Date post: | 23-Jun-2015 |
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Funciones exponenciales y logarítmicas.
Función exponencial: f(x) = 2
x
Función logarítmica: g(y) = 2
y
Problema contextualizado. Una pelota de goma se deja caer
desde una altura de 10 metros. Cada vez que rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son necesarios para que esté a 2 metros del suelo? 1
¿Qué hacer para entenderlo? ¿Cómo saber cual es la base
constante para poder definir la ecuación ? Hagámoslo, paso a paso.
Estará de acuerdo que si pierde el 10% de altura en cada rebote la pelota, ésta alcanzará una altura efectiva de sólo el 90%, entonces; en el primer rebote tendremos que la pelota alcanza una altura de:
(10 m)(90%) = (10 m)(0.9) = 9.0 metros en el primer rebote.
¿Qué pasa en el segundo rebote? Considerando que la pelota ahora
cae al piso desde la altura que alcanzó en el primer rebote, 9.0 metros y que sólo subirá nuevamente una altura efectiva del 90%, tendremos:
(9.0 m)(0.9) = 8.10 m Ésta será la altura que alcance
después del segundo rebote.
¿Y los siguientes rebotes?
Número de rebot
e
Altura
inicial
(m)
Base o porcentaj
e constant
e
Operación Altura
final (m)
1 10 90% = (0.90)
(10)(0.90) = 9.0 9.0
2 9.0 (9.o)(0.90) = 8.10
8.10
3 8.10 (8.10)(0.90) = 7.29
7.29
4 7.29 (7.29)(0.90) = 6.561
6.561
2.287
15 2.287 (2.287)(0.90) = 2.058
2.058
16 2.058 (2.058)(0.90) = 1.853
1.853
Interrelación entre las funciones exponenciales y logarítmicas. y = log b x si y sólo si x =
b y 2
Donde b = base o constante La ecuación logarítmica se interpreta; “y” es el logaritmo de un número “x”
en base “b”
Del lenguaje común al leguaje matemático. Observamos que la base o constante es el
porcentaje del 90% = 0.90; entonces b = 0.90
Otro dato que conocemos en este momento, es: x debe ser igual a la altura de 2 metros. Por analogía , tenemos:
x = b y 2 = (0.9 y )(10) por qué (10), porque es la altura inicial que
especifica el problema.
El modelo matemático para este problema. Recordando una de las propiedades de
los logaritmos, tenemos Log b N p= p log b N Que se interpreta: “El logaritmo en base
“b” de un número “N” elevado a una potencia o exponente “p”; es igual al exponente “p” que multiplica al logaritmo en base “b” del número “N”.
Entonces 2 = (0.9 y)(10) por la propiedad de los logaritmos se puede expresar:
Solución.
Log b (2 ÷ 10) = y (log b 0.9) por lo tanto
y = log b (0.2) ÷ log b (0.9) y = 15.27553 Observaciones. De nuestra tabla se puede ver que la
altura final de 2. 0 metros está entre el rebote 15 y el 16.
Para comprobar puede utilizar los logaritmos decimales o naturales que traen las calculadoras científicas.
Conclusiones.
Si el valor que consideramos base o constante, en este caso; b = 0.90 lo elevamos al exponente y = 15.27553
Tendremos : (10 m)(0.90) y = 15.27553 = 2.00 metros
Referencias.
1 CONALEP. Guía pedagógica y de Evaluación del módulo Representación simbólica y angular del entorno. Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. México. 2010.
2 R. A. Barnett. Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales. Mc Graw Hill. 2da. Edición. México. 1990.
Gráfica de la primera diapositiva realizada en Graphmatica de kSoft
Trabajo realizado por:
Víctor Manuel Santes Espinosa. 23 de junio de 2011. UPN. ECD. G6