Date post: | 08-Nov-2014 |
Category: |
Documents |
Upload: | jorge-valdez |
View: | 22 times |
Download: | 0 times |
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
1.
Distancia entre dos
puntos
Punto
medio
Magnitud de un
vector
Suma de dos
vectores
Resta de dos
vectores
Multiplicación
escalar por vector
Dirección de los
vectores
Vector a partir de
dos puntos
Si ð = (ðð, ðð) y ð = (ðð, ðð)
ð ð·ðð·ð = (ððâðð)ð + (ððâðð)ð
ðð + ðð
ð,ðð + ðð
ð
Si ðš =< ðð, ðð > y ð© =< ðð, ðð >
ðš = ððð + ðð
ð
ðš + ð© =< ðð + ðð, ðð + ðð >
ðš â ð© =< ðð â ðð, ðð â ðð >
ððš =< ððð, ððð >
ððððœ =ðð
ðð
Si ð· = (ðð, ðð) y ðž = (ðð, ðð)
ð·ðž =< ðð â ðð, ðð â ðð >
Si ð· = (ðð, ðð, ðð) y ðž = (ðð, ðð, ðð)
ð ð·ðð·ð = (ððâðð)ð + (ððâðð)ð + (ððâðð)ð
ðð + ðð
ð,ðð + ðð
ð,ðð + ðð
ð
Si ðš =< ðð, ðð, ðð > y ð© =< ðð, ðð, ðð, >
ðš = ððð + ðð
ð + ððð
ðš + ð© =< ðð + ðð, ðð + ðð, ðð + ðð >
ðš â ð© =< ðð â ðð, ðð â ðð, ðð â ðð >
ððš =< ððð, ððð, ððð > Cosenos Directores
ððšð¬ ð¶ =ðð
||ð||
ððšð¬ ð· =ðð
||ð||
ððšð¬ ðž =ðð
||ð||
Si ð = (ðð, ðð, ðð) y ð = (ðð, ðð, ðð)
ð·ðž =< ðð â ðð, ðð â ðð, ðð â ðð >
x
z
y
ðŒ
ðŸ
ðœ
CONCEPTO 2 3
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
2.
Vector unitario
Producto Punto
Angulo entre dos
vectores
Producto cruz
Ãrea del
paralelogramo
Ãrea del triangulo
Volumen del
paralelepÃpedo
ðð =ð
||ð||
ðð = ððšð¬ ðœ ð + ð¬ðð§ðœð
ð â ð = ðððð + ðððð
ð â ð = ðš ð© ððšð¬ ðœ
ððšð¬ ðœ =ðš â ð©
ðš ð©
_
ðð«ðð = ðš Ã ð©
ðð«ðð = ð
ð ðš Ã ð©
_
ðð =ð
||ð||
ðð = ððšð¬ ð¶ ð + ððšð¬ ð· + ððšð¬ ðž
ð â ð = ðððð + ðððð + ðððð
ð â ð = ðš ð© ððšð¬ ðœ
ððšð¬ ðœ =ðš â ð©
ðš ð©
ð Ã ð = ð ð ð
ðð ðð ðð
ðð ðð ðð
= ðð ðð
ðð ðð ð â
ðð ðð
ðð ðð ð +
ðð ðð
ðð ðð ð
= ðð ðð â ðð ðð ð â ðð ðð â ðð ðð ð +
(ðð ðð â ðð ðð)ð
_
_
ððšð¥ð®ðŠðð§ = ðšððð ð ð ðð ðððð (ðšððððð)
= ðš à ð© ðª ððšð¬ ðœ
= (ðš à ð©) â ðª
CONCEPTO 2 3
A
B
ðš
x
z
y
ð©
ðª
ðœ ð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
3.
Identidad
Trabajo
Función Vectorial
Derivada de una
función vectorial
Integral indefinida
de una función
vectorial
Integral definida
de a a b de una
función vectorial
Longitud de arco
ððšð¬ ðœð + ð¬ðð§ðœð = ðð
||ð||ð +
ðð
||ð||ð
ð = ð â ð
ð = ð ð ððšð¬ ðœ
ð ð = ð ð ð + ð ð ð
ðâ² ð = ðâ² ð ð + ðâ² ð ð
ð ð ð ð = ð ð ð ð ð +
ð ð ð ð ð + ðª
ð«ððð ð ðª = ðªðð + ðªðð
ð(ð)ð ðð
ð
= ð ð ð ðð
ð
ð
+ ð ð ð ðð
ð
ð
ð³ = ðÂŽ(ð) ð ðð
ð
= ðÂŽ(ð) ð + ðÂŽ(ð) ð ð ðð
ð
ððšð¬ð ð + ððšð¬ð ð + ððšð¬ð ð = ð
ð = ð â ð
ð = ð ð ððšð¬ ðœ
ð ð = ð ð ð + ð ð ð + ð ð ð
ðâ² ð = ðâ² ð ð + ðâ² ð ð + ðâ² ð ð
ð ð ð ð = ð ð ð ð ð + ð ð ð ð ð +
ð ð ð ð ð + ðª
ð«ððð ð ðª = ðªðð + ðªðð + ðªðð
ð(ð)ð ðð
ð
= ð ð ð ðð
ð
ð + ð ð ð ðð
ð
ð
+ ð ð ð ðð
ð
ð
ð³ = ðÂŽ(ð) ð ðð
ð
= ðÂŽ(ð) ð + ðÂŽ(ð) ð + ðÂŽ(ð) ð ð ðð
ð
CONCEPTO 2 3
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
4.
Ecuación
Cartesiana del
Plano
Ecuación de la
esfera forma
centro radio
Ecuación General
de la esfera
Velocidad
Aceleración
Rapidez
Componente
tangencial de la
aceleración
Componente
normal de la
aceleración
Gradiente
Derivada
Direccional
ð ð â ðð + ð ð â ðð + ð ð â ðð = ð
Donde P(x1,y1,z1) está en el plano y n= ai + bj + ck es normal al plano
ðð = ð â ð ð + ð â ð ð + ð â ð ð
Donde r es el radio y el centro de la esfera es P(a,b,c)
ðð + ðð + ðð + ðšð + ð©ð + ðªð + ð« = ð
ðœ ð = ðÂŽ(ð)
ð ð = ð¯ÂŽ ð = ðÂŽÂŽ(ð)
ð ð = ðÂŽ(ð)
ðð =ðÂŽ ð â ðÂŽÂŽ(ð)
ðÂŽ(ð)
ðð = ðÂŽ ð à ðÂŽÂŽ(ð)
ðÂŽ(ð)
ðð ð, ð, ð =ðð
ððð +
ðð
ððð +
ðð
ððð
ðð®ð (ð±, ð², ð³) = ðð(ð, ð, ð) â ð
Donde u es un vector unitario
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
5.
Divergencia
Rotacional
Criterio de las
segundas derivadas
parciales para
encontrar máximos
y/o mÃnimos
ðºð ð ð, ð, ð = ðŽ ð, ð, ð ð + ðµ ð, ð, ð ð + ð· ð, ð, ð ð
ðð¢ð¯ ð = ððŽ
ðð+
ððµ
ðð+
ðð·
ðð
ð«ðšð ð = ðð·
ððâ
ððµ
ðð ð +
ððŽ
ððâ
ðð·
ðð ð +
ððµ
ððâ
ððŽ
ðð ð
Sea ð una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta
que contiene a un punto (a,b) para el cual:
ðð¥ ð, ð = 0 ðŠ ððŠ ð, ð = 0
Para buscar los extremos relativos de ð considere la cantidad:
ð = ðð¥ð¥ ð, ð ððŠðŠ ð, ð â ðð¥ðŠ ð, ð 2
ð. ðð ð > 0 ðŠ ðð¥ð¥ ð, ð > 0, ððð¡ððððð ð ð¡ðððð ð¢ð ðÃðððð ðððððððð ðð (ð, ð)
ð. ðð ð > 0 ðŠ ðð¥ð¥ ð, ð < 0, ððð¡ððððð ð ð¡ðððð ð¢ð ðáðððð ðððððððð ðð (ð, ð)
ð. ðð ð < 0, ððð¡ððððð ð, ð, ð ð, ð ðð ð¢ð ðð¢ðð¡ð ð ðððð
ð. ðð ð = 0, ððð¡ððððð ðð ðððð¡ðððð ðð ðððð£ð ð ððððð¢ðð ðððððð¢ð ðóð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
6.
Teorema de Pitágoras
Ley de senos
Ley de cosenos
Propiedades del logaritmo
natural
Leyes de los exponentes
ðð = ðð+ðð
ð¬ðð§ð
ð=
ð¬ðð§ð
ð=
ð¬ðð§ð
ð
ðð = ðð + ðð â ððð ððšð¬ ð
ðððŽðµ = ðððŽ + ðððµ
ðððŽ
ðµ= ðððŽ â ðððµ
ðððŽðµ = ðµðððŽ
ðððð = ðð+ð
ðð
ðð= ððâð
(ðð)ð = ððð
a
b
c
C
A B
ð¬ðð§ ð
ð¬ðð§ ð
ð¬ðð§ ð
a
c b
ð
ðâð =ð
ðð
ð
ð
ð=
ðð
ðð
(ðð)ð = ðððð
ðð
ð = ððð
ðððð = ð
ðððð = ð
ðð ð = ð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
7.
Identidades Trigonométricas
ð¬ðð§ ð ðð¬ð ð = ð
ððšð¬ ð® ð¬ðð ð = ð
ððð§ ð ððšð ð = ð
ððð§ ð =ð¬ðð§ ð
ððšð¬ ð
ððšð ð =ððšð¬ ð
ð¬ðð§ ð
ð¬ðð§ð ð + ððšð¬ð ð = ð
ð + ððð§ð ð = ð¬ððð ð
ð + ððšðð ð® = ðð¬ðð ð
ð¬ðð§ ðð = ð ð¬ðð§ ð ððšð¬ ð
ððšð¬ ðð® = ððšð¬ð ð â ð¬ðð§ð ð
ððšð¬ ðð® = ð â ð ð¬ðð§ð ð
ð¬ðð§ âð = â ð¬ðð§ ð
ððšð¬ âð = ððšð¬ ð
ððð§ âð = â ððð§ ð
Identidades Hiperbólicas
ð¬ðð§ð¡ð ð â ððšð¬ð¡ð ð = ð ð â ððð§ð¡ð ð = ð¬ððð¡ð ð
ð â ððšðð¡ð ð® = â ðð¬ðð¡ð ð
ð¬ðð§ð¡ð® + ððšð¬ð¡ð® = ðð ð¬ðð§ð¡ð® â ððšð¬ð¡ð® = ðâð
ðððððð = ððððððððððð
ðððððð = ððððð ð + ððððð ð
ðððððð = ðððððð ð + ð
ðððððð = ðððððð ð â ð
Definiciones de Funciones Hiperbólicas.
ð¬ðð§ð¡ ð =ðâð â ðâð
ð
ððšð¬ð¡ ð =ðâð + ðâð
ð
ððð§ð¡ ð =ð¬ðð§ð¡ð
ððšð¬ð¡ ð=
ðâð â ðâð
ðâð + ðâð
ðð¬ðð¡ ð =ð
ð¬ðð§ð¡ð=
ð
ðâð â ðâð
ð¬ððð¡ ð =ð
ððšð¬ð¡ ð=
ð
ðâð + ðâð
ððšðð¡ ð =ððšð¬ð¡ ð
ð¬ðð§ð¡ ð=
ðâð + ðâð
ðâð â ðâð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
8.
DERIVADAS
dx
dfC
dx
xCfd
)( 1
dx
dx
1)( nn
nxdx
xd
dx
dg
dx
df
dx
xgxfd
)()(
dx
dunu
dx
ud nn
1)( dx
du
uuSen
dx
d
2
1
1
1)(
dx
duv
dx
dvuuv
dx
d)(
dx
du
uuCos
dx
d
2
1
1
1)(
2)(
v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
dx
du
uuTan
dx
d2
1
1
1)(
dx
duee
dx
d uu )( dx
du
uuCot
dx
d2
1
1
1)(
dx
duaaa
dx
d uu ln)( dx
du
uuuSec
dx
d
1
1)(
2
1
dx
du
uu
dx
d 1)(ln
dx
du
uuuCsc
dx
d
1
1)(
2
1
dx
duCosuSenu
dx
d)(
dx
duCoshuSenhu
dx
d)(
dx
duSenuCosu
dx
d)(
dx
duSenhuCoshu
dx
d)(
dx
duuSecTanu
dx
d 2)( dx
duuSechTanhu
dx
d 2)(
dx
duuCscCotu
dx
d 2)( dx
duuCschCothu
dx
d 2)(
dx
duSecuTanuSecu
dx
d)(
dx
duSechuTanhuSechu
dx
d)(
dx
duCscuCotuCscu
dx
d)(
dx
duCschuCothuCschu
dx
d)(
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
9.
Principales Integrales Indefinidas.
Reglas Generales de Integración
ððð± = ðð
ðð(ð)ðð± = ð ð(ð)ðð±
(ð® ± 卿 ð° ⊠)ðð± = ðð ð + ðð ð + ðð ð
ð®ðð¯ = ðð â ðð ð
ð®ð§ðð® =ðð+ð
ð + ð , ð â âð
ðð®
ð®= ðð|ð|
ðð®ðð® = ðð®
Intégreles que contienen lnx
ð¥ð§ð± ðð± = ðððð â ð
ð±ð¥ð§ð± ðð± =ðð
ð(ððð â
ð
ð)
ð±ðŠð¥ð§ð± ðð± =ðð+ð
ð + ð ððð â
ð
ð + ð
ð¥ð§ð±
ð± ðð± =
ð
ððððð
ð¥ð§ð±
ð±ð ðð± = â
ððð
ðâ
ð
ð
ð¥ð§ðð± ðð± = ððððð â ððððð + ðð
ð¥ð§ð§ð± ðð±
ð±=
ððð+ðð
ð + ð
ðð±
ð±ð¥ð§ð±= ðð(ððð)
ð¥ð§ð§ð± ðð± = ððððð â ð ðððâððð ð
ð±ðŠð¥ð§ð§ð± ðð± =ðð+ððððð
ð + ðâ
ð
ð + ð ðððððâððð ð
Integrales que contienen a2-x2
ðð±
ðð â ð±ð=
ð
ðððð
ð + ð
ð â ð
ð±ðð±
ðð â ð±ð= â
ð
ððð ðð â ðð
ð±ððð±
ðð â ð±ð=
ð
ððð
ð + ð
ð â ð
ð±ððð±
ðð â ð±ð= â
ðð
ðâ
ðð
ððð ðð â ðð
ðð±
ð±(ðð â ð±ð)=
ð
ððððð
ðð
ðð â ðð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
10.
ðð±
ð±ð(ðð â ð±ð)= â
ð
ððð+
ð
ððððð
ð + ð
ð â ð
ðð±
ð±ð(ðð â ð±ð)= â
ð
ððððð+
ð
ððððð
ðð
ð â ð
ðð±
(ðð â ð±ð)ð= â
ð
ððð(ðð â ð±ð)+
ð
ððððð
ð + ð
ð â ð
ð±ðð±
(ðð â ð±ð)ð=
ð
ð(ðð â ð±ð)
Integrales que contienen ð±ð+ðð
ðð±
ð±ð+ðð= ðð ð + ð±ð+ðð
ð±ðð±
ð±ð+ðð= ð±ð+ðð
ð±ððð±
ð±ð+ðð=
ð ð±ð+ðð
ðâ
ðð
ððð ð + ð±ð+ðð
ð±ððð±
ð±ð+ðð= ð±ð+ðð ð ð â ðð ð±ð+ðð
ðð±
ð± ð±ð+ðð=
ð
ððð
ð + ð±ð+ðð
ð
ðð±
ð±ð ð±ð+ðð= â
ð±ð+ðð
ððð±
ðð±
ð±ð ð±ð+ðð= â
ð±ð+ðð
ðððð±ð+
ð
ððððð
ð + ð±ð+ðð
ð
ð±ð+ðð ðð± =ð± ð±ð+ðð
ð+
ðð
ððð(ð± + ð±ð+ðð)
ð± ð±ð+ðððð± = ð±ð+ðð ð ð
ð
Integrales que contienen eax
ððð±ðð± =ððð±
ð
ð±ððð±ðð± =ððð±
ð ð â
ð
ð
ð±ðððð±ðð± =ððð±
ð ðð â
ðð
ð+
ð
ðð
ð±ð§ððð±ðð± =ð±ð§ððð±
ðâ
ð
ð ð±ð§âðððð±ðð±
ððð± ð¬ðð§ ðð± ðð± =ððð± ð ð¬ðð§ ðð± â ð ððšð¬ ðð±
ðð + ðð
ððð± ððšð¬ ðð± ðð± =ððð± ð ððšð¬ ðð± + ð ð¬ðð§ ðð±
ðð + ðð
Integrales que contienen x2+a2
ðð±
ð±ð+ðð=
ð
ðððð§âð
ð
ð
ð±ðð±
ð±ð+ðð=
ð
ððð(ð±ð+ðð)
ð±ððð±
ð±ð+ðð= ð â ð ððð§âð
ð
ð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
11.
ðð±
ð±(ð±ð+ðð)=
ð
ððððð
ðð
ð±ð+ðð
ðð±
ð±ð(ð±ð+ðð)= â
ð
ðððâ
ð
ððððð§âð
ð
ð
ðð±
ð±ð(ð±ð+ðð)= â
ð
ðððððâ
ð
ððððð
ðð
ð±ð+ðð
Integrales de funciones trigonométricas más
comunes
ð¬ðð§ðð± ðð± = âððððð
ð
ððšð¬ðð± ðð± =ððððð
ð
ð¬ððððð± ðð± =ððððð
ð
ððšð¬ððð± ðð± = âððððð
ð
ð¬ðððð± ððð§ðð± ðð± =ððððð
ð
ðð¬ððð± ððšððð± ðð± = âððððð
ð
ððð§ðð± ðð± =ðð ððððð
ð
ððšððð± ðð± =ðð ððððð
ð
ð¬ðððð± ð ð =ðð ððððð + ððððð
ð
ðð¬ððð± ðð± =ðð ððððð â ððððð
ð
Integrales de funciones hiperbólicas comunes
ð¬ðð§ð¡ðð± ðð± =ðððððð
ð
ððšð¬ð¡ðð± ðð± =ðððððð
ð
ð¬ððð¡ððð± ðð± =ðððððð
ð
ðð¬ðð¡ððð± ðð± = âðððððð
ð
ð¬ððð¡ðð± ððð§ð¡ðð± ðð± = âðððððð
ð
ðð¬ðð¡ðð± ððšðð¡ðð± ðð± = âðððððð
ð
ððð§ð¡ðð± ðð± =ðð ðððððð
ð
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
12.
Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos.
Angulo A Angulo A sen A cos A tan A cot A sec A csc A
en grados en
radianes
0° 0 0
1
0
屉
1 屉
15° Ï/12 1
4 6 â 2 1
4 6 + 2 2 â 3 2 + 3 6 â 2 6 + 2
30° Ï/6 1
2 1
2 3
1
3 3 3
2
3 3 2
45° Ï/4 1
2 2
1
2 2 1 1 2 2
60° Ï/3 1
2 3
1
2 3
1
3 3 2
2
3 3
75° 5Ï/12 1
4 6 + 2
1
4 6 â 2 2 + 3 2 â 3 6 + 2 6 â 2
90° Ï/2 1 0 ±â 0 ±â 1
105° 7Ï/12 1
4 6 + 2 â
1
4 6 â 2 â 2 + 3 â 2 â 3
â 6 + 2 6 â 2
120° 2Ï/3 1
2 3 â
1
2 â 3 â
1
3 3 â2
2
3 3
135° 3Ï/4 1
2 2 â
1
2 2 â1 â1 â 2 2
150° 5Ï/6 1
2 â
1
2 3 â
1
3 3 â 3 â
2
3 3 2
165° 11Ï/12 1
4 6 â 2 â
1
4 6 + 2 â 2 â 3 â 2 + 3 â 6 â 2 6 + 2
180° Ï 0 â1 0 ±â â1 ±â
195° 13Ï/12 â1
4 6 â 2 â
1
4 6 + 2 2 â 3 2 + 3 â 6 â 2 â 6 + 2
210° 7Ï/6
â1
2 â
1
2 3
1
3 3 3 â
2
3 3 â2
225° 5Ï/4 â1
2 2
â1
2 2 1 1 â 2 â 2
240° 4Ï/3 â1
2 3 â
1
2 3
1
3 3 â2 â
2
3 3
255° 17Ï/12 â1
4 6 + 2 â
1
4 6 â 2 2 + 3 2 â 3 â 6 + 2 â 6 â 2
270° 3Ï/2 â1 0 ±â 0 ±â â1
285° 19Ï/12 â1
4 6 + 2
1
4 6 â 2 â 2 + 3 â 2 â 3 6 + 2 â 6 â 2
300° 5Ï/3 â1
2 3
1
2 â 3 â
1
3 3 2 â
2
3 3
315° 7Ï/4 â1
2 2
1
2 2 â1 â1 2 â 2
330° 11Ï/6 â1
2
1
2 3 â
1
3 3 â 3
2
3 3 â2
345° 23Ï/12
â1
4 6 â 2 1
4 6 + 2 â 2 â 3 â 2 + 3 6 â 2 â 6 + 2
360° 2Ï 0 1 0 ±â 1 ±â