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8/17/2019 Fundamentos Mecanica Cuantica
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PROBLEMAS DE DEMOSTRACIONES
2.10 Verificación de la Ecuación de Schrödinger es lineal en la función de onda
t,x
212211 c..y..c;t,xct,xct,x Constantes de valor arbitrario
0t
ihVxm2
h2
22
Probando la combinación lineal
0tc
tcihccV
xc
xc
m2h 221122112
2
2
221
2
1
2
De otra forma
0t
ihVxm2
hc
tihV
xm2
hc 222
2
22
21
12
1
22
1
0t
ihVxm2
hc 112
1
22
1
todo valor de 21 c....y...c
0t
ihVxm2
hc 222
2
22
2
2.11 La función de onda , x t para el estado de energía más bajo de unoscilador armónico simple, que consiste de una partícula de masa “m” actuadapor una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza C, se puedeexpresar como:
2/ 2 / 2 /
, Cm h x i C m t
x t Ae e
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2
,2
x t x
CxV V
La fuerza correspondiente es una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza
C.
xdV
F Cxdx
La ecuación de Schrödinger para este potencial es:
2 22
22 2
C x i
m x t
Primero se desarrollan sus derivadas:
2
2
22
2 2
_________ 2
22 2
2
i C y
t m
Cm Cm x x
x
Cm Cm Cm x x
x
Cm Cm x
x
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dan.
2 22 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
h Cm Cm C i C x x i
m m m
simplificando
C C C C x x
m m
2 2
_ _ _
quedando
C C
m m
Se comprueba la validez
2.12 Demostrar que t,xt,x* es necesariamente real y positivo o cero.
Solución:
t,xiJt,xR t,x
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donde: t,xR parte real
t,xJ parte imaginaria
t,xiIt,xR t,x*
Multiplicando miembro a miembro
22222 JR IiR *
iJR iJR *
Entonces
22 t,xIt,xR t,xt,x* es real, t, y cero
2.13 Evaluar la densidad de probabilidad para la función del estado de menorenergía del oscilador armónico simple.
Solución:
La función de onda es:
tm/c2/iexx2/cmAet,x 22
la densidad de probabilidad es:
tcm2/ixh2cmtm/c2/ih2/cm eAeeAe*P2
2xh/cmAeP
0x
P
un máximo, punto de equilibrio del oscilador
La mecánica cuántica predice que es más probable encontrar a la partícula en un
dx localizado en el punto de equilibrio.
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2.14 Evaluar las predicciones de la mecánica clásica para la densidad de
probabilidad del oscilador armónico simple del ejercicio 4) y compararlas con
las predicciones de la mecánica quántica que se encontraron en ese ejercicio.
Solución: En la mecánica clásica se tiene
2 B P
v Siendo P = impulso definido y v=velocidad definida
Donde2 B es alguna constante
Considerando la energía
2 2
2 2
mv Cx E K V
C es la constante de Fuerza E, K, V = energías total, cinética y potencial
Entonces se tiene que:
2
CxE
2
mv 22 o
2
CxE
m
2v
2
2
CxE
m
2
BP
2
2
En x=0 se tiene un mínimo y cuando empieza a crecer la energía potencial es igual a su
energía total
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2
2
Cx E
C
E2x
La densidad de probabilidad cae bruscamente a cero fuera de los limites del movimiento de la
partícula
2
2 /
22 /1
2 / / 2
E C
E C
B dx Pdx
m E Cx
Y2 B se puede determinar imponiendo el requisito de que la probabilidad total de encontrar a
la partícula en algún lugar debe ser igual a uno.
2.15 Evaluación de la densidad de probabilidad del oscilador armónico simple.
Solución: Nota:
v
BP
2
P = impulso definido
considerando la energía v = velocidad definida
2
cx
2
mvvK E
22
x = desplazamiento
Energía potencial en términos de x y C E, K, V = energías totales
2
CxE
2
mv 22 c = Ctte. de fuerza del oscilador
2
CxE
m
2v
2
2
Cx
Em
2
BP
2
2
0x
P
; P tiene su mínimo en el punto de equilibrio
K ET Energía potencia
2
CxE
2
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C
E2x
N/E2
1
2/CxE
dx
m/2
BPdx
2
2
N/E2
2.16 Normalización de la función de onda t,x
Solución:
1dxe22xh/cm
Adx*Pdx
Función por
0
dxxh/cm2xh/cm2 22 eA2dxeA Nota:
1 Función por.- Estado es su valor para
cierta x es igual a su valor para x
Según tablas
0 4/1
2/1
xh/cm
cm2
hdxe
2
4/1
8/1
h
cmA
tm/c2/ixh2/cm
4/1
8/1
eeh
cmt,x
2
1dx*Pdx existe la partícula
2.17 Estas integrales dan la posibilidad total de encontrar a la partícula descrita por
la función de onda en alguna parte. Comprobar que la función es
solución de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico. Relacionar
con la constante de fuerza del oscilador y la masa de la partícula, y calcular la
energía correspondiente a esa solución.
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Solución:
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el osciladorarmónico monodimensional es
Para comprobar que es solución tenemos que sustituir ,para lo que necesitamos la segunda derivada
que será solución si
o lo que es lo mismo, si reordenamos
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8/38
que será nulo para todo valor de si
De la segunda ecuación obtenemos el valor de
y de la primera el valor de la energía correspondiente a dicho estado
2.18 Verificar que la función de onda es una solución de la ecuación de
Schrödinger (-a/2 < x < a/2) y determine el valor de la energía total E
2
/ 2 / 2,
0 / 2 / 2
iE t x
Asen e a x a x t a
x a o x a
Solución: Como no hay fuerza que actúan sobre la partícula se considera a solución
constante que es igual a cero.
2 2
2:
2Si y i
m y t
2 2
22ih
m x t
en 2/2/ a xa
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Si /2 iEt x Asen e
a
Verificamos:
/2 2cos iEt x
A e x a a
2 2
/2 2 2 *iEt x
Asen e x a a a
/2 *iEt iE x iE
Asen e x a
Substituimos en la ecuación de Schrödinger
a)2 2
2 *2
E dt i im a h dt
/Verificado
2 2
2
2* E
ma
b)2 2
2
2 E
ma
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
2.19 (a) Determinar la frecuencia ν de la parte dependiente del tiempo de la funciónde ondapara el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple.
(b) Utilice este valor de ν y la relación de De Broglie-Einstein E = hν para evaluar la energía total E del oscilador.
(c) Utilice este valor de E para demostrar que los límites del movimiento clásico delOscilador se pueden escribir como
Solución:
(a) Sea una partícula de masa m ligada en el potencial de oscilador armónico simple
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V(x)= 1 Cx2, donde,2
C es la constante restauradora lineal. Como sabemos, por lotanto, podemos escribir el término dependiente del tiempo como
donde hemos escrito
(b) Como la energía total de la partícula E = hv = (h/4 ) mC / , se tendra
(c) En el caso clásico, la conservación de la energía nos dice quec
Como E = (1/2) Cx2max, min, los puntos en los que la energia potencial se hace igual ala total son:
x max, min = C E /2 = (Cm) 1/4
2.20 Hallar el valor medio de x 2 y P en el estado h =2 de una partícula en un
pozo de potencial infinito de ancho “a”
v v
dx x x x xdv f f 22 *ˆ*
a
x sen
a x
a
xh sen
a xh
22;
22
dxa
x
sen xadxa
x
sena xa
x
sena x
aa 222222 2
0
22
0
2
a aa
dx dxa
x x x
adx
a
x x
a0 0
2
0
22 4
cos12
cos12
2
xdxd xdxa
x xsen
za
a
x sen
a x
x
a
a a
24
4
4
43
1 2
0 0
23
dxa x
sendv x
4
; dxa
xdv
4cos
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a
xavdxd
4cos
4;
a
x sen
av
4
4
dx
a
xa
a
x xaa
a
x sen x
aa
a
4cos
4
4cos
44
24
43
1 23
a
x sen
a
a
a
x xaa
a
x sen x
aa
a
44
4
4cos
44
24
43
1 23
a
x sen
a
a
x x
a
a
x sen x
aa
a
4
4
24cos
16
24
43
12
22
3
a
a
x
sen
a
a
x
x
a
a
x
sen x
aa
a0
2
22
3 4
4
24
cos8
14
43
1
2
22
2
3
2
23
24
38
8
1
3
1
8
1
3
1
a
a
aaaa
a
dv f f v
ˆ*
)
2222
0 dxa
x
senadx
d
iha
x
sena f
a
aq
a
x senih
adx
a
x
a
x sen
aih
a p
0
2
0
4
2
142cos
222
0112
4cos
2
4cos
4
2
0
2 a
ih
a
x
a
ih
a
xa
aih p
a
2.21 Hallar el valor medio de x y p 2 en el estado fundamental de un oscilador
armónico lineal simple.
0h 22
122 xa
u ea
x
d ea
x22
1
xdxad
xa
2
22
2
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1
2
2
1
2
122
e
a
ad e
a
a
0
2
1
2
1 22
ee
ae
a x xa
dxea
dx
d h
a p
xae
xa
22
1
2
22
2
1
2
222
22
222
2
1
22
1
2 122
xaeaa
ha
p xa
dxe xadxeha xa xa 2222 22
3
22 222 x x e xadxeha
3
53
3
53
3
223
222
1
a
ha
a
hahahaah
a
mhwh
mwh
hahahahaha
2
1
2
1
22
2
2
222222222
22
2.22 Calcular los valores esperados para la energía cinética y la energía
potencial para una partícula en su estado más bajo de energía de un oscilador
armónico simple.
pdf f f ˆ*ˆ
dxea
dx
d he
a p
xa xa
22
1
2
222
1
2
2222
dx xaehaa xa
2222 122
Nota.-
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Estado más bajo = n = 0
22
1
0
22 xa
ea
x
dxe xadxehaa x x 22 2222
3
22
ha
a
2222
3
222
2
1
2
1haha
aa
aha
a
222222
2
1
2
2ha
haha
mhwh
mwh px
2
1
2
1 22
hwmhwm
E C 4
1
2
1
2
1
222
1
2
1 xk Epkx Ep
dxe xa
dxea
xea
x xa xa xa
22
2222
222
1
222
1
2
mw
h
aa
aa x
2
1
2
1
2
1
2
1233
2
mw
hmw
mw
h
mw
kh
mw
hk Ep
24
1
4
1
22
1 2
hw Ep4
1
2.23 Calcular los valores esperados para la energía cinética y la energía
potencial para una partícula en su estado más bajo de energía de un oscilador
armónico simple.
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*
ˆ ˆ, ,ˆ
r t r t V f f dV
2 2 2 2
2 2
2
2
2 22
2
2 2
2 22
2 2 2
ˆ ˆ
_
ˆ2
2
1
a x a x
a x
f p
f p
y ademas
d p
m dx
reemplazando
a d a p e e
m dx
a p e a x dx
Con el estado más bajo n = 0
2 2
2ˆ,
a x
r t
ae
2 2
2 2 21a xa
e a x dx
2 2 2 22 2 2a x a xa e dx a x e dx
32
2 6
aa
a a
3 2
32
a a
a a
32 21
2
aa a
a a
21
2 p a
2 mwa
Reemplazando a
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1 1
2 2
mw p mw
1 1 1
2 2 4C
E mw wm
222
1
2
1 xk Epkx Ep
2 22 2 a xa x x e dx
2
3 3 2
2
2
2
1 1 1
2 2 2
1
2
1 1
2 2 4
1
4
1
4
a a x
a a a
mwa
xmw
k Ep k
mw mw
Ep mwmw
Ep w
2.24 Calcular la probabilidad de que la partícula asociada con la función de
onda pueda ser encontrada en una medida dentro de una distancia de a/3.
Solución: Datos: hiEt ea
x At x /cos,
Donde2
Aa
Si * 1 Pdx dx
/ /2 2cos cosiEt iEt x x
P e e dxa a a a
dxa
x
a P dx
a
x P
a
a
a
a
cos1
2
12cos
2/
3/
2/
3/
2
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dxa
x
adx
a P
a
a
a
a
2/
2/
2/
2/
2cos
11
2/
2/
2/
2/
2
2
11 a
a
a
a a
x sen
a
a x
a P
32
2
2
1
22
1 aa
a sen
aa
a P
6
232
2
1
6
231 aa
a sen
aa
a P
1 1 2
6 2 6
0.304
P sen
P
Evaluamos para x2
2 2* x x dx
/ 2
2 / 2 /
/ 2
2 2a
iEt iEt
a
x x x Asen e x Asen e dx
a a
dx xa
x Adx x
a
x sen A x
a
a
a
a
2
2/
2/
22
2/
2/
222 4cos12
12
dxa
x xdx x
A x
4cos
2
222
2
Por integración por partes
2 x dxa
xdv
4cos
xdxd 2 a
x sen
av
4
4
dxa
x xsen
a
a
x sen
a x x
A x
4
4
24
43
1
2
232
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17/38
x dxa
x sendv
4
dxd a
xav
4cos
4
dxa
xa
a
x xaa
a
x sen
a x x
A x
4cos
4
4cos
44
24
43
1
2
23
22
4
324cos4
43
1
2 3
3
2
333
22 sen
a x
d
a x sen
aa
A x
2
32322
24
38
2
aa A x
2
2322
24
38
2
a A x
a A
2
2
222
24
38
a x
2.25 Calcular el valor de expectación de p
/2, __ __ 2 2iEt x a a x t Asen e en x
a
Solución:
* __ __ *d
p p dx entonces p dxdx
/ /2 2iEt iEt x d x p Asen e i Asen e dx
a dx a
/ /2 2 2
cosiEt iEt x x x
p Asen e i A ea a a
2 2 1 2 2 2 2
2
x x x x p i A sen sen dx
a a a a a
/ 2
2
/ 2
2 1 4
2
a
a
x p i A sen dx
a a
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2.26 Normalizar la función de onda, que ajustando el valor de la constante
multiplicativa A la probabilidad sea igual a 1.
Solución: /2
: , iEt x
Si x t Asen e
a
2/2/ a xa
a) * Pdx dx
Entonces para normalizar
/ /2
2iEt iEt x
Pdx Asen e Asen xe dxa
2 2 2 x A sen dxa
Si 2 2 2 1 4
cos2
x x A sen dx A
a a
entonces
2 4cos 4 cos
2
A x x dx
a
2/
2/
2 4
42
a
aa
x sen
a x
A
122
22
a A
a A
2 A
a
2.27 Calcular el valor de la expectación de x y el valor de expectación x2 para
la partícula asociada con la función de onda.
Solución: /2: , iEt xSi x t Asen ea
2/2/ a xa
.Evaluamos para x
* x dx
/ 2
/ /
/ 2
2 2a
iEt iEt
a
x x x Asen e x Asen e dx
a a
dx x
a
x Adx x
a
x sen A x
a
a
a
a
2/
2/
2
2/
2/
22 4cos1
2
12
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19/38
2/
2/
2/
2/
2 4cos
2
a
a
a
a
dxa
x x xdx
A x
Integrando por partes
x dxa
xdv
4cos
dxd a
x sen
av
4
4
221 4 4
2 2 4 4
A a x a x x x x sen sen dx
a a
a
xa
a
x sen
ax x
A x
4cos
4
4
42
1
2 2
22
2
2
22222
2
16
8
2162
1
2
aa A x
aa
A x
Luego
2 cos44
a p i A
a
2
4
i A p Sia
A 2
Queda
2
i p
a
2.28 Con2
2 2 8 3
24 x a
y
2 22
2
4 p
a
calcular los productos de las
incertidumbres en posición e impulso, luego comprobar con la
incertidumbre del producto 0.57 x p
Solución:
Entonces el producto de las incertidumbres será:
22 p x D x
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20/38
22 2 2 2
2
8 30,32
24 x a x a
2 20,32 x a 2 0,566 x a
Luego:2 2
2
2
4 p
a
2 22
2
4 p
a
2
2 p
a
2 2 2
0,5660 x p x pa
3,56 x p
Donde se puede apreciar que cumplen con la condición de incertidumbre donde
/ 2 x p . También se observa que varía, esto es debido a nuestra función de
onda que es una función seno y de ángulo doble.
a senh
a
a
a
a senh
aasenh
a
P E
kt
z p
cosh41
0
2
2
aaCotgh P p
10
J aCotg nP p 0
2.29 Derive respecto al tiempo el valor esperado del momento, que se da la
ecuación de Schrödinger para encontrar la ecuación cuántica
correspondiente a la 2da ley de Newton.
Solución: Derivando la ecuación.
*dPx d d
dxdt i dt dx
*d d d
dx dxi dt dx i dxdt
2
*
*
d i d i
vdt zm dx
8/17/2019 Fundamentos Mecanica Cuantica
21/38
2 2 2
2 2
** * *
2
dPx d d d d d dx v v dx
dt m dx dx dx dx dx
2 2
2
** *
2
dpx d d d d dvdx dx
dt m dx dx dx dx dx
2 2
2
** *
2
d d d dvdx
m dx dx dx dx
lim , 0 x t
dPx dv F
dt dx
2.30 Calcule el valor esperado de la energía cinética de una partícula que se
encuentra dentro de una caja de longitud L, y cuya función de onda es:
2
n
x x i sen
L L
Solución: Sabemos que la energía cinética se puede expresar en la forma.
m
Pxk 2
2
Y su operador es:
d Px
i dx
2 2
2 2
2
d d Px
i dx dx
2
2
0
*
Ld
K dxdx
Sustituyendo valores
2
0
2
2
L x
K i senm L L
2
2
2d xi sen dxdx L L
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22/38
2 22
3
0
L x
K sen dxmL L
2 2
2 0
1 2
2 4
L x
senmL L L
2 2
2
3 3
2
2
1
2
K mL
K mL
2.31 Hallar el valor medio de x2 y p en el estado n=2 y una partícula de un pozo
de potencial infinito de ancho “a”.
Solución:
2
2
2 * 2
, ,
,
*
,
2 2
2 2
x t x t
iE t
x t
iE t
x t
x x dx
x sen e
a a
x sen e
a a
2
0
2 2 2 2a
n
x x x sen x sen dx
a a a a
2 2
0
2 2a
x x x sen dx
a a
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0
2 2 2 2a
x d x p sen i sen dx
a a dx a a
0
2 2 2 2 2cos
a x x
sen i dxa a a a a
2
0 0
2 2 2 2 4 2 2cos cos
a a x x x x
i sen dx i sen dxa a a a a a a
2
2
0
4 1 2
4
a
xi sen
a a
2 2
2 2
0
2 20
0
ai x i a
sen sena a a a
p
2.32 MQ: Pozo de Potencial Impenetrable 1D
Sea una partícula de masa m dentro de un pozo impenetrable 1D de longitud L:
Encuentre el valor esperado de la posición de la partícula.
I) La Ecuación de Schrödinger para arroja la autofunción- La Ecuación de Schrödinger dentro del pozo (V = 0) es:
- Solución:
II) Condiciones de Borde:
Por lo tanto:
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- Observemos que la mínima energía de la partícula no puede ser cero, sino:
III) Autofunción
- Por ahora:
- ¿Cuánto vale A? ---> Condición de normalización:
- Finalmente:
IV) Valoesperado de la posición:
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25/38
2.33 BARRERA DE POTENCIAL E>Vo
V(x)
Vo
(I) (II) (III)
0 a
Solucion:
Condiciones:
1) I (x=0) = II (x=0)
2) ’I (x=0) = ’II (x=0)3) II (x=a) = III (x=a)
4) ’II (x=a) = ’III (x=a)
5) III (x=- ) = 0
Region I
I (x) = A ei x
+ B e-i x
........................................... E m2
2 2
Region II
II (x) = C ei x
+ D e-i x
........................................... )(2
2
2 Vo E m
Region III
III (x) = F ei x
+ G e-i x
........................................... E m2
2 2
De la condición 5 tenemos que:
Si III (x=- ) = 0 G =0 III (x) = F ei x
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’I (x) = i k A ei x
- i k B e-i x
’II (x) = i C ei x
- i D e-i x
’III (x) = i k F ei x
De la condición 1 tenemos:
A + B = C + D
De la condición 2 tenemos:
i k A - i k B e = i C - i D
De la condicion 3 tenemos:
C ei a
+ D e-i a
= F e
i a
De la condicion 4 tenemos:
i C ei a
- i D e -i a
= i k F e
i a
TENEMOS:
A + B = C + D 1
A – B =
(C- D) 2
C ei a
+ D e-i a
= F e
i a 3
-
(C e
i a - D e
-i a ) = - F e
i a 4
Sumando 1 y 2
2A = C 1 +
+ D 1 -
H H*
2A = C H + D H*
5
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Sumando 3 y 4
C ei a
1 -
+ D e
-i a 1 +
= 0 C e
i a H
*+ D e
-i aH =0
C = - DH e-i a
6
H*
ei a
DE 5 y 6 tenemos
2A = - DH e -2i a H + DH* = DH*2 - DH2 e -2i a D = 2A H* 7
H*
H*
H*2
- H2 e
-2i a
H2 = 1 +
2
= 1 +
2 +
2
2
H
2= 1 +
2 +
2
2
H*2
= 1 -
2
= 1 -
2 +
2
2
H
*2= 1 -
2 +
2
2
Entonces:
H*2
- H2 e -2i a = e -i
ae
i a H
*2- e -i
a H2 = e -i
a( 1+
2
2
) (e
i a- e -i a) -
2( e
i a- e -i a)
H*2
- H2 e -2i a = e -i
a 2i
2
2
2
sen a -
2 2 cos a
H*2 - H2 e -2i a = 22
e -i a ( 22 ) i sen a - 2 cos a
Finalmente:
2A
2
2
e
-i a i ( 22 ) sen a - 2 cos a
A ( 22 ) e i a
i ( 22 ) sen a - 2 cos a
D =
D =
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Reescribiendo 6 tenemos:
CH* e
i a
H e-i
a
Reemplazamos en 5
2A = CH - CH* e
i a H
* 2A = CH - CH
*2 e 2i
a = CH2 - CH*2 e 2i
a
H e-i a
H H
2AH = - C e2i a
( H*2
- H2
e-2i a ) 2AH
e2i a
( H*2
- H2
e-2i a )
2A
e2i a
2
2
e
-i a ( 22 ) i sen a - 2 cos a
A ( ) e -i a
i ( 22 ) sen a - 2 cos a
Reemplazando C y D en 3
C ei a
+ D e-i a
= F e
i a- A ( ) e -i
a e
i a+A ( ) ei a e
-
- A ( ) e -i a e
i a+A ( ) ei a e
-i a = F ei a
i ( 22 ) sen a - 2 cos a
e-i a
A ( )
i ( 22 ) sen a - 2 cos a
-2 A e-i a
i ( 22 ) sen a - 2 cos a
F 2
-2 e -i a - 2 e i a
A 2 {i ( 22 ) sen a - 2 cos a}{-i ( 22 ) sen a - 2 cos a}
C = -
C = -
C = -
F =
F =
T = =
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4 22 ; sen 2 a + cos 2 a = 1
4 22 cos 2 a +( 22 ) 2 sen 2 a cos 2 a = 1 - sen 2 a
4 22 4 22
4 22 (1 - sen 2 a) +( 22 ) 2 sen 2 a 4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a
4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a - 4 22
4 22 +( 22 ) 2 sen 2 a
( 22 ) 2 sen 2 ( a)
4 22 + ( 22 ) 2 sen 2 ( a)
1 + sen 2 a 1
4 22
( 22 ) 2
1 + sen 2 a 1
4Vo
E Vo
E - 1
T =
T == Sol.¡¡¡
R = 1 – T =
R =Sol.¡¡¡
T =
T = Sol.¡¡¡
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2.34 BARRERA DE POTENCIAL E < Vo
V(x)
Vo
(I) (II) (III)
0 a
Solucion:
Condiciones:
1) I (x=0) = II (x=0)
2) ’I (x=0) = ’II (x=0)
3) II (x=a) = III (x=a)
4) ’II (x=a) = ’III (x=a)
5) III (x=- ) = 0
Region I
I (x) = A ei x
+ B e-i x
........................................... E m2
2 2
Region II
II (x) = C e x
+ D e- x
........................................... )(2
2
2 E Vom
Region III
III (x) = F ei x
+ G e-i x
........................................... E m2
2 2
De la condición 5 tenemos que:
Si III (x=- ) = 0 G =0 III (x) = F ei x
’I (x) = i k A ei x
- i k B e-i x
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’II (x) = C e x
- D e- x
’III (x) = i k F ei x
De la condición 1 tenemos:
A + B = C + D
De la condición 2 tenemos:
i k A - i k B e = C - D
De la condicion 3 tenemos:
C e a
+ D e- a
= F e
i a
De la condicion 4 tenemos:
C e a
- D e- a
= i k F e
i a
TENEMOS:
A + B = C + D 1
A – B = i (C- D) 2
C e a
+ D e- a
= F e
i a 3
i (C e
a - D e
- a ) = - F e
i a 4
Sumando 1 y 2
2A = C 1 -
i + D 1 +
i
H*
H
2A = C H*
+ D H 5
Sumando 3 y 4
C e
a
1 +
i
+ D e
- a
1 -
i
= 0 C e
a
H + D e
- a
H
*
=0
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C = - DH*
e- a
6
H ei a
DE 5 y 6 tenemos
2A = - DH*e
-2 aH
* + DH
= DH
2- DH
*2e
-2 aD = 2A H 7
H
H*
H2
- H*2
e-2 a
H2 = 1 + i
2 = 1 + 2i
-
2
2 H2 = 1 + 2i
-
2
2
H*2
= 1 - i
2
= 1 -2i
-
2
2
H
*2= 1 -
2i
-
2
2
Entonces:
H2 - H
*2 e -2
a = e -
ae
a H
2- e -
a H
*2 = e
- a( 1 -
2
2
) (e
a- e - a) +
2i
( e a + e - a)
H2 - H
*2 e -2
a = e -
a 1 -
2
2
2 sen h a + 4 i
cos h a
H2 - H
*2 e -2
a = 2e -
a ( 2 2 )sen h a +2i cos h a
2
Finalmente:
2Ai
2 e - a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
2
A ( i ) e a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
D =
D =
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33/38
Podemos Reexpresar D como : (Barrera De Potencial E < Vo)
De 6 tenemos:
CH e
a
CH e
2 a
H* e
- aH
*
Reemplazamos en 5
2A = CH*+ - CH e 2
a H
= CH
*2 - CH
2 e 2
a = - C e 2
a(H2 - H*2 e -2
a)
H*
H* H
*
2A H*
e2 a
(H2 - H*2 e -2 a)
2Ai
e2 a
2 e- a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
2
A ( i ) e - a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
Reemplazando C y D en 3
C e a
+ D e- a
= F e
i a- A ( ) e -i
a e
i a+A ( ) ei a e
-
ei a
- A ( i ) e - a e
a+A ( i ) e a e
- a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
e-i a
A ( i i )
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
-2A i e-i a
( 2 2 ) sen h a +2i cos h a
F
2
2 i e-i a
- 2 i ei a
C = -
C = -
C = -
F =
F =
T = =
D = - D = -
F =
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A2
( 22 ) 2 sen 2h a +4 2 2 cos 2h a
4 2 2 ; cos 2h a- sen 2h a = 1
( 22 ) 2 sen 2h a +4 2 2 (1+ sen 2h a) cos 2h a = 1 + sen 2h a
4 2 2
4 2 2 + ( 22 ) 2 sen 2h a
1 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a 1
4 2 2
1 + sen 2h a 1
4 2 2
( 2 2 ) 2
1 + sen 2h a 1
4Vo
E 1 -
Vo
E
4 2 2 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a - 4 2 2
4 2 2 +( 2 2 ) 2 sen 2h a
( 2 2 ) 2 sen 2h a
4 2 2 + ( 2 2 ) 2 sen 2h a
T =
T = Sol.¡¡¡
R = 1 – T =
R =Sol.¡¡¡
T =
T =
T = Sol.¡¡¡
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PROBLEMAS PROPUESTOS
2.35 Verificar si la funcion de onda:
2
3 cosu
Aue ;1/ 4
1/ 2
( )cmu x
Respuesta: No es Solucion
2.36 Calcule los niveles de energia y las funciones de onda de una particulaque se mueve en una caja de potencial localizado entre x =0 y x = a [nm]
V(x)
(I) (II) (III)
0 a
Respuesta:
2112
( , ) E n
t
n x t senKnxea
; 21n E E n
2
1n E E n ;2 2
1 22 E
ma
2.37 Un electrón con energia de 5 [eV] incide sobre una barrera depotencial de 0.3 [nm] de ancho y 10 [eV] de altura. ¿Cuál es la probabilidadde que el electrón sea reflejado?
O
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Respuesta: R = - 1
2.38 Considere el escalón de potencial que se muestra en la figura.Encuentre la función de onda para las dos regiones para el caso E
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37/38
x x
III
ikxikx
II
xi xi
I
Ge Fe
Be Ae
DeCe
)(2
2
2
2
E Vom
mE k
Respuesta:)(
4222
2
k
k
A
C
ae
k
k
A
F
)(
4222
2
2.40 Considere el pozo de potencial que se muestra en la figura.Encuentre la función de onda para las tres regiones para el caso Vo
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38/38
2 x Be ………………………..para x>=0
Donde4
23 3
B
es una constante real y positiva. Encuentre el valor de
la constante B y obtenga la posición mas probable.
Respuesta: A)4
23 3
B
B) 0mp X posición del maximo de la
probabilidad Espacial
2.43 Calcule la probabilidad de encontrar un electrón en la region [0, ]
sometido a un potencial de la forma 2( )
2
x
cV x en su segundo estado
excitado.
Respuesta: P = 0.5