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Ing. Manuel Zamarripa Medina Formulario de Matemáticas 2011
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Ing. Manuel Zamarripa Medina
Academia de Matemáticas
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS
Industrial y de Servicios 33
yx
y
x
aa
a
Ing. Manuel Zamarripa Medina Formulario de Matemáticas 2011
2
Índice Contenido Pagina Operaciones aritméticas y teorema del binomio ------------------------------------- 3 Áreas y volúmenes --------------------------------------------------------------------------- 4 Símbolos matemáticos ----------------------------------------------------------------------- 5 Leyes de los exponentes -------------------------------------------------------------------- 6 Productos notables --------------------------------------------------------------------------- 6 Radicales ----------------------------------------------------------------------------------------- 6 Cambio de notación radical a potencia -------------------------------------------------- 6 Logaritmos --------------------------------------------------------------------------------------- 7 Factorización de polinomios ----------------------------------------------------------------- 8 Ecuación general de segundo grado ------------------------------------------------------- 8 Relaciones trigonométricas ------------------------------------------------------------------ 8 Identidades trigonométricas ----------------------------------------------------------------- 9 Teorema de Pitágoras -------------------------------------------------------------------------- 10 Funciones trigonométricas de dos ángulos ----------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo duplo -------------------------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo mitad -------------------------------------------------------------- 10 Valores de las funciones trigonométricas ------------------------------------------------ 10 Triángulos oblicuángulos ---------------------------------------------------------------------- 11 Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triángulo ------- 11 Coordenadas cartesianas y polares en el plano ----------------------------------------- 11 Distancia entre dos puntos ------------------------------------------------------------------- 11 Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada --------------- 11 Coordenadas del punto medio -------------------------------------------------------------- 11 Pendiente de una recta ------------------------------------------------------------------------ 12 Ángulo entre dos rectas ----------------------------------------------------------------------- 12 Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices 12 Formas de la ecuación de la línea recta ---------------------------------------------------- 12 Ecuación de la circunferencia ----------------------------------------------------------------- 13 Parábola -------------------------------------------------------------------------------------------- 13 Elipse ------------------------------------------------------------------------------------------------ 13 Hipérbola ------------------------------------------------------------------------------------------- 14 Rotación de ejes --------------------------------------------------------------------------------- 15 Análisis de la ecuación general de segundo grado --------------------------------------- 16 Progresión aritmética --------------------------------------------------------------------------- 16 Progresión Geométrica ------------------------------------------------------------------------- 16 Fórmulas de derivación ------------------------------------------------------------------------- 17 Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas ---------- 18 Fórmulas de integración inmediata ---------------------------------------------------------- 19 Integración por partes -------------------------------------------------------------------------- 20 Integral definida ---------------------------------------------------------------------------------- 20 Volúmenes de sólidos de revolución -------------------------------------------------------- 20 Graficas de funciones elementales ---------------------------------------------------------- 20 Alfabeto griego ------------------------------------------------------------------------------------ 22
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3
Operaciones aritméticas
Teorema del binomio
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Áreas y volúmenes
Triángulo de Pascal Indica los coeficientes en el desarrollo de un binomio elevado a la enésima potencia. Por ejemplo observa que para (x + y)3 los coeficientes del desarrollo son: 1, 3, 3, 1; lo mismo que en el triángulo.
Dónde:
𝒏𝒌
𝒏!
𝒌! 𝒏−𝒌 !
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Áreas y volúmenes
AB = área base a = apotema h = altura g = generatriz P = perímetro n = nº de grados
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5
Símbolos matemáticos
menor o igual
que
2B 2 pertenece a B
por lo tanto
intervalo abierto
mayor o igual
que
no pertenece a
para todo [ ]
intervalo
cerrado
> mayor que
U conjunto
universal
incremento
]
intervalo semi
abierto ó semi
cerrado
< menor que
tal que
derivada
[
intervalo semi
abierto ó semi
cerrado
= igual a
A
B
A es
subconjunto de B
suma integral
diferente de
no es subconjunto
de
k
n 1
suma desde 1
hasta k
b
a
dx
integral definida
entre a y b
aproximado a
conjunto vacío
producto a b a implica b
infinito
unión
k
1
producto desde
1 hasta k
a b b implica a
Conjunto de
los números
reales
intersección
n Raíz enésima a
b
si y solo si
(a implica b y b
implica a)
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Leyes de los exponentes:
zyxzyx aaaa
yx
y
x
aa
a
10 aaa
a mm
m
m
m
m
aa
1
nmnm aa )( nnn baab )(
n
nn
b
a
b
a
nn
a
b
b
a
Productos notables:
abxbaxbxax )())(( 2
222 2)( yxyxyx 222 2)( yxyxyx 22))(( yxyxyx
22 )())(( bdyxybcadacxdycxbyax
32233 33)( yxyyxxyx 32233 33)( yxyyxxyx
Radicales:
0b b
a
ab b
n
nn
n
n
n
b
a
a
aan n
Cambio de notación radical a potencia:
mnnmnmn m aaaa )()( /1/1/ √
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Logaritmos Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado; En:
102 = 100 Generalmente se utilizan dos sistemas de logaritmos:
a) Sistema de logaritmos vulgares o de base 10, y b) Sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número irracional e = 2.71828…
Notación para los logaritmos. Para distinguir los logaritmos vulgares de los naturales, cuando la base no se indica, se usa:
Loga u = Log u = log u (Logaritmos vulgares) loge u = ln u (Logaritmos naturales)
Reglas de los logaritmos de cualquier base:
1) log AB = log A + log B
2) log log A – log B
3) log An = n log A
4) log =
5) en todo sistema el logaritmo de la base es 1.
log 10 = 1 ; porque: 101 = 10
ln e = 1 ; porque: e1 = e
Siendo la base 10, el logaritmo de 100 es 2, porque 2 es el
exponente a que hay que elevar la base 10 para que de 100.
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Factorización de polinomios:
)( zyxaazayax
))((22 yxyxyx
))(()(2 bxaxabxbax 222 )(2 yxyxyx 222 )(2 yxyxyx
))(()( 22 dycxbyaxbdyxybcadacx
)2)(( 2233 yxyxyxyx
Ecuación general de segundo grado
a
acbbx
2
42
Relaciones trigonométricas
SEN A=.
.
HIP
OC
COS A=.
..
HIP
AC
TAN. A=..
..
AC
OC
COT. A=..
..
OC
AC
SEC. A=..
.
AC
HIP
CSC. A=..
.
OC
HIP
)2)(( 2233 yxyxyxyx
A = ángulo CA = cateto adyacente CO = cateto opuesto HIP = hipotenusa
CO
CA
HIP
A
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Identidades trigonométricas: Identidades reciprocas
1.- SEN A=ACSC.
1
2.- COS A=ASEC.
1
3.- TAN A=ACOT.
1
4.- COT A=ATAN.
1
5.- SEC A=ACOS.
1
6.- CSC A=ASEN
1
7.- TAN A=
8.- COT A=
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10
Teorema de Pitágoras: 222 cba
√
√
√
Funciones trigonométricas de dos ángulos:
asenbbsenabasen coscos)(
senasenbbaba coscos)cos(
)cot( baba
ba
cotcot
1cot.cot
asenbbsenabasen coscos)(
senasenbbaba coscos)cos(
ba
baba
tantan1
tantan)tan(
ab
baba
cotcot
1cotcot)cot(
aaa cossen22sen
Fórmulas para el ángulo duplo: aaa 22 sencos2cos
a
aa
2tan1
tan22tan
cot2a=a
a
cot2
1cot2
Fórmulas para el ángulo mitad:
2
cos1
2cos
aa
2
cos1
2
aasen
a
aa
cos1
cos1
2tan
b
c a
Valores de las funciones trigonométricas
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Triángulos oblicuángulos:
Ley de los senos:
C
c
B
b
A
a
sensensen
Ley de los cosenos:
Abccba cos2222
Baccab cos2222
Cabbac cos2222
Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triangulo:
))()(( csbsassA Siendo s = semiperimetro
2
cbas
Coordenadas cartesianas y polares en el plano
cosrX
senrY
22 yxr
x
ytan 1
Distancia entre dos puntos:
2
12
2
12 )()( xxyyd
Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada:
)( 121 xxrxx
)( 121 yyryy
Coordenadas del punto medio:
2;
2
2121 yyY
xxX mm
A
C
B A
C
B c c
b b a
a
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12
Pendiente de una recta:
12
12
xx
yym
Ángulo entre dos rectas
12
12
1 mm
mmtan
Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.
11
33
22
11
yx
yx
yx
yx
Para cualquier número de vértices. Recuérdese que la primera fila se repite en la última; El área así obtenida es:
A = ½ (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x1y3 – x3y2 – x2y1)
Formas de la ecuación de la línea recta:
a) Punto – Pendiente:
)( 11 xxmyy b) Pendiente - Ordenada en el origen:
bmxy
c) Cartesiana:
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen:
1b
y
a
x
- - - + + +
A = 1 2
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e) Forma general de la ecuación de la recta: Ax + By + C = 0
f) Forma normal de la ecuación de la recta:
0sencos pwywx g) Dada la ecuación de la recta en su forma general, determinar la ecuación en su forma normal:
022222
BA
C
BA
BY
BA
AX
h) Distancia de un punto a una recta:
22
11
BA
CByAxd
Ecuación de la Circunferencia con centro (h,k).
222 )()( rkyhx
Forma general de la ecuación de la Circunferencia.
022 FEyDxyx
Parábola con vértice en el origen.
pxy 42 pyx 42
pLR 4 LR= p4
Directriz PX Directriz PY
Parábola con vértice (h,k).
22 )(4)( hxpky )(4)( 2 kyphx
LR= P4 P=FV
Directrices: (dependen de la distancia del vértice al foco).
Elipse con centro en el origen:
12
2
2
2
b
y
a
x
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)0,();0,( cFOCOSaVÉRTICES
LR= 1;2 222
a
ba
a
ce
a
b
12
2
2
2
b
x
a
y
),0();,0( cFOCOSaVÉRTICES
LR= 1;2 222
a
ba
a
ce
a
b
Para ambas, se cumple con: 222 cba
Elipse con centro (h,k)
1)()(
2
2
2
2
b
ky
a
hx
),();,( kchFOCOSkahVÉRTICES
1)()(
2
2
2
2
b
hx
a
ky
),();,( ckhFOCOSakhVÉRTICES
Para ambos casos, el lado recto y la excentricidad se calculan con las mismas expresiones que en elipse con centro en el origen.
Hipérbola Con Centro En El Origen:
12
2
2
2
b
y
a
x
)0,();0,( cFOCOSaVÉRTICES
xa
byASÍNTOTAS :
12
2
2
2
b
x
a
y
),0();,0( cFOCOSaVÉRTICES
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xb
ayASÍNTOTAS :
Para ambas hipérbolas con centro en el origen, se cumple lo siguiente:
bac 22;
a
bLR
22 ,
a
ba
a
ce
22 ,
Hipérbola con centro (h,k)
1)()(
2
22
2
b
ky
a
hx
),();,( kchFOCOSkahVÉRTICES
:ASÍNTOTAS 0
b
ky
a
hx
1)()(
2
22
2
b
hx
a
ky
),();,( ckhFOCOSakhVÉRTICES
;ASÍNTOTAS
0
b
hx
a
ky
Para ambas hipérbolas se cumple con las mismas expresiones utilizadas en la construcción de hipérbolas con centro en el origen.
Rotación de ejes:
Relaciones de rotación:
senYXX 'cos'
cos'' YsenXY
Los ejes 0X y 0Y son los ejes primitivos y 0X’ y 0Y’ los nuevos ejes, siendo 0 común a ambos sistemas; θ representa el ángulo de rotación. Suponiendo que (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes primitivos, y (x’, y’) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes. Para determinar x,y en función de x’, y’, θ, se tiene:
Y’
ᶿ 0
P ( x , y ) (x’, y’)
X
Y Y’
M N
ᶿ
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Análisis de la ecuación general de segundo grado por medio de su discriminante (I). Representa una cónica del genero parábola, elipse o hipérbola, según que el discriminante I = B2 – 4AC sea cero, negativo o positivo.
042 ACB (Parábola)
042 ACB (Elipse)
042 ACB (Hipérbola)
Progresiones:
Una sucesión de números es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada. El requisito esencial
para que exista una sucesión es que exista una ley o formula con la cual sea posible obtener cualquier elemento de la
sucesión.
Progresión aritmética:
Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene
añadiendo al término anterior un número fijo llamado diferencia de la progresión.
Teorema 1: Si en una progresión aritmética a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, d es la diferencia y Sn es la
suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.
dnaTn )1(1
))1(2(2
1 dnan
Sn
Progresión geométrica:
Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero se obtiene
multiplicando el término anterior por un número no nulo llamado razón de la progresión.
Teorema 2: si en una progresión geométrica a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, r es la razón y Sn es la
suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.
1 narTn
r
araSn
1
r
raSn
n
1
)1(; SI r<1
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Fórmulas de derivación:
1.- 0)( cdx
d
2.- 1)( xdx
d
3.- )()()()( wdx
dv
dx
du
dx
dwvu
dx
d
4.- dx
duccu
dx
d)(
5.- dx
duv
dx
dvuuv
dx
d)(
6.- 2v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
7.- dx
du
cc
u
dx
d 1
8.- dx
du
u
c
u
c
dx
d2
9.- 1)( nn nxx
dx
d
10.- dx
dunuu
dx
d nn 1)(
11.- dx
due
uu
dx
dlog
1)(log
12.- dx
du
uu
dx
d 1)(ln
13.- dx
duaaa
dx
d uu ln)(
14.- dx
duee
dx
d uu )(
15.- dx
duusenu
dx
dcos)(
16.- dx
dusenuu
dx
d)(cos
17.- dx
duuu
dx
d 2sec)(tan
18.- dx
duuu
dx
d 2csc)(cot
19.- dx
duuuu
dx
dtansec)(sec
20.- dx
duuuu
dx
dcotcsc)(csc
Con v ≠ 0
Con a > 0
Con n ≠ -1
Con n ≠ -1
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21.-dx
d
dx
du
uarcsenu
21
1)(
22.- dx
du
uu
dx
d
21
1)(arccos
23.- dx
du
uu
dx
d21
1)(arctan
24.- dx
du
uuarc
dx
d21
1)cot(
25.-
1
1)sec(
2
uuuarc
dx
d
dx
du
26.- dx
du
uuuarc
dx
d
1
1)csc(
2
27.- derivada de una función de función
Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas
Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayor ni el menor valor de la función, por eso se les denomina relativos, porque no son los de mayor o menor ordenada de la grafica completa de la función.
Existen dos procedimientos para obtener los máximos y mínimos relativos: A. Criterio de la primera derivada
1) Se calcula la primera derivada 2) El resultado se iguala a cero y se resuelve la ecuación, las raíces x1, x2, x3,... Son los valores
críticos, para los cuales la función puede tener un máximo, un mínimo, o no existir ninguno de los dos.
3) Analizamos en f ´ (x); sea la raíz x1 ; si para un valor de x < x1 se tiene que f ’ (x) es (+) , y para un valor de x>x1 f ’ (x) es (-) , la función tiene un máximo. Si pasa de negativa a positiva, la función tiene un mínimo. En forma semejante se analizan las otras raíces.
4) Si la derivada pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa, no existe en ese punto un máximo o mínimo.
5) Para calcular la coordenada “y” de los puntos críticos, se sustituyen los valores de x en la función original.
B. Criterio de la segunda derivada
1) Se hallan primera y segunda derivada 2) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación. 3) se sustituyen las raíces de la primera derivada en la segunda, si la segunda derivada es
negativa, existe máximo, si ésta es positiva, existe un mínimo. 4) Los valores máximo y mínimo de la función se calculan sustituyendo en la función las raíces de
la primera derivada. 5) Si la segunda derivada es cero, nada se puede decir sobre si habrá máximo o mínimo, o no
habrá ni máximo ni mínimo.
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Fórmulas de integración inmediata
1.- wdxvdxudxdxwvu )(
2.- udxaaudx siendo a = constante
3.- cudu ó también cxdx
4.- cn
uduu
nn
1
1
con n ≠ -1
5.- cuu
du ln
6.- ca
adua
uu ln
7.- cedue uu
8.- cuduusen cos
9.- csenuduucos
10.- cuduu tansec2
11.- cuduu cotcsc2
12.- cuduuu sectansec
13.- cuduuu csccotcsc
14.- cuduu seclntan
15.- cusenduu lncot
16.- cuuduu tanseclnsec
17.- cuuduu cotcsclncsc
18.- ca
uarc
aua
du
tan1
22
19.- cau
au
aau
du
ln2
122
20.- cua
ua
aua
du
ln2
122
21.- 22 ua
du= c
a
usenarc
22.-
23.- ca
usenarcauauduua
22222
2
1
2
1
cauuau
du
22
22ln
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20
24.- cauuaauuduau 2222222 ln
2
1
2
1
25.- ca
uarc
aauu
du
sec
1
22
26.- cauuua
du
22
22ln
27.- cauuaauuduau 2222222 ln
2
1
2
1
Integración por partes
vduuvudv
Integral definida
)()()( aFbFdxxfb
a
F(x) es la Primitiva
Volúmenes de sólidos de revolución
dxyVb
a 2 Alrededor del eje x
dyxVb
a 2 Alrededor del eje y
Graficas de funciones elementales Lineal Constante La gráfica es una línea con pendiente 0 y es paralela al eje de las “x”
Forma: y = k Siendo k una constante Ejemplo: y = 3
Lineal Identidad Para cada número real, la función tomara el mismo valor, su pendiente siempre será
1 (ángulo de 45°) y pasa por el origen.
Forma: y = x
y = 3
y = x
x
y
x
y
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Lineal
Pendiente – Ordenada al Origen
Forma: y = mx + b Siendo: m = pendiente b = ordenada al origen
Ejemplo: y = 2x - 3
Cuadrática
Se expresan mediante un polinomio de segundo grado y se representan gráficamente mediante parábolas.
Forma: y = ax2 + bx +c Ejemplo: y = 2x2 + 3x + 5
Polinómica de 3er Grado
Se expresan mediante un polinomio de tercer grado, estas funciones tienen como dominio y rango al conjunto de los números reales
y = ax3 + bx2 + cx + d Ejemplo: y = x3 + 2x
Logarítmica
Formas: y = log x y = ln x Ejemplo: y = ln x
y = 2x - 3
y = 2x2 + 3x + 5
y = x3 + 2x
y = ln x
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Exponencial
Formas: y = ax y = ex Ejemplo: y = ex
Trigonométricas
Directas
y = sen x
y = cos x
y = tan x
Alfabeto griego
y = ex
Se presenta el alfabeto griego: las tres columnas representan las mayúsculas, minúsculas y nombre.