REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN

VALOR ABSOLUTO

JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Una función definida a trozos es, como su propio nombre indica, una función que se forma a partir de “trozos” o partes de otras funciones.Para definirla tendremos que determinar qué funciones intervienen y qué trozos de ellas nos interesan.

Veamos un ejemplo

2

3 2( ) 1 2 3

4 3

si xf x x si x

x si x

≤−⎧⎪= − − < <⎨⎪ − ≥⎩

Vamos a trabajar con trozos de tres funciones:

1 3y =2

2 1y x= −

3 4y x= −

Partición del eje OX

Dividimos el eje OX en los trozos indicados:

( ]2 , 2x ≤ − ⇒ −∞ −

( )2 3 2,3x− < < ⇒ −

[ )3 3,x ≥ ⇒ +∞

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

A partir de los ejes de coordenadas obtenemos tres regiones:

El trozo correspondiente a la primera función se construye así:

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

El trozo correspondiente a la segunda función se construye así:

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

El trozo correspondiente a la tercera función se construye así:

Finalmente obtenemos la gráfica completa de la función a trozos:

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las negativas.Analíticamente este tipo de funciones son en realidad funciones definidas a trozos.

Ejemplo 1

3 3( ) 3 ( )

( 3) 3x si x

f x x f xx si x− ≥⎧

= − ⇒ =⎨− − <⎩

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

( ) 3f x x= −

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el

simétrico respecto del eje OX de la parte negativa.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

( ) 3f x x= −

Ejemplo 2

( ]( ) ( )

[ )

2

2 2

2

2 , 1

( ) 2 2 1,2

2 2,

x x si x

f x x x x x si x

x x si x

⎧ − − ∈ −∞ −⎪⎪= − − ⇒ − − − ∈ −⎨⎪ − − ∈ +∞⎪⎩

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

2( ) 2f x x x= − −

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

2( ) 2f x x x= − −

Ejemplo 3

( ) cosf x x=

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

( ) cos ( ) cosf x x f x x= ⇒ =