Date post: | 07-Mar-2015 |
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Física. 2º de bachilleratoTema:
5 1El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler
Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así
Su aceleración centrípeta: a = 2 R
Sol
Tierra
RF
T
2 Velocidad angular del planeta:
RT
4a
2
2
Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):R
cteR
Rk
4a
23
2
La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
R
mcteamF
2
R
mMGF
2 Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM
Ley de la gravitación universal
La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 2El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
El campo gravitatorio
La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:
g
x
y
z
r
Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas
La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa, calculada en dicho punto
g
m
m’
rrusiendo)u(
r
'mmGF rr2
rr
'mmGF
3
rr
mG
'mFg
3
cuyo módulo es:
r
mGg
2 y se expresa en N/kg en el S.I.
La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 3El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Representación del campo
Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo
En el campo gravitatorio, las líneas de campo no parten de ningún punto definido, carecen de fuentes, y acaban en los cuerpos con masa o sumideros
Características de las líneas de campo
Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo
Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
m M
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 4El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Principio de superposición
r1
r2
r3
g1
g2
g 3
g 3
g 1
g T
La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la creada por cada una de ellas y sumando los resultados parciales
m1
m2
m3
P
g...ggg n21T
u.rmG i
i2
in
1i
siendo r
rui
ii
También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas
gmF TT
n
1iFi
Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 5El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Campos de fuerzas conservativos (I)
Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas
rd
r F
r
r
A
B
Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:
r
rFW
rdFdW
Para desplazamientos infinitesimales:
El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los rd
Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal:
rd
rdFW B
A
Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 6
C1
C2
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Campos de fuerzas conservativos (II)
A
B
En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final
)B(E)A(ErdFW ppB
ABA
Si el campo de fuerzas es conservativo,
BC2ABC1A WW
Si se invierte el segundo camino,
AWW C2BBC2A AWW
C2BBC1A
0WW AC2BBC1A
Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo
0rdF0
C
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 7
m
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
El campo gravitatorio como ejemplo de campo conservativo
m’A
B
Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m
Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales
El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento
El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B
Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea
v
LdvC B
A
Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula
0rdF0C C
Para el campo de fuerzas gravitatorio: 0rdFm1
rdg CC
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5 8El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Comprobación de que las fuerzas elásticas son conservativas
x0 x1
rd
F
Comprueba si en la ley de Hooke la fuerza recuperadora de un muelle es conservativa
Si se quiere alargar el muelle tal y como se indica en la figura, desde la posición x0 hasta la x1, habrá que realizar un trabajo para vencer la fuerza recuperadora F = - kx
1
0
1
0
xx
180cosdx)xk(rdxx
FW
)xx(k2
1x
xxk
2
1xx
dxxk 22201
1
0
1
0
El resultado depende solo de las posiciones x0 y x1; por tanto, la fuerza es conservativa
)xx(k21W 22
01
FINAL
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 9El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Energía potencial
Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo
EW)B(E)A(EW pppBA
Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial
Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo
Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo
rFEp
Conocido el valor de la fuerza:
rdFEd p
Considerando incrementos diferenciales:
rdFEp
Integrando:
Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 10El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Energía potencial gravitatoria
EP r Para calcular su valor, basta con resolver:
rdrr
'mmGEd
3p
rdFEd p
La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0, luego:
r'mm
GEp
Cr
'mmGErd
r
'mmGE p2p
El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:
r
rd
rd
r
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 11El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Potencial gravitatorio
Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m que crea el campo y no del m’ que se coloca como testigo
Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:
rm
GUrdgdU
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:
rm
Grm
G)B(U)A(UBA
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 12El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
El campo gravitatorio terrestre
Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el c.d.m, y además se considera para las distancias que r = RT + h
)hR(MGg
T2
T
El módulo del campo gravitatorio creado es:
En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:
s/m8,9R
MGg 20 2
T
T
La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:
gm)hR(
mMGFT
2T
r = RT+h
P
A
h
RT
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 13
r = RT+h
P
Ah
RT
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Energía potencial gravitatoria terrestre
La energía potencial de una masa m situada a una altura h de la superficie terrestre es:
hRmM
GET
Tp
Cuando se trata de energías potenciales, siempre se calcula la diferencia entre dos puntos, tomando como referencia uno de ellos (el de la superficie terrestre A)
Para un cuerpo situado a una altura h:
)hR(R
hmMG
R1
hR1
mMG)A(E)P(ET T
TTT
Tpp
hhR
Rmg)A(E)P(E
T
Tpp 0
y recordando el valor de g, resulta:
Haciendo la aproximación RT+h RT y simplificando: Ep (P) – Ep (A) = m g0 h
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 14
Ep r
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Potencial gravitatorio terrestre
RT Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial
)hR(MG)P(UT
T
Para un punto P situado a una altura h de la superficie:
En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será:
RMG)P(U
T
T
R
MGU
T
T0
Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:
U0 = g0 R = 6,2 . 107 J/kg
Física. 2º de bachilleratoTema:
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m
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Movimiento de masas en campos de fuerzas centrales
Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en la misma recta que une el cuerpo con el origen del campo y su valor solo depende de la distancia entre ambos:
La fuerza es de la forma: u)r(fF r
rr
ku
r
kF
32 r
Si el campo es gravitatorio:
ctevmrLcteL
La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido
0dtLd
M
r Si el campo es central, los vectores y tienen la
misma dirección y su momento de fuerzas es nulo:F
0FrM
m’v
r
F
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 16
Sol
Tierra
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Consecuencias de la conservación del momento angular
Por conservar el módulo:
Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas
L
Por conservar la dirección:
Si el vector se conserva en dirección, sentido y móduloctevmrL
L
r
v
El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano
Por conservar el sentido
Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial
S r
S2rr
rt
Sm2L
trmr
Como , la velocidad areolar también cteL
Física. 2º de bachilleratoTema:
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Sol
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Forma de las trayectorias
Dado que en el seno de un campo de fuerzas gravitatorio la Ep de un cuerpo siempre es negativa, y su Ec siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva
Si rmM
G21ET
Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola
CIRCUNFERENCIA
Si 0ErmM
G21
T ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
Si ET = 0 Ec = Ep
Si ET 0 Ec Ep
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 18El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Satélites artificiales: energía total y energía de satelización
FF CG
FG
Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita
Cálculo de las energías cinética y potencial
Cálculo de la energía total del satélite en órbita
Cálculo de la energía de satelización
rMGv
rvm
rmMGFF T2
2
2T
c
rmMG
2
1vm
2
1E T2
c
rmMGE T
p
r2mMG
rmMG
r2mMGE TTT
r2mMGE T
c
r2mMGE T
E0 = Ef Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f
r2mMG
RmMGE T
T
T,c 0
r21
R1
mMGET
T,c 0
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 19El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Escape del campo gravitatorio terrestre
A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:
r21
R1
mMGvm2
1E
TT
2,c 00
r21
R1
MG2vT
T0
Velocidad de lanzamiento de un satélite
Velocidad de escape de un satélite
Para que el satélite escape de la atracción terrestre,
supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y
la energía de escape será: R
mMGE
T
Te
La velocidad de escape será:
R
MG2v
T
T0
R
MGg
2T
T0
Rg2v T00
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 20El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Aplicación al cálculo del peso de un cuerpo a cierta altura
Si una persona pesa 686 N en la superficie de la Tierra, ¿cuánto pesará a 9000 m
de altura?Datos: G = 6,67.10-11 N m2kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 5,99.1024 kg
Cálculo de la masa en la superficie terrestre
kg708,9
686gFm
0
0
Cálculo del peso a 9000 m de altura
La fuerza gravitatoria tanto a dicha distancia como sobre la superficie terrestre es:
)hR(
mMGFT
2T
R
mMGF2T
T0
)hR(
RFF
T2
2T
0 N06,684
)900010.6370(
)10.6370(.FF3
3
2
20
F = 684,06 NLuego el peso de la persona a 9000 m será:
9000 m
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 21
R4mMG T
Aplicación al cálculo de la energía mecánica de un satélite
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Dos satélites artificiales de masa m y 2m, respectivamente, describen órbitas
circulares del mismo radio r = 2R, siendo R el radio de la Tierra. Calcular la diferencia de las energías mecánicas de ambos satélites
r2mMG
2E
E Tp
La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial, y cuyo valor es:
Satélite 1, de masa m:R4mMG
)R2(2mMGE TT
1
Satélite 2, de masa 2m: R2mMG
)R2(2
)m2(MGE TT
Su diferencia es: E2 – E1 =
Física. 2º de bachilleratoTema:
5 22
P
m m0,5 m 0,5 m
El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias
Aplicación al cálculo del campo y potencial gravitatorio
Calcula el valor del campo y del potencial gravitatorio creado por dos masas
puntuales iguales y separadas un metro, en el punto medio entre ellasNota: Expresa la respuesta en función de G y m
a) Cálculo del campo gravitatorio creado en P:
Ambas masas crean en el punto intermedio, campos iguales en intensidad pero de sentidos opuestos, por lo que el campo total resultante entre ellas es nulo
b) Cálculo del potencial gravitatorio creado en P:
El potencial creado por la masa de la izquierda es: m.G25,0
mG
R
mGU 1,g
El potencial creado por la masa de la derecha es: m.G25,0
mG
R
mGU 2,g
El potencial total creado por ambas masas en P es: m.G4)m.G2(m.G2Ug
FINAL