝑉2

Ejemplo:

1.- Encuentra la siguiente derivada.

𝒇(𝒙) = πŸ”π’™πŸ + πŸ‘ βˆ’ 𝟐

πŸ•π’™πŸ‘+π’™πŸ + πŸ”

𝑓′(π‘₯) =

(𝑑(6π‘₯2 + 3 βˆ’ 2)𝑑π‘₯

(7π‘₯3+π‘₯2 + 6) βˆ’(𝑑(7π‘₯3+π‘₯2 + 6)

𝑑π‘₯(6π‘₯2 + 3 βˆ’ 2)

7π‘₯3+π‘₯2 + 62

𝑓′(π‘₯) =(12π‘₯ + 3)(7π‘₯3+π‘₯2 + 6) βˆ’ (21π‘₯2 + 2π‘₯)(6π‘₯2 + 3 βˆ’ 2)

7π‘₯3+π‘₯2 + 62

𝑓′(π‘₯)(84π‘₯4 + 12π‘₯3 + 72π‘₯ + 21π‘₯3 + 3π‘₯2 + 18) βˆ’ (126π‘₯4 βˆ’ 63π‘₯3 βˆ’ 42π‘₯ + 2π‘₯3 + 6π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯)

7π‘₯3+π‘₯2 + 62

𝑓′(π‘₯) =84π‘₯4 + 12π‘₯3 + 72π‘₯ + 21π‘₯3 + 3π‘₯2 + 18 βˆ’ 126π‘₯4 + 63π‘₯3 + 42π‘₯ βˆ’ 2π‘₯3 βˆ’ 6π‘₯2 + 4π‘₯

7π‘₯3+π‘₯2 + 62

πŸβ€²(𝐱) =βˆ’πŸ’πŸπ±πŸ’ βˆ’ πŸ’πŸπ±πŸ‘ + πŸ‘πŸ—π±πŸ + πŸ•πŸ”π± + πŸπŸ–

πŸ•π±πŸ‘+𝐱𝟐 + πŸ”πŸ

2.- Encuentra la siguiente derivada.

𝒇(𝒙) = πŸ”π’™πŸ“ βˆ’ πŸ‘π’™πŸ’ + πŸ–π’™ βˆ’ πŸ‘

π’™πŸ’ βˆ’ π’™πŸ‘+πŸπŸπ’™πŸ + πŸπŸŽπ’™

𝑓′(π‘₯) =

(𝑑(6π‘₯5 + 3π‘₯4 + 8π‘₯ βˆ’ 3)𝑑π‘₯

(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯) βˆ’(𝑑(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯)

𝑑π‘₯(6π‘₯5 βˆ’ 3π‘₯4 + 8π‘₯ βˆ’ 3)

π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯

𝑓′(π‘₯) =(30π‘₯4 βˆ’ 12 + 8)(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯) βˆ’ (4π‘₯3 βˆ’ 3π‘₯2 + 24π‘₯ + 20)(6π‘₯5 βˆ’ 3π‘₯4 + 8π‘₯ βˆ’ 3)

(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯)2

𝑓′(π‘₯)(30π‘₯8 βˆ’ 30π‘₯7 + 360π‘₯6 + 600π‘₯5 βˆ’ 12π‘₯7 + 12π‘₯6 βˆ’ 24π‘₯5 βˆ’ 240π‘₯4 + 8π‘₯4 βˆ’ 8π‘₯3 + 96π‘₯2 + 160π‘₯) βˆ’ (24π‘₯8 βˆ’ 12π‘₯7 + 32π‘₯4 βˆ’ 12π‘₯3 βˆ’ 18π‘₯7 + 9π‘₯6 βˆ’ 24π‘₯3 + 9π‘₯2 + 144π‘₯6 βˆ’ 72π‘₯5 + 192π‘₯2 βˆ’ 72π‘₯)

(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯)2

𝑓′(π‘₯)30π‘₯8 βˆ’ 30π‘₯7 + 360π‘₯6 + 600π‘₯5 βˆ’ 12π‘₯7 + 12π‘₯6 βˆ’ 24π‘₯5 βˆ’ 240π‘₯4 + 8π‘₯4 βˆ’ 8π‘₯3 + 96π‘₯2 + 160π‘₯ βˆ’ 24π‘₯8 + 12π‘₯7 βˆ’ 32π‘₯4 + 12π‘₯3 + 18π‘₯7 βˆ’ 9π‘₯6 + 24π‘₯3 βˆ’ 9π‘₯2 βˆ’ 144π‘₯6 + 72π‘₯5 βˆ’ 192π‘₯2 + 72π‘₯

(π‘₯4 βˆ’ π‘₯3+12π‘₯2 + 20π‘₯)2

𝒇′(𝒙)πŸ”π’™πŸ– βˆ’ πŸπŸπ’™πŸ• + πŸπŸπŸ—π’™πŸ” + πŸ’πŸŽπŸ–π’™πŸ“ βˆ’ πŸπŸŽπŸ’π’™πŸ’ + πŸπŸ–π’™πŸ‘ βˆ’ πŸπŸŽπŸ“π’™πŸ + πŸ•πŸπ’™ + πŸ”πŸŽ

(π’™πŸ’ βˆ’ π’™πŸ‘+πŸπŸπ’™πŸ + πŸπŸŽπ’™)𝟐

Ejercicios: Deriva las siguientes expresiones:

1.- 𝑓(π‘₯) = 6π‘₯2+4βˆ’2

7π‘₯3+π‘₯2+8

2.- 𝑓(π‘₯) = 7π‘₯2+3βˆ’2

9π‘₯3+π‘₯2+4

3.- 𝑓(π‘₯) = 6π‘₯3+3π‘₯2βˆ’2π‘₯+4

2π‘₯47π‘₯3+π‘₯2+6

4.- 𝑓(π‘₯) = 9π‘₯2+3βˆ’2

7π‘₯3+3π‘₯2+8

5.- 𝑓(π‘₯) = 6π‘₯2+3βˆ’2

7π‘₯3+5π‘₯2+6

6.- 𝑓(π‘₯) = 2π‘₯2+5βˆ’1

7π‘₯3+π‘₯2+9

7.- 𝑓(π‘₯) = 3π‘₯3+3π‘₯2βˆ’2π‘₯+4

2π‘₯45π‘₯3+2π‘₯2+4

8.- 𝑓(π‘₯) = 2π‘₯2βˆ’3βˆ’2

7π‘₯3βˆ’3π‘₯2βˆ’5

9.- 𝑓(π‘₯) = 3π‘₯46π‘₯3+3π‘₯2βˆ’2π‘₯βˆ’4

2π‘₯48π‘₯3+2π‘₯2+6

10.- 𝑓(π‘₯) = 4π‘₯36π‘₯2+3π‘₯βˆ’7

2π‘₯3+π‘₯2+8

REGLA DE LA CADENA

1.- 𝑓(π‘₯) = (2π‘₯ + 1)3

𝑓′(π‘₯) = 3(2π‘₯ + 1)3βˆ’1 𝑑π‘₯(2π‘₯ + 1) = 3(2π‘₯ + 1)2 (2)

𝑓´(π‘₯) = 6(2π‘₯ + 1)2

2.-𝑓´π‘₯ = (π‘₯2 + 4π‘₯ βˆ’ 5)4

𝑓´π‘₯ = 4(π‘₯2 + 4π‘₯ βˆ’ 5)4βˆ’1 𝑑π‘₯4(π‘₯2 + 4π‘₯ βˆ’ 5) = 4(π‘₯2 + 4π‘₯ βˆ’ 5)3 (2π‘₯ + 4)

𝑓´π‘₯ = 8(2π‘₯2 + 4)(π‘₯2 + 4 βˆ’ 5)3

Ejercicios

1.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯2 + 5)

2.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯2 + 4)βˆ’3

3.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯3βˆ’32 + 5π‘₯ + 2)

4.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯2 + 5π‘₯ βˆ’ 2)

5.- f Β΄π‘₯ = (π‘₯2 + 5π‘₯ + 8)

6.- 𝑓´π‘₯=(π‘₯2 βˆ’ 2π‘₯ + 3)

7.- 𝑓´π‘₯=(π‘₯βˆ’2 + 8π‘₯ βˆ’ 5)

8.- 𝑓´π‘₯= (π‘₯2 + 2π‘₯ + 1)

9.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯βˆ’2 + 7)

10.- 𝑓´π‘₯ = (π‘₯3 βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ 9)

MAXIMOS Y MINIMOS

El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 3 cm y que

aumenta 0.02cm cada uno

𝑦 = π‘₯3

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= 3π‘₯2

𝑑𝑦 = 3π‘₯2𝑑π‘₯ x= 3 dx=0.02

𝑑𝑦 = 3(3)2 (0.02)

dx=0.54π‘π‘š3

Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 8 cm y cuyo espesor es de 0.12cm

volumen de una esfera 4πœ‹π‘₯𝑅2

3

V= 4πœ‹π‘₯𝑅2

3

X=4πœ‹

3 π‘₯2

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

12πœ‹

3 π‘₯2

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=4πœ‹π‘₯2

𝑑𝑦 = 4πœ‹π‘₯2 (dx)

𝑑𝑦 = 4(3.14)(8)2(0.12)

𝑑𝑦 = 9646π‘π‘š3

Ejercicios

1.-El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 8 cm y que

aumenta 0.017cm cada uno

2.-un terreno mide 2π‘˜π‘š2 calcula cual es el error si la cerca se recorre un metro

a) hacia afuera

b) hacia adentro

3.-un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de

20cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.02% de aumento en sus

dimensiones ΒΏcual serΓ‘ la nueva capacidad del recipiente?

4.- Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 10 cm y cuyo espesor es de 0.18cm

volumen de una esfera 4πœ‹π‘₯𝑅2

3

5.- El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 10 cm y que

aumenta 0.035cm cada uno

6.- un terreno mide 5π‘˜π‘š2 calcula cual es el error si la cerca se recorre 1

2 metro

a) hacia afuera

b) hacia adentro

7.- un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de

25 cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.05% de aumento en sus

dimensiones ΒΏcuΓ‘l serΓ‘ la nueva capacidad del recipiente?

8.- El incremento aproximado del volumen de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm y

que aumenta 0.017cm cada uno

9.- Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 9 cm y cuyo espesor es de 0.20cm

volumen de una esfera 4πœ‹π‘₯𝑅2

3

10.-un recipiente flexible esfΓ©rico tiene tiene un radio de 18cm a temperatura

ambiente. Su volumen varia en +

βˆ’ 1% por cada grado centΓ­grado de aumento o

disminuciΓ³n de temperatura originalmente la temperatura es de 25%

a) calcula la variaciΓ³n de volumen si la temperatura es de

a)50Β°c

b)30Β°c


Recommended