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ORGA N I Z A C I NDEL BACHILLERATOINTERNACIONAL
GRUPO 5 MATEMTICAS
FRMULAS MATEMTICAS Y TABLAS ESTADSTICAS
Para uso en la docencia y durante los exmenes de:Matemticas NS
Mtodos Matemticos NMEstudios Matemticos NM
Ampliacin de Matemticas NM
Tercera edicin: febrero de 2001Vlido para las convocatorias de exmenes a partir de mayo de 2001
Grupo 5 MatemticasFrmulas matemticas y tablas estadsticas
Primera edicin: agosto de 1998Segunda edicin: abril de 1999
Tercera edicin: febrero de 2001
Organizacin del Bachillerato Internacional, 1999
Organizacin del Bachillerato Internacional Route des Morillons 151218 Grand-Saconnex
Ginebra, SUIZA
NDICE
Frmulas para:
Estudios Matemticos NM 14
Mtodos Matemticos NM 17
Matemticas NS 112
Ampliacin de Matemticas NM 112
Tabla 1: rea bajo la curva normal estandarizada 13
Tabla 2: Valores crticos de la distribucin 14 2
Tabla 3: Valores crticos de la distribucin t de Student 15
BI Grupo 5 MatemticasFrmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
, siendo r el radio, h la alturaV r h= 13
2Volumen del cono:
, siendo r el radioV r= 43
3Volumen de la esfera:
, siendo r el radio, h la alturaA rh= 2rea lateral del cilindro:
, siendo r el radio, h la alturaV r h= 2Volumen del cilindro:
, siendo l la longitud, a la anchura, h la alturaV l a h= Volumen del paraleleppedo:
V Bh B h= 13
, siendo el rea de la base, la alturaVolumen de la pirmide:
, siendo r el radioC r= 2Longitud de la circunferencia:
, siendo r el radioA r= 2rea del crculo:
, siendo a y b los lados paralelos, h la alturaA a b h= +12
( )rea del trapecio:
, siendo b la base, h la alturaA b h= 12
( )rea del tringulo:
, siendo b la base, h la alturaA b h= ( )rea del paralelogramo:
1 Figuras planas y del espacio
, S u rr
u rrn
n n
=
=
1 111
11
( ) ( ) r 1Suma de los n trminos de una sucesin geomtrica:
u u rnn
=
11Trmino ensimo de una sucesin geomtrica:
S n u n d n u un n= + = +22 1
21 1( ( ) ) ( )Suma de los n trminos de una sucesin aritmtica:
u u n dn = + 1 1( )Trmino ensimo de una sucesin aritmtica:
2 Sucesiones finitas
, siendo a y b dos lados, C el ngulo comprendidoA ab C=12
senrea del tringulo:
a b c bc A A b c abc
2 2 22 2 2
22
= + =+ cos ; cosRegla del coseno:
aA
bB
cCsen sen sen
= =Regla del seno:
3 Trigonometra
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 1Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
ESTUDIOS MATEMTICOS NMMTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
| | ,v v= + =FHGIKJv v
vv1
222 1
2siendo Mdulo de un vector:
x x y y1 2 1 22 2+ +FHG
IKJ,
Coordenadas del punto medio de un segmento quetiene por extremos :( , ) ( , )x y x y1 1 2 2 y
d x x y y= + ( ) ( )1 22
1 22Distancia entre dos puntos :( , ) ( , )x y x y1 1 2 2 y
4 Geometra
n el nmero deI C r Cn
= +FHG
IKJ 1 100 , siendo el capital, el rdito,C r %
perodos de tiempo, I el inters
Inters compuesto:
n el nmero de perodos deI Crn=100
, siendo el capital, el rdito,C r %
tiempo, I el inters
Inters simple:
5 Matemticas financieras
A A=FHGIKJ =
FHGIKJ
a bc d
a cb d
TMatriz transpuesta:
A A=FHGIKJ =
a bc d
ad bcdetDeterminante:
6 Matrices (2 2)
P PP
A B A BB
c h = ( )( )Probabilidad condicionada:
P P P( ) ( ) ( )A B A B =Sucesos independientes:
P P P( ) ( ) ( )A B A B = +Sucesos mutuamente excluyentes:
P P P P( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B = + Sucesos combinados:
P P( ) ( ) = A A1Sucesos complementarios:
P( ) ( )( )
A n An U
=Probabilidad de un suceso A:
7 Probabilidad
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 2Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
ESTUDIOS MATEMTICOS NMMTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
, calc e oe
ef f
ff2
2
=
( ) , siendo las frecuencias esperadas las frecuencias observadas fo
La prueba de la : 2
y yss
x xxyx
= 2 b gRecta de regresin de y sobre x:
, siendo rss s
x y
x y= s
x x
nxi
i
n
=
=
b g21 , s
y y
nyi
i
n
=
=
b g21Coeficiente de correlacin
producto-momento:
sx x y y
nxyi i
i
n
=
=
( )( )1
Covarianza:
z x=
Variable normal estandarizada:
sf x x
nn fn
i ii
k
ii
k
=
==
=
( )
,
2
1
1
siendo Desviacin tpica muestral:
xf x
nn f
i ii
k
ii
k
= ==
=
11
, siendo Media muestral:
=
==
=
f x
nn f
i ii
k
ii
kb g21
1
, siendo Desviacin tpica de lapoblacin:
= ===
f x
nn f
i ii
k
ii
k1
1
, siendo Media de la poblacin:
8 Estadstica
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 3Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
ESTUDIOS MATEMTICOS NMMTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
dd
yx
x y xn
C nnn
= =+
+ +1
11,Clculo de primitivas:
f x ax bx f x nax n bxn n n n( ) ( ) ( )= + + = + + 1 1 21 Derivada de un polinomio:
f x ax f x naxn n( ) ( )= = 1Derivada de :axn
y f x yx
f x f x h f xhh
= = = + FHGIKJ( ) ( ) lim
( ) ( )dd 0
Derivada de :f x( )
9 Clculo diferencial
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ESTUDIOS MATEMTICOS NMMTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
S ur
r=
M =
FHG
IKJ
cos sinsin cos
2 22 2
Matriz de la transformacin que representauna simetra axial sobre y x= tan :
R =F
HGIKJ
coscos
sensen
Matriz de la transformacin que representauna rotacin de ngulo en torno al origen:
P P=FHGIKJ =
FHG
IKJ
a bc d ad bc
d bc a
1 1Matriz inversa:
14 Matrices (2 2)
z xn
=
/
Prueba estadstica para la media de una poblacin normal:
EE = n
Error estndar de la media:
15 Estadstica
y uv
yx
v ux
u vx
v= =
dd
dd
dd
2Derivada de un cociente:
y uv yx
u vx
v ux
= = +dd
dd
dd
Derivada de un producto:
, siendo y g u= ( ) u f x yx
yu
ux
= = ( ) dd
dd
dd
Regla de la cadena:
f x x f xx
( ) tan ( )cos
= = 12Derivada de tan :x
f x x f xx aa
( ) log ( )ln
= = 1Derivada de log :a x
f x a f x a ax x( ) ( ) (ln )= =Derivada de ax :
f x x f xx
( ) ln ( )= = 1Derivada de ln :x
f x f xx x( ) ( )= =e eDerivada de ex :f x x f x x( ) cos ( )= = senDerivada de cos :xf x x f x x( ) ( ) cos= =senDerivada de sen x:
16 Derivacin
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 6Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
MTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
( ) ( )( )
,ax b x ax ba n
C nnn
+ =+
++ z +d 11 1
e d ex xx Cz = +cosz = +x x x Cd sensen dz = +x x x Ccos1x
x x Cz = +d lnIntegrales notables:17 Integracin
x x f xf xn n
n
n+ =
1
( )( )Mtodo de Newton-Raphson:
18 Iteracin
f x x h y y y y y
h b an
y f a ih i n
a
b
n n
i
b g
b gz + + + + +
=
= + =
d
siendo
22 2 2
0 1 2
0 1 2 1
; , , , , ,
Regla del trapecio:
19 Integracin aproximada
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MTODOS MATEMTICOS NMMATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
nr
nr n r
FHGIKJ =
!!( )!
20 Combinaciones
i n ni
n3
22
1 41= +
=
( )Suma de los cubos de los n primeros nmeros naturales:i n n n
i
n2
1 61 2 1= + +
=
( )( )Suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales:i n n
i
n
= +=
2 11 ( )Suma de los n primeros nmeros naturales:21 Series
r r n nn n(cos ) (cos ) + = +isen isenTeorema de De Moivre:
z a b r= + = +i isen(cos )
22 Nmeros complejos
a x b x R x R a b ba
cos cos( ) , , tan = = + =sen siendo 2 2Frmulas del ngulo auxiliar:
sen sen sen
sen sen
csc
( ) cos cos
cos( ) cos cos
tan ( ) tan tantan tan
tan tantan
tan sec
cot
A B A B A B
A B A B A B
A B A BA B
=
=
=
=
+ =
+ =
1
2 21
1
1
2
2 2
2 2
sen
21
2
21
2
211
=
= +
=
+
cos
cos cos
tan coscos
Identidades:
23 Trigonometra
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 8Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
MATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
ax by cz d+ + + = 0Ecuacin cartesiana de un plano:
x xl
y ym
z zn
=
=
0 0 0Ecuacin continua de una recta:
r n a n = Ecuacin de un plano(mediante el vector normal):
r a b c= + + Ecuacin vectorial de un plano:
r a b= + Ecuacin vectorial de una recta:
A = 12
v wrea de un tringulo:
v w v w = sen
v wi j k
= v v vw w w
1 2 3
1 2 3
Producto vectorial:
cos = + +v w v w v w1 1 2 2 3 3v w
v w v w = + + =F
HGGI
KJJ =F
HGGI
KJJv w v w v w
vvv
www
1 2 2 3 3
1
2
3
1
2
3
1 , siendo ,Producto escalar:
v v= + + =F
HGGI
KJJv v v1
22
23
21
2
3
, siendovvv
Mdulo de un vector:
24 Geometra vectorial
A A=F
HGG
I
KJJ = +
a b cd e fg h k
ae fh k
bd fg k
cd eg h
detDeterminante:
25 Matrices (3 3)
BI Grupo 5 Matemticas Pgina 9Frmulas matemticas y tablas estadsticas febrero de 2001
MATEMTICAS NSAMPLIACIN DE MATEMTICAS NM
f x x f xx
( ) arctan ( )= =+
11 2
Derivada de :arctan x
f x x f xx
( ) arccos ( )= =
1
1 2Derivada de :arccos x
f x x f xx
( ) ( )= =
arcsen 1
1 2Derivada de :arcsen x
f x x f x x( ) cot ( )= = csc2Derivada de :cot x
f x x f x x x( ) ( ) cot= = csc cscDerivada de :csc xf x x f x x x( ) sec ( ) sec tan= =Derivada de :sec x
26 Derivacin
1 d arcsen
d
2a xx x
aC x a
xx x C
=FHGIKJ +