Date post: | 05-Jul-2015 |
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Función exponencial
Una función exponencial f está
dada por:
f(x) = ax
donde x es cualquier número real,
a > 0 y a ≠ 1. El número a se
llama base.
x
ytabulamos:
Gráfica de f(x)=2x
x
y
xy 2
La curva se acerca al eje x pero no lo toca nilo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
La gráfica es:CrecienteCóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).
x
y
a = 2
seguir
xay
x
y
a = 3
seguir
xay
x
y
a = 4
seguir
xay
x
y
a = 5
seguir
xay
x
y
a = 1.5
seguir
xay
x
y
a = 1.2
seguir
xay
x
y
a = 1
seguir
xay
tabulamos…
x
y
Gráfica de f(x)=(½)x
x
y
x
y21 La gráfica es:
DecrecienteCóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).
La curva se acerca al eje x pero no lo toca nilo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
x
y
a = 0.5
seguir
xay
x
y
a = 0.33
seguir
xay
x
y
a = 0.25
seguir
xay
x
y
a = 0.2
seguir
xay
Muy importante!!x
y
f(x)=
a > 1
xa
);1( 1a
);2( 2a
);1( 1a)1;0(
Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
OJO!!
x
y
f(x)=
0 < a < 1
xa
)1;0();1( 1a
);2( 2a
);1( 1a
);2( 2a
Función decrecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
n
1 S/.2,00000
2 S/.2,25000
3 S/.2,37037
4 S/.2,44141
12 S/.2,61304
52 S/.2,69260
365 S/.2,71457
8760 S/.2,71813
525600 S/.2,71828
…. …..
n)n1(1A
El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…
....718281828,2
11lim
e
ne
n
n
El número e
Gráfica de f(x) = ex
x
y
xey
Función crecienteRango: (0; ∞)Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
x ex
0 1
1 2,71..
2 7,38..
x
y
xy 3xy 2
xey
Gráfica de f(x) = ex
f
g
Note que: y = f(x) y x = g(y)
g(y)x. .y = f(x)
Diagrama de una función inversa
Definición
Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y rango Cdominio de g es C y rango D
g es la inversa de f si se cumple:
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(x)) = x para todo x en C
Función logarítmo
log ax = y ay = x
a>1 y a≠1
• El logaritmo de un número x en una base
a es el exponente y al que hay que
elevar la base para obtener el número.
Ecuación logarítmica Ecuación exponencial
NMalog MaN
2100log10
201,0log10
21
49 7log
100102
01,010 2
74921
Exponenciales y logarítmos
xxy y2log2
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3
yx 2 y
x
y
graficamos…
Gráfica de f(x) = log 2 x
x
y
xy 2log
Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y
La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)
¿cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?
¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?
x
y
xxf 2)(
xxg 2log)(
xy
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.
x
y
a = 2
seguir
xy alog
x
y
a = 2,5
seguir
xy alog
x
y
a = 3
seguir
xy alog
x
y
a = 3,5
seguir
xy alog
x
y
a = 4
seguir
xy alog
x
y
a = 4,5
seguir
xy alog
x
y
a = 5
seguir
xy alog
x
y
a = 1,6
seguir
xy alog
x
y
a = 1,2
seguir
xy alog
a = 0,8
x
y
seguir
xy alog
a = 0,7
x
y
seguir
xy alog
a = 0,6
x
y
seguir
xy alog
a = 0,5
x
y
seguir
xy alog
a = 0,4
x
y
seguir
xy alog
x
y
xy alog
a > 1
Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo
base
a
Conclusiones
x
y
xy alog
0 < a < 1
Función decrecienteDominio: (0; ∞)Rango:Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba
a
base
Conclusiones
Propiedades de logarítmos
eedcb
b
aa
mb
an
ma
an
a
xmx
nmn
m
nmnm
abya
adcba
x
xb
m
bm
b
bn
b
am
a
bbb
bbb
yb
b
n
loglog.log.log.log)8
log
loglog)7
)6
loglog)5
log1
log)4
loglog)3
logloglog)2
loglog.log)1
log
log
Para cualquier número positivo x.
xx loglog10
Logarítmo decimal o común
El logaritmo log10 x se llama
logaritmo común de x y su forma abreviada es log x.
Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.
xxe lnlog
Logaritmo natural
x
y
e
Posee las características de toda gráfica logaritmica de base mayor que 1.
Gráfica de f(x) = ln x
Resolver: 15)5(2 xx
EXPONENCIALES
0)5)(2( 55 xx
0)5)(2( xx
05210 2xxx
01072 xx
0)2)(5( xx
0205 xx
25 xx
C.S: {2;5}
Resolver:
EXPONENCIALES
C.S:
25 272 12 x xx x aa
25
27
2
12
x
x
x
x
aa
25
27
2
12
x
x
x
x
)2)(27()25)(12( xxxx
41272910 22 xxxx
042129710 22 xxxx
06213 2 xx
25 272 12 x xx x aa
)(2
))((42
a
cabbx
)2(2
)2)(1(477 2
x
4
8497x
4
417x
0272 xx
4
417;
4
417
Resolver:
LOGARITMOS
2log216loglog3
xx
2
3
2log16loglog
xx
23
2log
16log
xx
23
216
xx
416
23 xx
4
162
3
x
x
4x
C.S: {4}
Resolver:
LOGARITMOS
Rpta: 4
49log25log3log4log 2759
22
275
2
37log.5log.3log.2log 2
7log.5log.3log.2log2
2.2.22753
3log.5log.7log.2log.4 5723
3log.4 3
)1.(4
4
Resolver:
LOGARITMOS
Rpta: 32
2log3243
2log5 3)3(2log5 335
3 2log352
32
Resolver:
LOGARITMOS
Rpta:
122 23x
12log2log 23x
12log2log)23( 22x
3log2log2log2log)23( 2222x
3log1123 2x
2log
3log43x
30.0
48.043x
46,13x6,53x
.)(87,1 aproxx
Para cualesquier números positivos a, M y N, a ≠ 1 ycualquier número real k:
MkM
NMN
M
NMNM
ka
a
ak
a
aaa
aaa
ka
a
a
loglog.6
logloglog.5
logloglog.4
log.3
01log.2
1log.1
Propiedades de logarítmos