INSTITUTO TECNOLOGICO DE

TAPACHULA

Unidad 3

Generación De Variables Aleatorias

Simulación

INTRODUCCIÓN

La siguiente presentación trata del desarrollo de temas relacionado con la simulación “procesos descriptivo de un sistema”, en el cual se desarrollaran puntos importantes como la generación de variables aleatorias mediante métodos en donde se utilizan distribuciones probabilísticas.

Este trabajo consta con el desarrollo de subtemas de carácter estadístico y matemático, para su comprensión se requiere de conocimientos básicos en estas ciencias.

Hay una variedad de métodos para generar variables aleatorias.

Cada método se aplica solo a un subconjunto de distribuciones y para una distribución en particular un método puede ser más eficiente que otro.

Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable u = F(x) esta distribuida uniformemente entre 0 y 1.

Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (u).

Este método nos permite generar variables aleatorias siempre que se pueda determinar F-1 (x) analíticamente o empíricamente.

3.2.1 Transformada Inversa, aceptación - rechazo, convolución, directos

Ejemplo (determinación analítica):

Sea X exponencial con f(x) = λe-λx . La FDA es F(x) = 1 - e-λx = u o xu=−−11λln(). Si u es uniforme entre 0 y 1, entonces 1-u también esta distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto podemos generar variables aleatorias exponenciales generando u y después calculando xu=−1λln().

COMPOSICIÓN

Este método se puede usar si la FDA F(x) deseada se puede expresar como una suma ponderada de otras n FDA F1

(x), ..., Fn (x): FxpFxppiiinii()()=≥=ΣΣ101 , y i=1n

El número de funciones n puede ser finito o infinito, y las n FDA son compuestas para formar la FDA deseada; de aquí el nombre de la técnica. Esto también se puede ver como que la FDA deseada es descompuesta en otras n FDA; por esto la técnica a veces es llamada descomposición.

La técnica también se puede usar si la función de densidad f (x) puede ser descompuesta como una suma ponderada de otras n densidades:

fxpfxppiiinii()()=≥=ΣΣ101

Ejemplo:

Consideremos la densidad de Laplace dada por

fxaexa()=∞−12 -<x<

CONVOLUCIÓN

Esta técnica puede ser usada si la variable aleatoria x puede ser expresada como la suma de n variables aleatorias y1 , ..., yn que puedan ser generadas fácilmente:

xyyyn=+++12...

En este caso x se puede generar generando n variables aleatorias y1 , ..., yn y sumándolas. Si x es la suma de dos variables aleatorias y1 y y2 , entonces la densidad de x puede se obtenida analíticamente por la convolución de las densidades de y1 y y2 ; de aquí el nombre de la técnica a pesar de que la convolución no es necesaria para la generación de números aleatorios.

APLICACIÓN DE ESTA TÉCNICA:

• Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.

• Una variable Binomial de parámetros n y p es la suma de n variable Bernulli con probabilidad de éxito p.

• La chi-cuadrado con v grados de libertad es la suma de cuadrados de v normales N(0,1).

3.2.1.1 GENERACIÓN VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS : DISTRIBUCIONES POISSON, BINOMIAL, Y GEOMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Distribución discreta de probabilidades sobre eventos binomiales

Propiedades de los eventos binomiales Consiste en una sucesión de n intentos idénticos Solo dos posibles resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito es p, y de fracaso 1-p Independencia sobre los resultados

Los resultados acumulativos me arrojan probabilidades de obtener el resultado o menos.

3.2.1.2 GENERACION VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS : DISTRIBUCIONES UNIFORME, EXPONENCIAL, NORMAL, ERLANG, GAMMA, BETA, Y TRIANGULAR

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL EXP ()

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Que recordemos era:

...,,,xppxXPpG x 210 ,1)()(

Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta

que ello ocurra en un instante tf, no depende del

tiempo transcurrido anteriormente.

0 ,0 para )( xexf x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

)(

0

0

x

x

e

dxedxxf

Distribución exponencial Exp ()

1

0

dxex xVida media

xxtx t eedte 100

Distribución exponencial Exp ()

0,0

0,1)(

x

xexF

x

Distribución de Erlang Er(n, )

00,;)(

)( 1

xnexn

xf xnn

n

n

nun

n

n

unn

xitnn

xnn

itxitxitX

itn

itndueu

itn

duit

eitu

ndxex

n

dxexn

edxxfeeEt

)()(

1)()(

1)(

1)()(

)()(][)(

0

1

0

1

0

)(1

1

Distribución m-erlang

Esta distribución mide el tiempo que transcurre entre un suceso y el m-ésimo siguiente (es una generalización de la exponencial).

Tiene dos parámetros m(m,b) donde b es la media de una distribución exponencial y m es el número de sucesos que se cuentan.

Se pueden generar valores de ésta distribución mediante la convolución de exponenciales, ya que una m-erlang de media b se puede obtener como la suma de m exponenciales de media b/m.

El algoritmo de generación queda:Generar u1,u2,...,um ~U(0,1)ln ln( )

3.2.2. DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS DE PROBABILIDAD

A menudo la distribución de una variable del modelo no se puede calificar como ninguna de las distribuciones conocidas y no es posible de representar por ninguna expresión determinada.La única información sobre la variable son los valores de un número de sus realizaciones.

Variables aleatorias con cualquier distribución empírica discreta o continua que pueda aproximarse por una distribución discreta, pueden generarse para el siguiente método:

Si t es una variable aleatoria r con distribución uniforme en [0,1] que cumpla con la siguiente desigualdad. Sit= bi con probabilidad

3.2.3 SIMULACION DE PROCESOS ALEATORIOS MANUALES Y USANDO VARIABLES ALEATORIAS USANDO LENGUAJES DE PROPÓSITO GENERAL: C, C++, DELPHI, VISUAL´S, DE PROBLEMAS APLICADOS A SERVICIOS, SISTEMAS PRODUCTIVOS, DE CALIDAD, DE INVENTARIOS, ECONÓMICOS, ETC.

La simulación de procesos es una de las mas grandes herramientas de la ingeniería industrial, la cual se utilaza para representar un proceso mediante otro que lo hace mucho mas simple e intendible.

Esta simulación es en algunos casos casi indispensable, como nos daremos cuenta a continuación.

El principio del método consiste la reducción del problema con infinitos grados de libertad, en un problema finito en el que intervenga un numero finito de variables asociadas a ciertos puntos característicos (modos).

Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas del problema cuando, para pasar a ser los valores de dichas funciones en un numero infinito de puntos. En realidad no se trata de nada nuevo.

CONCLUSIÓN

La simulación es una herramienta fundamental para hacer modificaciones en los procesos, sin embargo requiere de técnicas estadísticas para la justificación de los resultados ha obtener, por ello, es que se han implementado métodos como los descritos anteriormente, y con ello se han creado programas computacionales que nos ayudan ha un mejor manejo, aunque esto suele ocurrir en países desarrollados y no en vías de desarrollo como el nuestro donde aun se emplean estas técnicas, pero de forma manual.

Las técnicas de generación de variables son muy confiables, difíciles de implementar, por lo que esto genera un complejo manejo de los datos.