GeometraAnaltica Prof. Isaas Correa M.

APRENDIZAJES ESPERADOSCalcular distancia y el punto medio entre dos puntos del plano.Identificar la pendiente y coeficiente de posicin en una ecuacin de recta dada.Representar grficamente ecuaciones de recta.Determinar la ecuacin principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente.Determinar si dos rectas son paralelas.Determinar si dos rectas son coincidentes.Determinar si dos rectas son perpendiculares.Ubicar puntos en un sistema tridimensional.Determinar la pendiente entre dos puntos.

5. Ecuacin de la rectaContenidos5.1 Ecuacin General de la recta5.2 Ecuacin Principal de la recta4. La recta5.5 Ecuacin de la recta dado un punto y la pendiente5.6 Ecuacin de la recta dados dos puntos de ella1. Distancia entre dos puntos3. Pendiente entre dos puntos2. Coordenadas del punto medio5.3 Ecuacin de Segmentos o Simtrica de la recta5.4 Grfica de la lnea recta

7. Geometra en el espacio7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio, Sistema tridimensional.6. Rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas perpendiculares

1. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos del planoP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)se puede obtener a travs de la siguiente frmula:Si dos puntos difieren slo en una de sus coordenadas, la distancia entre ellos es el valor absoluto de su diferencia.La distancia entre (4,6) y (-5,6) es: |-5 4| = |-9| = 9Ejemplo:

El punto medio M entre dos puntos del planoP1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)se puede obtener a travs de la siguiente frmula: 2. Coordenadas del punto medio

Ejemplos:a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es: d2 = (9 (-3))2 + (-1 4)2d2 = (9 + 3)2 + (-5)2d2 = 144 + 25d2 = 169d = 13x1y1x2y2b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es: M = (3, 1,5)x1y1x2y2/

ABVeamos la distancia directamente en el plano:48

La pendiente entre los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)se obtiene a travs de la siguiente frmula:Ejemplo:1. La pendiente entre los puntosx1y1x2y2(-4, -2) y (1, 7) es: 3. Pendiente entre dos puntosOBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular el angulo que tiene la recta con el eje x.m=tg()

Ejemplo:2. La pendiente entre los puntos(8, 5) y (8, 10) es:x1y1x2y2Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.Adems, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es funcin.

m = 0 NO existe m (Indefinida)m > 0m < 0

4. La recta Geomtricamente podemos decir que una lnea recta es una sucesin continua e infinita de puntos alineados en una misma direccin; analticamente, una recta en el plano est representada por una ecuacin de primer grado con dos variables, x e y. Adems es el lugar geomtrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente. Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 0 2. y = 4x + 7 3. 6x + 4y = 7

5. Ecuacin de la rectaEs de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales. Ejemplos:1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0Obs. m= n=

Es de la forma:El coeficiente de posicin (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n).y = mx + nm: pendienten: coeficiente de posicin1) y= 2x -3m=2n=-3Ejemplo:2) y= 3x 4 2 y=3 x 2 2m=n=2

5.3 Ecuacin de Segmentos o Simtrica de la rectaabxy

Ejemplo:Representacin grfica de: y = 2x + 3Si un punto (x,y) pertenece a esta recta, entonces se debe cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuacin.Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3 Para graficar una recta dada su ecuacin, basta encontrar dos puntos de ella.

Ejemplos:1. Dada la grfica de la recta, encontrar su ecuacin principal.n = 3.Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posicin (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuacin principal es y = 2x + 3.Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente=2

2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n: b) y = 4x c)6x y+ 13 = 8m = -6/-1 = 6n = -5/-1 = 5 6x y + 5=0Luego, m = 6 y n = 5.3. Cul ser la pendiente y coeficiente de posicin en ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?a) y = x 8Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuacin y utilizamos las frmulas dadas para m y n:m = 4 y n = 0m = 1 y n = -8

5.5 Ecuacin de la recta, dado un punto de ella y la pendienteLa Ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 (x1, y1) y tiene pendiente m, se puede obtener a travs de la siguiente frmula:Ejemplo:La ecuacin de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es:y (-2) = -6 (x 3)y + 2 = -6x + 18y = -6x + 16

La Ecuacin de la recta que pasa por los puntos:P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)se puede obtener a travs de la siguiente frmula:

Ejemplo:La ecuacin de la recta que pasa por los puntos( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:y + 3 = 3 (x 2)y + 3 = 3x 6y = 3x 6 - 3y = 3x 9x1y1x2y2

Ejemplo 2Dados los puntos A(3,-2) y B(4,5), encontrar la ecuacin general dela recta que pasa por esos puntos.Al aplicar directamente la frmula: /* -1

5.7 La ecuacin a partir del grfico:65xy1 Debemos encontrar el punto de corte con el eje y, es decir, y=-5=n2 Determinar la pendiente: m= , es decir,3 Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos: Ejemplo: Encuentre la ecuacin de la recta 4 Tambin se puede usar la forma de segmentos: /*305x 6y 30=0OBS: Ambas ecuaciones representanla misma recta.

6. Posiciones de dos rectas en el plano:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posicin. Ejemplo:L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10(m = 5)(m = 5)

Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posicin.Ejemplo:Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.

Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.Ejemplo:

7. Geometra en el espacioSistema TridimensionalP (a, b, c)a: abscisab: ordenadac: cota

Ejemplo:Q (2, 7, 6)a: abscisab: ordenadac: cota

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