geometria descriptiva

G E O M E T R AD E S C R I P T I V A

R m u l o M o r a A r a u c o

Serie: Cuadernos de Ingeniera Administrativa

G e o m e t r aD e s c r i p t i v a

RMULO MORA ARAUCO

F O N D O E D I T O R I A L

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FICHA TCNICATtulo: Geometra DescriptivaAutor: Rmulo Mora AraucoCategora: Cuadernos/ Ing. AdministrativaCdigo: CU/338-2014Edicin: Fondo Editorial de la UIGVFormato: 170 mm X 245 mm. 112 pp.Impresin: Offsett y encuadernacin en rsticaSoporte: Cubierta: folcote calibre 12Interiores: Bond alisado de 75 g.Publicado: Lima, Per. Mayo de 2014 N D I C E

Presentacin ............................................................................................... 9Introduccin ............................................................................................... 11Orientaciones metodolgicas ......................................................................... 13

PRIMERA UNIDAD Tcnicas bsicas de dibujo........................................................................ 15

Leccin 1 Informacin general ................................................................................ 17 1. El dibujo de ingeniera como lenguaje ................................................. 17 2. Dibujo manual: materiales e instrumentos de dibujo .............................. 18 3. Alfabeto de lneas .............................................................................. 18 4. Tipos de escalas ................................................................................ 19

Leccin 2 Geometra aplicada ................................................................................ 21 1. Perpendiculares y paralelas ................................................................ 21 2. Divisin de una recta en partes iguales ................................................ 25 3. ngulos y bisectrices ......................................................................... 26 4. Divisin de un ngulo en tres partes .................................................... 28

Lectura ................................................................................................. 29Autoevaluacin N 1 .................................................................................... 33Resumen ................................................................................................. 37Bibliografa especfica ................................................................................... 37Bibliografa comentada ................................................................................. 37

Universidad Inca Garcilaso de la Vega

Rector: Luis Cervantes LinVicerrector: Jorge Lazo ManriqueDecano de la Facultad de Ingeniera Administrativa e Ingeniera Industrial: Vctor Rojas HernndezJefe del Fondo Editorial: Fernando Hurtado Ganoza

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Av. Arequipa 1841 - Lince Telf.: 471-1919 Pgina web: www.uigv.edu.pe

Fondo Editorial Editor: Fernando Hurtado Ganoza Correo electrnico: [email protected] Jr. Luis N. Senz 557 - Jess Mara Telf.: 461-2745 Anexo: 3712

Estos textos de educacin a distancia estn en proceso de revisin y adecuacin a los estndares internacionales de notacin y referencia. Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2014-06383

Diseo, diagramacin y correccin: Nrida Curazzi Gutirrez

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g e o m e t r a d e s c r i p t i v a r m u l o m o r a a r a u c o

SEGUNDA UNIDAD Polgonos y circunferencias ........................................................................... 39

Leccin 3 Polgonos ............................................................................................... 41 1. Construccin de un tringulo dado sus tres lados ................................... 41 2. Construccin de un tringulo dado dos lados y el ngulo comprendido ...... 42 3. Construccin de un tringulo dado un lado y los ngulos adyacentes ........ 43 4. Construccin de un rectngulo dado los dos lados .................................. 43 5. Construccin de un paralelogramo ....................................................... 44

Leccin 4 Circunferencias ....................................................................................... 45 1. Divisin de la circunferencia en N partes .............................................. 45 2. Trazar un arco tangente a los lados de un ngulo agudo ......................... 49 3. Trazar un arco tangente a los lados de un ngulo obtuso ........................ 50 4. Trazar un circulo en un polgono regular ............................................... 50 5. Trazar una curva en S que conecte a dos lneas paralelas ........................ 51 6. Trazar un arco tangente a un crculo y a una recta ................................. 51 7. Construir un polgono regular de n lados impares ................................ 52 8. Construir un polgono regular de n lados pares ................................... 53 9. Rectas tangentes a una circunferencia ................................................. 54 10. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias ............................. 54 11. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias .............................. 55

Lectura ................................................................................................. 56Autoevaluacin N 2 .................................................................................... 57Resumen ................................................................................................. 64Bibliografa especfica ................................................................................... 64Bibliografa comentada ................................................................................. 64Exploracin on line ...................................................................................... 65

TERCERA UNIDADProyecciones, recta y plano ........................................................................... 67

Leccin 5 Proyecciones ......................................................................................... 69 1. Concepto de proyeccin .................................................................... 69 2. El Punto ........................................................................................ 71 3. Visibilidades ..................................................................................... 72 4. Reglas de las visibilidades .................................................................. 72 5. Proyeccin en el tercer cuadrante ..................................................... 74

Leccin 6 La recta 1. Representacin y nomenclatura de una recta ........................................ 75 2. Depurado de una recta ...................................................................... 76 3. Puntos contenidos en una recta ........................................................... 76

4. Rectas paralelas ............................................................................... 77 5. Rectas perpendiculares ...................................................................... 77 6. Posiciones particulares de una recta..................................................... 78 7. Verdadera magnitud de una recta ........................................................ 79 8. Vista de punta de una recta ................................................................ 80 9. Orientacin de una recta .................................................................... 81 10. Pendiente de una recta ..................................................................... 81

Leccin 7 El plano ................................................................................................. 85 1. Determinacin de un plano ................................................................. 85 2. Recta contenida en un plano ............................................................... 87 3. Rectas notables en un plano ............................................................... 87 4. Puntos contenidos en un plano ............................................................ 88 5. Posiciones particulares de un plano ...................................................... 88 6. Vista de canto y verdadera magnitud de un plano .................................. 89

Lectura ................................................................................................. 99Autoevaluacin N 3 .................................................................................... 101Resumen ................................................................................................. 106Bibliografa especfica .................................................................................. 107Bibliografa comentada ................................................................................. 107Exploracin on line ...................................................................................... 107Bibliografa General ..................................................................................... 108Glosario ................................................................................................. 109

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P R E S E N TA C I N

El Fondo Editorial de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega par-ticipa como editor y productor de los textos universitarios para los alumnos de pregrado de la modalidad de educacin a distancia. Esta labor exige del personal directivo, acadmico, profesional y tcnico una visin de conjunto de las estrategias metodolgicas propias de esta modalidad. El trabajo del Fondo Editorial se desarrolla en el diseo, diagramacin y correccin de estilo lingstico de los textos universitarios. Los contenidos estn ubicados en los tres grandes campos del conocimiento: cientfico, humanstico o artstico.

El esfuerzo compartido con las Facultades, a travs de sus do-centes-tutores, autores de los referidos libros, conduce, sin duda alguna, a la elaboracin de textos de buena calidad, los cuales po-drn utilizarse a travs de la pgina web o mediante la presentacin fsica clsica.

En los ltimos quince aos la modalidad de educacin a distancia ha evolucionado, pasando por el e-learning, que privilegia la forma-cin profesional digital; b-learning, que combina lo tradicional y lo nuevo en el proceso de la formacin profesional; hasta la aproxima-cin actual al mvil learning, que aparece como la sntesis de todo lo anterior y una proyeccin al futuro.

Con todo ello, el Fondo Editorial reitera su compromiso de partici-par en la tarea universitaria de formacin acadmica y profesional, acorde con los tiempos actuales.

Fondo Editorial

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I N T R O D U C C I N

La presente publicacin, es una gua orientadora de fcil comprensin, utilizando un lenguaje adecuado y prctico, con la finalidad de facilitar su auto aprendizaje, Luego de una exposicin terica, se plantean numerosos problemas resueltos que tienen por objeto completar y ampliar la teora, facilitando su comprensin.

Los temas desarrollados se han dividido en tres unidades: la primera com-prende el estudio de las tcnicas bsicas de dibujo; la segunda, comprende el estudio de los polgonos y circunferencias y la tercera unidad estudia las proyecciones: recta y plano.

En numerosos problemas se han usado grficos, lo que permitir al estu-diante de educacin a distancia, una mejor visualizacin del planteamiento, relacionndolo con la exposicin terica.

Mi especial agradecimiento a las autoridades de la Universidad y al per-sonal del Fondo Editorial, por brindarme la oportunidad de hacer realidad la presente publicacin, fruto de la experiencia como docente universitario, en especial por haber enseado el curso de geometra descriptiva, lo cual ser en beneficio de los estudiantes.

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El autor

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o r i e n t a c i o n e sM E T O D O L G I C A S

Descripcin de la sumilla del curso

La asignatura de Geometra Descriptiva es de formacin bsica y de carcter terico-prctico, tiene por finalidad impartir los conocimientos relacionados al uso adecuado de los materiales, instrumentos de dibujo y las tcnicas que se aplican para realizar las construcciones geomtricas, proyeccin de puntos, recta y plano, las proyecciones y sus aplicaciones en el desarrollo de problemas.

El desarrollo del curso de Geometra Descriptiva comprende: Tcnicas bsicas de dibujo, polgonos, circunferencias y proyecciones: recta y plano.

Estructura

El curso de Geometra Descriptiva, se ha desarrollado en tres unida-des: en la primera unidad se expone las tcnicas bsicas de dibujo, la segunda unidad polgonos y circunferencias y en la ltima unidad pro-yecciones: recta y plano.

Objetivos del curso

Desarrollar habilidades y destrezas en el uso de instrumentos de di-bujo para realizar las construcciones geomtricas mediante el desarrollo de ejercicios y problemas, valorando la importancia que tienen para su desarrollo profesional.

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g e o m e t r a d e s c r i p t i v a

p r i m e r a

UNIDAD

Tcnicas bsicas de dibujo

Desarrollar y aplicar los conocimientos y procedimientos para construir y trazar polgonos y circunferencias, analizando a nivel competente el desarrollo de ejercicios y problemas, valorando la importancia que tienen para su desarrollo profesional.

Analizar y conceptualizar los mtodos y normas tcnicas para realizar las proyecciones: punto, recta y plano valorando la impor-tancia que tienen para el desarrollo de los conocimientos y capaci-dades para su formacin profesional en Ingeniera.

Estrategias de aprendizaje

Para un ptimo aprendizaje, el estudiante debe seguir la secuen-cia de las unidades del curso de Geometra Descriptiva, desarrollan-do los ejercicios y problemas. Para complementar debe consultar la bibliografa especfica, la bibliografa comentada y las pginas web indicadas en el texto.

En la tutora presencial el estudiante tiene la posibilidad de ac-ceder directamente a un profesor designado por la facultad que le resuelva sus dudas y oriente en sus actividades de aprendizaje. Las asistencias a estas tutoras no son obligatorias.

Evaluacin

Considerando el sistema de educacin a distancia, la evaluacin permite comprobar el auto aprendizaje, para lo cual el estudiante debe revisar los aspectos terico-prcticos del libro Geometra Des-criptiva y las consultas que pueda tener para aclarar alguna leccin se debe realizar a travs de la tutora que ofrece la Facultad de Ingeniera Administrativa.

Al final de cada unidad se ofrece un cuestionario de diez pre-guntas con respuestas mltiples que deben ser resueltas por los es-tudiantes y confrontar sus respuestas con las respuestas de control, lo que permitir determinar el grado de aprendizaje alcanzado, me-diante su autoevaluacin.

Para la evaluacin por parte de la facultad se considera la eva-luacin de respuesta mltiple similar a la autoevaluacin de las tres unidades, para el efecto al estudiante se le ofrecen cinco alternati-vas, debiendo escoger una respuesta correcta.

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Ciencia es todo aquello sobre la cual siempre cabe discusin.

Ortega y Gasset

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ORIENTACIONES Y PROPSITOS

Al trmino de esta unidad el educando estar en condiciones de:

Identificar los instrumentos y materiales de dibujo de Inge-niera por sus caractersticas bsicas.

Resolver ejercicios y problemas aplicando el concepto de paralelas, perpendiculares y divisin de una recta en partes iguales.

Aplicar los conocimientos adquiridos para trazar la bisectriz y triseccin de ngulos.

L e c c i n I

INFORMACIN GENERAL

1. El dibujo de ingeniera como lenguaje*

A medida que los estudiantes aprenden las habilidades bsicas del dibujo, tambin aumentan sus conocimientos tcnicos generales y aprenden uno de los procesos de ingeniera y manufactura que intervienen en la produccin. Para cualquiera que trabaje en un campo de la tecnologa, es necesario que comprenda este lenguaje grfico y para quienes siguen la carrera de ingeniera, es esencial.

Cuando los dibujos se hacen con instrumentos se llaman instrumentales o manuales. Cuando se hacen con un computador se conocen como dibujos asistidos por computador; cuando se realizan sin instrumentos o sin la ayuda del computador se llaman croquis.

Los intercambios de opiniones entre los representantes de las naciones industrializadas del mundo llevaron a la creacin y adopcin del Sistema Mtrico o sea el Sistema Interna-cional (SI) y a la estandarizacin de los convenios y mtodos de dibujo. En esas naciones in-cluidas el Per, el dibujo de ingeniera se ha convertido en un verdadero lenguaje universal.

A medida que el estudiante aprende las habilidades bsicas del dibujo, tambin au-mentan sus conocimientos tcnicos generales y aprenden algunos de los procesos de ingeniera y manufactura que intervienen en la produccin.

* Jensen, (1993): 1

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2. Dibujo manual: materiales e instrumentos de dibujoLos materiales bsicos indispensables son:

Juego de escuadras: las escuadras son dos, la de 30- 60 y la de 45. Se utilizan para trazar paralelas y perpendiculares

Comps: Se utiliza para trazar crculos y arcos

Regla graduada de 30 cm: Se utiliza para medir distancias y representa la escala 1: 1, o sea los objetos se miden al tamao natural

Transportador para medir ngulos

Portaminas con mina delgada HB

Borrador blanco

Papel bond tamao A4, 20 hojas, permite realizar los ejercicios propuestos.

3. Alfabeto de lneas*Los tipos de Lneas

El alfabeto de lneas es un sistema que da un significado especfico a las lneas indivi-duales en un dibujo de ingeniera. Para interpretar el significado de cualquier plano, usted debe ser capaz de identificar cada lnea y saber exactamente lo que significa cada una.

Hay diez diferentes tipos de lnea en este alfabeto bsico. Estas lneas se muestran en la siguiente figura y se enlistan aqu:

1. Lnea objeto2. Lneas ocultas3. Lneas para los ejes4. Lneas imaginarias5. Lneas de cota6. Lneas de extensin7. Lneas de indicacin8. Lneas para planos de corte9. Lneas de seccin10. Lneas para interrupcin o ruptura

La representacin grfica del alfabeto de lneas es la siguiente:

4. Tipos de escalas

Cuando se dibujan los objetos a tamao natural, se dice que el dibujo est a tamao natural o a escala 1:1.

Sin embargo, muchos objetos, como casas, barcos o aviones, son demasiados gran-des para ser representados a escala natural, de modo que tienen que dibujarse a escala reducida. Un ejemplo sera el dibujo de una casa que podra dibujarse a la escala 1:50.

Con frecuencia, algunos objetos como las pequeas partes de un reloj se dibujan a un tamao mayor que el natural para que se vea claramente. Un dibujo as esta a escala ampliada. Por ejemplo el minutero de un reloj pulsera podra dibujarse a escala 5:1.

Esta problemtica la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliacin o reduccin nece-sarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.

Se define la ESCALA como la relacin entre la dimensin dibujada respecto de su dimensin real, esto es:

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E= dibujo/realidad

Si el numerador de esta fraccin es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliacin, y ser de reduccin en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamao real (escala natural)

Escalas normalizadas

Aunque, en teora, sea posible aplicar valor de escala, en la prctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar de dimensiones mediante el uso de reglas o escalmetros.

Estos valores son:

Ampliacin: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 Reduccin: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50

No obstante, en casos especiales (particularmente en construccin) se emplean cier-tas escalas intermedias tales como:

1:25, 1:30, 1:40,

Ejemplos prcticos

Ejemplo 1

Se desea representar en un formato A3 la planta de un edifico de 60 x 30 metros.La escala ms conveniente para este caso sera 1:200 que proporcionara unas di-

mensiones de 30 x 15 cm, muy adecuadas al tamao del formato.

Ejemplo 2

Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2x 1 mm.La escala adecuada ser 10:1La forma ms habitual del escalmetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con

seccin estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con es-calas diferentes, que habitualmente son:

1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500

Estas escalas son vlidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, as por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escalas 1:30 o 1:3000, etc.

Por supuesto, la escala 1:100 es tambin la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada en cm.

*Jensen, (1993): 6-8

L e c c i n 2

GEOMETRA APLICADA

1. Perpendiculares y paralelas*

PROBLEMA N1. Trazar la perpendicular que pase por el punto medio del segmento dado AB:

Sea el segmento dado AB Sucesivamente se hace centro en A y en B, con un radio mayor que la mitad de

AB, se describen los arcos cuyas intersecciones son C y D; la recta que une estos dos puntos es la perpendicular pedida.

De la igualdad de los dos tringulos DAC y DBC se deduce la igualdad de los dos ngu-los ACD y DCB; CD es, por consiguiente, bisectriz del ngulo total ACB, pero el tringulo ABC es isceles, luego CE es perpendicular a AB y pasa por su punto medio E. Su grfica es la siguiente:

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PROBLEMA N2. Trazar la perpendicular desde el punto A, dado sobre el segmento BC:

Con centro en A, se toman en las dos direcciones opuestas, dos segmentos igua-les y arbitrarios sobre el segmento dado, dando origen a las marcas D y E.

Luego haciendo centro en D y en E, y con un radio mayor que la mitad de su dis-tancia, se describen arcos que se cortan en F.

La recta que une F con A es la perpendicular pedida, porque de la igualdad de los dos tringulos DAF y EAF. La grfica es:

PROBLEMA N3. Trazar la perpendicular por el extremo B del segmento dado AB, sin prolongarla:

Sea el segmento dado AB. Hgase centro en un punto elegido arbitrariamente, por ejemplo, en C, ubicado

prximo al extremo B. Con radio CB, descrbase un arco de crculo que cortar el segmento dado AB, en

los puntos D y B. nase D con C y prolnguese su trazo hasta cortar el arco en E. nase E con B y se tendr la perpendicular pedida. El ngulo ABE es un ngulo recto por ser inscrito en una semicircunferencia. La

grfica es:

PROBLEMA N4. Trazar la perpendicular al segmento dado AB, desde el punto C, situado fuera del segmento:

Sea el segmento dado AB, y el punto C dado fuera del segmento. Con centro en C, descrbase un arco arco de crculo que corte el segmento dado

AB en dos puntos D y E. Hgase centro sucesivamente en D y en E, y con radios arbitrarios, pero iguales,

obtngase la interseccin F. Unindose F con C se tendr la recta que partiendo de C corta perpendicularmen-

te al segmento dado AB. La grfica es:

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PROBLEMA N5. Trazar una recta paralela al segmento dado AB, de modo que tenga sus puntos a una distancia dada C de AB:

Sea el segmento dado AB.

Sobre el segmento dado AB se escogen arbitrariamente dos puntos D y E, sobre los cuales se levantan dos perpendiculares indefinidas.

Con centro en D y en E y con radio igual a la distancia dada C, se cortan las per-pendiculares levantadas en D y E, obtenindose los puntos F y G.

Se unen los puntos F y G y esta ser la recta paralela buscada.

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PROBLEMA N6. Por un punto dado, A, fuera del segmento BC, trazar una paralela:

Sea el segmento dado BC, y el punto A situado fuera del mismo.

Sobre el segmento dado se marca en forma arbitraria el punto D.

Se une el punto dado A con D.

Con centro en D y radio DA se traza un arco, a partir de A, que corter al segmento dado BC en el punto E.

Con el mismo radio y centro en A se traza el arco a partir de D.

Se toma como radio la distancia AE.

Con centro en D se corta al arco trazado, encontrndose la interseccin F.

Se une F con A.

*Musayon, (1989): 74-76)

2. Divisin de una recta en partes iguales

PROBLEMA N7. Dividir la recta dada AB en n partes iguales, por ejemplo en 5

(1er mtodo)

Sea la recta AB, una recta cualquiera de trazo arbitrario.

Trcese por el extremo A una recto indefinida de direccin arbitraria, sobre la cual, a partir de A, se tomar 5 segmentos iguales y sucesivos de magnitud arbitraria.

nase el punto extremo de la serie de tales segmentos con B.

Por los otros puntos de divisin, trcense paralelas a 5B, las cuales, cortarn a la AB en cinco segmentos iguales.

Siendo cortadas las dos lneas A5 Y AB por las paralelas 1-1, 2-2, 3-3, etc., que-dan divididas por stas en partes proporcionales, y siendo adems los segmentos A1, 1-2, 2-3, 3-4, etc., iguales por construccin, sern tambin iguales entre s los segmentos A1. 1 -2, 2-3, 3-4, etc., en los que resulta dividida la recta dada AB.

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PROBLEMA N8. Dividir la recta dada AB en n partes iguales, por ejemplo en 5.

(2do mtodo)

Sea la recta AB, una recta cualquiera, de trazo arbitrario.

Tmese, sobre una recta indefinida XY, como segmentos arbitrarios, e iguales entre s, X-1,1-2, 2-3, 3-4.

Sobre el segmento X5 constryase un tringulo equiltero, XYC.

nase luego el vrtice C con cada uno de los puntos 1,2,3 y 4.

3. ngulos y bisectrices*PROBLEMA N9. Trazar un ngulo igual al ngulo dado NMO.

Sea el ngulo dado NMO un ngulo cualquiera.

Se traza una recta arbitraria, sobre la cual se marca un punto de partida, por ejemplo X.

Con una abertura de comps cualquiera y haciendo centro en el vrtice del ngulo dado, se traza un arco que corta al ngulo en dos puntos a y b.

Con esta misma abertura de comps y haciendo centro en X, se traza tambin el mismo arco.

Se toma la abertura del ngulo dado a travs de los puntos a, b y con esta misma abertura haciendo centro en b, se corta el arco trazado en a.

Se une el punto X con a y se prolonga, obteniendo de este modo la construccin del ngulo NXO, igual al ngulo dado NMO, son iguales los dos tringulos axb y aMb son tambin iguales.

PROBLEMA N10. Trazar la bisectriz del ngulo dado NMO:

Sea el ngulo dado NMO, un ngulo cualquiera.

Hgase centro en el vrtice del ngulo y con un radio arbitrario; descrbase el arco a y b, (minsculas).

Haciendo luego, centro sucesivamente en los puntos a y b, determnese la inter-seccin F.

Siendo el punto F equidistante de los dos lados, la recta que une el punto M con F, ser la bisectriz del ngulo dado.

PROBLEMA N11. Trazar la bisectriz del ngulo formado por las dos rectas L1 y L2, cuyo vrtice cae fuera del campo del dibujo:

Se traza una recta cualquiera que corte a las rectas L1 y L2 , obteniendo los puntos M y N.

Haciendo centro en M y N con un radio cualquiera, se trazan dos semicircunferen-cias y se obtienen los puntos A, R, B, C, S y D.

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Se bisecan los ngulos AMR, BMR, CNS, y SND dichas bisectrices se cortan obte-niendo los puntos P y Q.

La recta que pasa por los puntos P y Q es la bisectriz del ngulo.

4. Divisin de un ngulo en tres partes

PROBLEMA N12. Dividir un ngulo en tres partes iguales dado el ngulo ABC:

A partir del vrtice B, y sobre uno de los lados, se toma una distacia cualquiera obteniendo el punto M.

Por el punto M, se traza una paralela y una perpendicular al otro lado (AB).

Se traza una recta que pase por el vrtice B, de tal manera que al cortar a la perpendicular y a la paralela, esta distancia comprendida, sea igual a dos veces la distancia BM.

El ngulo ABN es igual a un tercio del ngulo ABC.

Al bisecar el ngulo NBC, se obtiene la solucin del problema.

*Musayon, (1986): 79-81.

Lectura

Una tcnica para estudiar*

Este mtodo para estudiar se llama mtodo PQRST* es fcil recordar porque, como se ve, contiene cinco letras consecutivas del alfabeto. Se trata de un procedimiento de estu-dio que se ha preparado para obtener el mximo provecho de los factores que ayudan al aprendizaje se ha puesto a prueba repetidamente, comparndose los resultados obtenidos entre un grupo de alumnos que estudiaron siguiendo el mtodo PQRST, con los de otro grupo que aplic sus mtodos comunes de estudio. Los estudiantes que siguieron el mtodo de estudio QPRST obtuvieron, consecuentemente, un promedio de calificaciones superior en las pruebas que se hicieron del material estudiado que el que obtuvieron los estudiantes que no utilizaron el mtodo PQRST. Se han repetido estos experimentos, mediante procedi-mientos muy diferentes, y se ha comprobado que los grupos que emplean el mtodo PQRST obtienen mejores calificaciones en las pruebas, independientemente de que los grupos en confrontacin dediquen poco o mucho tiempo al estudio. En otras palabras, los alumnos parecen aprender y recordar y ms si utilizan todas las fases del mtodo PQRST, aunque sea rpida y brevemente, que si omiten alguna o algunas de ellas.

En cada una de las cinco etapas que vamos a examinar hay dos cosas que debemos conocer: a) como se realiza la etapa. B) cuales son las consecuencias tiles que se obtienen por realizarla bien.

EL MTODO DE ESTUDIO PQRST

La primera P (preview) etapa en el mtodo de estudio PQRST, consiste en un EXAMEN PRELIMINAR del material que se va a estudiar. Ya sabes lo que es hacer un examen preli-minar. Muchas veces has visto un avance o examen preliminar de la prxima pelcula en un cine una rpida ojeada para ver lo que viene ms adelante para conocer el plan e idea generales, para despertar tu inters. En ver ms, aunque no se ofrecen los detalles lo cual es exactamente lo que tienes que hacer en el examen preliminar del mtodo PQRST.

Puedes efectuar este examen preliminar mediante cualquiera de los diferentes procedi-mientos que se mencionan a continuacin. Muchos autores de libros de texto dividen su material en temas o subtemas. Otros colocan breves ttulos descriptivos al principio de estos temas. Si esto est hecho, el anlisis de estos ttulos te proporcionara unas diademas clara y general del asunto que debes aprender.

Si el autor no ha hecho ninguna de estas cosas, quizs ha preparado un sumario, al

final del artculo o del captulo, en el que se incluyen las principales ideas contenidas en los

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mismos. Si se dispone de estos sumarios contaras con excelentes elementos para hacer el examen preliminar del material. Primero lee el resumen, con el propsito de obtener una idea general del captulo.

La ejecucin adecuada de la etapa que se ha llamada examen preliminar te proporcionara el cuadro general que el autor est dando a conocer en su escrito y te ayudara a descubrir la verdadera idea que est tratando de probar. Distinguir exactamente lo que el autor est tratando de hacer te facilita localizar y reconocer os puntos ms importantes de las paginas que vas leyendo. El examen preliminar tambin te permite juzgar la organizacin del tema que va a estudiar. Es como mirar la imagen de un rompecabezas antes de juntar sus piezas tener una idea general de un capitulo te ayudar considerablemente para ver como se relacionan los temas entre s. Esta etapa del proceso dele estudio muestra la organizacin del autor y te ayuda a precisar porque vas a estudiar este material.

La segunda etapa Q (Question) del mtodo de estudio PQRST, consiste en formularse preguntas. Desde que ests leyendo el ttulo del captulo o del tema, o cuando te encuentres desarrollando el examen preliminar, te detendrs un minuto para preguntarte: Cul ser precisamente el contenido del tema que lleva este ttulo?, y conforme vallas desarrollando el examen preliminar, frmula algunas preguntas que consideres que podrn contestarse mediante una cuidadosa lectura del material. Por ejemplo, imagina que ests leyendo un trabajo sobre la vida de Edgar Allan Poe. Las preguntas que podras esperar que fuesen contestadas son: Cmo fue su infancia?; Cul fue su educacin?; Cmo influyeron estos aspectos en lo que escribi?; hubo algn acontecimiento especial en su vida que permita explicar el horror y la tragedia contenidos en la mayor parte de sus escritos?; es correcto suponer que haya sido influido, considerable y especialmente por los trabajos de algn otro autor?; En qu forma ha influido su obra en otros autores?.

Puedes ver, segn lo anterior, que una de las formas para mejorar el estudio consiste en aprovechar hasta lo mximo todos los elementos tiles que proporciona al autor. Esto indica que, algunas veces, no tomaras las cosas en el mismo orden en que el autor ha colocado en su texto. Si el autor coloca algo (en resumen, por ejemplo, o una lista de preguntas para estudiar) al final de un capitulo y te puede ser ms til si lo lees primero, pues lelo primero!

Esta etapa, que consiste en formularse preguntas, ayuda mucho en el momento de preparar los exmenes. Las buenas calificaciones en los exmenes no son la nica razn para estudiar; pero sera ridculo pretender que no sean importantes en el trabajo escolar.

Nuestra tercera etapa R(Read), en el mtodo PQRST consistes en leer, es decir en ganar informacin mediante la lectura y no lees solamente las palabras. La lectura eficiente exige ser activo. Cuando empezamos la lectura de un estudio que no ha dejado, muchos de no-sotros nos sentamos en una silla cmoda, nos recargamos sobre su respaldo, colocamos nuestros pies sobre el escritorio, el obro sobre nuestras rodillas y, leemos. Nuestros ojos estn activos en palabra por palabra, todo lo que est escrito en la pgina pero nuestras mentes suelen distraerse. El resultado es que leemos un prrafo, palabra por palabra, y entonces, nos damos cuenta de que no tenemos menor idea de lo que hemos ledo.

La trascendencia de la lectura eficaz depende de la actitud. Dicho de otra manera: hay que pensar intensamente en lo que se est leyendo. Tu mente no es como un terreno seco que absorbe el conocimiento sin ningn esfuerzo y que lo toma, tan solo, al entrar en contacto con l. El conocimiento es, mas, bien como una pelota que ha sido pateada al aire y que debe perseguirse y atraparse, antes de hacer algo con ella.

Aprenders en el mismo grado en que tu mente se conserve atenta y comprenda cada aspecto de lo que ests leyendo. Todo aprendizaje es un trabajo que pide a tu cerebro entrar en accin, y esto ocurre cuando actas con inters y dinamismo en relacin con el material que vas a aprender. En el captulo 2 se proporciona otras indicaciones para perfeccionar y acrecentar tus condiciones de estudio, mejorando tu actitud.

El cuarto paso S(State) de nuestro mtodo de estudio consiste en hablar para describir o exponer los temas ledos. Con esto queremos decir repitas oralmente, en tus propias palabras, lo que has ledo. Cuando termines de leer un prrafo, reclnate hacia atrs, deja ver tu libro y vuelve a decir lo que el autor ha mencionado.

Despus de que hayas dominado la ejecucin de esta etapa, tal vez preferirs leer toda una seccin o capitulo antes de detenerte para volver a repetir lo que ya has ledo, y puede serte til, cuando hayas ledo varias pginas, mirar el ttulo del tema para recordar mentalmente lo que se ha mencionado en el. Si lo que ests leyendo no tienes temas con ttulos, entonces subraya las partes importantes conforme las vallas leyendo. Los subrayados te recordaran los puntos importantes y te servirn para reconstruir el tema, en tu imaginacin, tan completamente como sea posible. Si no se trata de un libro de tu propiedad, naturalmente que no debers subrayarlo. En este caso, podras recibir de memoria lo que has ledo y, despus, confirmar con el texto si tu resumen ha sido correcto. Al terminar tu exposicin ser conveniente que vuelvas a pensar en los puntos importantes para comprobar si recuerdas suficientes detalles que abarquen los hechos que se mencionaron en la descripcin.

Al reconstruir el tema por medio de un resumen, subrayados, ttulos o directamente de tu memoria, presenta tus ideas con palabras eficaces para asegurarte de poder manejarlas con claridad y precisin. Reptelas mentalmente o en voz alta. Si lo realizas, esta etapa ntegra-mente probara que respondes al estmulo dele estudio que es absolutamente necesario para el aprendizaje. Te encuentras en plena actividad mental cuando haces un resumen del material que el autor ha expuesto y vuelves a expresar en tema con tus propias palabras. Al hacerlo se desarrolla otro aspecto necesario para el aprendizaje que es atender la organizacin. Es imposible comprender una materia o un tema perfectamente si solo se conocen los hechos individuales de esa materia o tema, o si solo tiene una ligera idea de cmo esos hechos se combinan para dar ms a toda la materia o a todo el tema. No puedes expresar lo que dice el autor, con tus propias palabras, salvo que hayas creado, en forma clara en tu mente, la imagen completa, es decir la organizacin de lo que l est diciendo.

La ltima etapa, T(Test) en tu tcnica de estudios PQRST, consiste en investigar los cono-cimientos que has adquirido. Quiz supongas que, siendo las escuelas y los maestros lo que son, tendrs gran cantidad de exmenes sin que tengas que idear ninguno por ti mismo! Pero la quinta etapa del sistema PQRS (investigar que conocimientos has adquirido), es una

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de las comprobaciones que tienes que hacer para asegurarte mejores calificaciones e esa pruebas que inevitablemente tendrs que presentar.

Esto es realmente una forma abreviada de la etapa anterior ya escrita, pero que se efecta, con fines de repaso, algn tiempo despus de tu primer estudio. Lo que se debe recorrer es que aquel repaso se basa en la meditacin sobre el material que est revisando ms bien que en pasar los ojos rpidamente sobre l. Los mismos conceptos que se han mencionado sobre la actitud y sobre la etapa que hemos llamado hablar (para exponer o describir los temas ledos), se aplican aqu. Cuando se te pasa, se aprende de memoria determinado material no porque tus ojos lo vean por segunda o tercera vez, si no como resultado de lo que sucede cuando tu cerebro empieza a examinar el material completamente por segunda o tercera vez.

Si consideras el repaso como un examen (para ver cuando recuerdas y para determinar cules son tus puntos dbiles, en lugar de mirar solo tus notas o el material), encontraras que recordaras ms y que podrs emplear tus conocimientos con gran provecho al hacer tu examen o al aplicarlos en otros usos. Por lo que, cuando repases, utiliza un procedimiento abreviado del paso que hemos llamado hablar (describiendo o exponiendo los temas ledos). A esto lo llamamos investigacin de los conocimientos que se han adquirido.

Conclusin

Esta es la tcnica el estudio PQRST. Se ha comprobado que cada una de las etapas es un eslabn necesario de una cadena que conduce a un estudio ms eficiente. No hace milagros. No puede proporcionar aprendizaje salvo que lo dediques tiempo y trabajo

Todo esto no es solo teora. Se ha comprobado repetidamente con las experiencias reales de estudiantes y alumnos como t. Ensyalo.

* Staton, Thomas (1974) Cmo estudiar. Mxico D.F., Trillas, pp. 9-22

AUTOEVALUACIN N 1

1. Paradividirunarectaenpartesiguales,culdelosgrficosseutilizan.

Problema 1 Problema 2a) El problema 1b) El problema 2c) El problema 1 y el problema 2d) Faltan datose) N.A.

2. Elsiguientegrficoquerepresenta:

a) Dibujar un ngulo igual al dado. b) Dibujar dos ngulos. c) Dibujar las bisectrices d) Faltan datos e) N.A.

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3. Paratrazarlabisectrizdeunnguloagudoqueimplementosusa:

a) La regla graduadab) Las escuadrasc) Compasd) Regla graduada y compase) N.A.

4. Lasiguientegrficaquerepresenta:

a) Bisectriz de un ngulo con vrtice conocidob) Bisectriz de un ngulo con vrtice desconocidoc) Bisectriz de 4 ngulosd) Bisectriz de 3 ngulos e) N.A.

5. Qurepresentalasiguientegrfica:

a) Dos rectas cualquierab) Recta AB mayor que CDc) Recta CD menor que ABd) Recta AB perpendicular CD en su punto medio.e) N.A.

6. Qurepresentalasiguientegrfica:

a) Bisectriz de un ngulo.b) Dividir un ngulo en tres partes.c) Trazo de paralela a ABd) Faltan datos para bisectrize) N.A.

7. Qu escala usara para representar el horario de un reloj pulsera:

a) Escala 10:1b) Escala 1: 10c) Escala 1: 50d) Escala 1: 1e) N.A.

8. Qu escala usara para medir una casa familiar:

a) 2: 1b) 10: 1c) 1:50d) 50:1e) N.A.

9.Qurepresentalasiguientegrfica:

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a) Perpendicular en su punto mediob) Dos rectasc) Bisectriz de ABd) Perpendicular a AB desde un punto C.e) N.A.

10.Qurepresentalasiguientefigura:

a) Trazado de un crculob) Perpendicular de AB en el extremo Bc) Perpendicular en un punto cualquiera.d) Hallar DCe) N.A.

R e s p u e s t a s d e c o n t r o l1. c, 2. a, 3. d, 4. b, 5. d, 6. b, 7. a, 8. c, 9. d, 10. b

REsUmEN

La representacin de objetos a su tamao natural, no es posible cuando stos son muy grandes o cuando son muy pequeos.

Esta problemtica la resuelve la escala, aplicando la ampliacin o reduccin necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el dibujo.

Se define la escala como la relacin entre la dimensin dibujada respecto de su dimensin real, esto es:

E= dibujo/realidadHay tres tipos diferentes de escalas: La escala natural, es cuando el tamao del dibujo es igual al tamao del objeto.La escala de ampliacin, cuando el objeto es pequeo y desea observarse bien en detalle.La escala de reduccin cuando el objeto es grande o muy grande.Se usarn los instrumentos de dibujo indicados para trazar:

a. Perpendiculares y oblicuas.b. ngulos y bisectrices.

Los problemas explicados y desarrollados permiten adiestrar al estudiante en el manejo de los materiales de dibujo y aplicar en las siguientes unidades, del presente curso.

BIBLIOGRAFA EsPECFICA

Jensen, Cecil (1993) Dibujo Tcnico I. Bogot, Ed. McGraw-Hill. Musayon, Velsquez (1986) Manual de Dibujo Tcnico I. Lima, Educativa-INIDE.

BIBLIOGRAFA COmENTADA

Dias, Jorge (1980) Geometra Descriptiva. Lima, Ed. Universo S.A.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva.

Leighton, B. (2003) Geometra Descriptiva. Barcelona, Ed. Revert S.A. Texto con numerosos problemas de Geometra Descriptiva.

Nakamura, Jorge (2010) Geometra Descriptiva. Lima, W.H. Editores S.R.L. Publishing Co.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva.

Rowe, Charles (1974) Geometra Descriptiva. Mxico, Ed. Continental S.A.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva. .

Vidal, Vctor (1979) Manual de Dibujo Tcnico. Lima, Univ Particular Ricardo Palma. Texto con numerosos problemas de Construcciones Geomtricas.

s e g u n d a

UNIDAD

Polgonos y circunferencias

La ciencia es para el mundo moderno lo que el arte fue para el antiguo.

Disraeli

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Al concluir la presente unidad el alumno estar en condiciones de:

Resolver ejercicios y problemas sobre dibujos de tringu-los y cuadrilteros.

Aplicar los conocimientos adquiridos para dividir una cir-cunferencia en partes iguales.

Construir polgonos de 3, 4, 5, 6, 7 y 9 lados. Construccin de polgonos de N lados impares. Construccin de polgonos de N lados pares. Trazar arco tangente a los lados de un ngulo agudo. Trazar arco tangente a los lados de un ngulo obtuso. Trazar una curva en S que conecte a dos lneas paralelas. Trazar un crculo que pase por tres puntos no alineados.

L e c c i n 3

POLGONOS

1. Construccin de un tringulo dado sus 3 lados* Construir un triangulo, dados sus tres lados A, B, C.:

Se traza, como base del triangulo, un segmento ab igual al lado mayor dado en el problema C.

Hgase centro sucesivamente en sus puntos extremos, y con aberturas de com-pas respectivamente iguales a los lados A y B, descrbanse dos arcos que se cortaran en el punto c, determinados el tercer vrtice del triangulo que se deber unir por medio de dos rectas a los vrtices a y b, obtenindose de este modo el triangulo pedido. Esta solucin es posible cuando la suma de los dos lados A y B es mayor y su diferencia menor que C.

* Vidal, (1979): 123

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2. Construccin de un tringulo dados dos lados y el ngulo comprendido*

Se traza, como base del tringulo, un segmento AB igual al lado mayor dado en el problema, b por ejemplo.

Con vrtice en el extremo A se construye un ngulo igual al ngulo dado;

A la recta resultante que forma el ngulo y que parte del extremo A, se limita con la distancia igual al otro lado dado a, determinando el punto C que sera el tercer vrtice del tringulo;

Se une A con C y con B y obtendremos el tringulo ABC pedido.

3. Construccin de un tringulo, conocidos un lado y los ngulos adyacentes

Se traza el segmento AB igual al lado dado a.

A partir de los extremos A y B, usados como vrtices, se construyen dos ngulos dados, los lados prolongados se cortan en un punto C, que ser el tercer vrtice del tringulo pedido.

Esta solucin es posible, cuando la suma de los dos ngulos dados, es menor que dos rectas.

4. Construccin de un rectngulo dado los dos lados Tmese como base del rectngulo el segmento AB igual al lado mayor dado en

el problema.

En los extremos A y B del segmento trazado, levntese perpendiculares por el mtodo ya conocido;

Tmese con el comps la distancia del otro lado dado a y haciendo centro en los extremos A y B, crtense a las perpendiculares trazadas determinando los puntos C y D, nanse los cuatro puntos, as se obtendr el rectngulo pedido.

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5. Construccin de un paralelogramo

Se traza como base del paralelogramo el segmento AB igual a la distancia del lado mayor b, en este caso;

Se construye a a partir del extremo A un ngulo igual al ngulo dado;

Sobre la recta que forma el ngulo, se determina la distancia del otro lado, en-contrndose la interseccin C;

Con centro en C y radio igual al lado b se traza un arco;

Con centro en B y radio igual al lado a se corta el arco anterior, encontrndose con la interseccin, el punto D;

Se une C con D, D con B, luego unidos los cuatro puntos, se tendr resuelto el problema planteado. Su grfica es la siguiente:

*Musayon, (1986): 83-85

L e c c i n 4

CIRCUNFERENCIAS

1. Divisin de la circunferencia en N partes*

Divisin de la circunferencia en 3 partes iguales

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

Luego se traza el par de dimetros perpendiculares entre s a dicha circunferencia.

Con centro en cualquiera de los extremos de las perpendiculares trazadas y radio igual al de la circunferencia dada, se traza el arco que corta a dicha circunferencia en los puntos E y F;

La distancia EF ser igual a FC, e igual tambin a CE, se unen los tres puntos y obtendremos el tringulo equiltero pedido inscrito.

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Luego se traza el par de dimetros perpendiculares entre s;

Los extremos de estas perpendiculares determinan los puntos AB y CD, determi-nndose los 4 puntos equidistantes sobre la circunferencia dada;

Se unen los 4 puntos y as se obtendr el cuadrado inscrito pedido.



Luego se traza su par de dimetros perpendiculares entre s, los mismos que dan origen a los puntos extremos AB y CD;

Sobre cualquiera de los radios OA, OC, OB, OD, se traza el punto medio m (sobre OA, por ejemplo);

Con centro en m y radio mC se traza el arco que corte al radio OB en el punto E, la distancia CE es igual a la quinta parte de la circunferencia dada;

Se lleva sobre la circunferencia dada 5 veces la distancia CE y la obtendremos dividida en 5 partes iguales;

Se unen estos 5 puntos obtenidos y tendremos la figura del pentgono inscrito pedido en el problema.



Luego se traza su par de dimetros perpendiculares entre s, los mismos que dan origen a los puntos AB y CD;

Con centro en A y en B, y radio igual al de la circunferencia trazada, se trazan arcos que corten a la misma en los puntos E y F y G y H, de este modo tendremos dividida a la circunferencia en 6 partes iguales;

El radio de una circunferencia es igual a la sexta parte de la misma;

Se unen las puntas AE, EG, GB, BH, HF, y FA y obtendremos el hexgono.

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Luego se traza su par de dimetros perpendiculares entre s, los mismos que dan origen a los puntos extremos AB y CD;

Con centro en C y radio igual al de la circunferencia trazada, se corta a la misma obtenindose las intersecciones E y F;

Se une E con F y se determina su punto medio M;

La distancia EM ser igual a la stima parte de la circunferencia dada;

La distancia EM se lleva 7 veces sobre la circunferencia y de este modo la tendre-mos dividida en 7 partes iguales;

Se unen los 7 puntos entre s y obtendremos el heptgono inscrito.

*Musayon, (1986): 87-89

2. Trazar un arco tangente a los lados de un ngulo agudo*

Dado el radio R del arco

1. Dibjese lneas interiores al ngulo, paralelas a los lados del ngulo, a una distan-cia R, de ellas. El centro del arco quedara en C.

2. Ajstese el comps a un radio R y con centro en C, dibjese el arco tangente a los lados del ngulo. Los puntos de tangencia A y B, se encuentran trazando perpen-diculares por el punto C a los lados dados.

Trazado de un arco tangente a los lados de un ngulo agudo

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3. Trazar un arco tangente a los lados de un ngulo obtuso Sgase el mismo procedimiento para el ngulo agudo.

Trazado de una arco tangente a lados de a un ngulo

4. Trazar un crculo en un polgono regular

Dado el tamao polgono, bisquense dos lados por ejemplo, BC y DE. El centro del polgono se localiza en el punto O donde se cortan las bisectrices FO y GO.

El radio del crculo interior es OH y el radio del crculo exterior es OA.

Trazado de un crculo sobre un polgono regular

5. Trazar una curva en s que conecte a dos lneas paralelas Dadas dos lneas paralelas AB y CD, y las distancias X e Y, nanse los puntos B y

C con una lnea.

Dibjese una perpendicular a AB y CD, desde los puntos B y C respectivamente

Seleccinese el punto E, sobre la lnea BC donde las curvas deben encontrarse.

Bisquense BE y EC.

Los puntos F y G, donde las perpendiculares y las bisectrices se cortan, son los centros de los arcos que forman la curva conopial.

Trazado de una curva en s (conopial) que conecta a dos lneas paralelas

6. Trazar un arco tangente a un crculo y a una recta

Dado R, el radio del arco dibjese una lnea paralela a la lnea recta dada entre el crculo y la lnea a una distancia R de la lnea dada.

Con el centro del crculo como centro y radio R, (radio del crculo ms R1, dibjese un arco que corte a la recta paralela en C.

Con centro en C y radio R, dibjese al arco tangente deseado al crculo y a la lnea recta.

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Trazado de un arco tangente a un circulo y a una lnea.

*Jensen, (1993): 85-86.

7. Construir un polgono regular de n lados impares

Por ejemplo trazar un polgono de siete lados.

Se traza una circunferencia de dimetro deseado.

Se divide el dimetro en la cantidad de lados que se desee construir el polgono, en este caso se divide en siete partes.

Se hace centro en los extremos de la circunferencia y con radio igual al dimetro de la misma, se trazan dos arcos alternadamente, que al encontrarse entre s originan los puntos A y B.

Con ayuda de las escuadras se traza rectas desde los puntos A y B, que pasen por los puntos de nmeros pares del dimetro hasta llegar al extremo de la circunferencia, originando los puntos I, II, III, IV, V, VI, y VII.

Con ayuda de las escuadras se unen los puntos obtenidos en nmeros romanos sobre la circunferencia, quedando construido el polgono regular de trece lados (lados impares).

8. Construir un polgono regular de n lados paresPor ejemplo trazar un polgono de ocho lados.

Se traza una circunferencia de dimetro deseado.

Se divide el dimetro en la cantidad de lados que uno desee construir el polgono, en este caso se divide en ocho partes.

Se hace centro en los extremos de la circunferencia y con un radio igual al dimetro de la misma, se trazados arcos alternadamente, que al encontrarse entre s originan los puntos A y B.

Con ayuda de las escuadras se traza rectas desde los puntos A y B, que pasen por los puntos de nmeros impares del dimetro hasta llegar al extremo de la circunferencia, originando los puntos I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII.

Con ayuda de las escuadras se unen los puntos obtenidos en nmeros romanos sobre la circunferencia, quedando construido el polgono regular de ocho lados. (Lados pares)

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9. Rectas tangentes a una circunferenciaTrazar tangentes a la circunferencia de centro o y radio r desde un punto a exterior

a ella.

Se une A con O y se divide en dos partes iguales obtenindose M (AM=MO)

Con centro en M y radio AM se describe un arco de circunferencia que corta a la circunferencia de centro O en B y C, puntos de tangencia.

Las rectas AB y AC sern tangentes pedidas.

10. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias

Trazar tangentes exteriores a dos circunferencias de centros O y O1 y radios R y R1.

Se traza una circunferencia concntrica con la mayor de ambas y de radio igual a la diferencia de los radios dados (R-R1).

Desde el otro centro O se traza tangentes a la circunferencia de radio R-R1.

Las tangentes comunes buscadas sern paralelas a las tangentes concurrentes en O1.

11. Trazar las tangentes interiores a dos circunferenciasTrazar tangentes cruzadas a dos circunferencias de centros A y B y radios R y R.

Se traza una circunferencia con centro en A y de radio R+R.

Desde el centro B se trazan las tangentes a la circunferencia de radio R+R1.

Las tangentes cruzadas buscadas sern paralelas a las tangentes concurrentes en B.

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Lectura

Tcnicas para aprender a aprender y metodologa del aula*

Una de las primeras preguntas que se plantea el profesorado, despus de aprender las tcnicas expuestas; es la siguiente: Cmo y cundo utilizo estas tcnicas en el aula? Este captulo intenta responder a esa cuestin.

Caractersticas generales de las estrategias metodolgicas derivadas del apren-dizaje significativo

Hemos expuesto brevemente las bases del aprendizaje significativo, es decir, en qu consiste y lo que implica en el alumnado. En coherencia con dicho enfoque, la estrategia de trabajo en el aula presenta las siguientes caractersticas fundamentales

EN RELACIN CON EL TIPO DE TRABAJO

Si se pretende aplicar estas tcnicas. en el aula, es necesario plantearse dos modalidades:

1. Trabajo individual: Responde a la concepcin del aprendizaje autnomo. Para que se produzca un aprendizaje significativo es necesaria la implicacin activa de cada alumno/a. Es el alumnado, individualmente considerado, quien tiene que construir sus conocimientos mediante un proceso interno y personal. Por eso, hablamos de que el aprendizaje es idiosincrsico, es decir, que es el propio individuo quien aprende y nadie puede hacerla por l.

2. Trabajo cooperativo: El trabajo en grupo o aprendizaje en colaboracin conlleva intercambio de ideas y aportacin de enfoques, es decir, un enriquecimiento de los conocimientos y formas de pensar. El trabajo en grupo implica el establecimiento de consenso en cuanto a los significados, a la importancia de los conceptos, a la forma de expresin grfica, etc. Supone, pues, compartir los conocimientos, adems de desarrollar otros valores derivados del funcionamiento grupal como una micro sociedad.

Como sntesis podemos obtener la siguiente conclusin relacionada con la metodologa en el aula: compaginar el trabajo individual y el trabajo en grupo.

EN RELACIN CON EL APRENDIZAJE

De nuevo tenemos que hacer referencia a las dos formas de aprender:

1. Forma memorstica: Se corresponde con el aprendizaje superficial. Lo que se intenta prioritariamente es que el alumnado domine el contenido o informacin de un tema; no importa cmo lo domina. No existe una preocupacin fuerte por la comprensin, sino por el resultado en una prueba (examen, exposicin en la clase, etc.). No se rechaza que el alumnado comprenda la informacin o contenido, de tal manera que, incluso, se le sugiere como mejor forma para obtener buenos resultados. Confa mucho en la memorizacin, aunque sea mecnica, como estrategia para obtener resultados positivos.

2. Forma significativa: Como contraposicin a la anterior, se busca un aprendizaje pro-fundo, que implica prioritariamente la comprensin del contenido o informacin. Se pretende que el propio alumno/a construya los conocimientos a travs de su personal forma de pensar. Lo prioritario es la elaboracin de estructuras slidas y estables de conocimiento, aunque con una actitud de flexibilidad que le permita el cambio ante la nueva informacin significativa. Interesa lo fundamental, es decir, las ideas bsicas ms que los conocimientos accesorios y la retencin que provenga de la memorizacin comprensiva.

Como sntesis, se puede deducir la siguiente conclusin en relacin con el contenido: Se pretende el aprendizaje de las ideas fundamentales de la informacin sin descartar lo accesorio.

EN RELACIN CON LA ACTITUD MENTAL

La nueva estrategia metodolgica se apoya en una nueva actitud mental en el profesorado y en el alumnado, que se define por los siguientes rasgos:

1. Pensar positivamente: Tanto el alumnado como el profesorado deben trabajar para tener como referencia los aspectos positivos que se ponen en juego, en el trabajo del aula. As por ejemplo, esta estrategia no encaja con la presentacin de la asignatura cmo , , etc.; o con un nivel de exigencia superior a las posibilidades del alumnado como enseo para los inteligentes, , etc.; o con sentimientos como estos:

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experiencia que se puede vivir con diversin y satisfaccin, aunque suponga esfuerzo y dedicacin. En la vida adulta y juvenil se dan muchas situaciones de entretenimiento, unidas al esfuerzo y dedicacin.

3. Potenciar el auto concepto del alumnado: En consonancia con los puntos anteriores, conviene hacer ver al alumnado que es capaz y tiene habilidades suficientes para progresar en el aprendizaje. Apoyar la actividad positiva que haya realizado y consi-derar los errores como necesidad de mejora son actitudes potenciadoras del alumno como persona y, por tanto, de su aprendizaje. No se pretende ignorar las deficiencias existentes, sino evitar que las carencias o conductas denominadas negativas sean el foco de atencin.

Como sntesis se puede extraer la siguiente conclusin sobre la actitud mental: Potenciar al alumno en su aprendizaje es reconocer sus valores y capacidades. De cara a la eficacia en el aprendizaje podramos recordar aquel dicho antiguo: Ms moscas se casan con una gota de miel que con un barril de vinagre.

*Ontoria, Antonio (2005). Potenciar la capacidad de aprender. Lima, Empresa Editora el Comercio., pp. 181-183.

AUTOEVALUACIN N 2

1. Lasiguienteconstruccinqurepresenta?

a) La mediatriz en Mb) Trazo de dos crculosc) Circunferencia de radio rd) Trazo de tangentes a un crculoe) N.A.

2. Lasiguientegrficaqurepresenta?

a) Construccin polgono de 7 ladosb) Construccin de polgono 8 lados c) Construccin de una circunferenciad) Construccin de dos arcose) N.A.

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a) Trazar un crculo en un polgono regularb) Construccin de dos mediatricesc) Construccin de dos circunferenciasd) Trazar un crculo cualquierae) N.A.


a) Tangentes interiores a dos circunferenciasb) Trazo de la mediatriz de OO1..c) Dibujo de tres circunferencias.d) Tangentes exteriores a dos circunferencias.e) N.A.

5. Lassiguientesgrficasqurepresentan?

a) Trazo de dos paralelas. b) Trazo de arco tangente a los lados de un ngulo obtuso. c) Trazo de arco tangente a los lados de un ngulo agudo. d) Trazo de dos arcos e) N.A.

6.Lasiguientegrficaqurepresenta?

a) Construccin de un crculo inscritob) Construccin de un pentgonoc) Trazo de dos dimetrosd) Construccin de un crculo circunscritoe) N.A.

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a) Construccin de dos mediatrices b) Construccin de BC c) Construccin de BE d) Construccin de una curva en S e) N.A.


a) Construccin de un hexgono inscrito.b) Construccin de un polgono cualquiera. c) Construccin de dos arcos. d) Construccin de una circunferencia.e) N.A.


a) Construccin de un tringulo dado 3 lados. b) Construccin de un tringulo dado dos lados. c) Construccin de un tringulo dado dos lados y el ngulo comprendido. d) Construccin de un tringulo dado dos lados y el ngulo en C. e) N.A.


a) Construccin de un rectngulo.b) Construccin de un paralelogramo.c) Construccin de un polgono.d) Construccin de un rombo.e) N.A.

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R e s p u e s t a s d e c o n t r o l1. d, 2. b, 3. a, 4. d, 5. c, 6. b, 7. d, 8. a, 9. c, 10. b

REsUmEN

Se usarn los instrumentos de dibujo indicados al inicio del curso para trazar:a. Tringulosb. Cuadrilteros.c. Divisin de una circunferencia en tres, cuatro, cinco, seis y siete partes.d. Trazar un arco tangente a los lados de un ngulo agudo.e. Trazar un arco tangente a un ngulo obtuso. f. Trazar un crculo en un polgono regular.g. Trazar una curva en S que conecte a dos lneas paralelas.h. Trazar un arco tangente a un crculo y a una recta.i. Construir un polgono regular de N lados impares.j. Construir un polgono regular de N lados pares.Los problemas explicados y desarrollados permiten adiestrar al estudiante en el manejo de los materiales de

dibujo y aplicar en las siguientes unidades, del presente curso.

BIBLIOGRAFA EsPECFICA

Jensen, Cecil (1993) Dibujo Tcnico I. Colombia, Ed. McGraw- Hill Musayon, Velsquez (1986) Manual de Dibujo Tcnico I. Lima, Editorial Educativa-INIDEVidal, Vctor (1979) Manual de Dibujo Tcnico. Lima, Univ. Particular Ricardo Palma. .

BIBLIOGRAFA COmENTADA

Dias, Jorge (1980) Geometra Descriptiva. Lima, Ed. Universo S.A.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva.

Leighton, B. (2003) Geometra Descriptiva. Barcelona, Ed. Revert S.A.

Texto con numerosos problemas de Geometra Descriptiva.

Nakamura, Jorge (2010) Geometra Descriptiva. Lima, W.H. EDITORES S.R.L. Publishing Co.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva.

Rowe, Charles (1974) Geometra Descriptiva. Mxico, Ed. Continental S.A.Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometra Descriptiva. .

EXPLORACIN ON LINE

www.dibujotecnico.comClase virtual sobre problemas de isometra, actualizado al 02/05/13

www.geometriadescriptiva.com Clase virtual sobre teora y problemas de geometra descriptiva, actualizado al 02/05/13.

t e r c e r a

UNIDAD

Proyecciones, recta y plano

En el punto donde se detiene la ciencia empieza la imaginacin.

Gaultier

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Al concluir la presente unidad el alumno estar en condiciones de:

Resolver ejercicios y problemas sobre proyecciones Aplicar los conocimientos adquiridos para aplicar las reglas

de visibilidad Dibujar slidos a partir de sus vistas principales Hallar el depurado de un slido Hallar la verdadera magnitud de una recta Determinar la pendiente de un plano Determinar la orientacin de un plano Hallar la verdadera magnitud de un plano

L e c c i n 5

PROYECCIONES

1. Concepto de proyeccin*Si se tiene un slido tal como se muestra en la siguiente figura:

P

z70z z71z


Imaginemos dicho slido dentro de una caja de vidrio transparente de la siguiente figura:

Se observa que dicho slido se proyectar en la parte superior que se denomina vista horizontal (H), en la vista de frente que se llama vista frontal (F) y en la vista lateral derecha que se llama vista de perfil( P).

Si en la referida caja de forma tridimensional, se gira alrededor de sus aristas se ob-tiene una figura que recibe el nombre de depurado, tal como se muestra en el siguiente grfico:

De esta forma se obtiene una figura de dos dimensiones, donde se muestra las vistas Horizontal (H), la vista frontal (F) y la vista de perfil (P).

2. El puntoEn el siguiente ejemplo el punto A dentro de la caja, se ha proyectado en la vista

horizontal H, en la vista frontal F y en la vista de perfil P, y al lado derecho se est co-menzando a realizar el depurado.

Con igual criterio si tenemos un punto A dentro de una caja, se proyectar en la parte superior , en la parte frontal y en la vista de perfil, lo mismo se aplica para el punto B, segn se indica en la siguiente grfica, con su depurado.

z72z z73z


3. VisibilidadesCuando se dibuja un slido, es necesario indicar las visibilidades, o sea las lneas que

sean visibles o invisibles.

Las lneas visibles se trazan con lneas continuas y las lneas invisibles con lneas dis-continuas o punteadas.

En la siguiente figura se muestran dos cubos que ocupan la misma posicin, pero las visibilidades han variado. En la figura (a), el punto C se encuentra cerca del observador, pero en la figura (b), el punto C se encuentra ms alejado del observador.

*Nakamura, (2010) : 14-18

4. Reglas de las visibilidades*

Las lneas o aristas exteriores que forman el contorno de cada proyeccin son visibles, como por ejemplo se ilustra:

El vrtice o arista ms cercana al observador es visible, siendo muchas veces ne-cesario la inspeccin de una vista adyacente para determinar cul es ms cerca-no. Por ejemplo en la siguiente figura, el punto 0F, est ms cerca de la lnea H-F, en consecuencia en la otra vista horizontal, del punto 0H saldrn lneas continuas, segn la siguiente figura:

El vrtice o arista que est ms alejado del observador, es invisible si cae dentro del contorno de la proyeccin, asi tenemos que en la figura anterior se observa que el punto BH es el ms alejado de la lnea H-F, en consecuencia en la vista frontal, la lnea OFBF ser invisible.

Si en una de las vistas del slido, dos rectas aparecen cruzadas, una de ellas es visible y la otra invisible. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:

*Mosto(1980): 27-28

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z75z

5. Proyeccin en el tercer cuadranteEn el desarrollo de proyecciones del presente curso, el caso ms usual es la proyec-

cin en el tercer cuadrante o proyeccin ASA (American Estandar Asociation) en el que los planos de proyeccin estn entre el observador y el objeto, segn se muestra en la siguiente figura:

L e c c i n 6

LA RECTA

1. Representacin y nomenclatura de una recta

La recta tiene las siguientes caractersticas:

Tiene una sola dimensin que es su longitud. Es ilimitada. Si se le asigna un punto de inicio y un punto final se llama segmento. Se determina en direccin y posicin por dos puntos cualquiera.

En la siguiente figura se representa los puntos A y B que limitan el segmento de recta.

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2. Depurado de una rectaConforme se expuso anteriormente, cuando se desee construir las proyecciones de

una recta AB, en los planos de proyeccin se unirn las proyecciones de A y B en los planos horizontal y frontal. En la siguiente grfica tambin se indica el depurado res-pectivo.

3. Puntos contenidos en una rectaSi un punto pertenece a una lnea recta, las proyecciones de dicho punto aparecen en

todas las proyecciones de la recta, tal como aparece en la siguiente grfica.

4. Rectas paralelasDos rectas son paralelas cuando sus proyecciones en cualquier plano sern tambin

paralelas entre s, lo que se puede apreciar en el siguiente grfico.

5. Rectas perpendicularesDos rectas son perpendiculares cuando al cortarse o cruzarse forman un ngulo de

90. Para observar el ngulo recto por lo menos uno de ellos debe proyectarse en ver-dadera magnitud (VM), conforme se aprecia en el siguiente grfico:

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6. Posiciones particulares de una recta*Se analizan los siguientes casos:

Recta horizontal. Es la recta paralela al plano horizontal de proyeccin. En la vista horizontal aparece en igual magnitud y se le conoce con el nombre de verdadera magnitud (VM). En la siguiente grfica se representa su proyeccin y su depurado.

Recta frontal. Es la recta paralela al plano frontal de proyeccin. En la vista frontal aparece en igual magnitud (VM). En la siguiente grfica se representa su proyec-cin y su depurado.

Recta de perfil. Es la recta paralela al plano de perfil de proyeccin. En la vista de perfil aparece en igual magnitud (VM). En la siguiente grfica se representa su proyeccin y su depurado.

7. Verdadera magnitud de una recta

En el caso que la recta no ocupe una posicin particular como recta horizontal, recta de frontal y recta de perfil que se vieron anteriormente para hallar la verdadera magni-tud, es necesario recurrir a un plano auxiliar paralelo a la recta para hallar la verdadera magnitud de la recta.

As tenemos la recta AB de la grfica siguiente, se muestra una vista auxiliar F-1 de la vista frontal paralela a la proyeccin AFBF, la vista A1B1 ser la verdadera magnitud (VM) de la recta.

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Tambin se puede hallar la verdadera magnitud de la recta AB, tomando la paralela a la vista horizontal H-1, obtenindose la recta, A1B1, as tenemos la siguiente grfica.

8. Vista de punta de una recta

Para hallar la vista de punta de una recta son necesarias dos vistas auxiliares, si-guiendo el mismo criterio de la verdadera magnitud. La primera vista auxiliar para hallar la verdadera magnitud de la recta y la segunda se toma sobre un plano perpendicular a la verdadera magnitud hallada, en esta proyeccin se tiene la vista de punta de la recta, segn se muestra en la siguiente grfica:

9. Orientacin de una rectaLa orientacin de una recta siempre se toma en la vista horizontal. Por definicin la

orientacin ser el ngulo agudo determinado por la vista horizontal de la recta y el meri-diano (lnea Norte-Sur) y se especifica dando primero el sentido N o S luego el ngulo y fi-nalmente la orientacin E u O . Por ejemplo en la siguiente figura la orientacin es N60E.

10. Pendiente de una recta

La pendiente de una recta se define como el ngulo que determina la recta con el plano horizontal, que se puede expresar en grados o porcentaje. Segn se muestra en las siguientes figuras:

La frmula de la pendiente es:

Pendiente= altura verticaldistancia horizontal100

Segn la recta puede ir hacia arriba o hacia abajo, la pendiente puede ser positiva o negativa. El signo de la pendiente se considera vectorial, por ejemplo en las grficas anteriores la pendiente de la recta AB ser positiva, debido a que B est encima de A, donde se ha tomado la direccin de A a B.

*Nakamura, (2010): 69-74

z82z z83z


PROBLEMA 1

Hallar la vista horizontal del punto O, sabiendo que pertenece a AB.

Solucin. Debido a que A, B y O se encuentran en la misma lnea, es necesario

tomar una vista de perfil AB, ubicndose en esta vista el punto OP , y luego la distancia x a la vista auxiliar F-P, se lleva a la vista horizontal. Su grfica es la siguiente:

PROBLEMA 2

Determinar la vista frontal del punto x, sabiendo que pertenece a MN.

Solucin. Similar al problema anterior, se toma la vista de perfil MN, luego se lleva la distancia y de la vista horizontal a la vista de perfil, ubicndose XP, obtenindose XF.

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PROBLEMA 3

Completar la vista horizontal del segmento MN, sabiendo que corta a AB.

Solucin. A partir de OF, se levanta una paralela a AB, obtenindose el punto OH, se une MH con OH, se prolonga y se obtiene NH.

L e c c i n 7

EL PLANO

1. Determinacin de un plano*

Para determinar un plano basta situar tres puntos del mismo que no estn en lnea recta. Se observa que una superficie plana est limitada por un contorno de lneas rectas o curvas.

Un plano queda determinado por las siguientes formas: Dos rectas que se cortan AB y CD como el siguiente ejemplo:

z86z z87z


Por dos rectas paralelas:

Por un tringulo:

Por un paralelogramo:

* Leighton, (2003): 86

2. Recta contenida en un plano*

En la siguiente figura se da el plano ABC y la recta MHNH, que corta al plano en XHYH. Se pide hallar la vista frontal de esta recta.

De XHYH se bajan paralelas hasta el tringulo obtenindose la recta XHYF:

3. Rectas notables en un planoDe igual forma que se hall en la recta, se puede hallar en el plano las rectas nota-

bles que son recta horizontal, recta frontal y recta de perfil, tal como se muestra en las siguientes grficas:

z88z z89z


4. Puntos contenidos en un planoEn la siguiente figura se tiene el plano ABC y el punto OF, contenido en el plano, se

pasa una recta que pase por dicho punto, se halla la vista horizontal de dicha recta y sobre ella se encuentra OH.

5. Posiciones particulares de un plano

Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal de proyeccin, proyec-tndose en verdadera magnitud en el plano horizontal.

Plano frontal. Es un plano paralelo al plano frontal, proyectndose en verdadera magnitud en el plano frontal.

Plano de perfil. Es un plano paralelo al plano de perfil, proyectndose en verdade-ra magnitud en el plano de perfil.

En las siguientes grficas se observan las tres posiciones del plano indicadas.

6. Vista de canto y verdadera magnitud de un planoPara hallar la vista de canto y verdadera magnitud se debe seguir la siguiente se-

cuencia:

Primero se halla la vista de canto. Segn la siguiente grfica se parte del punto BF una paralela a la lnea H-F, sube hasta tocar la recta AHCH, se prolonga por BH. Se traza una perpendicular H-1 a BH. Luego se lleva la distancia de AF a la lnea H-F a partir de H-1 obtenindose el punto A1, de igual forma se halla B1 y C1. La recta A1B1C1, es la vista de canto.

Luego se halla la verdadera magnitud del plano, en la misma figura se toma una vista auxiliar 1-2 paralela a esta vista de canto y se lleva la distancia AH a H-1, a partir de la recta 1-2 obtenindose el punto A2, de la misma forma se halla B2 y C2. El tringulo A2B2C2 es la verdadera magnitud del plano ABC.

*Nakamura, (2010):108-112

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PROBLEMA 1

Hallar la vita de canto y la verdadera magnitud del plano ABC.

Solucin. El problema de hallar la verdadera magnitud es similar al explicado en la grfica anterior, comenzando el dibujo en el punto CF, su grfica es el siguiente:

PROBLEMA 2

Hallar la vista de canto y verdadera magnitud del plano ABCD.

Solucin. El desarrollo es similar al problema anterior debindose comenzar el dibujo en el punto.

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PROBLEMA 3

Sobre el plano MNP ubicar un punto O que se encuentre 2 cm delante y 1.5 cm debajo del vrtice M.

Solucin. A partir de MH, se baja 2 cm y a partir de MF, se baja 1.5 cm, el punto que cumpla las dos condiciones, ser las intersecciones de las rectas horizontal y frontal.

PROBLEMA 4

Hallar la distancia del punto P a la recta AB.

Solucin. Segn lo estudiado el punto P y la recta AB determinan un plano PAB, el desarrollo es igual al problema 1.

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PROBLEMA 5

Completar la vista frontal de la recta AB sabiendo que su pendiente es 30 negativa.

Solucin. Se halla la vista auxiliar H-1, obtenindose el punto desde el cual se traza una recta cuya pendiente sea 30 (negativa), ubicndose el punto , llevndose la dis-tancia a, a la vista frontal.

PROBLEMA 6

Trazar por el punto O un segmento de 3 cm de longitud, con una pendiente de 45 positiva y con una orientacin N30O.

Solucin. Se realiza la secuencia a, b y c segn la siguiente grfica.

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PROBLEMA 7

Hallar la vista de punta del segmento MN.

Solucin. Mediante la vista auxiliar H-1 se halla la verdadera magnitud de MN y me-diante el plano auxiliar 1-2 se halla la vista de punta M2N2.

PROBLEMA 8

Sobre XY ubicar un punto que diste 2 cm del extremo X.

Solucin. Mediante la vista auxiliar H-1, se halla la verdadera magnitud, a partir de X1 se mide 2 cm, obtenindose P1, que se lleva a las vistas horizontal y frontal.

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Lectura

Aprender y ensear en una nueva sociedad*

Es una idea generalizada que hemos entrado en una nueva sociedad denominada era de la informacin, sociedad de las nuevas tecnologas, etc. Al contraponer sociedades o culturas se habla del paso de la sociedad industrial a la sociedad de la informacin. De hecho, el cambio que han originado la informtica o las nuevas tecnologas se evidencia en el funcionamiento de todos los organismos y de todas las sociedades industriales y cultu-rales. Sin embargo, su introduccin, en la enseanza, en los centros educativos, es todava mnima. La enseanza parece seguir inmersa en una etapa anterior, sin la menor incidencia de la nueva cultura del aprendizaje.

Caractersticas de la nueva sociedad

Somos conscientes, incluso por experiencia, de la repercusin de las nuevas tecnologas que definen la sociedad de la informacin; desde la simple utilizacin del ordenador como sustituto de la mquina de escribir, hasta la navegacin por Internet; pasando por los CD-ROMS, televisin digital, etc. Todo ello nos permite intuir las posibilidades actuales de la informacin disponible y de la forma didctica atractiva con la que se presentan.

El aprendizaje de la sociedad industrial, supuso ya un cambio global y radical en la estructuracin social y en el rendimiento eficaz del trabajo. Se cre una nueva cultura y una original concepcin de la vida, pues la mquina superaba con creces la mano humana y ahorraba una gran energa fsica. El conocimiento e informacin se vean incrementados con la imprenta, la prensa, etc.

Pero en la nueva sociedad de la informacin el cambio es toda~ va mayor en su globalidad, rapidez y formas de vida.

Para presentar las caractersticas fundamentales que definen esta nueva cultura, nos apoyamos en tres anlisis:

1. Los estudios realizados por la World Future Society (Brockert y Braun, 1997:195-200) confirman que el desarrollo del aprendizaje est influido por el progreso que supone la era de las nuevas tecnologas, de tal manera que la escuela, como se concibe hoy resultar caduca y obsoleta.

Al no poder reproducir todos los factores que estos autores enumeran, nos limitamos a entresacar los ms relacionados con nuestro trabajo:

Internet crecer, ser ms influyente y se extender por todo el planeta. Una cultura mundial dominar a todas las personas. Se perdern muchas culturas y

surgirn otras nuevas.

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Aumentar la velocidad de los cambios tecnolgicos, sociales y culturales. La realidad virtual sustituir progresivamente a la experiencia directa. La existencia de tantos conocimientos implicar replantearse lo que en realidad

debern aprender los jvenes. Los contenidos de la formacin llegarn a casa prefabricados y envasados. Las aulas agruparn a escolares con intereses y capacidades marcadamente dife-

rentes. Se potenciarn los estudios a distancia. Los profesores estarn destinados a fabricar programas informticos y a mantener

y controlar a los escolares en sus estudios y en su comportamiento. Se extender el aprendizaje durante toda la vida. Se fomentarn los trabajos creativos con la informtica. La productividad aumentar rpidamente, el nivel medio de vida crecer y las dife-

rencias sociales se incrementarn considerablemente. Los gobiernos solo tendrn un control muy limitado sobre el trfico de las autopistas

de la informacin y sus decisiones estarn ms influencia por los ciudadanos. Las nuevas tecnologas potenciarn la inactividad fsica, lo cual repercutir tambin

en la salud fsica y mental. Al mismo tiempo, influirn negativamente en la capacidad de pensar y en la toma de decisiones autnomas.

2. McCarthy (1991) sintetiza en cuatro puntos las caractersticas de la sociedad de la informacin:

Eclosin de informacin: La cantidad de informacin disponible con las nuevas tecno-logas y a la cual se puede tener acceso por medio de la computadora es incalculable, tanto en relacin con el pasado como con la que se produce en la actualidad. De hecho, se puede almacenar gran cantidad de informacin en un simple disco y se puede adquirir informacin nueva antes de asimilar la que ya se posee.

Cambio del espacio conceptual: La rapidez de la informtica lleva a un cambio del concepto de espacio y tiempo. A travs de las nuevas tecnologas se est conectado con todo el mundo, lo cual implica un cambio en la eficacia, en las reacciones y en el dinamismo personal, que modifica la potencialidad de aprendizaje.

Unificacin planetaria: Se tiende a la unificacin planetaria debido a las redes de comunicacin informtica. Todo ello comporta unas mayores intercomunicaciones culturales, econmicas y sociales, con sus ventajas e inconvenientes.

Influencia y transformacin cultural: El dominio de los medios de comunicacin potenciar una transmisin interesada de la cultura, y una mentalizacin hacia nuevos valores, de tal manera que la posibilidad de manipulacin ser muy fuerte. Este hecho se reflejar en las manifestaciones culturales, en la comercializacin y financiacin de proyectos, productos, espectculos, arte, estilos de vida, etc.

* Ontoria, Antonio (2005) Potenciar la capacidad de aprender a aprender. Lima, Empresa Editora El Comercio., pp.17-19

AUTOEVALUACIN N 3

1.Enlasiguientegrficaindicarculessonlasvistasprincipales:

a) Horizontal, frontal y perfilb) Horizontal y frontalc) Horizontal y perfild) La vista de arriba y la vista de frentee) N.A.

2.Qurepresentanlassiguientesgrficas?

z102z z103z


a) Las vistas principales H, F y P.b) Grfica del punto A.c) Dibujo del slido.d) Depurado del punto A y B.e) N.A.

3.Qusehallenlasiguientegrfica?

a) La recta ABb) El punto c) El punto d) El punto e) N.A.

4. LasrectasMNyPGdelsiguientegrficoqurepresentan?

a) Un paralelogramob) Un depuradoc) Un planod) Lneas paralelase) N.A.

5. La pendiente de una recta se puede expresar en:

a) ngulos o porcentajeb) ngulos c) Porcentajed) metrose) N.A.

6.EnlasiguientegrficaindicarculeslaverdaderamagnituddelplanoABC

a) Recta A1B1C1b) Plano ABCc) Plano A2B2C2d) Vista auxiliar 1-2e) N.A.

z104z z105z


7.Enlasiguientegrficaindicarlavistadecanto.

a) Plano ABCb) Recta A1B1C1c) Vista auxiliar H-1d) Plano e) N.A.

8.EnlasiguientegrficaindicarlaorientacindelarectaAB.

a) 60b) N60Oc) S 60 Ed) N60Ee) N.A.

9.Qurepresentadelasiguientefigura:

a) Vista de canto de AB.b) Vista auxiliar F-1c) Verdadera magnitud de AB.d) Recta horizontale) N.A.

10.Eldepuradodelarectadelafiguracorrespondea:

z106z z107z


a) Recta frontalb) Recta de perfilc) Recta oblicua2d) Recta horizontale) N.A.

R e s p u e s t a s d e c o n t r o l1. a, 2. d, 3. b, 4. d, 5. a, 6. c, 7. b, 8. b, 9. c, 10. d

REsUmEN

Se usarn los instrumentos de dibujo indicados al inicio del curso para resolver ejercicios y problemas re-lacionados con:

a. Proyeccionesb. Dibujos isomtricosc. El puntod. La representacin de la rectae. Rectas paralelas y perpendicularesf. Verdadera magnitud de una recta g. Orientacin y pendiente de una rectah. Rectas notables en el planoi. Posiciones particulares de un planoj. Vista de canto y verdadera magnitud de un planoLo

Date post:	29-Sep-2015
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geometria descriptiva

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