Date post: | 21-Jul-2015 |
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MATEMATICAS
ÁNGEL ABEL ALEGRÍA LÓPEZ
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO
CAMPUS JUCHITAN
LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS DE LA INFORMACION
JUCHITAN DE ZARAGOZA OAXACA
2014
Índice
FUNCIONES Y GRAFICAS ......................................................................................... 3
CONCEPTO DE FUNCION...................................................................................... 3
TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS ........................................................... 3
Función lineal ........................................................................................................ 3
Función cuadrática................................................................................................ 6
Función polinomial de grado superior ................................................................... 9
Función racional ................................................................................................. 13
Función exponencial ........................................................................................... 15
Función logarítmica............................................................................................. 18
PROGRESIONES ..................................................................................................... 21
PROGRESIONES ARITMETICAS ......................................................................... 21
PROGRESIONES GEOMETRICAS ....................................................................... 22
Bibliografía ................................................................................................................ 23
FUNCIONES Y GRAFICAS
En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades
están relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el
área de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del
agua depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer
libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Esto nos conduce al
concepto matemático de función.
CONCEPTO DE FUNCION
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de tal
forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo
uno del conjunto final.
Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y.
F: x → y=f(x)
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder
a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto
B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x).
En símbolos, se expresa f : A→ B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto
B el condominio
TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Función lineal
Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Una función lineal puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR
Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es
decreciente.
También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma
explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor
conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que
f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los
números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Ejemplos:
Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
F(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos
siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy
sencillas:
Función polinomial de grado superior
Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de una función
polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1 x+a0 donde n es un número
real entero no negativo al igual que cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay
a0.
El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o sea, an, es su
coeficiente principal. Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función
de grado 0 y se llama función constante. Si n=1 la función polinomial es de primer
grado y se llama función lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)=
a1x+a0; donde a1 es diferente de cero. Los ceros de una función polinomial
Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que son la solución de la
ecuación f(x)=0. Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta
obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual
P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el coeficiente y por r el
residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r. Teorema del factor Si x=a es una raíz de la
ecuación P(x)=0, donde P(x) es un polinomio entonces x entre a es un factor de P(x)
y recíprocamente, si x-a es un factor de P(x), entonces x=a es una raíz de la
ecuación P(x)= 0. División sintética Dado que el teorema del residuo nos permite
hallar el valor de un polinomio f(x) mediante la división de este entre un binomio,
existe un método más sencillo para efectuar rápidamente dicha operación. Este
procedimiento se conoce como división sintética y este método se justifica cuando se
compara con el de la división usual. Teorema fundamental del algebra Su expresión
algebraica es f(x)= an (x-r1)(x-r2)(x-r3)…(x-rn)=0 Concluimos f(x) de grado n>0 se
puede expresar como el producto de factores lineales. Cabe precisar que las raíces
de f(x)=0 pueden ser reales o complejas y se pueden repetir, como lo hemos
señalado. Una raíz de multiplicidad k se cuenta n veces. La forma factorizada de un
polinomio con coeficientes reales nos permite construir una ecuación si conocemos
sus raíces.
Teorema del valor medio Este teorema es gran utilidad cuando requerimos hallar
raíces reales de la ecuación polinimial f(x)=0. Su enunciado nos dice lo siguiente:
Sea f una función polinomial; si a y b son dos números reales del dominio de f tal que
a < b, y los signos de f(a) y f(b) son opuestos, entonces existe al menos una
intersección con el eje x entre a y b; o sea entre a y b, la función tiene al menos un
cero real. Ceros racionales de un polinomio Como cada entero tiene un número finito
de divisores enteros, entonces este teorema nos permite elaborar una lista finita de
posibles raíces racionales. Por ejemplo, si f(x)= 2x3+3x2-8x+3, entonces los divisores
de an, o sea, de 2, son ±1 y ±2 y los de a0, es decir, de 3, son ±1 y ±3.
Relación entre raíz, factor y divisor de un polinomio. Estos teoremas se relacionan
porque en cada uno de ellos calculamos el resultado del residuo y también podemos
sacar raíz.
Ejemplos:
( )
( )
Función racional
Una función racional h(x) es el cociente de dos funciones f(x) y g(x) se
representa con:
( ) ( )
( )
Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales y g(x) es una función diferente de cero,
es decir g(x) ≠ 0.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales con
excepción de los valores para los cuales: g(x) = 0.
Ejemplos:
Función exponencial
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la
base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas
funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología,
administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y
diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone,
debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función
constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma
f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números
reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 ½ 1 2 4 8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano,
uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena.
Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:
x crece ilimitadamente
x decrece ilimitadamente.
2. La función exponencial de base 1/2
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve
el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +¥ y
cuando x tiene a -¥.
y=f(x)=(1/2)x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8
3. La función exponencial para cualquier valor de b
Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones
exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el
valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1
y valores de comprendidos entre 0<b<1.
La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable
independiente x.
Toma valores positivos para cualquier valor de x.
El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números
reales.
Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son
crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1
son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la
derecha si b<1.
La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
(
)
Función logarítmica
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.
Como la notación f-Se
utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este
tipo de inversas. Si f(x)= bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe log b (x)
para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log b(x) como el
―logaritmo de x con base b‖, y llamamos a la expresión log b(x) un logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la
base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
Log b y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación log b y = x se lee ―el logaritmo de y en la base b es x‖.
Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya
que 52 = 25. Decimos que ―el logaritmo de 25 en la base 5 es 2‖. Simbólicamente
lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es
equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)
2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales
positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que,
log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor
del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.
Ejemplos:
PROGRESIONES
Toda progresión matemática es una sucesión de números o términos
algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos
tipos:
PROGRESIONES ARITMETICAS
Termino general de una progresión aritmética
( )
( )
Interpolación de términos
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
Suma de n términos consecutivos
( )
PROGRESIONES GEOMETRICAS
Término general de la progresión geométrica
Interpolación de términos
√
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de términos equidistantes
Producto de n términos equidistantes
√( )
Bibliografía
@vitutor. (2014). VITUTOR. Recuperado el 6 de 12 de 2014, de [email protected]:
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/p_f.html
cica. (s.f.). thales.cica. Recuperado el 8 de 12 de 2014, de
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
Derive. (s.f.). Manuales Derive. Recuperado el 7 de 12 de 2014, de
http://platea.pntic.mec.es/jarias/investiga/apuntes/1bcn/1bcm108.pdf
Inter. (s.f.). Inter.edu. Recuperado el 7 de 12 de 2014, de
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/logaw.htm
Tenenbaum, P. S. (27 de 10 de 2010). edu.uy. Recuperado el 8 de 12 de 2014, de
http://www.x.edu.uy/lineal.htm