Date post: | 25-Nov-2015 |
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PRIMERA PRACTICA CALIFICADA
ndice
Enunciado del Problema....................................................................3
Solucin.............................................................................................4Grados de Libertad Nodales..............................................................5Vector Carga......................................................................................6Matriz de Rigidez................................................................................8Ecuacin de Rigidez y Condicin de Contorno..................................9Esfuerzos y Resultados....................................................................10Diagrama de Flujo.............................................................................11Uso de Matlab...................................................................................12Conclusiones................................................................................... 14PRIMERA PRCTICA CALIFICADA(TRACCION SIMPLE)ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
PA = 10KN
t (espesor) = 150 mm E = 3.0x105 N/mm2 Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3SOLUCION:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos los elementos finitos tendrn longitud de 500, 250 y 250mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
Entonces, el modelado del cuerpo sera el siguiente:
Y las reas se calculan de la siguiente relacin:
Cuadro de conectividad:
eNODOSGDLle
(mm)Ae
(mm2)
(1)
Primer nodo(2)
Segundo
Nodo 12
112Q1Q2500135000
223Q2Q325067500
334Q3Q425022500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento) A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
Luego el vector de desplazamiento ser:
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas que tendrn que ser calculadas.
3. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera
4. MATRIZ DE RIGIDEZA continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuacin:
EMBED Equation.3 Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:
EMBED Equation.3
Finalmente:
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNOLa ecuacin de rigidez esta determinada por la siguiente ecuacin:
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
EMBED Equation.3 Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:
EMBED Equation.3 AQUI ME QUEDResolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
Y para obtener la reaccin en el empotramiento tmanos la siguiente submatriz:
Resolviendo obtenemos:
6. ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:
Y obtenemos lo siguiente:
7. RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS
CONSTANTES: E, f, t
VECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F= ; K=
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
=
EMBED Equation.3
IMPRESIN DE RESULTADOS
Luego escribimos la siguiente funcin en MATLAB:
H=input('Ingrese la altura de la placa= ');B=input('ingrese la base de la placa= ');pa=input('Ingrese la carga PA= ');pb=input('Ingrese la carga PB= ');t=input('Ingrese el espesor de la placa= ');j=input('Ingrese la densidad del material= ');E=input('Ingrese el modulo de elasticidad= ');h=[3*H/10 3*H/10 4*H/10];j=j*9.81*10^(-6);s=0;w=zeros(4);K44=zeros(4);for i=1:3 a(i)=(s+h(i)/2)*B/H*t; s=s+h(i); w(i,i)=1;w(i,i+1)=-1;w(i+1,i)=-1;w(i+1,i+1)=1; K44=K44+a(i)*E/h(i)*w; w=zeros(4);endp=[];p(1)=pa-a(1)/2*h(1)*j; p(2)=-a(1)/2*h(1)*j-a(2)/2*h(2)*j;p(3)=-a(2)/2*h(2)*j-a(3)/2*h(3)*j+pb;k44=K44(1:3,1:3);Q=k44\p';Q=[Q;0];k=K44(4,1:4)*Q;R=k+a(3)/2*h(3)*j;es=[];for i=1:3 es(i,1)=E/h(i)*[-1 1]*Q(i:i+1,1);endclc;%MOSTRANDO LOS RESULTADOSdisp('..............................');disp(' RESULTADOS');disp('============');disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO');disp(Q);disp('LA REACCION EN EL APOYO(N)');disp(R);disp('..............................');disp('EL VECTOR DE ESFUERZOS(MPa)');disp(' e1 e2 e3');disp(es');9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB =====1200========
\ PRIMERA /
\ PARTE /
\____600_____/
\SEGUNDA /
\ PARTE /
\__300_/
\ / TERCERA
\ / PARTE
\/
Luego ejecutamos el programa y obtenemos:
>>[E,F,Q,S]=traccion(3*10^11,78400,0.1125,0.05625,0.01875, 0.4,0.2,0.2,0.06,15000)E =
1.8463e-014
F =
1.0e+004 *
-1.7940
1.7205
0.0588
0.0147
Q =
1.0e-006 *
0
0.2126
0.2213
0.2266
S =
1.0e+005 *
1.5947
0.1307
0.0784
Donde S es la matriz de esfuerzos, F es la matriz de fuerzas en los nodos y Q es la matriz de deformaciones y E es el error al calcular la reaccin en el nodo 1.
CONCLUSIONES
Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeas (dcimas de micras), adems todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como referencia.
Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresin para nuestro sistema de referencia.Se puede apreciar que los resultados de MATLAB arrojan un error de 1.846x10-14, prcticamente cero al momento de calcular la reaccin en el nodo 1; mientras que haciendo los clculos manualmente se obtiene un error de cero por ciento, con lo cual se podra afirmar que la aproximacin a tres elementos finitos es totalmente exacta.
FIN
8
_1283509262.unknown
_1283510241.unknown
_1283510857.unknown
_1283511228.unknown
_1283511243.unknown
_1283511262.unknown
_1283510948.unknown
_1283511013.unknown
_1283511164.unknown
_1283510987.unknown
_1283510939.unknown
_1283510396.unknown
_1283510461.unknown
_1283510372.unknown
_1283509976.unknown
_1283510031.unknown
_1283510208.unknown
_1283510016.unknown
_1283509843.unknown
_1283509930.unknown
_1283509833.unknown
_1282733628.unknown
_1282807615.unknown
_1282809491.unknown
_1282734167.unknown
_1282735384.unknown
_1282733641.unknown
_1271828191.unknown
_1282731154.unknown
_1282732923.unknown
_1271828769.unknown
_1282730541.unknown
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_1271827988.unknown