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8/18/2019 Física – Nivelación Universitaria
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Nivelación Emblemática
Fí sica
Introducción a la f í sica hasta
Cinemática
Universidad Regional Amazónica Ikiam
28 de marzo de 2016 a 19 de agosto de 2016
Libro de trabajo: Parte 1
Escrito por Anthony Day
Gracias por la ayuda de José Serrano, Nelson Granja, Edison Salazar, David Lazo
y mucho caf é
Km. 7 Ví a a Muyuna – Parroquia Muyuna
Tena – Napo – EcuadorT: (06) 3700040
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www.ikiam.edu.ec
Información sobre el libro de trabajo
El libro de trabajo fue escrito para los estudiantes de la nivelació
n de la universidadIKIAM en la materia f í sica para el periodo: 28 de marzo de 2016 a 29 de agosto de 2016. El
libro de texto que se sigue es “F í sica Universitaria – Sears - Zemansky - 12ava Edición –
Volumen 1- capí tulos 1 a 8”.
Es muy importante que este libro de trabajo sea completado ya que el contenido del
mismo será evaluado en pruebas, laboratorios, proyectos, examen parcial y el examen final.
La siguiente lista es una sugerencia para todas las tutorí as:
1. Tomando en cuenta otras tareas, dedicar un tiempo fijo para completar cada sección
del libro.
2. Leer todas las instrucciones y entenderlas.
3. Tomar mucho cuidado en comprender los ejemplos.
4. Intentar los ejercicios como un examen adentro este tiempo.
5. Comparar tus resultados con otro compañero.
6. Intentar darse cuenta de tus errores y de sus errores.
7. Si ves errores de tu compañero, explicarle como hacer el ejercicio y/o al revés.
8. Corregir los errores.
9. Cuando las soluciones sean subidas a Canvas, comparar tus resultados con las
soluciones.
10. En caso de tener preguntas interesantes o que tus respuestas no son las mismas que las
mostradas en Canvas, acercarse al Técnico Docente (contacto:
11. Aprender de tus errores y si encuentras un error en este libro, se puede ganar puntos
extra al mostrarlo a Anthony.
12. Tomar la prueba de la tutorí a con confianza en si mismo.
http://www.ikiam.edu.ec/mailto:[email protected]:[email protected]://www.ikiam.edu.ec/
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Planificación por semana
Nota: Los proyectos depender án de las necesidades de cada clase.
20% 20% 20% 20% 20%
Pruebas Labs Proyectos Parciales Final
Semana Mes dias EnCasa
1 Mayo 28a3 Introducción+Metodo
cientifico
Proyecto enclase-
Recetadepastel. ar
pistadedensidad.
E!cel"#sicopara
proyecto
E!cel"#sicopara
proyecto 1.$umerosy%nidades
2 &a1'
Clase- %nidades(
SistemaInternacionaly
)n#lisis imensional
*aller deeerciciosde
con,ersión deunidades aoratorio1/ Medidas Pruea01
2.*rionometray plano
cartesiano
3 11)ril 4ectores 4ectores )cti,idadpara,ectores )cti,idadpara,ectores 3.4ectores
& 18a2& Sumade,ectores 5ueo/$omraal ,ector aoratorio2/Sumade
,ectores Pruea02(3(& &. Sumade ,ectores
6 26 a'1 Multiplicaciónde
,ectores
Multiplicaciónde
,ectores
Proyecto/ Elilemade
Mario 7art Pruea06 6. Productopunto ycru
9 2a8
Introduccióna la
Cinem#tica.Mo,imiento
yReposo
Eercicios( acti,idado
proyecto deMR% aoratorio 3/4elocidad Pruea09
9. Mo,imiento
Rectilneo%niforme
0MR%
: ; a16 MR%4 MR%4 aoratorio &/ caida lire aoratorio &/ caida lire:. Mo,imiento
Rectilneo%niforme
4ariado 0MR%4
8 19a22 aoratorio&/caidalire Pruea0:
; 23 a2; repaso repaso
1' 3'a6
11 9a12
Introducción al
mo,imiento endos
dimensiones.
educción defórmulas
dets( t,(
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Tabla de Contenidos
FÍSICA................................................................................................I
INFORMACIÓN SOBRE EL LIBRO DE TRABAJO........................................IIPLANIFICACIÓN POR SEMANA.............................................................III
CAPÍTULO 1: UNIDADES Y MEDIDAS.....................................................1MEI)S...............................................................................................................1
Incertidumbre, precisión y exactitud..............................................................2Las cifras signicativas...................................................................................2Formato de escritura de tablas para este curso.............................................3Suma y resta de medidascon cifras signicativas!........................................3"romedio........................................................................................................ 3#ultiplicación y división de medidas considerando cifras signicativas.........$%ransformación de unidades.......................................................................... $
*)RE) 1/..............................................................................................................6-)"BR)*BRIB 1/ E*ERMI$)R -) E$SI) E S-IBS D -F%IBS...............................9
&b'etivos(....................................................................................................... )*l pie de rey................................................................................................... +olumen y -ensidad(......................................................................................Los errores(.................................................................................................... *rror absoluto y relativo(................................................................................/esultados(.....................................................................................................0
PR%E") 01......................................................................................................... 1'
CAPÍTULO 2: TRIGONOMETRÍA Y PLANO CARTESIANO..........................11 *RIGB$BME*R)................................................................................................... 11
Identidades trigonom1tricas(........................................................................"lano cartesiano...........................................................................................2
*)RE) 2............................................................................................................. 16
CAPÍTULO 3: VECTORES....................................................................19 *EBR)............................................................................................................... 1;
oordenadas para vectores..........................................................................24. oordenadas polares(...............................................................................242. oordenadas rectangulares(.....................................................................23. #ódulo 5 ector 6nitario...........................................................................22$. oordenadas 7eogr8cas(.......................................................................23
*)RE) 3............................................................................................................. 29
CAPÍTULO 4: SUMA DE VECTORES......................................................30 *EBR)............................................................................................................... 3'
8lculo de propagación de errores...............................................................3$ *)RE) &............................................................................................................. 39-)"BR)*BRIB 2/..................................................................................................3;
&b'etivo........................................................................................................ 30Instrucciones................................................................................................30Introducción................................................................................................. $4/esultados( $,9 puntos!..............................................................................$
PR%E") 02(3(&...................................................................................................&1
CAPÍTULO : MULTIPLICACIÓN DE VECTORES......................................42 *EBR)............................................................................................................... &2
. 6n vector multiplicado por un escalar resulta un vector..........................$2
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2. *l producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. %ambi1n se loconoce como producto escalar.....................................................................$23. "roducto cru: o vectorial! entre vectores...............................................$$
*)RE) 6/............................................................................................................ &:PR%E") 06......................................................................................................... 62
CAPÍTULO !: CINEM"TICA..................................................................3elocidad media(..........................................................................................93La velocidad instant8nea es(........................................................................93elocidad promedio......................................................................................9$-eniciones b8sicas de la cinem8tica(.........................................................9$
MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 0MR%......................................................6& *)RE) 9............................................................................................................. 6;-)"BR)*BRIB 3/ CI$EMH*IC) 1...............................................................................93
Funciones de un l;der(..................................................................................)3&b'etivos(.....................................................................................................)3#ateriales(....................................................................................................)3#onta'e sugerido(.........................................................................................)3/esultados de las medidas( $,9 puntos!......................................................)$
PR%E") 09......................................................................................................... 99
CAPÍTULO #: M"S CINEM"TICA..........................................................!#MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 4)RI)B 0MR%4.......................................9:
Las ecuaciones
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Tabla 1: E jemplo de una medida con un número, una potencia de 10, un prefijo y una unidad.
5x102 km
5 102 k m
Número Potencia de 10 Prefijo Unidad
Se puede escribir esta cantidad en otras maneras, por ejemplo:
= 500 km = 500 x 103 m = 500 000 m
La Tabla 2 tiene algunos prefijos comunes.
Tabla 2: Relación entre prefijos y potencias.
Potencia de 10 Número Prefijo Abreviatura10-9 0,000000001 nano n
10-6 0,000001 micro µ
10-3 0,001 mili m
10-2 0,01 centi c
103 1000 kilo k
106 1000000 mega M
109 1000000000 giga G
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Incertidumbre, precisión y exactitud
En f í sica cuando se mide algo con un instrumento (por ejemplo una regla) es
necesario tomar en cuenta la incertidumbre, la precisión y la exactitud. De los incrementos de
un instrumento es posible aprender su precisión, por ejemplo, una regla tiene incrementos de
1 mm, que es la cantidad más pequeña que se puede medir con la regla, y por eso cualquier
medida de una regla debe tener una precisión en milí metros. La incertidumbre o error es la
máxima diferencia probable entre el valor real y el valor medido, depende mucho del método
usado para medir (por ejemplo, una medición con un reloj de arena tendrá mayor
incertidumbre que una medición hecha con un cronómetro). La exactitud de una medición se
expresa con el número, el sí mbolo ± y la cantidad más pequeña que puede medir el
instrumento utilizado. La relación entre estos términos está escrito en tabla 3 con un ejemplo
en la Tabla 3.
Tabla 3: La relación entre exactitud, precisión e incertidumbre de una medición de 20 cm hecha con una regla
común.
Exactitud
20,0 ±0,1 cm
20,0 ±0,1
Precisión Incertidumbre
En Tabla 3 se puede ver que es 20,0 (no solo 20) porque la regla común tiene
incrementos de 1 mm. Este número tiene 3 cifras significativas y puede (no siempre) ser
usado para indicar la exactitud, precisión e incertidumbre (Tabla 4).
Las cifras significativas
Tabla 4: Medición de 20 cm hecha con una regla común (se muestra la cantidad de decimales y cifras
significativas)
Unidad Medida Decimales Cifras significativas
mm 200 0 1
mm 2,00x102 2 3
cm 20,0 1 3
m 0,200 3 3
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Formato de escritura de tablas para este curso
Para tener consistencia entre todas sus actividades que requieran tablas, se pide que sigan las
instrucciones presentadas a continuación para tener una tabla ordenada y fácil de entender
(Tabla 5).
Tabla 5: Un ejemplo que muestra como anotar una medida de una regla común.
Mal escrito Bien escrito
mm cm m mm cm m
300.0 30 0.3 300 ±1 30,0 ±0,1 0,300 ±0,001Usando cifras significativas 3,00 x 102 30,0 0,300
Reglas para llenar las tablas:1. Etiquetar la tabla con un referencia encima de la tabla (Tabla 5)2. Poner las unidades en el tí tulo de la columna y no junto al número.
3. Ubicar la tabla cerca de donde se la menciona y referenciarla (i.e.: No serí a correcto
referirse a la Tabla 1 en la página 1 y poner la Tabla 1 en la página 5).
Suma y resta de medidas(con cifras significativas)
La respuesta tiene la misma cantidad de decimales que la medida con el menor
cantidad de decimales (Tabla 6).
Tabla 6: Ejemplos de sumar y restar medidas
Medidas (cm)
5+6=11 5,1+6=11 5,12+6,4=11,55,12+6,9=12,0 5,12+6,88=12,00 3+5,11+6,258=14
Promedio
Promediode los resulatdos=´ x=1
n∑i=0
n
x i
´ x=11+11+11,5+12,0+12,00+14
6 =12
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Multiplicación y división de medidas considerando cifras significativas
Al multiplicar medidas, la respuesta debe tener la misma cantidad de cifras
significativas que la medida con la menor cantidad de cifras significativas (Tabla 7).
Tabla 7: Ejemplos de Multiplicar y dividir medidas
Medidas (cm)
5 ∙6=30 5,0 ∙6,0=3,0 x 101 5,12∙ 6,4=33
5,12 ∙ 6,91=35,4 3 ∙5,12 ∙6,88=100 3,0 ∙5,11 ∙ 6,258=96
Transformación de unidades
Ejemplo: Se sabe que: 1 hr=60 min; 1 min=60 seg; 1 km=1000 m
Transformar(80 kmhr )a(m
s )80
km
hr ∙( 1 hr60min )∙(
1 min
60 seg) ∙(1000 m
1 km )=22,2 2́m
s
Este número viene de otroque tiene 1 cifrasignificativa , por lo que
el resultadodebemantener unacifrasignificativa=20 m
s
Transformar(0,0052 K !cm3
g2 )a( ! m
3
kg2 )
0,0052 K !cm
3
g2
∙(1000 g)2
(1kg)2 ∙
(1m)3
(100cm)3 ∙(1000 )1
(1k )1 =5,2
∙ m3
kg2
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Tarea 1:
Instrucción: Llenar la tabla que est á abajo correctamente y leer el laboratorio 1.
Santiago quiere medir el tiempo que un objeto demora en caer una distancia definida. Él realizó el siguiente
experimento:a) Colocó dos sensores1, uno al inicio de la caí da y otro al final de la caí da.
o Los sensores pueden medir tiempo con una presión de 0,001 s.
b) Se midió la distancia entre los sensores con una regla común.
c) Se colocó un objeto de acero en el sensor superior.
d) Se prendó la máquina para los sensores y dejó caer el objeto.
e) Se anotó el tiempo de caí da que se registra en el lector de los sensores.
Ayudar a Santiago anotar, correctamente2 , sus resultados y calcular la aceleración hacia
abajo.
Distancia de caí da: 20 cm
Intento Tiempo de caí da
1 0.204 s
2 0.2 s
3 0.21 s
4 0.208 s
5 1.22
- Calcular la aceleración del objeto usando la formula (1) ¿a=2 d
t 2
T í tulo de tabla: " ________________________________________________________
Intento Distancia (______) Tiempo de caí da (______) Aceleración (______)
1
2
3
4
5
- Calcular el promedio de las la aceleraciones
1 Los sensores de oviiento funcionan idiendo el tiepo que se deora una part!culadesde que cru"a el prier sensor #asta que cru"a el segundo sensor. $ste tiepo se uestraen un lector que se conecta a los sensores. %&%' dispone de estos sensores en su laboratoriode f!sica. *eferirse a la Tabla 5 para saber cóo #acerlo correctaente.
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Laboratorio 1: Determinar la densidad de sólidos y lí quidos
Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula:__________ Fecha:__________________ Código de caja:______________________
Miembros:__________________________________________________________________
Lí der:______________________________________________________________________
Es necesario terminar el laboratorio 30 min antes del fin de clase para tomar la prueba 1.
Objetivos:
Calcular la densidad de 3 objetos y contestar las preguntas.
a) Estudiar los 3 bloques de la caja provista.
b) Estudiar 2 cantidades de agua diferentes (20 ml y 45 ml de agua).
1. Medir su masa, solo con una balanza como de la figura 1.
2. Medir sus dimensiones, solo con el pie de rey.
3. Calcular su densidad, solo usar las medidas de parte 1 y 2.
4. Llenar la sección de resultados.
Figura 1: Instrumentos de la caja provista
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El pie de rey
El pie de rey es una regla con un nonio (Figura 2). La regla tiene incrementos de 1
mm y el nonio representa 1 mm con 20 incrementos que resultan en incrementos de 0,05 mm.
Se dice que la precisión de la regla es 1 mm y si se toma en cuenta la medida del nonio, la
precisión mejora a 0,05 mm.
Figura 2: Pie de Rey
Para usar el nonio, primero hay que usar la regla normalmente. Si la primera l í nea del
nonio coincide con una lí nea de la regla, esto es la medida con una exactitud de 0,05 mm. Por
ejemplo, 24,70 mm ±0,05 mm . Si la primera lí nea del nonio (lí nea cero) no coincide con la
regla, hay que anotar el valor de la lí nea anterior de la regla, por ejemplo, 24 mm (Figura
3). Para obtener una medida más precisa se usa el nonio. Se puede ver en la Figura 3 que, de
la escala del nonio, el número 7 coincide con una lí nea de la regla. Uno puede ver que hay 14
espacios de 0,05 mm detrás esta lí nea. Por eso a la medida de la regla hay que sumar
0,05 mm∙14=0,7 mm .
Figura 3: Ejemplo de medición con Pie de Rey
Línea cero del
nonio no coincide
con ninguna línea
de la regla. Estoindica que la
medida es 24 cm
solo usando la
regla
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#edida en cm :2,4 cm+0,07 cm=2,47 cm± 0,005 cm
Volumen y Densidad:
Densidad (p):
$=mv
m=masa;v=volumen
%olumendeunbloque= x ∙ & ∙ '
x & '=lados del ob(eto
%olumen de un cilindro=) r2 ∙ *
r=radio; * =altura
Los errores:
La mejor estimación de una magnitud es el punto medio A del intervalo, de tal forma
que el valor de la magnitud quede definido por +∈( +− + , ++ + )
-onde + es un intervalo de error que pede calculadode muchas maneras
En este experimento el error es del instrumento como el pie de rey ± 0,005 .
Error absoluto y relativo:
Errores absolutos : +± +(unidad )
error relativos :.= +| +|
ejemplo:
real (o teórico): 3,12 segundos
del experimento: 3,01 y 3,11 segundos
Tabla !: Ejemplos de errores absolutos y relativos
Medidas (s) Errores absolutos (s) Errores relativos (%)
3,01 3,01 / 3,12=−0,11 "± 0,11 −0,11
3,12=−0,036=−3,6 "3,6
3,11 3,11 / 3,12=−0,01 "± 0,01 −0,01
3,12=−0,003=−0,03 " 0,03
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Resultados: (6,5 puntos)
Llenar las tablas abajo tomando en cuenta la precisión del instrumento de medición
Instrucción para llenar las tablas:
1. Poner la masa (bloque o agua) en la balanza2. Poner las pesas en el otro lado de la balanza hasta que la balanza regrese a la
posición inicial.
3. Añadir y quitar pesas para deducir la precisión de la balanza. Por ejemplo:
±1 gr
Tabla ": Las masas de los bloques (medidos de la balanza).
Cuerpo Masa (1) (____) Masa (2) (____) Masa promedio (____)
Bloque de madera
Bloque de aluminio
Bloque de Hierro
Tabla 1#: Los volúmenes para el agua NO INCLUIR el peso del envase (medidos de la balanza).
Agua Masa (1) (____) Masa (2) (____) Masa promedio (____)
20 ml de agua
45 ml de agua
Instrucción para tabla 3, 4, 5 y 6: Medir las dimensiones de las masas con el pie de rey.
Tabla 11: Las dimensiones del bloque de madera.
X (____) Y (____) Z (____)
Persona 1
Persona 2 Volumen (____)
Promedio
Tabla 12: Las dimensiones del bloque de aluminio.
X (____) Y (____) Z (____)
Persona 1
Persona 2 Volumen (____)
Promedio
Tabla 13: Las dimensiones del bloque de hierro.
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X (____) Y (____) Z (____)
Persona 1 :
Persona 2 Volumen (____)
Promedio
Tabla 14: Las dimensiones del vaso de precipitación con 20 ml de agua.
Agua (20 ml) Radio (____) Profundidad (____)
Persona 1
Persona 2 Volumen (____)
Promedio
Tabla 15: Las dimensiones del vaso de precipitación con 45 ml de agua.
Agua (45 ml) Radio (____) (Profundidad) (____)
Persona 1
Persona 2 Volumen (____)
Promedio
Tabla 16: Las densidades (incluir un cálculo de densidad, como un ejemplo).
Objeto Masa promedio (____) Volumen (____) Densidad (____)
Bloque de madera
Bloque de aluminio
Bloque de hierro
Agua (de 20 ml)
Agua (de 45 ml)
Entregar la pr áctica 1 a Anthony y preparar el laboratorio para un examen 35 min antes de
acabar la sesión del laboratorio.
Prueba (1)
La prueba (1) incluye todos los conceptos anteriores. Será tomada después del laboratorio.
Capí tulo 2: Trigonometrí a y plano cartesiano
Trigonometrí a
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x2+ &2=r2
a+b+c=1800
sin a= & (opuesto )
r (hipotenusa )
cosa= x (ad&acente)r (hipotenusa)
tan a= & (opuesto )
x(ad&acente)
Figura 4: Triángulo rect ángulo
Identidades trigonométricas:
Tabla 17: Algunas identidades trigonométricas
cot∅=cos∅
sen∅tan∅=
sen∅
cos∅
cot∅=ad&acente
opuesto sec∅=
hipotenusa
ad&acente csc∅=
hipotenusa
opuesto
cot∅= 1
tan ∅sec∅=
1
cos∅csc∅=
1
sen∅
sen2∅+cos
2∅=1 cot
2∅+1=csc
2∅
tan2∅+1=sec
2∅
cos2 a=cos2 a−sin2 a=2cos2a=1−2sin2 a sin2 a=2sin a cosa
sin 1
2a=√
1−cos a2
cos 1
2a=√
1+cos a2
sin(−a)=−sin a cos(−a)=−cosa
sin(a± b)=sin a cosb ± cosa sin b cos(a ±b)=cosacosb ±sina sinb
sin a+sin b=2sin 1
2(a+b)cos
1
2(a−b)
cos a+sin b=2cos 1
2(a+b)cos
1
2(a−b)
x
y
r
A
B
C
a
b= 9 0 g r a d o s
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Plano cartesiano
Ø º
Y
X
b
a
r α º
,
Figura 5: Triángulo rectángulo en un plan cartesiano
Las flechas del plano cartesiano denotan la dirección positiva de los ejes X y Y
(Figura 5). Los signos de negativo y de positivo en el plano cartesiano simplemente denotan
la dirección, NO es un valor negativo. En la Figura 5, un triángulo es colocado en un plano
cartesiano. Todos los lados de este triángulo todaví a tienen magnitudes positivas. El signo
negativo es colocado en frente del valor para denotar su dirección, no es negativo. Alfa ( 1
) es un ángulo que empieza a medirse desde el eje x positivo, girando hacia el eje y positivo
hasta llegar a la hipotenusa (r).
a=r ∙ cos 1
b=r ∙ sin 1
Las unidades del siguiente ejemplo se llaman Newtons (N). Estas unidades miden fuerza. Así
como hay megabytes (Mb) pueden haber meganewtons (MN).
a=−460 ;b=0,00052 #
Ejemplo 1 de trigonometr í a:
+alcular las incógnitas r ,∅ & 1
a) Transformar lo necesario
b=0,00052 # =520
b) Calcular la hipotenusa
r=√ ( 460)2+ (520 )22 694,26
c) Calcular el ángulo adentro el triangulo ∅
tan∅= a(3puesto)b ( +d&acente)
=460520
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∅=tan−1(460
520)2 41,50 0
d ¿calcular el 4ngulo1 1 =900+41.500 2 131,50 0
e¿%erificar que + ∙cos 1 = x & + ∙ sen 1 = &
x= + ∙cos1 =694,26 ∙ cos (131,500 )=−460
&= + ∙ sen 1 =694,26 ∙sen(131,50 0)=520
Ejemplo 2 de trigonometr í a:
+alcular las incógnitas r ,∅ & 1 .
b=470 m; a=1 km
a) Transformar lo necesario
a=1 km∙
1000 m
1km =1000 m
b) Calcular la hipotenusa
r=√ ( 470)2+ (1000 )
22 1104,94 m
c) Calcular el ángulo adentro el triángulo ∅
tan∅= a(3puesto)b ( +d&acente)
=1000
470
∅=tan−1(1000
470
)2 64,82 0
d) Calcular el ángulo 1
1 =90 0+64,820 2 25,17 0
e¿%erificar que + ∙cos 1 = x & + ∙ sen 1 = &
x= + ∙ cos1 =1104,94 ∙ cos (25,17 0)=1000 m
&= + ∙ sen 1 =1104,94 ∙sen (25,17 0)=470 m
Ejemplo 3 de trigonometr í a:
+alcular las incógnitas + , 5 & 1 .
a=−56,7 ms
;∅=17,5 0
tan 17,5 0= a(3puesto)b( +d&acente)
= b56,7
b=56,7 ∙ tan (17,5 0 ) 2 17,88m
s
cos(17,50)=
56,7
r
Ø º
X
a
b
r
α º
Y
,
Figura 6: Ejemplo 2 de un triángulo rectángulo
en un plano cartesiano
Figura 7: E$em%lo 3
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r= 56,7
cos(17,50)2 59,45
ms
1 =180 0−17,5 0 2 162,5 0
e¿%erificar que + ∙cos 1 = x & + ∙ sen 1 = &
x= + ∙ cos 1 =59,45∙ cos(162,5 0)2−56,7 m
s
&= + ∙ sen 1 =59,45 ∙sen (162,5 0)2 17,88m
s
Ejemplo 4 de trigonometr í a:
+alcular las incógnitas + ,∅ & 1 .
a=−673 cm
s ; r=8897mm
s
r=8897 mm
s ∙
1cm
10mm=889,7
cm
s
b=−√ (889,7 )2−(673)22−581.93
cm
s
sen∅= & (opuesto)
r (h&potenusa)=
673
889,7
∅=sen−1( 673
889,7)2 49,15 0
1 =270 0−49,150 2 220,850
e¿%erificar que + ∙cos 1 = x & + ∙ sen 1 = &
x=r ∙ cos1 =889,7 ∙ cos(220,85 0 )2−673 cm
s
&=r ∙s e n 1 =889,7 ∙ sen(220,85 0)2−581,93cm
s
Y
a
b
r
α º
XØ º
Ø º
a
r
b
α º
Y
X
,
Figura 2,4: Ejemplo 4
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Tarea 2
6alculara,b,r, ∅ & 1 para todaslas preguntasen la unidad pedida!
Todos los ángulos se medirán o calcularán en grados.
Pregunta1 : 7nidad : ms
; a=−36 kmhr
;∅=16,44 0
Y
X
a
b
r
α º
Ø º
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Pregunta2 : 7nidad : ; a=−0,0253 k ;∅=17,5 0
Y
Xa
b
r
α º
Ø º
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Pregunta3 : 7nidad : ; b=400 ; a=0,8 k
Ø º
Y
X
b
a
r
α º
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Pregunta 4 : 7nidad : m
s2
; a=583200 km
hr2
;∅=87,110
Y
X
b
r
a
α º
Ø º
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Capí tulo 3: Vectores
Teorí a
Un vector es una cantidad f í sica que necesita una magnitud y una dirección para ser
descrita como la velocidad o la fuerza. En cambio, un escalar solo necesita de una magnitud
como la hora o la temperatura. El vector es geométricamente representado en el plano X-Y
(dos dimensiones) o en el espacio X-Y-Z (tres dimensiones) por una flecha. La dirección de
la flecha es la dirección del vector y su longitud es proporcional a la magnitud. Solo la
longitud y dirección de la flecha son importantes, por eso es posible poner el vector en
cualquier lugar del plano X-Y.
Y
X
7 0 N
7 0 N
7 0 N
7 0 N
7 0 N
7 0 N
7 0 N
Figura !: &e%resentaci'n del %eso de una %ersona (7# )* %or un +ector
Si P y Q son puntos en un espacio de 2 dimensiones, P8 denota el vector de P a
Q. Un vector 9= P8 en el plano X-Y puede ser representado por:
⃗9=( 9 x î+ 9 & ̂( )unidad=(8 x− P x î+8 &− P & ̂( )unidad
9 x & 9 & soncompenentes del vector 9
Y
X
R
R x
R y
Q
P
P Q
Q x - P x
Q y - P y
Figura ": Representación de las componentes de un vector
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Coordenadas para vectores
Hay distintas maneras de expresar un vector. Se usarán algunas maneras de
expresarlos.
1. Coordenadas polares:
: =(mdulo; direccin)
La dirección depende del sistema de referencia. El ángulo se mide desde el eje “x”
positivo con dirección hacia el eje “y” positivo hasta encontrar al vector. Una fuerza de 50 N
en la dirección 240º se verí a así (nótese la orientación de los ejes positivos “x” y “y”):
Y
X
5 0 N
X
Y
2 4 0 ºE ! " # a r " $ " %
" & " ' x ' ! o s ( ) (* o
+ r " $ % a d ( r " , , ( $d " % " & " ' y '
. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r 2 0 º
E ! " # a r " $ " %
" & " ' x ' ! o s ( ) (* o
+ r " $ % a d ( r " , , ( $
d " % " & " ' y '
. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r
5 0 N
⃗: =(50 ; 240 0 ) ⃗: =(50 ; 120 0 )
Figura 1#: Ejemplo de coordenadas polares
Y
X
Y
X
E ! " # a r " $ " %
" & " ' x ' ! o s ( ) (* o
+ r " $ % a d ( r " , , ( $
d " % " & " ' y '
. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r 1 0 0 º
0 º
E ! " # a r " $ " %
" & " ' x ' ! o s ( ) (* o
+ r " $ % a d ( r " , , ( $
d " % " & " ' y '. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r
5 0 N 5 0 N
⃗: =(50 ;3000 ) ⃗: =(50 ;60 0 )
Figura 11: Ejemplo de coordenadas polares
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2. Coordenadas rectangulares:
$l vector se epresa en función de sus coponentes -. e utili"an los vectores unitarios (seeplica ás adelante este concepto) i, / y 0.
⃗: =( : x î+ : & ̂(+ : ' k̂ )unidad
Medir o calcular los componentes del vector.
Y
X X
Y
2 4 0 º
2 0 º
5 0 N 5 0 N
,
: x= : cos∅=50cos ( 240 0 )=−25
: &= : sin∅=50sin (240 0 )=−43,3
: '=es perpendicular a x e y=0
: x= : cos∅=50cos (1200 )=−25
: &= : sin∅=50sin (120 0 )=43,3
: '=es perpendicular a x e y=0
⃗: =(−25 î−43,3 ̂( ) ⃗: =(−25 î+43,3 ̂( )
Figura 12: Ejemplo para coordenadas rectangulares
Y
X
Y
X
1 0 0 º 0 º
5 0 N 5 0 N
,
Figura 13: Ejemplo para coordenadas rectangulares
: x= : cos∅=50cos ( 300 0 )=25
: &= : sin∅=50sin (300 0 )=−43,3 kg
: '=es perpendicular a x e y=0
: x= : ∙cos∅=50 ∙cos (600 )=25
: &= : ∙ sin∅=50 ∙sin (600 )=43,3 kg
: '=es perpendicular a x e y=0
- +oponentes son las proyecciones de un vector en un e/e deterinado. 's!, la coponenteen ser!a la proyección del vector en el e/e .
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⃗: =(25 î−43,3 ̂() (¿
25 î+43,3 ¿̂¿
⃗: =¿
3. Módulo – Vector Unitario
$l vector se epresa coo una ultiplicación entre el ódulo del vector y su vector unitario.
+= + ∙⃗ u +
Vector unitario
$s un vector cuya agnitud es uno, no tiene unidades. $l nico propósito del vector
unitario es de indicar dirección. e obtiene dividiendo un vector en coordenadas
rectangulares para su iso ódulo. $l ódulo divide a cada coponente y el vector
resultante es el vector unitario.
⃗u += ⃗+
+=
+ x î+ + & ̂(+ + ' k̂
√ ( + x)2+( + & )
2+( + ')2
La 2igura 13 (nótese la orientación de los e/es positivos)
presenta el vector unitario del vector '. $ste vector
unitario, a escala, tendrá un ódulo igual a 1. Para
calcularlo se transfora el vector en coordenadasrectangulares4
+ x=50cos60 0=25
+ &=50sin 600=43,3
Figura 14: ,ector - su +ector unitario (indicado en ro$o*
⃗+= (25 î+43,3 ̂( )
$ste vector se lo divide para su ódulo. $s decir, cada coponente será dividida para
5 6.
⃗u +=(25 î+43,3 ̂( )
50
6ótese que las unidades se siplifican. $l vector unitario de ' es4
⃗u +=0,5 î+0,866 ̂(
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+onociendo el vector unitario de ', se puede epresarlo en función de su ódulo y
unitario de la siguiente anera4
⃗+=50 ∙(0,5 î+0,866 ̂( )
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4. Coordenadas Geográficas:
uy parecidas a las coordenadas polares pero los ángulos se iden utili"ando loscuatro puntos cardinales. Los ángulos siepre se epie"an a edir desde el 6orte o ur endirección #acia el $ste o el 7este #asta encontrar al vector.
⃗: =( : ; direccin[ orte o
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Ejemplo 1: Poner el vector en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas.
Ø º
Y
X
A
y
=
-
0
2
1
N
Ø º
Y
X
N o r ) " N o r ) "
A
y
=
-
0
2
1
N
Figura 17: Reubicación del vector (paso 1)
1. Poner el comienzo del vector en el centro del sistema de referencia.
2. Cálculos
a) Unidades
+=0,8 k ∙1000
1 k =800
+&=−123
b) 6alcular ∅ ,1 & + x
sen∅= opuesto
hipotenusa=
+ &
+ =(
123
800)
∅=sen−1(123
800)=8,84 0
1 =3600−8,84 0=351,160
Figura 1!: Cálculo de componente en x
==900−8,84 0=81,160
+2= + x
2+ + &2
8002= + x
2+(−123 )2
+ x=√ 8002−1232=790,49
c) Escribir las repuestas
Polares: ⃗+=(800 ; 351,160 )
Rectangulares: ⃗+= (790,49 î−123 ̂( )
Y
XØ º
α º
N o r ) "
; º
A
y
=
-
0
2
1
N
A x
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Geográficas: ⃗+=(800 ; 81,16 0 E)
En la siguiente figura se muestra todo lo calculado en el ejemplo anterior.
X
8 0 0 N
X
N
E7 9 0 < 4 9 N
- 2 1 N
8 < º
8 0 0 N
Y Y1 5 < º
Figura 1": Respuestas del ejemplo 1
Polares Rectangulares Geográficas ⃗+=(800 ; 41 0) ⃗+= (790,49 î−123 ̂( ) ⃗+=(800 ; 81,16 0 E )
Ejemplo 2: Poner el vector + en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas.
9=5 m ;∅=35 0; +=6,5 m
s2
XØ º
Y
X
N o r ) "
Ø º
Y
N o r ) "
α º
A
A
A x
A y
a P r " g > $ ) a P a s o
Figura 2#: Ejemplo 2 con reubicación del vector A.
Serí a posible calcular el
ángulo de vector A como es en la figura “La Pregunta” pero
es más f ácil moverlo al centro del sistema de referencia (figura “Paso 1”) para resolverlo.
b) Calcular el ángulo 1 ∅+1 =90 0
1 =90 0−∅=90 0−35 0=55 0
b) Escribir las repuestas
Polares: ⃗+=(6,5 m
s2
; 550)
Rectangulares:⃗
+=( 6,5cos(55 0 )î+6,5sin(55 0 )^ ()
m
s2=⃗
+=( 3,73 î+5,32^ ( )
m
s2
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Geográficas: ⃗+=(6,5 m
s2
; [900−55 0 ] E)=⃗ +=(6,5m
s2
; 35 0 E)
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Tarea 3
Escribir todos los vectores en coordenadas polares, rectangulares, geográficas y modulo-
unitario con las unidades pedidas.
Pregunta1 : ( > )= orte ; unidad=ms
2; + x=23
m
s2 ;∅=56,223 0
Y
X
A x
a ! r " g > $ ) a
N o r ) "
A
y
Ø º
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Pregunta2 : ( > )= orte;unidad= ; + x=−430 ; + &=1,02 k
Ø º
Y
A x
A
y
X
a ! r " g > $ ) a 2
N o r ) "
α º
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Pregunta3 : (? )= orte ; unidad=m
s ; + x=542
mm
s ; + &=−223,2
cm
s
Ø º
Y
A
y
A x
X
o & o a ? > @ < $ o s " o % * ( d " $
d " o * " r " % s ( s ) " a d "
r " " r " $ , ( a s a % ( $ ( , ( o d " %* " , ) o r
a ! r " g > $ ) a 1N o r ) "
A
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Pregunta 4 : (? )= orte ; 7nidad=m; + x=−443,111∈!; el4ngulo=42,7 0
¿ != pulgadas; 1 m=39,3701∈!
A x
a ! r " g > $ ) a 5
AA y
4 7 < 1 º
RX
Y
N o r ) "
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Capí tulo 4: Suma de vectores
Teorí a
Imagine una lancha en un rí o. El rí o tiene una velocidad de 550 cm/s en la dirección
N35ºE y hay un viento de 9000 mm/s en la dirección N70ºO. Se sabe que el viento afecta a la
lancha pero ¿cómo se puede cuantificar el resultado del efecto combinado de velocidades?
Con suma de vectores!
Para sumar los vectores
1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas.
2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares.
3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”.
4. Transformar este nuevo vector a coordinadas polares (en caso de ser requerido).
Ejemplo 1: La lancha en el r í o con el viento.
N
E
1 5 º
C o r r ( " $ ) "
5 5 0 , s ( " $ ) o
9 0 0 0 s
7 0
r @ o
r @ o
Figura 21: E$em%lo de suma de +ectores
1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas.
6orriente=% c=550 cms ∙ 1 m
100 cm=5,5 m
s
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%iento=% v=9000mm
s ∙
1m100 cm
=9ms
1 5 º
" % o , (d a d = 5 < 5 s
Ø º
* ( " $ ) o
9 s
7 0
Y
X
Y
X
;
,
Figura 22: Vectores de velocidad por separado
2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares.
⃗% c=(5,5m
s , 350 E )
∅=90 0−350=550
⃗% c=(5,5m
s , 55 0)
% cx=5,5cos550=3,15
% c&=5,5sin55 0=4,51
⃗% c=(3,15 î+4,51 ̂( ) m /s
⃗% v=(9 m
s , 70 0 3)
==900+70 0=160 0
⃗% v=(9 m
s ,160 0)
% vx=9cos160 0=−8,46
% v&=9sin1600=3,08
⃗% v=(−8,46 î+3,08 ̂( ) m/s
3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”.
⃗% c+⃗% v=( [3,15−8,46 ] î+[4,51+3,08] ̂( ) m
s
⃗% c+⃗% v=⃗ 9=(−5,30 î+7,58 ̂( ) m
s
4. Transformar este nuevo vector a coordenadas polares (solo en caso de ser requerido).
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92= 9x2+ 9&2
9=√ (−5,30)2+(7,58)2=9,25
m
s
tan∅
=
opuesto
ad&acente =
5,3
7,58
∅=tan−1( 5,3
7,58)=34,96 0
==900+34,96 0=1250
⃗9=(9,25 m
s ;125 0)
Figura 23: Respuestas del ejemplo 1 de suma de vectores
Ejemplo 2: Una part í cula est á afectada por 2 aceleraciones.
Sumar los vectores y escribirlos en coordenadas polares y rectangulares.
r=5 m ;∅=32 0;
+ 1=3 m
s2
; +2=6,3 m
s2
Sumar las aceleraciones!
Paso 1: Poner
todos los
vectores en la mitad
Ø º
; º
R x = - 5 < 1 s
R y = D 7 < 5 8 s
R =
Y
X
,
Y
XØ º
r A
A 2
Y
X
Ø º
r
A
A 2
FG
Figura 24: La %regunta %ara el e$em%lo 2 de suma de+ectores
Figura 25: /aso 1 %ara el e$em%lo 2 de suma de
+ectores
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90 0= @+∅
@=90 0−∅=90 0−32 0=58 0
180 0=∅+A
A =180 0−32=1480
⃗+ 1=(3m
s2
; 58 0)
⃗+ 2=(6,3m
s2
; 148 0 )
⃗+1+⃗ +2=(3cos58 0+6,3cos1480 î+3sin580+6,3sin1480 ̂() m
s2
⃗ +1+⃗
+2=⃗ 9=(−3,75 î+5,88
^ ( )
m
s2
tan∅= 9 &
9 x=
5,88
3,75
∅=atan( 5,883,75 )=57,460 9=√ 3,752+5,882=6,99
m
s2
Figura 26: Respuesta del ejemplo 2 de suma de vectores
⃗9=(6,99m
s2
; 57,46 0)
Y
X
A
A 2
A D A 2 = R
R
R x
R y
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Ejemplo 3: El movimiento de una part í cula
Esto fue medido con una regla común (tomar en cuenta la precisión de este instrumento)4
pero sus ángulos son exactos. Encontrar su desplazamiento total5 y expresarlo en coordenadas
polares.
Y
X
A B
C
H
,
a
b
,
d
Figura 27: Ejemplo 3 de suma de vectores
+=7,350 m 5=9,400 m 6 =14,900 m -=11,300 ma=610 b=530 c=67 0 d=68 0
1. Escribir los vectores en coordenadas polares ⃗+= (7,350m ;610 )
⃗5=(9,40 m ;(360 0−53 0))"⃗ 5=(9,400 m ;307 0 )
⃗6 =(14,9m ;(900−670 )) "⃗ 6 =(14,900m ;23 0 )
⃗-=(11,3 m;(680+90 0))"⃗ -= (11,300 m; 158 0 )
2. Transformar los vector a coordenadas rectangulares y sumarlos
++5+6 + -= 9
7,350cos (61)+9,400 cos (307 0 )+14,900 cos (23 0 )+11,300 cos (158 0 ) ̂i+¿¿¿¿
7,350sin (61)+9,400 sin(307 0 )+14,900sin ( 23 0 )+11,300 sin (158 0 ) ̂( ¿m
3.563+5.657+13.716−10.477 î ⃗9=¿
+6.429−7.507+5.822+4.233 ̂( ¿m
3 %nforación sobre esto se encuentra en la página - de este Libro de Traba/o.5 $l despla"aiento es un vector que va desde la posición inicial #asta la posición final quetuvo una part!cula sin toar en cuenta el caino que toó. e estudiará esto ás adelantedurante el curso.
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⃗9=(12.459 î+8.976 ̂()m
3. Transformar en coordenadas polares.
tan∅= 8.976
12.459"∅=atan
8.976
12.459=35,772 0
9=√ 12.4592+8.9762=15,356 m
9=(15,356 m; 35,772 0)
Cálculo de propagación de errores
$l e/eplo anterior describe una situación donde se toaron ediciones, estas edicionesfueron #ec#as con un instruento que posee una precisión definida. La edida ás peque8aque la regla puede edir es 1 il!etro (,1 etros) entonces #ay que toar en cuenta que
toda edida tiene un error (o incertidubre). $ste error tiende a ser peque8o cuando elaparato usado para edir la cantidad es ás eacto. e denota el error usando la cantidadedida y epresando que 9podr!a variar: entre ás o enos la precisión del aparato deedición utili"ado.
Para presentar un resultado, incluyendo los valores de errores y propagación de los isos(en este caso se suan cantidades con error, por lo que el error tabi;n se sua) se procedeas!4
[ 3,5634 ±0,001 ]+ [ 5,6571± 0,001 ]+ [ 13,7155 ± 0,001 ]−[10,4772 ± 0,001]
3,5634+5,6571+13,7155−10,4772=12,4588 m0,001+0,001+0,001+0,001=0,004 m
9 x=12.4588± 0,004 m
[6.4285 ±0,001]−[7.5072±0,001 ]+[5.8219±0,001]+[ 4.2331±0,001]
6.4285−7.5072+5.8219+4.2331=¿
0,001+0,001+0,001+0,001=0,004 m
9 &=12.4588 ± 0,004 m
6onincertidumbre :⃗
9=(12.4588 ±0,004 î+8.9762±0,004^ ()m
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3 ejemplos resueltos de propagación de errores
E(emplo 1: B=4,52∓0,02 cm,x=2,0∓0,2 cm, &=3,0∓0,6 cm !
6alcular '= x+ &−B & suincertidumbre !
'= x+ &−B=2,0+3,0−4,52=0,52 "0,5 cm
- '= - x+ - &+ -B=0,2+0,6+0,02=0,82" 0,8 cm
'=0,5∓0,8 cm
E(emplo 2 : el radiode un circulo es x=3,00∓0,20 cm!
6alcularla circunferencia & suincertidumbre !
6 =2 )x=2 ∙ 3,141∙ 3,00=18,8596 " 18,6 cm
-c=2 ) - x=2 ∙3,141 ∙0,20=1,257 "1,26 cm
6 =18,6∓1,26 cm" 18,6∓1,3 cm
E(emplo 3 : x=2,0∓0,2 cm, &=3,0∓0,6 cm !
6alcular '= x−2 & & suincertidumbre
'= x−2 &=2,0−2 (3,0 )=−4,0 cm
-C = - x+2 - &=0,2+2 (0,6 )=0,2+1,2=1,4 cm
'=−4,0∓1,4 cm
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Tarea 4
Pregunta 1
⃗+= (10000 mm ; 252 0 ) ;⃗ 5= (2,3 î−0,83 ̂( ) m;⃗ 6 =(22,5 cm;< 47 0 E)
Resuelve ++5+6 . Sumar los vectores y ponerlos en coordenadas polares, rectangulares y
módulo-unitario.
Pregunta 2
Dos puertos A y B se encuentran separados una distancia de 750,00 m. El rí o fluye de
Oeste a Este con una rapidez constante igual a 2,30 m/s. Un bote que quiere cruzar desde el
puerto A hacia B posee una rapidez constante igual a 4,20 m/s. ¿En qué dirección relativa al
norte (ángulo ), debe apuntar la velocidad del bote para que se mueva en l í nea recta
directamente hacia el Norte desde A hacia B?
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Pregunta 4
Una partí cula está afectada por 2 aceleraciones. Sumar los vectores de aceleración y
escribirlos en coordenadas polares y rectangulares. La posición de la partí cula está dada por
el vector r, que es 5 m. + 1=2,5 m
s2
; +2=78,125 m
s2
Y
X
Ø ºr A
A 2
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Laboratorio 2:
Un juego de puntos del piso a coordenadas
Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula:_______ Fecha:___________ Número de jugo de puntos:________________________
Miembros:__________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Objetivo
Convertir los puntos marcados que están en el piso a coordinadas polares y
coordinadas (ver el ejemplo en la figura 4,7).
2
1
4
5
x
y
Instrucciones
-Escoger un sistema de referencia lógica.
- Encontrar su manera de convertir
los puntos marcados en el piso a
coordinados.
- Leer la introducción con mucho
cuidado.
- Contestar las preguntas
Figura 4,7: Ejemplo de como usar un sistema de referencia para graficar puntos.
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Figura 2!: Ejemplo de ser creativo para medir ángulos
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Introducción
La medición es un proceso de cuantificar una experiencia del mundo exterior; son
técnicas por medio de las cuales se asigna un número a una propiedad f í sica como resultado
de compararla con otra similar, tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. Lord
Kelvin, cientí fico escocés del siglo XIX, dijo: “Cuando uno puede medir aquello de lo que se
está hablando y expresarlo en números, sabes algo acerca de ello, pero cuando no puedo
medirlo, cuando no puede ser expresado en números, su conocimiento es escaso e
insatisfactorio; podrá ser un principio del conocimiento, pero dif í cilmente ha avanzado su
conocimiento a la etapa de una ciencia”.
Cuando se mide una cantidad f í sica, no se debe esperar que el valor obtenido sea
exactamente igual al “valor verdadero”. Al hacer mediciones y se informe de sus resultados,
se debe tener siempre en cuenta que, las medidas no son simples números exactos, sino que
consiste en intervalos, dentro de los cuales se tiene confianza de que se encuentra el valor
esperado. En general, es necesario dar indicaciones claras de qué tan cerca está el resultado
obtenido del “valor verdadero”; es decir algunas ideas de la exactitud o confiabilidad de las
mediciones; esto se alcanza incluyendo en el resultado una estimación de su error. Por
ejemplo, al medir la velocidad del sonido en el aire a la temperatura ambiente y dar el
resultado final como:
(339±2)(m/s)
Se entiende, que se cree que la velocidad del sonido esté en alguna parte dentro del
intervalo que va desde 337 hasta 341(m/s). En realidad, la expresión anterior es una
afirmación de la probabilidad; no significa que se esté seguro que el valor se encuentre entre
los lí mites indicados, sino que las mediciones señalan que hay cierta probabilidad de que esté
ahí .
En este experimento se usa una cinta métrica común para describir puntos en el piso y
expresarlos como coordenadas. Al medir los puntos del piso del aula, habrá una propagación
de error debido a que la precisión del instrumento y la percepción humana tienen sus lí mites.
Por eso, es imposible concluir que el resultado es exacto (cerca del valor verdadero) aunque
parece que no haya errores.
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Resultados: (4,5 puntos)
Llenar las tablas6 de abajo tomando en cuenta la precisión de cada instrumento (4,5 puntos)
Coordenadas polares Coordenadas rectangulares
Lí nea Longitud (______)Ángulo ( 1 ¿
(______)X (______) Y (______) Z (______)
1 a 2
2 a 3
3 a 4
4 a 5
5 a 6
6 a 1
Total
Calcular la propagación de errores.
Entregar la practica 2 a Anthony, limpiar el laboratorio y preparase para una examen de
comprensión del laboratorio.
Prueba (2,3,4)
La prueba (2,3,4) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en 2,3 y4.
< Toar en cuenta el forato sugerido en la página 3 ba/o el t!tulo4 2orato de escritura detablas para este curso
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Capí tulo 5: Multiplicación de vectores
Teorí a
Hay 3 tipos de multiplicación de vectores:
1. Un vector multiplicado por un escalar => resulta en un vector
2. El producto punto (o escalar) entre dos vectores => resulta en un número con unidad
3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores => resulta en un vector
1. Un vector multiplicado por un escalar resulta un vector.
n +=n + x+n + &+n + '
Ejemplos:
1) ⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) 2) 2∙⃗ +=(4 î+2 ̂(+6 k̂ )
3) −3 ∙⃗ +=(−6 î−3 ̂(−9 k̂ ) 4)1
2∙⃗ +=(î+0,5 ̂(+1,5 k̂ )
2. El producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. También se lo
conoce como producto escalar.
El producto punto es la multiplicación de la proyección de un vector sobre otro vector o sobre
su lí nea de acción. Hay dos maneras de calcularlo:
En función de las componentes de ambos vectores:
+ ∙ 5= + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '
En función de los módulos de los dos vectores y el
ángulo que forman entre ellos:
⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos =
==el 4nguloentre vectores & es menorque180 0
Recordando, los módulos de ambos vectores se
calculan con las siguientes expresiones:
| +|=√ + x2+ + &
2+ + '2
|5|=√ 5 x2+5 &
2+5 '2
a
a , o s 3 Ø º
Ø º
a
b
Figura 2": /roducto %unto
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Ejemplos:
1¿⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) m;⃗ 5=(−1,5 î+3 ̂(+1 k̂ ) m
+ ∙ 5= +x ∙ 5x+ +&∙ 5&+ +' ∙ 5'
⃗ + ∙⃗ 5=2∙(−1,5)+1∙3+3 ∙1=3m
2
2 ¿⃗ +=(5 m; 30 0) ;⃗ 5=(2 s−1 ; 1110)
⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos ==5∙ 2 ∙cos (1110−30 0 )=10 ∙ cos ( 81 0 )=1,56 ms
B ! > $ ) o A = B I , o s 3 8 º x A= 2 3 s I , o s 3 8 º x 5
= 0 I , o s 3 8 º s
= < 5 s
A = 3 5 : 1 0
B = 3 2 s J 3 - :
Ø º = º - 1 0 º = 8 º
A ! > $ ) o B = A I , o s 3 8 º x B= 5 I , o s 3 8 º x 2 3 s
= 0 I , o s 3 8 º s
= < 5 s
y
x
y
1 0 º
º
Ø º
Ø º = º - 1 0 º = 8 º
1 0 º
º
Ø º
A = 3 5 : 1 0
x
B = 3 2 s J 3 - :
Figura 3#: Ejemplo 2 del producto punto
3¿ +=2 ;5=3,3 m; el 4ngulo entre ellos es22 grados
+ ∙⃗ 5=| +||5|cos ==2∙ 3,3 ∙cos (220 )=6.6∙ cos (22 0 )=6,12 !m
Ángulo entre dos vectores
'l igualar abas epresiones para encontrar el producto punto entre dos vectores y despe/ar el coseno del ángulo que foran estos vectores se puede obtener una epresión uy til paraencontrar el ángulo= entre dos vectores cualesquiera4
cos == + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '
| +|∙|5|
= La fórula resulta el coseno del ángulo que foran dos vectores. Para encontrar el ángulosolo #ace falta #acer la función inversa del coseno.
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3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores
El producto cruz entre vectores resulta un vector perpendicular al plano que forman
los dos vectores que se multiplican. En otras palabras, el vector + x 5 será perpendicular a
+ y 5 simultáneamente. Se define con las siguientes expresiones:
En función del vector unitario de AxB (la dirección que sea perpendicular a ambos
vectores que se multiplican a la vez), el módulo de ambos vectores y el ángulo que forman
los dos vectores que se multiplican:
⃗+ x⃗ 5=⃗n ∙| +|∙|5|∙sin =
⃗n=vector unitario queindica ladireccin perpendicular a + & 5 (no ha& unidades)
| +| &|5|=mdulosde los vectores que semultiplican
== Dnguloque formanlos dosvectores que semultiplicanO en función de las componentes de ambos vectores que se multiplican:
⃗+ x⃗ 5=| î ̂( k̂
+ x + & + '5 x 5 & 5 '
|Esta última f órmula requiere de conocimiento en matrices y determinantes para su
resolución, en clase se explicará un poco más a detalle cómo resolver esta matriz. Al
resolverla queda la siguiente f órmula que es la que se usa para encontrar el vector + x⃗ 5 :
⃗+ x⃗ 5=( ( + & 5 '− + ' 5 & ) î−( + x 5 '−5 x + ' ) ̂(+( + x 5 &− + & 5 x) k̂ )unidad+∙unidad5
La f órmula anterior es la más práctica de usar. Es mucho más f ácil encontrar las
componentes de dos vectores que el ángulo que forman ambos8.
> e puede encontrar el ángulo entre dos vectores con la fórula descrita en la página 5- ba/oel t!tulo4 ?ngulo entre dos vectores.
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Ø º
$ I a I b s ( $ 3 Ø º
$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o
K r " a = a I b s ( $ 3 Ø º
E x ! % ( , a , ( $ , o L $
Ø º
a
b
a
b s ( $ 3 Ø º
$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o
K r " a = a I b s ( $ 3 Ø º
( s ) a 1 H
( s ) a 1 H
E x ! % ( , a , ( $ a % ) " r $ a ) ( * a
$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r ( o
b
a
a
b
a
b s ( $ 3 Ø º
Ø º
( s ) a 1 H
Figura 31: Producto cruz
Ejemplos:
1¿⃗ +=(5m ;300) ;⃗ 5=(2 s−1 ;1110) ;⃗ n=1 k̂ por lareglade la mano derecha
calcular + x 5
⃗+ x⃗ 5=(+1 k̂ ) ∙ 5 m∙ 2 s−1 ∙ sin(1110−300 )
⃗+ x⃗ 5=(+1 k̂ ) ∙ 10 ms
∙ sin(81 0)
⃗+ x⃗ 5=([1∙ 10 ∙sin (81 0 ) ] k̂ ) ms
⃗+ x⃗ 5=( 9,88 k̂ ) ms
2 ¿⃗ +=(5 m; 30 0) ;⃗5=(2 s−1 ; 1110) ;⃗ n=−1 k̂ porlaregladelamanoderecha
calcular 5 x +
⃗5 x⃗ +=(−1 k̂ ) ∙ 5 m∙ 2 s−1 ∙sin (1110−30 0 )
⃗5 x⃗ +=(−1 k̂ ) ∙ 10 ms
∙ sin(81 0)
⃗5 x⃗ +=([−1 ∙ 10∙ sin ( 81 0 )] k̂ ) ms
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⃗5 x⃗ +=(−9,88 k̂ ) ms
3 ¿⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) m ;⃗ 5=(−1,5 î+3 ̂(+1 k̂ ) m
calcular + x 5
⃗+ x⃗ 5=( ( + & 5 '− + ' 5 & ) î−( + x 5 '−5 x + ' ) ̂(+( + x 5 &− + & 5 x) k̂ )unidad+∙unidad5
⃗+ x⃗ 5=( (1∙ 1−3 ∙ 3 ) ̂i− (2∙ 1−(−1,5 ) ∙3 ) ̂(+( 2∙ 3−1 ∙ (−1,5) ) k̂ )m∙ m
⃗+ x⃗ 5=( (−8 ) ̂i−(6,5 ) ̂(+(7,5 ) k̂ ) m2
⃗+ x⃗ 5=(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2
calcular el 4ngulo entre + & 5
+ ∙⃗ 5= + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '
⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos =
+ x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '=| +||5|cos=
==cos−1( + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '
| +||5| )
==cos−1( 2 ∙−1,5+1 ∙3+3∙ 1
√ 22+12+32 ∙√ (−1,5)
2+32+12)=cos−1
3
√ 14 ∙√ 12,25=76,76 0
calcular el vectorunitario de⃗ + x⃗ 5
⃗n= ⃗ + x⃗ 5
| +||5|sin∅=
(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2
√ 14 m∙√ 12,25m ∙sin (76,76 0)=
(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2
12,75 m2
⃗n=( −812,75
î− 6,5
12,75 ̂(+
7,5
12,75k̂ )
⃗n=(−0,63 î−0,51 ̂(+0,59 k̂ )
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Tarea 5:
Pregunta 1
¿Qué denota un vector unitario? (No requiere explicación)
a) La magnitud (o módulo) y dirección de un vector
b) Solo la dirección
c) Solo la magnitud (o módulo)
Pregunta 2
¿Es un vector unitario el siguiente vector descrito por % : Justifique.
⃗% =( cos (82,4326 0 ) ̂i−sin (15,22110 ) ̂(+ tan ( 43,70810 ) k̂ )
Pregunta 3
Qué ángulo forma con respecto al eje +Z el producto + x 5 entre:
⃗+= (26,50î ) m
⃗5=(−13,20 ̂( ) m
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Pregunta 4
⃗+= (0,11 î+17,80 ̂( )m
⃗5=(18,20 î−21,00 ̂(+1,20 k̂ ) m
c=2,00d=−2,00
Calcular:
a¿c +
b¿d 5
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Escoge las respuestas que son correctas:
c) el vector c⃗ + tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector ⃗+ .
d) el vector c + tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector + .
e) el vector c + tiene diferente magnitud y dirección que el vector + .
f) el vector d 5 tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector 5 .
g) el vector d 5 tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector 5 .
h) el vector d⃗ 5 tiene diferente magnitud y dirección que el vector ⃗5 .
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Pregunta 5
⃗+=( 2,10 î+2,80 ̂(−3,00 k̂ ) m
⃗5=(−2,30 î+6,00 ̂(+2,80 k̂ ) m
a) Calcular + ∙ 5
b) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre los vectores + & 5 ?
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Pregunta 6
Se tienen los vectores
⃗+=( 15,00 î−8,00 ̂(−6,60 k̂ ) m
⃗5=(9,00 î−3,30 ̂(+4,40 k̂ ) ma) Calcular + x 5
b) Calcular el ángulo entre + & 5
c) Calcular el vector unitario usando está formula9: + x⃗ 5=⃗n ∙| +|∙|5|∙sin =
@ ugerencia4 e puede despe/ar el unitario ⃗n de esa fórula.
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Pregunta 7
Se tienen los vectores
⃗+= (−6,60 î+2,20 ̂( ) km
⃗5=(−1,10⃗i+q ̂(−1,00 k̂ ) km¿cuánto debe valer “q” para que ambos vectores sean perpendiculares (es decir, formen 90°)?
Pregunta 8
Encuentre un vector que sea perpendicular a los dos siguientes vectores:
⃗+= (5,50 î−2,10 ̂( )
⃗5=(2,30 î+22,00 ̂(+1,13 k̂ ) m
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Pregunta 9
Suponga que el vector ⃗5=(11,11 î+4,30 ̂( ) m forma un ángulo de 22 grados con un
vector + . Se conoce que ⃗+ ∙⃗ 5=17,75m
s. Calcule el módulo del vector + .
Prueba (5)
La prueba (5) incluye todos los conceptos anteriores pero con laénfasis en 5.
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Y
X
0 s 0 < 2 s 0 < 4 s 0 < s
0 5 0 5
Y
X
0 0 < 2 0 < 40
5
0
5
2 0
2 5
0 < 0 < 8
M ( " ! o 3 s
x
3
4
Capí tulo 6: Cinemática
La cinemática estudia el movimiento de las partí culas y encuentra f órmulas para
describir esos movimientos. La cinemática no estudia qu
é provoca el movimiento. En este
tema se usan cantidades escalares y vectores. Generalmente se usan vectores para describir
aceleración, velocidad y desplazamiento. Por ejemplo, metros (m) y metros por
segundo(m/s). Se deben identificar 3 elementos en cada problema de cinemática.
1. La partí cula (el cuerpo que mueve)
2. El sistema de referencia (los ejes x, y y/o tiempo (t))
3. El sentido del movimiento (la dirección que la partí cula mueve)
La Figura 32 muestra como estos tres elementos aparecen en gráficos.
Figura 32: Gr á ficas posición en x vs tiempo
De estos gráficos es posible calcular algunos tipos de velocidades:
Velocidad media:
vmed= ⃗x2−⃗ x1t 2−t 1
=⃗ x
t
El cambio en desplazamiento divido para el cambio en tiempo. Toma en cuenta un intervalo
de tiempo (i.e.: la velocidad media entre 0,2 y 0,6 segundos)
La velocidad instantánea es:
v x= lmt " 0
x t
=dxdt
La velocidad instantánea es el lí mite de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo
se acerca a cero; es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. En
resumen, es la velocidad de una partí cula en un instante (i.e.: la velocidad a los 0,4
segundos).
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Velocidad promedio
Promediode los resultados=´ x=1
n∑i=0
n
x i
v promedio= v́= v1+v2+v3Fn
Definiciones básicas de la cinemática:
Movimiento: Es el cambio de posición de una partí cula, con respecto a un sistema de
referencia, en un determinado intervalo de tiempo.
Reposo: Un cuerpo está en reposo cuando no cambia su posición con respecto a un sistema
de referencia.
Posición ( ⃗ r ): Es el lugar f í sico en el que se encuentra un cuerpo con respecto a un sistema
de referencia.
Distancia desde el origen ( r ): Es el módulo del vector posición.
Desplazamiento ( ⃗r ): Es la variación de posición (resta de la posición final menos la
inicial) sin importar el camino seguido o el tiempo empleado, tiene una relación estrecha con
el movimiento de un cuerpo.
Trayectoria: Es la lí nea que une las diferentes posiciones que a medida que pasa el tiempo
va ocupando un punto en el espacio o, de otra forma, es el camino que sigue el objeto dentro
de un movimiento.
Velocidad ( ⃗ v ): Desplazamiento que recorre un móvil por cada unidad de tiempo.
Rapidez ( v ): Es el módulo de la velocidad en un instante.
Existen algunos tipos de movimiento. Se empezará describiendo el más sencillo de todos.
Movimiento rectilí neo uniformemente (MRU)
Es un movimiento en lí nea recta con velocidad constante. Si se toma la definición de
velocidad media: ⃗vmed= ⃗x2−⃗ x1t 2−t 1
=⃗ x
t
Pero se conoce que la velocidad es constante ( % med=% ¿ . Despejando el desplazamiento,
se obtiene la única f órmula que describe este tipo de movimiento:
x=⃗v ∙ t
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Esta f órmula tiene una versión escalar10:
x=v ∙ t
Ejemplo 1 de MRU:
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 50 km/hr. Calcule la distancia que
recorrerá en 11,38 segundos.
v=50kmhr
∙ 1 hr
3600 seg ∙
1000 m1 km
=13,89 mseg
; t =12 se g
x=v t =13,89 m
seg ∙ 12 se g=166,67 m
Ejemplo 2 de MRU:
¿Cuántos segundos demorará un automóvil en recorrer 3360 m si se mueve con una
rapidez constante de 77 km/hr?
x=3360 m∙ 1 km
1000 m=3,360 km
v=77km
hr
t = x
v =
3,360 km
77km
hr
=0,0436 hr ∙3600 seg
1 hr =157,09 seg
Ejemplo 3 de MRU:
Dos carros parten desde un mismo punto pero una hora aparte. El primer carro se
desplaza hacia el norte a 85 km por hora, y después de 1 hr el segundo carro parte hacia el
norte a 105 km por hora: Calcular la distancia que los separa después de 2,5 hr. ¿Medido
desde la partida de los carros, cuándo se encuentran los dos? ¿Medidos desde el punto de
partida de los carros, a qué distancia se encuentran los carros?
Calcular la distancia que los separa despué s de 2,5 hr.
x1=v ∙ t =85 kmhr
∙2,5 hr=212,5 km
x2=v ∙ t =105 km
hr ∙1,5 hr=157,5 km
212,5 km−157,5 km=55 km∴los carros tiene55 km de separacin
¿Medido desde la partida del segundo auto, cuándo se encuentran los dos?
x1=venta(a+v ∙ t =85 kmhr
∙ 1 hr+85 t =85+85 t
1 6ótese que en esta fórula, ya no se #abla de despla"aiento en ( x ) sino dedistancia en ( x ¿ . 'deás ya no se #abla de velocidad ( ⃗ v ) sino de rapide" ( v ).
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x2=v ∙ t =105 t ; 85+85 t =105 t
85=105 t −85 t
85=20 t
t =85
20=4,25hr
Los autos se encuentran 4,25 horas después de que el segundo carro empieza a
moverse.
¿Medidos desde el punto de partida de los carros, a qué distancia se encuentran los carros?
x1=85+85 t =85+85 ∙ 4,25=446,25 km
x2=105 t =105 ∙ 4,25=446,25 km
Los autos se encuentran a 446,25 km medidos desde el punto de partida de ambos.
Ejemplo 4 de MRU:
Una persona corrió 350 m recto en 2 min, luego se devolvió y trotó 75 m hacia el
punto de partida en 1 minuto con rapidez constante. ¿Cuál es la rapidez promedio del atleta al
recorrer ambas distancias? ¿Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 425 metros?
t 1=2min;x1=350 m
v1= x1
t 1=
350 m
2 min =125
m
min
t 2=1min;x2=−75 m
v1= x1
t 1=−75 m1 min
=−75 m
min
v prom=125
m
min+75
m
min
2=100
m
min
x inicial=0 m
x final=350 m−75 m=275 m
vm= x t
= xfinal− x inicialt final−t inicial
=275−0
3−0=91,67
mmin
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Ejemplo 5 de MRU:
Calcular: a) La velocidad media de todo el recorrido para cada persona.
vmedia tot ( p+)= xtot
t tot
=30 m−15 m
40 s−0 s =0,375
m
s
vmedia tot ( p5)= xtot t tot
=15m−(−30)m
40 s−0 s =1,125
ms
b) Las velocidades medias para cada uno de los
tramos de cada persona.
vmedia 1( p+)= x1 t 1
=−45 m−15 m
10 s−0 s =−6
ms
vmedia 2( p+)=
x2
t 2 =
−15 m−(−45)m15 s−10 s =6
m
s
vmedia 3( p+)= x3
t 3=−15 m−(−15)m
20 s−15 s =0
m
s
vmedia 4 ( p+)= x4
t 4=
45 m−(−15)m35 s−20 s
=4 m
s
vmedia 5( p+ )= x5 t 5
=30 m−45 m40 s−35 s
=−3ms
vmedia 1( p5)= x1
t 1=
30 m−(−30 m)10 s−0 s
=6 m
s
vmedia 2( p5)= x2
t 2=
30 m−30 m25 s−10 s
=0m
s
vmedia 3( p5)= x3
t 3=−30 m−30 m
30 s−25 s =−12
m
s
vmedia 4 ( p5)
= x4
t 4=−15 m−(−30)m
35 s−30 s =3
m
s
vmedia 5( p5)= x5
t 5=
15 m−(−15 m)40 s−35 s
=6 m
s
c) ¿En qué momento ambas personas se encuentran en reposo al mismo tiempo?
Entre 15 y 20 min
d) ¿Qué persona alcanza la mayor rapidez y en qué intervalo?
Figura 33: Grá fico de movimiento
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Persona B en intervalo 25 a 30 min.
Ejemplo 6 de MRU:
Dos personas empiezan a caminar desde el mismo punto y tiempo con las velocidades
mostradas en la Figura 34. Después de 20 min, ¿cuánta distancia hay entre ellos?
x
y
A = 3 2 < 5 s < 5 0 º
B = 3 < 5 s < 1 2 0 º
Figura 34: Ejemplo 6
Multiplicar ambos vectores por el tiempo transcurrido (20 minutos) para encontrar la posición
de cada persona (componentes Ax, Ay y Bx, By). La hipotenusa del triángulo rectángulo de
la Figura 35 será la distancia recta entre A y B después de los 20 minutos.
t =20 min∙ 60 min1 h
=1200 seg
+ x=2,5m
s ∙ cos (150 0 ) ∙ 1200 s=−2598 m
5 x=1,5 m
s ∙cos ( 3200 ) ∙1200 s=1379 m
+ &=2,5 m
s ∙ sin (150 0 ) ∙1200 s=1500 m
5 &=1,5 ms ∙ sin (320 0 ) ∙ 1200 s=−1157 m
9 x=5 x− + x=(1379 m )−(−2598 m)=3977 m
9 &= + &−5 &=(1500 m )−(−1157 m )=2657 m
9=√ 9 x2+ 9 &
2
9=√ (3977 m)2+(2657 m)2=4783 m
x
y
A = 2 < 5 s x 2 0 ( $
B = < 5 s x 2 0 ( $
B x - A x
A y - B y
H ( s ) a $ , ( a " $ ) r " A y B
5 0 º
1 2 0 º
Figura 35: Tri0ngulo rect0ngulo %ara encontrar
distancia entre -
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Tarea 6
Pregunta 1
Una partí cula ubicada en una posición inicial x1=0 se mueve en dirección Oeste
con una velocidad constante de 2,5 m/s durante 5,5 segundos. Luego disminuye
instantáneamente su velocidad a 1,7 m/s durante 10 segundos y finalmente se dirige al Este
con una rapidez de 15 m/s en 4,35 s.
Grafique x(t) y v(t).
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Pregunta 2
¿Qué magnitud permanece constante en un movimiento rectilí neo uniforme (MRU)?
a) Velocidad.
b) Posición.
c) Aceleración.
d) Tiempo.
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Pregunta 3
En un movimiento rectilí neo uniforme, con una rapidez, la gráfica posición-tiempo
puede tener la forma:
a) De parábola.
b) Recta inclinada.
c) Recta horizontal.
d) No se puede representar.
Pregunta 4
¿Cuál de las siguientes ecuaciones describe a un movimiento rectilí neo y uniforme:
a¿ x (t )=3 t 2
b¿ x (t )=20−2 t 2
c ¿ x (t )=1+4 t
d ¿ x (t )=24
Pregunta 5
El motor de una lancha se mueve con una velocidad descrita por el vector A, pero la
lancha se mueve con una velocidad de (2,83 m/s, 148,02º) por la corriente del r í o ¿Cuál es la
velocidad del rí o? ¿Cuánto tiempo en minutos demorará cruzar el rí o, desde A hasta B?
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Pregunta 6
Dos personas empiezan a caminar del mismo punto y tiempo con los vectores de la
figura. Después de 4 segundos ellos tienen una distancia de 100 m entre ellos ¿Cuál es la
rapidez de la persona B en m/s?
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Laboratorio 3: Cinemática 1
Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula: _______Fecha:___________ Código de caja:________________________________
Lí der:__________________________Miembros:___________________________________
___________________________________________________________________________
Funciones de un lí der:
- Encontrar un espacio en el laboratorio para hacer la práctica.
- Apoyar a sus miembros cuando ellos necesiten.
- Manejar el tiempo.
- Entregar la práctica.
- Asegúrese de que las cajas sean devueltas en buen estado.
Objetivos:
1. Encontrar la velocidad del carrito con intensidad mí nima, media y máxima.
2. Calcular la distancia requerida y tiempo que demora para que:
el carrito con intensidad máxima supere el carrito con intensidad en la mitad y mí nima
con una distancia de ventaja dada.
el carrito con intensidad en la mitad para superar el carrito con intensidad mí nima con
una distancia de ventaja dada.
3. Llenar el cuestionario.
Materiales:
Las cajas “Mechanics 1” y “Linear Movement, with Timer 2-1”
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Montaje sugerido:
Figura 36: E jemplo de un montaje para realizar la pr áctica.
[Intensidad mí nima] [Intensidad en la mitad] [Intensidad máxima]
Resultados de las medidas: (4,5 puntos)
Montar el equipo para tener una distancia fija y medir el tiempo que demora el carrito
en moverse de un lado a otro lado con las intensidades mí nima, en la mitad y máxima. Hacer
esto de nuevo con otra distancia.
Intensidad
Mí nima
Distancia 1
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t Prueba 1
Prueba 2
Promedio
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Intensidad
mitad
Distancia 1
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t Prueba 1
Prueba 2
Promedio
Intensidad
Máxima
Distancia 1
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t Prueba 1
Prueba 2
Promedio
Intensidad
Mí nima
Distancia 2
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t Prueba 1
Prueba 2
Promedio
Intensidad
mitad
Distancia 2
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t
Prueba 1Prueba 2
Promedio
Intensidad
Máxima
Distancia 2
x (_____)
Tiempo
t (______)
Velocidad media
x / t Prueba 1
Prueba 2
Promedio
1. Hacer un gráfico de x(t) para cualquier juego de datos de las tablas anteriores. (2 pts)
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2. (2,5 pts) Calcular el tiempo necesario para que el carrito A, con nivel de velocidad
máxima se encuentre con un carrito B que se mueve a menor velocidad. La distancia
dada es la ventaja que recibe el carrito B. Calcular también la distancia que se moverá
el carrito A hasta alcanzar al carrito B. Mostrar cálculos en una hoja aparte.
Carrito B: velocidad mí nima
Distancia de ventaja (cm) Distancia de A hasta alcanzar a B (cm) Tiempo
5
10
15
Carrito B: velocidad a la mitad
Distancia de ventaja (cm) Distancia de A hasta alcanzar a B (cm) Tiempo
5
10
15
Carrito B: velocidad má xima
Distancia de ventaja (cm) Distancia de A hasta alcanzar a B (cm) Tiempo
5
10
15
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H ( s ) a $ , ( a d " % a * " $ ) a & a
a d ( s ) a $ , ( a ! a r a a % , a $ # a r a % , a r r ( ) o K s % " $ ) o
Poner un ejemplo de un calculo aquí (0,5 pts)
Prueba (6)
La prueba (6) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en el capí tulo 6.
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Capí tulo 7: Más Cinemática
Aasta este punto se #a eplorado el oviiento ás sencillo que puede darse. in ebargo,no siepre la velocidad de una part!cula será constante. Bna variación de velocidad indica la
presencia de aceleración. La aceleración es el cabio de velocidad en un intervalo detiepo.
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En una gráfica velocidad vs tiempo, el área que se forma entre la gráfica y el eje del tiempo
representa el desplazamiento realizado por la partí cula. Si se tiene una partí cula que se mueve
con una velocidad que aumenta uniformemente con el tiempo (Figura 37) el área que se
forma entre la gráfica y el eje del tiempo puede ser calculada como el área de un trapecio.
0 2 1 4 5 7 8 9 0
2
( = 1
4
5
7
8
= 9
0
M ( " ! o 3 s
C
"
% o
,
( d
a
d
3
B s
4
" % o , ( d a d * s M ( " ! o
- (
(
)
2 I ) I 3 - (
) I (
Figura 37: Gr á fica v(t) de una part í cula con aceleración positiva constante
⃗ x=⃗v i t + t (⃗v f −⃗v i)
2
Reemplazando la Ecuación 1 y un poco de simplificación matemática resultará en la segunda
ecuación que describe el MRUV.
Ecuacin2:⃗
x=⃗vi t +1
2 ⃗a t 2
Hasta ahora se tienen dos ecuaciones que dependen del intervalo de tiempo. Sin embargo, de
no disponer de información del intervalo de tiempo, ya no se podrí an utilizar estas dos
ecuaciones. Es por esto que se deben generar otras que no dependan del tiempo.
Se despeja el tiempo de la ecuación 1 y reemplazar en la ecuación 2:
t =⃗v f −⃗v i
a
⃗ x=⃗vi t +1
2⃗a t 2=⃗v i
⃗vf −⃗via +
1
2⃗a⃗vf −⃗v i
a
2
=⃗v i⃗ vf −vi
2
a +
1
2a
v f 2−2⃗ v f ⃗vi+vi
2
a2
⃗ x=⃗v i⃗ v f −v i
2
a +
vf 2−2⃗ v f ⃗ vi+v i
2
2 a =
2⃗ v i⃗ v f −2 vi2+v f
2−2⃗ v f ⃗v i+v i2
2 a =
v f 2−v i
2
2 a
Con esto se obtiene la tercera ecuación que describe al MRUV:
Ecuacin3 : v f 2=vi
2+2 a x
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Las tres ecuaciones descritas dependen de la aceleración. Hay que generar una que no
dependa de esta y con eso se cubren todos los escenarios posibles de falta de datos. Para esto,
se despeja la aceleración de la ecuación 1 y se la reemplaza en la ecuación 2:
a=⃗
vf −⃗
v i t
⃗ x=⃗vi t +1
2⃗a t 2=⃗v i t +
1
2
⃗v f −⃗v i t
t 2
⃗ x=⃗vi t +0,5 t ⃗vf −0,5 t ⃗vi=(⃗ vi+0,5⃗ vf −0,5⃗ vi ) t =(⃗v f +⃗vi
2) t
Con esto se obtiene la última ecuación que describe el MRUV:
Ecuacin4 :⃗ x=(⃗vf +⃗vi
2
)t
Las ecuaciones que describen al MRUV:
⃗v f =⃗v i+⃗a t
⃗ x=⃗vi t +1
2⃗a t 2
v f 2=v i
2+2 a x
⃗ x=(⃗v f +⃗v i
2) t
Información extra y ejemplos de MRUV
En nuestra tierra gravedad es: g 2 9,8m
s2
A veces, la aceleración se expresa en términos de la gravedad
Ejemplo 1 de MRUV:
a=1,5 g=1,5 ∙ 9,8m
s2 =14,7
m
s2
Ejemplo 2 de MRUV:
Expresar la aceleracinde 888 m
s2entHrminosde la gravedad
a=
888 m
s2
9,8 m
s2
=90,61 g
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Mach es una manera de medir rapideces en términos de la rapidez del sonido. Muy
utilizada en aviación. Si un avión vuela con Mach 5 significa que vuela a 5 veces la velocidad
del sonido.
#ach= # = vvsonido= v
340,29 ms
Ejemplo 3 de MRUV:
v= #ach2,5=2,5 ∙ 340,29m
s =850,725
m
s
Ejemplo 4 de MRUV:
Expresar larapide' 88354 m