Date post: | 01-Mar-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | darcy-robles-palomino |
View: | 221 times |
Download: | 0 times |
of 83
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
1/83
1 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director
= (2, 5). Escribir su ecuacin vectorial.
2 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director= (2, 5). Escribir sus ecuaciones para!tricas.
3 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director
= (2, 5). Escribir su ecuacin continua.
4 Escribir la ecuacin punto pendiente de"
1 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector
director = (2, 5).
2 Una recta #ue pasa por los puntos A(2, 3) y $(%, 2).
3 Una recta #ue pasa por A(2, 3) y tiene una inclinacin de %5&.
5 Escribir la ecuacin 'eneral de la recta #ue"
1 asa por A (1, 5) y tiene coo vector director i'ual (2, 1).
2 asa por A (1, 5) y tiene coo pendiente = 2.
6 allar la ecuacin en *ora e+plcita de la recta #ue pasa por A
(1, 5) y tiene coo pendiente = 2.
7 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por A(1, 3) y $(2, 5).
8 Escribe de todas las *oras posibles la ecuacin de la recta #ue
pasa por los puntos A(1, 2) y $(2, 5).
9 allar la pendiente y la ordenada en el ori'en de la recta 3+ - 2y
= /.
10 Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones"
1 2+ - 3y % =/
2 + 2y - 1= /
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
2/83
3 3+ 2y 0 = /
4 %+ - y = /
5 2+ %y = /
6 2+ - 3y - 0 = /
11 4on secantes las rectas r + - y 2 = / y s + 2y - % =
/ En caso a*irativo calcular el punto de corte.
12 6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(, /), $(3,
/) y 6(, 3).
13 6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(%, 3),
$(3, /) y 6(/, 1).
14 8e un paralelo'rao A$68 conoceos A(1, 3), $(5, 1), 6(2,
/). alla las coordenadas del v!rtice 8.
15 4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1,
%), 6(3, 2) y 8(1, 2). 6oprueba #ue es un paralelo'rao y
deterina su centro.
16 8e un paralelo'rao se conoce un v!rtice, A(, /), y el punto de
corte de las dos dia'onales, 9(, 2). :abi!n sabeos #ue otro
v!rtice se encuentra en el ori'en de coordenadas. 6alcular"
1 ;os otros v!rtices.
2 ;as ecuaciones de las dia'onales.
3 ;a lon'itud de las dia'onales.
17 allar la ecuacin de la recta r, #ue pasa por A(1 , 5), y es
paralela a la recta s 2+ - y - 2 = /.
18 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (2, 3) y es
paralela a la recta #ue une los puntos (%, 1) y (2, 2).
19 ;a recta r 3+ - ny = / pasa por el punto A(3, 2) y es
paralela a la recta s + - 2y 13 = /. 6alcula y n.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
3/83
20 8ado el tri7n'ulo A$6, de coordenadas A(/, /), $(%, /) y 6(%,
%)< calcula la ecuacin de la ediana #ue pasa por el v!rtice $.
21 ;os puntos A(1, 3) y $(3, 3), son v!rtices de un tri7n'ulo
issceles A$6 #ue tiene su v!rtice 6 en la recta 2+ %y - 3 = /siendo A6 y $6 los lados i'uales. 6alcular las coordenadas del
v!rtice 6.
SOLUCIONES
1)
Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director =
(2, 5). Escribir su ecuacin vectorial.
2) Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director
= (2, 5). Escribir sus ecuaciones para!tricas.
3) Una recta pasa por el punto A(1, 3) y t iene un vector director
= (2, 5). Escribir su ecuacin continua.
4) Ejercicio 4 resueltoEscribir la ecuacin punto pendiente de"
1 Una recta pasa por el punto A(1, 3) y tiene un vector director
= (2, 5) .
2 Una recta #ue pasa por los puntos A(2, 3) y $(%,2).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
4/83
3 Una recta #ue pasa por A(2, 3) y tiene una inclinacin de
%5&.
Escribir la ecuacin 'eneral de la recta #ue"
1 asa por A (1, 5) y tiene coo vector director i'ual (2, 1).
2 asa por A (1,5) y tiene coo pendiente =2.
E>ercicio resuelto
allar la ecuacin en *ora e+plcita de la recta #ue pasa por A (1,
5) y tiene coo pendiente = 2.
E>ercicio resuelto
allar la ecuacin de la recta #ue pasa por A(1, 3) y $(2, 5).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
5/83
E>ercicio resuelto
Escribe de todas las *oras posibles la ecuacin de la recta #ue
pasa por los puntos A(1, 2) y $(2, 5).
E>ercicio 0 resuelto
allar la pendiente y la ordenada en el ori'en de la recta 3+ - 2y
= /.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
6/83
E>ercicio 1/ resuelto
Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones"
1 2+ - 3y % =/
2 + 2y - 1= /
3 3+ 2y 0 = /
4 %+ - y = /
5 2+ %y = /
6 2+ - 3y - 0 = /
Las rectas 1 y 4 son coincidentes , por#ue todos suscoe*icientes son proporcionales"
Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente ,ya #ue e+iste proporcionalidad entre los coe*icientes de + y de y,
pero no en el t!rino independiente.
E>ercicio 11 resuelto
4on secantes las rectas r + - y 2 = / y s + 2y - % = / En
caso a*irativo calcular el punto de corte.
E>ercicio 12 resuelto
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
7/83
6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(, /), $(3,/) y
6(, 3).
6lasi*icar el tri7n'ulo deterinado por los puntos" A(%, 3), $(3, /)
y 6(/, 1).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
8/83
8e un paralelo'rao A$68 conoceos A(1, 3), $(5, 1), 6(2, /).
alla las coordenadas del v!rtice 8.
Ejercicio 15 resuelto
4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1, %),
6(3, 2) y 8(1, 2). 6oprueba #ue es un paralelo'rao y
deterina su centro.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
9/83
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
10/83
Ejercicio 16 resuelto
8e un paralelo'rao se conoce un v!rtice, A(, /), y el punto de
corte de las dos dia'onales, 9(, 2). :abi!n sabeos #ue otro
v!rtice se encuentra en el ori'en de coordenadas. 6alcular"
1 ;os otros v!rtices.
2 ;as ecuaciones de las dia'onales.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
11/83
3 ;a lon'itud de las dia'onales.
E>ercicio 1 resuelto
allar la ecuacin de la recta r, #ue pasa por A(1 , 5), y es paralela a
la recta s 2+ - y - 2 = /.
E>ercicio 1 resuelto
allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (2, 3) y es
paralela a la recta #ue une los puntos (%, 1) y (2, 2).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
12/83
E>ercicio 10 resuelto
;a recta r 3+ - ny = / pasa por el punto A(3,2) y es paralela
a la recta s + - 2y 13 = /. 6alcula y n.
E>ercicio 2/ resuelto
8ado el tri7n'ulo A$6, de coordenadas A(/, /), $(%, /) y 6(%, %)ercicio % resuelto
6alcu la e l 7n'ulo #ue *o ran las rec tas r + - 3y 2 = / y s 2+
3y - 5 = /.
E>ercicio 5 resuelto
allar una recta paralela y otra perpendicular a r + - 2y - 3 = /,
#ue pasen por el punto A(3, 5).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
17/83
E>ercicio resuelto
allar la ecuacin de la ediatriC del se'ento de e+treos A(2, 5)
y $(%, ).
E>ercicio resuelto
allar las ecuaciones de las bisectrices de los 7n'ulos #ue
deterinan las rectas r 3+ %y - 5 = / y s + - y - 1 = /.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
18/83
E>ercicio resuelto
6alcular la ecuacin de la recta perpendicular a r + y 1 = /
y pasa por el punto (3, 2).
Ejercicio 9 resuelto
Una recta de ecuacin r + - 2y 0 = / es ediatriC de un
se'ento A$ cuyo e+treo A tiene por coordenadas (2, 1). allar
las coordenadas del otro e+treo.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
19/83
Ejercicio 10 resuelto
alla el punto si!trico AD, del punto A (3, 2), respecto de la recta r
2+ - y 12 = /.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
20/83
E>ercicio 11 resuelto
allar el 7n'ulo #ue *oran las rectas #ue tienen por ecuaciones"
1
2
E>ercicio 12 resuelto
allar el 7n'ulo #ue *oran las rectas #ue tienen por ecuaciones"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
21/83
1
2
E>ercicio 13 resuelto
8adas las rectas r 3+ - y 1 = / y s 2 + - y = /, deterinar para #ue *oren un 7n'ulo de %5&.
E>ercicio 1% resuelto
Una recta es paralela a la #ue tiene por ecuacin r 5+ - y 12
= /, y dista unidades del ori'en. 6u7l es su ecuacin
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
22/83
E>ercicio 15 resuelto
Una recta es perpendicular a la #ue tiene por ecuacin r 5+ y
- 12 = / y dista % unidades del ori'en. 6u7l es su ecuacin
Ejercicio 16 resuelto
4e tiene el cuadril7tero A$68 cuyos v!rtices son A(3, /), $(1, %),
6(3, 2) y 8(1, 2). 6alcular su 7rea.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
23/83
Ejercicio 17 resuelto
8ado el tri7n'ulo A(1, 1), $(, 5), 6(2, )< calcular las
ecuaciones de las alturas y deterinar el ortocentro del tri7n'ulo.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
24/83
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
25/83
1 Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .
allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).
2 Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .
1 allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).
2 allar la trans*orada de una circun*erencia #ue tiene de centro
(3,%) y de radio 1
3 En una traslacin ediante el vector , un punto A (3, 2) se
trans*ora en un punto AD (1,5). 6alcular"
1 El trans*orado del punto $(2, %).
2 ;a trans*orada de una circun*erencia de centro (1,2).y radio 3.
4 Una traslacin tiene de vector . allar la *i'ura
trans*orada de un tri7n'ulo cuyos v!rtices son"
Ejercicio 1 resuelto
Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .
allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
26/83
Ejercicio 2 resuelto
Una traslacin en el plano est7 de*inida por un vector .
1 allar la ia'en por dicGa traslacin de un punto A (1,3).
2 allar la trans*orada de una circun*erencia #ue tiene de centro
(3,%) y de radio 1
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
27/83
Ejercicio 3 resuelto
En una traslacin ediante el vector , un punto A (3, 2) se
trans*ora en un punto AD (1,5). 6alcular"
1 El trans*orado del punto $(2, %).
2 ;a trans*orada de una circun*erencia de centro (1,2).y radio 3.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
28/83
Ejercicio 4 resuelto
Una traslacin tiene de vector . allar la *i'ura
trans*orada de un tri7n'ulo cuyos v!rtices son"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
29/83
@B$;EFA4 8E HE6:B@E4
1 Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las
coordenadas de A si se conoce el e+treo $(12, 3).
2 8ado el vector = (2, 1), deterinar dos vectores e#uipolentes
a , , sabiendo #ue A(1, 3) y 8(2, /).
3 6alcular la distancia entre los puntos"
4 4i es un vector de coponentes (3, %), Gallar un vector unitario
de su isa direccin y sentido.
5 allar un vector unitario de la isa direccin #ue el vector
=(, ).
6 6alcula las coordenadas de 8 para #ue el cuadril7tero de v!rtices"
A(1, 2), $(%, 1), 6(5, 2) y 8< sea un paralelo'rao.
7 allar las coordenadas del punto edio del se'ento A$, de
e+treos A(3, 0) y $(1, 5).
8 allar las coordenadas del punto 6, sabiendo #ue $(2, 2) es el
punto edio de A6, A( 3, 1).
9 Averi'uar si est7n alineados los puntos" A ( 2, 3), $(1, /) y
6(, 5).
10 6alcular el valor de a para #ue los puntos est!n alineados.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
30/83
11 8ados los puntos A (3, 2) y $(5, %) Galla un punto 6, alineado
con A y $, de anera #ue se obten'a .
12 8ados los v!rtices de un tri7n'ulo A(1, 2), $(3, %) y 6(1, 3),Gallar las coordenadas del baricentro.
13 8ados dos v!rtices de un tri7n'ulo A(2, 1), $(1, /) y el
baricentro I(2J3, /), calcular el tercer v!rtice.
14 allar el si!trico del punto A(%, 2) respecto de F(2, ).
15 allar el si!trico del punto A(3, 2) respecto de F(2, 5).
16 9u! puntos y 9 dividen al se'ento de e+treos A(1, 3) y
$(5, ) en tres partes i'uales
17 4i el se'ento A$ de e+treos A(1,3), $(, 5), se divide en
cuatro partes i'uales, cu7les son las coordenadas de los puntos de
divisin
E>ercicio 1 resuelto
Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las
coordenadas de A si se conoce el e+treo $(12, 3).
E>ercicio 1 resuelto
Un vector tienen de coponentes (5, 2). allar las
coordenadas de A si se conoce el e+treo $(12, 3).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
31/83
E>ercicio 3 resuelto
6alcular la distancia entre los puntos"
E>ercicio % resuelto
4i es un vector de coponentes (3, %), Gallar un vector unitario
de su isa direccin y sentido.
E>ercicio 5 resuelto
allar un vector unitario de la isa direccin #ue el vector =(,
).
Ejercicio 6 resuelto
6alcula las coordenadas de 8 para #ue el cuadril7tero de v!rtices"
A(1, 2), $(%, 1), 6(5, 2) y 8< sea un paralelo'rao.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
32/83
E>ercicio resuelto
allar las coordenadas del punto edio del se'ento A$, de
e+treos A(3, 0) y $(1, 5).
E>ercicio resuelto
allar las coordenadas del punto 6, sabiendo #ue $(2, 2) es elpunto edio de A6, A( 3, 1).
E>ercicio 0 resuelto
Averi'uar si est7n alineados los puntos" A ( 2, 3), $(1, /) y 6(,
5).
E>ercicio 1/ resuelto
6alcular el valor de a para #ue los puntos est!n alineados.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
33/83
E>ercicio 11 resuelto
8ados los puntos A (3, 2) y $(5, %) Galla un punto 6, alineado con A
y $, de anera #ue se obten'a
E>ercicio 12 resuelto
8ados los v!rtices de un tri7n'ulo A(1, 2), $(3, %) y 6(1, 3),
Gallar las coordenadas del baricentro.
Ejercicio 13 resuelto
8ados dos v!rtices de un tri7n'ulo A(2, 1), $(1, /) y el baricentro
I(2J3, /), calcular el tercer v!rtice.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
34/83
E>ercicio 1% resuelto
allar el si!trico del punto A(%, 2) respecto de F(2, ).
allar el si!trico del punto A(3, 2) respecto de F(2, 5).
Ejercicio 16 resuelto
9u! puntos y 9 dividen al se'ento de e+treos A(1, 3) y $(5,
) en tres partes i'uales
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
35/83
Ejercicio 17 resuelto
4i el se'ento A$ de e+treos A(1,3), $(, 5), se divide en cuatro
partes i'uales, cu7les son las coordenadas de los puntos de
divisin
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
36/83
@B$;EFA4 @B8U6:B E46A;A@
18ados los vectores , Gallar el vector
cobinacin lineal
2 El vector , se puede e+presar coo cobinacin
lineal de los vectores
3 9u! pares de los si'uientes vectores *oran una base"
4 allar un vector unitario de la isa direccin del
vector .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
37/83
5 4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del
plano los vectores tienen coo e+presiones"
6alcular el valor de M sabiendo #ue .
6 8ados los vectores =(2, M) y = (3, 2), calcula M para
#ue los vectores y sean"
1 erpendiculares.
2 aralelos.
3 Noren un 7n'ulo de /&.
7 allar M si el 7n'ulo #ue *ora = (3, M) con = (2, 1)
vale"
1 0/&
2 /&
3 %5&
8 4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del
plano los vectores tienen coo e+presiones"
6alcular el valor de M para #ue los dos vectores sean
orto'onales.
9 6alcular los 7n'ulos del tri7n'ulo de v!rtices" A(, /), $(3,
5), 6(1, 1).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
38/83
10 6alcula la proyeccin del vector sobre el
vector .
11 6alcula la proyeccin del vector sobre el , siendo
A(, /), $(3, 5), 6(1, 1).
12 6oprobar #ue el se'ento de une los puntos edios de
los lados A$ y A6 del tri7n'ulo" A(3, 5), $(2, /), 6(/, 3), es
paralelo al lado $6 e i'ual a su itad.
13 4i K , L *ora una base ortonoral, calcular"
1 O
2 O
3 O
4 O
Ejercicio 1 resuelto
8ados los vectores , Gallar el vector
cobinacin lineal
E>ercicio 2 resuelto
El vector , se puede e+presar coo cobinacin lineal de
los vectores
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
39/83
E>ercicio 3 resuelto
9u! pares de los si'uientes vectores *oran una base"
E>ercicio % resuelto
allar un vector unitario de la isa direccin del
vector .
Ejercicio 5 resuelto
4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del plano los
vectores tienen coo e+presiones"
6alcular el valor de M sabiendo #ue .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
40/83
E>ercicio resuelto
8ados los vectores =(2, M) y = (3, 2), calcula M para #ue los
vectores y sean"
1 erpendiculares.
2 aralelos.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
41/83
3 Noren un 7n'ulo de /&.
E>ercicio resuelto
allar M si el 7n'ulo #ue *ora = (3, M) con = (2, 1) vale"
1 0/&
2 /&
3 %5&
E>ercicio resuelto
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
42/83
4uponiendo #ue respecto de la base ortonoral K , L del plano los
vectores tienen coo e+presiones"
6alcular el valor de M para #ue los dos vectores sean
orto'onales.
E>ercicio 0 resuelto
6alcular los 7n'ulos del tri7n'ulo de v!rtices" A(, /), $(3, 5),
6(1, 1).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
43/83
E>ercicio 1/ resuelto
6alcula la proyeccin del vector sobre el vector
.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
44/83
E>ercicio 11 resuelto
6alcula la proyeccin del vector sobre el , siendo A(, /),
$(3, 5), 6(1, 1).
E>ercicio 12 resuelto
6oprobar #ue el se'ento de une los puntos edios de los ladosA$ y A6 del tri7n'ulo" A(3, 5), $(2, /), 6(/, 3), es paralelo al
lado $6 e i'ual a su itad.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
45/83
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
46/83
E>ercicio 13 resuelto
4i K , L *ora una base ortonoral, calcular"
1 O = 1 O 1 O cos /& = 1
2 O = 1 O 1 O cos 0/& = 0
3 O = 1 O 1 O cos 0/& = 0
4 O = 1 O 1 O cos /& = 1
@B$;EFA4 6B HE6:B@E4
1 E+presa el vector = (1, 2, 3) coo cominaci!n lineal de los
vectores" = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1).
2 4iendo = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1), deostrar
#ue dicGos vectores son linealente independientes y e+presa elvector = (1, 2, 3) coo cobinacin lineal de dicGos vectores.
3 8ados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, /) y = (1, 1,
/), deostrar #ue dicGos vectores *oran una ase y calculalas coordenadas del vector (1, 1, /) respecto de dicGa ase .
4 8ados los vectores" (1, 1, /), (1, /, 1) y (/, 1, 1).
1 8eostrar #ue *oran una ase .
2 allar las coordenadas de los vectores de la ase
can!nica respecto de esta base.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
47/83
5 8eterinar el valor del par7etro M para #ue los vectores = M
2 - 3 , = - M - sean"
1"rto#onales
2 $aralelos
6 8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"
1 allar para #u! valores del par7etro aest7n alineados.
2 allar si e+isten valores de apara los cuales A, $ y 6 son tres
v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,calcularlos.
7 allar dos vectores de m!dulo la unidad y orto#onales a (2,
2, 3) y (3, 3, 2).
8 allar un vector perpendicular a y , y
#ue sea unitario .
Ejercicio 1 resuelto
E+presa el vector = (1, 2, 3) coo cominaci!n lineal de los
vectores" = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1).
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
48/83
4uaos iebro a iebro las tres ecuaciones y a la ecuacin
obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.
Ejercicio 2 resuelto
4iendo = (1, /, 1), = (1, 1, /) y = (/, 1, 1), deostrar #ue
dicGos vectores son linealente independientes y e+presa el
vector = (1, 2, 3) coo cobinacin lineal de dicGos vectores.
El sistea adite Pnicaente la solucin trivial"
or tanto, los tres vectores son linealmente independientes .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
49/83
4uaos iebro a iebro las tres ecuaciones y a la ecuacinobtenida se le resta cada una de las ecuaciones.
Ejercicio 3 resuelto
8ados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, /) y = (1, 1, /),
deostrar #ue dicGos vectores *oran una ase y calculalas coordenadas del vector (1, 1, /) respecto de dicGa ase .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
50/83
El sist ema %omo#&neo slo adite la soluci!n trivial"
or tanto, los tres vectores son linealmente independientes y*oran una ase .
;as coordenadas del vector (1, 1, /) respecto a la aseson"
.
Ejercicio 4 resuelto
8ados los vectores" (1, 1, /), (1, /, 1) y (/, 1, 1).
'oluciones(
1 8eostrar #ue *oran una ase .
;os tres vectores *oran una ase si son linealmente
independientes .
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
51/83
En el sistema %omo#&neo el ran'o coincide con el nPero de
inc'nitas, por tanto tan slo adite la solucin trivial"
;os vectores son linealmente independientes y, por tanto,*ora una ase.
2 allar las coordenadas de los vectores de la ase
can!nica respecto de esta base.
;as coordenadas de los vectores de la ase can!nica respecto de
la base son"
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
52/83
Ejercicio 5 resuelto
8eterinar el valor del par7etro M para #ue los vectores = M
2 - 3 , = - M - sean"
'oluciones(
1 "rto#onales
ara #ue los vectores seanorto#onalessu producto escalar t iene
#ue ser i'ual a cero.
2 $aralelos
ara #u! dos vectoressean paralelos , sus coponentes tienen #ue
ser proporcionales .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
53/83
El sistea no adite solucin.
Ejercicio 6 resuelto
8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"
'oluciones(
1 allar para #u! valores del par7etro aest7n alineados.
4i A, $ y 6 est7n alineados los vectores y tienen la misma
direcci!n , por lo #ue son linealmente dependientes y tienen
sus componentes proporcionales .
2 allar si e+isten valores de apara los cuales A, $ y 6 son tres
v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,
calcularlos.
El dulo del producto vectorial de los vectores y es
i'ual al rea del paralelo#ramo construido sobre y .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
54/83
Ejercicio 7 resuelto
allar dos vectores de m!dulo la unidad y orto#onales a (2, 2,3) y (3, 3, 2).
Ejercicio 8 resuelto
allar un vector perpendicular a y , y#ue sea unitario .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
55/83
PROBLEMAS DE PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL
1 8ados los vectores , y
Gallar"
1 , , ,
2 , , ,
3 ,
4 , ,
5 ,
2 8ados los vectores y , Gallar"
1 ;os m!dulos de y
2 El producto vectorial de y
3 Un vector unitario orto#onal a y
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
56/83
4 El rea del paralelo#ramo #ue tiene por lados los vectores
y
3 allar el n#ulo #ue *oran los vectores
y .
4 allar los cosenos directoresdel vector .
5 8ados los vectores y , Gallar el
producto y coprobar #ue este vector es orto'onal a y a .
allar el vector y copararlo con .
Ejercicio 1 resuelto
8ados los vectores , y Gallar"
'oluciones(
1 , , ,
2 , , ,
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
57/83
3 ,
4 , ,
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
58/83
5 ,
Ejercicio 2 resuelto
8ados los vectores y , Gallar"
'oluciones(
1 ;os m!dulos de y
2 El producto vectorial de y
3 Un vector unitario orto#onal a y
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
59/83
4 El rea del paralelo#ramo #ue tiene por lados los vectores
y
Ejercicio 3 resuelto
allar el n#ulo #ue *oran los vectores
y .
Ejercicio 4 resuelto
allar los cosenos directores del vector .
Ejercicio 5 resuelto
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
60/83
8ados los vectores y , Gallar el
producto y coprobar #ue este vector es orto'onal a y a .
allar el vector y copararlo con .
MAS PROBLEMAS DE PRODUCTO
1 6alcular el producto mi*to" .
2 8ados los vectores , y ,
Gal lar el producto mi*to . 6u7nto vale el volumen del
paralelep+pedo #ue tiene por aristas los vectores dados
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
61/83
3 4ean A(3, %, /), $(3, , 3) y 6(1, 2, 1) los tres v!rtices de un
tri7n'ulo. 4e pide"
1 6alcular el coseno de cada uno de los tres 7n'ulos del tri7n'ulo.
2 6alcular el 7rea del tri7n'ulo.
4 6onsiderar la si'uiente *i'ura"
4e pide"
1 6oordenadas de 8 para #u! A$68 sea un paralelo#ramo .
2 ,rea de este paralelo#ramo .
5 8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"
1 allar para #u! valores del par7etro aest7n alineados.
2 allar si e+isten valores de apara los cuales A, $ y 6 son tres
v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,
calcularlos.
Ejercicio 1 resuelto
6alcular el producto mi*to" .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
62/83
Ejercicio 2 resuelto
8ados los vectores , y , Gallar
el producto mi*to . 6u7nto vale el volumen delparalelep+pedo #ue tiene por aristas los vectores dados
Ejercicio 3 resuelto
4ean A(3, %, /), $(3, , 3) y 6(1, 2, 1) los tres v!rtices de un
tri7n'ulo. 4e pide"
1 6alcular el coseno de cada uno de los tres 7n'ulos del tri7n'ulo.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
63/83
2 6alcular el 7rea del tri7n'ulo.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
64/83
Ejercicio 4 resuelto
6onsiderar la si'uiente *i'ura"
4e pide"
1 6oordenadas de 8 para #u! A$68 sea un paralelo#ramo .
or ser la *i'ura un paralelo'rao, los vectores y
son e-uipolentes .
2 ,rea de este paralelo#ramo .
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.html7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
65/83
Ejercicio 5 resuelto
8ados los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, 1) y 6(1, , a), se pide"
1 allar para #u! valores del par7etro aest7n alineados.
4i A, $ y 6 est7n alineados los vectores y tienen la misma
direcci!n , por lo #ue son linealmente dependientes y tienen
sus componentes proporcionales .
2 allar si e+isten valores de apara los cuales A, $ y 6 son tres
v!rtices de un paralelo'rao de 7rea 3 y, en caso a*irativo,
calcularlos.
El dulo del producto vectorial de los vectores y es
i'ual al rea del paralelo#ramo construido sobre y .
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
66/83
PROBLEMAS EN EL ESPACIO
1 ;as coordenadas de los v!rtices consecutivos de un
paralelo'rao son A (1, /, /) y $(/, 1, /). ;as coordenadas
del centro F son F(/, /, 1). allar las coordenadas de los
v!rtices 6 y 8.
2 8ado el tri7n'ulo de v!rtices A(2, 3, %), $(1, 1, 5) y 6(5,
5, %), Gallar"
1 ;as ecuaciones de las edianas del tri7n'ulo
2 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo.
3 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo cuyos v!rtices
son los puntos edios de los lados del tri7n'ulo anterior.
3 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por los puntos A (2,
3, %) y $(, 2, 3). Estudiar si el punto 6(2, 1, 3) est7
alineado con A y $.
4 8eterinar los valores de para #ue los puntos A(, 2,
3), $(2, , 1) y 6(5, 3, 2) est!n alineados y Gallar las
ecuaciones de la recta #ue los contiene.
5 8eterinar el valor de + para #ue los puntos A(/, /, 1), $(/,
1, 2), 6(2, 1, 3) y 8(+, +1, 2) sean coplanarios.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
67/83
6 9u! en relacin se Ga de veri*icar entre los par7etros a, b
y c para #ue los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, /), 6(/, 1, 1) y
8(a, b, c) sean coplanarios
7 6alcular el valor de a para #ue los puntos (a, /, 1), (/, 1,
2), (1, 2, 3) y (, 2, 1) sean coplanarios. 6alcular tabi!n la
ecuacin del plano #ue los contiene.
Ejercicio 1 resuelto
;as coordenadas de los v!rtices consecutivos de un paralelo'rao
son A (1, /, /) y $(/, 1, /). ;as coordenadas del centro F son F(/,
/, 1). allar las coordenadas de los v!rtices 6 y 8.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
68/83
Ejercicio 2 resuelto
8ado el tri7n'ulo de v!rtices A(2, 3, %), $(1, 1, 5) y 6(5, 5, %),
Gallar"
1 ;as ecuaciones de las edianas del tri7n'ulo
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
69/83
2 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo.
3 ;as coordenadas del baricentro del tri7n'ulo cuyos v!rtices son
los puntos edios de los lados del tri7n'ulo anterior.
;os baricentros de los dos tri7n'ulos coinciden.
Ejercicio 3 resuelto
allar la ecuacin de la recta #ue pasa por los puntos A (2, 3, %) y
$(, 2, 3). Estudiar si el punto 6(2, 1, 3) est7 alineado con A y $.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
70/83
ara #ue el punto 6 este alineado con A y $, debe pertenecer a
la recta #ue pasa por A y $.
6oo 6 no satis*ace las ecuaciones de la recta, no est7 alineado
con A y $.
Ejercicio 4 resuelto
8eterinar los valores de para #ue los puntos A(, 2, 3), $(2,
, 1) y 6(5, 3, 2) est!n alineados y Gallar las ecuaciones de la
recta #ue los contiene.
O
Ejercicio 5 resuelto
8eterinar el valor de + para #ue los puntos A(/, /, 1), $(/, 1, 2),
6(2, 1, 3) y 8(+, +1, 2) sean coplanarios.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
71/83
ara #ue los puntos sean coplanarios, los vectores deterinados por
ellos tabi!n Gan de ser coplanario s, es decir, #ue el ran'o de los
vectores sea 2.
ara #ue el ran'o sea i'ual a 2, el deterinante de las
coponentes de los vectores Ga de ser i'ual a cero.
E>ercicio resuelto
9u! en relacin se Ga de veri*icar entre los par7etros a, b y c
para #ue los puntos A(1, /, 1), $(1, 1, /), 6(/, 1, 1) y 8(a, b, c)
sean coplanarios
;os puntos A, $, 6 y 8 son coplanarios si"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
72/83
Ejercicio 7 resuelto
6alcular el valor de a para #ue los puntos (a, /, 1), (/, 1, 2), (1, 2,
3) y (, 2, 1) sean coplanarios. 6alcular tabi!n la ecuacin del
plano #ue los contiene.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
73/83
@B$;EFA4 8E U:B4 E E; E4A6B
1 Bbtener la ecuacin de la recta #ue, siendo paralela la recta dada
por + = 3Q, y = Q, C = 2Q - 2, contiene al punto (/, 1, 1).
2 Una recta es paralela a los planos + - y = / , + - C = / y pasa po r
por el punto (2, /, /). allar sus ecuaciones.
3 allar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto (, 2, 3) y
lleva la direccin del vector .
4 8ados los puntos A(2, , 3) y $(3, 3, 2), Gallar los puntos de
la recta A$ #ue tienen al enos una coordenada nula.
5 allar una ecuacin continua de la recta #ue es paralela a los
planos" + 3y - C = / y 2+ y - 3C 5 = /, y pasa por el punto
(2, 1, 5).
6 8eterinar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto A(1, 1,
/) y corta a las rectas"
Ejercicio 1 resuelto
Bbtener la ecuacin de la recta #ue, siendo paralela la recta dada
por + = 3Q, y = Q, C = 2Q - 2, contiene al punto (/, 1, 1)..
Ejercicio 2 resuelto
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
74/83
Una recta es paralela a los planos + - y = /, + - C = / y pasa por
por el punto (2, /, /). allar sus ecuaciones.
Ejercicio 3 resuelto
allar la ecuaci!n de la recta #ue pasa por el punto (, 2, 3) y
lleva la direccin del vector .
Ejercicio 4 resuelto
8ados los puntos A(2, , 3) y $(3, 3, 2), Gallar los puntos de la
recta A$ #ue tienen al enos una coordenada nula.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
75/83
Ejercicio 5 resuelto
allar una ecuacin continua de la recta #ue es paralela a los
planos" + 3y - C = / y 2+ y - 3C 5 = /, y pasa por el punto
(2, 1, 5).
El vector director de la recta es perpendicular a los vectores
norales de cada plano.
Ejercicio 6 resuelto
8eterinar la ecuacin de la recta #ue pasa por el punto A(1, 1,/) y corta a las rectas"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
76/83
;a recta pedida es la interseccin de los dos planos #ue pasan por A
y contienen a las rectas r y s.
lano #ue contiene a A y r.
lano #ue contiene a A y s.
;a recta perdida es"
PROBLEMAS EN EL PLANO
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
77/83
1 allar la ecuacin del plano #ue pasa por los puntos A(1, 2, %),
$(/, 3, 2) y es paralelo a la recta .
2 8adas las rectas"
8eterinar la ecuaci!n del plano #ue contiene a r y esparalelo a s.
3 4ea R un plano #ue pasa por (1, 2, 1) y corta a los seie>es
coordenados positivos en los puntos A, $ y 6. 4abiendo #ue el
tri7n'ulo A$6 es e#uil7tero, Gallar las ecuaciones de R.
4 allar la ecuacin del plano #ue contienen a las rectas"
5 allar las ecuaciones de los e>es coordenados y de los planos
coordenados.
6 allar las coordenadas del punto coPn al plano + - 2y C 2 =
/ y a la recta deterinada por el punto (1, 3, 2) y elvector .
7 allar la ecuacin iplcita del plano #ue pasa por el punto (1,
1, 1) y es paralelo a"
8 allar la ecuacin del plano #ue contiene al punto A(2, 5, 1) y a
la recta de ecuacin"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
78/83
9 allar la cual del plano #ue contiene a la
recta y es paralelo a la recta .
10 allar la ecuacin del plano paralelo a las rectas de ecuaciones"
y #ue pasa por el punto (1, 1, 2).
Ejercicio 1 resuelto
allar la ecuacin del plano #ue pasa por los puntos A(1, 2, %),
$(/, 3, 2) y es paralelo a la recta"
Ejercicio 2 resuelto
8adas las rectas
8eterinar la ecuacin del plano #ue contiene a r y es paralelo a s.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
79/83
Ejercicio 3 resuelto
4ea R un plano #ue pasa por (1, 2, 1) y corta a los seie>es
coordenados positivos en los puntos A, $ y 6. 4abiendo #ue el
tri7n'ulo A$6 es e#uil7tero, Gallar las ecuaciones de R.
6oo el tri7n'ulo es e#uil7tero, los tres se'entos son i'uales.
Ejercicio 4 resuelto
2.allar la ecuacin del plano #ue contienen a las rectas"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
80/83
Ejercicio 5 resuelto
allar las ecuaciones de los e>es coordenados y de los planos
coordenados.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
81/83
Ejercicio 6 resuelto
allar las coordenadas del punto coPn al plano + - 2y C 2 = /
y a la recta deterinada por el punto (1, 3, 2) y el
vector .
Ejercicio 7 resuelto
allar la ecuacin iplcita del plano #ue pasa por el punto (1, 1,
1) y es paralelo a"
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
82/83
Ejercicio 8 resuelto
3.allar la ecuacin del plano #ue contiene al punto A(2, 5, 1) y a larecta de ecuacin"
Ejercicio 9 resuelto
allar la cual del plano #ue contiene a la recta y
es paralelo a la recta .
El punto A(2, 2, %) y el vector pertenecen al plano, ya
#ue la priera recta est7 contenida en el plano.
El vector es un vector del plano, por ser paralelo a la
recta.
7/26/2019 Ge Oooooo Ooooooaasssssssssooo
83/83
Ejercicio 10 resuelto
allar la ecuacin del plano paralelo a las rectas de ecuaciones"
y #ue pasa por el punto (1, 1, 2).