Universidad Nacional de Cajamarca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERACIVIL

FUNCIONES ALGEBRAICASCURSO: Matemtica

DOCENTE:Eladio Snchez Qulqui.

ALUMNOS:Collantes Quispe, Frangel IvnGuerrero Olano, RonalRojas Vilchez, Wilson Marn

CICLO :I Jan, julio de 2014

1. OBJETIVOS.

a) Expresar con funciones algebraicas algunos fenmenos naturales.

b) Ejemplificar algunas funciones algebraicas con "variaciones".

c) Interpretar la representacin grfica de funciones algebraicas como la solucin de ecuaciones e inecuaciones en una variable.

Muchos sucesos de la naturaleza se expresan por medio de funciones, en unos casos algebraicas y en otros trascendentes (no algebraicas). Ejemplos sencillos como:

Una piedra lanzada al espacio describe una parbola con ecuacin algebraica.

La sangre que circula por un ser vivo tiene un movimiento descrito por una ecuacin no algebraica.

El agua calentada hasta su punto de ebullicin sufre cambios de temperatura descritos por una ecuacin algebraica lineal.

Una funcin algebraica y = f(x) tiene como ecuacin o frmula una expresin polinmica, racional, raz o la combinacin de stas. Como ejemplos estn las funciones con sus grficas:

Otros ejemplos comunes de funciones algebraicas lo constituyen las variaciones:La variacin como una Relacin Funcional Algebraica.Hay dos tipos de relaciones funcionales muy usados en la ciencia: la variacin directa o directamente proporcional y la variacin inversa o inversamente proporcional.Las expresiones directa e inversamente proporcionales son aplicadas en la variacin de magnitudes. As, se dice que dos magnitudes varan directamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas entonces aumenta (disminuye) la otra. En cambio, dos magnitudes varan inversamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas resulta que la otra disminuye (aumenta).En el primer caso se tiene y = kx, donde se dice que y vara directamente proporcional a x, y k 0 es la constante de variacin o de proporcionalidad. En general, este es un tipo de funciones polinmicas de la forma: y = kxn. Cuando no se indica el tipo de variacin se sobreentiende que es directa.

El otro tipo de variacin se deduce de la ecuacin xy = k, k 0, y se dice que xn y y varan inversamente proporcional, de donde Generalmente, es la ecuacin racional: Y = k/xn

2. VARIACIN CONJUNTA.Cuando una variable vara directamente al producto de dos o ms variables diferentes, se dice que la variacin es conjunta. Entonces, si y vara conjuntamente a u, v, w, se tiene la ecuacin y = kuvw.Puede ocurrir una variacin directa e inversa simultneamente. Esto es, y vara directamente a x e inversamente a z, entonces se tiene la ecuacin y = kx/z yz = kx.La variacin directa es una funcin polinmica con un slo trmino (o monomio) en una o ms variables como: y = kxn ; o y = kxnzm . No son variaciones directas: y = 3x + 5, ni y = 4x5 2, porque sus trminos independientes no son ceros (no son monomios).La variacin inversa es una funcin racional como las formas:y = k/xn y = kxn/zm . No son variaciones inversas: y = 3/x2+ 5, ni y =x/2 + 5x 1.

3. APLICACIONES GRFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS:

Mtodo Grfico de Resolucin de Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable.

a) La grfica de una funcin algebraica y = f(x) es, por lo general, una curva en el plano cartesiano (y abusando del lenguaje, aunque sea recta, se dice curva). Esa curva corta el eje X, donde el valor de la funcin es cero, o sea cuando la ecuacin f(x) = 0 tiene soluciones reales. El procedimiento para resolver f(x) = 0, lo aprendimos en lgebra al hallar las races de la ecuacin, ahora sabemos que esos valores de x estn donde la curva corta al Eje X.Cmo se interpretan los restantes valores del Eje X, es decir las abscisas que no corresponden a y = 0? La respuesta es que corresponden a las soluciones de las inecuaciones: f(x) < 0, si la curva est por bajo del Eje X, o sea con sus ordenadas y negativas; y. f(x) > 0, si la curva est por arriba del Eje X. o sea con sus ordenadas y positivas.Ilustramos lo dicho antes con las siguientes figuras: a) f (x) = 0 b) f(x) < 0 c) c) f(x) > 0 S = {a, b, c} S = S = b) Para resolver una ecuacin, por lo general, se iguala a cero uno de los dos miembros, o sea que se expresa f(x) = 0. Pero a veces esto no es posible o es muy difcil, como en cos x = x 2 - 1, entonces se tendr f(x) = g(x). En el pasado hubo matemticos que trabajaron uno por uno cada miembro de la ecuacin, en la actualidad esto se resuelve con computadora.Qu haremos con f(x) = g(x)? Se crea un sistema de dos ecuaciones: y = f(x) y y = g(x), o bien de dos inecuaciones - . Se grafica el sistema, y si es consistente, su solucin o soluciones sern las abscisas de los puntos de interseccin de las grficas. Veamos esto en las grficas siguientes:c) 3. La ecuacin f(x) = g(x) podr no tener solucin cuando el sistema sea inconsistente.3.1. FUNCIONES POLINMICAS.Se llaman funciones polinmicas a las funciones que tienen por ecuacin a un polinomio.Si f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a0, donde an 0, entonces se dice que f(x) es una funcin algebraica polinmica de grado n.Son funciones polinmicas, por ejemplo:f(x) = 2x3 - 4x/3 + 3 y g(x) = x5 3x + x - 1, pero no lo es h(x) = 1 x .Las funciones polinmicas tienen dominio real o sea D = y su grfica es continua en todo su dominio. En el siguiente ejemplo, h(x) no es funcin polinmica.Iniciamos el estudio de las funciones polinmicas con las de menor grado: las funciones algebraicas polinmicas de grado cero o funciones constantes.3.1.1. Funcin constante. La forma cannica de la funcin constante es f(x) = c, donde c es un nmero real cualquiera. Esta funcin asocia a todo valor de x ese valor constante c. Su dominio es , y su rango {c}. La funcin constante no es inyectiva, por consiguiente su inversa, x = c, no es funcin.3.2. Funcin lineal. La forma cannica o normal de la funcin lineal o funcin polinmica de primer grado es f(x) = mx + b bien y = mx + b. Su dominio y rango son los nmeros reales.La grfica de f = {(x, y) 0 5| y = mx + b} es una recta con pendiente o inclinacin m.Si m > 0 la funcin es creciente, si m < 0 la funcin es decreciente, y si m = 0 entonces es constante. El trmino independiente b es la interseccin de la recta con el eje Y, llamada ordenada al origen y se representa por I y (0, b).Si la representacin de la funcin de primer grado es una recta, entonces para trazarla son suficientes dos puntos cualesquiera o las intersecciones con los ejes.3.3. Funcin cuadrtica.La forma normal o cannica de la funcin cuadrtica es expresada mediante el polinomio de segundo grado o cuadrtico f(x) = ax5 + bx + c, si a 0. Son ejemplos de funciones cuadrticas f(x) = 3x5 - 7x + 1 o bien f(x) = 3 - 2x5 ...Ms detalles para graficar la parbola se obtienen calculando algunas parejas, y sobre todo las intersecciones con los ejes. Si x = 0, f(0) da la interseccin con el eje Y, Iy (0,f(0)).La o las intersecciones con el eje X, se obtienen al resolver la ecuacin cuadrtica f(x) = 0 por los mtodos aprendidos con anterioridad, ya se descomponiendo f(x) en factores lineales f(x) = (x - x1 )(x - x 2 ) = 0 aplicando la frmula de la cuadrtica:Donde las races dependen del signo del discriminante = b2 4acLa parbola y = f(x) tiene como eje de simetra una recta paralela al eje Y que pasa por el vrtice de la parbola. La ecuacin del eje de simetra es la semisuma de las races x1 y x2 de la cuadrtica, que al efectuar los clculos resulta x = (x1 + x2)/2 = - b/2a. Las coordenadas del vrtice V (- b/2a, f (- b/2a)) resultarn un punto mnimo si a > 0 mximo si a < 0.Observe que cuando los valores de f(x) = 0 la parbola corta al Eje X, en cambio cuando f(x) > 0 corresponde a la parte de la parbola que est por arriba del Eje X y si f(x) < 0 corresponde a la parte de la parbola que est por bajo del Eje X.Completacin de Cuadrados:Otra forma normal de la funcin cuadrtica es f(x) = a(x - h)5 + k, que se obtiene completando el cuadrado. Esta forma da la informacin inmediata del vrtice V (h, k) y el eje de simetra x = h. Para trazar una parbola son suficientes tres puntos, un punto puede ser el vrtice V y con otros dos puntos ms bastan para esquematizar su grfica.La forma estndar o normal de la parbola y = a(x - h)5 + k, se ejemplifica as:3.4. Funcin Raz Cuadrada.Las grficas de las cnicas estudiadas como la circunferencia no es funcin pero la parbola (con eje de simetra paralelo al Eje Y) si corresponde a una funcin; sin embargo sus respectivas inversas no son funciones. Si en la relacin inversa de la circunferencia o de la parbola, se despeja la "y", sta aparecer como una raz cuadrada precedida de doble signo y su grfica la formarn dos ramas: la positiva que est arriba del Eje X y la negativa que est abajo del eje X. De esta manera cada rama si corresponde a una funcin: generndose as algunas funciones irracionales, las que ejemplificamos a continuacin:Qu dos funciones algebraicas irracionales se obtienen a partir de y5 = - x? Cules son el dominio y el rango de cada una de las funciones irracionales anteriores? Esto y ms ser el objetivo de este tema.Una funcin irracional o con radical tiene como ecuacin o frmula normal, la raz n-sima de una expresin algebraica racional en general, o algebraica polinmica en especial, as: Ejem.13.5. Funcin Polinmica. La forma normal o cannica de una funcin algebraica polinmica de grado n es la expresin de un polinomio de grado n:f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0, si an 0El dominio de una funcin polinmica es el conjunto y su grfica es una curva continua con a lo ms n - 1 "vueltas", para polinomios de grado n, segn las siguientes ilustraciones:3.6. Funcin racional.Una funcin algebraica racional tiene como ecuacin o frmula el cociente de dos polinomios: Donde an y bm no son ceros, tiene:3.7. Funciones seccionadas. Para cada seccin o parte del dominio se da una determinada funcin. En esta clase de funciones se incluyen las definidas con valor absoluto.Ejemplo 2. Para graficar y =|f(x)|, una forma conveniente es trazar y = f(x) y luego, por simetra con el eje X, trasladar la parte de la parbola que est debajo del eje X hacia arriba del mismo Eje X.3.8. Funcin signo. 3.9. Funcin valor absoluto. Es aquella funcin con dominio R y cuya regla de correspondencia es:X, si X 0f(x) = X=-X, si X < 0Los elementos del conjunto f son pares ordenados de la forma {(x, x)/xR} y su grfica es la unin de dos partes de rectas cuyos putos son simtricos respecto del eje Y.y0 (y = x, si x 0 y = - x, si x < 0)Dom(f) = R y el Ran(f) = [0,+> 3.10. Funcin Mximo entero. Es la funcin con dominio R, cuya regla de correspondencia est dada por:f(x) = donde el es el mximo entero no mayor que x, es decir, si = n = ms {n Z/ n x}Por teorema tenemos que: si = n n x < n + 1, n Z, entonces el dominio de la funcin mximo entero, es la unin de intervalos de la forma [n, n+1>, n Z, esto es:Dom(f) = R Y como f(x) = n Ran (f) = Z Ejemplo: Otra funcin importante que es constante en el intervalo entre dos enteros consecutivos, es la llamada funcin "mayor entero" o "parte entera" o escalonada, denotada por f(x) =[x ] y definida como n, [x ] = n, donde n x < n + 1, para todo n 0 Z, x .4. Algebra de funciones:Si dos funciones f y g estn definidas para todos los nmeros reales, entonces es posible hacer operaciones numricas reales como la suma, resta, multiplicacin y divisin (cociente) con f(x) y g(x).Definicin:Lasuma,resta,multiplicacinycocientedelasfuncionesfyg sonlasfuncionesdefinidaspor:Cada funcin est en la interseccin de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la funcin cociente.5. Composicin de funciones. La composicin es una operacin entre funciones que se establece de la siguiente manera: Dadas dos funciones f y g, se define como la composicin de la funcin f con la funcin g, a la funcin denotada fog (lase f composicin g), cuya regla de correspondencia es:Donde su dominio est representado por el conjunto.Para obtener la regla de correspondencia de la funcin f o g, segn la definicin anterior, basta con sustituir la funcin g en la variable independiente de la funcin f.As por ejemplo, sean las funciones f (x)=4x2 1 y g (x) = x, entonces, la regla de la funcin f o g se obtiene mediante la siguiente sustitucin.Para entender mejor cmo se obtiene el dominio y el recorrido de la composicin, recurramos a la notacin funcional, pues la definicin se expresa en estos trminos.Notacin Funcional.- Es una simbologa que sirve para representar sucintamente una funcin, se expresa de la siguiente manera.y=w(x)Dnde: W Representa la regla de correspondencia de la funcin. X Indica el dominio de la funcin w, o bien, a la variable independiente. w(x) Representa al recorrido de la funcin w, indica los valores de la variable dependiente.Entonces, en estos trminos, el significado def [ g(x) ]Es que el dominio de la funcin resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la funcin g, y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la funcin f.De lo anterior, es importante tener presente que la condicin para que se pueda efectuar esta operacin es el cumplimiento de:Rg Df A partir de la condicin anterior, indicar si es posible o no obtener la composicin entre las funciones que se indican:Para visualizar mejor cmo se obtiene el dominio y el recorrido de la funcin composicin f o g , recurramos a su representacin en un diagrama de Venn.Podemos ver que el D f o g (dominio de f o g) lo formarn aquellos elementos del D g para los cuales, al sustituirlos en la funcin g, el resultado pertenece al conjunto Rg Df .Para obtener el R f o g (recorrido de f o g), analizamos los valores que obtenemos de la funcin f, cuando la valuamos en todos los elementos del conjunto Rg Df.Ejemplo.- Si f (x) = 1 +x y g(x) = x2 1, obtener la funcin f o g, y trazar su grfica.Si hacemos la representacin correspondiente en un diagrama de Venn.Si adems trazamos las grficas de las funciones involucradas:El D f o g lo formarn aquellos elementos del Dg tales que al evaluarlos en la funcin g, se encuentren en el conjunto [ 1, ). Podemos darnos cuenta que ese conjunto es IR.El R f o g estar formado por aquellos valores que se obtienen de sustituir en la funcin f, los elementos del conjunto [ 1, ). El resultado de esta sustitucin es el conjunto ( ,0].Al obtener la regla de correspondencia de la funcin f o g queda:De lo analizado antes, concluimos que la regla de correspondencia de la funcin f o g no puede ser x, sino x2 cuya grfica ser.Sea: Rg Df = ( , 0 ]El dominio de f o g lo formarn aquellos elementos del dominio de g tal que al sustituirlos en ella, se obtienen ( , 0 ]; vemos que esos elementos son ( , 1] [1,).El recorrido de f o g estar formado por todos los valores que se obtienen al sustituir cada elemento del conjunto ( , 0 ] en la funcin f ; el resultado que se obtiene es [ 0 , ).La regla de correspondencia de la funcin f o g est dada porEjemplo.- Para las funciones del ejercicio anterior obtener g o f, as como trazar su grfica.Como se pude observar la operacin composicin no cumple la conmutatividadSalvo casos particulares. Funciones Algebraicas 23