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F
ACULTAD DE CONTADURÍA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MATERIAL DIDÁCTICO:
“ EJERCICIOS RESUELTOS
PARA
MATEMÁTICAS FINANCIERAS”
presenta:
DR. FERNANDO AVILA CARREÓN
Morelia, Mich., 2 febrero de 2011
UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO
INTERES SIMPLE
3.53.- Calcular los pagos equivalentes para cada una de las deudas.
DEUDAS PAGOS EQUIVALENTESFECHA FOCAL TASAa) $1200 a 80 días Total
Hoy 12%b) $ 200 a 3 meses, Total
Dentro de 6 meses 8%$800 a 9 meses
c) $600 hace 2 meses, $500 hoy y el saldoHoy 13%
$400 a 3 meses en 6 mesesd) $800 pagaderos hoy Dos pagos iguales que
Dentro de 7 meses 12%vencen en 4 y 7
mesese) $2000 hace 300 días Tres pagos iguales hoy,
Hoy 11%en 60 días y en
120 días
a) C= M1+ it
12001+(:12) 80
360
=
1168: 8b) M=(1+it) C= M
1+ it 200�1 + (:08) 3
12
�+
8001+(:08) 3
12
= 988: 31
c) M=(1+it) C= M1+ it 600
�1 + (:13) 2
12
�+
4001+(:13) 3
12
= 1000: 4� 500 = 500: 4�1 + (:13) 6
12
�= 532: 93
d) M=(1+it) 800�1 + (:12) 7
12
�=
856:0 856:02:03 = 421: 67
e) M=(1+it) 2000�1 + (:11) 300360
�=
2183: 3 2183:32:946690 = 740: 93
3.54.- Si el dinero vale 13% de interés simple, calcular los valores de unadeuda de $1500 pagadera en 8 meses con intereses de 14 12
a) hoy, b) dentro de 4 meses, c) dentro de un año.
1
M=(1+it) 1500�1 + (:145) 8
12
�=
1645:0a) C= M
1+ it1645
1+(:13) 812
=
1513: 8b) C= M
1+ it1645
1+(:13) 412
=
1576: 7c) M=(1+it) 1645
�1 + (:13) 4
12
�=
1716: 3
3.55.- Se va a liquidar una deuda de $500 que se venció hace 20 días, y otrapor $400 que se vence dentro de 50 días, con un pago de
$600 hoy y un pago �nal dentro de 90 días. Calcular el valor delpago �nal a la tasa de 11% de interés simple, con fecha focal de hoy.
M=(1+it) C= M1+ it 500
�1 + (:11) 20
360
�+
4001+(:11) 50
360
= 897: 04� 600 = 297: 04�1 + (:11) 90
360
�= 305: 21
3.56.- Paula debe $100 pagaderos en 6 meses y $150 a pagar en 1 año. Ellaconviene en que puede liquidar hoy ambas deudas con una
tasa de 16% de interés simple, poniendo el día actual como fechafocal. ¿Cuánto se deberá pagar hoy en efectivo?
C= M1+ it
1001+(:16) 6
12
+ 1501+(:16) 1212
=
221: 9
3.57.- Carlos debe $300 pagaderos en 3 meses y $500 a pagar en 8 meses.¿Qué pago único a) hoy, b) dentro de 6 meses, c) en 1 año,
liquidará esas obligaciones, si el dinero vale 8% y la fecha focal es ladel único pago?
a) C= M1+ it
3001+(:08) 3
12
+ 5001+(:08) 8
12
=
768: 8b) M=(1+it) C= M
1+ it 300�1 + (:08) 3
12
�+
5001+(:08) 2
12
= 799: 42
c) M=(1+it) 300�1 + (:08) 9
12
�+
500�1 + (:08) 4
12
�= 831: 33
2
3.58.- Irma pide prestados $1000 a 11%. Va a hacer tres pagos iguales a 3,6y 9 meses. Calcular la cantidad de los pagos si la fecha focal
es a) hoy, b) al �nal de 9 meses.
a) C= M1+ it
x1+(:11) 3
12
+ x1+(:11) 6
12
+ x1+(:11) 9
12
=
2: 844 9x = 1000 10002:8449 = 351: 51
b) M=(1+it) x�1 + (:11) 6
12
�+
x�1 + (:11) 3
12
�+ x = 3: 082 5x = 1082:50 1082:50
3:0825 = 351: 18
3.59.- A 12% de interés simple, calcular el valor actual del siguiente conjuntode obligaciones: $800 a saldar en 4 meses, con 15% de
interés, $1200 pagaderos en 6 meses con 10 14 de interés y $900pagaderos en 1 año con 12% de interés.
M=(1+it) 800�1 + (:15) 4
12
�=
840:0 1200�1 + (:1025) 6
12
�= 1261: 5 900
�1 + (:12) 1212
�= 1008:0
C= M1+ it
8401+(:12) 4
12
+ 1261:51+(:12) 6
12
+ 10081+(:12) 1212
=
2897: 8
3.60.- Resolver el problema 3.59 usando como fecha focal 1 año a partir dehoy.
M=(1+it) 840�1 + (:12) 8
12
�+
1261:5�1 + (:12) 6
12
�+ 1008 = 3252: 4 3252:4
1+(:12) 1212= 2903: 9
3.61.- Pablo pide prestados $4000 a 18% de interés simple. Debe pagar elpréstamo mediante $1000 al �nal de 3 meses, y dos
pagos iguales al �nal de 6 y 9 meses. Calcular el tamaño de lospagos iguales, usando como fecha focal a) al �nal de los 6
meses, b) hoy.
a) M=(1+it) C= M1+ it 4000
�1 + (:18) 6
12
�=
4360:0 1000�1 + (:18) 3
12
�+x+ x
1+(:18) 312
= 1: 956 9x+1045:0� 4360 = 3315:03315:01:9569 = 1694:0
b) C= M1+ it
10001+(:18) 3
12
+ x1+(:18) 6
12
+ x1+(:18) 9
12
=
1: 798 5x+ 956: 94� 4000 = 3043: 1 3043:11:7985 = 1692:0
3
3.62.- Anoche mario ganó $5000 en una lotería. Se le ofrecen dos opciones.Puede tomar los $5000 hoy o tomar $X cada 6 meses
(comenzando dentrop de 6 meses) durante 2 años. Si las opcionesson equivalentes y la tasa de interés simple es 10%, calcular
X usando una fecha focal de 2 años.
M=(1+it) x�1 + (:10) 1812
�+
x�1 + (:10) 1212
�+ x
�1 + (:10) 6
12
�+ x = 4: 3x = 6000 6000
4:3 = 1395: 3
3.63.- Un préstamo de $2500 hecho el 2 de abril requiere tres pagos igualesel 25 de mayo, el 20 de julio y el 10 de septiembre, y
uno �nal de $500 el 15 de octubre. Si la fecha focal es el 15 deoctubre, ¿A cuánto ascienden los pagos iguales a 9% de
interés simple usando tiempo exacto/interés exacto?
M=(1+it) 2500�1 + (:09) 196365
�= 2620: 8
x�1 + (:09) 143365
�+
x�1 + (:09) 87
365
�+ x
�1 + (:09) 35
365
�+ 500 = 3: 065 3x + 500 = 2620:8 � 500 =
2120: 82120:83:0653 = 691: 87
3.64.- Julio pide $2000 a 14%. Va a pagar la deuda en 4 cuotas iguales, unaal �nal de cada periodo de tres meses, durante un año.
Calcular la magnitud de los pagos, dada como fecha focal a) hoy, b)al �nal de 1 año.
a) C= M1+ it
x1+(:14) 3
12
+ x1+(:14) 6
12
+x
1+(:14) 912
+ x1+(:14) 1212
= 3: 682 9x = 2000 20003:6829 = 543: 05
b) M=(1+it) 2000�1 + (:14) 1212
�= 2280:0
x�1 + (:14) 9
12
�+
x�1 + (:14) 6
12
�+ x
�1 + (:14) 3
12
�+ x = 4: 21x = 2280
22804:21 = 541: 57
3.65.- Amy pide $800 préstados a 16%. Conviene en pagar la deuda conpagos de amgnitud $X, $2X y $4X en 3,6 y 9 meses, respectivamente.
Calcular X usando la fecha focal a) hoy, b) dentro de 3 meses, c)dentro de 6 meses, d) dentro de 9 meses.
4
a) C= M1+ it
x1+(:16) 3
12
+ 2x1+(:16) 6
12
+ 4x1+(:16) 9
12
=
6: 384 8x = 800 8006:3848 = 125: 30
b) M=(1+it) 800�1 + (:16) 3
12
�= 832:0
C= M1+ it x+ 2x
1+(:16) 312
+ 4x1+(:16) 6
12
=
6: 626 8x = 832:0 832:06:6268 = 125: 55
c) M= (1+it) 800�1 + (:16) 6
12
�= 864:0
C= M1+ it x
�1 + (:16) 3
12
�+2x+ 4x
1+(:16) 312
=
6: 886 2x = 864:0 864:06:8862 = 125: 47
d) M=(1+it) 800�1 + (:16) 9
12
�= 896:0
x�1 + (:16) 6
12
�+
2x�1 + (:16) 3
12
�+ 4x = 7: 16x = 896:0 896:0
7:16 = 125: 14
3.66.- Un préstamo de $1000 vence en un año, con 14 12% de interés. Eldeudor paga $200 en 3 meses y $400 en 7 meses. Calcular
el saldo pagadero en 1 año con a) la regla del comerciante, b) la reglade Estados Unidos.
a) M=(1+it) 1000�1 + (:145) 1212
�= 1145:01145 =
200�1 + (:145) 9
12
�+ 400
�1 + (:145) 5
12
�+ x = x+ 645: 92� 1145 = 499: 08
b) M=(1+it) 1000�1 + (:145) 3
12
�= 1036:
3� 200 = 836: 3836:3
�1 + (:145) 4
12
�=
876: 72� 400 = 476: 72476:72
�1 + (:145) 5
12
�=
505: 52
3.67.- Una deuda de $5000 se vence en seis meses, con un interés de 10%.Se hacen pagos parciales de $3000 y $1000 a los 2 y 4 meses,
respectivamente.¿ Cuál es el saldo pagadero en la fecha de laliquidación �nal a) de acuerdo con la regla del comerciante; b) de acuerdo
con la regla de Estados Unidos ?
a) M=(1+it) 5000�1 + (:10) 6
12
�= 5250:0
3000�1 + (:10) 4
12
�+
1000�1 + (:10) 2
12
�+ x = x+ 4116: 7 = 5250:0� 4116:7 = 1133: 3
b) M=(1+it) 5000�1 + (:10) 2
12
�= 5083:
3� 3000 = 2083: 3
5
2083:3�1 + (:10) 2
12
�=
2118:0� 1000 = 1118:01118:0
�1 + (:10) 2
12
�= 1136: 6
3.68.- Un préstamo de $1400 se vence en un año, con interés simple de 12%.Se hacen pagos parciales de $400 en 2 meses, $30 en 6 meses
y $600 en 8 meses. Calcular el saldo que se vence en un año, usandola regla de Estados Unidos.
M=(1+it) 1400�1 + (:12) 2
12
�=
1428:0� 400 = 1028:01028:0
�1 + (:12) 4
12
�=
1069: 1� 30 = 1039: 11039:1
�1 + (:12) 2
12
�=
1059: 9� 600 = 459: 9459:9
�1 + (:12) 4
12
�= 478: 30
3.69.- El 4 de febrero de 1995 Pedro pidió prestados $3000 a 11%. Pagó$1000 el 21 de abril de 1995; $600 el 12 de mayo de 1995 y $700
el 11 de junio de 1995. ¿Cuál es el saldo pagadero el 15 de agostode 1995, a) de acuerdo con la regla del comerciante ? b) de acuerdo
con la regla de Estados Unidos ?
a) M=(1+it) 3000�1 + (:11) 191360
�= 3175: 1
1000�1 + (:11) 114360
�+
600�1 + (:11) 93
360
�+ 700
�1 + (:11) 64
360
�+ x = x+ 2365: 6 = 3175:1
x = 3175:1� 2365:6 = 809: 5b) M=(1+it) 3000
�1 + (:11) 77
360
�= 3070:
6� 1000 = 2070: 62070:6
�1 + (:11) 21
360
�=
2083: 9� 600 = 1483: 91483:9
�1 + (:11) 29
360
�=
1497:0� 700 = 797:0797:0
�1 + (:11) 64
360
�= 812: 59
3.71.- Melisa recibió $1000 prestados el 8 de mayo a 18 12% de interés simple.Paga $500 el 17 de julio y $400 el 29 de septiembre.
¿Cuál es su saldo el 31 de octubre a) según la regla del comerciante ?b) según la regla de Estados Unidos ?
6
a) M=(1+it) 1000�1 + (:185) 173360
�= 1088: 9
500�1 + (:185) 104360
�+
400�1 + (:185) 32
360
�+ x = x+ 933: 3
1088:9� 933:3 = 155: 6b) M=(1+it) 1000
�1 + (:185) 69
360
�= 1035:
5� 500 = 535: 5535:5
�1 + (:185) 72
360
�=
555: 31� 400 = 155: 31155:31
�1 + (:185) 32
360
�=
157: 86
3.72.- Rogelio pidió $4500 a 9% de interés simple el 3 de julio de 1993. Pagó$1250 el 27 de octubre de 1993 y $2500 el 7 de enero
de 1994. Calcular el saldo pagadero al 1 de mayo de 1994 usandotiempo exacto/interés exacto, a) con la regla del comerciante,
b) con la regla de Estados Unidos.
a) M=(1+it) 4500�1 + (:09) 302365
�=
4835: 11250
�1 + (:09) 186365
�+
2500�1 + (:09) 114365
�+ x = x+ 3877: 6
4835:1� 3877:6 = 957: 5b) M=(1+it) 4500
�1 + (:09) 116365
�=
4628: 7� 1250 = 3378: 73378:7
�1 + (:09) 72
365
�=
3438: 7� 2500 = 938: 7938:7
�1 + (:09) 114365
�=
965: 09
INTERÉS COMPUESTO
4.56.- Calcular la tasa anual efectiva equivalente a a) 16% compuesto trimes-tralmente, b) 18% compuesto mensualmente, c) 9 14 compuesto
diariamente, d) 12% compuesto continuamente.M = C(1+ j)n i= j
N
a) j 4=16% c(1+ j) = c(1+ j44 )
4 (1+ j) = (1+ :164 )
4
j = (1 + :164 )
4 � 1 = 0:169 86
7
b) j 12=18% c(1 + j) = c(1 + j1212 )
12 (1 + j) = (1 + :1812 )
12
j = (1 + :1812 )
12 � 1 = 0:195 62
c) j 365=9 14% c(1+j) = c(1+ j365365 )
365 (1+j) = (1+ 0:0925365 )
365
j =�1 + 0:0925
365
�365 � 1 = 0:096 9d) j 365=12% j =
�1 + 0:12
365
�365 � 1 = 0:127 47
4.58.- Calcular a) j 4 equivalente a j 2 = 8%, b) j 2 equivalente a j 4 = 8%, c)j 4 equivalente a j 12 = 8.05%, d) j 2 equivalente a j 52 = 11%, e) j 12 equivalente
a j 2 = 18 14 , f) j 365 equivalente a j 4 = 12.79%, g) j 12 equivalentea j1 = 15%, h) j1 equivalente a j 1 = 13%.
a) (1+ j44 )
4= C(1+ 0.082 )
2
4 log�1 + j4
4
�= log (1:04)
2
log�1 + j4
4
�= log
�1:044
�2�1 + j4
4
�= anti log
hlog (1:04)
2
4
ij44 = anti logf
hlog (1:04)
2
4
i� 1g
j4 = anti logfhlog (1:04)
2
4
i� 1g4
j4 = 0:0792
4.59.- ¿Qué tasa de interés simple es equivalente a j 12= 13 12% si el dinerose invierte durante 2 años?
c [1 + i (2)] = c(1 + j1212 )
24 [1 + 2i] = (1 + :13512 )
24
2i =�1 + :135
12
�24 � 1 i =(1+ :135
12 )24�1
2 = 0:154 004.60.- Para determinada tasa nominal j 12 = 12i, calcular la tasa equivalente
a) j 1 , b) j 2 , c) j 4 , d) j 52 , e) j 365 , f) j1:a) (1 + j12
12 )12 = c(1 + j1
1 )1
(1 + 12i12 )
12 = 1 + j1 (1 + j)12 = 1 + j1 j1 = (1 + i)12 � 1
b) c(1 + j1212 )
12 = c(1 + j22 )
12
�1 + 12i
12
�12= 1 + j2 (1 + i)
12= 1 + j2 j2 = (1 + i)
12 � 1
c) c�1 + j4
4
�= c (1 + i)
4j4 =
h(1 + i)
3 � 1i4
d) c�1 + j12
12
�12= ce:15
8
4.61.- Oliva debe pedir prestados $1000 durante 2 años. Se le ofrece el dineroa a) 13% compuesto mensualmente, b) 13 14% compuesto
semestralmente, c) 14 12% de interés simple. ¿Cuál oferta debeaceptar?
c�1 + j12
12
�24= c
�1 + :1325
2
�424 log
�1 + j12
12
�= log
�1 + :1325
2
�4�1 + j12
12
�= anti log
�log(1+ :1325
2 )4
24
�j12 = anti logf
�log(1+ :1325
2 )4
24
�� 1g12
j = 12
e
�1+ :1325
224
�4
!= 14: 334
4.62.- ¿Qué tasa da el máximo rendimiento y cuál el mínimo, en una inver-sión? a) j 12 = 15%, j 2= 15 12%, j 365 = 14.9%; b) j 12= 16%
j 2= 16 12%, j 365 = 15.9%.a) j 12=15% b)
j 12=16%c (1 + j) = c
�1 + j12
12
�12c (1 + j) =
c�1 + j12
12
�121+j =
�1 + :15
12
�121+
j =�1 + :16
12
�12j =
�1 + :15
12
�12�1 = 0:160 75 j =�1 + :16
12
�12 � 1 = 0:172 27j 2=15 12% j 2=16 12%
c (1 + j) = c�1 + j2
2
�2c (1 + j) =�
1 + j22
�21+j =
�1 + :155
2
�21+
j =�1 + :165
2
�2j =
�1 + :155
2
�2�1 = 0:161 01 j =�1 + :165
2
�2 � 1 = 0:171 81j 365 j 365=15.9%
c (1 + j) = c�1 + j365
365
�365c (1 + j) =
c�1 + j365
365
�3651+j =
�1 + :149
365
�3651+
j =�1 + :159
365
�365j =
�1 + :149
365
�365�1 = 0:160 64 j =�1 + :159
365
�365 � 1 = 0:172 309
4.63.- Un banco paga 12% anual en sus cuentas de ahorros. Al �nal de cadatres años se paga un bono de 2% sobre el saldo en ese
momento. Calcular la tasa efectiva anual de interés que gana uninversionista , si el depósito se retira a) en 2 años, b) en 3 años
c) en 4 años.b)(1 + :12)3 (1 + 0:2) = (1 + j)3
log (1 + j) = log 1:433026563
j =hanti log
�log 1:43302656
3
�i� 1
j =�e(
log 1:433026563 ) � 1
�= 0:127 42
c) (1 + :12)3 (1 + 0:02) (1 + :12) = (1 + j)4
4 log (1 + j) = log (1:6049)
1 + j = anti log�log 1:6049
4
�j = anti log
�log 1:6049
4
�� 1
j =�e(
log 1:60494 ) � 1
�= 0:125 54
4.64.- Si j 2 y j 2 + 0.0025 son tasas de interés equivalentes, calcular j 2 .c (1 + j1) = c
�1 + j2
2
�2(1 + j2 + 0; 0025) =
�1 + j2
2
�2(j2 + 1:0025) = 1 + j2 +
j24
j24 = 0:0025 � 4 = 0:010j2 =
p0:010 = 0:10
4.65.- Una empresa de crédito ofrece certi�cados de inversión garantizadaque pagan j 2 = 8.9% y j 1 = 9%. ¿Cuál opción produce
la mayor tasa efectiva anual de interés?j 2= 8.9% j 1=9%
c (1 + j) = c�1 + :089
2
�2c (1 + j) =
c�1 + :09
1
�11+j =
�1 + :089
2
�21+
j = (1:09)
j =�1 + :089
2
�2�1 = 0:090 98 j =1:09� 1 = 0:094.66.- Se deja invertida una suma de dinero durante 3 años. En el primer
año gana interesés de j 12= 15%. En el segundo año, latasa de interés ganado es j 4 = 10%, y en el tercer año, la tasa de
interés cambia a j 365 = 12%. Calcular la tasa nivelada deinterés, j 1 , que produciría el mismo valor acumulado al �nal de tres
años.
10
c�1 + :15
12
�12 �1 + :10
4
�4 �1 + :12
365
�= c (1 + j1)
3
1:444583388 = (1 + j)3
log 1:444583388 = 3 log (1 + j)log (1 + j) = log 1:444583388
3
1 + j = anti log�log 1:444583388
3
�j =
�e(
log 1:4445833883 ) � 1
�= 0:130 44
4.69.- ¿Qué tasa de interés simple equivale a la fuerza de interés o= 7%, siel dinero se invierte durante 5 años?
ce(:07)5
= c [1 + (i) (5)]
i = e:35�15 = 8: 381 4
4.70.- El banco A tiene una tasa de interés anual efectivo de 10%. El bancoB tiene una tasa de interés nominal de 9 34%. ¿Cuál
es la frecuencia mínima de composición para que la tasa del bancoB sea tan atractiva como la del banco A?
c (1 + 0:10) = c�1 + 0:0975
n
�n1:10 = c
�1 + 0:0975
2
�2= 1: 099 9
1:10 = 1:09991:10 =
�1 + 0:0975
3
�3= 1: 100 7
4.71.- Una compañía de seguros ofrece pagarle su seguro de vida con $100 alprincipio de cada año o $51.50 al principio de cada
semestre. Dicen que la tasa de interés subyacente en este cálculo esj 2 = 3%. ¿Cuál es el valor real de j 2?
100 = (100� 51:1)�2 + j2
2
�100
(100�51:1) = 2 +j22
f�
100100�51:1
�� 2g2 = j2
2�10048:6 � 2
�= 0:115 23
4.73.- Un fondo gana interés a la tasa nominal de 8.04%, compuesto trimes-tralmente. Al �nal de cada trimestre, justo después de
acreditar los intereses, se hace un cargo por gastos, igual a 0.50% delfondo. Calcular el rendimiento anual efectivo que obtiene el fondo.
c�1 + :0804
4
�4 �1� :005
4
�4= c (1 + j)
(1:082856706) (0:995009367) = (1 + j)1:0774525566 = 1 + j1:077452566� 1 = jj = 0:077452565 = 7: 745 3
CALCULO DE LATASA
11
4.90.- Calcular la tasa nominal compuesta trimestralmente, para que $2,000se incrementan a $3,000 en 3 años 9 meses.
M = C (1+ JNN )
N
JN = Afanti log�log M
C
N
�� 1g
JN = 4fanti log�log 3000
2000
15
�� 1g
J = 4
e
�log 3000
200015
�� 1!= 0:109 60
4.91.- Calcular j 12 con la que $100 acumularán $50 de intereses en 4 años7 meses.
M = C (1+ JnN )
n
j12 = nfanti log�log M
C
N
�� 1g
j12 = 12fanti log�log 150
100
55
�� 1g
j = 12
e
�log 150
10055
�� 1!= 8: 879 2
4.92.- Juan depósito $1000 hace tres años y medio. Hoy tiene en su cuenta$1581.72. ¿Qué tasa de interés compuesto semestralmente
ganó en su depósito?
j2 = 2�anti log
�log 1581:72
1000
7
�� 1�
j = 2
e
�log 1581:72
10007
�� 1!= 0:135 39
4.93.- A) ¿A qué tasa de interés anual efectiva se triplicará el dinero en 15años? b) ¿A qué tsa compuesta trimestralmente una inversión
aumentará 50% en 4 años? c) ¿A qué tasa compuesta diariamenteuna inversión duplicara su valor en 5 años? d) ¿A qué tasa compuesta
continuamente un depósito de $1000 acumulará $250 de interesesen 30 meses?
a) c (1 + j)15 = 3c
15 log (1 + j) = log 3log (1 + j) = log 3
15
j = anti log�log 315
�� 1
j =�e(
log 315 ) � 1
�= 7: 599 0
b) c�1 + J
4
�16= 1:5c
16 log�1 + j4
4
�= log 1:5�
1 + j44
�= fanti log
�log 1:516
�g
12
j4 = 4fanti log�log 1:516
�� 1g
j = 4�e(
log 1:516 ) � 1
�= 0:102 66
c) c�1 + j360
360
�= 2c
j360 = 360fanti log�log 21800
�� 1g
j = 360�e(
log 21800 ) � 1
�= 0:138 66
d) j = 360�anti log
�log 1000
1250
900
�� 1�
j = 360
e
�log 1000
1250900
�� 1!= �8: 924 6
4.94.- La población de un municipio era de 200 000 en 1970, y de 250 000en 1980. Estimar el aumento de la población de ese municipio
entre 1990 y 1995.
M = C (1+i)n
M = 250000 (1 + 0:02256)10= 3: 124 8� 105
3: 124 8� 105 (1 + 0:2256)5 = 8: 641� 1053: 124 8� 105 � 8: 641� 105 = �5: 516 2� 105
4.95.- El 1 de enero se depositaron $500 000 en el fondo X y $50 000 en elfondo Y. no hay depósitos previos. El fondo X gana interés
compuesto con tasa anual i. El fondo Y gana interés simple anualde (i+0.01). El 1 de abril se hace un depósito más de $50 000 en el
fondo Y. En el X ya no hacen más depósitos. El 31 de diciembre lasuma de los valores en los fondos X y Y es $642 000. Calcular i.
0:175x� 87500 + x1:175x = 628625x = 535000y = 10700535000500000 � 1 = ii = 0:07
4.96.- Calcular la tasa anual real de rendimiento en los siguientes pares detasas anuales de interés i y de tasa anuales de in�ación r,
respectivamente: a) i=6%; r=2%; b)i=8%;r=4%; c) i=10%; r=6%.a) i real = i�r
1+r =0:06�0:021+0:02 = 0:04
1:02 = 3: 921 6� 10�2
b) i real = i�r1+r =
0:10�0:061+0:06 = 0:04
1:06 = 3: 773 6� 10�2
CALCULO DELTIEMPO
13
4.97.- Suponiendo que se toma en cuenta el interés compuesto para la partefraccionaria de un periodo de inversión, ¿cuánto tardarán
a) $1800 en acumularse hasta $2200 a j 4= 8%? b) $100 enacumularse hasta $130 a j 2= 9%? c) $500 en acumularse a $800 a j 12=12%?
n =log(MC )log(1+i) a) n = log(
22001800 )
log(1+ 0:084 )
4.99.- Usando logaritmos, calcular el tiempo que tardara en a) duplicar elvalor un depósito a j 1=19.56%, b) duplicar el valor de una inversión
a 15% compuesto diariamente, c) $800 aumentar a $1500 a j 2=9.8%,d) triplicarse una inversión a 15% compuesto continuamente.
a) n = log ( MC )log (1+i) n =
log( 21 )log(1+ 0:1956
1 )= 3: 880 0 = 3
años,10 meses, y 16 días.
b) n = log( MC )log (1+i) n =
log( 21 )log(1+ 0:15
365 )= 1687:0 dias
c) n = log( MC )log(1+i) n =
log( 1500800 )log(1+ 0:098
2 )= 13: 141 = 6
años, 6 meses, y 25 días.4.100.- El 1 de enero de 1980 se depósitaron $500 en una cuenta que paga
12% compuesto semestralmente. El 1 de enero de 1893 se depósitaron$400 en otra cuenta que paga 15 12% compuesto anualmente.
Calcular el tiempo para que en las dos cuentas haya el mismo valor, si se usael método exacto para fracciones de un periodo de interés.
500�1 + 0:12
2
�6= 709: 26
709:26�1 + 0:12
2
�2n= 400 (1 + :115)
n
1:77314875�1 + 0:12
2
�2n= (1 + 0:115)
n
log 1:77314875 + 2n log2 (1:06) = n log (1:55)0:24874517 + 0:05061173n = 0:062581984n0:24874517 = 0:062581984n� 0:05061173n0:011975254n = 0:24874517n = 0:24874517
0:011975254 = 20: 7724.101.- Determinar cuánto tiempo se deben dejar $100 para que se acumulen
en j 12=18%el doble del valor de otros $100 depositados al mismotiempo a j 2=10%.100
�1 + 0:18
12
�6n= 200
�1 + 0:10
2
�n0:5�1 + 0:13
12
�6n=�1 + 0:10
2
�nlog 0:5 + 6n log (1:015) = n log (1:05)�0:301029995 + 0:038796253n = 0:021189299n�0:301029995 = 0:17606954n
14
n = �0:301029995�0:17606954 = 1: 709 7=2 = 0:854 85
4.102.- Si el costo de la vida aumenta 8% por año, ¿cuánto tiempo tardárael poder de compra de $1 en caer a 60 centavos?
n = log( MC )log (1+i)
n =log( 0:601 )log(1+ 0:08
1 )= 6: 637 5
4.103.- Si una inversión se duplica a determinada tasa de interés compuestocontinuamente en 5 años, ¿cuánto tardará en triplicar su valor?
j365 = fanti log�log 2
1
1825
�� 1g365
j = 365
e
�log 2
11825
�� 1!= 0:138 66
n =log( 31 )
log(1+ 0:1307365 )
= 3068: 6 = 7:9228 a~nos:
4.104.- ¿En qué fecha se acumularán a $1250, cuando menos, $1000 deposi-tados el 20 de noviembre de 1995, a 12 12% compuesto diariamente?
n =log( 12501000 )
log(1+ 0:1250365 )
= 651: 69
4.105.- La cuenta A inicia hoy con $100 y paga j 1=4%. Después de 2 añosse depositan otros $25 en ella. La cuenta B se abre dentro de un año,
con un depósito de $95 y paga j =8%.¿Cuándo (en años y días) lacuenta B tendrá 1 12 veces el valor acumulado en la cuenta A, si se considera
el interés simple para una parte de un año y se usa tiempoexacto/interés exacto?
100 (1 + 0:04)2= 108: 16
95 (1 + 0:08) = 102: 61:5 [133:16 (1 + 0:04)
n] = 102:60 (1 + 0:08)
n
199:74 (1:04)n= 102:60 (1:08)
n
199:74102:60 (1:04)
n= (1:08)
n
1:9467 (1:04)n= (1:08)
n
0:289299028 + 017033334n = 0:0333423755n0:289299028� 0:033123755n = 0:017033339n0:289299028 = 0:016390416nn = 0:289299028
0:016390416 = 17: 65 + 2 = 19: 65n = 19 a~nos 233 d�{as:
ANUALIDADES
15
5.43.- Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de$3000 por año, durante 7 años, si el dinero vale a) j 1=8%, b) j 1=10 13
c) j 1=17.29%.S = R (1+i)n -1
i
a) S = 3000(1+ 0:08
1 )7�1
0:08 = 26768:
b) S = 3000(1+ 0:1075
1 )7�1
0:1075 = 29125:
c) S = 3000(1+ 0:1729
1 )7�1
0:1729 = 35634:
5.44.- Calcular el valor acumulado de: a) $500 mensuales durante 4 años 3meses, a 10% compuesto mensualmente; b) $800 trimestrales
durante 6 años 3 meses a 14 14% compuesto trimestralmente; c)$1000 cada semestre durante 10 años a 12.23% compuesto semestralmente.
S = R (1+i)n -1i
a) S = 500(1+ 0:10
12 )51�1
0:1012
= 31614:
b) S = 800(1+ 0:1425
4 )25�1
0:14254
= 31420:0
c) S = 1000(1+ 0:1223
2 )20�1
0:12232
= 37244:
5.45.- Lucy depósita $100 cada tres meses, en una cuenta de ahorros quepaga intereses de j 4 = 6%. Si hace su primer depósito el 1 de julio de 1993,
calcular sus ahorros totales justo antes de que haga el depósito deenero de 1996.
S = R (1+J)n -1i
S = 100(1+ 0:06
4 )11�1
0:064
= 1186: 3
5.46.- ¿A qué pago único equivalen mil dólares al �nal de cada año durante5 al �nal de los 5 años, si los intereses son de a) j 1= 5 14%, b) j 1= 10%?
S = R (1+J)n -1i
a) S =1000 (1+ 0:0525
1 )5�1
0:05251
= 5: 553 3
b) S = 1000(1+ 0:10
1 )5�1
0:10 = 6105: 15.47.- Calcular el valor acumulado de depósitos trimestrales de $300 cada
uno, inmediatamente después del 32o. Depósito, si los depósitos ganaronintereses de j 4 =10% durante los primeros 5 años, y de j 4 =12%
durante los ultimos 3 años.S = R (1+ I
N )n -1
i
S = 300(1+ :10
4 )20�1
:104
= 7663: 4
16
7663:4�1 + :12
4
�12= 10926:
S =300 (1+0:03)12�1
0:03 = 4257: 610926 + 4257: 6 = 15184:
5.48.- Juan hace depósitos periódicos de $500 al �nal de cada semestre, du-rante 5 años, y después de $800 durante los tres años siguientes. Calcular
el valor acumulado de sus depósitos, si los intereses son j 2=11%.
S = R (1+ iN )
n -1i
S = 500(1+ 0:11
2 )10�1
0:112
= 6437: 7�1 + 0:11
2
�6= 8876: 6
S = 800(1+ 0:11
2 )6�1
0:112
= 5510: 4
8876: 6 + 5510:4 = 14387:5.49.- Pablo ha depósitado $1000 en una cuenta de ahorros que paga intereses
de j 1=10%, y ahora encuentra qué su depósito ha aumentado hasta$1610.51. Si hubiera podido invertir los $1000 durante el mismo peri-
odo en un certi�cado de inversión garantizada que paga intereses de j 2=13 14%y depósitado ese interés en su cuenta de ahorrros ¿Hasta qué valor
se hubieran acumulado esos $1000 ahora?S = R (1+J)n -1
i
n = log MClog(1+i) =
log 1610:511000
log(1+0:1)
1000�1 + 0:1325
2
�2= 1136: 9
S = 1136: 9 (1+0:10)5�1
0:10 = 6940: 96940: 9 + 1136: 9 = 8077: 8
5.50.- A partir del 30 de junio de 1992, y cada tres meses hasta el 31 dediciembre de 1996. Laura depósita $300 en su cuenta de ahorros. A partir del30
de septiembre de 1997 hace retiros trimestrales de $500. ¿Cuál seríael saldo en su cuenta después del retiro del 30 de junio de 1999, si los intereses
son a j 4 =8% hasta el 31 de marzo de 1995, y de j 4=6% en adelante?
S = 300(1+ 0:08
4 )12�1
0:084
= 4023: 6
4023: 6�1 + 0:06
4
�7= 4465: 6
300(1+ 0:06
4 )7�1
0:064
= 2196: 9
4465:6 + 2196:9 = 6662: 56662:5
�1 + 0:06
4
�2= 6863: 9
A = 5001�(1+ :06
4 )�8
:064
= 3743: 0
6863: 9� 3743:0 = 3120: 93120:9
�1 + :06
4
�8= 3515: 7
17
OTRASANUALIDADES SIMPLES
5.89.- Al principio de cada medio año se hacen depósitos de $500 durante 5años, en una cuenta que paga j 2=6%. ¿Cuánto hay en la cuenta a) al �nal
de 5 años? b) justo antes de su 6o. depósito?S = R (1+i)n -1
i
S = 500�1 + 0:06
2
�10 � 1 = 670: 96S = 500
(1+ 0:062 )
5�10:062
= 2654: 6
5.90.- La renta mensual de una casa en un pueblo es de $520, pagaderos alprincipio de cada mes. Si el dinero vale j 12 =9%, a) ¿Cuál es la renta
anual equivalente pagadera por adelantado? b) ¿Cuál es el equivalentede 5 años de renta al contado?
S = R (1+i)n -1i
S = 520(1+ 0:09
12 )12�1
0:0912
= 6503: 9
S = 5201�(1+ 0:09
12 )�60
0:0912
= 25050:0
5.91.- Una deuda de $1000 con intereses de j 12=18% se va a pagar durante18 meses, con pagos mensuales iguales, el primero de los cuales
se vence hoy. Calcular el pago mensual.R = A (i)
1-(1+i)- n -1
R = 1000( 0:1812 )
1�(1+ 0:1812 )
�18 = 63: 806
5.92.- Dentro de 5 años, una empresa necesitará $150000 para cambiar suequipo usado. A partir de hoy ¿Cuántos depósitos mensuales deben
hacerse en un fondo que paga j 12 =8% durante 5 años, paraacumular esa suma.
R = S (i)(1+i)n -1
R = 150000( 0:0812 )
(1+ 0:0812 )
60�1= 2041: 5
5.93.- La prima de una póliza de seguro de vida se puede pagar por adelantadoanualmente o mensualmente. Si la prima anual es $120¿Qué
prima mensual equivaldría a j 12=11%?A = R 1-(1+i)- n
i
R = 120
�1�(1+ 0:11
12 )�12�
0:1112
= 1357: 7
5.94.- Una póliza de seguro paga una indemnización por muerte de $100000,ya sea puede ser en un solo pago total, o en cantidades iguales durante
18
10 años, al principio de cada mes. ¿De cuánto deben ser esos pagosmensuales para que j 12= 10%?
S = R (1+i)n -1i
R = 1000000:1012
(1+ 0:1012 )
12�1= 7958: 3
488�1 + 0:10
12
�121= 1332:0
5.95.- Un corredor de bienes raíces renta una o�cina por $5800 cada tresmeses, que le pagan por adelantado. De inmediato invierte la mitad de cada
pago en un fondo que paga 13% compuesto trimestralmente. ¿Cuántohay en fondo a �nal de 5 años?
S = R (1+i)n -1n
S = 2900(1+ 0:13
4 )21�1
0:134
= 85434:
5.96.- Se compra un refrigerador con $60 de enganche y $60 mensuales du-rante 15 meses. Si se cargan intereses de j 12 =18 12%, ¿Cuál es el
precio al contado del refrigerador?A = R 1-(1+i)- n
i
A = 60
�1�(1+ :185
12 )�15
0:18512
�= 798: 06 + 60 = 858: 06
5.97.- José �rmó un contrato que exige pagos de $500 al principio de cada6 meses, durante 10 años. Si el dinero vale j 2=13%, calcular el valor de lospagos
que restan a) justo después de que hace el 4o. pago, b) justo antes dehacer el 6o. pago. c) S i después de hacer los tres pagos no hiciera lo siguiente
tres, ¿Cuánto deberiá pagar cuando se venza el siguiente (septimó)pago, para estar al corriente?
S = R (1+i)n -1i
S = 500(1+ 0:13
2 )20�1
0:132
= 19413:
5.99.- Calcular el valor descontando de una anualidad ordinaria diferida 3años 6 meses, que paga $500 semestrales durante 7 años, si el interés es a) 17%
anual compuesto semestralmente, b) 7% anual compuesto semestral-mente.
A = R 1-(1+i)- n
i
A = 5001�(1+ 0:17
2 )�7
0:172
= 2559: 3
b) A = 5001�(1+ 0:07
2 )�7
0:072
= 3057: 3
5.100.- Calcular el valor, el 1 de julio de 1989, de pagos anuales de $500durante 6 años, si el primer pago es el 1 de enero de 1993 y el interés es
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