Date post: | 02-Aug-2015 |
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CUADERNO DE TRABAJO
CΓLCULO DIFERENCIAL
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL
BACHILLERATO
NOMBRE DEL ALUMNO:
_____________________________________________________
NUMERO DE LISTA:
_____________________________________________________
GRUPO:
_______________________
PERIODO 2014-B
0
10
20
30
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
MΓ©todo Grafico
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
MΓ©todo Grafico
LIMITES
Nota: Para calcular el lΓmite de una funciΓ³n polinomial se debe resolver por 2
mΓ©todos; el primero llamado mΓ©todo grΓ‘fico y el segundo mΓ©todo algebraico.
Ejemplos:
1.- Calcular el siguiente lΓmite de la siguiente funciΓ³n.
MΓ©todo Grafico:
π(π₯) = π₯2 β 2π₯
π(π₯) = (β1)2β 1 + 2
= 1 + 2 = π
limπ₯β2+
π₯2 β π₯ + 2 = 4
limπ₯β2β
π₯2 β π₯ + 2 = 4
ConclusiΓ³n:
β΄ limπ₯β2
π₯2 β π₯ + 2 = 4
2.- calcular el lΓmite de la siguiente funciΓ³n.
π(π₯) = π₯2 β 2 x β 0 MΓ©todo Grafico: π(π₯) = π₯2 β 2π₯
π(π₯) = (β3)2β 12
= 9 + 2 = π
x f(x)
-1 4
0 2
1 2
2 4
3 8
4 14
5 22
x f(x)
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
π(π₯) = π₯2 β π₯ + 2 x β 2
limπ₯β2
π₯2 β π₯ + 2
= (2)2 β (2) + 2
= 4 β 2 + 2
= 6 β 2
= π
MΓ©todo Algebraico:
limπ₯β2
π₯2 β 2
= (π)2 β 2
MΓ©todo Algebraico
=π₯2-2
=-2
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8
MΓ©todo Grafico
3.- Calcular el siguiente lΓmite de la siguiente funciΓ³n.
π(π₯) = π₯2 + 2 x β 3
MΓ©todo Grafico: π(π₯) = x + 2 π(π₯) = (0) + 2
= 0 + 2 = π
4.- Calcular el siguiente lΓmite de la siguiente funciΓ³n.
π(π₯) = βπ₯2 β π₯ β 2 x β 1
-5
0
5
10
15
-4 -2 0 2 4 6
MΓ©todo GrΓ‘fico
x f(x)
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
6 8
f(x)
-2 0
-1 -2
0 -2
1 -1
2 2
3 7
4 14
limπ₯β3
π₯2 + 2
= (3) + 2
MΓ©todo Algebraico
=x+2
=5
limπ₯β1
π₯2 β π₯ β 2
= (1) β (1) β 2
MΓ©todo Algebraico
=-2
5.- Calcular el siguiente lΓmite de la siguiente funciΓ³n.
π¦ = 1 β π₯3 x 0
Calcula los siguientes limites por lo mΓ©todos grΓ‘fico y analΓtico
1.- π(π₯) = π₯3 β π₯ + 5 x β β1
2.- π(π₯) = βπ₯2 + π₯ β 8
x β 0
3.- π(π₯) = π₯3 β π₯ + 5 x β 2
4.- π(π₯) = π₯3 + π₯ β 5 x β β2
5.- π(π₯) = βπ₯3 + π₯ β 7
x β 1
π. π¦ = π₯4 β 2; x 3
π. π¦ = π₯3 β 1; x 0
π. π¦ = π₯ β 2; x 0
π. π(π₯) = π₯4 β 1 x 1
ππ. π(π₯) = π₯3 β π₯ + 2 x -1
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-4 -2 0 2 4
MΓ©todo Grafico X Y
-3 28
-2 9
-1 2
0 1
1 0
2 -7
3 -26
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Valores FX
LIMITES DE FUNCIONES RACIONALES
Ejemplos:
π(π₯) = π₯2β4
π₯+2
π₯ + 2 = 0
π₯ = β2
x F(x)
-5 -7
-4 -6
-3 -5
-2.5 -4.5
-2.2 -4.2
-2.1 -4.1
-2.01 -4.01
-1.99 -3.99
-1.9 -3.9
-1.8 -3.8
-1.5 -3.5
-1 -3
0 -2
1 -1
π(π₯) = 4π₯+1
2π₯+1
2π₯ + 1 = 0
π₯ = β0.5
x F(x)
-3 2.20
-2.5 2.25
-2 2.33
-1.5 2.5
-1 3
-0.7 4.5
-0.3 -0.5
0 1
0.5 1.5
1 1.66
1.5 1.75
2 1.8
2.5 1.83
3 1.85
EJERCICIOS
Calcula el lΓmite de las siguientes funciones racionales en los puntos donde
no hay soluciΓ³n
π(π₯) = 5π+3
3π₯β2
π(π₯) = 1π+3
4π₯β1
π(π₯) = 5π+5
2π₯+1
π(π₯) = π₯3+6
π₯+2
π(π₯) = 1πβ2
7π₯β8
π(π₯) = 2π₯2β4
π₯β2
π(π₯) = π₯2+2.3
π₯+4
π(π₯) = 2π₯2β2π
π₯β3
π(π₯) = 2π₯2β4
β3π₯+2
π(π₯) = πβ8π
βπ₯+2
LIMITES INFINITOS
π(π) = π
ππ
π β π
x y -3 -0.037
-2 -0.125
-1 -1
-0.5 -8
-0.2 -125
-0.1 -1000
-0.01 -1000000
0.01 1000000
0.1 1000
0.2 125
0.5 8
1 1
2 0.125
3 0.037
-1500000
-1000000
-500000
0
500000
1000000
1500000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Valores Y
Valores Y
Calcula los siguientes lΓmites
π. π(π) = π
ππ
π. π(π) = π
ππ
π. π(π) =π
ππ
4.- π(π) =π
ππ
5.- π(π) =π
πβπ
6.- π(π) =π
ππ
7.- π(π) =π
ππ
8.- π(π) =π
πβπ
9.- π(π) =π
ππ
10.- π(π) =π
πβπ
LIMITES EN EL INFINITO
π(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
+
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Valores Y
Valores Y
FactorizaciΓ³n
π₯2 + 2π₯ β 3
(π₯ β 1)(π₯ + 3)
π₯ β 1 = 0 π₯ + 3 = 0
π₯ = 1 π₯ β 3
π(π₯) =2(1)β1
12+2(1)β3
2β1
1+2β3=
1
0= β
π(π₯) = 2(β3)β1
β32+2(β3)β3
β6β1
9β6β3=
β7
0= β
X Y
-6 -0.6
-5 -0.9
-4 -1.8
-3.5 -3.5
-3.2 -8.8
-3.1 -17.56
-3.01 -175
-2.99 174.9
-2.9 17.4
-2.8 8.68
-2.5 3.42
-2 1.66
-1 0.75
0 0.33
0.5 0
0.8 0.78
0.9 -2.05
0.99 -24.56
1.01 -24.43
1.1 2.92
1.2 1.66
1.5 0.88
2 0.6
3 0.41
4 0.33
Calcula los siguientes lΓmites en el infinito
π. βπ(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
π. βπ(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
3.- π(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
4.- π(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
5.- π(π) = ππβπ
πππ+ππβπ
6.- π(π) = ππβπ
ππ+ππ+π
7.- π(π) = ππβπ
ππ+ππβπ
8.- π(π) = ππβπ
ππβππ+π
9.- π(π) = ππβπ
ππππ+ππ+ππ
10.- π(π) = ππβπ
πππ+ππβπ
RAZΓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTΓNEO
π. π(π) = πππ + ππ β π
π(π₯ + βπ₯) = 2(π₯ + βπ₯)2 + 7(π₯ + βπ₯) β 9
π(π₯ + βπ₯) = 2(π₯2 + 2π₯βπ₯ + βπ₯2) + 7(π₯ + βπ₯) β 9
π(π₯ + βπ₯) = 2π₯2 + 4π₯βπ₯ + 2βπ₯2 + 7π₯ + 7βπ₯ β 9
ππ¦
ππ₯= π = limβπ₯β0 =
[2π₯2+4π₯βπ₯+2βπ₯2+7π₯+7βπ₯β9]β[2π₯2+7π₯β9]
βπ₯
ππ¦
ππ₯= π = limβπ₯β0 =
4π₯βπ₯+2βπ₯2+7βπ₯
βπ₯= limβπ₯β0 =
4π₯βπ₯
βπ₯+
2βπ₯2
βπ₯+
βπ₯
βπ₯
ππ¦
ππ₯= limβπ₯β0 = 4π₯ + 2βπ₯ + 7 = 4π₯ + 2(0) + 7
π. π(π) = βπ ππ¦
ππ₯= π = limβπ₯β0 =
[β6]β[β6]
βπ₯
π. π(π) = ππ β π
π(π₯ + βπ₯) = 2(π₯ + βπ₯) β 3
π(π₯ + βπ₯) = 2π₯ + 2βπ₯ β 3 ππ¦
ππ₯= π = lim
βπ₯β0=
[2π₯+2βπ₯β3]β[2π₯β3]
βπ₯= lim
βπ₯β0=
2βπ₯
βπ₯= lim
βπ₯β0
π. π(π) =π
π
ππ¦
ππ₯π = lim
βπ₯β0= [
1
2] β [
1
2]
π. π(π) = ππ β ππ
π(π₯ + βπ₯) = 7(π₯ β βπ₯) β 40 = 7π₯ + 7βπ₯ β 40 ππ¦
ππ₯= π = lim
βπ₯β0=
[7π₯+7βπ₯β40]β[7π₯β40]
βπ₯
ππ¦
ππ₯= π = lim
βπ₯β0=
7βπ₯
βπ₯
Calcula la razΓ³n de cambio de las siguientes funciones:
1. π(π₯) = 14π₯2 β 23π₯ + 9
2. π(π₯) = 1
5π₯2 +
2
3π₯ + 8
3. π(π₯) = βπ₯3 + π₯2 β π₯ β 3
4. π(π₯) = β2π₯3 β 6π₯2 β 5π₯ β 3
5. π(π₯) = 1
3π₯ +
1
7
=4x+7
=0
=2
=0
=7
6. π(π₯) = 12π₯2 + 23π₯ β 9
7. π(π₯) = 4π₯2 β 3π₯ + 9
8. π(π₯) = β2π₯3 + 6π₯2 + 4π₯ β 2
9. π(π₯) = 2π₯3 β 4π₯2 + 5π₯ β 9
10. (π₯) = 1
5π₯ +
1
6
VELOCIDAD PROMEDIO
1.-La ciudad de MΓ©xico a la de puebla se hace en autobΓΊs una hora treinta
minutos, al recorrer la distancia de 128 km que las separa podemos calcular la
magnitud de la velocidad media durante el viaje
Ξ½α΅= π
π‘=
128 ππ
1.5 β= 85.3 ππ
ββ
2.-Encuentra la velocidad media o promedio de un mΓ³vil que durante su recorrido
hacia el norte tuvo las siguientes Velocidades
Datos
π£1 = 18.5 ππ π£2= β 22 π
π β π£3 = 20.3 π π β π£4 = 21.5 π π β π£π =?
Formula:
π£π =π£1+ π£2+ π£3+ π£4
4
π£1 + π£2 + π£3 + π£4 = βπ’
.. . π£π =βπ£
4
SustituciΓ³n y resultado
Ξ£π£ = 18.5 π π β + 22 π π β + 20.3 π π β + 21.5 π π β = 82.3 π π β
π£π =82.3 π π β
4= 20.57 π π β
π£π = 20.57 π π β ππ ππππ‘π
3.-determinar el tiempo en que un mΓ³vil recorre una distancia de 30 m si lleva una
velocidad media de 3 π π β al sur. SoluciΓ³n:
Datos: d= 30m π£π = 3 π π β t=?
Formula: π£π =π
π‘ β΄ π‘ =
π
π£π
SustituciΓ³n y resultado π‘ =30π
3π π β= 10π
4.- Calcular la velocidad promedio de un mΓ³vil si partiΓ³ al este con velocidad inicial
de 2 m/s y su velocidad final fue de 2.7 m/s
Datos π£0 = 2π
π π£π = 2.7
π
π π£π =?
Formula= π£π =π£0+ π£π
2
SustituciΓ³n y resultado π£π =2π π +2.7π π ββ
2= 2.35π/π
π£π = 2.35π
π ππ ππ π‘π
5.- Calcular la distancia en metros que recorrerΓ‘ un motociclista durante 10
segundos si lleva una velocidad media de 60 km/h al oeste. SoluciΓ³n:
Datos: π£π = 60ππ
β π‘ = 10 π π =?
Formula: π£π =π
π‘ β΄ π = π£ππ‘
TransformaciΓ³n de unidades: 60ππ
βπ₯
1000π
1πππ₯
1β
3600π = 16.66 π/π
SustituciΓ³n y resultado d= 16.66 m/s X10 s = 166.6 m
Ejercicios:
1.- ΒΏCuΓ‘l es la magnitud de la velocidad promedio de un autobΓΊs de pasajeros
que recorre una distancia de 120 km en 1.6h?
2.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automΓ³vil que lleva una
velocidad inicial cuya magnitud es de 3 m/s y su velocidad final es de una
magnitud de 4.2 m/s.
3.- Encuentra el desplazamiento en metros que realizara un ciclista durante 7
segundos, si lleva una velocidad media de 30km/h al norte
4.- calcular el tiempo en horas en que un automΓ³vil efectΓΊa un desplazamiento de
3 km si lleva una velocidad media de 50 km/h al sur.
5.- calcular el tiempo en horas en que un automΓ³vil efectΓΊa un desplazamiento de
8 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al norte.
6.- calcular el tiempo en horas en que un camiΓ³n de carga efectΓΊa un
desplazamiento de 3.5 km si lleva una velocidad media de 60 km/h al este.
8.- calcular el tiempo en horas en que un autobΓΊs efectΓΊa un desplazamiento de
12 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al sur.
9.- ΒΏCuΓ‘l es la magnitud de la velocidad promedio de un autobΓΊs de pasajeros
que recorre una distancia de 150 km en 2.6h?
10.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automΓ³vil que lleva
una velocidad inicial cuya magnitud es de 8 m/s y su velocidad final es de una
magnitud de 6.2 m/s.
DERIVADA
1- Ζ(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X
Ζβ(X)=20X-6-24X-4-12X+X2-6
Ζβ(X)=-6X-9+3X-4+6X2+8X-1-11X+3
Ζβ(X)=54X-10-12X-5+12X-8X2-11+0
2- Ζ(X)=-6X-5+8X-3+16X4-32X-1-6
Ζβ(X)=30X-6-24X-4+64X3+32X2-0
RESUELVE LAS SIGUIENTES DERIVADAS
1- Ζ(X)=18X3-28X4+16X5+7X
2- Ζ(X)=9X3+23X2+8X-3
3- Ζ(X)=4X-6+7
πβ4+6X-5+6
π3 +1
π+ 30
4- Ζ(X)=1
3πβ4 +
6
5π2 +7
π+
1
2πβ8
5- Ζ(X)=5X4+6X2+3X5+8X+1
6- Ζ(X)=6X-3+8X5+36X2-23X+52
7- Ζ(X)=6X-9+8X3-16X-28X-5+35X3+23X2
8- Ζ(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X
9- Ζ(X)=9X3-6X2+7X4+8X+6
10- 10-Ζ(X)=3X-5+6X-9X2+3X3
Ζβ(X)=30
π6 β24
π4 + 64π3 +32
π2
Ζβ(X)=54
π10β
12
π5+12Xβ
8
π2β 11
REGLA DEL PRODUCTO
1. La derivada de la primera expresiΓ³n por la segunda , mas
2. La derivada de la segunda expresiΓ³n por la primera
ππ¦
ππ₯(π’. π£) = (
ππ¦
ππ₯) (π£) + (
ππ¦
ππ₯) (π’)
Ejemplos
1. π(π) = (ππ±π + πππ + ππ β π) (πππ β ππ + π + ππππ )
La derivada de la primera expresiΓ³n mΓ‘s, la derivada de la segunda expresiΓ³n por
la primera.
Κ Β΄(x)= (14π₯ + 27π₯2 + 6) (2π₯4 β 7π₯ + 2 + 16π₯2) + (8π₯3 β 7 + 32π₯) (7π₯ + 9π₯3 + 6π₯ β 3)
n
=28π₯5 β 98π₯2 + 28π₯ + 224π₯3 + 54π₯6 β 189π₯3 + 54π₯2 + 432π₯4 + 12π₯4 β 42π₯ + 12 + 96π₯2 ,
+56π₯5 + 72π₯6 + 48π₯4 β 24π₯3 β 49π₯2 β 63π₯3 β 42π₯ + 21 + 224π₯3 + 288π₯4 + 192π₯2 β 96π₯.
Sumando las expresiones obtenemos el resultado
2. π(π) = (ππ±π β πππ±π + ππ±π + ππ± + π) (π β ππ±π β πππ±π + ππ±π + πππ±)
π Β΄ (π₯) = (42π₯5 β 76π₯3 + 21π₯2 + 6) (2 β 4π₯3 β 12π₯4 + 3π₯5 + 13π₯)
+ (β12π₯2 β 48π₯3 + 15π₯4 + 13) (7π₯6 β 19π₯4 + 7π₯3 + 6π₯ + 9)
=84π₯5 β 168π₯8 β 504π₯9 + 126π₯10 + 546π₯6 β 152π₯3 + 304π₯6 + 912π₯7 β 288π₯8 β 988π₯4 +
42π₯2 β 84π₯5 β 252π₯6 + 63π₯7 + 273π₯3 + 12 β 243π₯3 β 72π₯4 + 18π₯5 + 78π₯ ,
β84π₯8 + 228π₯6 β 85π₯5 β 72π₯3 β 108π₯2 β 336π₯9 + 912π₯7 β 336π₯6 β 288π₯4 β 432π₯3 +
105π₯10 β 285π₯8 + 105π₯7 + 90π₯5 + 135π₯4 + 91π₯6 β 247π₯4 + 91π₯3 + 78π₯ + 117.
Resultado =126π₯6 + 84π₯5 + 780π₯4 + 172π₯3 + 195π₯2 β 152π₯ + 33
Resultado=231π₯10 β 840π₯9 β 765π₯8 + 1992π₯7 + 581π₯6 + 24π₯5 β 460π₯4 β 316π₯3 β 66π₯2 +
156π₯ + 129
3. π(π) = ( β18x + 12 ) (2x β 11 )
f Β΄ (x)= (β18) (=2x β 11) + ( 2) ( β18x + 12 )
= β36x+198β36x+24
=β36xβ36x+198+24
4. π(π) = (πππ β π) (ππ + ππ β π)
fΒ΄(x) = (2x)( x2 + 2x β 1) + (x + 2 β 1)(2x2 β x)
=2π₯3 + 4π₯4 β 2 + 2π₯3 β π₯2 β 4π₯2 β 2π₯ β 2π₯2 + 1π₯
=2π₯3 + 2π₯3 + 4π₯2 + π₯2 + 4π₯2 β π₯2 β 2π₯2 β 2π₯ + 1π₯ β 2
5. π(π)= (x+3) ( βππ β π + π)
fΒ΄(x) = (3)(βx2 β x + 3) + (βx + 3)(x + 3)
=β3π₯2 β 3π₯ + 9 β π₯2 β 3π₯ + 3π₯ + 9
=β3π₯2 β π₯2 β 3π₯ + 3π₯ + 9 + 9
Ahora hazlo tΓΊβ¦
Resuelve los siguientes ejercicios
1. π(π) = (βπππ± β π)(ππ± + ππ)
2. π(π)= (πππ + ππ β π)(βππ + π)
3. π(π)= (2x+1) (βπππ β ππ + π)
4. π(π)= (5x+1) (ππ β ππ β π)
5. π(π)= (ππ β π) (ππ + ππ β π)
6. π(π) = (ππ + πππ)(ππ± + ππ)
7. π(π) = (ππππ β π)(ππ± + π)
8. π(π) = (ππ β π) (ππ β ππ + π)
9. π(π₯) = πππ β πππ ) (πππ β ππ β π)
10. π(π) = (ππ β ππ) (ππ β ππ β π)
Resultado = β72x + 222
Resultado = 4π₯3 β 6π₯2 β 2
Resultado= β4π₯2 β 6π₯ + 18
REGLA DEL COCIENTE
FΓ³rmula: π(
π’
π£)
ππ₯=
(ππ’
π₯)(π£)β(
πβπ£
ππ₯)(π’)
π2
Ejemplo:
1.- Encuentra la siguiente derivada.
π(π) = πππ + π β π
πππ+ππ + π
πβ²(π₯) =
(π(6π₯2 + 3 β 2)ππ₯
(7π₯3+π₯2 + 6) β(π(7π₯3+π₯2 + 6)
ππ₯(6π₯2 + 3 β 2)
7π₯3+π₯2 + 62
πβ²(π₯) =(12π₯ + 3)(7π₯3+π₯2 + 6) β (21π₯2 + 2π₯)(6π₯2 + 3 β 2)
7π₯3+π₯2 + 62
πβ²(π₯)(84π₯4 + 12π₯3 + 72π₯ + 21π₯3 + 3π₯2 + 18) β (126π₯4 β 63π₯3 β 42π₯ + 2π₯3 + 6π₯2 β 4π₯)
7π₯3+π₯2 + 62
πβ²(π₯) =84π₯4 + 12π₯3 + 72π₯ + 21π₯3 + 3π₯2 + 18 β 126π₯4 + 63π₯3 + 42π₯ β 2π₯3 β 6π₯2 + 4π₯
7π₯3+π₯2 + 62
πβ²(π±) =βπππ±π β πππ±π + πππ±π + πππ± + ππ
ππ±π+π±π + ππ
2.- Encuentra la siguiente derivada.
π(π) = πππ β πππ + ππ β π
ππ β ππ+ππππ + πππ
πβ²(π₯) =
(π(6π₯5 + 3π₯4 + 8π₯ β 3)ππ₯
(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯) β(π(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯)
ππ₯(6π₯5 β 3π₯4 + 8π₯ β 3)
π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯
πβ²(π₯) =(30π₯4 β 12 + 8)(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯) β (4π₯3 β 3π₯2 + 24π₯ + 20)(6π₯5 β 3π₯4 + 8π₯ β 3)
(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯)2
πβ²(π₯)(30π₯8 β 30π₯7 + 360π₯6 + 600π₯5 β 12π₯7 + 12π₯6 β 24π₯5 β 240π₯4 + 8π₯4 β 8π₯3 + 96π₯2 + 160π₯) β (24π₯8 β 12π₯7 + 32π₯4 β 12π₯3 β 18π₯7 + 9π₯6 β 24π₯3 + 9π₯2 + 144π₯6 β 72π₯5 + 192π₯2 β 72π₯)
(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯)2
πβ²(π₯)30π₯8 β 30π₯7 + 360π₯6 + 600π₯5 β 12π₯7 + 12π₯6 β 24π₯5 β 240π₯4 + 8π₯4 β 8π₯3 + 96π₯2 + 160π₯ β 24π₯8 + 12π₯7 β 32π₯4 + 12π₯3 + 18π₯7 β 9π₯6 + 24π₯3 β 9π₯2 β 144π₯6 + 72π₯5 β 192π₯2 + 72π₯
(π₯4 β π₯3+12π₯2 + 20π₯)2
πβ²(π)πππ β ππππ + πππππ + πππππ β πππππ + ππππ β πππππ + πππ + ππ
(ππ β ππ+ππππ + πππ)π
Ejercicios: Deriva las siguientes expresiones:
1.- π(π₯) = 6π₯2+4β2
7π₯3+π₯2+8
2.- π(π₯) = 7π₯2+3β2
9π₯3+π₯2+4
3.- π(π₯) = 6π₯3+3π₯2β2π₯+4
2π₯47π₯3+π₯2+6
4.- π(π₯) = 9π₯2+3β2
7π₯3+3π₯2+8
5.- π(π₯) = 6π₯2+3β2
7π₯3+5π₯2+6
6.- π(π₯) = 2π₯2+5β1
7π₯3+π₯2+9
7.- π(π₯) = 3π₯3+3π₯2β2π₯+4
2π₯45π₯3+2π₯2+4
8.- π(π₯) = 2π₯2β3β2
7π₯3β3π₯2β5
9.- π(π₯) = 3π₯46π₯3+3π₯2β2π₯β4
2π₯48π₯3+2π₯2+6
10.- π(π₯) = 4π₯36π₯2+3π₯β7
2π₯3+π₯2+8
REGLA DE LA CADENA
1.- π(π₯) = (2π₯ + 1)3
πβ²(π₯) = 3(2π₯ + 1)3β1 ππ₯(2π₯ + 1) = 3(2π₯ + 1)2 (2)
πΒ΄(π₯) = 6(2π₯ + 1)2
2.-πΒ΄π₯ = (π₯2 + 4π₯ β 5)4
πΒ΄π₯ = 4(π₯2 + 4π₯ β 5)4β1 ππ₯4(π₯2 + 4π₯ β 5) = 4(π₯2 + 4π₯ β 5)3 (2π₯ + 4)
πΒ΄π₯ = 8(2π₯2 + 4)(π₯2 + 4 β 5)3
Ejercicios
1.- πΒ΄π₯ = (π₯2 + 5)
2.- πΒ΄π₯ = (π₯2 + 4)β3
3.- πΒ΄π₯ = (π₯3β32 + 5π₯ + 2)
4.- πΒ΄π₯ = (π₯2 + 5π₯ β 2)
5.- f Β΄π₯ = (π₯2 + 5π₯ + 8)
6.- πΒ΄π₯=(π₯2 β 2π₯ + 3)
7.- πΒ΄π₯=(π₯β2 + 8π₯ β 5)
8.- πΒ΄π₯= (π₯2 + 2π₯ + 1)
9.- πΒ΄π₯ = (π₯β2 + 7)
10.- πΒ΄π₯ = (π₯3 β 3π₯ β 9)
MAXIMOS Y MINIMOS
El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 3 cm y que
aumenta 0.02cm cada uno
π¦ = π₯3
ππ¦
ππ₯= 3π₯2
ππ¦ = 3π₯2ππ₯ x= 3 dx=0.02
ππ¦ = 3(3)2 (0.02)
dx=0.54ππ3
Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera
constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del
cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 8 cm y cuyo espesor es de 0.12cm
volumen de una esfera 4ππ₯π 2
3
V= 4ππ₯π 2
3
X=4π
3 π₯2
ππ¦
ππ₯=
12π
3 π₯2
ππ¦
ππ₯=4ππ₯2
ππ¦ = 4ππ₯2 (dx)
ππ¦ = 4(3.14)(8)2(0.12)
ππ¦ = 9646ππ3
Ejercicios
1.-El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 8 cm y que
aumenta 0.017cm cada uno
2.-un terreno mide 2ππ2 calcula cual es el error si la cerca se recorre un metro
a) hacia afuera
b) hacia adentro
3.-un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de
20cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.02% de aumento en sus
dimensiones ΒΏcual serΓ‘ la nueva capacidad del recipiente?
4.- Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera
constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del
cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 10 cm y cuyo espesor es de 0.18cm
volumen de una esfera 4ππ₯π 2
3
5.- El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 10 cm y que
aumenta 0.035cm cada uno
6.- un terreno mide 5ππ2 calcula cual es el error si la cerca se recorre 1
2 metro
a) hacia afuera
b) hacia adentro
7.- un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de
25 cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.05% de aumento en sus
dimensiones ΒΏcuΓ‘l serΓ‘ la nueva capacidad del recipiente?
8.- El incremento aproximado del volumen de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm y
que aumenta 0.017cm cada uno
9.- Se considera que el volumen de un cascaron esfΓ©rico que recubre una esfera
constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del
cascaron esfΓ©rico que tiene el radio interior de 9 cm y cuyo espesor es de 0.20cm
volumen de una esfera 4ππ₯π 2
3
10.-un recipiente flexible esfΓ©rico tiene tiene un radio de 18cm a temperatura
ambiente. Su volumen varia en +
β 1% por cada grado centΓgrado de aumento o
disminuciΓ³n de temperatura originalmente la temperatura es de 25%
a) calcula la variaciΓ³n de volumen si la temperatura es de
a)50Β°c
b)30Β°c