Date post: | 21-Jul-2015 |
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Profa. Carmen Batiz UGHS
FUNCIONES EXPONENCIALES
La forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a ≠ 0,
b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.
GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Si a > 0 y b > 1
y = 2x
y = 4x
y = 7x
La función crece
xaby =
GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Si a > 0 y 0 < b < 1
y = 1/2x
y = 1/4x
y = 1/7x
La función decrece
xaby =
DOMINIO Y CAMPO DE VALORES
Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (2)1/2
PROPIEDADES BÁSICAS DE F(X) = BX B > 0 , B ≠ 1
Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1 Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. El eje x es una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función de f es uno a uno.
OTRAS PROPIEDADES
x
xx
b
a
b
a =
yxx
x
aa
a −=
Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes
1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy
3. (ab)x = axbx
4.
5.
6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí a = b
EJEMPLO
4x3 = 8 22(x3)= 23 se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2
2(x – 3) = 23 Propiedad 6
2x – 6 = 8 eliminación de paréntesis y exponentes
2x = 14 P. suma de igualdad
x = 7 P. multiplicación de la igualdad
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
La forma standard es: logby = x, si y = bx
Y se lee:
log de b y como “log base b de y”
EJEMPLO:25 = 52
y = bx función exponencial
x = log by función logarítmica2 = log 525 función logarítmica
ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.
• ½ 3 = 1/8
• 32 = 9
ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.
• ½ 3 = 1/8
• 32 = 9
Log ½ 1/8 = 3
Log 3 9 = 2
ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL
• log264 = 6
• log 61296 = 4
ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL
• log264 = 6
• log 61296 = 4
26 = 64
64= 1296
Ejercicios de práctica 7. 3Examples ExercisesMixed Exercises
EVALÚA LOG 816
Sea x = log 816 entonces:
8x = 16(23)x = 24
23x = 24
3x = 4
3 3
3x = 4
x = 4
3
Por lo tanto log 816 =4/3
EVALÚA LOG 5125
EVALÚA LOG 5125
Sea x = log 5125 entonces:
5x = 125 5x = 53
x = 3
Por lo tanto log 5125 =3
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:
7.3 Examples ExercisesMixed Exercises
PARA TODO NÚMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE:
1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos
2. logbM = logb M - logbN N
Propiedad de cocientes
1 b b,y NM, =
CONTINUACIÓN...
3. logbMk = k logb M
Propiedad de potencia
EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.
• log3 20 – log 3 4
• 3log2 x + log 2 y
3. log 8 – 2 log 2+ log 3
EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. • log3 20 – log 3 4
log 3 20 4log 3 5
EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.
• 3log2 x + log 2 y
log 2 x3y
log (8 ) 3 22log 6
EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3
log (8 ) 3 22
log 6
EXPANDE CADA LOGARÍTMO
• log 5 x y
• log 3r4
EXPANDE CADA LOGARÍTMO
• log 5 x y
• log 3r4
log 5 x – log5 y
log 3 + 4log r
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:
7.4 Examples ExercisesMixed Exercises
RESUELVE 4 + X3/2 = 31
4 + x3/2 = 31
x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27
x = 2723
x = ( )33 23 x = 9
323/2
23
7=
x
RESUELVE 3Y4/3=768
RESUELVE 3Y4/3=768
3y4/3=768
y = 64
y4/3=768 3
y4/3=256
y =2563/4
y = 25634
y = ( )28 34
y = 26
RESUELVE 73X = 20
RESUELVE 73X = 20
73x = 20log 73x = log 20
3xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7
Utilizando la calculadora x = 0.513
RESUELVE LOG (3X + 1) = 5
RESUELVE LOG (3X + 1) = 5
log (3x + 1) = 5
3x + 1 = 105
3x + 1 = 100,000
3x = 99,999x = 33,333
RESUELVE 2LOG X LOG 3 = 2
RESUELVE 2LOG X LOG 3 = 2
2log x- log 3 = 2
log x 2 = 2 3
x 2 = 102
3x 2 = 1003
x2 = 300
x = 300
x = ±10 3
EJERCICIOS
7.5
Examples Exercises
Mixed Exercises