GEOMETRIA EUCLIDIANA

3.1. CONCEPTOS BSICOS 3.1.1. TRMINOS PRIMITIVOS En la Geometra Moderna se asumen como trminos primitivos o indefinidos, es decir como punto de partida, los conceptos de Punto, Recta y Plano.

La Geometra toma estos trminos como punto de partida, evitando el tratar de dar una definicin, precisa, para no caer en un crculo vicioso en el que se tenga que usar conceptos cuyas definiciones sean ms complejas que el trmino que se quiere definir. NOTACIN: Representaremos los puntos con letras maysculas: A, B,.., P, Q,..etc. Las lneas rectas las representaremos con letras minsculas, colocndole encima una flecha con doble punta: ....,,, etclm

; tambin las representaremos usando dos letras maysculas, que

representen puntos contenidos en dicha recta, as

PQ representa la recta que pasa por los puntos P y Q. Los planos los representaremos usando letras griegas o bien usando tres letras maysculas que representen puntos contenidos en el plano, pero que no estn sobre la misma recta: , , , ,..., plano ABC,.. 3.1.2. AXIOMAS Y DEFINICIONES BSICAS AXIOMA 1. Todas las rectas y planos son conjuntos de puntos. DEFINICIN 1. El conjunto de todos los puntos se llama Espacio. Hemos de tener presente estos enunciados al momento de representar simblicamente alguna relacin entre puntos, rectas y planos. El espacio, que podemos representarlo por S, representar el Conjunto Universo; las rectas y planos son conjuntos, mientras que los puntos son los elementos.

As para indicar que el punto P est contenido en la recta m o bien que la recta

m pasa por el punto P,

escribimos P m . Para indicar que la recta m est contenida en el plano , escribimos m . Para indicar que las rectas

m y

n se cortan en el punto P, escribimos }{Pnm =

POSTULADO DE LA RECTA AXIOMA 2. Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.

Simblicamente: P, Q S, P Q ! m S tal que {P, Q} m

P

m

Elementos Fundamentales de la Geometra

130

m

B A

Notemos que el axioma asegura la existencia y unicidad de la recta que pasa por dos puntos cualesquiera. Podemos afirmar entonces que dos puntos determinan una recta.

Notacin: La recta que contiene a los puntos P y Q se denota por PQ

DEFINICIN 2. Los puntos de un conjunto decimos que estn alineados o que son colineales, si hay una recta que los contiene.

DEFINICIN 3. Los puntos de un conjunto son coplanares si hay un plano que los contiene.

AXIOMA 3. Tres puntos cualesquiera estn al menos en un plano y tres puntos no colineales estn exactamente en un plano. Es equivalente a afirmar: i) tres puntos cualesquiera son coplanares ii) tres puntos cualesquiera no colineales determinan un plano.

Simblicamente: P, Q, R S, P QR ! S tal que {P, Q, R} AXIOMA 4. i) cada recta contiene al menos dos puntos ii) cada plano contiene al menos tres puntos no colineales iii) el espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares. AXIOMA 5. Si dos puntos de una recta estn en un plano, entonces la recta est contenida en el mismo plano.

mBAymBA ,, AXIOMA 6. Si dos planos diferentes se intersecan, su interseccin es una recta.

1 2, 1 2 1 2 = m

A B C

D

En la figura: A, B y C son colineales. A, B y D no son colineales

A B

C

En la figura A, B y C representan puntos coplanares, lo que indicamos por: {A, B, C}

1

m

1

2


131

1m

2m

P

P

m

A B C

3.1.3. ALGUNOS TEOREMAS BSICOS TEOREMA 1. Si dos rectas diferentes se intersecan, su interseccin contiene un punto solamente.

{ }Pmmmmmm 212121 = ,

TEOREMA 2. Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la interseccin contiene un solo punto. m , m m = {P}

TEOREMA 3. Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que las contiene.

P m ! S, tal que { P }

m

TEOREMA 4. Dadas dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene.

!, 2121 mmmm tal que

21 mm 3.1.4. DISTANCIA. SEGMENTOS Y RAYOS. DEFINICIN 4. A cada par de puntos P, Q S podemos asociar un nmero real no negativo llamado la distancia de P a Q, denotado por d (P, Q) o bien por PQ, que satisface las siguientes propiedades:

i) d : S x S R ii) d ( P, Q) 0, P, Q S iii) d (P, Q) = d (Q, P) iv) Si P = Q entonces d (P, Q) = 0

Las propiedades (i) y (ii) nos indican que para toda pareja de puntos podemos encontrar un nmero que llamamos distancia y que este nmero es no negativo. La propiedad (iii) nos indica que no importa el orden en que tomemos los puntos para encontrar la distancia entre ellos. En algunas aplicaciones es conveniente considerar distancias negativas y positivas; en tales casos hablamos de distancia dirigida, y la distancia de P a Q es el negativo de la distancia de Q a P. En nuestro caso consideraremos la distancia en el sentido dado por esta definicin, es decir como distancia no dirigida. VALORES INTERMEDIOS DEFINICIN 6. Decimos que B est entre A y C, y escribimos A B C si

i) A, B y C son puntos distintos de una misma recta y ii) AB + BC = AC

Pueden probarse los siguientes teoremas sobre valores intermedios:

TEOREMA 5. Si A, B, C m A B C C B A

P

m

P Q R

1m

2m


132

TEOREMA 6. Si A, B, C m A B C A C B B A C

Es decir dados tres puntos (distintos) colineales, necesariamente uno de ellos est entre los otros dos. TEOREMA 7. Dados A B, entonces existen puntos C, D y E tales que A C D, A B D y E A B. SEGMENTOS

DEFINICIN 7. Para dos puntos cualesquiera A y B el segmento, denotado por __AB , es el conjunto de

los puntos A y B, y de todos los puntos que estn entre A y B. __AB = {A, B} U {x / A X B}

Los puntos A y B se llaman extremos de __AB . Se tiene tambin que

____BAAB =

A la distancia entre los puntos A y B, AB, se le llama la longitud o medida del segmento.

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS DEFINICIN 8. Dos segmentos con la misma medida se llaman congruentes. La relacin de congruencia se denota con el smbolo

______CDAB AB = CD.

El concepto de congruencia est muy cercano al concepto de igualdad, sin embargo son conceptos diferentes. La igualdad es estrictamente la relacin que conecta dos nombres para el mismo objeto, en cambio la congruencia relaciona dos objetos que tienen en comn la forma y el tamao. En las figuras los segmentos congruentes se indican colocando la misma marca sobre ellos. As por ejemplo

TEOREMA 8. Para segmentos, la relacin de congruencia es una relacin de equivalencia, es decir una relacin reflexiva, simtrica y transitiva:

i) ___AB ___AB (Reflexividad) ii) Si ___AB

___CD ___CD ___AB (Simetra)

iii) ___AB ___CD ___CD ___EF ___AB ___EF (Transitividad)

DEFINICIN 9. RAYO

Sean A y B dos puntos de una recta m . El rayo, denotado por

AB , es el conjunto de los puntos del

segmento AB y el conjunto de todos los puntos X tales que B est entre A y X.

AB = AB U {X / A B X}

El punto A se llama extremo del rayo

AB . Notemos que el rayo es un conjunto infinito.

A B d (A, B) = m (

__AB ) = AB

A B

C D En la figura se indica que

________BCADyDCAB

A B C


133

Si C es un punto cualquiera que pertenece al rayo

AB , C A, se tiene AB = AC . Esto es, para representar un rayo, nombramos el punto inicial y otro punto cualquiera que pertenezca al rayo.

En general

AB BA . Adems AB BA = __AB y AB BA = AB .

DEFINICIN 10. Si A est entre B y C, entonces

AB y

AC se llaman rayos opuestos.

DEFINICIN 11. PUNTO MEDIO

Un punto B se llama punto medio de un segmento ___AC , si B est entre A y C (A B C) y AB = BC.

Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento. En una recta con un sistema de coordenadas, los segmentos representan intervalos cerrados y los rayos intervalos infinitos, cerrados por el extremo.

TEOREMA 9. Sea AB un rayo y sea x un nmero positivo, entonces existe exactamente un punto P de

AB tal que AP = x.

TEOREMA 10: Dado un segmento __AB y un rayo

CD existe un nico punto E CD , tal que __AB __CE .

TEOREMA 11: Si A B C, A B C, _________

C'B'BC,B'A'AB entonces _____

C'A'AC .O sea ______ACBCAB =+

Estos teoremas nos posibilitan poder construir cualquier segmento sin importar su longitud y considerar la suma y resta de segmentos. Notemos que sta es una suma especial, por cuanto los segmentos son conjuntos de puntos, no son nmeros. TEOREMA 12. Todo segmento tiene exactamente un punto medio. 3. 1. 5. CURVAS CERRADAS SIMPLES Y REGIONES. CONVEXIDAD. Una curva en el plano es un conjunto continuo, infinito de puntos. Esta puede ser abierta o cerrada. Si la asociamos al trazado en una hoja de papel con un lpiz, de manera informal podemos decir que una curva en el plano, es un conjunto de puntos que puede ser trazado sin levantar el lpiz. Si la curva puede ser recorrida iniciando en cualquier punto y regresar al mismo, decimos que es una curva cerrada, en caso contrario decimos que es abierta. Una curva cerrada simple es aquella que comienza y termina en el mismo punto sin que se cruce o se vuelva a tocar. Toda curva cerrada simple en un plano, separa a ste en tres conjuntos disjuntos: la curva misma, su interior y el exterior. Todo segmento que una un punto interior con uno exterior, corta a la curva.

A B C

A B

A B C


134

La unin de los puntos que estn sobre la curva o en su interior recibe el nombre de regin y decimos que la curva es la frontera de la regin. Una caracterstica importante de las regiones y en general de los conjuntos de puntos es la convexidad. DEFINICIN 12. Un conjunto A se llama convexo, si para cada par de puntos P y Q del conjunto, todo el segmento PQ est en A.

SEPARACIN EN UNA RECTA: SEMIRRECTAS

Un punto P separa a una recta

AB en tres conjuntos disjuntos: {P} y dos conjuntos llamados

semirrectas, denotadas por o

PA y o

PB

Debe notarse que o

PA =

PA {P}, es decir, la semirrecta es el rayo sin el punto inicial. POSTULADO DE SEPARACIN DEL PLANO: SEMIPLANOS Dada una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no estn en la recta forman dos conjuntos tales que i) cada uno de los conjuntos es convexo ii) si P est en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ interseca a la recta. SEMIPLANOS

DEFINICIN 14. Dada una recta m y un plano que la contiene. Los dos conjuntos determinados por el

postulado de separacin del plano se llaman semiplanos o lados de m . A

m se le llama la arista o

borde de cada semiplano. Si P est en uno de los semiplanos y Q est en el otro, entonces decimos que P y Q estn en lados opuestos de

m y escribimos P |

m | Q.

Una forma de denotar un semiplano es indicando la arista y un punto contenido en l. As tenemos:

C,AB indica el semiplano con arista

AB y que contiene al punto C.

Si P y T estn en el mismo semiplano, decimos que estn al mismo lado de m y escribimos P, T |

m .

A B C Figuras Convexas

Figuras no Convexas

D

D E F G

P Q

m


135

DEFINICIN 15. Si A, B, C, D i) C, D | AB si = ABCD___

ii) C | AB | D si }{

___PABCD =

Pueden probarse los siguientes teoremas sobre separacin en el plano: TEOREMA 10.

i) Si P | m | Q y Q |

m | T entonces P, T |

m

ii) Si P | m | Q y Q, T |

m entonces P |

m | T.

POSTULADO DE SEPARACIN DEL ESPACIO Los puntos del espacio que no estn en un plano dado forman dos conjuntos tales que: i) Cada uno de los conjuntos es convexo ii) Si P est en uno de los conjuntos y Q est en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano. DEFINICIN 16. Los dos conjuntos determinados por el postulado de separacin del espacio se llaman semiespacios, y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos. 3. 1. 6. NGULOS DEFINICIN 17. Un ngulo es la unin de dos rayos no colineales que tienen el origen en comn. Los dos rayos se llaman los lados del ngulo y el extremo comn se llama vrtice.

Si los rayos se denotan por ACAB y , el ngulo se denota por

BAC o CAB o A. Cuando se utilizan tres puntos, el vrtice siempre es el segundo. La notacin A, es decir nombrando nicamente el vrtice la usamos siempre que no se genere confusin acerca del ngulo al cual nos estamos refiriendo, es decir que A no sea al mismo tiempo vrtice de otro ngulo.

TRINGULOS DEFINICIN 18. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la unin de los segmentos ACyBC,AB se llama un tringulo y se denota por ABC. Los puntos A, B y C se llaman vrtices y los segmentos ACyBC,AB los lados del tringulo. Todo tringulo determina tres ngulos A, B y C, llamados ngulos internos del tringulo. La suma de las longitudes de los lados se llama Permetro del tringulo.

A A

B B C D

D

C

C, D AB = ABCD___ C AB D ABCD___P

A

B C

BAC = ACAB

P Q

T P

Q T

m

m


136

interior exterior

DEFINICIN 19. Sea BAC un ngulo en un plano . Un punto P est en el interior del BAC si i) P y B estn del mismo lado de la recta

AC y

ii) P y C estn del mismo lado de la recta AB

El exterior del BAC es el conjunto de todos los puntos del plano que no estn en el ngulo ni en el interior. Si denotamos el interior del BAC por i BAC y su exterior por eBAC, tenemos: P i BAC si P, B |

AC P, C |

AB , lo cual equivale a

i BAC = BACCAB ,,

y e BAC = ( BAC iBAC ) INTERIOR DE UN TRINGULO DEFINICIN 20. Un punto est en el interior de un tringulo, si est en el interior de cada uno de los ngulos del tringulo. Un punto est en el exterior de un tringulo, si est en el plano del tringulo, pero no est en el tringulo ni en su interior. Luego

i ABC = i A i B i C Por tanto, un tringulo divide a un plano en tres conjuntos disjuntos: el tringulo mismo, su interior y el exterior. MEDIDA ANGULAR

POSTULADO: EL POSTULADO DE LA MEDIDA DE NGULOS A cada ngulo BAC le corresponde un nmero real entre 0 y 180. NOTA: En Geometra, el concepto de ngulo se refiere a la figura geomtrica formada por la unin de dos rayos que tienen el extremo en comn. Por eso no existe ngulo con medidas 0 ni 180, ya que la figura que se formara con 0 es un rayo y con 180, una recta. Tampoco se consideran ngulos negativos. En otras reas de la Matemtica difiere el concepto de ngulo usado; en Trigonometra, por ejemplo est asociado a las rotaciones, y la medida de un ngulo puede tomar cualquier valor real, positivo o negativo. DEFINICIN 21. El nmero dado por el postulado de la medida de ngulos se llama la medida en grados (sexagesimales) del BAC. Se denota por m BAC. Si r es el nmero escribimos m BAC = r Hemos de tener presente que existen otros sistemas de medidas angulares tales como el sistema centesimal y el sistema cclico, pero el ms usado en Geometra es el sistema sexagesimal. POSTULADO: El POSTULADO DE LA CONSTRUCCIN DE NGULOS

Sea AB un rayo de la arista de un semiplano H. Para cada nmero r,

0 < r < 180, hay exactamente un rayo

AC , con C en H, tal que m BAC = r. POSTULADO: EL POSTULADO DE LA SUMA DE NGULOS Si D est en el interior del BAC entonces m BAC = m BAD + m DAC

interior

exterior

D

A B

C


137

DEFINICION 22: Si D i BAC y mBAD = m DAC, entonces decimos que AD biseca al BAC.

Al rayo AD se le llama rayo bisector o bisectriz del BAC.

DEFINICIN 23: PAR LINEAL

Si AB y

AD son rayos opuestos y

AC es otro rayo cualquiera,

entonces BAC y CAD forman un par lineal

DEFINICIN 24 : Si la suma de las medidas de dos ngulos es 180, entonces decimos que los ngulos son suplementarios y que cada uno es el suplemento del otro.

POSTULADO Si dos ngulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. DEFINICIN 25. Si los ngulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se llama ngulo recto. DEFINICIN 26. Un ngulo recto es un ngulo cuya medida es 90. Un ngulo con medida menor que 90 se llama agudo. Un ngulo con medida mayor que 90 se llama obtuso.

DEFINICIN 27. Si AB y

AC forman un ngulo recto, entonces se llaman perpendiculares y

escribimos AB AC .

Empleamos el mismo trmino y la misma notacin para rayos y segmentos:

Si BAC es un ngulo recto, entonces AB

AC , AB AC , AB AC , etc. En general decimos que dos segmentos, dos rayos o un segmento y un rayo son perpendiculares si estn contenidos en rectas perpendiculares. En los dibujos la perpendicularidad se representa dibujando un pequeo cuadrado o un paralelogramo en el vrtice.

DEFINICIN 28. Si la suma de las medidas de dos ngulos es 90, entonces los ngulos se llaman complementarios y cada uno de ellos es el complemento del otro. DEFINICIN 29. Dos ngulos con la misma medida se llaman congruentes.

m BAC = m DEF BAC DEF

r s r + s = 180

Agudo Recto Obtuso

C

D A B

A

B

C

A

D

B

C ______ACAB

______DCAD


138

TEOREMAS SOBRE CONGRUENCIA DE NGULOS 1. Para ngulos la relacin de congruencia es una relacin de equivalencia (reflexiva, simtrica y transitiva) 2. Si dos ngulos son complementarios, entonces ambos son agudos 3. Dos ngulos rectos cualesquiera son congruentes. 4. Si dos ngulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de ellos es un ngulo recto. 5. Los complementos de ngulos congruentes son congruentes. 6. Los suplementos de ngulos congruentes son congruentes.

DEFINICIN 30. Decimos que dos ngulos son opuestos por el vrtice o que forman un par vertical, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.

TEOREMA 17. Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes. TEOREMA 18: Si dos rectas que se cortan forman un ngulo recto, entonces forman cuatro ngulos rectos. TEOREMA 19: En un plano dado y por un punto dado de una recta pasa una y solamente una recta perpendicular a la recta dada. DEFINICIN 31. En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

TEOREMA 20: La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Nota: Se necesitan los teoremas sobre congruencia tringulos para la demostracin de este teorema.

COROLARIO: Dados un segmento AB y una recta m en el mismo plano, si dos puntos de

m

equidistan de A y de B, entonces m es la mediatriz de AB .

3 4

1 3 2 4 1 2

3 4

1 3 2 4 1

1 3 y 2 4

1 2

3 4

A m

2

B


139

TEOREMA 21: Sea m una recta y P un punto fuera de

m . Entonces hay una recta que es

perpendicular a m y contiene a P.

COROLARIO: Ningn tringulo tiene dos ngulos rectos. 3. 1. 7. PARALELISMO EN EL PLANO RECTAS PARALELAS DEFINICION 32. Dos rectas diferentes son paralelas si i) estn en un mismo plano ii) no se intersecan.

Notacin: Escribimos

1m

2m para indicar que

1m y

2m son paralelas. Convencionalmente se considera que toda recta es paralela consigo misma. DEFINICIN: Dos segmentos, dos rayos o un segmento y un rayo son paralelos, si estn contenidos en rectas paralelas. DEFINICIN 33: Dos rectas que no estn en un mismo plano se llaman rectas alabeadas. TEOREMA 22: Dos rectas paralelas estn exactamente en un plano. TEOREMA 23: Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.

V POSTULADO DE EUCLIDES Por un punto externo a una recta pasa exactamente una recta paralela a la recta dada. Este postulado es la base de la geometra Euclidiana. La negacin del mismo da lugar a las llamadas Geometras No Euclidianas. DEFINICIN 34: Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en puntos diferentes. En los puntos de interseccin de la secante con las rectas se forman ocho ngulos, y las parejas que se forman reciben nombres particulares.

s

1m

2m

2121 mmsmsm ||

1m

2m

P m


140

ANGULOS CORRESPONDIENTES: Las parejas 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8 ANGULOS INTERNOS: Los ngulos 3, 4, 5 y 6. ANGULOS EXTERNOS: Los ngulos 1, 2, 7 y 8. ANGULOS ALTERNOS INTERNOS: Las parejas 3 y 5; 4 y 6. ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Las parejas 1 y 7; 2 y 8. ANGULOS INTERNOS A UN MISMO LADO: Las parejas 3 y 6, 4 y 5. ANGULOS EXTERNOS A UN MISMO LADO: Las parejas 1 y 8, 2 y 7. TEOREMAS SOBRE PARALELISMO Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces se cumplen los siguientes Teoremas: 1. Los ngulos correspondientes son congruentes. 2. Los ngulos alternos internos son congruentes. 3. Los ngulos alternos externos son congruentes 4. Los ngulos internos a un mismo lado de la secante son suplementarios. 5. Los ngulos externos a un mismo lado de la secante son suplementarios. Al asumir como vlido el V Postulado de Euclides, tambin son vlidos los recprocos de los teoremas anteriores, es decir si se da la congruencia sealada en los teoremas 1, 2 y 3 o la condicin de ngulos suplementarios sealados en el 4 y 5, podemos concluir que las rectas son paralelas.

TEOREMA 29: La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

1m

2m

s

1 2 3 4

5 6 7 8

ngulos Correspondientes

a b

ngulos Internos al mismo

lado ma + mb = 180

ngulos Alternos internos

a b

ngulos Alternos-externos

a b

a

a a

aa

ngulos Externos al mismo

lado ma+ mb = 180

a

a

b b b b

bb b


141

En la figura, a partir de la informacin dada determine el valor de x:

SOLUCIN: Se tiene que BCE y ECD forman un par lineal, luego son suplementarios: mBCE = 180 mECD = 180 100 = 80 (1) ABF y EBC son opuestos por el vrtice, luego son congruentes: mEBC = mABF = (2) EBC, BCE y BEC son los ngulos internos del tringulo EBC, luego sus medidas suman 180: De (1), (2) y el dato sobre la medida del ngulo BEC, se tiene: + 80 + 40 = 180, de donde obtenemos = 60.

A continuacin se presentan dos rectas paralelas y una secante que determinan ngulos cuyas medidas se indican en la figura. Determine los valores de x y y.

3x 40 = 2x x = 40, y + 18 = 2x = 2 (40) = 80 y = 80 18 = 62.

En la figura,

21 m||m . A partir de la informacin dada, determine el valor de x.

3x 45

De la figura deducimos que los ngulos indicados forman un par lineal, y por tanto son suplementarios, luego: 3x + 45 = 180 3x = 180 45 = 135, luego x = 135 / 3 = 45

A F

B

E

C

D 100

40

En la figura, A B C D, m ECD = 100, m BEC = 40. Determine el valor de .

2x

3x 40

y + 18

De la figura se deduce que los ngulos cuyas medidas son 2x y 3x 40, forman una pareja de ngulos alternos internos entre paralelas y por tanto son congruentes. Por otro lado los ngulos cuyas medidas son 2x y y + 18 son ngulos correspondientes entre paralelas y por tanto tambin son congruentes, luego:

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4


142

1. En la figura A B C D E. B es punto medio de __AE , C es

punto medio de __BE y D es punto medio de

__CE .

a) si AE = 40, encuentre AB, AC, AD, BC, BD y CD b) si BD = 9, encuentre AB, BE y CD.

2. En la figura A B C D E. AB = DE = 2 CD. BC = AB + 1 AE = 50. Encuentre AB, BC, CD y DE.

3. Cuntas rectas pasan por un punto? Cuntos planos pasan por un punto? 4. Cuntas rectas pasan por dos puntos? Cuntos planos pasan por dos puntos? 5. Dados tres puntos no colineales A, B y C. Cuntas rectas determinan? Cuntos planos? 6. Dados cuatro puntos coplanares, A, B, C y D, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, cuntas rectas determinan? 7. Dados cinco puntos coplanares A, B, C, D y F, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, cuntas rectas determinan? 8. Dados n puntos coplanares A1, A2, A3,... An, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, cuntas rectas determinan?

9. i) Es

=BAAB ? Por qu? ii) Es =BAAB ? Por qu? iii) Es

______BAAB = ? Por qu? iv) Es

___AB = AB? Por qu?

10. Cul es la interseccin de CD y

___DC ? y la de

CD y

___DC ?

11. Si A, B y C son tres puntos colineales tales que AC + BC = AB,

cul es la interseccin de

BAyCB ? de AByAC ? de

CByCA ?

60

110

x

SOLUCIN: Si trazamos una lnea auxiliar paralela a las rectas dadas que pase por el vrtice del ngulo que mide 110, se forman ngulos alternos internos entre paralelas con los ngulos que miden 60 y x, luego se tiene:

60

x

60

x x + 60 = 110 x = 110 60 = 50

2m

1m

EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BSICOS.

A B C D E

A B C D E


143

E

F

GA

B C

A B

C

D

E

A

B

C

D

D

12. Si A, B, C y D son puntos colineales, tales que A B C D, determine

i) ____BDCA ii) BDBA iii) CDAB iv)

______BCAB v) CABC

vi) ___ACBC vii) DCAC viii)

______BDBA

13. Para la figura plana siguiente, determine:

i) ______ADFB ii) FGAAE___ iii) ______ AFFE

iv) ______ADAG v) ______ EFAB

14. La siguiente figura representa una pirmide cuadrada. Nombre los planos que determinan los vrtices (siete planos).

15. Si A, B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B

y BD contiene a C, Cules de los siguientes enunciados tienen que ser

ciertos?

i) B est entre A y C ii) BC contiene a A iii)

= BDAC iv) AC es opuesto a DB v)

AC y

BD se intersecan en B y C solamente vi)

AD y

BC no se intersecan.

16. Responda cada una de las siguientes preguntas, explicando su respuesta i) Es una recta un conjunto convexo? ii) Es convexo un conjunto que consiste solamente en dos puntos? iii) Si le quitamos un punto a una recta, formarn los puntos restantes un conjunto convexo? iv) Es un segmento un conjunto convexo? v) Es un rayo un conjunto convexo? vi) Es una circunferencia un conjunto convexo? vii) Es un crculo un conjunto convexo? viii) Es todo plano un conjunto convexo? 17. En la siguiente figura, cules de las regiones marcadas con letras maysculas son conjuntos convexos?

18. Dos planos y se intersecan en AB . Cada uno de los puntos P y Q est en los planos y , se puede concluir que P y Q estn en

AB ? Explique.

SOLUCIONES: 1. a) AB = 20, AC = 30, AD = 35, BC = 10, BD = 15, CD = 5 b) AB = 12, BE = 12, CD = 3, 2. AB = 14, BC = 15, CD = 7 y DE = 14 3. Infinitas rectas e infinitos planos. 4. Slo una recta; infinitos planos. 5. Tres rectas; un solo plano

6. 6 rectas 7. 10 rectas 8. 2

1)n(n 9. i) Si, representan la misma recta ii) No, representan distintos rayos iii) Si, representan el mismo segmento


144

AB

CD

E

A

B

C

D E

iv) No, ___AB es un segmento, es decir un conjunto de puntos, mientras AB es la longitud del segmento

___AB , es decir un nmero. 10.

CD

___DC =

___DC ,

CD

___DC =

___DC

11. __BCBACB = , = ABABAC , { }CCBCA = 12. i) ______ BCBDCA = ii) {B}BDBA =

iii) = CDCDAB iv) {B}BCAB

______= v)

__BCCABC = vi)

_____BCACBC = vii)

__ADDCAC =

viii) {B}BDBA______

= 13. i) }{ADFB______

G= ii) _____AFFGAAE = iii)

________AEAFFE =

iv) _________ADADAG = v) =

______EFAB 14. ABC, ABE, ADE, ACE, BCE, BDE, CDE.

15. (ii) y (iii) 16. i) si ii) no iii) no iv) si v) si vi) no vii) si viii) si. 17. A y D 18. P, Q AB .

1. En la figura, los puntos A, B y C son colineales. Nombre los cinco ngulos que se forman. 2.

3. En la figura A, B y C son colineales. Si m DBA = m EBA

i) Nombre las parejas de ngulos que forman un par lineal ii) Nombre las parejas de ngulos suplementarios.

6. Si la medida de un ngulo es tres veces la medida de su suplemento, cul es la medida de dicho ngulo?

A

B C

D

E En la figura plana de la izquierda i) m CAB + m DAC = m ____ ii) m EAD + m DAC = m ____ iii) m EAD + m DAB = m ____ iv) m EAC m DAC = m ____

4.

A

D

B C

i) Cuntos ngulos estn determinados en la figura de la izquierda? Nmbrelos. ii) Cuntos de ellos es posible nombrarlos utilizando solamente la letra del vrtice?

5. En la siguiente figura i) m SPR + m QPO = m ____ ii) m RSQ + m ___ = m RSP iii) m POQ + m POS = ____ iv) m SRQ m SRO = m ____ v) m ROQ = 180 m ____

S R

O P

Q

EJERCICIOS SOBRE NGULOS


145

A

B

C

D

E

7. Dos veces la medida de un ngulo es 30 menos que cinco veces la medida de su complemento, cul es la medida de dicho ngulo? 8. Encuentre la medida del ngulo cuya medida es 50 mayor que a) su complemento b) su suplemento. 9. Dos ngulos son complementarios. Tres veces la medida de uno de ellos es 30 ms que el doble de la del otro. Encuentre las medidas de los ngulos.

11. Se da la figura con el vrtice B del ngulo recto DBE en AC y m EBC = 45. i) Nombre un par de rayos perpendiculares, si hay alguno ii) Nombre un par de ngulos complementarios, si hay alguno. iii) Nombre un par de ngulos suplementarios, si hay alguno iv) Nombre un par de ngulos congruentes, si hay alguno.

12. En la figura, tres rectas coplanares se cortan en el mismo punto. Se tiene a = 75 y e = 45. Hallar b, c, d y f.

14. En la figura plana que se muestra a continuacin,

BA y BE son

rayos opuestos, ABG KBG y KBD DBE. Hallar m GBD.

15.

16.

2x (x + 30)

A B C

D

Si A, B y C son colineales, ACBD , hallar el valor de x

A B C

D G

F E 10. A partir de la figura conteste las siguientes preguntas a) Es m BFC = m BFD ? b) Es BFC = BFD ? c) Es FDB EDC ? d) Nombre el ngulo suplementario del ABF.

(2x + 18) (x + 15) A partir de la informacin dada en la figura, encuentre el valor de x.

13.

R Q 61 T

P S A partir de la informacin dada en la figura, halle m PQS

a b

c d e f

A B E

G K

D


146

17.

21. En las siguientes figuras, los rayos, segmentos y rectas paralelas se representan colocndoles puntas de flecha en el mismo sentido. En cada uno de ellos determine el valor del ngulo indicado

40 x

30 75 x

88

45

x

a) b) c)

50

x

y

d) e) 35

x

f) 2x

(3x 20) (y + 8)

1 2 3 4

5

P

Q R S

Q, R y S son colineales. QSRP .

m 1 = 45, m 3 = 15, m 2 = m 4 . Encuentre m 5.

A

B D E

C

Si ____CDAD y m ADE = 120,

Cunto mide el BDC? Cunto mide el CDE?

60

a b

c d

m1

m2

m3

m4

En la figura

21 m||m y

43 m||m , determine las medidas de los ngulos indicados

20.

T Q

R O S

P V

TVyRS,PQ se cortan en O.

a) Si m ROQ = 142 y m TOS = 129, encuentre m ROT y m POV b) Si m ROV = 120 y m QOT = 47, determine m SOQ.

18.

19.


147

.

j)

150

(x 2y) (x + y)

k)

55

65

x

l)

118

x (2x + 10)

(5x + 30)

(3x + 18)

g) h) 84

(x 6)

(3x + 10)

i)

135 x

150

x

y z

w

Si

CD||AB y x = 62, encuentre los valores de y, z y w.

A B

D C

22.

1 2 3

4 5 6 7

1m

2m

Si

21 m||m , m 1 = 60 y m 6 = 40. Encuentre las medidas de los ngulos 2, 3, 4, 5 y 7.

23

1m Si

321 m||m||m , determine x + y

24. x

y

2m

3m

A E

D

C B

Si ____BC||AE , cunto vale mE + mD + mC?

27.

x

110

Cul es el valor de x?

A

C F

B

D E

y

x 108

Si ______DE||AB y

______FE||CD ,

cul es el valor de x + y?

25. 26.


148

SOLUCIONES: 1. ABD, ABE, DBC, CBE, DBE 2. i) DAB, DBC, DBA, ADC, ADB, BDC, BCD ii) A y C. 3. i) ABD y DBC; ABE y EBC ii) ABD y DBC; ABE y EBC; ABD y EBC; ABE y DBC 4. i) BAD ii) EAC iii) EAB iv) EAD 5. i) SPQ ii) QSP iii) 180 iv) ORQ v) ROS POQ

6. 135 7. 60 8. a) 70 b) 115 9. 42 y 48 10. a) si b) si c) si d) FBC 11. i) BEyBD ii) ABD y EBC iii) ABD y DBC; EBC y EBA; ABD y EBC 12. b = 45, c = 60, d = 75, f = 60 13. 49 14. 90 15. 20 16. 29 17. a) 30 b) 150 18. a) 51 y 91 b) 73 19. 30 20. a = c = 60 b = d = 120 21. a) 140 b) 45 c) 43 d) x = 50, y = 130 e) 55 f) x = 20, y = 32 g) x = 16.5 h) x = 20 i) x = 75 j) x = 110, y = 40 k) x = 120 l) x = 36 22. y = w = 62, z = 118 23. m2 = 80, m3 = 40, m4 = 120, m5 = 60, m7 = 140 24. 270 25. x = 70 26. x + y = 180 27. 360 28. x = 85, y = 95 29. m4 = 159 30. x = 90 b/2 31. mA = 180 2a 32. 125 33. = 85, = 125

3m

2m

1m

4m

55 40

x y

En la figura

21 m||m y

43 m||m . Determine el valor de x y y.

28.

1 2

3

4

En la figura, m 1 = (2x 7), m 2 = (5x + 3) y m3 = (6x + 2) . Halle la medida del ngulo 4.

29.

b

x

Exprese x en trminos de b. Si AB = AC y m B = a,

determine mA en trmino de a.

A

B C

31.

A

B C D

70

El ABC es issceles con AB = AC.

CDyBD son bisectores de los ngulos de la base. Si m A = 70, encuentre la medida del BDC.

32.

BD biseca al ADC. Si m DBC = 105 y m DCB = 55, halle los valores de y .

A B C

D 33.

30


149

3.2. TRINGULOS Y CUADRILTEROS INTRODUCCIN: Anteriormente definimos un tringulo, denotado por ABC, como la unin de los segmentos

ACyBC,AB , siendo A, B y C puntos no colineales. Adems tenemos que los puntos A, B y C se llaman vrtices, los segmentos ACyBC,AB los lados del tringulo y los ngulos determinados en los vrtices, A, B y C, son llamados ngulos internos del tringulo. De manera similar si A, B, C y D son cuatro puntos coplanares, tales que no hay tres colineales y los

segmentos ____________DAyCD,BC,AB nicamente se intersecan en los extremos, entonces la unin de estos

segmentos forman el cuadriltero ABCD. Los tringulos y cuadrilteros constituyen dos de las figuras ms importantes, por cuanto las encontramos en muchos de los objetos que nos rodean y por otro lado sirven de base para el estudio de otras figuras ms complejas. 3. 2. 1. CLASIFICACIN DE TRINGULOS: De acuerdo a las medidas de sus lados los tringulos se clasifican en issceles, equilteros y escalenos. De acuerdo a las medidas de sus ngulos tenemos tringulos rectngulos, equingulos, acutngulos y obtusngulos. DEFINICIN 1: Un tringulo con dos lados congruentes se llama issceles. Al otro lado generalmente se le llama base y a los ngulos asociados con la base se les llaman ngulos en la base. Al ngulo opuesto a la base se le llama ngulo en el vrtice.

TEOREMA 1: Los ngulos en la base en un tringulo issceles son congruentes. (El recproco tambin es vlido) TEOREMA 2: Si dos ngulos de un tringulo son congruentes entonces es un tringulo issceles.

Base

Vrtice A

B C____ACAB y B C

Nota: En general, cualquiera de los lados de un tringulo es una base y cualquiera de los puntos extremos es un vrtice, pero en el caso particular de los tringulos issceles se acostumbra referirse al vrtice y a la base, tal como se indica en la definicin anterior.


150

D

B

C A

DEFINICIN 2: Un tringulo con sus tres lados congruentes se llama equiltero. DEFINICIN 3: Un tringulo con sus tres ngulos congruentes se llama equingulo. TEOREMA 3: Todo tringulo equiltero es equingulo y viceversa. Cada ngulo de un tringulo equiltero mide 60. DEFINICIN 4: Un tringulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes, se llama escaleno. DEFINICIN 5: Un tringulo rectngulo, es un tringulo que tiene un ngulo recto. El lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa y a los otros dos lados se les llama catetos.

DEFINICIN 6: Un tringulo se le llama acutngulo, si sus tres ngulos son agudos, y se le llama obtusngulo si tiene un ngulo obtuso. A los tringulos acutngulos y a los obtusngulos se les llama oblicungulos. 3. 2. 2. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRINGULO DEFINICIN 7: Una mediana de un tringulo es un segmento cuyos extremos son un vrtice del tringulo y el punto medio del lado opuesto. Todo tringulo tiene tres medianas, una para cada vrtice (lo que equivale a decir una para cada lado). Puede probarse que las medianas se cortan en un punto llamado baricentro. Tambin puede probarse que la distancia del baricentro a un vrtice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio correspondiente. Es decir la distancia del punto medio correspondiente al baricentro es 1/3 la medida de la mediana.

DEFINICIN 8: Si D i BAC y BAD DAC, entonces decimos que AD biseca al BAC.

Al rayo AD se le llama rayo bisector o bisectriz del BAC.

TEOREMA 4: Todo ngulo tiene exactamente una bisectriz. Una propiedad de la bisectriz es que todo punto de ella equidista de los lados del ngulo.

A A A

B

B

B

C

C

C

En los tringulos dibujados, tenemos: ___AB : hipotenusa;

____BCyAC : catetos

Baricentro

A

P

MAP = 2 PM, AM = 3PM

A

B C

BCACAB , A B C


151

DEFINICIN 9: Un segmento es una bisectriz de un ngulo de un tringulo, si: i) est en el rayo bisector del ngulo y ii) sus extremos son el vrtice del ngulo y un punto del lado opuesto. Todo tringulo tiene tres bisectrices, una para cada ngulo. Puede probarse que se cortan en un punto llamado incentro, y que el incentro equidista (igual distancia) de cada lado del tringulo. El incentro siempre pertenece al interior del tringulo. El incentro es el centro de la circunferencia que puede inscribirse en el tringulo es decir tangente a los tres lados.

DEFINICIN 10: Una recta es una mediatriz de un lado de un tringulo, si est en el plano que contiene al tringulo y es mediatriz de dicho lado (es decir, una recta perpendicular al lado, que pasa por su punto medio). Una propiedad de la mediatriz es que todo punto de ella equidista de los extremos del segmento. Todo tringulo tiene tres mediatrices, una para cada lado. Puede probarse que se cortan en un punto llamado circuncentro y que el circuncentro equidista de cada vrtice. En los tringulos acutngulos, el circuncentro se halla en el interior del tringulo, mientras que en los obtusngulos se halla en el exterior del tringulo. Para los tringulos rectngulos el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. El circuncentro es el centro de la circunferencia que puede circunscribirse a un tringulo, es decir que pasa por los vrtices del tringulo.

DEFINICIN 11: i) La altura correspondiente a un lado de un tringulo es un segmento perpendicular a dicho lado, cuyos extremos son el vrtice del ngulo opuesto y un punto de la recta que contiene a dicho lado. ii) La altura correspondiente a un lado de un tringulo tambin es la distancia desde el vrtice del ngulo opuesto a dicho lado a la recta que contiene a dicho lado. Puede probarse que las rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. En los tringulos acutngulos, el ortocentro se halla en el interior del tringulo, mientras que en los obtusngulos se halla en el exterior del tringulo. Para los tringulos rectngulos el ortocentro coincide con el vrtice del ngulo recto.

Incentro

Circuncentro

A

B C

P

AP = BP = CP


152

TEOREMA 5: En un tringulo issceles, la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura correspondientes a la base son coincidentes. TEOREMA 6: En un tringulo equiltero, el baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro coinciden. En un tringulo no equiltero, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro son colineales. La recta que los contiene se llama recta de Euler. 3. 2. 3. CONGRUENCIA DE TRINGULOS En general dos figuras geomtricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamao. Anteriormente hemos visto la congruencia de segmentos y de ngulos, estableciendo la misma a partir de la igualdad de sus medidas. Recordemos que el concepto de congruencia est muy cercano al concepto de igualdad, sin embargo son conceptos diferentes aunque frecuentemente se confunden. La igualdad es estrictamente la relacin entre dos nombres o dos expresiones para el mismo objeto, en cambio la congruencia en geometra, relaciona dos objetos que tienen la misma forma y tamao. Si dotamos de movimiento rgido a las figuras geomtricas, es decir si trasladamos, rotamos o reflejamos, sin que se modifique su forma y tamao, podemos afirmar que dos figuras geomtricas son congruentes cuando al superponerlas se ajustan exactamente. Veamos como describir la relacin de congruencia entre tringulos:

Consideremos el tringulo ABC. Si lo desplazamos hacia la derecha y lo superponemos al DEF, veremos que se ajustan exactamente. En este caso el punto A quedar sobre el punto D, el punto B sobre el E y el punto C sobre el F. Se presenta una correspondencia A D, B E y C F. Observamos que coinciden los lados correspondientes y los ngulos internos, lo cual podemos indicar usando la notacin ABC DEF. Si intentamos superponer el ABC sobre el GHI, vemos que no basta desplazar el tringulo ABC hacia la derecha, sino que hemos de invertir el ABC, es decir realizar una reflexin sobre el lado AC , de manera que el vrtice A corresponda al vrtice G, el vrtice B corresponda al vrtice I y el vrtice C al H.

C F H

A B D E I G

A

B C

A

B C

hA hB

hC

Ortocentro

Ortocentro


153

ABC DEF

Se presenta ahora la correspondencia A G, B I y C H. Adems se observa que tambin se ajustan los lados y ngulos correspondientes. Esto lo denotamos por ABC GIH. Recordemos que los dibujos de las figuras geomtricas son auxiliares, no siempre se trazan con exactitud, de manera que es necesario ser precisos con la simbologa utilizada. DEFINICIN 12: Sea ABC DEF una correspondencia entre los vrtices de dos tringulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ngulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia ABC DEF se llama una congruencia entre los dos tringulos y decimos que los tringulos son congruentes. Esta relacin se denota por ABC DEF. Se tiene entonces:

ABC DEF

FC

EB

DA

____

____

____

FDCA

EFBC

DEAB

Notemos que el orden en que se escriben los vrtices es muy importante: deben reflejar la correspondencia entre los lados y los ngulos respectivos:

Se acostumbra nombrar las longitudes de los lados de un tringulo usando la respectiva letra minscula usada en el vrtice opuesto. As tenemos en el ABC, m ( __AB ) = c, m ( __AC ) = b y m ( __BC ) = a. DEFINICIN 13: Un lado de un tringulo se dice estar comprendido por los ngulos cuyos vrtices son los extremos del segmento. De manera similar, un ngulo de un tringulo se dice estar comprendido por los lados del tringulo que estn en los lados del ngulo. Recordemos que un ngulo es la unin de dos rayos y que un tringulo es la unin de tres segmentos. Ejemplo.

TEOREMAS SOBRE CONGRUENCIA DE TRINGULOS

C F

A B D E

Si DAy DEAB,DFAC entonces ABC DEF

TEOREMA 7: L.A.L ( Lado Angulo Lado) Toda correspondencia L.A.L. es una congruencia. Es decir, si dos lados de un tringulo y el ngulo comprendido por dichos lados, son congruentes respectivamente a dos lados y el ngulo comprendido por dichos lados de un segundo tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

C

A B

En el ABC, __AB est comprendido por los ngulos A y B. El C est comprendido por los lados __AC y __BC


154

! !

A D

E C

B

1. Demostrar que si dos segmentos se bisecan, entonces los segmentos que unen los extremos de los segmentos dados son congruentes. SOLUCIN: 1ro: Dibujamos una figura que refleje la situacin planteada y rotulamos los puntos, indicando los datos dados. En el ejemplo se nos plantea que los segmentos se bisecan, es decir se cortan en el punto medio. No hay informacin sobre las longitudes de los segmentos, por tanto podemos tomarlos de longitud arbitraria. 2do: Enunciamos la hiptesis y tesis simblicamente. Hiptesis: DEyAC se bisecan. Tesis: CDAE 3ro: A partir de los conocimientos previos: teoremas, definiciones, etctera, buscamos una estrategia de demostracin. En este caso vemos que una forma de llegar a la conclusin buscada es a partir de la congruencia de tringulos. Si logramos probar que los tringulos ABE y CBD son congruentes, los segmentos en cuestin resultan ser partes correspondientes. Esta va surge al observar que tenemos dos pares de lados congruentes por dato, y en la figura se forman dos ngulos opuestos por el vrtice. 4to: Escribimos las afirmaciones que vamos deduciendo y su respectiva justificacin.

C F

A B D E

TEOREMA 9: L.L.L. ( Lado Lado Lado) Toda correspondencia L.L.L. es una congruencia. Es decir si los tres lados de un tringulo son congruentes respectivamente a los tres lados de un segundo tringulo, entonces los tringulos son congruentes

Si EFBCyDFAC,DEAB entonces ABC DEF

C F

A B D E

Si DEAB, yEBDA entonces ABC DEF

TEOREMA 8: A.L.A. (Angulo Lado Angulo) Toda correspondencia A.L.A. es una congruencia. Es decir, si dos ngulos de un tringulo y el lado comprendido por dichos ngulos son congruentes respectivamente a dos ngulos y al lado comprendido por dichos ngulos de un segundo tringulo, entonces los tringulos son congruentes

EJEMPLOS


155

Afirmacin Justificacin 1

__AC y

__DE se bisecan en B

Dato

2

____BCAB Definicin de bisecar

3

____BDEB Definicin de bisecar

4 ABE CBD ngulos opuestos por el vrtice 5 ABE CBD Teorema LAL (pasos 2,3 y 4) 6

____CDAE Partes correspondientes de tringulos congruentes

2. Demostrar que si en el GHK, GK = HK y G M H , tal que GKM HKM, entonces M es el punto medio de GH

Afirmacin Justificacin 1 ____

HKGK Por dato y definicin de congruencia 2

____KMKM Por reflexividad

3 GKM HKM Dato 4 GKM HKM

Teorema LAL ( pasos 1,2 y 3)

5 ____ HMGM Partes correspondientes en tringulos congruentes 6 G M H

Dato

7 M es punto medio de

__GH

Pasos 5, 6 y definicin de punto medio

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE CONGRUENCIA 1. a) Los tringulos ABC y DEF no se intersecan y M es un punto entre B y C. Cul de los dos smbolos = o corresponde colocar en cada uno de los espacios en blanco para completar un enunciado que tenga sentido y posiblemente sea cierto? i) ABC __ DEF ii) mB__mE iii) BC __ EF iv) AB __DE v) E__F vi) ABM__ABC vii) ABM__DEF viii) AB__ DE

K

G ! M ! H

Datos: GK = HK G M H GKM HKM Tesis : M es punto medio de GH


156

b) Qu espacio en blanco se pudo llenar con cualquiera de los dos smbolos? c) Si AB hubiera sido el mismo segmento que DE pero C fuera un punto diferente de F En que caso se cambiara por = ? 2. Se da el tringulo ABC. Si ABC BAC y ABC ACB Qu conclusin se puede obtener acerca del ABC? Cmo se demostrara que la conclusin es vlida? 3. Se da

PC

KM con K-P-M. Los puntos A y B estn del mismo lado de

KM que C, pero A y B

estn en lados opuestos de

PC . A est del mismo lado de PC que K. Si ACP BCP, demostrar que KPA MPB. 4. En un plano los puntos C y D estn en lados opuestos de

AB de tal modo que el ABC es un

tringulo equiltero y el ABD es equingulo. Demostrar que C D. 5. Se nos da el ABC, con AC = BC. Las bisectrices de los ngulos en la base A y B se cortan en un punto F Qu nos permite afirmar que CF es perpendicular a AB ? 6. Si BCA PQR, indique las congruencias respectivas relativas a los lados y ngulos de dichos tringulos. 7. En el ABC Qu ngulo es determinado por los lados ABBC y ? Qu lado es determinado por los A y B ? 8. En algunos problemas, el hecho de que dos segmentos sean congruentes o que dos ngulos sean congruentes, se deduce de las definiciones de los conceptos involucrados. Para cada una de las siguientes situaciones, haga un dibujo indicando que segmentos o ngulos son congruentes a partir de la informacin dada: a) AB es perpendicular a CD en el punto E. b) C es el punto medio de AB

c) AT es el bisector de BAC d) m es la mediatriz de AB

e) El ABC es issceles con base BC f) CD es una altura del tringulo acutngulo ABC. g) CD es una mediana del tringulo acutngulo ABC. h) El ABC es equiltero. 9. Para cada par de tringulos dibujados a continuacin, si las marcas semejantes indican partes congruentes, citar que teorema de congruencia (LAL, ALA, LLL) es aplicable para demostrar la congruencia de los tringulos o indique en que caso falta informacin para establecer la congruencia.

A B C

F E D

E

D

C

A

B

b)a)

P Q

T U R S

P Q R

S

c) d)


157

A B

D C E 1

2

3 4

5

6 P

Q

R

S

P

R

S

T

Q

10. Si AE = BC, AD = BD y DE = DC, Demostrar que E C. 11. Si PQ = PS, 1 2, 3 4, demostrar que 5 6. 12.

13. Si RS = QT, PS = PT, RTP QSP, demostrar que RTP QSP. 14.

15. En la figura, CD biseca a AB y C D. Demostrar que

AB biseca a CD

B D

E A

C

B C

A D

F E

e) f) D

E A C

B

g) M N

Q P O

h) D

A

C

B

Si AB = BC, MAE NCD, AE = CD. Demostrar que ABE CBD

ABC es issceles con AB = BC D es el punto medio de AB E es el punto medio de BC Demuestre que ACE CAD

M A B C N

E D

D

A E B

C


158

16. 17

18. Los puntos K y M trisecan a GH y G-K-M. Los puntos J e I, al mismo lado de GH , estn en las

perpendiculares a GH en G y H, respectivamente, de manera que JM = IK. JM e IK se intersecan en P. Demostrar que el PKM es issceles. 19. Datos AB = PQ y BP = AQ Demostrar que a) A P b) ABM PQM 20

21.

22.

Datos: PT RT , SV QV , RT = QV, PQ = SR Demostrar que PT = SV

En la figura de la izquierda se tiene m K = m J y MR = NR. Demostrar que MK = NJ

a) Demostrar que en la figura, si X es el punto medio de MN , MZ = NY y XZ = XY entonces Y Z b) Si M, N, X, Y y Z son coplanares y X es el punto medio de MN , M N , MXY NXZ , demostrar que Y Z

A partir de la informacin en la figura,

Demuestre que __AB __BC

Si BAD CAE, __AB __BC ____FCFB pruebe que __AD __AE

T

P R S Q

V K J

R

M N

A M Q

B

P Y Z

M X N

D E

A B C A

BD

FE

C


159

23. En la figura, ABC es un tringulo rectngulo en B. Los puntos E y F estn sobre la hipotenusa de manera que AE = AB y CF = CB. Cunto mide el ngulo EBF?

SOLUCIONES 1. a) i) ii) = iii) = iv) v) vi) = vii) viii) = b) el (vi) c) el (iv) 2. El tringulo es equiltero. Aplicando la definicin de congruencia de tringulos, se deduce que los tres lados son congruentes y por tanto es equiltero. 3. Indicacin: Demostrar primero la congruencia de los tringulos formados y luego hacer ver que KPA y MPB son complementos de ngulos congruentes. 4. Indicacin: establecer que mC = mD = 60 y por tanto son congruentes. 5. El punto F es el incentro y por tanto

CF es la bisectriz del C. Por ser un tringulo issceles, las rectas

notables de la base coinciden, luego __CF est sobre la altura correspondiente a la base y

__CF __AB .

6. A R, B P, C Q, ____________ PQBC,RQAC,RPAB 7. B; __AB

9. a) ALA; ABF DEC b) Falta informacin c) LLL; TPU SQR d) Falta informacin e) ALA; AFB DEC f) LAL; ABC EDC g) Falta informacin h) Falta informacin. 10. Indicacin: establecer que E y C son ngulos correspondientes en tringulos congruentes. Use LLL. 11. Indicacin: establecer que 5 y 6 son ngulos correspondientes en tringulos congruentes. Use ALA. 12. Use LAL 13. Indicacin: establezca primero que

____QSRT y luego aplique el teorema LAL.

14. Utilice las propiedades de un tringulo issceles y luego aplique el teorema LAL

15. Primero establezca que ____

SQPR y luego que ____ SVPT por ser partes correspondientes en tringulos congruentes. 16. Indicacin: complete los pasos para aplicar el teorema ALA y establecer la congruencia de los tringulos AEC y BED 17. Establezca la congruencia de los tringulos KRM y JNR 18. Establezca la congruencia de los tringulos GMJ y HKI, de ah resulta IKM JMK 19. Trace

__BQ , establezca la congruencia entre los tringulos ABQ y PQB. Luego complete los pasos

para aplicar el teorema ALA. 23. 45

A

B C E D

a) A C B A C

B

T A B

mb) c) d)

e) f) g) h)A

B C A D B

C C

A D B A B

C

8.

A F

E

C B


160

3. 2. 4. SEMEJANZA DE TRINGULOS En forma general decimos que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamao. As por ejemplos, todos los tringulos equilteros son semejantes entre si, de igual manera todos los cuadrados, todas las circunferencias, etc. Cuando las figuras semejantes tienen distintos tamaos podemos considerar una de ellas como una copia de la otra, a una escala determinada, y el factor de escala le llamamos razn de semejanza. Al considerar reas o volmenes de figuras semejantes, el factor de escala facilita los clculos. DEFINICIN 14: Dada una correspondencia ABC DEF, entre los vrtices de los tringulos ABC y DEF, si los ngulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, decimos que la correspondencia es una semejanza y escribimos ABC DEF.

ABC DEF

==

DFAC

EFBC

DEAB

FCEBDA

RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIN 15: Una RAZN, es la relacin que se establece entre dos cantidades de la misma naturaleza, al compararlas, considerando que mltiplo o parte es una cantidad de la otra. Notacin: x : y ( se lee x es a y). A las cantidades x y y se les llama trminos de la razn. Al primer trmino se le llama antecedente y al segundo consecuente. Para hallar la razn entre dos cantidades, simplemente dividimos el antecedente entre el consecuente, por tal motivo la razn, x : y, tambin se representa como una fraccin

yxy:x .

DEFINICIN 16: Una PROPORCIN es la igualdad entre dos o ms razones.

k....fe

dc

ba ==== .

Decimos que {a, c, e, ..} y {b, d, f, ..} son conjuntos proporcionales y que el valor k es la razn de proporcionalidad.

Se usa la notacin a:b::c:d ( se lee a es a b como c es a d ), esto equivale a la expresin dc

ba = .

A las cantidades a y d se les llama extremos y a las cantidades b y c se les llama medios.

Cuando tres cantidades estn relacionadas por la proporcin cb

ba = decimos que

b es la media proporcional o media geomtrica entre a y c, y c es la tercera proporcional a a y b.

Si a, b, c y x son nmeros positivos y xc

ba = , se dice que x es cuarta proporcional de a, b y c.

ALGUNAS PROPIEDADES: A partir de

dc

ba = y las propiedades de la igualdad se obtienen los siguientes resultados:


161

1. a d = b c 2. db

ca = 3.

cd

ab = 4.

ac

bd = 5.

ddc

bba +=+

6. d

dcb

ba = 7. cd

cba

a+=+ 8. cd

cab

a= 9. dc

dcbaba

+=

+ 10.

dbca

dc

ba

++==

En general si k...rqp...cba....

rc

qb

pa =+++

+++==== 1. Encuentre la media proporcional entre 5 y 45. SOLUCIN:

De acuerdo a la definicin, se pide el valor x, tal que 45x

x5 = , luego x2 = (5) (45) = 225 15x == 225

2. Encuentre la tercera proporcional entre 4 y 16 SOLUCIN:

De acuerdo a la definicin, se pide el valor x, tal que x

16164 = 64x ==

41616

3. Encuentre la cuarta proporcional de los nmeros 4, 12 y 15. SOLUCIN:

De acuerdo a la definicin, se pide el valor x, tal que x

15124 = 45x ==

41512

4. Si un tringulo tiene un permetro de 84 cm. y sus lados son proporcionales a los nmeros 5, 7 y 9, encuentre las longitudes de dichos lados. SOLUCIN:

Sean a, b y c las longitudes de los lados del tringulo, luego 9c

7b

5a ==

Por las propiedades de las proporciones se tiene 975cba

9c

7b

5a

++++===

Pero el permetro es P = a + b + c = 84, luego 9c

7b

5a == =

2184 = 4,

Por tanto a = (5) (4) = 20 cm., b = (7) (4) = 28 cm. y c = (9) (4) = 36 cm. RAZN ENTRE DOS SEGMENTOS: La razn entre dos segmentos se define como la razn entre sus longitudes.

As por ejemplo si m (___AB ) = 4 y m (

___CD ) = 2, decimos que

___AB y

___CD estn en una razn 2:1, lo que

significa que la longitud de ___AB es el doble que la longitud de

___CD .

PROYECCIONES Se llama proyeccin de un punto P sobre una recta m al punto P sobre la recta m , tal que mPP

___' .

El segmento __

'PP recibe el nombre de proyectante.

Si un punto Q m , su proyeccin Q, es el mismo punto Q.

EJEMPLOS


162

La proyeccin de un segmento ___AB sobre una recta

m , es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de sus puntos extremos.

Si ___AB ||

m , entonces

___''BA

___AB .

Si ___AB m , entonces A = B

TEOREMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRINGULOS 10. Si una recta es paralela a uno de los lados de un tringulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. 11. Si una recta divide dos lados de un tringulo en segmentos proporcionales entonces es paralela al tercer lado.

BC||DEvu

yx =

12. Teorema de Thales: Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o ms paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales.

13. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En el tringulo ABC, sea D un punto del lado BC. __AD es bisectriz del ngulo A si y solo si

CDAC

BDAB = . Es decir la bisectriz de un ngulo interno de un tringulo divide al lado opuesto en dos

segmentos proporcionales a los lados que determinan dicho ngulo.

Dado que en este caso se tiene m + n = a, al sumar los numeradores y los denominadores en la expresin

anterior se obtiene: a

cbnb

mc +== .

Despejando m y n, resultan cb

acm += y cbabn +=

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C C'B'

BCC'A'

ACB'A'

AB ==

C B

A

c b

m nnb

mc =

D

DCAC

BDAB =

P

P

Q Q A B

A

B C

D

C = D

m

A

x u

y vD E

B C

vu

yx|| =BCDE


163

14. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En el tringulo ABC, sea D un punto de la prolongacin del lado BC. __AD es bisectriz exterior del ngulo A

si y solo si CDAC

BDAB = .

Los segmentos en que la bisectriz divide al lado opuesto estn dados por: b

q = cac y

bp = c

ab

15. TEOREMA DE LA BASE MEDIA En el tringulo ABC, sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC

respectivamente, entonces BC21MNBC||MN

____ =y . 16. TEOREMA DE SEMEJANZA A.A. Dos tringulos son semejantes si dos ngulos de uno de ellos son congruentes a sus correspondientes en el otro.

17. TEOREMA DE SEMEJANZA L.A.L. Dos tringulos son semejantes si un ngulo de uno de ellos es congruente a un ngulo del otro y si los lados que comprenden al primero son proporcionales a los lados correspondientes del segundo.

18. TEOREMA DE SEMEJANZA L.L.L. Dos tringulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

C B

A

c b

a p

pb

qc =

D

DCAC

BDAB =

q

A D

B C E F

EFBC

DFAC

DEAB == ABC DEF

A D

B C E F B E

fc

da = ABC DEF

a

b c

d

f e

A D

B C E F B E C F ABC DEF

A

M N

B C


164

i) la altura es media geomtrica de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la hipotenusa.

mh

hno

DBCD

CDAD == h = mn

ii) cada cateto es la media geomtrica de la hipotenusa y el segmento de sta adyacente al cateto.

cb

bn

ABAC

ACAD == b = cn

ABCB

CBDB =

ca

am = a = cm

h b a

n m

c A B D

C

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS RECTNGULOS 19. Dos tringulos rectngulos son semejantes si un ngulo agudo de uno de ellos es congruente a un ngulo agudo del otro. 20. Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales. 21. Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen proporcionales uno de los catetos y la hipotenusa.

22. En un tringulo rectngulo la altura correspondiente a la hipotenusa divide al tringulo en otros dos semejantes a ste y semejantes entre si.

23. RELACIONES MTRICAS EN UN TRINGULO RECTNGULO: Dado un tringulo rectngulo y la altura correspondiente a la hipotenusa

24. TEOREMA DE PITGORAS En todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si a y b representan las longitudes de los catetos y c la longitud de la hipotenusa, se tiene:

a2 + b2 = c2

a

b

c d e

f A

B

C

F

D E A

B

C D E

F

mC = mF = 90 A D ABC DEF

mC = mF = 90 (fc

da

eb

da == )

ABC DEF

A B

C

D

ABC ACD CBD


165

25. GENERALIZACION DEL TEOREMA DE PITGORAS i) En todo tringulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a un ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de uno de estos lados por la proyeccin del otro sobre l. ii) En un tringulo obtusngulo el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados ms el doble producto de uno de estos lados por la proyeccin del otro sobre l.

Como una consecuencia, el tipo de tringulo puede obtenerse al conocer la relacin entre las longitudes de sus lados: si a representa la longitud del lado mayor, se tiene

OTRAS PROPIEDADES DE LOS TRINGULOS 1. Las lneas homlogas (medianas, alturas, etc.) de tringulos semejantes son proporcionales, con la misma razn de semejanza de dichos tringulos.

2. Si dos tringulos son semejantes, entonces la razn entre sus reas es el cuadrado de la razn entre dos lados correspondientes cualesquiera. 3. Dado un ABC, si mA, es la mediana correspondiente al lado BC, entonces su longitud est dada por:

mA = 2ac2b2 222 + .

4. Si bA, es la bisectriz correspondiente al vrtice A, su longitud est dada por

bA = a)(sscbcb2 + donde s es el semipermetro

5. Si hA es la altura correspondiente al vrtice A o sea al lado BC, entonces su longitud est dada por

hA = c)(sb)(sa)s(sa2

A D B D A c B

a ab b

c

ADc2cba 222 += ADc2cba 222 ++=

C C

a

c

c

c

a

a

b

b

b

TRINGULO RECTNGULO a2 = b2 + c2

TRINGULO ACUTNGULO a2 < b2 + c2

TRINGULO OBTUSNGULO a2 > b2 + c2


166

AB

C

F G

En la figura ______BA||FG . Si AG = 3, BF = 5 y CF = 12,

Encuentre CG.

SOLUCIN:

Por el teorema 1, tenemos que FBCF

GACG = , luego CG =

FBCFGA

.

Notemos que GA = AG y FB = BF, por tanto al sustituir los respectivos valores, resulta

CG = 27.5(12)3)( =

SOLUCIN: Por el Teorema fundamental de semejanza, el Teorema de Thales, se tiene

6z

4y

8x ==

Por las propiedades de las proporciones

6z

4y

8x == =

23

1827

648zyx ==++

++

92

36z6,2

34y12,2

38x ====== Se tiene tambin que ABG ACF ADE, por el Teorema de semejanza A:A. Dado que

______DE||CF||BG , las parejas de ngulos correspondientes que se forman son congruentes

A

B

C

D E

F

G

8

4

x

y

z u

v

36

En la figura, con las dimensiones indicadas, se tiene ______DE||CF||BG . Si x + y + z = 27, encuentre los valores

correspondientes de x, y, z, u y v. 6

A A A

B

C

D E

F G

36

u

v

8 12

18

Se puede establecer la relacin

21836

12u

8v ===

24212u16,28v ====

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2


167

Tenemos que DAC ECF ADF CEF por ser ambos ngulos alternos internos entre paralelas, luego ADF CEF, por el teorema AA de semejanza.

En la figura AB = 12, CD = 8 y DE = 15. Encuentre el valor de AE. SOLUCIN:

Observamos que en el punto C se forma una pareja de ngulos opuestos por el vrtice, y que B D, ya que ambos son ngulos rectos; luego por el Teorema de Semejanza AA, se tiene ABC EDC. Por tanto 6.4

15128

EDABDCBC

EDAB

DCBC ====

Aplicando el Teorema de Pitgoras en cada tringulo podemos encontrar AC y CE, cuya suma forma AE, pero tambin podemos prolongar el segmento AB y trasladar el segmento BD para formar un solo tringulo rectngulo AEF y calcular directamente AE. Se tiene AF = AB + DE = 12 + 15 = 27 y EF = BD = BC + CD = 6.4 + 8 = 14.4, luego

Un asta de metal se rompi en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de bisagra y la punta en el piso en un punto localizado a 3 m de la base. Se repar, pero se rompi de nuevo, esta vez en un punto 75 cm. ms abajo que la vez anterior y la punta tocando el piso a 4.5 m. de la base qu longitud tiene el asta?

27

14.4

A

EAplicando el Teorema de Pitgoras resulta

AE = 30.614.427 22 =+ F

A D

C E B

F En la figura, BC||AD , AC = 25, AF = 15, AD = 12. Determine el valor de EC.

AFCF

DAEC = Tenemos CF = AC AF = 25 15 = 10

1510

12EC = EC = 8=

151012

A D

F

B E C

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

A B

C

D E


168

SOLUCIN: Sea h la altura del asta y sea x la distancia desde el punto donde se rompi por primera vez, al piso. El asta forma un tringulo rectngulo con el piso siendo su hipotenusa h x. Cuando se rompe otra vez, 0.75 m ms abajo, el cateto vertical se reduce a x 0.75 y la hipotenusa aumenta en 0.75, quedando h x + 0.75. Aplicando el teorema de Pitgoras en cada tringulo formado, obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el valor de h.

(1) (h x)2 = x2 + 32 (h x)2 = x2 + 9 (2) (h x + 0.75)2 = (x 0.75)2 + 4.52 (h x)2 + 1.5 (h x) + 0.5625 = x2 1.5x + 0.5625 + 20.25 Sustituyendo (1) en (2) y simplificando se obtiene: x2 + 9 + 1.5h 1.5x + 0.5625 = x2 1.5x + 0.5625 + 20.25 1.5 h = 11.25 h = 7.5 m.

SOLUCIN: Se aprecia que la lnea trazada dentro del tringulo corresponde a la bisectriz del ngulo A, luego los segmentos que determina en el lado BC son proporcionales a los lados AB y AC. Por tanto por el Teorema de la Bisectriz se tiene:

1510

18x = 12

151018x ==

SOLUCIN: Dado que es un tringulo rectngulo, por el Teorema de Pitgoras se tiene AB2 = AC2 + BC2 , luego

BC = 2457649625725ACAB 2222 ====

A

C B

En la figura, AC = 7, AB = 25. Halle el valor de BC.

10

18

x A partir de la informacin dada en la figura, encuentre el valor de x. 15

A B

C

EJEMPLO 6

EJEMPLO 7

h x + 0.75

x 0.75

h x x

h

3 m 4.5 m


169

h b a

n m

c A D B

C

La altura respecto a la hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 10 cm. y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre s como 7 es a 14. Determine la longitud del cateto menor. SOLUCIN: Sea b la longitud del cateto buscado, h la altura relativa a la hipotenusa y c la longitud de la hipotenusa como se muestra en la figura. De las relaciones mtricas en un tringulo equiltero se tiene (1) b2 = nc , (2) c = n + m y (3) h2 = nm. Los datos indican que h = 10 y

147

mn = m = 2n. Sustituyendo en (3) se obtiene:

102 = 100 = n (2n) n2 = 50 n = 25 y m = 2n = 10 2 Luego c = m + n = 25 + 10 2 = 15 2 .

Sustituyendo en (1) resulta b2 = 25 15 2 = 150 b = 65150 = . Dado un ABC, demuestre que la longitud de sus medianas estn dadas por

mA = 2ac2b2 222 + , mB = 2

bc2a2 222 + . mC = 2cb2a2 222 + .

SOLUCIN: Vamos a probar la primera frmula, puesto que las otras dos se obtienen de manera similar o bien intercambiando las literales utilizadas. Consideremos los diferentes casos que pueden presentarse:

Caso 1: El pie de la altura correspondiente al lado considerado queda entre un vrtice y el pie de la mediana como se muestra en la figura. Sean D y M los pies de la altura y la mediana respectivamente. Sea x = BD, y = DM.

Por ser M punto medio de __

BC se tiene:

x + y = 2a , MC =

2a y DC = y +

2a = a x x =

2a y .

Al aplicar el teorema de Pitgoras a los tringulos rectngulos que se forman se obtiene:

i) h2 + x2 = c2 o sea h2 + (2a y)2 = c2

ii) h2 + y2 = m2

A A A

B D M C B M C B M C D

c h m b

x y a/2

EJEMPLO 9

EJEMPLO 8


170

iii) h2 + (y + 2a )2 = b2

Al desarrollar (i) y (iii) y sumar se obtiene:

222

2

222

2

byay4

ah

cyay4

ah

=+++

=++

2222

2 cby22

ah2 +=++

2ac2b2

2acb)y(h2

22222222 +=+=+

4ac2b2yh

22222 +=+

De (ii) h2 + y2 = m2A , sustituyendo en la expresin anterior, se obtiene

mA = 2ac2b2 222 +

Caso 2. Si la altura coincide con la mediana, al aplicar el teorema de Pitgoras

i) m2 = c2 4

a2 ii) m2 = b2

4a2

Sumando (i) y (ii) se obtiene el resultado buscado. Caso 3. Si un vrtice queda entre el pie de la mediana y el de la altura (ver figura), aplicando tambin el Teorema de Pitgoras mediante un procedimiento es muy similar al caso (1) se llega al mismo resultado

SOLUCIN: El permetro es P = AC + BC + AB. Como ya se conoce BC = 15, falta hallar AC y AB.

Tenemos ABC CBD, luego CDAC

BDBC = , por tanto AC =

91215

BDCDBC = = 20

Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar AB. Se tiene

AB = 6252254001520BCAC 2222 =+=+=+ = 25 El permetro buscado es P = AC + BC + AB = 20 + 15 + 25 = 60

A D B

C

Si BD = 9, BC = 15, CD = 12, determine el permetro del ABC.

EJEMPLO 10


171

SOLUCIN: Por el teorema de Pitgoras tenemos c2 = a2 + b2 , al sustituir el valor de b, se obtiene

c2 a2 = 82 = 64 (1) Adems por dato tenemos c a = 2 (2). Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2), obtenemos c = 17 y a = 15 Por las relaciones mtricas en un tringulo rectngulo tenemos

h = 17

815cba = = 7.06

b2 = m c m = 178

cb 22 = = 3.765

a2 = n c n = 17

15c

a 22 = = 13.235 Para comprobar verificamos que m + n = c, lo cual se cumple. Para calcular la altura de un edificio, una persona coloca verticalmente una vara de 3 m a una distancia de 25 metros del edificio. Retrocede hasta mirar alineados el extremo de la vara y la parte superior del edificio. Si la persona ha retrocedido 2.55 m y sus ojos estn a 1.65 m del piso, determine la altura del edificio.

A D B m n

b h a

C

En el tringulo de la figura, b = 8 y c a = 2. Determine los valores de a, c, m, n y h.

c

1.65

h

3

h 1.65 1.35

2.55 25

27.55

Al trazar una lnea paralela al piso, a la altura de los ojos de la persona, y a partir de los datos dados obtenemos los tringulos de la figura. Tenemos ABD ACE, luego

2.551.35

27.551.65h = h = 16.235 m

A B C

D

E

E

D

A CB

EJEMPLO 11

EJEMPLO 12


172

Demostrar que las bisectrices de un tringulo son concurrentes.

Tenemos ),(),(

=

ABIdACId (1) y ),(),(

=

BCIdABId (2), ya que I est en las bisectrices de A y B, y por tanto equidista de los lados.

De (1) y (2), por transitividad, ),(),(

=

BCIdACId por tanto I est tambin en la bisectriz del ngulo C. Demostrar que las mediatrices de un tringulo son concurrentes.

Demostrar que las tres alturas de un tringulo son concurrentes.

A travs de cada vrtice trazamos rectas paralelas al respectivo lado opuesto, formando el tringulo DEF. Se tiene AE = BC y AF =BC por ser segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas, luego A es punto medio de EF.

De manera similar B y C son puntos medios de ____DEyFD

respectivamente.

Sean ______

,___

CPyBNAM las alturas del ABC.

La altura ___AM por ser perpendicular a

__BC tambin lo es a su

paralela __EF ; de manera similar el resto de alturas son

perpendiculares a los respectivos lados del tringulo DEF. Luego las alturas del ABC son mediatrices del DEF y por tanto son concurrentes.

A

B C

Sean 321 mymm , las mediatrices del tringulo ABC.

Como ____BCyAC son lados de un tringulo, no son paralelos y por tanto

las lneas perpendiculares a ellas tampoco son paralelas, luego se cortan en algn punto. Sea O el punto de interseccin de 21 mym . Luego OB = OC y OA = OC (propiedad de las mediatrices). Por transitividad se tiene tambin que OA = OB, por tanto O est en la

mediatriz de __AB , es decir O pertenece a las tres mediatrices

O

1m

2m

3m

A

Q R

B P C

Sean ______

, CRyBQAP las bisectrices del tringulo ABC. ____BQyAP se cortan en un punto ; dado que A y B son ngulos

internos del ABC, mA + mB < 180, luego sus mitades suman menos de 90, por tanto

____BQyAP no son paralelas y

deben cortarse en algn punto

I

EJEMPLO 13

EJEMPLO 14

EJEMPLO 15

F A E

P H N

B M C

D


173

3. 2.5. DESIGUALDADES GEOMETRICAS Es til recordar las propiedades de las desigualdades para los nmeros reales, ya que las desigualdades entre segmentos y ngulos se establecen a partir de sus medidas, las cuales son nmeros reales. Entre las principales propiedades tenemos: 1. Si x, y R, entonces una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: i) x = y ii) x > y iii) x < y (Tricotoma) 2. Si x > y y > z x > z (Transitividad) 3. Si x y a < b a + x < y + b 4. Si x < y a > 0 ax < ay 5. Si x < y a < 0 ax > ay 6. Si a = b + c, c > 0 a > b DEFINICIN 17: Decimos que

____CDAB> (el segmento AB es mayor que el segmento CD) si AB > CD. De

manera similar ABC > DEF si m ABC > mDEF. Si ____ CDAB> , E tal que A E B ____ CDAE . De manera similar si ABC > DEF, G i ABC tal que GBC DEF

DEFINICIN 18: Si C est entre A y D, entonces el BCD es un ngulo externo del ABC

En todo tringulo se forman seis ngulos externos, formando tres pares de ngulos opuestos por el vrtice. DEFINICIN 19: Si B C E y A C D, los ngulos A y B se llaman ngulos internos no contiguos de los ngulos externos BCD y ACE. TEOREMA 26: Un ngulo externo de un tringulo es mayor que cada uno de los ngulos internos no contiguos. TEOREMA 27: La medida de un ngulo externo de un tringulo es igual a la suma de las medidas de los ngulos internos no contiguos.

En la figura anterior m BCD = m A + m B COROLARIO: Si un tringulo tiene un ngulo recto, entonces los otros dos son agudos y complementarios. TEOREMA 28: Si dos lados de un tringulo no son congruentes, entonces los ngulos opuestos no son congruentes y el ngulo mayor es el opuesto al lado mayor. El recproco tambin es vlido, es decir el lado mayor se opone al ngulo mayor. TEOREMA 29: El segmento ms corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta.

B

A C D E

A E B

C D

B C E F

G D

A

____CDAB> ABC > DEF

P

C B

PB < PC


174

DEFINICIN 20: La distancia entre una recta y un punto fuera de ella, es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma recta se define como cero. TEOREMA 30: La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un tringulo es mayor que la longitud del tercer lado.

TEOREMA 31: Si dos lados de un tringulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo tringulo, y el ngulo comprendido en el primer tringulo, es mayor que el ngulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer tringulo es mayor que el tercer lado del segundo. El recproco tambin es vlido.

1. En el ABC, AB = 9, BC = 12 y AC = 15. Nombre el ngulo mayor y el ngulo menor. El Teorema # 25 establece que el ngulo mayor es el opuesto al lado mayor y en consecuencia el ngulo

menor es el opuesto al lado menor. De acuerdo a los datos el lado mayor es __AC , por tanto el ngulo

mayor es el ngulo B. El lado menor es __AB , luego el ngulo menor es el ngulo C.

2. En el DEF, mD = 37 y mE = 71. Nombre el lado mayor y el lado menor. El recproco del teorema # 25 tambin es vlido, es decir el lado mayor se opone al ngulo mayor y el lado menor se opone al ngulo menor. Como datos se da la medida slo de dos ngulos, luego hemos de encontrar primero la medida del ngulo que falta antes de decidir el orden de mayor a menor. Dado que las medidas de los ngulos de un tringulo suman 180, tenemos mF = 180 mD mE = 180 37 71 = 72, luego el ngulo mayor es F y el menor es D. Resulta entonces que

__ED es el lado mayor y

__EF el lado menor.

1.

K

M N

84

42 54

En el tringulo KMN, nombre los lados de mayor a menor

a

bc

A

B C

a + b > c a + c > b b + c > a

A C

B E

D F

AC = DF AB = DE A > D BC >EF

EJEMPLOS

EJERCICIOS


175

SOLUCIONES:

1. _________NK,MK,MN 2.

___PQ 3.

___CD 4. a) c > a > b b) a > c > b

c) c > b > a d) c > b > a 5. D

A

B

C

D

75

70

50 52

En la figura de la izquierda cul es el segmento ms corto?

P Q

R S

60 45

7530 60

En la figura de la derecha, nombre el segmento ms largo.

2

30 50

50

70 a b c ba

cb a

c

b a c 12 8

15

(a) (b) (c) (d)

4. En las siguientes figuras compare los valores de a,

Date post:	12-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	wiston-hernandez
View:	274 times
Download:	19 times

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Documents