Función cuadrática y Ecuación de segundo grado
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad.
• Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos.
• Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.
1. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Ejemplos:
y su gráfica es una parábola.
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2
con a =0; a,b,c IR
a) Si f(x) = 6x2 - 2 a = , b = y c =
Actividad: determinar el valor de los coeficientes a,b y c
b) Si f(x) = x2 a = , b = y c =
c) Si f(x) = x2 - 10x -24 a = , b = y c =
Desafío
personal
Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente a indica si la parábola es cóncava
hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,es cóncava hacia arriba
Si a < 0,es cóncava hacia abajo
Determinar la Concavidad de las siguientes funciones
Ejercicios:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 Cóncava hacia __________
b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 Cóncava hacia __________
c) Si f(x) = -x2 + x + 1
d) Si f(x) = 1-4x2
e) Si f(x) = x2 + 8x
Cóncava hacia __________
Cóncava hacia __________
Cóncava hacia __________
Desafío
personal
El discriminante se define como:
Δ = b2 -4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
Δ > 0
Discriminante
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
La parábola NO intersecta
al eje X.
Δ < 0
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.
La parábola intersecta en
un solo punto al eje X.
Δ = 0
Calcular el discriminante en cada una de las siguientes ecuaciones y determina los puntos de intersección en el eje x
Ejercicios:
a) 2x2 + 3x + 1
b) 3x - x2 + 3
c) -x2 + x + 1
d) 1-4x2
e) x2 + 8x
Δ = 9-8
a = 2, b = 3 y c = 1Δ = b2 -4ac
Δ = 1
La parábola
intersecta en
dos puntos al eje
X
Desafío
personal
Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente c indica el punto donde la parábola
intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c
(0,C)
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,-4)
y es cóncava hacia arriba
x
y
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c =-4.
(0,-4)
Determinar el punto de intersección con el eje Y
Ejercicios:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 intersección con el eje Y (0,1)
b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 intersección con el eje Y __________
c) Si f(x) = -x2 + x + 1
d) Si f(x) = 1-4x2
e) Si f(x) = x2 + 8x
intersección con el eje Y __________
intersección con el eje Y __________
intersección con el eje Y __________
Desafío
personal
Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
4a
-b , 4ac – b2
2aV =
-b
2ax =
Δ
4a
-b , –
2aV =
ó
Ejemplo:
2·1
-2x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = -8, entonces:
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-bx =
4a
-b , 4ac – b2
2aV =
f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1eje de simetría:
Vértice:
Determinar eje de simetría y vértice en cada función
Ejercicios:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 intersección con el eje Y (0,1)
b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 intersección con el eje Y __________
c) Si f(x) = -x2 + x + 1
d) Si f(x) = 1-4x2
e) Si f(x) = x2 + 8x
intersección con el eje Y __________
intersección con el eje Y __________
intersección con el eje Y __________
Desafío
personal
Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.
x2x1
Ecuación de segundo gradoUna ecuación cuadrática o de segundo grado es
de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o
raíces, que corresponden a los puntos de intersección
de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.
x2x
y
x1
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada:
x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
Raíces de una ecuación de 2° grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado:
-b ± b2 – 4ac
2a
x =
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0
-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4)
2
x =
3 ± 9 + 16
2
x =
3 ± 25
2
x =
2
x = 3 ± 5
2x = 8
2x = -2
x1 = 4 x2 = -1
También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomio:
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0
x1 = 4 x2 = -1
Determinar las soluciones de las ecuaciones asociadas a cada función
Ejercicios:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 3x - x2 + 3
c) Si f(x) = -x2 + x + 1
d) Si f(x) = 1-4x2
e) Si f(x) = x2 + 8x
Desafío
personal
Oferta y Demanda
Oferta: cantidad de bienes, productos o servicios que se ofrecen en un
mercado bajo unas determinadas condiciones.
Demanda: cantidad de bienes o servicios que se solicitan o se desean en
un determinado mercado de una economía a un precio específico.
La función cuadrática nos sirve para modelar situaciones reales, y entre
ellas se encuentran las de Oferta y Demanda .
Oferta y Demanda
Lea la siguiente situación y responda las preguntas:
La función p(q) = 1000 - 2q , donde p representa el precio por unidad
cuando los consumidores demandan y q las unidades por semana.
La función p(q) ¿Qué tipo de función es?
¿Cuál es el precio por unidad si la demanda semanal es de
200 unidades?
Si la demanda aumenta ¿qué sucede con la variable
precio?
Respuesta: Representa una función afín.
Respuesta: 600
Respuesta: Si la demanda aumenta a 400 unidades el precio por unidad
es de 200, luego si la demanda aumenta, el precio baja.
Oferta y Demanda
La función I(q) = p ∙ q representa el ingreso que una empresa percibe por la
cantidad q de productos pedidos o demandados.
Luego la función de ingreso según la cantidad de artículos demandados
queda dada por
I(q) = p ∙ q, pero, sabemos que p = 1000 - 2q luego
I(q) = (1000 - 2q) ∙ q
I(q) = 1000q – 2q2
¿Qué tipo de función es I(q) ?
Oferta y Demanda
En la siguiente cuadrícula grafique la función I(q): Recordar el
vértice, eje
de simetría
,interseccion
es eje x e y
Desafío
personal