Date post: | 01-Jul-2015 |
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INTENGRANTES
Presentado por:- HENRY CASTRO PACORICONA- ERLYN CUTIPA CHOQUE- FELIX ESCOBAR QUISPE- ROGER MAMANI CALDERON
Profesor:HENRY JAIME VILLALBA LÓPEZ
Grado y Seccion:5to Año “E”
Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801: Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de
topografía en Alemania y África.
Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de
Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados.
A mediados de la década de 1950 la mayoría de las referencias al método
de Gauss-Jordan se encontraban en libros y artículos de métodos
numéricos. En las décadas más recientes ya aparece en los libros
elementales de álgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuando
se menciona el método, no se referencia al inventor.
El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en
Alemania como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873
fundó la revista alemana Journal of Geodesy y ese mismo año publicó la
primera edición de su famoso Handbuch.
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o
eliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y
Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss
cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado
a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que
la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce
como: "forma escalonada".
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich
Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante
libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o
Nueve capítulos del arte matemático
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo
tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos
adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la
forma de escalón)
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón
obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes
6. Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación
de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste
en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso
directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma
escalonada reducida
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan,
es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con
n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en
primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones
lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz
aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz
en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la
cual es de la forma:
En el caso de 3 variables,como
tambien podemos utilizar 3 variables.
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples
operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una
operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes,
esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz
identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la
igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
EJEMPLOS:
EJEMPLO
1:3x+2y=21
5x-y=22
B x y
21 3* 2
22 5 -1
3 es el pívot
21 : 3* = 7
2 : 3* = 2/3
Operamos:B x y
21 3* 2
22 5 -1
7 1 2/3
-13 0 -
13/3*22 – 7 . 5 = -13
-1 - 2/3 . 5 = -
13/3
El número que está
en la columna del
pívot se convierte en
0.
CONTINUAMOS….
B x y
21 3* 2
22 5 -1
7 1 2/3
-13 0 -
13/3*
5 1 0
3 0 1
-13/3 : -13 = 3
7 – 3 . 2/3 = 5
El pívot ahora está en
la columna de “y”
x = 5
y = 3
EJEMPLO 2:
4x + 3y = 11
3x + 2y = 9
B x y
11 4* 3
9 3 2
Operamos:
11 : 4* =
11/4
3 : 4* = 3/4
B x y
11 4* 3
9 3 2
11/4 1 3/4
3/4 0 -1/4*
9 – 11/4 . 3 = 3/4
2 – 3/4 . 3 = -1/4
CONTINUAMOS….
B x y
11 4* 3
9 3 2
11/4 1 3/4
3/4 0 -1/4*
5 1 0
-3 0 1
3/4 : -1/4 = -3
11/4 – (-3) . 3/4 = 5
x = 5
y = -3
EJEMPLO 3:
B x y
4 2* 2
3 3 2
2x + 2y =
4
3x + 2y =
3
Operamos:
4 : 2* = 2
2 : 2* = 1
B x y
4 2* 2
3 3 2
2 1 1
-3 0 -1
3 – 2 . 3 = -
3
2 – 1 . 3 = -
1
CONTINUAMOS….
B x y
4 2* 2
3 3 2
2 1 1
-3 0 -1*
-1 1 0
3 0 1
-3 : -1 = 3
2 – 3 . 1 = -
1