Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 9

luego

Analogamente, como 3 E F , entonces existe r E R tal que fl(r) = 3 Y se tiene que

r0(y 0 x) = f{ 3 x f{ 1~ x ~:)) = f{ 3 x f{~~ ))

=fl ( 3 x 32) =fl( 96) =fl( 24) =24 64 64 16 16

Asi que,

Finalmente, como ..!. E F , existe s E R tal que fl(s) =..!. y4 4

Como

0 r 0 v = f{ 3 x i) = t{ ~1) = 28

y

entonces

20 3) ( 14) 28(r0v)e(r 0 s)=fl( 8-"4 =fl 8 =16

10 METOOOS NUMERICOS

Asfque

r®(ves);t(r®v) e(r®s)

1.2 ERR ORES DE REDONDEO

Sabemos que todo numero real X;t 0 puede escribirse en la forma decimal normalizada siguiente

Supongamos, para simplificar el analisis de los errores de redondeo, que nuestro conjunto de punto f10tante F es de t-dfgitos (precisi6n t) en base 10 (decimal); en tal caso la forma de

punto f10tante (normalizada) de X, fl(x) , se obtiene finalizando la mantisa de x despues de t­

dfgitos. Se acostumbran dos formas para hacerlo:

i. Cortando 0 truncando el numero x: En este caso

f(x) = ±(.a1a2 .. . at ) x 10n , (no importa como sea at+ 1 )

ii. Redondeando el numero x: En este caso

si 0 ~ at+1 < 5

EI error Ix - f1( x) I que resulta al reemplazar un numero x por su representante de punto

flotante, f1(x) , se seguira denominando error de redondeo, independientemente de que se use el metodo de cortado 0 de redondeo.

Ejemplo 1.1 Supongamos t = 5 Y usemos las reglas de redondeo y cortado para encontrar el representante de punto flotante decimal en cada uno de los siguientes casas:

a) e = 2.718281828 ... (irracional)

=(2718281828.. . ) x 101 (forma decimal normalizada)

Entonces

(27182) x 101 , cortando

fl(e) ::

\ (27183) x 101 , redondeando ( ya que as = 8 > 5 )

b) Jt = 3.141592653... limldM..

= (.3141592653 ) 10

Entonces

c) x - - 123456789

.. (.1234567

Entonces

d) Y =.000021 3475

(213475)

Entonces

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 11

b) rr = 3.141592653 ... (irracional)

=(.3141592653 .. ) x 101 (forma decimal normalizada)

Entonces (.314 1 5) x 1 01 , cortando

fl(rr) =

(.3 1416) x 10\ redondeandoIc) X = - 123456789 (racional)

= - (.1 23456789) x 10 9 (forma decimal normalizada)

Entonces

_(.12345) x 10 9 , cortando

fl( X) =

-(.12346) x 109 , redondeando1

d) Y =.0000213475 (racional)

= (.213475) x 10-4 (forma decimal normalizada)

Entonces

(.21347) x 10 -4 , cortando

fl(y) =

(.21348) x 10-4 , redondeando1

Que pasa si se redondea el numero y antes de normalizarlo?

e) z = 3. =.6666666... (racional, peri6dico) 3

= (.6666666 ...) x 10° (forma decimal normalizada)

Entonces

(.66666) x 10° , cortando

1fl(z) =

(.66667) x 10° , redondeando •

C6mo medir los errores de redondeo?

Hay varias formas acostumbradas para medir errores de aproximaci6n; algunas de elias se dan en la siguiente definici6n.

12 METODOS NUMERICOS

Definici6n 1.1 Sea x· una aproximaci6n de un numero real x. EI error de x con

respecto a x es E= x - x· ; el error absoluto de x· con respecto a x es E = Ix - x·1 y el

error relativo de x· con ..specto a x, "0, es Er " IXI ~~. I. Tambi"'n se define el error

porcentual de x· con respecto a x, como Er x 100 Yse expresa en porcentaje (%). V

Un caso particular de aproximaci6n de un numero x es cuando x· = fl( x) , y se tiene

Ix-fl(x) I E =I x - fl( x) I y Er = Ix I , X;o; 0

Va vimos que el error de redondeo puede depender del tamal'\o del numero, pues los numeros de punto flotante no estan distribuidos de manera uniforme en la recta real; desde este punto de vista el error relativo es una mejor medida del error de redondeo que el error absoluto.

Estimemos la menor cota superior para el error relativo cuando un numero real . x ;0; 0 es

aproximado por su representante de punto fiotante, fl( x), en una aritmetica decimal de t­

digitos.

Sea

un numero real positiv~ cualquiera en forma decimal normaliz;ada.

Si fI(x) se obtiene por redondeo, tenemos:

a) Si 0 :5 al+ 1 < 5 , entonces

yentonces

I(.a,a2···atat+,··') x 10n _ (.a,a2···at) x lOn I Er =~----~----------------~----~

I(.a,a2 .. ·atat+, ···) x lOn I

n tI (.aI+ 1a t+2 " ') x lO - I nI(.a,a2 .. ·atat+ ",,) x 10

I(.at+1at+2·..) I x lO - t

I(.a ,a2.. ·atal+,"') I

b) Si 5 s at+1 s 9 , entonces

asique

I(.a,a2···a,a,." ,,) 1 Er = '-------,/-­

•

.1

De a) y b) se tiene que SI XII O

Observe, en el trabajo

l1li X. EI error de x' con

• x es E=Ix - x'i y el

. Tambien se define el error

del numero, pues los en la recta real; desde

de reclondeo que el error

III numero real . x *0 es aritmetica decimal de t-

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 13

b) Si 5 ~ a ~ 9 , entonces l+1

asique lI (.a,a2.· alal+,··.) x 10

n - [(.a,a 2.. al ) x lOn + to x lOn

- ] I Er=~--------~------~--------~--------~

nI (.a1a2 ·· a1aI+1·'·) x 10 I

I (.a t+1at+2·..) x 1 On- I - to x 10n-t I

I (.a1a2·.. ata l+, .:.) x 10n I

I (.a t+1at+ 2 · ·) - 1.0 I -I = x 10 • I (.a,a2... ata l+, ··) I .5 - t

~I ( . )l x 10 , yaque .al + ,al+ 2 ·· · ~ ·5 .a1a2·.. atal +1···

1 t< .5 x 10- = 5 x 10 ­.1

ya que .a,a2 ·.. alal+1·"~ .10 .. . 05 > .100 ...00

i posici6n t + 1

De a) y b) se tiene que si x * 0 Y fI(x) se obtiene por redondeo, entonces

I x - fl(x) I tEr = < 5 x 10 ­Ix I

Y 5 x 10 - t es la menor cota superior para el error relativo.

Observe, en el trabajo anterior, que E =Ix - fl( x) I~ 5 x 1 On-(1+1) .

Se puede verificar que si fl( x) se obtiene por cortado, entonces

E =I x - fl(x) I~ 10 x 10n-( t+1)

Ejemplo 1.2 Encuentre el error absoluto y el error relativo de x' con respecto a x, en cada uno de los siguientes casos:

a) x =(.50) x 102, x' = (.51) x 102. Entonces

14 METODOS NUMERICOS

E = I (.5) x 102 - (.5 1) x 102 1= 1- (·01) x 10 2 1=(·1) x 101 =1.0

3 3b) x=(.50)x10- , x·=(.51) x 10- . Entonces

E=(.01) x 10-3 =(.1) x 10-4 = .00001

Er == (.1) x 10-4

= (.1) x 10-1

1 .02 = 2%

(.5) x 10-3 .5 50

c) x==(.50) x 106, x· = (.51) x 106

. Entonces

E= (.01) x 106 = (.1) x 105 == 10000

(.1) x 105 .1 Er = == .02 = 2% •

(.5) x 106 (.5) x 101 50

Este ejemplo nos muestra que el error relativo es invariante aJ cambio de escala y se usa como una medida de precisi6n 0 cercanfa.

Teniendo en cuenta la menor cota superior para el error relativo usando redondeo, se define e/ concepto de cifras significativas.

Deflnici6n 1.2 Se dice que e/ numero x· aproxima con sus primeros t-digitos 0 cifras significativas al numero x * 0 , si t es el mayor entero no negativo para e/ cual

Los dos conceptos anteriores pueden Aquf se usaran las definiciones dadas

EjempJo 1.3 Si x = .003451 Y x·

asi que k = 3 es el mayor

Luego .003348 aproxima a .00345 en este caso 0, 0 y 3.

Observe que si y - 28.003451 ,

.00005 <Iy- y" 1=

y nuevamente, y" aproXlml supuesto, 0, 0 y 3

I x - x" 1 Er= < 5x10 - t

Ix I

Los t-dfgitos significativos, a que se refiere esta deflnici6n, son 105 primeros t-dfgitos en la

mantisa de x· cuando x· se escribe en forma decimal normalizada. V

De acuerdo con /a definici6n anterior, si x· == fl( x) en una aritmetica de punta flotante

decimal con redondeo a t-dfgitos, entonces fl( x) aproxima a x con t cifras significativas, es

decir, todos 105 dfgitos en la mantisa de fl( x) son significativos con respecto a x.

Tambien se define el concepto de cifras decimales exactas, como sigue:

Deflnici6n 1.3 Se dice que el numero x· aproxima con sus primeras k-cifras decimaJes exactas a/ numero x, si k es el mayor entero no negativo tal que

Como

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 15

E = I X - X"I :<; 5 x 1O - (k+ 1j

Las k cifras decimales exactas, a que se refiere esta definicion, son las primeras k cifras

contadas a partir del punto decimal en x" , cuando x" se escribe en forma decimal. V

Los dos conceptos anteriores pueden aparecer definidos de manera distinta en otros textos. Aqu i se usaran las definiciones dadas.

Ejemplo 1.3 Si x = .003451 Y x· = .003348 , entonces

4 3 1.00005 < Ix - x"1= .0001 03 < .0005 = 5 x 10- < 5 x 10- < 5 x 10-2 < 5 x 10­

asi que k =3 es el mayor entero no negativo ta l que 1 .003451- .003348 1:<; 5 x 1O - (k+1) .

Luego .003348 aproxima a .003451 con sus tres primeras cifras decimales exactas , que son en este caso 0, 0 y 3.

Observe que si y = 28.003451 Y y" =28.003348, entonces

4 3 2 1.00005 < Iy- y' ,= .000103 < .0005 = 5 x 10- < 5 x 10- < 5 x 10- < 5 x 10­

y nuevamente, y" aproxima a y con sus primeras tres cifras decimales exactas, que son , par supuesto, 0, 0 y 3,

Ahora, el error relativo de x' con respecto a x es

.000103 ,005 < Er = .029,< .05 = 5 x 10-2 < 5 x 10 -1

.003451

asi que t =2 es el mayor entero no negativo que satisface

1 .003451- .003348 1 t !.-.---------'- < 5 x 1 0­

1.0034511 '

y por tanto x' aproxima a x con sus primeros 2-digitos significativos que son 3 y 3 (Por que?)

Con cuantas cifras significativas aproxima y' a y? •

1 Ejemplo 1.4 Con cuantas cifras significativas aproxima .333 a '3? Como

333 ~ -.333I i-· J 1 ~3__1= 11- .999 1= .001

3I i I

16 M~TOOOS NUM~RICOS

Y .0005 < .001 < .005 = 5 x 10-3 < 5 x 10-2 < 5 x 10-1 , entonces t = 3 es el mayor entero no

negativo tal que

--.3331 I \ 3 5 10- t

I ~ I < x

Por 10 tanto .333 aproxima a 3"1

con 3 cifras significativas. Observe que .333 es el numero

1 en aritmetica de punto flotante decimal con redondeo a tres digitos que representa a 3"' •

Ejemplo 1.5 D6nde debe estar x· para que aproxime a 1000 con 4 cifras significativas?

De acuerdo con la definici6n 1.2, x· debe ser tal que

1000 - x· 41<5 x 10- y1000

1000 - x· 5I~ 5 x 10 ­1000

La desigualdad i) tiene como soluci6n 999.5 < x· < 1000.5 Y la desigualdad ii) tiene como

soluci6n x· ~ 999.95 0 x· ~ 1000.05. Interceptando las dos soluciones se obtiene que x· debe estar en

(999.5, 999.95] u [1000.05, 1000.5) •

1.3 PERDIDA DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Sean X= .43574628 Y Y = .43574781 . Si usamos aritmetica (de punto flotante) decimal con redondeo a 6 dlgitos, entonces los representantes de x Y Y son

fl(x)= .435746, fl(Y)= .435748

Se sa be que fl(x) Y fl(y) aproximan a x e y, respectivamente, con todas sus seis ·cifras significativas (Verifiquelo).

Ahora , x - y=-1.53x10 -6 = -.153 x 10-5

y x 8 y = fl(fl(X) - fl(Y)) = fl(.435746- .435748)

6= fl(-2.0 x 10- ) = fl( - .2 x 10-5 )= -2 x 10-5

por tanto I error rela

con respecto a numeros "caSI Ig operacl nes

obtene 5

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 17

por tanto el error relativo de x e y con respecto a x - y es

1- .2 x 10-5 - (- .153 x 10-5 ) 1_ .047 _

.307 ... < .5 = 5 x 10- ' 1-.153 x 10- 5 1 - .153 ­

Luego x e y aproxima al valor exacto x - y con unicamente una cifra significativa (1), asf

que hubo perdida de 5 cifras significativas (fl(x) , fl(Y) ten /an cada uno 6 cifras signiticativas

con respecto a x e y, respectivamente); 10 anterior sugiere que debe evitarse la resta de numeros "casi iguales". Como ejercicio, revise en 'el mismo ejemplo, que pasa con las operaciones (fJ , ® y 8

Ejemplo 1.6 Encontrar las rarces de la ecuacion cuadratica

2x - 4002x + 80 = 0

usando la formula usual y aritmetica decimal con redondeo a 4 dlgitos.

De acuerdo con la formula usual, las ra ices son

4002 + J(4002)2 - 320 400.2 - J(400.2)2 - 320 xl = ---':--2-~--- Y x2 = - - - .:--2---­

Si hacemos los calcu los para Xl y x2 , usando aritmetica decimal con redondeo a 4 digitos,

obtenemos

x; = 4002 + .J160200 - 320 := 400.2 + J159900 = 400.2 + 399.9 = 800.1 =400.1 2 2 2 2

• 400.2 - J160200 - 320 400.2 - J159900 400.2 - 399.9 .3 x2 = --- --2---- .1500

2 2 2

Como las raices exactas de la ecuacion son x, =400.0 Y = 2 , entonces x; es una x2

aproximacion precisa (a 4 dlgitos) de x" mientras que x; es una aproximacion muy pobre

de (unicamente tiene una citra significativa con respecto a x2 ) .x2

La deficiencia en la estimaci6n de xjl se debe a que los numeros 400.2 y ~(400.2) 2 - 320

son numeros muy cercanos entre sf (en una aritmetica finita con redondeo a 4 dfgitos). En este caso se consigue una aproximacion mas exacta para X2, aumentando la precision de la

aritmetica 0 "racionalizando el numerador"

Si racionalizamos el numerador, es decir, si hacemos

18 METODOS NUMERIC OS

400.2 - J(400 .2)2 - 320 4002 + J(4002)2 - 320 160 x2 = x =------r==========

2 4002 + J(4002)2 - 320 400.2 + J(400.2)2- 320

= 80l I 2 1= ~ , donde c es el termino constante en la ecuaci6n x1400.2 + ,,(400.2)2 - 320

x2 + bx + C = 0 , obtenemos

• 80 80 = -- = -- = .2000x2

x~ 400.1

que coincide con el valor exacto de x2, en este caso.

C6mo resolve ria la ecuaci6n x2 + 400.2x + 80 = 0 , usando aritmetica decimal con redondeo a cuatro digitos, si quiere intentar evitar la perdida de cifras significativas en el calculo de las raices? *

\ Ejercicio 1.1 Elabore un programa de computador que resuelva la ecuaci6n cuadratica

general ax2 + bx + C = 0 (aun en el caso de ra ices complejas), usando aritmetica finita y que intente evitar la perdida de cifras significativas en el calculo de las raices. *

Ejemplo 1.7 Recordemos que para todo x E R

x2 x3

eX = I - = 1+x +-- + --+ .,. + --+ n=O nl 21 31 nl

00 xn xn

Si usamos aritmetica de computador para estimar eX , a partir de la serie , s610 podremos tomar un numero finito de terminos; digamos que tomamos los primeros n + 1 terminos (para un cierto n), entonces

2 3X x x xn e ",, 1+ x +-+--+.. +-­

2! 3! nl

EI polinomio x2 x3 xn

Pn(x) = 1 + x + -+ --+.,.+­2! 3! n!

se llama polinomio de Taylor de grado n para la funci6n f(x) = eX en el punto a = 0 0 tambien polinomio de Maclaurin.

Se sabe que

con n+1

Rn{x;O) = eE, _(x) para algun S entre 0 y x n + 11

o tamblen

los primeros n+1 I,••m-.,.

Supongamos que qUI"'"

digitos.

o tambiem

Capitulo 1. ERROR ES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 19

Observe que Rn(X;O) no es otra cosa que el residuo en la serie de Taylor cuando se toman

los primeros n + 1 terminos. A Rn(X;O) se Ie lIamara error de truncamiento 0 de formula al

aproximar la funci6n eX mediante el polinomio Pn(x) .

EI error de truncamiento 0 de f6rmu la ocurre cuando un proceso matematico se interrumpe antes de su terminaci6n .

5Supongamos que queremos estimar e-s y e a partir del polinomio de Taylor, es deci r,

5Cual es la aproximaci6n que se obtiene para e-5 y e , si se trabaja en una aritmetica (de punta flotante) decimal con redondeo a 4 digitos?

Las aproximaciones correspondientes a e-5 y e 5 aparecen en la TABLA 1.3.

De acuerdo con los resultados de la TABLA 1.3, en una aritmetica decimal con redondeo a 4

n (-5/ 5dfgitos, e-s "" .9993 x 10-2 (Ia suma I -- se estabilizo en n = 22) Y e "" 148.4 (Ia

k~O kl

n k

suma I ~ se estabilizo en n = 14 ) . k=O kl

s 5EI valor ex acto de e- es 6.737946999 .. x10-3 y el de e es 148.4131 591. Se observa

que para eS todos los cuatro digitos obtenidos en la aproximacion son significativos,

mientras que para e-s solo hay un digito significativ~

A que se debe el problema en el calculo de e-s ? Se debe a la suma alternada (hay que evitarlas) y al hecho de que hay terminos relativamente grandes con respecto al numero

pequeno e-s , los cuales al ser sumados producen perdida de cifras significativas.

Una forma mas adecuada de calcu lar e-5 es calcular para la aritmetica de punto 5e

flotante decimal con redondeo a cuatro digitos

20 METODOS NUMERICOS

_1 =_1_ =6.739 x 10-3

e 5 148.4

que es una mejor aproxlmaci6n de e-5 .

Con cuantas cifras significativas aproxima 6.739 x 10-3 al valor exacto e-5 ? •

5t 5 kn n (Grado n Termino Suma (I---,- ) Suma (IkI )

k=O .k=O k.

1.0000 1.000 1.000 1 6.000-5.000 -4.000 2 12.50 8.500 18.50 3 39.33-20.83 -12.33 4 26.04 13.71 65.37 5 91.41-26.04 -12.33 6 21.70 9.370 113.1 7 128.6-15.50 -6.130

9.6888 3.558 138.3 9 143.7-5.382 -1.824

10 2.691 .8670 146.4 11 147.6- 1.223 -.3560 12 .5097 .1537 148.1 13 148.3-.1960 -.4230 x 10-1

14 148.4.2771 x 10- 1.7001 x 10- 1

15 148.4-.2333 x 10-1 .4380x10-2

16 .7294 x 10-2 .1167x10-1

17 -.2145 x 10-2 .9525 x 10-2

18 .5959 x 10-3 .1012x10 -1

19 -.1568 x 10-3 .9963 x 10 -2

20 .3920 x 10-4 .1000 X 10-1

21 -.9333 x 10-5 .9991 x 10-2

22 .2121 x 10-5 .9993 x 10-2

23 -.4611 x 10-6 .9993 x 10-2

TABLA 1.3

1.4 ESTABILIDAD DE UN ALGORITMO

Los ejemplos 1.6 y 1.7 anteriores, muestran como un algoritmo mal concebido puede conducir a una respuesta defectuosa de un problema perfectamente bien planteado. La deficiencia fue corregida cambiando el algoritmo.

Cuando al aplicar un algoritmo para resolver un problema, el efecto acumulativo de los errores, incluyendo errores de redondeo, es limitado de modo que se genera un resultado util, el algoritmo se dice estable; en caso contrario, es decir, cuando los errores crecen de

manera incontrolada de modo algontmo se dice In"tlbII

Una forma de proceder

es decir, In

(irracional).

recurrencia In

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 21

manera incontrolada de modo que se genera una respuesta defectuosa al problema, el algoritmo se dice inestable.

Ejemplo 1.8 Supongamos que queremos calcular

, In = xnex-'dx, n = 1,2,3, .. J

o

Una forma de proceder para estos calculos es como se indica a continuaci6n

Usando integraci6n por partes con u = xn y dv =eHdx , tenemos que

, , , xIn = Jxnex-'dx = xne -, ]: - Jnxn- 'ex-'dx = 1- n Jxn-'ex-'dx

00 0 ~

I _,n , es decir, In = 1- nln_" n = 2,3,4,. ... Luego In = 1- nln_,' n = 2,3,4, ... con I, = Jxex- 'dx = ~

o (irracional).

Usando aritmetica (de punto flotante) decimal con redondeo a 6 digitos y la formula de recurrencia In = 1- nln_, ' obtenemos

I, "" .367879 = I; , 12 "" .264242 = I;, 13 "" 207274 = I;, 14 "" .170904 = I~ ,

15"" .145480=1; , 1 "" .127120 = 1 ~, 17'" .110160=1;, Ie'" .118720 = 1 ~,6

19 "" - .0684800 = I~

gEs claro que el valor -.0684800 ('" 19) es incorrecto, pues x eX

-' es continua y positiva

sobre el intervalo (0,1) . Que caus6 este resultado? Observe que unicamente hay error de

1 redondeo en el calculo de I" donde - fue redondeado a 6 digitos sign ificativos. Como la

e

f6rmula de recurrencia obtenida en la integraci6n por partes es exacta para la aritmetica real , entonces no hay error de f6rmula y as! el error en 19 es debido en su totalidad al error de

7redondeo en I, . EI error inicial fue E "" 4.412 x 10- .

AI calcular 12 ' tenemos

entonces 12 - I; = - 2 E.

Ahora ,

22 METODOS NUMERICOS

Por_...asl que 13 -I; = (- 2)(- 3) E.

Aillegar al calculo de 19 , obtenemos

19 = I~ +(-2)(- 3)' .. (- 9) E

es decir,

19 -I~ = (-2X-3). .. ( -9) E= 9! E

De donde

19 -I~ :0:362880(4.412 X 10-7 ),., .160102656

EI valor de 19 , con por 10 menos 4 cifras decimales exactas, es

19 = -.0684800+.160102656 = .091622656

Observe que el error absoluto, debido a los calculos, crece a medida que n aumenta, y es mucho mas grande que el valor real (en valor absoluto) que se esta aproximando (se puede ver que si E es el error inicial, entonces el error despues de n pasos es

En=ln-I~=(-1t1n! E, y limlEn l= lim 1(-1t1n!EI=+<x>; mientrasque 0 < ln ~-1- ) . En n.... '" n.... '" n + 1

conclusi6n, el algoritmo dado por la f6rmula de recurrencia

1 In = 1- nln-1' n = 2,3, ... con 11 =­

e

es inestable.

C6mo podemos escoger un algoritmo diferente el cual evite esta inestabilidad?

Si reescribimos la relaci6n de recurrencia como

1-1In- 1 = __n , n = N, ... ,3,2

n

entonces en cada paso del calculo el error en In es dividido por n . Asi que, si comenzamos

con un valor para algun In con n » 1, Y trabajamos hacia atras, cualquier error inicial 0

errores de redondeo que ocurran estaran decreciendo en cada paso. Este es un ejemplo de algorltmo astable.

Para obtener un valor inicial, notemos que

Por 10 tanto In ~ 0 cuando n ~ +<x> .

a medida que n aumenta , y es toe estti aproximando (se puede

despu~s de n pasos es

1 que 0 < In ~ --). En

n + 1

Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 23

Por ejemplo, si aproximamos 120 por 0 y usamos el valor 0 como un valor inicial , entonces

cometemos un error inicial E tal que 0 ~ E ~ ~ ; este error es multiplicado por _1_ al calcular 21 20

1,9 , as; que el error en el calculo de 1,9 , que es _1_ ,es tal que 20

1 1 1 o ~ -E ~

20 2021

Procediendo de esta manera, el error en el calculo de 1'5 es tal que

1 1 1 1 1 1 1 - 8 - 8 O ~ --- ... -E ~ --. .. -- ",, 2.56 x 10 < 5 x 10

16 17 20 16 17 20 21

10 que garantiza una precision de por 10 menos 6 ci fras decimales exactas para los valores

calculados de 1'5 ,... ,1 9 ,

Haciendo los calculos para 120 ,... ,19 , obtenemos

120 ::::: .0000000000 , 1,9::::: .05000000000 , 1'8 '" .0500000000,

117 ::::: .0527777778 , 1'6 ::::: .05571895425, 1,5 '" .05901 756536,

.06273216231, .06694770269 , 1'2 '" .07177325364 , 1'4 '" 1'3 '" I" '" .07735222886 , 110 '" .0838770701, 19 '" .09161229299 •

Ejemplo 1.9 La sucesi6n {Pn}n con Pn =(~r, n=0,1, ... se puede generar de varias

maneras; dos de elias son :

i) Xo =1 , x, =~, xn =(~) Xn-' -(~) Xn - 2' n=2,3, ...

Veamos que, efectivamente, la sucesi6n definida en i) es igual a la sucesion

lG)" Ln = 0.1. ... En efecto

24 METOOOS NUMERICOS

Si comlJ)ll:Ift'II.Supongamos que Xk = (~)Xk-l - (~)Xk-2 = (~r para 2:0; k < n, y veamos que

x -(~)x -(~)x _(~)n .n - 6 n-l 6 n-2 - 3 ­

Luego

(5) (1) (1) nx--x --x-- para todo n = 0,1, ...n - 6 n-l 6 n-2 - 3

Analogamente, se puede verificar que la sucesi6n definida en ii) es igual a la sucesi6n {Pn} n

con Pn=(~r, n=0,1, .... S, caIC_.~

Si usamos aritmetica decimal con redondeo a 7 digitos para calcular los primeros terminos de

las sucesi6nes {Pn} n' {xn t Y {yn}n' se obtienen los resultados que se muestran en la

TABLA 1.4 siguiente.

n

0

2 3 4 5

. Pn

1.000000 .3333333 .1111111

x~

1.000000 .3333333 .1111111

y~

1.000000 .3333333 .1111111

-1

-2

6 -2

7 - 3

8 -3

9 -4

10 -4

11 -5

12 -5

13 -5

14 - 6

15 16 17 18 19 20

- 6

-5

-5

-5

TABLA 1.4