flujo de un campo ejemplos una aplicación
Flujo de un campo. Aplicaciones.
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
28 de marzo de 2011
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de un campo
flujo de un campo
flujo de un campoS superficie con orientación n
X campo vectorialflujo de X a través de S:∫∫
SXdS =
∫∫S
X .ndS
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flujo de un campo
flujo de un campo
flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorial
flujo de X a través de S:∫∫S
XdS =
∫∫S
X .ndS
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flujo de un campo
flujo de un campo
flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorialflujo de X a través de S:
∫∫S
XdS =
∫∫S
X .ndS
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flujo de un campo
flujo de un campo
flujo de un campoS superficie con orientación nX campo vectorialflujo de X a través de S:∫∫
SXdS =
∫∫S
X .ndS
flujo de un campo ejemplos una aplicación
interpretación física
interpretación física
interpretación física
flujo de un campo ejemplos una aplicación
interpretación física
interpretación física
interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientación
descomponenmos D en rectangulitos Dij
área(Dij) = ∆u.∆vΦ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientacióndescomponenmos D en rectangulitos Dij
área(Dij) = ∆u.∆vΦ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientacióndescomponenmos D en rectangulitos Dij
área(Dij) = ∆u.∆v
Φ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaΦ parametrización de S que preserva orientacióndescomponenmos D en rectangulitos Dij
área(Dij) = ∆u.∆vΦ(Dij) paralelogramo(Φu∆u, Φv ∆v ) en TS
flujo de un campo ejemplos una aplicación
interpretación física
interpretación física
interpretación físicavolumen del paralelepípedo (X ,Φu∆u,Φv ∆v)
|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)|
= |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicavolumen del paralelepípedo (X ,Φu∆u,Φv ∆v)
|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)|
= |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicavolumen del paralelepípedo (X ,Φu∆u,Φv ∆v)
|X (Φu∆u ∧ Φv ∆v)| = |X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v
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interpretación física
interpretación física
interpretación física
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)
|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)
X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afueraX (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)
X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afueraX (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)
X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afuera
X (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro
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interpretación física
interpretación física
interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido (m/seg)|X (Φu ∧ Φv )|∆u∆v cant fluido por u. de t (m3/seg)
X (Φu ∧ Φv ) > 0 líquido fluye hacia afueraX (Φu ∧ Φv ) < 0 líquido fluye hacia adentro
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interpretación física
interpretación física
interpretación física
flujo de un campo ejemplos una aplicación
interpretación física
interpretación física
interpretación física
∫∫S
XdS
cantidad neta de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo
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interpretación física
interpretación física
interpretación física
∫∫S
XdS
cantidad neta de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo eléctrico
flujo eléctricoE campo eléctrico
∫∫S
EdS
flujo eléctrico
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo eléctrico
flujo eléctricoE campo eléctrico∫∫
SEdS
flujo eléctrico
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo eléctrico
flujo eléctricoE campo eléctrico∫∫
SEdS
flujo eléctrico
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo magnético
flujo magnéticoE campo magnético
∫∫S
EdS
flujo magnético
campo magnético
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo magnético
flujo magnéticoE campo magnético∫∫
SEdS
flujo magnético
flujo magnético
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo de calor
flujo de calor
W región de R3
T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈Wel calor fluye con:
−k∇T = X
∫∫S
XdS
flujo del calor a través de S
asteroide
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo de calor
flujo de calor
W región de R3
T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈W
el calor fluye con:
−k∇T = X
∫∫S
XdS
flujo del calor a través de S
asteroide
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo de calor
flujo de calor
W región de R3
T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈Wel calor fluye con:
−k∇T = X
∫∫S
XdS
flujo del calor a través de S
asteroide
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo de calor
flujo de calor
W región de R3
T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈Wel calor fluye con:
−k∇T = X
∫∫S
XdS
flujo del calor a través de S
asteroide
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo de calor
flujo de calor
W región de R3
T (x , y , z) temperatura en(x , y , z) ∈Wel calor fluye con:
−k∇T = X
∫∫S
XdS
flujo del calor a través de S
asteroide
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo del calor - justificación
flujo del calor - justificaciónT temperatura
∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura
X = −k∇T k > 0
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo del calor - justificación
flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T creciente
el calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura
X = −k∇T k > 0
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo del calor - justificación
flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + frías
por eso el campo que indica el cambio de temperatura
X = −k∇T k > 0
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flujo eléctrico, magnético y de calor
flujo del calor - justificación
flujo del calor - justificaciónT temperatura∇T campo que apunta en la dirección T crecienteel calor fluye de las zonas + calientes a las + fríaspor eso el campo que indica el cambio de temperatura
X = −k∇T k > 0
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z)
= −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exterior
calcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z)
= −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z)
= −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z)
= −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior
∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS
=
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS =
∫∫S
X .ndS
= −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS =
∫∫S
X .ndS = −2área(S)
= −8π
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
T (x , y , z) = x2 + y2 + z2
S esfera unidad con normal exteriorcalcular el flujo de calor a través de S si k = 1
X = −∇T (x , y , z) = −(2x ,2y ,2z)
n = (x , y , z) normal exterior∫∫S
XdS =
∫∫S
X .ndS = −2área(S) = −8π
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flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1el flujo de calor es negativo
⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n
⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro
⇒ el centro se calientaganancia de temperatura
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calienta
ganancia de temperatura
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1el flujo de calor es negativo⇒ la temperatura fluye en sentido contrario a la normal n⇒ X apunta en promedio hacia adentro⇒ el centro se calientaganancia de temperatura
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo de calor
ejemplo 1
ejemplo 1
es lo opuesto a lo que ocurre en la Tierra
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flujo eléctrico
Ley de gauss
ejemplo 2E campo eléctrico
S superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫
SEdS = Q
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flujo eléctrico
Ley de gauss
ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal saliente
Q carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫
SEdS = Q
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flujo eléctrico
Ley de gauss
ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por S
ley de Gauss ∫∫S
EdS = Q
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flujo eléctrico
Ley de gauss
ejemplo 2E campo eléctricoS superficie cerrada, n normal salienteQ carga encerrada por Sley de Gauss ∫∫
SEdS = Q
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
ley de gauss
ejemplo 2
∫S
EdS = Q
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
flujo eléctrico
ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante
⇒∫∫
S E .N dS = |E |∫∫
S n.n dS = |E |.área(S) = Qsi S es una esfera de radio r
|E | =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
flujo eléctrico
ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante⇒∫∫
S E .N dS = |E |∫∫
S n.n dS = |E |.área(S) = Q
si S es una esfera de radio r
|E | =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
flujo eléctrico
ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante⇒∫∫
S E .N dS = |E |∫∫
S n.n dS = |E |.área(S) = Qsi S es una esfera de radio r
|E | =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
flujo eléctrico
ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante⇒∫∫
S E .N dS = |E |∫∫
S n.n dS = |E |.área(S) = Qsi S es una esfera de radio r
|E | =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
flujo eléctrico
ejemplo 2supongamos que E = |E |n, con |E | constante⇒∫∫
S E .N dS = |E |∫∫
S n.n dS = |E |.área(S) = Qsi S es una esfera de radio r
|E | =Q
4πr2
es lo que pasa, por ejemplo, con las cargas puntuales
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flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2supongamos que E surge de una carga puntual Q0
⇒E =
Q0n4πr2
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flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2supongamos que E surge de una carga puntual Q0
⇒E =
Q0n4πr2
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flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2
E =Qn
4πr2
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es
X = E .Q =Q.Q0.N
4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
|X | =Q.Q0
4πr2
ley de Coulomb
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es
X = E .Q =Q.Q0.N
4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
|X | =Q.Q0
4πr2
ley de Coulomb
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es
X = E .Q =Q.Q0.N
4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
|X | =Q.Q0
4πr2
ley de Coulomb
flujo de un campo ejemplos una aplicación
flujo eléctrico
cargas puntuales
ejemplo 2si Q es otra carga puntual, la fuerza que actúa en estacarga es
X = E .Q =Q.Q0.N
4πr2
la magnitud de esta fuerza es:
|X | =Q.Q0
4πr2 ley de Coulomb
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
restaurante en la ladera deuna montaña
vista de plantala pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
restaurante en la ladera deuna montañavista de planta
la pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
restaurante en la ladera deuna montañavista de plantala pared curvada se haráde cristal
¿Cuál es el área de lapared?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
restaurante en la ladera deuna montañavista de plantala pared curvada se haráde cristal¿Cuál es el área de lapared?
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior
área cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2,
α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior
área cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplanta
f (x , y) = 4R2 − x2 − y2,
α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2,
α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
∫α
fdα
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
∫α
fdα =
∫ 2π
0f (α(t))‖α′(t)‖dt
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) =
∫ 2π
0(2R2 − 2R2 sin t)Rdt
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) = 2R3∫ 2π
0(1− sin t)dt
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferiorárea cerca inferior= integral de f sobre la curva α de laplantaf (x , y) = 4R2 − x2 − y2, α(t) = (R cos t ,R + R sin t ,0)
área(cerca) = 2R3∫ 2π
0(1− sin t)dt = 4πR3
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior
área(pared) = 8πR3 − 4πR3
= 4πR3
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parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior
área(pared) = 8πR3 − 4πR3
= 4πR3
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 1
construcción de un restaurante - parte 1
área de la pared de cristalárea de la pared=área del cilindro - área cerca inferior
área(pared) = 8πR3 − 4πR3 = 4πR3
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
para que el restaurant searentable
vol(restaurant) ≥ πR4
2
¿ cuáles R cumplen esterequisito?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
para que el restaurant searentable
vol(restaurant) ≥ πR4
2
¿ cuáles R cumplen esterequisito?
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
para que el restaurant searentable
vol(restaurant) ≥ πR4
2
¿ cuáles R cumplen esterequisito?
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(debajo de la montaña)
vol(< mont) =
∫∫D
4R2 − x2 − y2dxdy
donde D círculo centrado en (0,R,0) de radio R
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(debajo de la montaña)
vol(< mont) =
∫∫D
4R2 − x2 − y2dxdy
donde D círculo centrado en (0,R,0) de radio R
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(debajo de la montaña)
vol(< mont) =
∫∫D
4R2 − x2 − y2dxdy
donde D círculo centrado en (0,R,0) de radio R
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentableusamos coordenadas polares{
x = r cos θy = R + r sin θ
∂(x , y)
∂(r , θ)= r
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentableusamos coordenadas polares{
x = r cos θy = R + r sin θ
∂(x , y)
∂(r , θ)= r
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentable
vol(< mont) =
∫ 2π
0
∫ R
0(3R2 − 2Rr sin θ − r2)rdrdθ
=
∫ 2π
0
[32
R2r2 − 23
Rr3 sin θ − r4
4
]R
0dθ
=52πR4
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentable
vol(< mont) =
∫ 2π
0
∫ R
0(3R2 − 2Rr sin θ − r2)rdrdθ
=
∫ 2π
0
[32
R2r2 − 23
Rr3 sin θ − r4
4
]R
0dθ
=52πR4
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentable
vol(< mont) =
∫ 2π
0
∫ R
0(3R2 − 2Rr sin θ − r2)rdrdθ
=
∫ 2π
0
[32
R2r2 − 23
Rr3 sin θ − r4
4
]R
0dθ
=52πR4
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)
vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4
=3πR4
2≥ πR4
2
⇒ es rentable para todos los R
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parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)
vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4
=3πR4
2≥ πR4
2
⇒ es rentable para todos los R
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construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)
vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4 =
3πR4
2
≥ πR4
2
⇒ es rentable para todos los R
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)
vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4 =
3πR4
2≥ πR4
2
⇒ es rentable para todos los R
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 2
búsqueda de volumen rentablevol(restaurant)=vol(cilindro) - vol(< mont)
vol(restaurant) = 4πR4 − 52πR4 =
3πR4
2≥ πR4
2
⇒ es rentable para todos los R
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeracióntemperatura alrededor del restaurante
T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2
campo de temperaturas:
X = −k∇T
donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeracióntemperatura alrededor del restaurante
T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2
campo de temperaturas:
X = −k∇T
donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar
¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeracióntemperatura alrededor del restaurante
T (x , y , z) = 3x2 + (y − R)2 + 16z2
campo de temperaturas:
X = −k∇T
donde k > 0 depende del grado de aislamiento que se vaa utilizar¿ cuál es el flujo de calor a través de toda la superficie delrestaurant?
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeracióncampo de temperaturas:
X = −k(6x ,2(y − R),32z)
flujo de calor:∫∫S
XdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
con normal exterior
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeracióncampo de temperaturas:
X = −k(6x ,2(y − R),32z)
flujo de calor:∫∫S
XdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
con normal exterior
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - techoS1 techo
Φ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ 0−r sin θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣
= (0,0, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - techoS1 techoΦ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ 0−r sin θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣
= (0,0, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - techoS1 techoΦ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ 0−r sin θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣
= (0,0, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - techoS1 techoΦ(r , θ) = (r cos θ,R + r sin θ,4Rr ) con r ∈ [0,4R2],θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ 0−r sin θ r cos θ 0
∣∣∣∣∣∣ = (0,0, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración -techo
∫∫S1
XdS =
∫∫S1
X .ndS
=
∫∫D
X (Φr ∧ Φθ)drdθ
=
∫∫D
X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ
= −k8πR2π
∫ 4R2
0rdr = −64kπR4
⇒ entra calor por el techo
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración -techo
∫∫S1
XdS =
∫∫S1
X .ndS =
∫∫D
X (Φr ∧ Φθ)drdθ
=
∫∫D
X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ
= −k8πR2π
∫ 4R2
0rdr = −64kπR4
⇒ entra calor por el techo
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración -techo
∫∫S1
XdS =
∫∫S1
X .ndS =
∫∫D
X (Φr ∧ Φθ)drdθ
=
∫∫D
X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ
= −k8πR2π
∫ 4R2
0rdr = −64kπR4
⇒ entra calor por el techo
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración -techo
∫∫S1
XdS =
∫∫S1
X .ndS =
∫∫D
X (Φr ∧ Φθ)drdθ
=
∫∫D
X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ
= −k8πR2π
∫ 4R2
0rdr
= −64kπR4
⇒ entra calor por el techo
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración -techo
∫∫S1
XdS =
∫∫S1
X .ndS =
∫∫D
X (Φr ∧ Φθ)drdθ
=
∫∫D
X (r cos θ,R + r sin θ,4R2)(0,0, r)drdθ
= −k8πR2π
∫ 4R2
0rdr = −64kπR4
⇒ entra calor por el techo
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣
= R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro
Φ revierte orientación
tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣
= R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro
Φ revierte orientación
tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣
= R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro
Φ revierte orientación
tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro
Φ revierte orientación
tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro
Φ revierte orientacióntomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro Φ revierte orientación
tomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construccción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared curvaS2 pared: Φ(r , θ) = (R sin θ,R − R cos θ, r)
con θ ∈ [0, π] y r ∈ [2R2(1 + cos θ),4R2]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1
R cos θ R sin θ 0
∣∣∣∣∣∣ = R(− sin θ, cos θ,0)
apunta hacia adentro Φ revierte orientacióntomamos Φ(θ, r)→ Φθ ∧ Φr = R(sin θ,− cos θ,0)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared
∫∫S2
XdS = 2∫∫
DX (Φθ ∧ Φr )drdθ
= −2kR∫∫
D(6R sin θ,−2R cos θ,32r)(sin θ,− cos θ,0)drdθ
= −4kR2∫ π
0
∫ 4R2
2R2(1+cos θ)(3 sin2 θ + cos2 θ)drdθ
= −8kR4∫ π
0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared
∫∫S2
XdS = 2∫∫
DX (Φθ ∧ Φr )drdθ
= −2kR∫∫
D(6R sin θ,−2R cos θ,32r)(sin θ,− cos θ,0)drdθ
= −4kR2∫ π
0
∫ 4R2
2R2(1+cos θ)(3 sin2 θ + cos2 θ)drdθ
= −8kR4∫ π
0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared
∫∫S2
XdS = 2∫∫
DX (Φθ ∧ Φr )drdθ
= −2kR∫∫
D(6R sin θ,−2R cos θ,32r)(sin θ,− cos θ,0)drdθ
= −4kR2∫ π
0
∫ 4R2
2R2(1+cos θ)(3 sin2 θ + cos2 θ)drdθ
= −8kR4∫ π
0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared
∫∫S2
XdS = 2∫∫
DX (Φθ ∧ Φr )drdθ
= −2kR∫∫
D(6R sin θ,−2R cos θ,32r)(sin θ,− cos θ,0)drdθ
= −4kR2∫ π
0
∫ 4R2
2R2(1+cos θ)(3 sin2 θ + cos2 θ)drdθ
= −8kR4∫ π
0(2 sin2 θ + 1)(1− cos θ)dθ
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared ∫∫S2
XdS = −16kR4π
entra calor a través de la pared
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pared ∫∫S2
XdS = −16kR4π
entra calor a través de la pared
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 piso
Φ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣
Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientación
tomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - pisoS3 pisoΦ(r , theta) = (r cos θ,R + r sin θ,3R2 − r2 − 2Rr sin θ) conr ∈ [0,4R2], θ ∈ [0,2π]
Φr ∧ Φθ =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos θ sin θ −2(r + R sin θ)−r sin θ r cos θ −2rR cos θ
∣∣∣∣∣∣Φr ∧ Φθ = (2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
apunta hacia arriba⇒ revierte orientacióntomamos Φθ ∧ Φr = −(2r2 cos θ,2r2 sin θ + 2rR, r)
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - piso
∫∫S3
XdS = k∫∫
D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ
= 4k∫ 2π
0
∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ
= 4kR4∫ 2π
0(cos2 θ − 5 sin θ − 41
4)dθ
= −80kR4π
⇒ entra calor por el piso
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - piso
∫∫S3
XdS = k∫∫
D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ
= 4k∫ 2π
0
∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ
= 4kR4∫ 2π
0(cos2 θ − 5 sin θ − 41
4)dθ
= −80kR4π
⇒ entra calor por el piso
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - piso
∫∫S3
XdS = k∫∫
D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ
= 4k∫ 2π
0
∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ
= 4kR4∫ 2π
0(cos2 θ − 5 sin θ − 41
4)dθ
= −80kR4π
⇒ entra calor por el piso
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - piso
∫∫S3
XdS = k∫∫
D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ
= 4k∫ 2π
0
∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ
= 4kR4∫ 2π
0(cos2 θ − 5 sin θ − 41
4)dθ
= −80kR4π
⇒ entra calor por el piso
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeración - piso
∫∫S3
XdS = k∫∫
D (6r cos θ,2r sin θ,96R2−32r2−64Rr sin θ)(2r2 cos θ,2r2 sin θ+2Rr,r)drdθ
= 4k∫ 2π
0
∫ R0 (4r3 cos2 θ−7r3−15r2R sin θ+24R2r)drdθ
= 4kR4∫ 2π
0(cos2 θ − 5 sin θ − 41
4)dθ
= −80kR4π
⇒ entra calor por el piso
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeraciónflujo del calor:∫∫
SXdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4
= −160kπR4
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeraciónflujo del calor:∫∫
SXdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4
= −160kπR4
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeraciónflujo del calor:∫∫
SXdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4 = −160kπR4
flujo de un campo ejemplos una aplicación
parte 2
construcción de un restaurante - parte 3
refrigeraciónflujo del calor:∫∫
SXdS =
∫∫S1
XdS +
∫∫S2
XdS +
∫∫S3
XdS
= −80kπR4 − 16kπR4 − 64kπR4 = −160kπR4