Gua para el docente Geometra Tringulo Rectngulo

Gua del docenteDescripcin curricular: Nivel: 3. Medio Subsector: Matemtica Unidad temtica: Geometra Palabras claves: tringulo rectngulo, catetos, hipotenusa, proyeccin, teorema de Euclides. Contenidos curriculares: Conocer y utilizar conceptos matemticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, de la funcin cuadrtica, de nociones de trigonometra en el tringulo rectngulo y de variable formulacin, verificacin o refutacin de conjeturas. Aplicar y ajustar modelos matemticos para la resolucin de problemas y el anlisis de situaciones concretas. Resolver desafos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. Percibir la matemtica como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafos propios o que provienen de otros mbitos. Contenidos relacionados: 1. Medio: Nmeros racionales e irracionales. Demostracin de propiedades de tringulos, cuadrilteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Proporcionalidad directa e inversa; constantes de proporcionalidad; su relacin con un cuociente o un producto constante. 2. Medio: Planteo y resolucin de problemas relativos a trazos proporcionales. Anlisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones. 3. Medio: Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en tringulos, cuadrilteros y circunferencia, como aplicacin del teorema de 1 aleatoria, mejorando en rigor y precisin la capacidad de anlisis, de

Gua para el docente Geometra Tringulo Rectngulo Thales. Relacin entre paralelismo, semejanza y la

proporcionalidad entre trazos. Presencia de la geometra en expresiones artsticas; por ejemplo, la razn urea. 4. Medio: Funciones logartmica y exponencial, sus grficos correspondientes. Modelacin de fenmenos naturales y sociales mediante esas funciones. Anlisis de las expresiones algebraicas y grficas de las funciones logartmica y exponencial. Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras. Aprendizajes esperados: Demostracin de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el tringulo rectngulo. Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo. Resolucin de problemas relativos a clculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en tringulos rectngulos. Anlisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora cientfica para apoyar la resolucin de problemas. Aprendizajes esperados de esta actividad: Conjeturan semejantes. Aplican el teorema de Euclides. Resuelven rectngulos. Analizan las soluciones que obtienen y su pertinencia. Complementan el uso del teorema de Pitgoras con el teorema de Euclides. Identifican las proyecciones de la altura sobre la hipotenusa en el tringulo rectngulo. Desarrollan habilidades relativas a la investigacin, mediante las actividades de organizacin de datos, y las de resolucin de problemas y de pensamiento lgico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos. Tambin a la aplicacin de leyes y principios, por un lado, y de generalizacin a partir de relaciones observadas, por otro. problemas que involucran propiedades de los tringulos sobre propiedades geomtricas en tringulos rectngulos

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Gua para el docente Geometra Tringulo Rectngulo Desarrollan actitudes orientadas al inters y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la informacin. Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: Ficha temtica: Tringulo rectngulo Animacin: Segmentos proporcionales de un tringulo rectngulo Diapositivas digitales (ppt): Matemticas NM3 Geometra.

Actividades propuestas para este tema: Proponemos la actividad Euclides y sus proyecciones, relativa al estudio del teorema de Euclides, complementando el teorema de Pitgoras, conociendo las proyecciones que se generan al trazar la altura y la pertinencia de las soluciones obtenidas.

ACTIVIDAD: Euclides y sus proyecciones Duracin: 2 horas pedaggicas

1. Mapa de contenidos tratados

Tringulo rectngulo

Teorema de Euclides

Teorema de Pitgoras

Relacin alturaproyeccin

Relacin catetos -hipotenusa

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2. Desarrollo de la actividad: Euclides y sus proyecciones Paso 1 Es fcil recordar el teorema de Pitgoras, ya que se usa durante todos los cursos en el colegio. De manera complementaria se puede hacer mencin al teorema de Euclides, haciendo hincapi en que los resultados que se van a obtener no necesariamente sern los correctos, sino que habr que analizarlos para poder generar una respuesta correcta, como por ejemplo que alguna de las soluciones tenga un valor negativo. Paso 2 Entregue la ficha con la actividad propuesta, o lanla en lnea y luego comiencen la investigacin. La gua para el estudiante se encuentra disponible en el portal www.educarchile.cl Respondan las preguntas de conocimiento, clculo y anlisis contenidas en la actividad. Las respuestas aparecen en azul. Entonces: Carolina es una alumna muy aplicada en la clase de matemtica y para poder avanzar ms que sus compaeras decide estudiar por s sola el teorema de Euclides. Lamentablemente, el enunciado del teorema la complica y no lo puede entender. Este dice que: En todo tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geomtrica entre los segmentos determinados por la altura en la hipotenusa. Adems, cada cateto es media proporcional geomtrica entre la hipotenusa y el segmento de sta adyacente al cateto. Ya que Carolina es muy obstinada y no se rinde fcilmente, se da cuenta de que una aplicacin del teorema de Euclides es la representacin de segmentos cuya longitud es un nmero irracional correspondiente a una raz cuadrada no exacta (es decir, su resultado no es un nmero entero ni racional). Y para esto4

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empieza a buscar relaciones que cumplan este enunciado. Al fin, llega a la conclusin de que si descomponemos 15 en dos factores, por ejemplo 15 = 3 5, y luego graficamos un segmento de longitud 3 + 5 = 8 unidades, podra llegar al resultado. El problema comenzaba a complicarse, ya que tena que dibujar un tringulo rectngulo y no se le ocurra cmo hacerlo. En vista de ello, le pregunta a su pololo cmo resolver esta situacin. Para jactarse de sus conocimientos matemticos, ste le responde: Dibuja una semicircunferencia. Formamos un tringulo, que es rectngulo (pues todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y posteriormente levanta una perpendicular h al dimetro en el punto de divisin. Resulta una figura similar a la que se muestra a continuacin.

As, Carolina logr obtener que

y adems que

.

Para obtener ms conocimientos que Carolina, puedes averiguar ms sobre el teorema de Euclides y sobre la relacin que existe entre la proyeccin entre sus catetos y su hipotenusa. Puedes ver las diapositivas digitales (ppt) disponibles en educarchile.cl Matemticas NM3 Geometra. Una vez concluidas tus averiguaciones, resuelve los siguientes ejercicios. 1. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 25 m y uno de los catetos tiene 6 m ms que su proyeccin sobre la hipotenusa. Calcula los catetos. Tiene dos soluciones la ecuacin que se genera: o o

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2. Un cateto de un tringulo rectngulo mide un metro menos que la proyeccin del otro cateto sobre la hipotenusa. Cunto mide esta proyeccin, si el otro segmento de la hipotenusa mide 9 m? Tiene dos soluciones la ecuacin que se genera: o o 3. En la figura siguiente valor de a) b) c) d) e) es: 16/ 3 4/ 3 25/ 3 = 3 m. y = 5 m. El

5 2 5 2 3

4. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 3 cm. y 4 cm. Determinar la proyeccin mayor de los catetos sobre la hipotenusa. a) b) c) d) e) 1,8 cm 3,2 cm 4 cm 5 cm 2,5 cm = 6 cm.; = 3 cm. Determina el rea del

5. En la figura siguiente, tringulo ABC. a) b) c) d) e) 9 cm2 12 cm2 15 cm2 18 cm2 45 cm2

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6. La altura hc de un tringulo ABC, rectngulo en C, es de 4 metros. Si los segmentos determinados sobre la hipotenusa estn en la razn 1:2, cunto mide el rea del tringulo ABC? a) b) c) d) e)

2 m2 2 2 m2 4 2 m2 6 2 m2 12 2 m2

7. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 3 cm y 4 cm. Determina la altura del tringulo. a) b) c) d) e) 9/ 5 [cm] 12/ 5 [cm] 16/ 5 [cm] 5 cm Ninguna de las anteriores = 3,2 m.;

8. En el tringulo ABC de la figura, = 5 m.; a) b) c) d) e) 1,8 m 3m 4m =?

5.76 m16 m = 5-1 cm; = 2-1 cm. La

9. En la figura, a) b) c) 0,1 cm10 10

altura del tringulo ABC es:

cm

10 cm

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d) e) 10. a) b) c) d) e) 11. a) b) c) d) e)

10 cm Ninguna de las anteriores = 12 cm; 6 cm = 9 cm; =?

3 3 cm 6 3 cm36 cm Ninguna de las anteriores Los catetos de un tringulo rectngulo estn en la razn 3:4. Si la 2 cm 3 cm 3.6 cm 6 cm 8 cm

hipotenusa mide 10 cm, entonces el cateto menor mide:

12. a) b) c) d) e)

= 10 cm; =? 3.6 cm 4 cm 4.8 cm 6.4 cm 22.04 cm

= (p + 2) cm;

= 2p cm;

13. En el tringulo rectngulo de la figura,=? a) b) 25 13

,

= 5 cm y

= 25 ;13

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c) d) e)

12144 13

N. A.

14. En la figura, el cateto x mide:a) b) c) d) e) 30 cm 25 cm 9 cm 6 cm 4 cm

15. En cul(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = ab? I) II) III)

a) b) c) d) e) Paso 3.

Slo I Slo II Slo III I y III Todas

Para concluir esta actividad, puede recalcar la relacin que existe entre el teorema de Pitgoras y el teorema de Euclides. Adems, destacar las soluciones que se puedan encontrar, analizando los resultados aritmticos y algebraicos obtenidos. Refuerce los aprendizajes que presentan ms problemas.

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