Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Funciones de varias variables
Funciones escalares de dos variables
Funcion de dos variables
Funciones de dos variablesUna funcion de dos variables F : R2 −→ R es una regla que asigna acada punto (x , y) ∈ R2 un numero real z = F (x , y) ∈ R.
El dominio de F es el subconjunto dom(F ) ⊂ R2 en el cual se puededefinir la funcion.
El rango o imagen de F es el conjunto Im(F ) ⊂ R de valores quetoma z .
x e y se llaman variables independientes, y z es la variabledependiente.
El conjunto Gr(F ) ={(x , y , z) ∈ R3 : z = F (x , y)
}se denomina la
grafica o el grafo de F y es una superficie de R3.
Todo lo anterior se define de igual manera para 3 o mas variables.
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Funciones escalares de dos variables
Funcion de dos variables
Ejemplos:
Si F (x , y) =√
y − x2, entonces:
dom(F )={(x , y) ∈ R2 : y ≥ x2
}.
Im(F ) = {z ∈ R : z ≥ 0}.Si F (x , y) = x2 + y2, entonces:
dom(F ) = R2.
Im(F ) = {z ∈ R : z ≥ 0}.El grafo Gr(F ) es la superficie quese muestra en la figura.
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Funciones de varias variables
Funciones escalares de dos variables
Funcion de dos variables
Funciones de una variable asociadasDada F : R2 −→ R, F (x , y) = z , obtenemos dos familias de funcionesasociadas:
una en la variable y fijando la variable x = c , y 7→ F (c , y),
y otra en la variable x fijando la variable y = d , x 7→ F (x , d).
¡Esta es la idea clave para derivare integrar funciones de varias va-riables!
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Funciones de varias variables
Lımites y continuidad de funciones de dos variables
Lımite y continuidad
Las ideas de ((lımite)) y ((continuidad)) son identicas al caso de unafuncion de una variable:
Definicion (intuitiva) de lımite
Sea F : R2 −→ R y sea (a, b) ∈ R2. Decimos que el lımite de F (x , y),cuando (x , y) tiende a (a, b), es L, si F (x , y) se aproxima a L a medidaque el par (x , y) se acerca a (a, b). Escribiremos
L = lım(x,y)→(a,b)
F (x , y).
Una funcion F : R2 −→ R es continua en (a, b) cuando se satisfacen lastres siguientes condiciones:
1 Existe F (a, b).
2 Existe lım(x,y)→(a,b) F (x , y).
3 F (a, b) = lım(x,y)→(a,b) F (x , y).
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Funciones de varias variables
Lımites y continuidad de funciones de dos variables
Lımite y continuidad
Pero ahora, la situacion es mucho mas compleja, porque, ¿que significaque (((x , y) se acerca a (a, b))) ?
Lımites iterados:
lımy→b
(lımx→a
F (x , y))
y lımx→a
(lımy→b
F (x , y)).
Si el lımite depende de la curva,entonces no existe.
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Las derivadas parciales
Derivadas parciales de 1er orden
Dada una funcion z = F (x , y), llamamos derivada parcial de Frespecto a x a la derivada de la funcion x 7→ F (x , y), es decir,suponemos y constante y derivamos respecto a x .
Se representa como: Fx o∂F
∂x.
Analogamente, llamamos derivada parcial de F respecto a y a laderivada de la funcion y 7→ F (x , y).
Se representa como Fy o∂F
∂y.
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Las derivadas parciales
El plano tangente a una superficie
z − F (a, b) = Fx(a, b)(x − a) + Fy (a, b)(y − b)
Ejemplo:
F (x , y) = x2 + y2
La ecuacion del plano tangente a lasuperficie que determina en el punto(1, 1, 2) viene dada por
z − 2 = Fx(1, 1)(x − 1) + Fy (1, 1)(y − 1).
Esto es:
z = 2x + 2y − 2.
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Las derivadas parciales
El cambio a coordenadas polares
Las coordenadas polares de un punto P = (x , y), son el modulo y elangulo del vector que dicho punto determina.
Luego el cambio a coordenadas polares es:{x = r cos ϕ,y = r senϕ.
Dada una funcion z = F (x , y), su expresion en coordenadas polareses la funcion compuesta F (r cos ϕ, r senϕ).
En muchos casos, los problemas se simplifican cuando se trabaja concoordenadas polares.
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Gradiente y derivada direccional
Gradiente y derivada direccional
GradienteDada una funcion F (x , y), con derivadas parciales Fx y Fy definidas enun punto P = (a, b), el gradiente de F en P es el vector
∇F (P) = gradF (P) = (Fx ,Fy )(a, b).
Derivada direccionalDado un vector ~u, la derivada de F en P en la direccion de ~u es el valor
(D~uF )(P) =⟨∇F (P), ~u
⟩.
El gradiente ∇F es la direccion en la que F crece mas rapidamente.
La derivada direccional nos dice como varıa F en la direccion ~u.
Si ~u es perpendicular al gradiente, entonces, a lo largo de ~u, lafuncion F se mantiene constante.
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Gradiente y derivada direccional
Ejemplos: calculo de gradiente y derivada direccional1 F (x , y) = x3 − xy2, P = (1, 1) y ~u = (2,−3). Entonces
(∇F )(1, 1) = (2,−2) y (D~uF )(P) =⟨(∇F )(P), ~u
⟩= 10.
2 Estimar la variacion de la funcion F (x , y) = xey + y cuando nosmovemos, en lınea recta, desde el punto A = (2, 0) al B = (4, 1),una distancia de 1/
√20 ≈ 0,22 unidades.
En este caso, el vector director de la recta es ~AB = (2, 1), y el
vector ~u con modulo 1/√
20 en la direccion de ~AB viene dado por
~u =1
10(2, 1).
Ası, el gradiente de F en A es
(∇F )(2, 0) = (1, 3),
y la derivada direccional es
(D~uF )(2, 0) =1
2= 0, 5.
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Gradiente y derivada direccional
Derivadas parciales segundasUna derivada parcial segunda (o de orden 2) de una funcion z = F (x , y)es la funcion obtenida al realizar la derivada parcial dos vecesconsecutivas, con respecto a cualquiera de las variables:
∂
∂x
(∂F
∂x
),
∂
∂x
(∂F
∂y
)=
∂
∂y
(∂F
∂x
),
∂
∂y
(∂F
∂y
).
Se representan: Fxx o∂2F
∂x2; Fxy o
∂2F
∂x∂y; Fyy o
∂2F
∂y2.
Ejemplo. Si F (x , y) = y cos(xy), las posibles derivadas segundas son:
Fx = −y2 sen(xy),
Fxx = −y3 cos(xy),
Fy = cos(xy)− xy sen(xy),
Fyy = −2x sen(xy)− x2y cos(xy)l
Fxy = Fyx = −2y sen(xy)− xy2 cos(xy).
Analogamente pueden definirse las derivadas parciales de orden 3 y, engeneral, de orden m, para cualquier m ∈ N.
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Extremos de funciones de dos variables
Extremos relativos de funciones de dos variables
En R, un entorno de un punto es un intervalo.Ejemplo: (−r , r) = entorno de 0.
En R2, un entorno de un punto es un disco (cırculo):
B(P, r) = bola de centro P = (a, b) y radior > 0
={(x , y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < r2
}.
Extremos relativosSea F : A ⊂ R2 −→ R y sea P = (a, b) ∈ A. Si F (a, b) ≥ F (x , y)(respectivamente, F (a, b) ≤ F (x , y)) en un entorno de P –es decir, paratodo punto (x , y) ∈ B(P, r), entonces F alcanza en P un maximorelativo (un mınimo relativo).
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Extremos de funciones de dos variables
Extremos y derivadas parciales
Un punto (a, b) es estacionario si
∇F (a, b) = 0, es decir, Fx(a, b) = 0 y Fy (a, b) = 0.
Sea F (x , y) una funcion con derivadas parciales segundas Fxx , Fxy ,Fyy continuas en un punto estacionario (a, b). Sea
∆ =
∣∣∣∣∣ Fxx(a, b) Fxy (a, b)
Fxy (a, b) Fyy (a, b)
∣∣∣∣∣ = Fxx(a, b)Fyy (a, b)− Fxy (a, b)2.
Condicion para la existencia de extremos
1 Si ∆ > 0 y Fxx(a, b) > 0, =⇒ F tiene un mınimo relativo en (a, b).
2 Si ∆ > 0 y Fxx(a, b) < 0, =⇒ F tiene un maximo relativo en (a, b).
3 Si ∆ < 0, entonces F tiene un punto de silla en (a, b).
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Extremos de funciones de dos variables
Extremos y derivadas parciales
Sea F (x , y) =√
x2 + y2 + 1. Entonces
Fx =x√
x2 + y2 + 1−→ Fx(0, 0) = 0,
Fy =y√
x2 + y2 + 1−→ Fy (0, 0) = 0. -2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
1
1.5
2
2.5
3
-2
-1
0
1
2
Ademas,
Fxx =y2 + 1
(x2 + y2 + 1)3/2, Fxy =
−xy
(x2 + y2 + 1)3/2, Fyy =
x2 + 1
(x2 + y2 + 1)3/2.
Luego Fxx(0, 0) = Fyy (0, 0) = 1, Fxy (0, 0) = 0, y ∆ = 1 > 0.
=⇒ F tiene un mınimo en el (0, 0).