Geometría Física

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Geometría FísicaSegunda Edición

Gustavo R. González-Martín

Profesor Titular, Departmento de Física

Universidad Simón Bolívar

Caracas

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© Gustavo R. González-Martín 1999, 2010

Versión Electrónica Digital 2.53producida en 2010 por el autor

Título del Libro Original: Geometría Física, Segunda Edición© Gustavo R. González-Martín 1999, 2010Hecho el depósito de leyDepósito legal 1f25220095304251ISBN 978-980-12-4051-8

Impreso enQ. Odisea, Sur 6, El Placer, Caracas 1080, Venezuela

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A Lourdes

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PrefacioLa idea de este libro nace de una serie de lecciones sobre teorías unificadas dictadas en la

Universidad Simón Bolívar. En realidad este es una recopilación coherente de publicacionesdispersas sobre la unificación geométrica de la física, incluyendo trabajos inéditos. Su objetivoes establecer los fundamentos de esta unificación y dar una respuesta a la pregunta ¿Existe unaGeometría Física? Las ideas fundamentales y algunos resultados están publicados en lasreferencias.

Se reconoce que la acción de la materia define ciertos conceptos y sus relaciones, todossusceptibles de representación geométrica. Los aspectos esenciales son los siguientes:

1 El universo físico se describe usando ecuaciones geométricas no lineales asociadasa un grupo de estructura.

2. El grupo de relatividad, el grupo de automorfismos del espacio tiempo plano, segeneraliza al grupo de automorfismos del álgebra geométrica del espacio tiempo.

3. Las ecuaciones de los campos y las ecuaciones de movimiento se representan através de una conexión geométrica y bases materiales que determinan la geometría.

4. La física microscópica se interpreta como el estudio de excitaciones geométricaslineales, que son representaciones del grupo, caracterizadas por un conjunto denúmeros discretos.

5. La geometría determina un espectro de masas, caracterizadas por la energía del espaciode fondo calculable usando cocientes del grupo.

Los resultados obtenidos indican que la gravitación y el electromagnetismo quedan unifica-dos de una manera no trivial. Hay generadores adicionales que usamos para representar todaslas interacciones no clásicas. Las ecuaciones multipolares de movimiento determinan el movi-miento geodésico con el término de fuerza de Lorentz. Si se restringe a la parte gravitacionalexclusivamente, se obtiene la ecuación de campo de Einstein y un tensor energía impulsopuramente geométrico que plantean una solución interna geométrica. El parámetro constantede curvatura (densidad geométrica de energía) de una solución simétrica hiperbólica se puederelacionar, en el límite newtoniano, con la constante gravitacional G. Si los campos irriemannianosde conexión contribuyen al escalar de curvatura, el parámetro G sería variable, disminuyendocon la intensidad de los campos. Este efecto puede interpretarse como la presencia demateria oscura. En el vacío se obtienen las soluciones gravitacionales conocidas, con constantecosmológica. La parte electromagnética está relacionada con un subgrupo SU(2)Q. Si se restringeexclusivamente a un subgrupo U(1) se obtienen las ecuaciones de campo de Maxwell. Engeneral, la ecuación de movimiento es una generalización geométrica de la ecuación de Dirac.De hecho, esta geometría parece ser el germen de la teoría cuántica incluyendo su aspectosprobabilísticos. La naturaleza geométrica de la constante de Planck h y la velocidad de la luz cestá determinada por sus relaciones respectivas con la conexión y la métrica. La masa se puededefinir en forma invariante en términos de la energía, dependiente de la conexión y la basematerial.La geometría tiene una estructura tridimensional que determina varias estructuras físicas

Nota a la Segunda EdiciónSe incorporan nuevos resultados para lo cual fue necesario reestructurar el tratamiento

de varios tópicos e introducir capítulos adicionales. Se corrigieron erratas en algunasecuaciones.

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triples. Las excitaciones geométricas tienen cuantos de carga, flujo y espín que determinan elefecto Hall cuántico fraccional. Los cocientes de las masas desnudas de las tres únicas partículasestables se calculan y nos dan expresiones geométrica sorprendentes, previamente conocidaspero sin explicación física. Existen excitaciones masivas de la conexión cuyas masas correspondena la de los bosones débiles y permiten una interpretación geométrica del ángulo de Weinberg.La ecuación geométrica de movimiento (una ecuación de Dirac generalizada) determina losmomentos magnéticos anómalos desnudos del protón, el electrón y el neutrón. La parteelectromagnética “fuerte” SU(2)Q, sin ayuda de ninguna otra fuerza, genera potencialesatractivos de corto alcance suficientemente fuertes para determinar la energía nuclear deligadura del deuterón y otros nucleidos livianos, compuestos de protones y electrones. Lafuerza nuclear es el resultado de la acción del potencial o conexión de este subgrupo. Lasmasas desnudas de los leptones de las tres familias se calculan como excitaciones topológicasdel electrón. Estas masas se incrementan bajo la acción del potencial fuerte SU(2)Q (relatividadde la energia) y están relacionadas con las masas de mesones y quarkios. La geometría determinael espectro de masas de las excitaciones geométricas, que para masas pequeñas, esencialmenteconcuerda con el espectro de masas de partículas físicas. El protón muestra una estructuratriple que puede relacionarse con una estructura de quarkios. Las combinaciones de las tresexcitaciones geométricas fundamentales (asociadas al protón, al electrón y al neutrino), queforman otras excitaciones, se pueden usar para clasificar las partículas y muestran una simetríabajo el grupo SU(3)xSU(2)xU(1). La única constante de acoplamiento es la constante alfa deestructura fina la cual también se determina geométricamente.

Los primeros dos capítulos representan una introducción. En los capítulos 3 al 10 se desa-rrollan las ideas geométricas fundamentales. En los capítulos 11 al 18 se aplica la teoría a casosconcretos.

Caracas, Venezuela, 24 de octubre de 2009 Gustavo R. González Martín

Agradecimientos

He tratado de dar crédito a todos aquellos cuyos trabajos sirven de sustento a las ideasexpresadas en este libro. Sin embargo, parece imposible lograr esto plenamente. Al momento deescribir, es mucho lo que debo a aquellos de quienes he aprendido a través de los años. En estesentido agradezco a los miembros de la comunidad de físicos del área de Boston, en particulara mi profesor, John Stachel.

Especialmente quiero agradecer a los colegas con quien he discutido estos temas, sin queuno pueda precisar la contribución a la germinación y formación de ideas; en particular, a lafacultad sénior del Seminario de Relatividad y Campos de Caracas: Luis Herrera Cometta, AlvaroRestuccia, Sebastián Salamó y el recordado Carlos Aragone (Q.E.P.D.). También agradezco lacolaboración de tesistas y algunos alumnos de mis cursos de relatividad y lecciones especialessobre unificación en la Universidad Simón Bolívar, quienes sirvieron de estimulante prueba defuego en la presentación y discusión de la tesis geométrica de la física: G. Salas, G. Sarmiento, V.Villalba, V. Varela, A. Mendoza, O. Rendón, E. Valdeblánquez, I. Taboada, V. Di Clemente, J. Díaz,J. González T., A. de Castro, A. Hernández y M. A. Lledó.

Caracas, Venezuela, julio de 1999 Gustavo R. González Martín

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Notación.

Los índices griegos minúsculos, correspondientes al espacio tiempo, varían del 0 al 3.

Los índices latinos minúsculos corresponden a la dimensión de un álgebra de Lie, usualmentedel 1 al 15; ocasionalmente indican el espacio tridimensional, del 1 al 3.

Los índices latinos mayúsculos corresponden a la dimensión de matrices o espinores, usual-mente varían del 1 al 4.

La repetición de índices indica sumatoria sobre la dimensión del espacio correspondiente.

La derivada se denota por ¶ , la derivada covariante por , la derivada exterior por d y laderivada exterior covariante en un fibrado por D .

Las unidades físicas se escogen geométricamente, de forma que las constantes c,, y e soniguales a 1.

La signatura de la métrica del espacio tiempo es 1, -1, -1, -1.

La mayoría de la notación matemática especializada se define en los apéndices.

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Primera Parte: Fundamentos

1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS. 11.1. Geometría de la Relatividad General. 11.2. Unificación Electrogravitacional. 21.3. Hacia una Geometría Física. 31.4. El Grupo de Estructura. 5

2. ULTRARRELATIVIDAD. 112.1. Introducción. 112.2. Extensión de la Relatividad. 112.3. Relatividad de las Interacciones. 142.4. Resumen. 17

3. UNA TEORÍA UNIFICADA. 193.1. Objetos Geométricos de la Teoría. 193.2. Principio Variacional. 203.3. Algunas Relaciones Algebraicas. 253.4. Ecuaciones de Movimiento para la Poliada Material. 273.5. Relación con la Teoría Cuántica. 28

3.5.1. Acuerdo con la Mecánica Cuántica. 283.5.2. Diferencias en Acoplamiento Inabeliano. 31

3.6. El Sector Electromagnético. 333.7. Otras Interacciones. 353.8. Resumen. 37

4. TEORÍAS CLÁSICAS. 404.1. Relación de los Fibrados. 404.2. Los Campos Clásicos. 444.3. Partículas Clásicas Geométricas. 454.4. Movimiento de las Partículas Clásicas. 464.5. Ecuaciones de Movimiento de Lorentz. 49

4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par. 514.5.2. Interpretación. 52

4.6. Resumen. 535. EL CAMPO GRAVITACIONAL. 54

5.1. Introducción. 545.2. Una Ecuación para el Tensor de Einstein. 55

5.2.1. La Ecuación de la Energía. 555.2.2. La Ecuación de Einstein. 59

5.3. Ecuaciones para una Solución Interna Geométrica de Schwarzschild. 625.4. El Límite Newtoniano. 635.5. Resumen. 66

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6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS. 686.1. Introducción. 686.2. Linealización de Campos. 696.3. Soluciones Poliádicas. 706.4. Soluciones de Conexión. 746.5. El Corchete como Derivación. 756.6. Teoría Geométrica de Campos Cuánticos. 766.7. Resumen. 78

7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS. 797.1. Introducción. 797.2. Representaciones Inducidas del Grupo de Estructura G. 797.3. Subálgebras de Cartan. 817.4. Relación Entre Números Cuánticos. 847.5. Interpretación Física. 887.6. Representaciones del Subgrupo P. 907.7. Aplicaciones. 937.8. Resumen. 95

8. MEDICIÓN DE OBSERVABLES GEOMÉTRICOS. 978.1. Introducción. 978.2. Mediciones de Corrientes Geométricas. 988.3. Espín Geométrico. 1028.4. Carga Geométrica. 1048.5. Resumen. 107

9. DEFINICIÓN DE MASA. 1099.1. Introducción. 1099.2. El Concepto de Masa. 1109.3. Masa Invariante. 1129.4. El Operador Impulso. 1149.5. Resumen. 116

10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA. 11710.1. Introducción. 11710.2. Relaciones Geométricas. 117

10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi. 11710.2.2. Relaciones de Conmutación. 118

10.3. Electrodinámica Geométrica. 11910.3.1. Partículas Libres y Corrientes. 11910.3.2. Electrodinámica Cuántica. 12010.3.3. Interpretación Estadística. 121

10.4. Aplicaciones. 12410.5. Resumen. 128

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Segunda Parte: Aplicaciones11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONALES. 130

11.1. Introducción. 13011.2. Cuantos de Flujo Magnético. 13011.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional. 13411.4. Resumen. 137

12. EL SUBSTRATO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA. 13912.1. Introducción. 13912.2. La Ecuación de Campo. 13912.3. Una Solución de Substrato. 141

12.3.1. La Conexión del Substrato. 14112.3.2. La Curvatura del Substrato. 14612.3.3. Relación con el Límite Newtoniano. 14712.3.4. Significación Física del Substrato. 148

12.4. Ecuación General de Movimiento. 15112.5. Substrato General. 15312.6. Resumen. 156

13. COCIENTES DE MASA. 15813.1. Introducción. 15813.2. Masas Desnudas. 16013.3. Cocientes Simétricos. 166

13.3.1. Volumen del Espacio C. 16613.3.2. Volumen del Espacio K. 16913.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes. 173

13.4. Cociente de Masa Física. 17313.5. Resumen. 174

14. MASA DE EXCITACIONES DE CONEXIÓN. 17614.1. Introducción. 17614.2. Forma General de la Ecuación de Excitación. 17614.3. Una Solución Particular. 17814.4. Excitaciones SU(2) Masivas. 180

14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre. 18514.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red. 187

14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa. 18814.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles. 190

14.6. Resumen. 19015. INTERACCIONES DÉBILES 192

15.1. Introducción. 19215.2. Interacción Débil Geométrica. 19415.3. Relación con la Teoría de Fermi. 19615.4. Resumen. 201

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16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE. 20316.1. Introducción. 20316.2. Movimiento de una Excitación en una Aproximación No Relativista. 20316.3. Momentos Magnéticos. 20516.4. La Ecuación Modificada de Pauli. 21016.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón para el Deuterón. 21116.6. Energía de Ligadura del Deuterón. 21516.7. El Modelo Electrón-Protón para el Neutrón. 21716.8. El Modelo de muchos Deuterones. 21916.9. Resumen. 221

17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES. 22317.1. Introducción. 22317.2. Clasificación de la Conexión. 22717.3. Excitaciones Correspondientes a Subgrupos. 22817.4. Estructura Algebraica de Partículas. 23017.5. Interpretación Física en Términos de Partículas e Interacciones. 23317.6. Estructura Topológica de Partículas. 23417.7. Masas de Excitaciones Geométricas. 237

17.7.1. Masas Leptónicas. 23917.7.2. Masas Mesónicas. 242

17.9. Modelo de Barut. 24617.9. Relación con la Teoría de Partículas. 25017.10. Resumen. 253

18. LA CONSTANTE ALFA. 25618.1. Introducción. 25618.2. Una Medida Geométrica. 256

18.2.1. Espacio Simétrico K. 25618.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como un Polidisco Unidad. 25718.2.3. Medida Invariante en el Polidisco. 259

18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K. 26118.4. Valor del Coeficiente Geométrico. 26418.5. Resumen. 266

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Tercera Parte: ApéndicesA. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. 267

A.1. Introducción. 267A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores. 267

A.2. Representación del Álgebra A. 269A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G. 276A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0). 279A.5. Relación de Espinores de los Grupos G y L. 280A.6. Bases Espinoriales Pares y Bases Vectoriales. 283A.7. Derivada del Subconjunto Ortonormal. 283

B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS. 285B.1. Grupos de Lie. 285

B.1.1. El Diferencial de una Aplicación. 285B.1.2. El Algebra de Lie de un Grupo. 287

B.2. Subespacios de Cartan. 289B.3. El Grupo G. 293B.4. Espacios Simétricos. 296

C. CONEXIONES EN FIBRADOS. 300C.1. Un Campo Fundamental. 300C.2. La Conexión de Ehresmann. 301C.3. Las k-Formas Tensoriales. 303C.4. Curvatura y Torsión. 305C.5. Formas Inducidas de Conexión, Curvatura y Torsión. 307

D. FIBRADOS JETADOS. 312D.1. Fibrados Jetados. 312D.2. Secciones Críticas y Vectores de Jacobi. 315

E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FIBRADOS. 318E.1. Variedades. 318E.2. Fibrados. 319E.3. Producto Homotópico. 320E.4. Tercer Grupo de Homotopía. 322

F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍAS GEOMÉTRICAS. 324F.1. Límites del Espacio Tiempo. 324

F.1.1. Propagación Instantánea. 324F.1.2. Límite Local. 326F.1.3. Límite Global. 328F.1.4. Postulados. 329

F.2. Condición de Rigidez Geométrica. 330F.3. Conexión Geométrica del Borde. 333F.4. Conexión Newtoniana. 334

ÍNDICE ................................................................................................................................. 338

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q 1

q 2

q 3Q

Cuantización geométrica de los generadores E de la conexiónelectromagnética SU(2) y la carga eléctrica. ¿Acción geométrica universal?

E E iE- = 1 2

E

E E+ = 3

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3 J. A. Wheeler en: P. C. Eichelburg and R. U. Sexl (Eds.), Albert Einstein (Friedr.Vieweg & Sohn, Braunschweig) p. 201, (1979).

…Mach sintió que había algo importante acerca del concepto de evitar un sistema iner-cial… Todavía no tan claro en el concepto de espacio de Riemann. El primero en ver estoclaramente fue Levi-Civita: paralelismo absoluto y una manera de diferenciar…

…La representación de la materia por un tensor fue solamente un parche para que fueseposible hacer algo temporalmente, una nariz de madera en un hombre de nieve…

…Para la mayoría de la gente, la relatividad especial, el electromagnetismo y la gravita-ción no son importantes, sino para ser añadidas al final después que todo lo demás estéhecho. Al contrario, tenemos que tomarlas en cuenta desde el principio…

Albert Einstein

de la Última Lección de Albert Einstein,3Seminario de Relatividad,Room 307, Palmer Physical Laboratory, Princeton University,14 de Abril de 1954,según notas tomadas por J. A. Wheeler.

1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS.

1.1. Geometría de la Relatividad General.Reconociendo las críticas de Mach sobre los sistemas inerciales preferidos, Einstein

construyó la relatividad general usando el principio de covariancia y el principio deequivalencia. Sin embargo enseguida, en 1917, Kretschmann indicó [1] y Einstein ratificópoco después [2] que el principio de covariancia, como se expresa usualmente, carece decontenido físico y toda teoría, cualquiera que sea, puede ser formulada en forma covariantegeneral. Formulaciones covariantes de la teoría de gravitación de Newton fueron dadaspor Cartan [3, 4] y Friedrichs [5] y discutidas en artículos de repaso por Havas [6], Trautman[7] y Kilminster [8]. Estas formulaciones también concuerdan con el principio deequivalencia. Por estas razones es necesario aclarar el significado de estos principios talcomo fueron enunciados por Einstein en el razonamiento físico que lo llevo a la relatividadgeneral.

Toda teoría de gravitación especifica el movimiento de partículas de prueba ideales.Una partícula de prueba tiene solamente estructura gravitacional monopolar, en otraspalabras, no hay cargas ingrávidas ni ninguna estructura multipolar, etc. En ausencia degravitación, la primera ley de Newton establece el principio de inercia: hay una claseprivilegiada de movimientos, llamados “movimientos libres”, que son seguidos por loscuerpos sobre los cuales no actúa fuerza alguna.

Para incorporar el principio de equivalencia en una teoría busquemos una nueva clasede movimientos privilegiados. Lo mejor que se puede hacer es usar las trayectorias departículas de prueba bajo la acción de fuerzas gravitacionales, llamadas “caídas libres”.Los movimientos de partículas de prueba definen un conjunto de curvas, caídas libres,para cada punto en cada dirección temporal en la variedad y un parámetro físico en cadacurva que es una medida del desplazamiento de la partícula a lo largo de la curva. Sitenemos una familia preferida de curvas en una variedad, una a través de cada punto y encada dirección en ese punto y un parámetro preferido a lo largo de cada curva, se defineuna conexión en la variedad M, o equivalentemente en su fibrado tangente TM. La conexiónse determina requiriendo que las curvas sean geodésicas y el parámetro sea el parámetroafín. En consecuencia, podemos decir que una teoría de gravitación que incorpore elprincipio de equivalencia define una conexión en el espacio tiempo.

Si introducimos una conexión en esta forma, no hay seguridad que haya compatibilidadde la conexión con una métrica en el espacio tiempo. Einstein hizo la hipótesis implícitaque hay una relación orgánica entre las estructuras afín y métrica del espacio tiempo. Serequiere que la estructura afín sea mínima con respecto a la estructura métrica, o sea quelos coeficientes de la conexión sean los símbolos de Christoffel de la métrica. Esto implicaque la derivada covariante de la métrica se anule y que las varas de medición y los relojes

Capítulo 1 GEOMETRÍA FÍSICA2

sean independientes del campo gravitacional. Esta relación mínima excluye la posibilidadde añadir un tensor simétrico a los símbolos de Christoffel. Parece que este requisito decompatibilidad es el contenido del principio de covariancia.

Si ponemos los comentarios anteriores en un lenguaje geométrico podemos enunciarlos dos principios en la forma siguiente:

1. Una teoría de gravitación debe ser representada por una conexión que no seatrivial en el fibrado tangente TM al espacio tiempo M.

2. El fibrado principal asociado a TM tiene al grupo de Lorentz, SO(3,1), comogrupo de estructura.

El primer enunciado garantiza el principio de equivalencia. El segundo enunciado puedetomarse como el contenido del principio de covariancia. Debe destacarse que la posibilidadde introducir coordenadas locales es una propiedad de cualquier variedad y que el uso deestas coordenadas y sus transformaciones no introduce ninguna estructura geométricaadicional a la hipótesis de ser una variedad.

1.2. Unificación Electrogravitacional.Es bien conocido que las ecuaciones de campo de la gravitación de Einstein implican

las ecuaciones de movimiento de las partículas de prueba [9] y que, al contrario, lasecuaciones de campo del electromagnetismo de Maxwell no implican la ecuacióncorrespondiente de movimiento. En esta caso, es necesario postular la ecuación de la fuerzade Lorentz o derivarla a partir de postular separadamente un principio variacional. Estehecho está relacionado con la ilinealidad de la gravitación y la linealidad de laelectrodinámica [10].

Si una teoría unificada de gravitación y electrodinámica se construye con ecuacionesde campo ilineales, debe ser posible derivar las ecuaciones de movimiento de Lorentzpartiendo de las ecuaciones de campo de la teoría.

Dentro de la teoría de Einstein y Maxwell las ecuaciones deseadas fueron obtenidaspor Infeld y Wallace [11]. En esta teoría, si escogemos apropiadamente el tensor energíaimpulso TE del electromagnetismo, la conservación del tensor de energía impulso total Timplica la ecuación de fuerza de Lorentz. Esto no debe sorprendernos porque el TE delelectromagnetismo se construye precisamente para conservar la energía y el impulso de unsistema de campos electromagnéticos y cargas eléctricas moviéndose de acuerdo a la fuerzade Lorentz. En otras palabras la estructura de TE supone la validez de la ecuación de Lorentz.En la teoría de Einstein y Maxwell, aparte de los postulados geométricos gravitacionales,tenemos que postular adicionalmente la forma exacta del tensor de energía impulso delelectromagnetismo que contiene la hipótesis de movimiento acorde con la fuerza de Lorentz.Con este postulado, el movimiento de partículas cargadas queda determinado aún en elespacio plano, sin usar las ecuaciones de Einstein [12, 13, 14].

También se puede argumentar que la teoría de Einstein y Maxwell no es verdaderamenteuna teoría unificada geométricamente. El mismo Einstein [15] estaba insatisfecho con alcarácter ageométrico de TE y pasó sus últimos años buscando una teoría unificada

3Principios Físicos Geométricos

satisfactoria.Hoy día, la necesidad de teorías de interacciones débiles y fuertes puede revivir la idea

de una teoría unificada geométricamente. La teoría de Einstein y Maxwell es incompleta,en el sentido que no suministra una estructura geométrica capaz de representar estos camposadicionales.

La mayor parte del trabajo realizado acerca del movimiento de partículas cargadas [16,17, 18, 19], incluyendo el cálculo de Infeld y Wallace explica el movimiento con las hipótesisindicadas anteriormente. En vez de estudiar el movimiento bajo las fuerzas de alguna teoríaunificada, debemos tomar nota de las similitudes entre la expresión para la fuerza de Lorentzy la expresión para la fuerza sobre partículas en giro en relatividad general y suponer quela similitud no es una mera coincidencia. Esto nos conduce a representar la gravitación y elelectromagnetismo por el mismo objeto geométrico. Exigiendo la predicción de la ecuacióncorrecta de movimiento, incluyendo la fuerza de Lorentz por lo menos en algún límite,podremos restringir las teorías posibles.

En las teorías conocidas como teorías “ya” unificadas se requiere que el tensor decurvatura satisfaga las condiciones de Rainich [20], Misner y Wheeler [21] que sonequivalentes a la existencia de un tensor electromagnético de energía impulso TE. Conestas condiciones, la fuerza de Lorentz se obtiene en la misma forma que en la teoría deEinstein y Maxwell, pero en realidad se postula en el requisito extra sobre la curvatura.

En la teoría unificada de Weyl [22], las ecuaciones de movimiento están sujetas a unaobjeción, argumentada primero por Einstein [23], que ellas implican que las frecuenciasde las líneas del espectro atómico debieran depender de la historia pasada de los átomos.

En la teoría de Kaluza [24], las ecuaciones de Lorentz se obtienen de la ecuación de lasgeodésicas en un espacio pentadimensional con un vector de Killing en la quinta dimensión.Se interpreta la componente de la pentavelocidad a lo largo de la quinta dirección como lacarga eléctrica y ciertas componentes de la conexión simétrica como el tensor del campoelectromagnético. Podemos objetar que, como siempre se puede hacer la conexión cero alo largo de cualquier curva dada, el tensor electromagnético podría anularse en un sistemaapropiado de coordenadas. El significado físico de este sistema de coordenadas no escompatible con resultados experimentales del electromagnetismo.

Ecuaciones de movimiento derivadas fueron discutidas por Johnson [25] dentro de lateoría del campo antisimétrico de Einstein [26]. En el límite sin gravitación, laelectrodinámica de esta teoría no es la teoría convencional de Maxwell [27], aunque lasecuaciones resultantes son compatibles con las interacciones experimentales conocidas departículas cargadas sobre distancias de laboratorio.

1.3. Hacia una Geometría Física.Como se indicó en la primera sección, la gravitación se asocia a una estructura

geométrica, una conexión en un fibrado principal SO(3,1) asociado al fibrado tangente delespacio tiempo. Se conoce también que el electromagnetismo se puede describir como unaconexión en un fibrado principal U(1) sobre el espacio tiempo. En consecuencia, se escogió


una conexión como el objeto geométrico que representa a la interacción unificada.Propusimos [28, 29] una teoría unificada geométrica donde el electromagnetismo no

entra como parte de la métrica o del tensor de energía impulso de la materia, sino comoparte de una conexión como originalmente intentó Weyl [30]. Similarmente, la gravitacióntambién entra como parte de la conexión. Esto se logró agrandando el grupo de estructurade la teoría para incorporar ambos campos como parte de una conexión de Ehresmannunificada, haciendo la teoría claramente diferente de las teorías de Einstein y Maxwell,Weyl, Kaluza [31] y la teoría del campo antisimétrico [32]. La motivación física para estaespeculación nació del hecho que la curvatura gravitacional entra, en la ecuación demovimiento de cuerpos girantes, de la misma manera que la curvatura electromagnéticaentra en la ecuación de Lorentz para partículas cargadas y del hecho que una teoría degravitación que incorpore naturalmente al principio de equivalencia deber ser representadapor una conexión, no necesariamente por una métrica.

Si deseamos representar la interacción unificada por una conexión, tenemos que enfrentarla selección del grupo de estructura del fibrado. Escogimos un criterio geométrico paraesta selección. El grupo buscado debe estar asociado geométricamente con el espacio tiempo.Posteriormente consideraremos su relación con otras áreas de la física.

Debido a estas posibilidades y la bien conocida relación de la teoría electromagnéticade Maxwell con conexiones U(1) en un fibrado principal se estimó que, para acercarse a launificación, sería deseable trabajar con el grupo SL(2,C),en vez del grupo propiamente deLorentz SO(3,1). Una teoría de gravitación relacionada con SL(2,C) fue presentada porCarmelli [33]. Siguiendo esta idea, la forma más sencilla para agrandar el grupo es,aparentemente, usar el grupo U(1)SL(2,C) que es el grupo que preserva la métrica asociadaa una tétrada inducida por una base espinorial.

Era conocido por Infeld y Van der Waerden [34, 35, 36] cuando introdujeron unaconexión espinorial, que aparecían componentes arbitrarias que admitían la interpretaciónde potenciales electromagnéticos ya que satisfacían las ecuaciones de campo. Para admitiresta interpretación nosotros exigimos que la ecuación de la fuerza de Lorentz sea unaconsecuencia de las ecuaciones de campo. De otra manera, las ecuaciones de camponecesariamente determinadas por la teoría contradicen el movimiento, experimentalmentebien establecido, de las partículas cargadas y la teoría debe rechazarse.

Un primer intento [28, 37], usando U(1)SL(2,C) como el grupo, produjo un resultadonegativo porque las ecuaciones de movimiento dependen de los conmutadores de las partesgravitacional y electromagnética que conmutan. Esto significa que las partículas cargadasseguirían las mismas geodésicas que siguen las partículas neutrales. Esto prueba que no esposible, sin contradicciones, considerar que la parte U(1) representa el electromagnetismocomo sugirieron Infeld y Van der Waerden. Esto significa también que, para obtener elmovimiento correcto, debemos agrandar el grupo escogido de forma que los generadoreselectromagnéticos no conmuten con las generadores gravitacionales. No es cierto quecualquier grupo de estructura que contenga a SL(2,C)U(1) da una teoría unificada sincontradecir las ecuaciones de movimiento de Lorentz. El movimiento clásico correcto esun requisito fundamental para una teoría unificada.


De acuerdo al criterio indicado deseamos un grupo asociado al espacio tiempo. Comolas álgebras de Clifford y sus espinores están asociadas geométricamente a los espaciosortonormales, ellas representan una generalización del concepto de métrica. Haytransformaciones de este álgebra que preservan su producto y por consiguiente la estructuramétrica del espacio ortonormal asociado.

Si ponemos estas ideas en un lenguaje geométrico podemos enunciar dos principiosque generalizan los indicados anteriormente:

1. Una teoría unificada debe representarse por una conexión que no sea trivial enun fibrado principal E con el espacio tiempo M como espacio base del fibrado.

2. El grupo de estructura G del fibrado principal E es el grupo de automorfismoscorrelacionados del espacio espinorial del álgebra geométrica del espacio tangenteTM al espacio tiempo.

1.4. El Grupo de Estructura.De acuerdo al segundo postulado usamos el grupo SL(2,K) sobre un anillo K, que es el

grupo de automorfismos espinoriales del álgebra universal de Clifford del espacio tiempoplano. Resulta que hay dos álgebras, que no son isomorfas, para el espacio tiempo deacuerdo a la signatura escogida para la métrica (vea el apéndice A). En correspondenciahay dos grupos SL(2,K), uno donde K es el cuerpo de los cuaterniones Q y otro donde K esel anillo sin división R(2), que llamaremos los seudocuaterniones . El último grupo eshomomorfo a SL(4,R).

Se conoce que el grupo SL(2,K) no preserva la métrica correspondiente. Sin embargo,si pensamos que la relatividad general esta ligada a transformaciones generales decoordenadas que cambian la forma de la métrica, sería en el mismo espíritu usar este grupo.En vez de transformaciones de coordenadas cuyo significado físico esta asociado con elcambio de observadores, tendríamos transformaciones pertenecientes al grupo SL(2,K)cuyo significado físico estaría asociado a un cambio de espinores relacionados conobservadores. Representaciones de este grupo estarían vinculadas a los campos materiales.Si restringimos a la parte par de cualquiera de estos grupos SL(2,K), como subconjuntodel álgebra de Clifford, llegaríamos al grupo SL1(2,C), usado en la física de espinores.Como SL(2,K) es de mayor dimensión que SL(2,C) nos brinda la oportunidad de asociarestos generadores adicionales con interacciones distintas a la gravitación y elelectromagnetismo. El generador que juega el papel de electromagnetismo debe serconsistente con su uso en otras ecuaciones de la física. El significado físico de losgeneradores restantes debe ser identificado.

La ecuación de campo debe relacionar la conexión con un objeto geométrico querepresente a la materia. Esperamos que la materia esté representada por una n-forma tensorialvaluada en el álgebra de Lie del grupo, en vez del tensor ageométrico T. El objeto mássencillo de este tipo, construido de la conexión, es la curvatura W que obedece la identidadde Bianchi,


DW = 0 . (1.4.1)El siguiente objeto más sencillo se construye usando la dualidad de Hodge *W, si

tenemos una métrica en el espacio tiempo. En similitud con el electromagnetismopostulamos la ecuación de campo,

D k JW* *= , (1.4.2)donde *J debe ser una tres forma valuada en el álgebra y k es una constante a seridentificada posteriormente. Debido a la estructura geométrica de la teoría, la fuentede corriente debe ser un objeto geométrico compatible con la ecuación de campo y lageometría. La estructura de J, claro está, se expresa en términos de ciertos objetosgeométricos sobre los cuales debe actuar la conexión. Las propiedades geométricas dela curvatura y la ecuación de campo determinan que la corriente J obedece condicionesde integrabilidad,

[ ],DDX XW= , (1.4.3)

,DD W W W* *é ù= =ê úë û 0 , (1.4.4)

D J* = 0 . (1.4.5)Esta relación que es una condición de integrabilidad de la ecuación de campo incluye

todos los términos de autorreacción de la materia sobre sí misma. Un sistema físicosería representado por campos de materia y campos de interacción que son solucionesde este conjunto de ecuaciones ilineales simultáneas. No debe haber preocupacionesacerca de infinitos producidos por los términos de autorreacción. Como en el métodoEIH en la relatividad general [38], cuando se perturban las ecuaciones, por ejemplopara obtener linealidad, la separación de las ecuaciones en ecuaciones de orden diferenteintroduce los conceptos de campo producido por la fuente, fuerza producida por elcampo y en consecuencia términos de autorreacción. Estos términos, ausentes en elsistema ilineal original, son un problema introducido por este método particular deresolución. En el orden cero, una partícula clásica se mueve como una partícula deprueba sin auto reacción. En el primer orden, el campo producido por la partículaproduce una autocorrección del movimiento.

Agrandar el grupo de la conexión no solo unifica satisfactoriamente la gravitacióny el electromagnetismo sino exige otros campos y parece brindar una teoría que difiereen principio de la gravitación de Einstein y se parece a la de Yang [39]. Esto se puedever de la ecuación de campo que relaciona las derivadas de la curvatura de Ehresmanncon una fuente de corriente J.

Así como en relatividad general, las condiciones de integrabilidad determinan lasecuaciones de movimiento para partículas clásicas, sin conocimiento detallado de laforma de la fuente, si suponemos que J tiene una estructura monopolar. Las deseadas


ecuaciones de movimiento de Lorentz se obtendrán en el capítulo 4 satisfaciendo deesta manera el criterio de aceptación de la teoría unificada propuesta.

Sin embargo el objetivo principal presente no es describir el movimiento clásicoexhaustivamente, sino construir una teoría geométrica y exigir que sea compatible conel movimiento clásico de las fuentes y posiblemente exigir compatibilidad con las ideasmodernas de la teoría cuántica. Particularmente, el primer objetivo parece seraprovechar la oportunidad ofrecida por la teoría para interpretar geométricamente lacorriente de la fuente en términos de objetos geométricos fundamentales de campo. Sise establece una estructura geométrica para J, se completa la primera etapa en laconstrucción de la teoría unificada.

Una teoría de conexiones sin otros objetos es incompleta desde un punto de vistageométrico. Una conexión en un fibrado principal se relaciona con el grupo de estructuray el espacio base del fibrado. Las representaciones del grupo proveen una fibra paraun fibrado vectorial asociado sobre el cual actúa naturalmente la conexión. Elsignificado geométrico de la conexión está relacionado con el transporte paralelo delos elementos de la fibra en puntos diferentes en el espacio base. Esto es, esencialmente,un proceso de comparación de elementos en eventos diferentes.

Un fibrado vectorial de este tipo tiene una base y el efecto de la conexión se definenaturalmente sobre estas bases. Desde un punto de vista geométrico debemos completarla conexión con una base vectorial. Es bien conocido que la teoría gravitacional deEinstein se puede expresar usando una base ortonormal en vez de la métrica [40]. Enesta teoría hemos llevado esta idea un paso adelante introduciendo una base espinoriale en el espacio de fibra de un fibrado vectorial asociado S, en adición a la base u de lafibra del espacio tangente. En otras palabras, trabajamos en el espacio “raíz cuadrada”del espacio plano usual. La conexión que representa los campos gravitacionales yelectromagnéticos depende de un término de corriente de fuente. Suponemos tambiénque esta corriente de fuente se construye de los campos materiales fundamentales quetienen la interpretación geométrica de formar una base e en la fibra del fibrado vectorialy define un subconjunto ortonormal k del álgebra geométrica Clifford,

!J e edx dx dxm a b g

abgme k* = 13

, (1.4.6)

o en forma equivalente

!J e e dx dx dxa b c

a b ck k k* = 13 . (1.4.7)

Esta base material e, cuando se ordena como una matriz con los vectores de la basecomo columnas, está relacionada con un elemento del grupo del fibrado principal. Unasección e en el fibrado principal establece canónicamente un entramado espinorial materialsobre el espacio tiempo y representa la distribución de materia. Indicaremos este entramado


espinorial con el nombre de poliada. Es natural esperar que esta poliada o sección e debeobedecer ecuaciones de movimiento que dependen naturalmente del campo de conexión.De hecho, veremos que una solución particular de la condición de integrabilidad, laconservación covariante de J, se obtiene de la ecuación,

emmk = 0 . (1.4.8)

Esta ecuación puede ser interpretada como una ecuación generalizada de Dirac si en elgrupo de estructura, SL(2,K), el anillo K se escoge como el anillo sin división R(2)=de los seudocuaterniones, lo cual determina que el grupo de estructura de la teoría esSL(2, ) o su grupo cubriente SL(1,LQ) [41] . La ecuación de la pol iadacorrespondiente al otro grupo SL(2,Q) no se reduce a la ecuación de Dirac para unapartícula libre. Esto se discutirá en el capítulo 3. A partir de este punto usaremos lanotación SL(2,) o SL(4,R) para indicar estos grupos o el grupo cubriente, salvoindicación contraria cuando sea conveniente distinguirlos.

Debemos destacar que cuando tenemos una conexión sl(2,C) existe un acoplamientocanónico de la gravitación usual con partículas de espín ½ obtenida postulando unaecuación de Dirac que dependa de espinores [42, 43, 44]. Sin embargo, esto norepresenta una unificación real en el sentido estricto. Nuestra ecuación de campo implicacondiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con la estructura de J, estascondiciones determinan la ecuación generalizada de Dirac que, por lo tanto, no tieneque ser postulada separadamente como en el caso mencionado anteriormente. Alcontrario, la teoría bajo discusión, no es meramente una adhesión de gravitación yelectromagnetismo para partículas con espín ½. Mas bien es la introducción de unaestructura geométrica general que, en forma significativa, modifica ambas teoríascanónicas y su acoplamiento. En realidad la ecuación ilineal de campo y la estructuramás simple de la corriente son suficientes para predecir esta ecuación generalizada deDirac.

Aparentemente, la teoría en discusión puede contener ambas ecuaciones demovimiento de la materia, la clásica y la cuántica. En particular, la ecuación clásica seobtiene de una aproximación multipolar. La ecuación cuántica (1.4.8) es la ecuacióngeométrica de movimiento de acuerdo a la estructura de la corriente.

Una partícula clásica no es la idealización adecuada del mundo físico. La teoríadebe suministrar las relaciones entre los campos de interacción (gravitación,electromagnetismo, etc.) y campos de materia (masas, cargas, espinores, etc.) yespecificar como evolucionan estos campos. Una definición moderna de partícula ysus propiedades debe descansar en los campos geométricos fundamentales. Es deseableque los aspectos clásicos y cuánticos de la partícula física puedan ser obtenidos de unateoría geométrica.


Referencias

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2. ULTRARRELATIVIDAD.

2.1. Introducción.Resultados anteriores parecen indicar que existe una geometría que puede tener un

amplio significado físico. Antes de continuar el desarrollo de la teoría discutiremos estesignificado, introduciendo una extensión de la relatividad y por lo tanto descansando lateoría sobre primeros principios.

El uso de álgebras geométricas de Clifford [1] introduce en la geometría del espaciotiempo un grupo de dimensión mayor que el grupo de Lorentz. Como este último es elgrupo de la relatividad podemos considerar que el uso de un grupo mayor indica unaextensión de la relatividad. Originalmente el grupo fue introducido para lograr unaunificación no trivial de la gravitación y el electromagnetismo. Se ha mostrado que estateoría unificada, donde el electromagnetismo se asocia a un subgrupo SU(2), implica lacuantización de la carga eléctrica y del flujo magnético [2], suministrando una explicaciónplausible del efecto Hall cuántico fraccional. En adición, la teoría brinda un modelogeométrico para el proceso de cuantización de campos [3], implicando la existencia deoperadores fermiónicos y bosónicos y sus reglas de cuantización.

La relatividad especial [4] se relaciona con un espacio de cuatro dimensiones con métricade Minkowski con signatura (1,-1,-1,-1). Un observador físico se asocia a una tétradavectorial u en este espacio, definiendo así una dirección temporal y tres direccionesespaciales. La signatura se determina por el requisito de que para un observador físico enreposo, el intervalo métrico sea el parámetro real, tiempo propio, de la línea universal delobservador.

El principio de relatividad especial define una equivalencia entre los observadores enmovimiento uniforme entre sí, una relatividad respecto a la velocidad. Si la métrica es lamisma para estos observadores, las transformaciones entre ellos forman el grupo de Lorentz,que preserva la métrica y las tétradas de los observadores se pueden escoger ortonormales.

2.2. Extensión de la Relatividad.Asociada a cada espacio ortonormal relativista existe un álgebra geométrica A(3,1) de

Clifford [5]. Hay una aplicación de inclusión k del espacio ortonormal al álgebra, que envíalas bases de vectores ortonormales a subconjuntos ortonormales del álgebra. Las diferentesimágenes de una base determinan un subespacio del álgebra. La razón geométrica paraintroducir estas álgebras es obtener objetos geométricos cuyo cuadrado es el negativo delproducto escalar de un vector consigo mismo,

( )( ) ( ). ,x x x I g x x Ik = - = -2

. (2.2.1)


En cierto sentido, esto es una generalización de la introducción de números imaginariospara la recta. Estas álgebras son útiles para definir la raíz cuadrada de operadores.

Para el espacio euclidiano de tres dimensiones, el subálgebra par de Clifford tienetambién la estructura del álgebra del grupo SU(2) homomorfo 2 a 1 al grupo derotaciones. Las transformaciones SU(2) de 2p y de 4p son diferentes pero ambasasociadas a una rotación de 2p. Adicionalmente, se sabe que una rotación de 4p no esgeométricamente equivalente a una rotación de 2p cuando se considera su relación deorientación y enredo relativo a su entorno [6]. Para preservar esta diferencia geométricaen un subespacio del espacio tiempo debemos exigir el uso de, por lo menos, elsubálgebra par en el tratamiento del espacio tiempo.

Cuando se define el álgebra geométrica universal para el espacio tiempo deMinkowski, las tétradas ortonormales del observador son aplicadas a los subconjuntosortonormales del álgebra. Entonces se t iene que el número de subconjuntosortonormales posibles del álgebra es mucho mayor que el número de tétradas posiblesdel espacio tiempo. Hay operaciones, dentro del álgebra, que transforman todos losposibles subconjuntos ortonormales entre sí. Estas son los automorfismos internos delálgebra. Geométricamente, esto significa que el espacio del álgebra contiene muchascopias del espacio ortonormal de Minkowski. Un observador relativista, puede sersumergido en el álgebra de muchas maneras equivalentes. Se puede decir que elobservador del espacio tiempo es “ciego” algebraicamente. Usualmente el álgebra esrestringida a su parte par cuando la simetría relativista es extendida del grupo deLorentz, automorfismos del espacio tiempo, al grupo espín SL(2,C) [7], automorfismosdel subálgebra par. De esta manera una copia fija del espacio de Minkowski se escogedentro del álgebra geométrica. Esta copia permanece invariante bajo el grupo espín.

Esta similitud permite la extensión del principio de relatividad [8] al tomar comosimetría el grupo de automorfismos correlacionados de los espinores del álgebrageométrica del espacio tiempo en vez del grupo de automorfismos del propio espaciotiempo o solamente los automorfismos de los espinores de la subálgebra par. Unobservador relativista que lleva una tétrada espacio temporal se sumerge en el álgebrageométrica en una forma no única, dependiendo de un “prejuicio” relacionado con laorientación de un subespacio cuatridimensional en el álgebra de dieciséis dimensiones.Debemos, como apuntó Dirac dejar que la misma estructura geométrica nos brinde suinterpretación física.

La situación es similar a la inmersión de un observador tridimensional, llevandouna triada espacial, dentro del espacio tiempo cuatridimensional. Esta inmersión no esúnica, dependiendo del estado de movimiento del observador. Hay muchos subespaciostridimensionales espaciales que definen hiperplanos de simultaneidad, que sondiferentes para observadores con velocidades diferentes. Todos los observadores físicosposibles se pueden transformar entre sí por el grupo de automorfismos del espaciotiempo, el grupo de Lorentz.

Podemos concebir observadores completos que no sean “ciegos” algebraicamente.Estos observadores deben ser asociados a subconjuntos ortonormales diferentes pero

13Ultrarrelatividad

equivalentes. Las transformaciones entre observadores completos deben producirautomorfismos del álgebra que preserven la estructura algebraica. Esta es la mismasituación de la relatividad especial para observadores en el espacio tiempo ytransformaciones de Lorentz.

En particular los automorfismos internos son de la forma,

a a-¢ = 1g g , (2.2.2)

donde g es un elemento del mayor subespacio contenido en el álgebra A que constituyaun grupo. Esta acción corresponde al grupo adjunto actuando en A.

Para el espacio de Minkowski, denotado por R3,1, el álgebra de Clifford R3,1 es (2),donde es el anillo de seudocuaterniones [9] y el grupo correspondiente es GL(2,).La adjunta del centro de este grupo, actuando en el álgebra, corresponde a la identidad.El cociente con su subgrupo normal R+ es el grupo simple SL(2,). Por tanto, el grupoque transforma no trivialmente a los observadores completos entre sí es SL(2,). Estegrupo es precisamente el grupo G de automorfismos correlacionados del espacioespinorial asociado al álgebra geométrica. Podemos asociar una base espinorial o poliadaa un observador completo. Una transformación por G de un observador completo enotro produce una transformación adjunta del álgebra y, en consecuencia, unatransformación de un subconjunto ortonormal en un subconjunto equivalente en unsubespacio de Minkowski diferente dentro del álgebra. La métrica en espaciosequivalentes de Minkowski en el álgebra A es la misma. Estas transformacionespreservan el producto escalar de vectores espacio temporales sumergidos en el álgebra.El subgrupo de G cuyo Ad(G), en adición, deja invariante al subespacio original deMinkowski, se conoces como el grupo de Clifford. El subgrupo Spin del grupo deClifford se usa como norma en física para extender el principio de relatividad devectores a espinores. Como hay muchas copias del grupo espín L en SL(2,), en nuestraextensión tenemos que escoger una copia particular de L especificando una aplicaciónde inclusión i. En adición a escoger un elemento de L, un observador vectorial normal,debemos escoger i, definiendo así un observador espinorial completo.

Este observador completo asociado a una poliada espinorial lleva no soloinformación espacio temporal sino otra información interna relacionada con el álgebra.El grupo SL(2,) de transformaciones de estos observadores completos transformalas observaciones hechas por ellos. Las observaciones son relativas. El principio derelatividad puede extenderse a esta situación. Designaremos esta extensión comoultrarrelatividad para distinguirla de la relatividad especial y general.

Podemos enunciar el principio generalizado en la forma siguiente, reemplazandoel grupo Spin por SL(2,): Todos los observadores, definidos por poliadas espinorialesasociadas al álgebra geométrica, son equivalentes bajo una transformación SL(2,)para establecer las leyes físicas de los sistemas naturales.

La falta de unicidad de los subconjuntos ortonormales ha sido conocida por largotiempo en geometría. Hemos dado un significado físico a estos subconjuntosortonormales al asociarlos a observadores físicos. Esto implica que las transformaciones


permitidas físicamente son aquellas que mandan el álgebra a sí misma por sus propiasoperaciones. También hemos dado un significado físico a estas transformaciones.

Adicionalmente debemos apuntar que nuestro álgebra es isomorfa al álgebra usualde Dirac como un espacio vectorial pero no como álgebra. Ambas álgebras correspondena un espacio tiempo de signatura opuesta. El requisito de usar un intervalo temporalpara parametrizar la curva universal de un observador determina que el álgebraapropiada no es el álgebra de Dirac, R1,3 sino el álgebra R3,1, que hemos indicado aquí.Las diferencias prácticas se verán en el próximo capítulo.

2.3. Relatividad de las Interacciones.En la relatividad general [10] la variedad de espacio tiempo puede tener curvatura, la

relatividad especial es válida localmente y se introducen referenciales de observadoreslocales que dependen de su posición en el espacio tiempo. De esta manera tenemoscampos de tétradas ortonormales en una variedad curva. La geometría de la variedaddetermina el movimiento, introduciendo aceleraciones de naturaleza gravitacional oinercial.

Similarmente, en nuestro caso, para incluir sistemas acelerados dejamos que elespacio tiempo tenga curvatura e introducimos observadores locales completos quedependen de sus posiciones. Pero ahora estos observadores se representan porreferenciales de espinores generales de acuerdo con la ultrarrelatividad, que es válidalocalmente. De esta manera tenemos campos de poliadas espinoriales (referenciales)que son secciones locales en un fibrado E con espacio base curvo M. La geometríadetermina la evolución de la materia pero ahora tenemos, en adición a las aceleracionesgravitacionales e inerciales, otras aceleraciones posibles debidas a otros campos defuerza. En otras palabras, tenemos ahora una teoría unificada geométricamente cuyaspropiedades debemos investigar.

La relación del espacio tangente TM de la variedad base, el espacio tiempo M, conel álgebra geométrica determina una estructura de variedad hiperbólica en M. El álgebradetermina una métrica minkowskiana a la cual corresponde una conexión de Levi-Civita en M. Si en un entorno normal U de un punto m de M se construyen todas lasgeodésicas que emanan de m, correspondientes a esta conexión, podemos definircoordenadas normales. Estas coordenadas se construyen usando el mapa exponencialen M. La inclusión i determina, para cada vector en TMm, su imagen en el subespaciode A subtendido por el subconjunto ortonormal im. Estos vectores del álgebra puedenser exponenciados hacia un subespacio hiperbólico C de un espacio simétrico K,def iniendo, a su vez, coordenadas normales en es te espacio s imétr ico. Lacorrespondencia de ambos sistemas normales de coordenadas define un homeomorfismoh del entorno U en M hacia un abierto en el espacio hiperbólico K. De esta manera unopuede construir un atlas sobre M cuyos homeomorfismos locales,

:i ih U K¾¾ , (2.3.1)

15Ultrarrelatividad

tienen valores en abiertos de K. Cuando dos cartas se solapan el cambio de coordenadascorresponde a un elemento g del grupo G de automorfismos de A,

( ) ( ):j i i i j j i jh h h U U h U U- Ç ¾¾ Çg1 . (2.3.2)

La acción del grupo G preserva la estructura lorentziana de K. En particular preserva elproducto interno lorentziano en el subespacio cuatridimensional KU de K que es laimagen del entorno UM. Por lo tanto, el grupo G también preserva la distanciahiperbólica definida para dos vectores temporales (puntos) x, y en K por

( ), coshH

x yd x y

x y-

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷çè ø1

. (2.3.3)

Como esta distancia suministra una métrica riemanniana sobre H4, tenemos que G esuna isometría sobre H4. Concluimos entonces que este atlas es una estructurahiperbólica [11] sobre M como se definió en el apéndice E. Decimos que la variedad Mes una variedad hiperbólica modelada por K.

La curvatura de la geometría del fibrado es una curvatura generalizada asociada algrupo SL(2,). Como es conocido que el subgrupo par de SL(2,) es el grupo Spinrelacionado con el grupo de Lorentz buscamos una teoría límite para obtener estareducción. Cuando los efectos de ultrarrelatividad son pequeños, esperamos que sepuedan escoger poliadas de modo que la parte impar sea pequeña de orden e. Esto serealiza matemáticamente contrayendo el grupo SL(2,) con respecto a su subespacioimpar [12]. En el grupo contraído este subespacio impar se convierte en un subespacioabeliano. Entonces la curvatura SL(2,) se reduce a

( )W W e+= +O , (2.3.4)

donde W+ es la curvatura par, del subgrupo par SL1(2,C).El resultado es que la curvatura se reduce a una curvatura SL(2,C) y una curvatura

U(1) separadas (que conmutan). Se sabe que una curvatura SL(2,C) puede representara la gravitación [13] y que una curvatura U(1) puede representar al electromagnetismo[14, 15, 16].

Si tomamos este U(1) como representante del electromagnetismo usual, debemosaceptar que en la teoría completa el electromagnetismo está relacionado con unsubgrupo SU(2) de SL(2,) obtenido usando los automorfismos internos. Similarmenteel SL(2,C) de la gravitación puede transformarse en un subgrupo equivalente por mediode un automorfismo. Esta ambigüedad de los subgrupos representa una simetría de lasinteracciones. Como los generadores incompactos son equivalentes a impulsionesespacio temporales, su simetría generada puede considerarse externa. La simetría internase determina por el sector compacto no rotacional.

Es bien conocido en relatividad especial que el movimiento produce una relatividad


de los campos eléctricos y magnéticos. Como SL(2,) actúa sobre la curvatura, apareceuna relatividad intrínseca de los campos unificados, alterando los campos no unificadosvistos por un observador. Dado el subconjunto ortonormal correspondiente a unobservador, la curvatura SL(2,) se puede descomponer en términos de una basegenerada por el subconjunto. Los términos cuadráticos corresponden a la curvaturaSL(2,C) y su asociada curvatura de Riemann vistas por el observador. Un camponombrado gravitación por un observador puede aparecer diferente para otro observador.Estas transformaciones disfrazan las interacciones entre sí.

El álgebra asocia algunos generadores al espacio tiempo y simultáneamente aalgunas interacciones. Esto parece sorprendente, pero pensándolo bien es unaasociación natural. En un experimento, cambios debidos a un generador de interaccionesson interpretados por un observador como tiempo y distancia que se convierten enparámetros de cambio. Entonces es natural que una reordenación, un giro, del espaciotiempo dentro del álgebra corresponda a un reordenamiento de las interacciones. Unobservador completo tiene la capacidad de sentir fuerzas no imputables a su curvaturariemanniana. Él las siente como fuerzas irriemannianas, o sea, fuera de la gravitación.Esta capacidad puede ser interpretada como la capacidad de llevar ciertas cargasgenera l izadas correspondientes a las in teracciones no gravi tac ionales . Laultrarrelatividad se interpreta esencialmente como una relatividad intrínseca de lasinteracciones.

Es claro que para completar la teoría debemos establecer una ecuación de campopara la curvatura generalizada, como se discutió en el primer capítulo. Anteriormenteapareció la necesidad de usar un grupo como el SL(2,) para evitar contradiccionesen las ecuaciones de movimiento unificadas de una partícula cargada. De hecho, fuepersiguiendo la significación física de este grupo que se encontró esta posible extensiónde la relatividad. Ahora es posible hacer las cosas al revés. Podemos escoger lageometría usando la relatividad como fundamento. Los resultados anteriores son,entonces, una consecuencia de aplicar estos primeros principios.

Algunos aspectos de la teoría dependen solamente de su geometría y no de unaecuación particular de campo y pueden ser determinados directamente. Por ejemplo,la materia debe evolucionar como una representación de SL(2,) en vez del grupo deLorentz. Por consiguiente, los estados de la materia están caracterizados por tresnúmeros cuánticos que corresponden a los números discretos que caracterizan losestados de una representación de SL(2,). Uno de estos números es el espín, otro estáasociado al SU(2) electromagnético. Esto nos permite reconocer este último como lacarga eléctrica.

Quizás debemos reconocer que la idea del quantum entró en la física moderna porla determinación experimental de la existencia de cargas eléctricas discretas.Posteriormente, las mediciones atómicas fueron explicadas por la teoría cuánticasuponiendo el quantum de espín pero la teoría cuántica no recibió la tarea de cuantizara la carga eléctrica. La posibilidad de obtener el quantum de carga como se explicóanteriormente puede indicar que la teoría cuántica presente es una teoría incompleta

17Ultrarrelatividad

como indicó Dirac [17].Como un bono adicional, esta teoría suministra un tercer número cuántico para los

estados de la materia que puede ser reconocido como un quantum de flujo magnético,y lograr así una explicación fundamental para el efecto Hall cuántico fraccional.

2.4. Resumen.Hemos visto que el uso de álgebras de Clifford permite extender el principio de

relatividad especial. Cuando este principio se generaliza a espacios curvos conconexiones, surge la geometría de una teoría unificada. Adicionalmente, la geometríasola implica la existencia de cuantos de carga, espín y flujo. Estas implicacionescuánticas sugieren que esta geometría sea el germen de la física cuántica.

Claro que siempre podemos tratar de evitar esta idea de la ultrarrelatividad. Parahacer esto debemos escoger una de esas alternativas: 1- No usar las álgebras de Cliffordpara nada. Las matrices de Pauli y Dirac son muy queridas por los físicos para tomaresta alternativa seriamente; 2- Usar solamente el álgebra par del espacio tiempo. Esto,de hecho postula que la gravitación está desacoplada del resto de las teorías físicas yniega la posibilidad de una unificación geométrica; 3- Usar el álgebra completa peroa) negar su relación geométrica a los espacios ortonormales, o b) negar todo significadofísico a esta relación. En este caso no estaríamos siguiendo a Einstein y Dirac en surecomendación de obtener la física de las estructuras geométricas; 4- Usar el álgebracompleta pero negar la interpretación presentada aquí suministrando un significadodiferente.

Referencias

1 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987). Vea el capítulo 3.2 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea los capítulos 7 y 11.3 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.4 A. Einstein, Ann. Physik 17, 891 (1905).5 Y. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold Co., London), Ch 13

(1969).6 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),

p. 1148 (1973).7 P. A. M. Dirac, Proc. R. Soc. London, 117, 610 (1928).8 G. González-Martín, USB preprint, 97c (1997).9 Vea el apéndice A.10 A. Einstein, Ann. Physik, 49, 769 (1916).11 J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)

(1994)12 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their Aplications (John Wiley and

Sons. New York), ch. 10 (1974).


13 M. Carmelli, Ann. Phys. 71, 603 (1972).14 H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York). (1931).15 L. Infeld, B. L. van der Waerden, Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Physik Math. K1, 380

(1933).16 W. L. Bade and H. Jehle, Rev. Mod. Phys. 25, 714 (1953).17 P. A: M. Dirac, Directions in Physics (John Wiley & Sons, New York), p.20 (1978).

3. UNA TEORÍA UNIFICADA.

3.1. Objetos Geométricos de la Teoría.Para incorporar la gravitación y el electromagnetismo como una teoría de conexiones se

selecciona, como grupo de estructura G del fibrado principal E sobre el espacio tiempo M,al grupo de automorfismos de los espinores del álgebra geométrica [1] de TMm. Este espaciotangente es isomorfo a R3,1 con álgebra geométrica R3,1 y el grupo es SL(2,). El grupo tieneuna acción natural como automorfismos del espacio espinorial V asociado al álgebra R3,1.Geométricamente construimos un fibrado vectorial VM sobre el espacio tiempo M, un fibradoasociado a E con fibra V. Las secciones locales de E nos suministran bases locales para losespacios espinoriales VM, que descansan encima del punto m del espacio base.

Los elementos duales del grupo g-1 y g corresponden a representaciones inequivalentesde G. Como se indica en el apéndice A, para definir una correlación en el espacio espinorialdebemos incluir ambas representaciones en un espacio de doble dimensión S. Ponemos lapoliada y la copoliada juntas como elementos de la fibra G´G de un fibrado principal 2E.Los objetos de interés son las poliadas materiales locales o entramados de espinores 2eque representan la distribución de materia sobre la variedad de espacio tiempo.

La relación de las poliadas con los elementos del grupo se puede ver de la manerasiguiente. El proceso de medición es esencialmente la comparación de un sistema físicodesconocido con un sistema físico “de referencia” determinado con cierto grado dearbitrariedad. La noción de medida sobre un sistema de referencia es lógicamente vacíaporque descansa en una comparación con sí mismo. El mismo problema surge en geometríacuando se escoge una base en un espacio dado. De alguna manera es necesaria una definiciónde una norma. Es natural identificar los sistemas físicos que se toman como norma conotra poliada referencial, construida en principio por un entramado espinorial de observadorescon el mismo tipo de materia. La poliada material se relaciona con la poliada referencialpor medio de sus componentes que forman un elemento del grupo.

También construimos el fibrado E’, de bases ortonormales en TM, con grupo deestructura SO(3,1) y el fibrado homomorfo E” con grupo de estructura SL(2,C). Podemosincluir SL(2,C) en SL(2,) y en consecuencia, E” en E. Una base vectorial u en E’ puedeser aplicada hacia una poliada en E. Podemos retroinducir un elemento del fibrado dual, unacopoliada e para definir una base de 1-formas q en E’.

Es natural exigir que la materia representada por la poliada material 2e, en ciertasregiones del espacio tiempo, determine el campo de interacción representado por laconexión. De esta manera una conexión SL(2,) se determina físicamente. Esta conexióntiene una parte par que es una conexión SL(2,C) sobre M, en el fibrado E” y por lo tantoinduce una conexión SO(3,1) sobre M en el fibrado E’. Esta última conexión esseudoeuclidiana, en el sentido usado por Lichnerowicz [2]. Entonces la métrica en M asociada


con esta conexión se define por compatibilidad, esto es por la relación,

g = 0 . (3.1.1) )

Es conveniente resumir aquí las definiciones de los objetos geométricos que entranen la teoría, con una notación que difiere algo de la usada previamente. El símbolo *indica el dual de Hodge en *TM y LV es el espacio espinorial dual a V. Tenemos:

1. e-1, una sección de poliadas en el fibrado principal E. Puede ser identificadacon los homeomorfismos de las cartas e-1 : LVM LV.

2. e , una sección de copoliadas de LE. Puede ser identif icada con los

homeomorfismos e : VMV.3. 2e, la poliada material, una sección de 2E, correspondiente al par e, e-1.4. w, la 1-forma de conexión en E, de tipo adjunto, w : TE sl(2,)ÌR3,1 y la

correspondiente 2w.5. W, la 2-forma de curvatura, de tipo adjunto W : 2TM LVM Ä VM

o

equivalentemente W :2TE R3,1 y la correspondiente 2W.6. k, el subconjunto ortonormal del álgebra geométrica R3,1, k : R3,1 LV Ä V

y el correspondiente 2k.7. i*w, la conexión en TM, retroinducida de la conexión w, i*w:TE’so(3,1)8. g, el tensor métrico en M inducido de i*w , g: T2M R.9. u, la tétrada ortonormal, compatible con g, una sección de E’, u : *TM

R3,1.10.*J, la 3-forma densidad tensorial de corriente, de tipo adjunto, *J :3TM

LVM Ä VM.Debe indicarse que la conjugación en el álgebra no suministra un producto invariante

en V a menos que se restrinjan las transformaciones a un subgrupo. Este hecho imponeciertas limitaciones a la fuente de corriente propuesta en [3]. Usando los significadosgeométricos contenidos en las definiciones previas podemos esperar que la fuente decorriente más simple en la ecuación de campo debe tener la forma siguiente,

J e u ei-= 1 , (3.1.2)

donde el símbolo representa el producto escalar en R3,1 e i es un subconjuntoortonormal, definido módulo equivalencia bajo el grupo SL(2,).

Las fibras de los fibrados principales E, E’, tienen la estructura de bases. Comoexiste la aplicación k de Clifford, usando la inclusión de E’ a E es posible definir unaforma en E relacionada con la forma de soldadura [4] en E’.

3.2. Principio Variacional.En muchos casos es conveniente tener un principio variacional para las ecuaciones

de la teoría, asegurando de esta manera la compatibilidad entre las ecuacionesgeométricas. Usando la correlación invariante bajo SL(2,) en el espacio de doble

21Una Teoría Unificada

dimensión S, discutida en el apéndice A, es posible introducir una 4-forma l compuestade dos partes. La primera parte depende de la conexión SL(2,). Se construye de lacurvatura usando el producto exterior y la métrica de Cartan-Killing asociada al grupode estructura, obteniendo una forma canónica. La segunda parte está determinada poruna 4-forma en función de la poliada, su derivada covariante y una 3-forma valuada enel álgebra, *i, que representa al subconjunto ortonormal módulo una transformacióndel grupo que preserva la correlación en el espacio espinorial S. La expresión es

( ) ( ){ }tr k e u D e D e u el W W i i* ** - -é ù= - + + ê ú

ë û2 2 2 2 1 2 2 2 1 21

4 (3.2.1)

o en forma de componentes, el lagrangiano es

( ) ( ){ }trL g k e u emmn

mn mW W i-é ùé ù= - + ê úê úê úë ûë û

12 2 2 2 2 21 1

4 4 . (3.2.2)

Para obtener esta expresión usamos el hecho de que la operación ~ corresponde alinverso y transferimos la derivada a la variable 2e. Entonces usamos las propiedadesde la traza para mover variables en el último monomio desde el final hacia el principio.

En el procedimiento variacional tomaremos la conexión y la poliada material comolas variables dinámicas del problema, determinando de esta manera la conexióngeométrica en términos de la poliada material. La tétrada ortonormal u debe serintroducida para tener aplicaciones bien definidas entre los espacios. Su cotétradadual q puede ser definida partiendo de la copoliada e como se mostrará en un capítuloposterior. Como esta relación es complicada, preferimos tratar a la tétrada ortonormalu como variable independiente obteniendo así una ecuación adicional del principiovariacional. Permitiendo esta variación independiente de u la mantenemos separadade la conexión permitiendo la posibilidad de torsión como vínculo entre estasestructuras. El tensor métrico no es una variable dinámica. La ec. (3.1.1) implica queel grupo de holonomía de la conexión inducida en E’ deja invariante el tensor métrico[2]. La métrica es invariante bajo SO(3,1). La expresión de la métrica, con las tétradasortonormales usadas, permanece igual a la métrica de Lorentz.

Si variamos con respecto a la conexión obtenemos la ecuación

( ) ( )g k e u ennm

m W ié ù - =ê úë û1

2 2 2 2 2 , (3.2.3)

o

( )D k e u eW i** -=2 2 2 1 2 , (3.2.4)

que implica partiendo la expresión en subespacios V de S,


eD e uk

eD e u

W iW i

* - * -

-* * -

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê ú ê ú- - ë ûë û ë û ë û

1 1

11

00 0 000 0 0

, (3.2.5)

o

( )D ke u eW i** - -= 1 1 (3.2.6)

y su conjugada,

( )D ke u eW i** - -= 1 1 , (3.2.7)

que son las ecuaciones de campo propuestas [5].Si variamos la poliada e2 , como la operación ~ corresponde al inverso y el grupo de

variaciones escogido es precisamente el que preserva esta correlación [6] en losespacios espinoriales asociados, la variación total del producto de e2 por e2 es nula.Si usáramos la técnica de multiplicadores de Lagrange para vincular e2 con e2 , como elvínculo tiene variación total cero, bajo SL(2,), las ecuaciones resultantes sonequivalentes a las obtenidas por variaciones independientes. Obtenemos entonces, paravariaciones de e2 bajo el grupo, la ecuación

u e u em mm mi i + =2 2 2 22 0 (3.2.8)

que implica, partiendo la expresión en los subespacios V de S,

u e u em mm mi i + =2 0 (3.2.9)

y su ecuación conjugada. Esta ecuación determina la densidad de movimiento de la poliada ey tiene la estructura de la ecuación de Dirac.

Alternativamente, en vez de variaciones independientes, podemos usar que e2 es elinverso de 2e. La variación completa nos da

e u e e e u e2 2 2 2 2 2 2 0 , (3.2.10)

e u e2 2 2 0 , (3.2.11)

que es la ecuación de conservación de la densidad de corriente J. Esta ecuación tambiénse obtiene geométricamente de la primera ec. (3.2.4),

( ){ } ,D e u e DDk k

i W W W* *- * é ù= = =ê úë û

2 2 1 2 2 2 21 1 0 . (3.2.12)


Esta ecuación de conservación nos lleva a

e u e e u e e u em m mm m mi i i + + =2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 , (3.2.13)

que puede escribirse en la forma

( )~

e u e e u e e u e

e u e

m m mm m m

mm

i i i

i

+ = +

2 2 2 2 2 2 2 2 212

2 2 212

. (3.2.14)

Por otra parte, como la expresión en paréntesis es un elemento del álgebra, la operación~ invierte su signo y obtenemos la ec. (3.2.9), indicando la consistencia de lasecuaciones variacionales.

Recordemos que la forma lagrangiana l se construyó de la 3-forma corriente J quedepende del conjunto ortonormal k. Esto introduce, en la 3-forma *i representativa delálgebra, una dependencia de la poliada ortonormal u, como sigue,

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ! !

u u umn n n mn n n aa amn n n n n n a a ai e k k k e k k k= =1 2 3 1 2 3 31 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 13 3

. (3.2.15)

La dependencia explícita total de la parte material del lagrangiano está contenida enel término

( )ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ!

u u u u umn n n aa am r rm m n n n a a ai e k k k= 1 2 3 31 2

1 2 3 1 2 3

13

. (3.2.16)

El término encerrado en paréntesis es proporcional al elemento de volumen, la 4-formaS,

( ) ( )*ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ! !u u u u u u u u

u u umn n n a aa a a ab b

m n n nr r r

d d d Se

d d d

*

= =1 2 3 3 31 2 1 2

1 2 34 4 . (3.2.17)

La variación de S con respecto a la forma ortonormal u es una 3-forma relacionadacon el producto interior uS. Obtenemos, para la variación de este término,

uu rr

dSS

d= 4 (3.2.18)

y podemos escribir

( )ˆ ˆ ˆ

!u u umn n nm r r m r

m n n n m md i e k k k d i dæ ö÷ç= =÷ç ÷çè ø

1 2 3

1 2 3

14 43

. (3.2.19)

La dependencia del lagrangiano en la métrica, que es cuadrática en u, determina


una variación implícita adicional. La ecuación variacional resultante es

(ˆ ˆ ˆ ˆ)tr tru k e u e u e u emn m kl m m nrn r kl r r nW W W W i ié ù é ù- = - ê ú ê úë û ë û

2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4

(3.2.20)que implica, partiendo la expresión en sus subespacios V de S,

()ˆ ˆ ˆˆtr tru k e u e u e u emmn m kl m n

rn r kl r nrW W W W i i- -é ùé ù- = - ê ú ê úë û ë û1 14 4 (3.2.21)

y su ecuación conjugada. Esta expresión, una función de la 2-forma W y de la densidadvectorial i, tiene la estructura de una suma de términos de la forma correspondiente altensor energía impulso del campo electromagnético. Se puede definir un tensor con laestructura de energía impulso usando esta ecuación. Es claro que este tensor norepresentaría la fuente de la ecuación de campo sino solamente la energía impulsototal de la conexión y la poliada.

Esperamos que haya soluciones para las cuales cualquier vector de la tétradaortonormal del espacio tiempo sea un campo sin fuentes, por lo menos en una regiónfinita R, por su posible interpretación física como un sistema físico de referencia.Entonces el flujo de los campos vectoriales en u que crucen cualquier hipersuperficiecerrada S alrededor de una región R en el espacio tiempo debe ser cero,

R

u gdSmm

¶

- =ò 0 (3.2.22 )

y

( )R R R

u gdS gu dV u gdVm m mm m m

¶

¶- = - = - =ò ò ò 0 (3.2.23)

para cualquier región arbitraria R del espacio tiempo M. Esto implica que

aumm = 0 (3.2.24)

y la ecuación de movimiento para la poliada se simplifica bajo estas condiciones,

u emmi = 0 . (3.2.25)

Como i es cualquier subconjunto ortonormal, podemos especializar, por ejemplo,a las matrices explícitas km, k5k0km o e-1ke obteniendo ecuaciones equivalentes a lasindicadas anteriormente.

Cuando se considera el problema externo, o sea, regiones del espacio tiempo dondeno hay materia, y se tome solamente la parte par gravitacional, las ecuaciones obtenidas


son similares a las gravitacionales de Yang. Fairchild [7] ha mostrado que, para la teoríade Yang, [8] la ec. (3.2.21) es suficiente para eliminar las soluciones espurias de vacíoencontradas por [9, 10] y Thompson [11].

Para el problema interno donde la fuente J no es cero, la teoría es esencialmentediferente a la teoría de Yang. La teoría gravitacional de Yang se puede ver como unateoría de una conexión en el fibrado principal de tétradas lineales TMm con grupo deestructura GL(4,R). En la teoría de Yang el grupo actúa sobre el espacio tangente de My por lo tanto, es diferente de la teoría bajo discusión. La conexión en la teoría deYang no es necesariamente compatible con la métrica, lo que produce las dificultadesindicadas. Como la métrica y la conexión permanecen compatibles en nuestra teoría,el espacio base permanece seudoriemanniano con torsión evitando las dificultadesdiscutidas por Fairchild y otros.

3.3. Algunas Relaciones Algebraicas.Hay una acción de SL(2,) sobre las copoliadas materiales de los espacios. Esta es

realmente un cambio en los homeomorfismos entre cartas que se logra cambiando unasección e-1 en el fibrado E por la acción del grupo por la derecha o cambiando unasección e en el fibrado LE por la acción del grupo por la izquierda. Estos cambios debases se pueden entender como una acción de SL(2,) sobre los espacios verticalesde los fibrados vectoriales VM y SM. Bajo esta acción e se transforma como vector,

ˆˆ ˆˆ

a a bb

e e= g , (3.3.1)

( ) ( ) ( )ˆ

ˆˆ ˆ

b

a b ae e- - -=1 1 1g . (3.3.2)

Las filas y columnas de las matrices correspondientes se transforman como vectoresbajo un cambio de la poliada material (transformación activa) o la poliada referencial(transformación pasiva). Las ecuaciones son covariantes bajo estas transformaciones.

Una situación similar ocurre en el espacio tangente de M,

ˆˆˆ û u Lb

a ab= (3.3.3)

y es el punto de vista normal tomado en la mecánica cuántica donde las derivadas ¶a

se asocian a las componentes del vector impulso y su módulo es

ˆˆˆˆ

aba b

¶ h ¶ ¶=2 . (3.3.4)

Esta situación contrasta con el punto de vista tomado en geometría diferencial dondelas ¶a, forman un conjunto de cuatro vectores (tétrada) en M.

Dent ro de nues t ro enfoque geométr ico , por lo tanto , en tenderemos las


transformaciones en la mecánica cuántica de los vectores ¶a y espinores ea comotransformaciones activas de las poliadas vectoriales o espinoriales consistentes connuestra representación de la materia por poliadas. La teoría debe ser covariante bajo uncambio SL(2,) de la poliada material e o la poliada referencial.

Dada una conexión en el fibrado principal tenemos una forma de conexión queactúa infinitesimalmente sobre los componentes de los elementos de SM por la izquierda(y sobre elementos de LSM por la derecha), representando la interacción.

En términos de manipulación de índices, podemos decir que la conexión, con lapoliada referencial fija, opera sobre índices de componentes vectoriales de la poliadamaterial. El cambio de poliada referencial opera sobre los índices que indican losvectores de la poliada referencial. La expresión para la derivada covariante en términosde los coeficientes de la conexión G de la 1-forma local i*w, relativa a una poliadareferencial,

( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ

a a b b nm n mbm

u e u e em a m aa a a m mk k ¶ G = - , (3.3.5)

muestra los índices a, a como índices de los vectores de una poliada y los índices m, n,m como índices de componentes.

Como nuestro formalismo se basa enteramente en copoliadas espinoriales y tétradasvectoriales ortonormales, las derivadas indicadas en expresiones como la ec. (3.2.9)pueden ser derivadas anholonómicas.

Cualquier elemento del álgebra se puede escribir en términos de su parte par y suparte impar

a a ak+ -= + 0 (3.3.6)

y puede ser representado por una matriz de dimensión doble con componentes parescomo sigue

†

†

a aa

a a+ -

- +

é ù-ê ú ê úë û

. (3.3.7)

Usando esta técnica representamos los objetos como sigue

†

†eh xx h


, (3.3.8)

†

†

G GG

G G+ -

- +


(3.3.9)


y como†m m mk k k k k s= =0 0 0 , (3.3.10)

mm

m

sk

s


00

. (3.3.11)

3.4. Ecuaciones de Movimiento para laPoliada Material.

Si seleccionamos la densidad vectorial im=km obtenemos una expresión explícita paralas ecuaciones de densidad de movimiento de una poliada material, e,

( ) ˆê e u em a n

m m n ak ¶ G k- + =12 0 , (3.4.1)

que tiene partes par e impar,

( ) ˆ†ûm a n

m m m n as ¶ x xG h G s x+ - +- - + =12 0 , (3.4.2)

( ) ˆ†ûm a n

m m m n as ¶ h hG x G s h+ - +- - + - =12 0 , (3.4.3)

que se pueden escribir,

ˆ †ûm a n m

m n a ms x s x s h G+ + - + =12 , (3.4.4)

ˆ †ûm a n m

m n a ms h s h s x G+ + -- - =12 . (3.4.5)

Una solución particular para estas ecuaciones corresponde a

†x x= , (3.4.6 )

†h h= . (3.4.7)

Si en adición la parte SL(2,C) de la conexión es cero y

A iA Im m mG k+ = =5 , (3.4.8)

mm mG d- = 0 , (3.4.9)

haciendo,


ix x , (3.4.10)

obtenemos

( )i A mmm ms ¶ x h+ = , (3.4.11)

( )i A mmm ms ¶ h x+ = , (3.4.12)

que son ecuaciones de Dirac con el acoplamiento electromagnético usual siidentificamos la conexión con el acoplamiento minimal eA. Estas expresiones debenser comparadas con aquel las presentadas en [3] , donde e l acoplamientoelectromagnético no era el usual. En la sección siguiente discutiremos el origen de ladiferencia.

Las matrices reales 4´4 pueden ser representadas por matrices complejas 2´2 Lascolumnas resultantes se pueden tomar como un par de espinores de dos componentesy vemos que la poliada original se descompone en espinores complejos

( )A Bx x x , (3.4.13)

( )A Bh h h . (3.4.14)

Estas ecuaciones son un par de ecuaciones de Dirac, en la forma normal de doscomponentes. La interpretación natural es decir que los campos de Dirac pueden serrepresentados geométricamente por una poliada espinorial en el fibrado vectorialasociado. Las “ecuaciones de campo” de Dirac son las ecuaciones de movimientocorrespondientes o el trasplante covariante de la poliada espinorial.

3.5. Relación con la Teoría Cuántica.

3.5.1. Acuerdo con la Mecánica Cuántica.Consideremos primero la mecánica cuántica de partículas libres. Por esto entendemos

que no exista ningún acoplamiento explícito a un campo externo o de interacción,excluyendo posiblemente la autointeracción que pueda dar origen al término de masa enla ecuación de Dirac. Esto implica, en nuestra teoría, que la conexión es cero excepto porel parámetro de masa.

Las ecuaciones de la teoría son esencialmente relaciones entre matrices que representanpoliadas espinoriales generalizadas. Hemos introducido matrices de biespinores h, x igualesa las partes par e impar de la poliada respectivamente.

Tenemos las siguientes ecuaciones para las partes h, x,


i mmms ¶ x h= , (3.5.1)

i mmms ¶ h x= , (3.5.2)

que implican que una poliada para una partícula masiva debe tener partes par e impar.En nuestro caso, si ponemos la parte impar igual a cero obtenemos que m es cero.

mms ¶ h = 0 . (3.5.3)

Debe quedar claro que una onda que se mueva a lo largo del eje z positivo de acuerdoa esta ecuación admite solamente funciones de onda con valores propios negativos des3. Esto significa que el campo de masa cero asociado a una poliada par tiene helicidadnegativa. En otras palabras, esta ecuación debe asociarse al campo del neutrino. Lainexistencia de neutrinos de helicidad positiva se debe, en nuestra teoría, a laimposibilidad de tener una poliada impar pura. La razón geométrica es que un fibradoprincipal no puede ser definido con la parte impar solamente porque esta no forma unsubgrupo.

Si una excitación del campo corresponde a una representación de un subgrupo connúmeros cuánticos específicos, puede ser asociada a una sola de las columnasespinoriales de la matriz asociada, la que tenga los números cuánticos correspondientes.En concordancia, restringimos las excitaciones o fluctuaciones de poliada a matrices conuna sola columna en cada una de las dos partes de la poliada, la par h y la impar x.

ˆ

ˆ

hh

h

é ùê ú= ê úê úë û

11

21

0

0 , (3.5.4)

ˆ

ˆ

xx

x


11

21

0

0 . (3.5.5)

Restringimos ahora al subgrupo par simple SL(2,C), homomorfo al grupo de Lorentz.Como se muestra en el apéndice A las partes h, x tienen transformaciones inequivalentesbajo este grupo,

lh h¢ = , (3.5.6)

*lx x¢ = . (3.5.7)

Estas columnas son representaciones espinoriales de este grupo.Podemos formar un espinor de cuatro dimensiones (Dirac) adjuntando estos dos

espinores, donde las componentes h, x son dos biespinores complejos. Combinamos


las dos columnas en un cuatriespinor de Dirac,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

x

xy

h

h

é ùê úê úê úê ú=ê úê úê úê úë û

11

21

11

21

. (3.5.8)

Mostramos ahora que las partes par e impar de la poliada están relacionadas con lascomponentes izquierda y derecha del campo. Calculemos las partes izquierda y derechaobteniendo, omitiendo los índices,

( ) ( )L

xy g y g

h h

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + = + ÷ = ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø5 51 1

2 2

01 1 , (3.5.9)

( ) ( )R

x xy g y g

h

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - ÷= ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø5 51 1

2 21 10

. (3.5.10)

Encontramos que la componente izquierda es equivalente al campo h que a su vezse define en términos de la parte par del poliada. Similarmente vemos que la partederecha es equivalente al campo x y consecuentemente a la parte impar del campo. Enconsecuencia una poliada par corresponde a una partícula izquierda, como debe serpara un neutrino. Esta excitación de una poliada de Lorentz tiene las propiedades delneutrino.

Es fácil comprobar que la traza de las matrices correspondientes nos da,

( )† † †try y h h x x= + . (3.5.11)

Es claro que las ecuaciones se combinan, con las definiciones usuales, para producirla forma estándar de la ecuación de Dirac,

i mmmg ¶ y y= . (3.5.12)

Originalmente la mecánica cuántica introdujo el operador diferencial de Schrödingerque actúa sobre funciones escalares. Mas tarde se determinó que las funciones de ondatienen una estructura espinorial y se introdujeron los operadores diferencialesmatriciales de Pauli y Dirac. El acoplamiento minimal normal, j.A, originalmente fueun acoplamiento espacio temporal a través de la estructura compleja del grupo abelianoU(1). Como se mostró en las ecs. (3.4.11, 3.4.12), hay esencialmente un acuerdo denuestra teoría con este acoplamiento U(1). Volveremos a esta cuestión en los caps. 12 y 16.


3.5.2. Diferencias en Acoplamiento Inabeliano.Los acoplamientos normales, aunque válidos como hipótesis física, no se prestan

fácilmente para interpretaciones geométricas y generalizaciones. Al contrario, nuestroenfoque es geométrico desde el comienzo. Las diferencias prácticas de nuestra teoríacon las técnicas normales aparecen, no propiamente en la mecánica cuántica sino en laforma en que se introducen acoplamientos inabelianos cuando es necesario describirlas interacciones. Hay dos diferencias:

1. El uso de poliadas espinoriales en vez de espinores sencillos;2. El uso del grupo SL(2,) en vez de grupos de simetría interna.

3.5.2.1. Poliadas Espinoriales.Los acoplamientos normales exigen la definición de un mecanismo para introducir

el acoplamiento. Cuando se introduce un acoplamiento estándar con la gravitación(curvatura del espacio tiempo), se hace actuar la conexión sobre los espinores de lamisma manera que las matrices g. Para otras interacciones el término j.A, fue generalizadoen teorías de calibre para incluir una acción interna sobre la materia (uso de índicesinternos adicionales). Este acoplamiento normal no permite un acoplamiento geométricoespacio temporal completo a otras interacciones como se presenta aquí. Reconociendola estructura poliádica de e, como una función de onda generalizada de la mecánicacuántica, separamos la acción de la conexión de la acción de las matrices k, modificandoesencialmente los posibles acoplamientos geométricos de la teoría.

Para ilustrar este punto consideremos la formulación dual de la teoría, en particular,la ecuación de movimiento en términos de la poliada material dual e-1. Como se indicóen la ec. (3.3.5) la acción de las matrices k es sobre los índices poliádicos mientrasque la acción de la conexión es sobre los índices de componentes espinoriales. Laecuación es

( )e em mm m mk ¶ G k- - = + =1 1 0 , (3.5.13)

donde e es una poliada en el fibrado principal y k es un subconjunto ortonormal delálgebra geométrica. Separemos e-1 en su parte par y su parte impar en el álgebra A.Similarmente separemos la conexión G en su parte par G+ y su parte impar G- Laecuación previa se convierte en,

( ) ( )m mm m m m m m¶ h ¶ xk k G h G xk G h G xk k+ + - -+ + + + + =0 0 0 0

, (3.5.14)

que puede ser separada en sus partes par e impar llegando al par de ecuaciones,

m mm mh k G xk k+ - = - 0 , (3.5.15)

m mm mxk k G hk+ - =-0 , (3.5.16)


donde la derivada covariante se entiende respecto a la parte par de la conexión G+.Si suponemos que G+ es cero y que,

mm mG d- = 0 , (3.5.17)

el par de ecuaciones se convierte en,

†mmm¶ hk x k= 0 , (3.5.18)

†mmm¶ xk k h=0 . (3.5.19)

Si tomamos como antes, las componentes hermíticas,

mmm¶ hk xk= 0 , (3.5.20)

mmm¶ xk k h=0 , (3.5.21)

escritas usando números complejos,

mmm¶ hs x=

, (3.5.22)

mmm¶ xs h- = , (3.5.23)

obtenemos, cambiando

ix x -

,

i mmm¶ hs x=

, (3.5.24)

i mmm¶ xs h= , (3.5.25)

que son ecuaciones equivalentes de Dirac. Esta distinción entre las formulaciones dualesno aparece en la mecánica cuántica relativista normal.

3.5.2.2. El Grupo de Automorfismos.Los automorfismos no forman un grupo interno sino uno asociado al álgebra

geométrica de Clifford. Hay dos álgebras geométricas asociadas al espacio plano y seescogió una, como se discutió en el capítulo 2, exigiendo que se use un intervalotemporal (en vez de un intervalo espacial) para parametrizar la línea temporal universalde un observador. Debe indicarse que si se escogiera el otro grupo, SL(2,Q) donde Qel cuerpo de los cuaterniones la ec. (3.2.9) nos llevaría a ecuaciones cuánticas libres


en 2 componentes, similares a la ecuación de Dirac pero con un signo menos adicional.La existencia de este signo extra se puede ver de la manera siguiente. Primero notemosque las hipótesis hechas implican que las ecuaciones se reducen a

e memmk ¶ = - (3.5.26)

y despejando e de la última ecuación y sustituyendo de vuelta en la misma ecuación, seobtiene una ecuación de Klein-Gordon como debe ser. Si usamos las matrices g como elsubconjunto ortonormal de R1,3, estaríamos repitiendo los cálculos reemplazando lask por las g finalmente llegando a reemplazar

e m e e m em n m nm n m nk k ¶ ¶ g g ¶ ¶= =2 2 , (3.5.27)

que es imposible de evitar porque estamos trabajando con un álgebra real sobre lasmatrices k (o matrices g) y entonces m debe ser real. No obtenemos la ecuación deKlein-Gordon. Claro que podríamos tomar ig como subconjunto ortonormal pero estoimplicaría que realmente trabajamos en la misma álgebra de Clifford R3,1 y el mismogrupo SL(2,), solamente con un cambio trivial de notación para el subconjuntoortonormal. Al contrario, en la mecánica cuántica normal trabajamos con el álgebraR1,3 generada por las g y adicionalmente se introduce una i en el operador de Diracpara adaptarse al operador de Schroedinger. El punto es que la introducción de esta iextra significa, geométricamente, la necesidad de usar la otra álgebra y un grupodiferente. El álgebra y el grupo adecuados son en términos del anillo en vez delcuerpo Q. Aunque el uso de cualquiera de ellos no importa en la derivación de lasecuaciones de movimiento clásicas de Lorentz, si importa cuando se derivan lasecuaciones cuánticas de movimiento de la teoría geométrica. La presencia del sectorimpar, fundamental en la definición de masa, rompe el isomorfismo de las álgebras.

3.6. El Sector Electromagnético.La fuente de corriente material en esta teoría es la corriente J que se construye de

objetos geométricos fundamentales. Ahora encontraremos una expresión para lacorriente eléctrica j que es una componente de la corriente material generalizada J.Sabemos que la corriente eléctrica es la fuente de las ecuaciones de Maxwell. Estasecuaciones corresponden a nuestra ecuación de campo cuando la conexión es ceroexcepto la parte correspondiente al generador electromagnético. Este generador yaesta determinado por el requisito de que las ecuaciones de Lorentz se obtengan de laecuación de campo [3, 12]. Esto implica que el generador electromagnético puede seruno de los tres generadores del grupo SU(2) que no se identifica con las rotaciones.Hemos visto que la ecuación de Dirac con el acoplamiento electromagnético normales una solución particular de las ecuaciones de movimiento cuando el generadorelectromagnético es k5. En principio, la corriente electromagnética puede ser asociadaa la componente k5 de la corriente generalizada J. Esta componente surge si e es


generado, por ejemplo, por exponenciación de k1k2k3. Como k5 es equivalente a k0 hayuna forma más sencilla para hallar la corriente electromagnética. Para hallarlarestringiremos el grupo a un subgrupo particular que tiene solo uno de los generadoreselectromagnéticos.

El operador conjugación en el álgebra A tiene valores propios 1. El subespaciogenerado por ka y k[akb], define una subálgebra de Lie Ap . La exponenciación de estasubálgebra nos da el subgrupo P de G cuyos elementos tienen la forma,

( )exp pe a= . (3.6.1)

El inverso en esta subálgebra se obtiene por la conjugación,

( )exp pe a e-= - = 1 . (3.6.2)

Si el subconjunto i es justamente k tenemos la corriente generalizada,ˆ

ˆJ e u em a mak= . (3.6.3)

Si escogemos k0 como el generador electromagnético, el único de los tres contenidoen P, estaríamos interesados en la componente k0 de la ec. (3.2.6),

( ) ( )tr trD Jk W k* *- = -0 01 14 4 . (3.6.4)

Si no hay componentes de conexión adicionales, aparte de k0, la ecuación se reduce alas ecuaciones de Maxwell,

* *D F d F k j*= = , (3.6.5)

incluyendo la identidad de Bianchi,

DF dF= = 0 (3.6.6)

y la expresión para la corriente eléctrica debe ser la componente k0 de J. Como solo laparte impar contribuye a la traza, podemos escribir, usando la ec. (3.6.4),

( )( )trj e e e em m mk k k+ + - -= - + 014 (3.6.7)

reconociendo la relación

e h k x= + 0 , (3.6.8)

tenemos

( )† †trj m m mx s x h s h= +14 . (3.6.9)

Finalmente, como las matrices son pares de biespinores, podemos escribir,


( )† † † †j m m m m mx s x x s x h s h h s h= + + +11 1 2 2 1 1 2 24 . (3.6.10)

Esta es la expresión usual de la corriente eléctrica en forma espinorial para los doscampos de los dos espinores asociados a una poliada dada. Esto puede verse usando laexpresión en términos de un espinor de Dirac y y las matrices g,

j m mYg Y= , (3.6.11)

† † † †jm

m m mm

xsh x x s x h s h

hs

é ù é ùé ù ê ú ê ú= = +ê úë û ê ú ê úë ûë û

00

. (3.6.12)

Si tomamos estos resultados en consideración, se ratifica que el electromagnetismopuede ser representado por los generadores k0, k5, k0k5 de una subálgebra de sl(4, R),isomorfa a su(2). El electromagnetismo es un sector correspondiente a un subgrupo deSL(2,), isomorfo a SU(2), y no por un subgrupo U(1).

De la misma manera que una rotación uniparamétrica puede ser representada poruna combinación lineal de los tres generadores de rotación dependiendo de la baseescogida como referencia, un electromagnetismo uniparámetrico puede ser representadopor una combinación de los tres generadores k0, k5, k0k5 dependiendo de la base internaescogida.

La cuantización de la carga eléctrica puede verse como una consecuencia de larelación del electromagnetismo con este subgrupo SU(2) de la misma manera que lacuantización del espín es una consecuencia del grupo de rotaciones.

3.7. Otras Interacciones.Debe entenderse que en una teoría verdaderamente unificada la distinción entre

los diferentes tipos de campos no es clara, en la misma forma en que la distinciónentre los campos eléctrico y magnético no es clara en la relatividad. Dado un sistemade referencia es posible hablar de los diferentes campos medidos por un observadorasociado al sistema. Los generadores adicionales exigidos por la teoría para evitar lascontradicciones en el movimiento de partículas cargadas, pueden ser asociados a otrasinteracciones, por ejemplo, las fuerzas nucleares. Para considerar esta conjeturaseriamente debemos, en primer lugar, discutir si la teoría contiene los ingredientesque puedan permitirnos decir que ella no contradice, a primera vista, las característicasprincipales de la fenomenología de las interacciones nucleares fuertes y débiles. Alfinal del libro volveremos a este tema con mas detalles.

Se conoce que las conexiones en un fibrado pueden ser clasificadas usando losgrupos de holonomía de la conexión. Si este grupo es uno de los dos subgruposcompactos SU(2) podemos decir que la conexión describe interacciones que sonrespectivamente dependientes del espín o de la carga eléctrica. Si tomamos el subgrupo


par L, de seis parámetros, podemos decir que la conexión describe a la interaccióngravitacional. Si tomamos el subgrupo P generado por ka y k[akb] podemos decir quela conexión representa una interacción no trivial que acopla la gravitación con fuerzaselectromagnéticas. Finalmente, si el grupo de holonomía es todo el grupo G podemosdecir que la conexión representa interacciones adicionales posiblemente relacionadascon las fuerzas nucleares. Como LÌPÌG, este esquema nos permite clasificar lasinteracciones geométricamente en un orden cada vez más complejo.

Esta cadena de grupos tiene una simetría porque no hay una manera única deidentificar LG y LP. El cociente G/L representa cuantos subgrupos equivalentes aL hay en G. También hay una relación de equivalencia R entre los generadoresincompactos de G, todos ellos equivalentes a un generador de impulsión o simetríaexterna del espacio tiempo. El subespacio obtenido como cociente de G/L por estarelación es el grupo de simetría interna de LG,

/ ( )G LSU

R= 2 . (3.7.1)

Similarmente el cociente P/L da, como simetría interna de LP, el grupo

/ ( )P LU

R= 1 . (3.7.2)

La simetría interna total de la cadena LPG es el producto de estos dos grupos,SU(2)U(1), que coincide con el grupo de simetría de las interacciones débiles. Nohay razón geométrica para identificar el grupo de estructura de la teoría con el grupode simetría porque son conceptos geométricos diferentes.

En los capítulos 15 y 16 volveremos sobre estas cuestiones geométricas en detalle.Aquí nos limitamos a comentarios introductorios generales. Las interacciones nuclearesfuertes y débiles fueron históricamente introducidas para tomar en cuenta aquellosfenómenos físicos no explicados por los campos electromagnético o gravitacional.Podemos decir que los efectos nucleares son residuales en el sentido que ellos formanel conjunto de fenómenos s in expl icac ión después de tomar en cuenta e lelectromagnetismo de Maxwell y la gravitación de Newton.

En una teoría consistente ilineal de electromagnetismo y gravitación como lapropuesta aquí es claro que el conjunto residual de fenómenos sin explicar es diferentedel conjunto indicado anteriormente. Entonces las hipótesis necesarias para los camposde interacción adicionales pueden diferir de las normales en interacciones fuertes ydébiles. Solamente después de resolver los efectos ilineales de la teoría propuestaquedan determinados el conjunto residual de fenómenos sin explicar y las propiedadesde las interacciones adicionales. De hecho puede suceder, y de mucha importancia,que el conjunto residual sea el conjunto nulo, en cuyo caso no serían necesariasinteracciones adicionales.


Un ejemplo de una situación similar se conoce en la historia de la ciencia. El sistemapropuesto por Ptolomeo para describir el movimiento astronómico, en términos decircunferencias tenía movimientos residuales sin explicar, que requerían más y máscircunferencias para explicar el movimiento observado. El reconocimiento que la elipseera la curva adecuada como órbita eliminó los efectos residuales y la gran cantidad deparámetros necesarios.

Por estas razones podría ser ingenuo pensar que la teoría debe contenercompletamente las teorías actuales de interacciones fuertes y débiles. No debemosexigir que el grupo de simetría del modelo estándar [13] SU(3)SU(2)U(1), sea unsubgrupo del grupo de estructura de la teoría. En cambio se debe verificar la teoríadirectamente con respecto a los resultados experimentales. En adición no hay razónpara asociar una partícula a cada 1-forma correspondiente a cada generador de laconexión. Transformaciones posibles entre los generadores indican que ellosrepresentan aspectos diferentes del mismo objeto geométrico. Dentro de esta teoríaeso sería como asociar partículas separadas a un cuanto del campo eléctrico o un cuantodel campo magnético.

Las propiedades de las fuerzas nucleares llevaron al concepto de interaccionesfuertes y débiles y los trabajos de Yukawa [14] y Fermi [15]. Ambas teorías fueronmodeladas en la interacción electromagnética. Hoy día las teorías de calibrecorrespondientes se reducen, a bajas energías, a estas teorías.

Aparte de la simetría indicada anteriormente, la teoría bajo discusión tienecaracterísticas que se asemejan a las fuerzas nucleares. Debido a la ilinealidad podemosesperar que la autointeracción sea muy fuerte en ciertas regiones y que muestresaturación. Debido a la presencia de generadores de espín y de electromagnetismo esposible esperar que halla fuerzas dependientes del espín que adicionalmente mostraranaspectos no centrales similares a la fuerza magnética. Debido a su estructura algebraicahay generadores asociados a vectores propios y axiales permitiendo una descripciónde procesos que violen las invariancias P y C. A bajas energías, puede ser posiblereducir la fuente de corriente asociada a un par de partículas a una forma compatiblecon la corriente de interacción de la teoría de Fermi.

3.8. Resumen.El grupo SL(2,), en vez de preservar la métrica de Lorentz, preserva una

correlación en el espacio espinorial. Esta correlación se expresa en un espacio dedimensión doble, formado de espinores de dos tipos que transforman como conjugados

Esta correlación preservada nos permite presentar una formulación variacional dela teoría donde la conexión y la poliada tienen el papel de variables dinámicas. Elprincipio establecido nos lleva a tres ecuaciones:

1. La ecuación de campo propiamente, una ecuación diferencial para la conexióncon una fuente expresada en términos de la poliada;

2. La ecuación de densidad de movimiento de la poliada material, una ecuación


Referencias

1 I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), p. 201, ch 13(1969).

2 A. Lichnerowicz, Théorie Globale des Connexions et des Groupes d’Holonomie, (Ed.Cremonese, Roma), p. 62, 101 (1972).

3 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).4 A. Trautman, Geometrical Aspects of Gauge Configurations, preprint IFT/4/84, Warsaw

University, (1981).5 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990).6 Vea el apéndice A.

generalizada de Dirac en términos de la derivada covariante de la poliada;3. La ecuación de energía impulso, que sugiere la definición de un tensor de

energía impulso generalizado y sirve como elemento adicional paradeterminar la base ortonormal y su torsión.

Para el espacio vacío la tercera ecuación, cuando el álgebra se reduce a su partepar, es similar a una ecuación de Stephenson en la teoría de Yang. Fairchild demostróque esta ecuación elimina las soluciones que no sean también soluciones de la ecuaciónde Einstein con constante cosmológica.

Con las definiciones geométricas presentadas en la sección 1, la ecuación demovimiento incluye, como caso particular, la ecuación de Dirac con el acoplamientoelectromagnético normal. En adición, la transformación de espinores en mecánicacuántica se obtiene de la transformación de la poliada.

La conjetura que el electromagnetismo puede estar asociado a una subálgebra desl(4,R), isomorfa a su(2), con una sola subálgebra u(l) observada en la mecánica clásicay en la mecánica cuántica normal, puede ofrecer una explicación a la cuantización decarga. Implicaciones de esta idea se discutirán en capítulos posteriores.

Las características de los generadores en el sector impar parecen ser compatiblescon los rasgos principales de las interacciones nucleares. El hecho de que los efectosnucleares tienen carácter residual nos permite no exigir una relación inmediata con elgrupo del modelo standard.

Se puede hacer la conjetura de que la geometría euclidiana y la mecánica clásicason demasiado restrictivas e innecesarias para construir teorías físicas. Una geometríafísica de conexiones y poliadas materiales o “kosmetría” (mediciones del “kosmos”,palabra griega por orden, universo), no tiene estas restricciones y puede ser útil comoteoría física. En adición parece que este enfoque es suficiente para eliminar laintroducción de una física cuántica separada. La naturaleza cuántica de la físicamoderna puede estar en las reglas de esta geometría física.

En este contexto, las partículas pueden asociarse a fluctuaciones lineales o excitaciones delos elementos geométricos ilineales, la poliada e y la conexión w, que describen la materia y suinteracción.


7 E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976).8 C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).9 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 34, 1114 (1975).10 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 37, 961 (1976).11 A. H. Thompson, Phys. Rev. Lett. 34, 507 (1975).12 Vea el capítulo 4.13 A. Zee, Unity of Forces in the Universe, (World Scientific, Singapore) Vol. 1, p. 4

(1982)14 H. Yukawa, Proc. Phys. Math. Soc. Japan 17, 48 (1935).15 E, Fermi, Z. Physik 88, 161 (1934).

4. TEORÍAS CLÁSICAS.

4.1. Relación de los Fibrados.En el primer capítulo, en nuestra búsqueda de una teoría unificada de gravitación y

electromagnetismo consistente con una dinámica geométrica para partículas clásicas, seintrodujo un fibrado principal E con SL(2,) como grupo de estructura. Como estas teoríasclásicas están asociadas, respectivamente, a fibrados con grupos SO(3,1) y U(1), nosenfrentamos a la tarea de recobrar estos fibrados desde el fibrado E. Esto es necesario paraobtener las ecuaciones de campo consistentes para ambas teorías y la ecuación correcta deLorentz para partículas clásicas.

El grupo SL(2,), indicado por G, tiene un subgrupo determinado por los generadorespares del álgebra homomorfo a U(1)SL(2,C) que indicaremos por L en este capitulo.Queremos proyectar desde el fibrado E, a otro fibrado E’ con SO(3,1) como grupo deestructura. Para especificar esta proyección es conveniente hacerlo en dos pasos. Primeropasamos de E al fibrado E” con L como grupo de estructura y entonces pasamos de E” aE’.

Consideremos el primer paso. Tenemos la aplicación inclusión i del anillo C en elanillo y la correspondiente retracción r de a C,

r i I= . (4.1.1)Esto determina una inclusión de L en G. Indiquemos el cociente izquierdo G/L por K yescribamos la descomposición por cociente,

G KL= . (4.1.2El grupo G tiene una estructura de fibrado principal sobre K con grupo de estructura Lque indicaremos por (G,K,L). Podemos establecer que la imagen de la inclusión de Len G es un espacio vertical de (G,K,L). Se puede escribir, para un elemento lL

( )i l kl= º g . (4.1.3)

En este caso la retracción que envía el espacio vertical en algún punto kK al grupo Lse puede escribir en términos del elemento k,

( )kr k l-= =1g g . (4.1.4)

Hay inclusiones inducidas correspondientes, desde el fibrado E” hacia el fibradoE y desde el fibrado espinorial asociado V”M hacia VM. En particular tenemos,

:i TE TE*¢¢ , (4.1.5)

41Teorías Clásicas

:i TV M TV*¢¢ . (4.1.6)

Hay una conexión en TE´´ retroinducida de la conexión w en TE

( ):i TE A Cw* ¢¢ , (4.1.7)

( ) ( ) ( ) ( )i t i t r t tw w w w** +¢¢ ¢¢= = = . (4.1.8)

que corresponde a la parte par de w, que indicamos con el signo +.Consideremos la copoliada material e, una sección del fibrado dual LE. Se puede

identificar con los homeomorfismos de las cartas e : VMV. Como matriz se puedeidentificar con el conjunto de covectores Ja que forman una base en el espacio dual LVen correspondencia 1 a 1 con los elementos de G. En general se tiene la poliadaretroinducida,

:i VM VJ* , (4.1.9)

( ) ( ) ( )= base Li v i v r v v V Va a aJ J J J**¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= Î Î . (4.1.10)

que permite definir un conjunto de covectores i*Ja en LV” de un conjunto dado decovectores Ja en V. Como hay una correspondencia 1 a 1 con sus grupos respectivostenemos una relación que permite la definición de una curva en LE” partiendo de unacurva en LE. La trayectoria de la poliada i*Ja se obtiene de la retracción de a C.Claramente, la retracción no corresponde a tomar sencillamente la parte par porqueesta operación no resulta en un elemento del grupo L. La acción de i* es el primer paso.

Consideremos ahora el segundo paso. Podemos representar cualquier elemento deSL1(2,C) por una matriz compleja de dos dimensiones g´´. Note que este grupo no esun producto directo. Hay un conocido homomorfismo hf con SO(3,1) expresado ennotación matricial por,

( ) ( ) ( )†tr tr fh G Lb b ba a ak k s s-¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= = Î º1 1

4 2g g g g g g . (4.1.11)

Definamos una aplicación sobre M´G” compuesta por el par de aplicaciones,

:h M G M G¢¢ ¢´ ´2 , (4.1.12)

{ }, fh I h=2 , (4.1.13)

( ) ( ), , ; ;h m m m M G G¢¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢= Î Î Î2 g g g g . (4.1.14)

Definamos la aplicación,

:h E E¢¢ ¢ , (4.1.15)


por la relación,

h hf f¢ ¢¢= 2 . (4.1.16)

Esta aplicación, que es el segundo paso, preserva la proyección del fibrado

hp p¢ ¢¢= (4.1.17)y su acción en las fibras es un homomorfismo,

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , fh m h m m h g mp f f p f p- - - - -¢¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢= = Î1 1 1 1 12 . (4.1.18)

Podemos definir una forma canónica de soldadura en E’ retroinduciendo las formasJa. Para esto es necesario, como h-1 no es una aplicación bien definida, considerar unainclusión h de E’ en E” donde la fibra SO(3,1) se incluye en SL(2,C)/Z2. En particulare corresponde al inverso de la inclusión de alguna tétrada u que es una base en TM.Podemos escribir

( ) ( )( )i h u l k i h uJ-- - -= = =

11 1 1g . (4.1.19)

De esta manera se tiene la forma

:TE RQ ¢ 4 , (4.1.20)

( )u i h uh ia aQ J* *º , (4.1.21)

que cumple las relaciones

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

u i h u i h uu t h i u t t i h u

t u t t TM

a a b ab

ab ab

Q J J

d

* * **

-

= =

= = Î1

, (4.1.22)

( ) ( ) Y u Y Y TEQ p-* ¢= Î1 . (4.1.23)

La existencia de esta forma de soldadura nos permite definir la torsión en el fibrado E’en la forma usual, por medio de

DS Q= . (4.1.24)Consideremos ahora el diferencial h* del homomorfismo de fibrados h,

( ) ( ): ,C ,f Ih sl so* 1 2 3 1 , (4.1.25)


( ) ( )†trh e e eb ba as s¢¢ ¢¢ ¢¢= 1

2 , (4.1.26)

( ) ( )† †trbh a b a a bb b ba a as s s s* = +1

2 , (4.1.27)

( ) ( )†trIh a a ab b ba a as s s s* = +1

2 . (4.1.28)

Vemos que la proyección m necesaria para pasar del fibrado E al fibrado E’ es lacomposición de las dos operaciones previas,

h im *= , (4.1.29)

El diferencial de m se puede escribir, con la trivialización escogida, como

( ) ( ) ( )( ) ( )†tr ,I a r a r a a sl Rb b ba a am s s s s* = + Î1

2 4 , (4.1.30)

en términos de la retracción de a de acuerdo con la inclusión.Esta relación nos permite obtener ecuaciones para las formas tangentes en *TE’,

de las ecuaciones para formas tangentes en *TE. Debemos apuntar que la retracciónnecesaria hace que la base vectorial ortonormal u del espacio tiempo dependa, aunquecon cierto grado de arbitrariedad, de la base espinorial e en el fibrado asociado. En elcapítulo anterior las ecuaciones se obtuvieron de un principio variacional tomandovariaciones de u independientes de e. Antes de proseguir es necesario verificar queesta dependencia no afecta las ecuaciones variacionales.

La base dual se puede expresar como una descomposición por cociente, ec.(4.1.3),

( )e kl u- =1 , (4.1.31)

lo cual nos permite añadir al lagrangiano un termino con un multiplicador de Lagrange yel vínculo expresado en la última ecuación,

( )( )L e kl ul -+ -1 . (4.1.32)

Al escoger los grupos de variaciones, establezcamos que una variación de e generauna variación en el fibrado (G,K,L) o sea una transformación de Lorentz en la fibra Ly una traslación en el espacio base K. El elemento del grupo L que corresponde a unavariación bajo un elemento de G se escoge de forma que la variación total del conjuntode las tres transformaciones e, l, k,

( )( ) ( ) ( ) ( )e kl u e k l u k l ud d d d- -- = - - =1 1 0 , (4.1.33)

sea nula. Por lo tanto, bajo estos grupos, el vínculo añadido no genera variacionescuya combinación total cambie las ecuaciones de Euler. Estas ecuaciones sonequivalentes a las obtenidas haciendo variaciones independientes.


4.2. Los Campos Clásicos.Hemos separado las ecuaciones con respecto al subgrupo o subálgebra par porque

esta parte representa a los campos clásicos. Antes que considerar la ecuación de Lorentzdebemos tomar un tiempo para desarrollar el significado de las ecuaciones pares. Lainclusión permite la posibilidad de definir la conexión retroinducida i*w y sucomposición con los homomorfismos h nos brinda una conexión valuada en so(3,1)que es compatible con la métrica en el espacio tiempo. En otras palabras tenemos lasformas sl1(2,C), en función de los generadores i, E,

aai A I Ew i G* = + , (4.2.1)

n n aai F I R EW i* = + . (4.2.2)

Debe indicarse que la curvatura par no solo sale de la parte par de A sino que dependedel producto de partes impares.

La forma de curvatura R de la conexión G corresponde a la curvatura de Riemanncon torsión, en la formulación espinorial estándar. Ellas obedecen las ecuaciones

*D R k J* += , (4.2.3)

DR = 0 , (4.2.4)

que no son ecuaciones de Einstein pero representan una gravitación equivalente a lade Yang [1] restringida a su subgrupo SO(3,1). Todas las soluciones de vacío de lasecuaciones de Einstein son soluciones de esta ecuación para J=0. En particular, lasolución de Schwarzchild es una solución de estas ecuaciones y se obtiene elmovimiento newtoniano bajo un potencial gravitacional 1/r como un límite delmovimiento geodésico bajo las ecuaciones propuestas. Debe indicarse que la existenciade un límite newtoniano completo no es obvia [2, 3]. Mas adelante volveremos a estacuestión.

La curvatura F de la conexión corresponde a la curvatura de Maxwell enelectromagnetismo y obedece,

* *D F d F k j*= = , (4.2.5)

DF dF= = 0 , (4.2.6)las ecuaciones estándares de Maxwell.

Un elemento del álgebra sl(2,C) define canónicamente, por los homomorfismos hexpresados por la ecuación (4.1.11), un elemento del álgebra so(3,1),

( ) ( )†trIh a a ab b ba a as s s s* = +1

2 . (4.2.7)


Se puede verificar que si definimos las componentes de la conexión

( )†trb b bma m a a mG s G s s s Gº +

12 (4.2.8)

para cada uno de los seis generadores (rotaciones e impulsiones) de SO(3,1) quecorresponden isomorfamente a los seis generadores de SL(2,C), se verifica también lasiguiente relación,

†amb a m b b mG s G s s Gº + . (4.2.9)

Así podemos calcular la derivada de las matrices s como una sección del fibradoproducto de los fibrados espinoriales duales y el fibrado cotangente,

† am n m n m n n m a mns ¶ s G s s G s G = + + - = 0 (4.2.10)

y por consiguiente, la métrica definida en TM de una métrica e en el espacio espinorial,

AC X YA CXY

gmn m ne e s s=

, (4.2.11)

satisface la condición de compatibilidad,

g = 0 . (4.2.12)

4.3. Partículas Clásicas Geométricas.Entendemos por ecuación de movimiento para una partícula clásica puntual singular,

una ecuación diferencial que determine la evolución del vector tangente a la curvauniversal de la partícula.

Podemos idealizar una partícula de prueba asociándola a una tétrada ortonormalcompuesta por el vector temporal cuadrivelocidad y tres vectores espacialesrelacionados con las propiedades rotacionales de la partícula. En dos eventos diferentesde la línea universal, las tétradas correspondientes deben diferir, cuando más, por unatransformación de Lorentz. La evolución de la tétrada a lo largo de la línea universalse determina por una transformación de Lorentz que depende y evoluciona como unafunción del parámetro de la línea universal.

Considere el fibrado principal E’ construido tomando el grupo de Lorentz comofibra y el espacio tiempo como variedad base. Si nos dan una curva en este fibradotenemos precisamente un elemento del grupo evolucionando como una función delparámetro de la curva. Es claro que la curva dada determina por proyección una curvaen el espacio base del fibrado. La curva proyectada se puede tomar como la trayectoriade una partícula en el espacio tiempo base lo cual impone ciertas condiciones queidentifican la tangente a la trayectoria con el vector temporal de la tétrada. Estascondiciones son las ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas por la acción


del álgebra de Lie del grupo de Lorentz sobre la tangente a la trayectoria. Sirepresentamos la evolución de la partícula por la curva original en el fibrado principalpodemos obtener la trayectoria espacio temporal e información adicional relacionadacon la triada espacial asociada a cada punto de la curva.

Por otro lado, hemos introducido en las secciones anteriores un fibrado principalcon un grupo mayor. Sin embargo, las condiciones de integrabilidad determinanecuaciones para una curva en este fibrado si asociamos una estructura clásica a lacorriente e identificamos la tangente a la trayectoria. Si podemos resolver las ecuacionespara esta curva y su proyección tendríamos la trayectoria de la partícula e informaciónadicional acerca de la evolución de elementos internos de la partícula.

Si tenemos una manera de relacionar la curva en E con la curva en E’ podríamospensar que la curva en E representa la evolución de un observador completo. Esteobservador lleva una base completa de la fibra que le permite medir magnitudes externas(espacio base) y magnitudes internas (espacio de fibra). La curva en E’ representaríaun observador llevando una tétrada espacio temporal cuya evolución es determinadapor la curva. Una medida clásica puede ser interpretada como la medición, en el espaciotiempo, de solamente la proyección de la trayectoria, determinada por la curva en E.En otras palabras, clásicamente solamente notaríamos la “sombra” de la partícula.Debemos indicar que proyecciones similares se usan normalmente en física, porejemplo, cuando trabajamos con el cuerpo de los números complejos y restringimos aal cuerpo de los números reales.

Es claro que podríamos proyectar el anillo en el álgebra sl(2,) al cuerpocomplejo C llegando a la subálgebra sl1(2,C) de la cual podemos pasar al álgebra deLorentz usando el homomorfismo conocido. Esto nos permitiría hallar una ecuacióndiferencial para el vector temporal de la tétrada bajo la acción del grupo, o sea laecuación clásica de movimiento de la partícula. [4, 5].

4.4. Movimiento de las Partículas Clási-cas.

Definimos una partícula clásica singular por la estructura multipolar, en términos defunciones deltas, de su fuente de corriente J que es dual a la 3-forma valuada en el álgebrade Lie del grupo de estructura G del fibrado. Esta estructura se expresa a lo largo de unacurva trayectoria x’(s) en el espacio base con vector tangente xm por la siguiente ecuacón[6, 7],

( )( ) ( )( )( ) ( )( )1

A A AB A ABB B A B B A B

... A ... AB! B ... A B ... n n

n n

n

nn

J x x s ds x x s ds

x x s ds

m m m a m amam a m

a a a a a aa a a a a a

t d t d

t d

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

- ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢

é ù¢ ¢= - - - +ê úë û

é ù¢+ -ê úë û

ò òå ò 1 2 2

1 2 1 2

1 .(4.4.1)


Las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba clásica se determinanpor la condición de integrabilidad de las ecuaciones de campo, o ley de conservación,

D J* = 0 , (4.4.2 )

usando un método de Tulczyjew [8], para el caso de relatividad general, que relacionalos diferentes términos multipolares algebraicos y la tangente al camino. Haremos elcálculo para los dos primeros multipolos. Descomponemos los términos como sigue,

A A AB B Bm mm m mt x= + , (4.4.3)

A A A A AB B B B Bmn m n m n n m mnt x x h x h x h h= + + +1 2 , (4.4.4)

donde se cumplen las siguientes relaciones entre los elementos del álgebra de Lie,

mmx x = 1 , (4.4.5)

A AB Bm m

mt x= , (4.4.6)

A AB B

mnm nh t x x= , (4.4.7)

A A AB B Bn mn n

mh t x x h= -1 , (4.4.8)

A A AB B Bm mn m

nh t x x h= -2 , (4.4.9)

de forma que m, h1, h2, son ortogonales a xm.El método para obtener las ecuaciones de movimiento se basa en los dos lemas

siguientes que aún son válidos en el contexto presente.Lema 1: Se cumple la siguiente expresión para funciones d, que tiene significado

después de integrar sobre su argumento,

( )( )

( )( )

A ... B A ...B BA ...

A ... B A ...B BA ...

ds a x x s

Dds a x x s

ds

m a b u m ab um m a b u

a b u ab ua b u

x d

d

¥¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

-¥

¥¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢

-¥

é ù¢ - =ê úë û

é ù ¢-ê úë û

ò

ò . (4.4.10)

Contrayendo con un yAB

ab arbitrario e integrando se puede verificar la expresión.

Lema 2: Si tenemos


( )( )... A B ...N ... AB...NAB...N... A B ...N... k k

k k

n

k

ds x x sm m m m m mm m m m m mn d

¥¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= -¥

é ù= -ê úë ûå ò 1 2 1 2

1 2 1 20

, (4.4.11)

......

AB NAB NK d x =ò 4 0 , (4.4.12)

donde las expresiones n son simétricas en el índice m y ortogonales a xm. Entonces haycondiciones necesarias,

... AB...Nkm m mn =1 2 0 . (4.4.13)Para verificar este lema se contrae con un KAB... arbitrario y se integra por partes,

( ) ...... ...kK mn

m n- =å 1 0 (4.4.14)

y entonces se va al sistema en reposo y se usa la arbitrariedad de K, suponiendo quetodas las derivadas menores que k se anulan.

Usando el lema 1, la ecuación de conservación,

ABJ m

m* = 0 , (4.4.15)

se puede transformar para obtener

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) }

,

-

Dm DNS x x s m x x s

ds ds

x x s ds

mmn m

mn m

mnm n

W d d

h d

é ùæ öìé ùï ÷ï çé ù ê ú¢ ¢÷ê ú- - + - -çí ê ú ÷ë û ê úç ÷çïê ú è øë ûïî ë ûé ù¢ - =ê úë û

ò

0 (4.4.16)

donde D es la derivada absoluta a lo largo de la curva, con respecto al grupo SL(2,)y

A A A AB B B BN m m m mx h h h= + +1 2 , (4.4.17)

A A[ ]B 1BS mn m nh x= . (4.4.18)

De la ec. (4.4.16) obtenemos las ecuaciones multipolares deseadas, usando el lema2,

( )AB

mnh = 0 , (4.4.19)


A AB B

Dm N

dsm m- = 0 , (4.4.20)

AB ,

A

B

Dm S

dsmn

mnWé ù- =ê úë û 0 . (4.4.21)

La última ecuación determina la evolución de un elemento del álgebra de Lie de G entérminos del parámetro s asociado con una curva dada xm en el espacio base M. Por otrolado, el objetivo del cálculo es obtener, precisamente, la curva x en M. Si esta curva esdesconocida a priori esta ecuación no es suficiente para determinar completamente laevolución de mA

B. Se necesita información adicional como se indicó anteriormente. Siimponemos el requisito físico de identificar la tangente a la curva x con el vector temporalde la tétrada producida por la evolución de mA

B , entonces esta ecuación expresa laevolución del elemento del álgebra a lo largo de la curva integral del vector temporal dela tétrada. En particular este requisito debe ser suficiente para obtener una ecuaciónpara la evolución del vector temporal a lo largo de su propia dirección. La curva integraldeterminada en esta forma es la trayectoria espacio temporal deseada, que describe elmovimiento de la partícula.

4.5. Ecuaciones de Movimiento deLorentz.

Como E es un fibrado principal, hay una acción natural del grupo de estructura G,por la derecha, en el fibrado E, que produce un desplazamiento vertical a lo largo de lafibra. En particular una curva en el álgebra de Lie de G induce una curva vertical en E,

( ) ( )s s mJJ J= , (4.5.1)

donde representamos por un punto la derivada absoluta con respecto del vector tangentex. Sin embargo, nos interesa una curva en el fibrado dual LE’ por acción izquierda delálgebra en algún punto e’ÎLE’ que sea el camino de una cotétrada q.

( ) ( )s a sqq q= . (4.5.2)

La retracción del vector tangente definido por la ecuación (4.4.21) nos da precisamentela ecuación para el vector tangente a esta curva en el álgebra. La relación m nos da lacurva en LE’ y el diferencial m* define una ecuación para el vector tangente al camino dela cotétrada q en LE’,

( ),I Ia m S mnmnm m W* *

é ù= = ê úë û , (4.5.3)


donde W es la curvatura SL(2,) y S es el tensor definido por la ec.(4.4.18).Se obtiene entonces la ecuación deseada para q,

( ),I S mnmnq m W q*

é ù= ê úë û , (4.5.4)

donde el punto indica la derivada absoluta, ahora con respecto a la conexión SO(3,1).En otras palabras, m* permite hallar la ecuación para una curva en LE’.

Estamos interesados esencialmente en la evolución del vector cuadrivelocidad dela partícula asociada con la 1-forma temporal de la cotétrada q. En otras palabras,debemos hacer que el vector x tangente al camino en el espacio tiempo, corresponda ala 1-forma temporal de la cotétrada q 0. Tenemos,

ôD Dx xx q q= = 0 . (4.5.5)

Usando la ec. (4.1.30) obtenemos,

( ) ( )†tr r a r aa b a ab bq q s s s sé ù= +ê úë û

12

. (4.5.6)

Considerando la ecuación para el vector tangente, se tiene,

( )†ˆ tr , ,r S r Sb mn mnmn b b mnq q W s s Wé ù é ù= +ê ú ê úë û ë û

0 12

, (4.5.7)

donde la retracción del conmutador debe ser obtenida de acuerdo con la aplicacióninclusión i.

Para obtener la ecuación de movimiento de Lorentz, el conmutador [W,S] debesatisfacer ciertos requisitos. Con este propósito se expandirá la curvatura W en términosde los generadores del álgebra de Lie de G. Seleccionaremos uno de estos comorelacionado al electromagnetismo, indicándolo por E. La 2-forma de curvatura asociadaa E se identificará con el tensor electromagnético F, Adicionalmente, expresamos eltensor S en términos de los multipolos h que lo definen como se indicó en la secciónanterior. El cálculo explícito de esta ecuación nos lleva a varios términos. Supondremosque los términos no relacionados con E son pequeños y por lo tanto conservaremossolamente los términos electromagnéticos de interés. Se tiene,

( )†ˆ ˆ tr , , + F r E r Eb n m mmn b bq q x h s s hé ù é ù= +ê ú ê úë û ë û

0 12

. (4.5.8)

Los términos adicionales, no relacionados con E, son generados por la subálgebrasl(2,C) y representan fenómenos rotacionales como momento angular incluyendotérminos de espín.

Notemos que E no debe ser un elemento cuadrático para evitar problemas deinterpretación con los generadores cuadráticos asociados al grupo de Lorentz.


4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par.Si la imagen de la inclusión es la parte par del álgebra A, la retracción correspondería

a tomar la parte par del álgebra. Para obtener la ecuación de Lorentz deseamos que,

, p p aaE h d s

+é ù =ê úë û . (4.5.9)

En este caso solo hay dos posibilidades para ambos E y h: ellos pueden ser productossimples o triples de k.

Tomando la primera posibilidad,

E mk= , (4.5.10)

[ ]p p pa abg

a a b gh h k h k k k= + , (4.5.11)

se obtiene,

[ ], , ,p p pa abgm m a m a b gk h h k k h k k k ké ù é ù é ù= +ê ú ê úê ú ë û ë ûë û , (4.5.12)

de la cual vemos que no es posible obtener ec. (4.5.9) a no ser que

E k= 0 , (4.5.13)

p paaqh d k= , (4.5.14)

donde q es una constante.Si tomamos la segunda posibilidad, obtenemos esencialmente el mismo resultado

de las dos últimas ecuaciones, pero con el factor adicional de

ek k k k

e

é ùê ú= ê ú-ë û

0 1 2 3

00

. (4.5.15)

que implica la posibilidad que

E k k= 0 5 . (4.5.16)

Escogiendo entonces, por ejemplo, el valor dado por la ec. (4.5.10), se tiene

( )ˆ ˆ tr a p a pa p a pF q i q ib n m m m m

mn b bq q x d s d h s s d s d h+ +

é ù é ù= - + -ê ú ê úë û ë û0 30 321

2 , (4.5.17)

( )ˆ ˆ tr a aa aqF b n m m

mn b bq q x d s s d s s= +0 12

, (4.5.18)


( )ˆ ˆ ˆqF q Fn b m m b n

mn b b bnq x q d d d q x= - =0 00

, (4.5.19)

que es equivalente a

DqF

dsn

mnm

xx

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø , (4.5.20)

las ecuaciones de movimiento deseadas en términos de la cuadrivelocidad x, el tensorelectromagnético F y una constante q, que se puede identificar con una constanteproporcional a una carga obtenida del multipolo electromagnético.

4.5.2. Interpretación.Como el generador k5 es equivalente a k0 y k1k2k3, bajo el grupo de automorfismos

del álgebra, consideremos el caso que este generador se tome como E. Notamos queconmuta con la toda parte par y anticonmuta con toda la parte impar y siendo k5 par setiene,

[ ],A Ak -Ì5 . (4.5.21)

Sin embargo, bajo las transformaciones que convierten los otros dos generadoresen k5, la parte par del álgebra no queda invariante. De hecho no existe una copia únicadel grupo de Lorentz dentro del álgebra A. Por lo tanto, la expresión para la fuerza deLorentz no se obtiene únicamente en términos de estas matrices pares sino también entérminos de aquellas que sean pares para alguna otra inclusión equivalente.

Hemos obtenido la ecuación de Lorentz para una partícula singular con carga eléctricapartiendo de la conservación de la corriente. La conservación geométrica de J quedetermina la evolución de la poliada es compatible con la conservación del tensoresfuerzo energía T. Este último se relaciona con la ecuación de energía como se mostraráen el próximo capítulo. Es conocido [6, 7, 8] que una expansión multipolar de Tdetermina las ecuaciones de movimiento de partículas rotantes. El vector impulsoasociado es igual al vector temporal de la poliada por la masa. La constante q en la ec.(4.5.20) es la carga por unidad de masa.

La identificación del generador electromagnético depende de la aplicación deinclusión. La subálgebra C(2) se puede incluir en A de maneras diferentes, de acuerdoa la inclusión. Ahora entendemos la situación. Dentro de SL1(2,C), el generador k5 noda las ecuaciones de Lorentz porque conmuta con todos los generadores. Dentro deSL(2,), los tres elementos k0, k5, k0k5 que generan un subgrupo SU(2), nos llevan ala ecuación de Lorentz y son generadores electromagnéticos válidos. El F par no solosale de la parte par de A porque también depende del producto de partes impares. Enprincipio podemos orientar el generador electromagnético en cualquier dirección en lasubálgebra y obtener el mismo resultado físico final. Claro que los cálculos actuales


References

1 C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).2 G. v. Bicknell, J. Phys, A7, 1061 (1974).3 P. Havas, Gen. Rel. Grav. 8, 631 (1977).4 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1215 (1987).5 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).6 M. Mathisson, Z. Phys. 67, 270 (1931).7 M. Mathisson, Acta Phys. Pol. 6, 163 (1937).8 W. Tulczyjew, Acta Phys. Pol. 18, 393 (1959).

para obtener el resultado invariante pueden ser diferentes.La misma relación debe ser válida con respecto al acoplamiento electromagnético

en la ecuación de Dirac, discutido en el capítulo anterior. Si orientamos el generadora lo largo de k5 obtenemos el acoplamiento usual. Si orientamos el generador a lolargo de k0 o k0k5 obtendremos un acoplamiento anormal pero los resultados físicosfinales deben ser iguales, invariantes bajo el grupo de automorfismos.

4.6. Resumen.Las ecuaciones clásicas de Maxwell se obtienen de la ecuación geométrica de campo.

Las ecuaciones clásicas de Lorentz se obtienen también de la conservación de la fuentede corriente. En general, el movimiento de una partícula singular dentro de la teoría geométricaestá determinado por la estructura mutipolar par, que corresponde a los términos conocidos [8]que dependen de los tensores curvatura del campo gravitacional y momento angular de lapartícula, y por partes impares adicionales que incluyen la fuerza de Lorentz para partículascargadas. Para la materia en general la teoría geométrica requiere la ecuación completa delmovimento de la corriente material que corresponde a una ecuación geométrica de Dirac comose indicó en el capítulo anterior.

5. EL CAMPO GRAVITACIONAL.

5.1. Introducción.El enfoque estándar de la gravitación requiere de la construcción de un tensor T, de

energía e impulso o esfuerzo y energía, determinado por las ecuaciones clásicas de materiay campos macroscópicos. En general estos campos materiales son descritos por lasecuaciones de fluidos clásicos. Se puede alegar que estas teorías no son realmente teoríasunificadas geométricamente. Einstein [1] mismo no estaba satisfecho con el carácterageométrico de T y pasó sus últimos años buscando una teoría unificada satisfactoria.

Asociada a la teoría unificada que estamos discutiendo [2, 3, 4] hay una geometría físicaque suministra tres ecuaciones para los objetos de la teoría. La primera o ecuación decampo es una ecuación diferencial para la conexión generalizada con una fuente de corrientematerial. La segunda o ecuación de movimiento determina la evolución de objetos de lafuente en términos de la derivada covariante. La tercera

ˆ ˆtr u Xmn m klrn r klW W W Wé ù- =ê úë û4 (5.1.1)

tiene la estructura de una suma de términos, cada uno de la forma correspondiente altensor electromagnético de energía impulso. Usando esta ecuación de la energía sepuede definir un tensor geométrico de energía impulso. Es claro que este tensor norepresentaría el término de fuente de la ecuación de campo. Debe representar la energíae impulso de los campos de la conexión de interacción y la poliada material.

En el capítulo anterior, se ha mostrado que las partes pares de las ecuacionesrepresentan las interacciones clásicas de gravitación y electromagnetismo. Separaremoslas ecuaciones con respecto al subgrupo o subalgebra par, porque esta parte representalos campos clásicos. La aplicación inclusión permite la posibilidad de definir la conexiónretroinducida i*w cuya composición con los homomorfismos h suministra una conexiónvaluada en so(3,1) que es compatible con una métrica g en el espacio tiempo.

La forma par de curvatura R corresponde a la curvatura de Riemann en la formulaciónespinorial estándar. Obedece ecuaciones de campo diferentes de las de Einstein yrepresenta una formulación espinorial de la gravitación equivalente a la teoría de Yang[5] restringida a su subgrupo SO(3,1). La restricción a la parte par produce solucionesde vacío

La teoría gravitacional de Yang se puede ver como una teoría de una conexión en elfibrado principal de poliadas lineales TMm con grupo de estructura GL(4,). En la teoríade Yang el grupo se toma como una acción sobre el espacio tangente a M y por lo tantoes diferente de la teoría bajo discusión. La conexión en la teoría de Yang no esnecesariamente compatible con una métrica en el espacio base M, lo cual conduce a

55El Campo Gravitacional

conocidas dificultades indicadas en los trabajos citados. Sin embargo cuando la teoríade Yang se restringe a su subgrupo SO(3,1) sus problemas métricos son eliminados. Elbien conocido homomorfismo entre este grupo y nuestro subgrupo par SL(2,) estableceuna relación entre estas dos restricciones de las teorías.

Se puede alegar que la ecuación de Einstein en la teoría unificada geométrica es laecuación de la energía (5.1.1) en lugar de la ecuación de campo. Cuando se considera elproblema externo, o sea en regiones del espacio tiempo donde no hay materia, la partegravitacional de las ecuaciones de campo para J=0 es similar a la teoría gravitacionalde Yang. Todas las soluciones de vacío de la ecuación de Einstein son soluciones deestas ecuaciones. En particular la métrica de Schwarzchild es una solución y, por lotanto, el movimiento newtoniano bajo un potencial gravitacional 1/r se obtiene comolímite del movimiento geodésico bajo las ecuaciones propuestas. Sin embargo, haysoluciones adicionales espurias de vacío para las ecuaciones de campo en estas teorías,que no son soluciones de la teoría de Einstein. Fairchild [6] ha demostrado que, para lateoría de Yang, [5] la ecuación (5.1.1), o sea la ecuación geométrica restringida, es suficientepara eliminar las soluciones espurias de vacío encontradas por Pavelle [7, 8] y Thompson[9].

Sin embargo, el problema interior [10] suministra una situación donde hay diferenciasesenciales entre la teoría de Einstein y la geometría física unificada. Para el problemainterno donde la fuente J no es cero, esta teoría es también esencialmente diferente dela teoría de Yang. En la geometría física, la métrica y la conexión so(3,1) permanecencompatibles y el espacio base permanece seudoriemanniano con torsión evitando lasdificultades discutidas por Fairchild y otros en la teoría de Yang.

La presencia del término de corriente material en la ecuación de la energía ofrece laposibilidad de obtener un tensor geométrico de energía impulso que podría considerarsela fuente en una ecuación totalmente geométrica de Einstein para la métrica, asemejándosea la teoría de Einstein.

5.2. Una Ecuación para el Tensor deEinstein.

5.2.1. La Ecuación de la Energía.La ecuación (3.2.21)

()ˆ ˆ ˆˆtr tru k e u e u e u emmn m kl m n

rn r kl r nrW W W W i i- -é ùé ù- = - ê ú ê úë û ë û1 14 4 (5.2.1)

define un campo tensorial en M, una sección en el fibrado tensorial sobre M. Es claroque la traza en la ecuación introduce un producto escalar, la métrica de Cartan-KillingCg, en la fibra y el resultado está valuado en el fibrado tensorial. Este producto escalarde Killing permite escribir el lado izquierdo de esta ecuación en términos de una sumatoria


sobre todas las componentes a lo largo de los 15 generadores de una base en el álgebrade Lie. Separemos los términos debidos a la subálgebra par sl(2,) de sl(4,) en la formasiguiente,

tr

L a L b L a L bab

c a c b c a c bab

g g

g

n kl n klrn m rm kl rn m rm kl

n klrn m rm kl

W W W W W W W W

W W W W

é ù é ùê ú ê ú- = - +ê ú ê úë û ë û

é ùê ú-ê úë û

C

C

1 1 1g4 4 4

1g4

,(5.2.2)

donde la sumatoria sobre los índices latinos de LW se restringe a las seis componentesde la subálgebra par sl(2,) de sl(4,) y la sumatoria sobre índices latinos con tilde essobre las nueve componentes del cociente de las álgebras. Los últimos términos, quevienen de los generadores impares y el generador par k5, corresponden al tensor deenergía impulso de las interacciones no gravitacionales adicionales, campos “cocientes”presentes en la teoría, incluyendo al campo electromagnético estándar. Todos ellostienen la estructura cuadrática familiar en términos de las componentes de curvatura,

c c a c b c a c bab

gn klrm rn m rm klQ W W W W

pé ù-ê úº -ê úë û

C1 1g4 4

, (5.2.3)

y definen un tensor energía impulso cQ asociado al cociente no gravitacional. Como elgenerador electromagnético es compacto, la métrica de Killing introduce un signo menosy debemos definir cQ como se muestra, de forma que la energía estándar electromagnéticasea positiva definida.

El lado derecho de la ecuación principal (5.2.1) se interpreta como un tensor energíaimpulso jQ relacionado con la corriente material de la fuente, en función de la densidadvectorial i,

()( )

()

ˆ ˆˆ

ˆˆ tr

j ke u e u e u e

e u e u e u e

mm m lr r lr

m m lr lr

Q i ip

ai i

- -

- -

-º - =

é ù- - ê úë û

C 1 114

1 114

g4

4

. (5.2.4)

Así, podemos escribir la ecuación de energía impulso, (5.2.1) en la forma siguiente

L a L b L a L b c jab gn kl

rn m rm kl rm rmW W W W p Q p Qé ùê ú- - = -ê úë û

C 1g 4 44

. (5.2.5)

Los generadores pares de sl(4,) correspondientes al lado izquierdo de la últimaecuación se pueden expresar en términos de los generadores homomorfos (2 a 1) de


so(3,1), Xa (generadores de rotación de Lorentz), matrices 4´4 que actúan en el fibradotangente TM. Para estas dos álgebras L y L’ las métricas respectivas de Cartan-Killing,definidas por la traza sobre la dimensión, difieren por un factor de 2. Así podemosescribir

( )

( )

tr

L a L b L a L b Lab

L a L b L a L bab

L a L b L a L ba b

g

g

X X g

n klrn m rm kl rm

n klrn m rm kl

n klrn m rm kl

W W W W p Q

W W W W

W W W W

¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢

é ùê ú- =ê úë û

é ù¢ ê ú= -

ê úë ûæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

C

C

1g 44

1g 24

1 124 4

tr .L a L b L a L ba bX X gn kl

rn m rm klW W W W¢ ¢ ¢ ¢

é ùê úê úë û

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø1 12 4

(5.2.6)

Adicionalmente, el tensor de curvatura tiene componentes pares de sl(4,) quesurgen del producto cuadrático de componentes en el sector cociente de la conexión yson claramente irriemannianos. La parte riemanniana de la curvatura, designada por RW,se define por la conexión métrica que preserva la componente cuadrática de sl(4,) ypodemos escribir en términos de una parte irriemanniana complementaria nW

L n Ra a abkl bkl bklW W W¢ = + . (5.2.7 )

Consecuentemente, hay una contr ibución al tensor par de energía impulsocorrespondiente a esta parte irriemanniana de la curvatura.

La conexión asociada al grupo SO(3,1), responsable por RW, admite la posibilidad detorsión. Podemos separar la torsión S de la conexión de Levi-Civita,

a abm bm

aG S

bm

ì üï ïï ï= +í ýï ïï ïî þ(5.2.8)

y expresar la curvatura RW en términos del tensor de Riemann Rabmn, definido por la métrica

del espacio tiempo, y una dependencia explícita en la torsión,

( )L n nR Z R Za a a a a abkl bkl bkl bkl bkl bklW W¢ = + + º + , (5.2.9)

donde nRabmn se define como una curvatura irriemaniana que incluye al tensor de Riemann y

Z a a a a g a gbkl k bl l bk gk bl gl bkS S S S S S= - + - . (5.2.10)


Se hace notar que definimos el tensor de Riemann R en el sentido estricto usadooriginalmente por Riemann para espacios métricos e indicamos por nR una curvatura parque incluye una parte irriemanniana nW .

Substituyendo en la ecuación (5.2.6) se obtiene una expresión en términos del tensorde Riemann de la conexión métrica simétrica,

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

L n n n n

n n

gR R R R

g gZ Z Z Z Z R Z R

rma b n a kl brm am aklbrn b

rm rma b n a kl b a b n a kl bam akl am aklbrn b brn b

p Qæ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

+ - + -

142 4

1 12 8 2 8

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ n ng

R Z R Zrma b n a kl bam aklbrn b

+ -12 8

.

(5.2.11)El primer término en paréntesis en el lado derecho es similar a una expresión previamentedesarrollada por Stephenson [11] dentro de la teoría de gravitación de Yang [5],

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆH R R g R Ra b n a kl b

rm am rm aklbrn b= -

14

. (5.2.12)

Podemos definir un tensor de energía impulso asociado a la torsión

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

n n

t

n n

g gZ Z Z Z Z R Z R

gR Z R Z

rm rma b n a kl b a b n a kl bam akl am aklbrn b brn b

rmrma b n a kl b

am aklbrn b

Qp

æ ö÷ç ÷- + -ç ÷ç- ÷ç ÷º ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + - ÷ç ÷çè ø

1 4 48

4 .

(5.2.13)De esta manera podemos escribir la ecuación (5.2.5) como

( )c t n jHrm rm rm rmp Q Q p Q- - + = -8 8 (5.2.14)

y podemos considerar H como el tensor energía impulso de la gravitación. El tensorenergía impulso de la corriente material jQ es equivalente a la suma total de lascontribuciones de energía e impulso de los campos geométricos. El tensor energíaimpulso de los campos incluye términos que son equivalentes a la energía impulsoasociada al movimiento de la corriente material (partículas). Es una cuestión deconveniencia en las teorías clásicas el considerar que esta energía impulso se halle


bien en el campo o bien en la materia. En la teoría geométrica esta ecuación se consideracomo una ecuación de balance de energía impulso más bien que la propia ecuación decampo.

5.2.2. La Ecuación de Einstein.Hay una expresión alterna de H obtenida descomponiendo el tensor de Riemann en

términos del tensor de Weyl, el tensor de Ricci y el escalar R, usando la expresión

[ ] [ ][ ] [ ]

n n n nR C R Rba ba b a b amn mn m n m nd d d= + -

123

. (5.2.15)

De nuevo debemos apuntar que estamos considerando el tensor de curvatura so(3,1)en lugar del tensor más general de curvatura gl(4,r) también llamado de Riemann porotros. El término cuadrático en C se anula [6],

n n n nC C g C Cb a l b a nlakl bm mk anl b- =

1 04

, (5.2.16)

y no contribuye a H. Las otras contribucionaes al primer término de nH se convierten en

n n n n n n n n nR R R R g R R g R R Cb a n am al

amn bk mk mk am mk amlk= - - + -21 1 1 23 2 6

(5.2.17)obteniendo finalmente

nn n n n nRH R g R C Rk l

rm rm rm mlr k

æ ö- ÷ç= - -÷ç ÷çè ø1 2

3 4 . (5.2.18)

La última expresión implica que se puede escribir formalmente en términos del tensor deEinstein Gmn.

nn n n n nRH G g R g C Rk l

rm rm rm rm rm mlr kW Wæ ö- ÷ç= + + - -÷ç ÷çè ø

1 1 23 4 4

. (5.2.19)

Debido a la ilinealidad de las ecuaciones hay una contribución de la gravitación a su mismafuente. Podemos separar H en una parte dependiente de G, que represente a la gravitación, yuna parte complementaria, que represente una contribución geométrica al tensor de energíaimpulso,

n ng n n nR R

g g C Rk lmr rm rm rm mlr k

WQ W

p

é ùæ ö÷çê ú÷º + - +ç ÷ê úç ÷çè øë û

1 28 3 4 4 (5.2.20)


y representar la ecuación (5.2.14) como una ecuación de Einstein. Los diferentes términosQ de campos se pueden agrupar juntos; definiendo un tensor geométrico generalizadototal de energía impulso de los campos externos, designado por Qmn. La ecuación (5.2.1)se puede escribir

( )n

g t c jRGrm rm rm rm rmp Q Q Q p Q+ + + =8 8

3 . (5.2.21)

Esta es una ecuación de Einstein generalizada con tensores geométricos de energíaimpulso. Sin embargo, como en la ecuación (5.2.1), el tensor energía impulso jQ de lacorriente material es equivalente al total de contribuciones de energía e impulso de loscampos geométricos incluyendo al tensor de Einstein. Si nR no es cero podemos escribirformalmente esta ecuación de Einstein,

( )j c g tn n

G GTR Rrm rm rm rm rm rm rmp Q Q Q Q p Q p= - - - º º3 38 8 8 , (5.2.22)

la cual define dos tensores de energía impulso: el geométrico Q y el clásico T. El tensor deenergía impulso geométrico tiene términos que reflejan la energía y el movimiento de la materiay los potenciales de la interacción en una manera similar a situaciones físicas conocidas. Sinembargo, es posible que incluya términos geométricos desconocidos que puedan relacionarsecon las llamadas materia y energía oscuras. En ciertas situaciones fenomenológicasmacroscópicas es también posible que este tensor se convierta solamente en una combinaciónde los tensores que usualmente se usan en astrofísica. En cualquier caso, la diferencia fundamentalradica en la presencia de nR en lugar de G en la ecuación, causada por su estructura cuadrática.

Debe observarse como dijimos anteriormente, que esta ecuación debe ser consideradauna ecuación de balance de energía e impulso en lugar de la propia ecuación de campo.Sin embargo, la conservación del tensor G con respecto a la conexión de Levi-Civitainducida en el fibrado TM implica la conservación de un tensor definido por

nGR

rmrm

r r

Qp

æ ö÷ç ÷ = =ç ÷ç ÷çè ø38 0 . (5.2.23)

Debe haber compatibilidad de estas ecuaciones resultantes con aquellas obtenidas dela conservación de la corriente J, que determinan ecuaciones de movimiento [3, 4]. Si eltensor de energía impulso se descompone en términos de una expansión multipolarencontramos las ecuaciones usuales de movimiento [12]: la ecuación geodésica para unmonopolo, las ecuaciones para una partícula rotante y otras ecuaciones multipolaresde movimiento.

Para el caso de una teoría de gravitación métrica pura, no hay campos cocientes nitorsión. Tenemos entonces


( )j g mGR Rrm rm rm rmp Q Q p Q= - º3 38 8 (5.2.24)

donde hemos definido el tensor energía impulso mQ de la corriente material.Adicionalmente, en el vacío no hay corriente material. Sólo gQ permanece y

encontramos de vuelta la ecuación de Stephenson-Yang para el vacío,

RH R g R C Rk l

rm rm rm mlr k

æ ö- ÷ç= - - =÷ç ÷çè ø1 2 0

3 4 . (5.2.25)

Fairchild ha mostrado [6] que un Hmn nulo implica, en la teoría Yang, que las únicassoluciones posibles de espacio vacío son los espacios de Einstein, eliminando lassoluciones excepcionales estáticas y esféricamente simétricas dadas por Thomson [9]y Pavelle [7,8]. Una manera simple de probar esto aquí es descomponer Rmn en suspartes con traza y sin traza.

RR g Prm rm rm= +

4(5.2.26)

y substituir en (5.2.25)

RH P C Pk l

rm rm m r lk

-= - =2 0

3 . (5.2.27)

Esta ecuación se puede escribir como una ecuación de autovalores para un operadorC con autovector P

RCP P

æ ö- ÷ç= ÷ç ÷çè ø6 . (5.2.28)

Las matrices simétricas sin traza P están subtendidas por un espacio l inealnonadimensional. El conjunto de componentes diagonales del operador matricial C,99, se anula en cualquier sistema de coordenadas reales debido a las propiedades deltensor de Weyl. Por otro lado, para reproducir un autovector que no sea nulo por laacción del operador, es necesario que exista un sistema de coordenadas reales donde Csea una matriz diagonal que no se anule. Como no existe tal sistema la única solución de(5.2.28) es que el autovector P sea el vector cero. La expresión de la ecuación (5.2.26),con P igual a cero define los espacios de Einstein. Estos espacios claramente satisfacenla ecuación (5.2.25) y por lo tanto son las únicas solucionespuramete gravitacionales devacío posibles en esta teoría. Ellas corresponden a la ecuación de Einstein con constantecosmológica.


5.3. Ecuaciones para una SoluciónInterna Geométrica de Schwarzschild.

Si suponemos simetría esférica, la métrica toma la forma,

d e dt e dr r dF jt W= - -2 2 2 2 2 2 , (5.3.1)Bajo estas condiciones, se puede determinar una solución interna para la teoría de

Einstein resolviendo las ecuaciones siguientes:1. El componente temporal de del tensor de Einstein G00;2. El componente radial del tensor de Einstein G11;3. La conservación del tensor energía impulso;4. La ecuación de estado de la materia.

En nuestra teoría tenemos esencialmente los mismos requisitos.Primero calculamos los valores necesarios de Gmn con respecto a una base ortonormal

[13]. Para la componente temporal se tiene,

( )( ) ˆ ˆˆ ˆ n

e de dG r e

r r r dr r dr R

j jj Q

p- -

-æ ö÷ç ÷= - - = - =ç ÷ç ÷çè ø

2 2002

2 2 200

31 1 1 1 8 , (5.3.2)

donde el lado derecho es solamente una función de r y se puede integrar,

( )( ) ( )ˆ ˆrr

n

rdr der e Gdr r

R drjjQ

p --æ ö÷ç =÷ = -- ºç ÷ç ÷çè ø òò 222 00

00

3114

22 , (5.3.3)

definiendo la masa de Schwarzschild que es la masa gravitacional activa macroscópicade la solución, usando una constante G que mantenemos indeterminada. El potencialesférico newtoniano dentro de la distribución de materia se puede tomar como

( )G r

rj º -0

, (5.3.4)

obteniendo la siguiente expresión dentro de la distribución interna de materia,

( )G re

rj j- = - = +2

0

21 1 2

. (5.3.5)

En segundo lugar tenemos la componente radial,

ˆ ˆˆ ˆ n

e e dG

r r r dr R

j j QFp

- -æ ö÷ç ÷= - + =ç ÷ç ÷çè ø

2 211

2 211

31 2 8 , (5.3.6)


que puede resolverse para la derivada de F,

( )

( )( )

ˆ ˆnG r rRd

dr r r G r

Qp

Fæ ö÷ç+ ÷ç ÷çè ø

=-

3 1134

2

, (5.3.7)

donde hemos usado la definición previa de .En tercer lugar tenemos la conservación del tensor de Einstein, con respecto a la

conexión inducida de Levi-Civita en el fibrado TM, que implica una ley de conservaciónsimilar para el lado derecho de la ecuación (5.2.22)

nR

rm

m

Qæ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø0 . (5.3.8)

Finalmente, en vez de la ecuación de estado se tiene una expresión geométrica paraQ determinada por soluciones de las tres ecuaciones geométricas ilineales acopladas,incluyendo la que se reduce a la ecuación cuántica de Dirac. Como estas ecuaciones sederivan de un principio variacional, esperamos que sean consistentes entre ellas y quejunto con condiciones apropiadas de borde determinen una solución interna geométricade Schwarzschild. Debe indicarse aquí que esto es una consecuencia de tener un tensorenergía impulso geométrico como aspiraba Einstein para una teoría completamentegeométrica. Además, podemos suponer que macroscópicamente la fuente geométricadebe contener las propiedades fenomenológicas conocidas de la materia microscópica,por ejemplo, la ecuación de estado para un fluido. En esta aproximación, el problema sereduciría al problema interno macroscópico usual en relatividad general.

La solución geométrica interna esférica debe ser empalmada con la solución externa(de vacío) de Schwarzschild en el borde esférico. Debido a las ecuaciones de vacíoafuera de la distribución esférica de materia, se conoce que en el exterior

g e eF j j-= = = +2 200 01 2 , (5.3.9)

lo cual relaciona la métrica externa de Schwarzschild con el potencial gravitacionalnewtoniano esférico, donde G es una constante relacionada con la masa gravitacionalactiva total dentro del borde esférico. Así, la solución exterior correspondiente satisfacelos requisitos físicos del campo gravitacional de un cuerpo masivo esférico.

5.4. El Límite Newtoniano.Es usual suponer, como aproximación newtoniana, que los parámetros característicos

de una solución de la ecuación de Einstein, v/c1, j1, son de orden e2 [14] en funciónde un parámetro adimensionado pequeño e. Este parámetro pequeño e se puede


relacionar con la tétrada ortonormal u, y caracterizar así la propagación de disturbiosgravitacionales. El límite newtoniano de las teorías de gravitación del tipo de Einsteinse discute in detalle en el apéndice F. Allí se muestra que, en el límite e0, la métrica sehace singular en e. Sin embargo la conexión permanece regular en el límite y define unaconexión afín newtoniana que no está relacionada con una métrica. Como hemos tomadola conexión como la representación fundamental de la gravitación, podemos definirapropiadamente el l ímite gravi tacional . El tensor newtoniano de curvaturacorrespondiente es el límite del tensor de Riemann. La proyección de este tensor en lashipersuperficies tridimensionales de tiempo t define en ellas un tensor de Riemann queno es necesariamente plano.

Sin embargo, hay hipótesis acerca del tensor energía impulso que determinan que elespacio tridimensional de Newton es plano. En este caso, las componentes 0G00

a de laconexión límite que no se anulan darían las únicas componentes del tensor de curvaturaque determinan la ecuación de Poisson.

En la teoría geométrica, el límite newtoniano e0 debe obtenerse de la ec. (5.2.22).El escalar de curvatura R puede ser singular en el límite debido a la singularidad en lamétrica. Es posible hacer hipótesis sobre la geometría para evitar esta singularidad,pero también es posible dejar que la geometría se determine por el tensor energíaimpulso, haciendo hipótesis de regularidad sobre este último tensor. En la teoría deEinstein esta singularidad se puede manejar moviéndola al tensor energía impulso

R g R g R g T Tmn mnmn mn mnk k

æ ö÷ç- = - = =÷ç ÷çè ø12

, (5.4.1)

R T g Tmn mn mnkæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

12

. (5.4.2)

En el límite la relación entre los escalares R y T se rompe debido a la singularidad en lamétrica. Cuando se toma el límite newtoniano, se supone que el tensor energía impulsotiene tales propiedades que hacen posible evitar la singularidad en R.

Realmente, podemos hacer lo mismo para manejar la posible singularidad de R,presente en el tensor de Einstein G, adjuntándola a Q. Equivalentemente también esposible mover el término del lado izquierdo al lado derecho. También suponemos, comoen la teoría de Einstein, que el tensor energía impulso contravariante permanece regularen el límite. Como se muestra en el apéndice F, el tensor de curvatura en el límite, entérminos de un vector tiempo ortogonal a una superficie, es

( )limR T t t t t T t t t tab abmn a b m n a b m ne

k e k

æ ö÷ç= + =÷ç ÷çè ø0 2 0 0

0

1 12 2

. (5.4.3)

Como en la teoría de Einstein, las hipersuperficies curvas de tiempo se hacen planas


en el límite porque la ecuación de campo

( )lim lim limmn mn m n mnR R g g T g g Tab aba b abe e e

k e

æ ö÷ç= = - = =÷ç ÷çè ø0 2

0 0 0

1 02

(5.4.4 )

determina que el correspondiente tensor de Riemann tridimensional R0 es cero en ellímite. Similarmente las otras componentes espaciales del tensor de Riemann R tambiénse anulan y el vector tiempo tm se hace ortogonal a estas hipersuperficies. Así,obtenemos la ecuación para la única componente geométrica del tensor de Riemann enel límite,

ˆ ˆlimn

RRe

Qp

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø00

00 0

382

. (5.4.5)

En el límite, como se muestra en el apéndice F, obtenemos la ecuación de Poisson,

ˆ ˆlimaa nRe

Q¶ ¶ j p

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø00

0

34 , (5.4.6)

donde claramente el límite newtoniano de la expresión en paréntesis debe ser interpretado comola densidad newtoniana de masa rG. Una diferencia esencial con la teoría de Einstein es laaparición explícita del escalar nR en esta ecuación. Al acercarse al límite newtoniano este escalarde curvatura cuatridimensional nR puede ser singular de orden e-2, debido a la métrica como seindicó anteriormente. En otras palabras, aumenta como

lim limn

n RR

e e e

æ ö÷ç ÷= - ¹ç ÷ç ÷çè ø20 00 (5.4.7)

en términos de un escalar de curvatura tridimensional de las hipersuperficies de tiempo.Sin embargo es posible tener soluciones tales que el valor regular del escalar nR en ellímite dependa de la curvatura de una solución afuera del límite newtoniano plano.

El límite de las ecuaciones de campo determina, usando la regularidad del tensorenergía impulso, que el tensor curvatura tridimensional debe ser de orden e2, como indicala ecuación (5.4.4 ). Debe haber una solución física relativística, afuera del límitenewtoniano, donde las hipersuperficies de tiempo tengan una curvatura isotrópica deorden e2. Este espacio debe ser un espacio simétrico. En el capítulo 12 se muestra unasolución que cumple con estos requisitos. La curvatura correspondiente suministra unadistancia característica indeterminada l, por ejemplo,

ˆˆˆˆ

nR e ea bmn m nab

h l-= 234

. (5.4.8)


Debemos tener un parámetro de curvatura positivo definido, l2, para relacionarlo con laconstante gravitacional. En el límite newtoniano los vectores de la triada, que determinanla métrica espacial, son de orden e y obtenemos

ˆˆˆˆ

n a bmn m n mnab

vR e e h

cd l e l- -= - º -

20 0 2 2 2

23 34 4

, (5.4.9)

donde v es una velocidad característica de la solución. A velocidades muy pequeñasesta solución física relativística es aproximadamente igual a la solución límite newtoniana.

En el límite newtoniano no existe la singularidad e2 en nR y éste toma el valor 3l-2. Lasdensidades geométrica y clásica determinan una relación entre la constante gravitacionalnewtoniana G y el parámetro constante de curvatura l2,

lim limn

GRe e

Ql Q r

= º200

000 0

3 . (5.4.10)

Una curvatura de orden e2 en la hipersuperficie de tiempo original de la solución físicarelativística puede producir un valor grande en el límite del escalar nR y consecuentementerelacionarse con una constante gravitacional G pequeña en el límite newtoniano. Esteescalar está geométricamente relacionado con el parámetro de curvatura l de unahipersuperficie hiperbólica que en el límite newtoniano se convierte en el espacionewtoniano plano.

La densidad expresada en la ecuación (5.4.6) concuerda con la definición de la masatotal de la solución esférica dada in la sección anterior, ecuación (5.3.3). En otraspalabras la densidad de materia, correspondiente a la fuente de la ecuación de Poissonen la teoría de Newton, determina por integración la masa total de la solución deSchwarzschild.

5.5. Resumen.La ecuación de Einstein con constante cosmológica en la relatividad general se

obtiene de la ecuación de energía impulso para un espacio vacío. Para espacios conmateria obtenemos una ecuación de Einstein generalizada (5.2.22) que relaciona el tensorde Einstein Gmn con un tensor geométrico de energía impulso Qmn. Para una solucióninterna con simetría esférica la masa de un cuerpo se puede definir en términos deintegrales de energía-masa, como en la teoría de Einstein. La solución externacorrespondiente concuerda con las pruebas estándares de la relatividad. Adicionalmenteexiste el límite newtoniano donde se obtiene la ecuación de Poisson correspondiente,en función de una densidad geométrica de energía relacionada, por una distanciacaracterística l y la constante gravitacional G, con la densidad clásica de energía.


Referencias

1 A. Einstein The Meaning of Relativity, 5th ed. (Princeton Univ. Press, Princeton), p. 98(1956).

2 G. González-Martín, Phys. Rev. D 35, 1225 (1987). Vea el capítulo 3. 3 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990). Vea el capítulo 3. 4 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea el capítulo 7. 5 C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974). 6 E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976). 7 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 34, 1114 (1975). 8 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 37, 961 (1976). 9 A. H. Thompson, Phys. Rev. Lett. 34, 507 (1975).10 G. González-Martín, USB preprint, 01b (2001) y ArXiv gr-qc/0007066.11 G. Stephenson, Nuovo Cimento 9, 263 (1958).12 W. Tulczyjew, Acta Phys. Pol. 18, 393 (1959).13 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),

p. 602 (1973).14W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),

p. 412 (1973).

6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS.

6.1. Introducción.¿Podemos obtener la teoría cuántica de campos de esta geometría sin recurrir a la

mecánica cuántica o clásica? Esta pregunta está en línea con la aspiración ideal indicadapor Schrödinger [1].

Los resultados de trabajos previos, que suministran una posible unificación de lagravitación, el electromagnetismo y la ecuación de Dirac, apoyan la esperanza de obtenermás resultados interesantes del análisis de la teoría geométrica, en particular acerca de losfenómenos cuánticos. Se puede mostrar que las secciones admiten una interpretación similara la de funciones de onda generalizadas. Los procedimientos para determinar resultadosfísicos en la teoría cuántica podrían surgir canónicamente de las propiedades geométricasde la teoría.

En la teoría cuántica, los campos se consideran operadores que forman un álgebra.Parece posible que esta surja de las propiedades geométricas de secciones en un fibradoprincipal, que están relacionadas con elementos de un grupo. Discutimos ahora estascuestiones que lucen interesantes porque el álgebra de Clifford, asociada al grupo, tieneuna estructura algebraica anticonmutativa.

Los postulados de la mecánica clásica de Newton [2] están basados en el concepto departículas puntuales y el movimiento libre a lo largo de las rectas de la geometría euclidiana.Un campo clásico se ve usualmente como un sistema mecánico donde se aplica la mecánicaclásica. Con el advenimiento de la relatividad general y las teorías de calibre, debe existirun reconocimiento que la geometría del mundo físico no es tan simple como la suministradapor la geometría griega clásica. La idea de una geometría física determinada por ladistribución de masa y energía [3, 4] es atractiva como criterio para establecer las leyesfundamentales de la naturaleza.

Fue natural cuando nació la mecánica cuántica, [5, 6] basar su desarrollo en la mecánicaclásica y la geometría euclidiana. Los postulados revelaron las dificultades en la mediciónsimultánea de la posición y velocidad de una partícula puntual. Otro enfoque, enretrospectiva, puede ser el convencimiento que una partícula no es el elemento geométricoapropiado sobre el cual sobreponer postulados físicos. El concepto de campo es cercano alas ideas geométricas modernas y apunta en la dirección de establecer los postulados enuna geometría general alejada de prejuicios introducidos por la geometría clásica y lamecánica clásica.

En consecuencia discutiremos una generalización de la teoría de campos, directamentehacia la geometría, rehusando el paso intermedio de la mecánica. ¿Por que debemosintroducir estos conceptos intermedios cuya necesidad de revisión es revelada por la historiade la física relativista y cuántica? La mecánica puede ser vista, antes que una teoría

69Cuantización de Campos

fundamental, como una simplificación cuando la evolución de la materia puede seraproximada por el movimiento de un punto.

6.2. Linealización de Campos.En la teoría de conexiones y poliadas desarrollada en los capítulos anteriores, donde las

ecuaciones fundamentales son

D k JW* *= , (6.2.1)

!J e edx dx dxm a b g

abgme k* = 13

, (6.2.2)

ˆê u em a m

m m ak k + =2 0 , (6.2.3)

los campos materiales son representados por la copoliada e que es una sección de unfibrado principal E. La interacción se representa por una conexión con forma decurvatura W. Ambos objetos, la copoliada y la conexión, son determinados por lasecuaciones, en términos de una base ortonormal u y un subconjunto ortonormal k quegenera al álgebra geométrica [7] asociada al espacio tiempo.

Si introducimos el fibrado de conexiones W, una conexión w puede tomarse comouna sección de este fibrado afín. Cuando consideramos una ecuación que relacione laconexión y la poliada, estamos lidiando con variedades diferenciales de secciones delos fibrados E, W y operadores diferenciales ilineales que definen aplicacionesdiferenciables entre estas variedades de secciones. La técnica necesaria para atacarestos problemas es conocida con el nombre de análisis global ilineal [8].

Generalmente se acepta que el proceso de cuantización requiere de la existencia deuna teoría de la mecánica clásica que se cuantiza por ciertas reglas fundamentales. Ensu lugar, pensamos que una geometría relacionada con la física da origen a los campos yen forma aproximada a ambas teorías, la clásica y la cuántica.

Hacemos la conjetura que el proceso de cuantización de campo es la técnica dereemplazar este problema ilineal, recién indicado, por un problema lineal obtenidopor variaciones de las aplicaciones ilineales, reduciendo las variedades diferenciablesde secciones de Banach, a espacios lineales de Banach y las aplicaciones ilinealesentre variedades de secciones, a aplicaciones lineales entre los espacios de funciones.

Desde un punto de vista geométrico, esto significa trabajar en el espacio tangentea estas variedades de secciones en un “punto” (sección) definido.

Hay ciertas variedades, convenientes para trabajar con secciones de fibrados,llamados los fibrados jetados de orden k, indicados por JkE, que son esencialmentevariedades de secciones iguales en un punto módulo derivadas [9] de orden mayor quek+1. De particular interés es la variedad de soluciones g, que es la subvariedad detodas las secciones que satisfacen una ecuación diferencial dada. Las secciones


obtenidas de una solución por la acción del grupo de estructura son solucionesequivalentes. El cociente de g por esta relación de equivalencia es la solución física.

Si tenemos un problema variacional, sus secciones críticas (soluciones) se puedencaracterizar geométricamente en la forma siguiente: Una sección s es crítica si y sólo sila forma de Euler-Lagrange es cero en la prolongación 1-jeta [9] js de la sección s,

( )js

D fL h+ = 0 . (6.2.4)

El conjunto de todas las secciones críticas forma la variedad diferenciable g desoluciones del problema variacional. En esta variedad hay campos vectoriales cuyoflujo genera el espacio de soluciones. Estos campos son secciones del espacio tangenteTg. En vez de estudiar g es posible estudiar los espacios lineales Tgs. Podemos introduciren Tg un vector y que represente una solución de la ecuación variada asociada. Uncampo “operador cuántico” se puede relacionar a un campo de Jacobi en los fibradosen consideración.

Realmente una solución a la ecuación corresponde a una aplicación entre ambasvariedades de soluciones: una gE, correspondiente al fibrado E, que representa unasolución de la poliada material y la otra gW, correspondiente al fibrado W, que representauna solución de la conexión de interacción. Una sola variedad de soluciones se puedeobtener combinando gE y gW, dentro de una variedad producto relacionada con E y W,pero esto nos llevaría a complicaciones matemáticas innecesarias para nuestropropósito. Aquí consideraremos separadamente las variedades.

6.3. Soluciones Poliádicas.Para la variedad de soluciones de poliadas gE consideremos su tangente Tg.

Definimos un campo vectorial de Jacobi como una sección Vs, del fibrado s*TvEinducido por la sección s del subfibrado vertical de TE, de forma que la correspondienteextensión 1-jeta satisfaga

( )jV D fL h+ = 0 . (6.3.1)

Aquí indica la derivada de Lie. El espacio de todos los campos vectoriales deJacobi forma el espacio tangente a g en una sección dada y se denota por Tgs. Laúltima ecuación es una linealización de la ecuación ilineal (6.2.4) que es la mismaec.(6.2.1) en otra forma. Un campo de Jacobi se puede ver como el vector tangente auna curva diferenciable de soluciones st de la ecuación ilineal en una solución dada s.Cuando se tiene esa curva, podemos considerarla como la curva integral de un campovectorial extendido de Jacobi V que toma los valores Vs, en cada punto de la curva.

La fibra del fibrado E es el grupo SL(2,). El álgebra de Lie de este grupo estáenvuelta por el álgebra geométrica de Clifford A con el producto natural de las matricesdel subconjunto ortonormal del álgebra de Clifford. Los elementos de A se puedenexpresar como polinomios de cuarto grado en términos de este subconjunto ortonormal.


Cuando las variaciones se toman en la forma usual, en términos de las coordenadasde la fibra, las propiedades algebraicas de la fibra no se utilizan completamente en lateoría. Para extraer la información adicional contenida en la fibra que, aparte de seruna variedad, está relacionada con el álgebra A, notemos que en muchos casos tenemosque trabajar con el elemento representativo en la fibra por los homeomorfismos delfibrado. Estamos lidiando con elementos de G.

Los espacios verticales de s*TvE son homeomorfos al espacio vertical de TG. Estosignifica que la fibra de s*TvE es A, tomada como un espacio vectorial. La asociaciónde la estructura algebraica de A con los espacios verticales de s*TvE depende de laimagen de la sección s en G dada por los homoemorfismos del fibrado principal.

Cuando se escoge una poliada de observación, el homeomorfismo local queda fijoy la estructura algebraica de A puede ser asignada a los espacios verticales. Unavariación del observador h produce un efecto equivalente a una variación de la seccións, y debe tomarse en consideración. La variación física total es debida a la variaciónde la sección y/o una variación del observador en la composición de aplicaciones hos,definida en una carta local U

( ):h s U U G G¢ ´ ´ . (6.3.2)

Una variación de hos se representa por un vector variación, un vector de Jacobigeneralizado, valuado en el álgebra de Clifford.

Estamos trabajando con una doble estructura algebraica, una relacionada con elálgebra A, de la fibra de TE y la otra relacionada con el álgebra de Lie de los camposvectoriales en el fibrado jetado JE. Esto nos permite asignar una estructura algebraicacanónica a los campos de Jacobi, que debe definirse en términos de estas estructurasnaturales en cada uno de estos espacios relacionados.

Por ejemplo, si usamos ambas estructuras algebraicas y calculamos el siguienteconmutador de vectores,

,x ym nk ¶ k ¶é ùê úë û0 1 , (6.3.3)

donde m, v son coordenadas en el fibrado jetado y x, y las componentes, el resultadono es un vector debido a las propiedades conmutativas del subconjunto ortonormal,Sin embargo si calculamos el anticonmutador el resultado sí es un vector.

En particular, también se conoce [10] que el álgebra de Clifford, tomada como unespacio vectorial gradado, es isomorfa al álgebra exterior del espacio tangente asociado,que en nuestro caso es *TM. Hay dos productos canónicos, llamados los productosexterior e interior que pueden ser definidos entre cualquier par de monomios del álgebrausando el producto de Clifford. Para cualquier elemento ka del subconjunto ortonormalel producto de un monomio a de grado p por ka es una aplicación

: p p pA A Aak + - +1 1 . (6.3.4)


La primera componente de la aplicación es el producto exterior ka a y la segundacomponente es el producto interior kaa. Entonces podemos escribir

a a aa a ak k k= + . (6.3.5)

Debido a la propiedad asociativa del producto de Clifford podemos extender estadescomposición a productos de monomios. Se puede definir el grado del producto ab,indicado por gr(ab), como el número de productos interiores en el producto de Clifford.El grado es el número de elementos comunes en el monomio.

Por ejemplo, (k0k1) (k2k0k3) es de grado uno. Esta descomposición puede seraplicada al producto de cualquier par de elementos de A. Es claro que el grado máximoes el número de elementos del subconjunto ortonormal y que el producto de gradocero es el producto exterior.

El uso del producto exterior en vez del producto de Clifford convierte el álgebra A enun álgebra de Grassmann, isomorfa al álgebra exterior de las formas diferenciales enlos espacios tangentes. Este hecho nos lleva a buscar una gradación de la estructuradel álgebra de Lie [11].

El grupo de estructura de la teoría es el grupo simple de los automorfismos internosdel álgebra de Clifford. En este sentido el grupo, su álgebra de Lie y sus productosrespectivos surgen del álgebra de Clifford. De hecho, el corchete de Lie es igual alconmutador de productos de Clifford. Para evitar un factor innecesario de 2 podemosdefinir el producto de Lie como el producto antisimetrizado. (1/2 del conmutador).

Podemos notar que los elementos de A también satisfacen los postulados para formarun anillo, en la misma forma que los números complejos pueden considerarse comoun álgebra sobre o como un cuerpo. De esta manera los elementos de A juegan elpapel de números generalizados, los números de Clifford. Los candidatos para elproducto en el anillo son naturalmente el producto geométrico de Clifford, el productoexterior de Grassmann, el producto interior y el producto de Lie. Como mencionamostodos estos productos surgen del producto de Clifford. De hecho, para dos monomioscualquiera a, b Î A, todos los otros productos a⋅b, si no son cero, son iguales alproducto de Clifford ab. El producto de Clifford es mas general y fundamental y losotros se pueden obtener como restricciones de éste. Adicionalmente el producto de Lieno es asociativo y pudiera necesitar generalizaciones de las estructuras algebraicas.Por otro lado el fibrado de poliadas, E, es un fibrado principal y su fibrado tangente TEvertical tiene como fibra una estructura de álgebra de Lie heredada del grupo, y seríamás natural que el producto fuese cerrado en el álgebra de forma que los resultadostambién estuvieran valuados en el álgebra de Lie. Por el momento tomaremos el productogeométrico de Clifford como el producto mas general de la estructura de anillo de A yespecializaremos a los otros productos cuando fuere necesario.

Es conveniente, entonces, trabajar con el álgebra asociativa, envolvente universaldel álgebra de Lie, de los campos vectoriales . De esta manera se tiene un productoasociativo definido y podemos representar los corchetes como conmutadores de losvectores. El conjunto de vectores verticales en JE se puede tomar como un módulo


sobre el anillo A. Usando la estructura algebraica canónica podemos definir unaoperación corchete en los elementos del producto A´. Para cualquier monomio a,b,gÎ A y V,W,Z Î , definimos

{ } [ ], ,V W V W Za b a b g= · ´ = , (6.3.6)

convirtiendo el módulo en un álgebra . Este corchete satisface,

{ } ( ) { }, ,V W W Vaba b b a= - -1 , (6.3.7)

( ) { }{ } ( ) { }{ }( ) { }{ }

, , , ,

, ,

V W Z W Z V

Z V W

ga ab

bg

a b g b g a

g a b

- + - +

- =

1 1

1 0 , (6.3.8)

donde |ab| es la gradación del producto ab o del corchete, e igual al número depermutaciones dado por

( )grab a b ab= - , (6.3.9)

en términos del |a| de los monomios A y del grado del producto ab. Para cualquier parde elementos y, F del álgebra que sean polinomios en A, el corchete se define comola suma de los corchetes de los monomios componentes,

{ } ( ) ( ){ },

, ,n m

n m

f y f y= å . (6.3.10)

Otra forma de ver esta operación corchete es considerar que la acción de un vectory sobre un campo escalar f en M da una sección a del fibrado AM, con A de fibra,

( ) aaf E f aa

aY y ¶= = . (6.3.11)

Con este entendido, el corchete de monomios vectoriales en A se pueden definir por suacción sobre las funciones como sigue:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),n m n m m nf f fFYF Y F Y Y F= + -1 . (6.3.12)

Esta definición concuerda con la anterior ec. (6.3.6). Para ver esto se descomponenlos vectores en términos de una base y se utiliza la primera definición.

Las fórmulas anteriores son válidas en general si restringimos el producto de Clifforda los productos exterior o interior tomando los números apropiados de permutacionespara cada caso. Por ejemplo en el caso del producto de Grassmann, gr(ab) es siemprecero. Si restringimos al producto de Lie, el corchete es siempre simétrico en la ec.(6.3.6) y en la identidad gradada de Jacobi ec. (6.3.8).


6.4. Soluciones de Conexión.Para la variedad de solución de conexiones gW procederemos en forma similar

tomando en consideración que el fibrado de conexiones W tiene una estructurageométrica diferente a la del fibrado de poliadas E.

Una conexión en el fibrado principal se puede definir por una dicotomía de lasecuencia exacta corta de fibrados vectoriales [12],

GAdE T E TMp ¾¾ 0 0 , (6.4.1)

donde la dicotomía

: GTM T E H Vw = Å (6.4.2)

es un homomorfismo que define los subespacios horizontales del fibrado principal.Esos subespacios horizontales definen una forma de conexión w.

Una conexión en E se puede identificar con una sección del fibrado de conexionesp:WM definido en el apéndice E. Se puede ver que cada punto wm del espacio verticalWm del fibrado W corresponde a un complemento de espacio vectorial de AdE en TGE.Se conoce [7] que un espacio de complementos lineales de un subespacio vectorialtiene una estructura afín natural. Por lo tanto, la fibra de W es un espacio afín conparte lineal L(TGE/AdE, AdE) » L(TM, AdE).

Definimos los campos vectoriales de Jacobi Vs, como secciones de s*TvW yasociamos operadores cuánticos a las prolongaciones de los vectores extendidos deJacobi. En este caso surge una diferencia debido a la estructura algebraica de la fibrade W, que no es un fibrado principal, y difiere de la estructura de la fibra de E. Unaconexión en E se define dando una sección en W. Esto define un subespacio vectorialhorizontal en TE . La fibra de la variedad de conexiones W es el espacio decomplementos del espacio vertical en TGEe. La fibra de W es un espacio afín y podemosdecir que W es un fibrado afín.

Intuitivamente, podemos considerar un espacio afín como un plano P de ndimensiones sin un origen definido. La estructura afín de este espacio permite quecualquier punto o Î P sea definido como el origen, convirtiendo el plano en un espaciovectorial V,

:P VQ 0 . (6.4.3)

La estructura algebraica del espacio tangente a la fibra de W es entonces isomorfa aTPp y consecuentemente isomorfa a V con la operación usual de adición de vectores.Correspondientemente los vectores verticales en JW forman un espacio vectorial sobreun anillo conmutativo y el corchete definido in la sección anterior se reduce al corchetede Lie, porque no hay permutación de signo bajo la conmutación.


6.5. El Corchete como Derivación.En ambos casos tenemos que el corchete se define utilizando el producto geométrico

natural relacionado con las estructuras algebraicas de las fibras de los correspondientesfibrados E y W.

Es claro que el corchete es una derivación,

{ } { } ( ) { }, , ,XFX FY X F Y F X Y= + -1 , (6.5.1)

y que, por lo tanto, tenemos una generalización de la derivada de Lie con respecto a laprolongación de los vectores de Jacobi dada por

{ },jV jW jV jW= , (6.5.2)

donde el corchete es el anticonmutador o el conmutador dependiendo del número depermutaciones para las poliadas y siempre el conmutador para las conexiones. Estosignifica físicamente que los campos materiales deben ser fermiónicos y los camposde interacción deben ser bosónicos. Los operadores cuánticos en la teoría cuántica decampos se pueden identificar con la prolongación de los campos vectoriales extendidosde Jacobi.

El significado geométrico de estos corchetes, ec. (6.5.2), es equivalente al postuladode la teoría cuántica que da el cambio en un campo de operadores cuánticos F producidopor la transformación generada por otro operador Y. En el contexto presente, estaecuación no es un postulado separado, sino es solamente el resultado de aplicar laderivada con respecto a la dirección tangente a una curva en la variedad de solucionesg y se debe a la geometría de los fibrados.

La derivada se puede extender a formas tensoriales valuadas en el anillo A. Estasderivadas representan la variación de secciones a lo largo de una dirección en Tg, quecorresponde al generador de alguna transformación en el fibrado jetado a lo largo deuna dirección vertical.

La formalización geométrica de este problema variacional físico se puede hacerconstruyendo la extensión del espacio vectorial vertical TvEe a un módulo sobre elanillo A. En una manera similar a la complexificación de un espacio vectorialconsideramos el dual (TvEe)

* y se definen las aplicaciones

( ): veV T E A

* . (6.5.3)

Estas aplicaciones son elementos de un A-módulo derecho que designaremos comoATvE

e. Si formamos la unión de estos espacios sobre la variedad E obtenemos un fibrado

ATvEe sobre E.En adición podemos construir los fibrados ATvJEe sobre JE y s*TvE sobre M. La

versión geométrica estándar de las variaciones se puede generalizar a estas variacionesfísicas sustituyendo apropiadamente estos fibrados en vez de los fibrados TvE, TvJ y


s*TvE respectivamente, usando la derivada y tomando en cuenta los productosinconmutativos [9].

6.6. Teoría Geométrica de CamposCuánticos.

El operador corchete nos lleva a las relaciones de cuantización de la teoría cuánticade campos si se usa el principio de acción de Schwinger. El generador de una variaciónF se puede escribir en el formalismo de fibrados jetados por los términos apropiadosen la ec. (2.9), del apéndice D,

F jV Pµ , (6.6.1)

Se puede ver que los elementos que entran en la expresión son formas tensoriales enel fibrado jetado que heredan las propiedades algebraicas de la fibra y por lo tanto,tienen propiedades de operadores.

Las funciones generadoras F determinan las variaciones como se indica en la ec.(6.5.2). Escribiremos el generador F en la expresión estándar equivalente usada en lateoría cuántica [13], obteniendo,

( ) { } ( ), ,x F x dmm

s

dY Y y P dY sì üï ïï ï= = í ýï ïï ïî þ

ò , (6.6.2)

para las variaciones de los campos de operadores Y. En esta expresión reconocemosque los elementos son operadores cuánticos, como se definieron anteriormente, queobedecen la operación corchete definida. Si expresamos el corchete en esta relacióncomo en la ec. (6.5.1), obtenemos

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }, ,x x y y d y x y dm mm m

s s

dY Y P dY s P Y dY s= ò ò . (6.6.3)

Es claro que los conmutadores resultantes para los operadores de conexión yanticonmutadores o conmutadores para los operadores de poliadas no son otra cosaque las relaciones de conmutación en la teoría cuántica de campos para campos debosones y fermiones.

La última ecuación implica

( ) ( ){ },x yY dY = 0 , (6.6.4)

( ) ( ){ } ( ), ,x y x ym mY P d= - , (6.6.5)


donde el corchete se interpreta como conmutador o anticonmutador dependiendo de lagradación del corchete según el tipo de campo.

De esta formulación se hacen claras las razones geométricas para la existencia deambos tipos de campos, los bosónicos y los fermiónicos. Otra ventaja de estaformulación geométrica es que la naturaleza operacional de los campos puede serexplícitamente expresada en términos de los operadores vectoriales tangentes en elespacio de soluciones y las matrices del álgebra de Clifford.

Un vector tangente puede ser considerado como una acción infinitesimal sobrefunciones en una variedad. En particular, para la variedad g de secciones que sonsoluciones, el operador cuántico actúa sobre una sección de solución, que llamaremossolución de fondo o substrato, produciendo perturbaciones de la solución llamadasexcitaciones cuánticas. La sección de substrato puede tomar el lugar del vacío de lateoría cuántica convencional.

Si la variedad de secciones se toma como una variedad de Hilbert sus espaciostangentes son espacios lineales de Hilbert. Esto significa que los operadores cuánticos,que actúan en los espacios tangentes, actúan sobre espacios de Hilbert como se suponeen la teoría cuántica.

Si estas variedades de Hilbert en cuestión admiten secciones armónicas locales, sepueden introducir excitaciones armónicas fundamentales. Cualquier excitación arbitrariase puede descomponer linealmente en términos de estas excitaciones armónicas. Las ecs. (6.6.4,6.6.5) determinan reglas de conmutación para las amplitudes de las excitaciones armónicas quecorresponden a los operadores de creación, aniquilación y número de partículas de lasexcitaciones armónicas de campo en cada punto, con las propiedades de los correspondientesal oscilador armónico cuántico. La energía de las excitaciones armónicas de campos sepuede definir de la manera estándar llevándonos al concepto de una partícula cuántica.

Sin embargo, si este modelo geométrico se toma seriamente, la (segunda) cuantizaciónde campo se reduce a una técnica para calcular excitaciones de campos o perturbacionesa soluciones exactas de las ecuaciones geométricas teóricas. Podría haber otras técnicaspara calcular estas perturbaciones. De hecho, se conoce que algunos resultadoscuánticos se pueden obtener sin la cuantización del campo electromagnético. Véase,por ejemplo, una técnica alternativa a la EDC [14] donde el autocampo se toma comofundamental.

En la relatividad general, los términos de autorreacción no aparecen como unacaracterística separada pero si aparecen en las ecuaciones linealizadas obtenidasutilizando técnicas de perturbación. Una vez que la estructura geométrica, nofenomenológica, de la fuente J se conozca, la ecuación exacta de movimiento de loscampos descriptivos de la materia, incluyendo las partículas, sería la ley deconservación de J. Esta relación siendo una condición de integrabilidad de lasecuaciones de campo incluye todos los términos de autorreacción de la materia sobresí misma. No hay que preocuparse de los infinitos producidos por los términos deautorreacción. Un sistema físico estaría representado por campos materiales y deinteracción que son soluciones del conjunto de ecuaciones simultáneas. Cuando se


realiza una perturbación en las ecuaciones, por ejemplo para obtener ecuaciones lineales,la separación de las ecuaciones en ecuaciones de distinto orden introduce los conceptosdel campo producido por la fuente, fuerza producida por el campo y en consecuenciatérminos de autorreacción. No debemos ver los términos de reacción como fundamentalessino como una indicación de la necesidad de usar ecuaciones ilineales.

6.7. Resumen.Se demostró [15] que si tomamos en consideración la estructura geométrica de los

fibrados E y W, relacionada con la estructura algebraica de sus fibras, un proceso devariación de las ecuaciones de la teoría nos lleva a la interpretación de los camposextendidos de Jacobi como operadores cuánticos. Es posible definir una operacióncorchete que se convierte en los conmutadores para los vectores de Jacobi asociados ala conexión y en los anticonmutadores, según la gradación, para los asociados a lapoliada. Este corchete implica las relaciones de cuantización de la teoría cuántica decampos tanto para los campos bosónicos de interacción como para los camposfermiónicos materiales. El proceso de cuantización de campo es la técnica de reemplazarel problema geométrico ilineal por un problema lineal obtenido por variaciones de lasaplicaciones ilineales.

References

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7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS.

7.1. Introducción.La estructura geométrica de la teoría, en términos de una conexión que describe las

interacciones y una poliada que describe la materia, se determina por la ecuación de campoque relaciona la curvatura generalizada con la distribución de materia. Sin embargo, algunosaspectos de la teoría se pueden discutir por técnicas de grupo sin la necesidad de resolverlas ecuaciones.

Una consecuencia de la teoría es la asociación necesaria del electromagnetismo a unsubgrupo SU(2) del grupo de estructura de la teoría. Las condiciones de integrabilidad nosllevan a una ecuación que es una generalización de la ecuación de Dirac acoplada a laconexión.

El grupo de estructura de la teoría, SL(2,), de automorfismos del álgebra universal deClifford del espacio tangente en un punto, actúa sobre fibrados espinoriales y tienegeneradores que pueden representar otras interacciones, aparte de la gravitación y elelectromagnetismo.

Para dar una visión completa, los campos poliádicos deben representar la materia y enconsecuencia las excitaciones poliádicas deben representar partículas. La conexión actúasobre las excitaciones poliádicas y estas pueden considerarse representaciones lineales delgrupo. Dentro de este contexto, es de interés considerar las representaciones irreduciblesde este grupo y discutir su interpretación física y predicciones [1]. Representaciones degrupos relacionados han sido discutidas previamente [2].

7.2. Representaciones Inducidas delGrupo de Estructura G.

Las representaciones irreducibles de un grupo G se pueden inducir de las de un subgrupoH. Estas representaciones actúan sobre las secciones de un fibrado vectorial [3] sobre elespacio cociente M = G/H con fibra el espacio U de representaciones de H.

Es conveniente, entonces, considerar los subgrupos contenidos en SL(2,), en particularel subgrupo compacto maximal. Los subgrupos simples de mayor dimensión son lossiguientes:

1. El grupo de 10 dimensiones P, generado por ka, k[akb]. Este grupo es isomorfo alos subgrupos generados por k[akbkg], k[akb] y por k[akbkc], k[akb], k5;

2. El grupo de 6 dimensiones L, correspondiente a los generadores pares del álgebra,k[akb]. Este grupo es isomorfo a los subgrupos generados por ka, k[akb] y pork0k[akb], k[akb];


3. Hay dos subgrupos compactos generados por k[akb] y por k0, k5, k1k2k3.El subgrupo P es, de hecho, Sp(2,), homomorfo a Sp(4,), como se puede verificar

explícitamente mostrando que los generadores satisfacen los requisitos simplécticos [4].Este grupo es homomorfo a SO(3,2), un grupo de De Sitter. El subgrupo L es homomorfo aSL(2,). Los subgrupos compactos son ambos isomorfos a SU(2) y por lo tanto el subgrupocompacto maximal del grupo cubriente G es SU(2)SU(2) homomorfo a SO(4). Como semostró en la sección 3.7, la simetría interna de la cadena LPG, SU(2)U(1), coincide conla simetría de las interacciones débiles.

Representaciones irreducibles del grupo cubriente de SL(2,) pueden ser inducidas delsubgrupo maximal compacto. Estas representaciones están caracterizadas por los númeroscuánticos asociados a las representaciones irreducibles de ambos subgrupos SU(2). Estasrepresentaciones se pueden considerar secciones del fibrado homogéneo sobre el cocienteSL(4, ) /(SU(2)SU(2)) con fibra el espacio de representaciones de SU(2)SU(2).

Uno de los SU(2), que actúa en espacios espinoriales, está asociado al grupo derotaciones que actúa en el espacio de vectores. Sus representaciones irreducibles estáncaracterizadas por el número cuántico l del operador Casimir asociado L2, que representa elcuadrado del impulso angular. El otro SU(2), como se indica en capítulos anteriores, sepuede asociar al electromagnetismo. Tiene un operador Casimir C2, similar a L2 pero querepresenta la carga total generalizada, con un número cuántico c. Las representacionesirreducibles de SL(2,) tienen una tercera etiqueta que puede ser asociada a uno de losoperadores de Casimir de SL(2,), por ejemplo, el operador cuadrático M2 en el espaciosimétrico SL(4,)/SO(4).

Los estados de estas representaciones irreducibles de SL(2,) deben ser caracterizadospor enteros m, q que corresponden a partículas físicas con componente z de impulso angularm/2 y carga qe. Estos números cuánticos se estudiaran en detalle en las secciones 4 y 5.El precio pagado para obtener esta cuantización de carga es solamente la asociación delelectromagnetismo al segundo SU(2) en SL(2,). De hecho, esto puede ser una ventaja enuna teoría unificada de este tipo, donde puede llevarnos a nuevas representaciones defenómenos físicos. Debe apuntarse que el esquema de cuantización de carga de Dirac [5]exige la existencia de monopolos magnéticos. Este requisito no es parte de esta teoría.

Representaciones de SL(2,) también se pueden inducir de L, incluyendo naturalmentelas representaciones de espín de su subgrupo SU(2). Como L es un subgrupo de P, es másinteresante mirar las representaciones inducidas de P que incluyen, en particular, las de L.En algunas situaciones el grupo de holonomía de la conexión puede ser P= Sp(2,) ypodemos esperar que las representaciones inducidas de este grupo jueguen un papelinteresante. Debe estar claro que el cociente P/L es el espacio de De Sitter S- [6]. Lospuntos de S- se pueden ver como operadores de traslación en el mismo espacio S- de lamisma manera que en el espacio de Minkowski. Los operadores de Laplace-Beltrami en S-

tienen valores propios que deben corresponder a los conceptos de masa en este espaciocurvo. El grupo de isotropía en una traslación (punto) de S- es el subgrupo de rotacionesSO(3) para traslaciones en líneas dentro del 3-hipercono nulo y el subgrupo SO(2,1) para

81Carga y Flujo Cuantizados

traslaciones en líneas en el mismo 3-hipercono nulo. Las representaciones de SL(2,)inducidas del grupo de De Sitter P están caracterizadas por masa y espín o helicidad yexpresadas como secciones (funciones) de un fibrado sobre el 3-hiperboloide de masa o el3-hipercono nulo, respectivamente para representaciones masivas o de masa nula según sea elcaso. Estas representaciones son soluciones de la ecuación de Dirac en este espacio curvoy corresponden geométricamente a secciones de fibrados sobre subespacios del espacio deDe Sitter S-.

El grupo SO(3,2), homomorfo a Sp(2,), se contrae [4] a ISO(3,1) que es el grupo dePoincaré y podríamos tener representaciones aproximadas de SL(2,) relacionadas con elgrupo de Poincaré. Entonces las representaciones del producto directo del grupo pequeñode Wigner [7] por las traslaciones, se introducen aproximadamente en la teoría. El subgrupode isotropía SO(2,1) de P se contrae al subgrupo ISO(2) de ISO(3,1). Así, podríamos trabajarcon representaciones caracterizadas por masa y espín o helicidad expresadas como secciones(funciones) de un fibrado sobre el 3-hiperboloide de masa o el cono de luz, como sea elcaso. Debe quedar claro, de estas consideraciones grupales, que la ecuación estándar deDirac, que es una representación del grupo de Poincare, juega un papel aproximado en lateoría geométrica.

Debemos apuntar que el subgrupo de isotropía de P en una traslación de De Sitter (punto) enun subespacio nulo es el grupo de transformaciones que deja invariante los vectores nulostangentes en la traslación dada. El subgrupo de isotropía es SO(2,1) que actúa en el espaciocurvo de traslaciones de De Sitter o su contracción ISO(2) que actúa en el espacio plano detraslaciones de Minkowski. En ambos casos hay solamente un generador de rotacionescorrespondiente al subgrupo compacto SO(2) que es común en ambos subgrupos de isotropía.Por lo tanto, las representaciones de masa nula inducidas de P están caracterizadas por el valorpropio correspondiente o número cuántico de SO(2) que es conocido como helicidad. En el restode este capítulo nos restringiremos a representaciones masivas.

7.3. Subálgebras de Cartan.Debemos considerar la relación de las representaciones inducidas con aquellas

obtenidas usando la técnica de Cartan [8], en términos de generadores del espacio canónicodel álgebra, formado por un conjunto maximal de los elementos del álgebra que conmutanentre sí (subespacio de Cartan).

Para estudiar las representaciones irreducibles del grupo SL(2,), necesitamos introducirla extensión compleja de este grupo, o sea, SL(4,). El espacio de Cartan del álgebra complejasl(4,), también conocido como el espacio de raíces A3, describe las relaciones deconmutación de los generadores canónicos de Cartan de este álgebra compleja y sus formasreales sl(4,), su(4), su(3,1), su(2,2) y su*(4) [9]. En particular, la forma real sl(4,) es laforma real menos compacta de sl(4,).

En la representación definitoria, los elementos de sl(4,) son matrices complejas sintraza. En la restricción a variables reales, la forma real normal tiene la estructura de unamatriz real sin traza.


La subálgebra compacta maximal de sl(4,) consiste de las matrices reales que seanantisimétricas, lo que nos lleva a la descomposición de Cartan,

( )sl 4,R t ip= Å , (7.3.1)

donde t es compacta, real antisimétrica, y ip es incompacta, real simétrica.Bajo el truco unitario de Weyl [4], construimos el álgebra de su(4), con todas las

matrices compactas,

( )su 4 t p= Å , (7.3.2)

que corresponde a las matrices antihermíticas sin traza. Bajo automorfismos involutivossimilares, se pueden obtener las otras tres formas reales.

Esta relación de las álgebras sl(4,) y su(4), implica que sus representacionesirreducibles se describen por conjuntos equivalentes de números cuánticos. La razónpara esto se puede ver estudiando las representaciones irreducibles de la extensióncompleja común. Este hecho, junto con aquellos indicados en la sección anterior, nosda esperanzas de que estas representaciones puedan ser usadas para describir partículasfísicas. Los generadores canónicos de Cartan son

H

é ùê úê ú-ê ú¢ = ê úê úê úë û

1

1 0 0 00 1 0 010 0 0 040 0 0 0

, (7.3.3)

H

é ùê úê úê ú¢ = ê ú-ê úê úë û

2

1 0 0 00 1 0 010 0 2 04 30 0 0 0

, (7.3.4)

H

é ùê úê úê ú¢ = ê úê úê ú-ë û

3

1 0 0 00 1 0 010 0 1 04 60 0 0 3

, (7.3.5)


a bE

é ùê úê úê ú= ê úê úê úë û

0 0 0 00 0 1 010 0 0 02 20 0 0 0

. (7.3.6)

Las raíces son las siguientes:

[ ]r¢¢ =11 1 0 02 , (7.3.7)

ré ù¢¢ = ê úê úë û

231 1 02 2 2 , (7.3.8)

ré ù¢¢ = ê úê úë û

31 1 1 2

2 2 32 3 , (7.3.9)

ré ù¢¢ = - -ê úê úë û

41 1 1 2

2 2 32 3 , (7.3.10)

ré ù¢¢ = -ê úê úë û

51 1 202 33

, (7.3.11)

ré ù¢¢ = -ê úê úë û

631 1 02 2 2 , (7.3.12)

y los vectores pesos los siguientes:

wé ù¢¢= ê úê úë û

11 1 114 3 6

, (7.3.13)

wé ù¢¢= -ê úê úë û

21 1 114 3 6

, (7.3.14)

wé ù¢¢= -ê úê úë û

31 2 104 3 6

, (7.3.15)


wé ù¢¢= -ê úë û4

31 0 04 2 . (7.3.16)

Se puede introducir otra base en el álgebra de Lie tomando como generadores lasmatrices generadas por un subconjunto ortonormal del álgebra de Clifford A queenvuelve a sl(4,). Usando la notación previa estos generadores están dadosexplícitamente en el apéndice A. El uso de estos generadores implica un cambio de baseen el subespacio de Cartan expresado por las siguientes relaciones:

G H H H k¢ ¢ ¢= - + =1 1 2 3 21 1 1 12 6 3 4 2

, (7.3.17)

G H H k k¢ ¢= + =2 2 3 0 32 1 13 6 4 2

, (7.3.18)

G H H H k k k¢ ¢ ¢= - - + =3 1 2 3 2 3 01 1 1 12 6 3 4 2

. (7.3.19)

La base introducida en las ecs. (7.3.17)-(7.3.19) tiene el mérito que hay unsubconjunto que genera la subálgebra par de Clifford. Esta última está relacionada conSL(2,) y correspondientemente con las transformaciones de Lorentz, usualmenteasociadas a simetrías externas. Los restantes generadores forman un subespacio quegenera el cociente

( )( )1

SL 4,RK

SL 2,C= . (7.3.20)

Este cociente representa las transformaciones internas de simetría. Está claro quehemos reemplazado el grupo de transformaciones internas, que es un factor en el grupode simetrías de una teoría, por un espacio cociente.

7.4. Relación Entre Números Cuánticos.La relación de los números cuánticos asociados a estos generadores con los números

cuánticos de la las representaciones inducidas del subgrupo compacto maximal, sepuede ver considerando las correspondientes subálgebras de Cartan. Claro está quelos generadores Gi subtienden la misma subálgebra de Cartan que la de los H’i. Hayotras subálgebras de Cartan en sl(4,). Se conoce que una subálgebra de Cartan no sedetermina unívocamente sino que depende de la escogencia de un elemento regular delálgebra completa. Sin embargo, también se conoce que existe un automorfismo del


álgebra compleja que vincula cualquier par de subálgebras de Cartan [8]. Esto implicaque existe una relación entre los conjuntos de números cuánticos correspondientes ados subálgebras diferentes de Cartan dentro de sl(4,). Podemos tomar los númeroscuánticos vinculados al espín y la carga como los números físicos fundamentales yconsiderar a los otros que surgen de diferentes subálgebras de Cartan como númerosque son funciones de los fundamentales.

Por razones físicas, como el electromagnetismo y la carga eléctrica están asociadosal subgrupo SU(2) generado por k0, k1k2k3, k0k1k2k3 dentro de la teoría geométrica, nosinteresa considerar una descomposición algebraica con respecto a uno de estosgeneradores Como los tres conmutan con todos los generadores del SU(2) de espín,k1k2, k2k3, y k3k1, tenemos diferentes posibilidades a nuestra disposición. Para mayorfacilidad de interpretación escogemos k1k2, y k0k1k2k3 como nuestro punto de partida.El único otro generador del álgebra que conmuta con estos dos es k0k3. Se muestraahora que ni k0k1k2k3 ni k1k2 son elementos regulares del álgebra total sl(4,) a pesar deser elementos regulares de las dos subálgebras su(2). La expresión para estosgeneradores en la representación adjunta (regular) es, módulo una constante denormalización,

( )ad I

I

S

k k

é ùê úê úê úê ú= ê úê ú-ê úê úê úë û

3

1 2 3

3

0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

, (7.4.1 )

( )adS

k k k k SS

S

é ùê úê úê úê ú= ê úê úê úê úê úë û

3

0 1 2 3 3

3

3

0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, (7.4.2)

donde cada entrada en las matrices es una matriz tridimensional, dando el total de 15dimensiones de la representación adjunta. El orden de las columnas y filas se escogecomo sigue:

1. Los tres índices i de rotación,2. Los tres índices a del electromagnetismo y3. Los nueve productos ia (11,12, etc.).


La matriz I3 es la matriz unidad tridimensional y S3 es

S

é ùê úê ú= -ê úê úë û

3

0 1 01 0 00 0 0

. (7.4.3)

Es claro que cada una de las dos matrices, k1k2 y k0k1k2k3, genera un subespacio Vo,correspondiente a valores propios l=0,

( )ad kH X = 0 , (7.4.4)

que es de dimensión siete. Como la subálgebra de Cartan de sl(4,) es tridimensional,se comprueba que ninguno de los dos generadores es un elemento regular. Sin embargo,

( )ad I

I

SS

k k k k k k SS

S

é ùê úê úê úê ú+ = ê úê ú-ê úê úê úë û

3

3

1 2 0 1 2 3 3 3

3 3

3

0 0 0 00 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0

(7.4.5)

tiene un subespacio VO, para l=0, que es tridimensional. En consecuencia, estegenerador suma si es un elemento regular del álgebra de Lie.

El espacio VO generado por este elemento regular es una subalgebra de Cartansubtendida por los generadores

X k k=1 1 2 , (7.4.6)

X k k k k=2 0 1 2 3 , (7.4.7)

X k k=3 0 3 , (7.4.8)

donde el producto se entiende en el álgebra envolvente de Clifford.Es claro que tanto X1, como X2 son generadores compactos y por lo tanto tienen

valores propios imaginarios. Debido a la forma en que fueron construidos debenasociarse, respectivamente, a la componente z de impulso angular y a la carga eléctrica.Ambos pueden ser diagonalizados simultáneamente en términos de sus valores propiosimaginarios dejando invariante a X3. Es usual cuando se trata de elementos compactosde una forma real, como el espín, introducir la notación estándar en términos de lasmatrices reales, incompactas, correspondientes en la base real del álgebra compleja.


Tenemos entonces,

i

iX i iH

i

i

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú- -ê ú ê ú= = ºê ú ê ú- -ê ú ê úê ú ê úë û ë û

1 1

0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

, (7.4.9)

i

iX i iH

i

i

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú- -ê ú ê ú= = ºê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- -ë û ë û

2 2

0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

, (7.4.10)

X H

é ùê úê úê ú= ºê ú-ê úê ú-ë û

30 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (7.4.11)

Las matrices del álgebra de Clifford suministran una normalización geométrica delas raíces y pesos en el subespacio de Cartan. Los vectores pesos, en las base Xi y Gi,tienen la misma estructura, excepto por el factor de normalización estándar de (32)-1/2,

[ ]w = + + +0 1 1 1 , (7.4.12)

[ ]w = + - -1 1 1 1 , (7.4.13)

[ ]w = - + -2 1 1 1 , (7.4.14)

[ ]w = - - +3 1 1 1 . (7.4.15)

Similarmente, las raíces también tienen la misma estructura, difiriendo por el mismofactor de normalización estándar,

[ ]r = - -01 0 2 2 , (7.4.16)


[ ]r = - -02 2 0 2 , (7.4.17)

[ ]r = - -03 2 2 0 , (7.4.18)

[ ]r = -12 2 2 0 , (7.4.19)

[ ]r = -23 0 2 2 , (7.4.20)

[ ]r = -31 2 0 2 . (7.4.21)

7.5. Interpretación Física.Puede verse que, en la representación fundamental, uno de los generadores en la

subálgebra de Cartan se puede expresar como un producto de Clifford (no un productode Lie) de los otros generadores de la subálgebra. Esto es cierto para los generadoresGi y los Xi.

X X X=1 2 3 . (7.5.1)

Esto implica que, dentro del álgebra de Clifford, hay una relación multiplicativaentre los números cuánticos de la teoría. En particular, la componente z del generadorde impulso angular o espín es el producto de Clifford del generador de carga eléctrica ydel generador X3. El número cuántico asociado a X3 debe tener el significado físico deimpulso angular dividido por carga eléctrica o equivalentemente, de flujo magnético. Osea, que el cuanto fundamental de acción debe ser el producto del cuanto fundamentalde carga por el cuanto fundamental de flujo,

( )h he e=2 2 . (7.5.2)

Podemos interpretar intuitivamente la última ecuación como un efecto cuántico debetatrón, donde un cambio en el campo magnético está relacionado con un cambio deimpulso angular.

Hemos tomado el cuanto de acción como h en vez de porque la unidad natural defrecuencia es ciclos por segundo en vez de radianes por segundo. Entonces el cuantode flujo f0 es

he e

pf = =0 2 . (7.5.3)

Los cuatro miembros de la representación irreducible fundamental forman un tetraedro


Figura 1

en el espacio tridimensional A3 de Cartan como se indica en la figura 1. Ellos representanla combinación de los dos estados de espín y los dos estados de carga de una partículaasociada que llamaremos G-partícula. Un estado de carga representa un estado de partículafísica y el otro representa un estado conjugado de carga. La dual de la representaciónfundamental, definida por productos tensoriales antisimétricos de 3 estados de la representaciónfundamental o triadas, corresponde al tetraedro invertido. Un estado conjugado o un estadodual pueden ser relacionados con una antipartícula. Esto puede ser útil pero no es unainterpretación necesaria. Es mejor mantener físicamente separados estos conceptos matemáticos.Consideramos, por un lado, excitaciones fundamentales y excitaciones duales y, por otro lado,excitaciones con estados de partícula y conjugados. La G-partícula lleva un cuanto de cargaeléctrica, uno de flujo magnético y otro de espín, pudiendo hallarse en uno de cuatroestados cuyos números cuánticos son:

+1, -1, -1

-1, -1, +1

-1, +1, -1+1, +1, +1

k k1 2 espín

k k k k0 1 2 3 carga

Representación irreduciblede SL(4,R)

k k0 3 flujo


espín carga flujo carga negativa con espín arriba carga negativa con espín abajo carga positiva con espín arriba carga positiva con espín abajo

f

f

f

f

-

-

+

+

- -+- - ++ ++

-- +

1 111 1 11 111 11

Los estados de una representación irreducible de mayor dimensión, construidapartiendo de la fundamental, están caracterizados también por tres enteros: impulsoangular m, carga eléctrica q y flujo magnético f. Podemos hacer la conjetura que elmomento magnético no es tan fundamental como el flujo magnético cuando se describeuna partícula.

7.6. Representaciones del Subgrupo P.Se conoce que el subgrupo SL(2,) tiene un subespacio de Cartan unidimensional

tipo A1 asociado a los valores cuantizados del impulso angular. El subgrupo Sp(4,)tiene un subespacio de Cartan bidimensional tipo C2. En la misma manera que se procediócon SL(4,), se puede escoger un elemento regular asociado al generador de espínk1k2, en particular,

( )ad k k k k

é ù-ê úê ú-ê úê úê úê úê úê úê ú+ = ê úê úê ú-ê úê ú- -ê úê úê úê úê úë û

1 2 0 3

0 1 0 0 0 0 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(7.6.1)


que aniquila el subespacio bidimesional, con autovalores cero, subtendido por losgeneradores k1k2 y k0k3. Los correspondientes vectores pesos son los siguientes, conla misma normalización anterior,

[ ]w ¢ = - -3 1 1 , (7.6.2)

[ ]w ¢ = - +2 1 1 , (7.6.3)

[ ]w ¢ = + -1 1 1 , (7.6.4)

[ ]w ¢ = + +0 1 1 (7.6.5)

y las raíces son las siguientes

[ ]r¢ = -02 2 0 , (7.6.6)

[ ]r¢ = -01 0 2 , (7.6.7)

[ ]r¢ = - -03 2 2 , (7.6.8)

[ ]r¢ = -12 2 2 . (7.6.9)

Sin embargo, también podríamos tomar como elemento regular uno relacionado conla carga,

( )ad k k k

é ùê úê ú-ê úê úê úê úê úê úê ú+ = ê ú-ê úê ú-ê úê ú

- -ê úê úê úê úê ú-ë û

0 1 2

0 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0

, (7.6.10)


que aniquila el subespacio bidimesional, con autovalores cero, subtendido por losgeneradores k1k2 y k0.

En ambos casos los cuatro miembros de la representación fundamental forman uncuadrado en un espacio C2 bidimensional de Cartan, pero en distintos subespacios deCartan del espacio de raíces A3. Podemos visualizar la relación de estos vectores conaquellos del grupo completo SL(4,) reconociendo que el espacio tridimensional deCartan A3 colapsa a un subespacio bidimensional C2 como se indica en la figura 1. Eltetraedro que representa los estados de la representación fundamental colapsa a uncuadrado. Los 4 vértices del tetraedro se proyectan a los 4 vértices del cuadrado. Elconjunto de los 4 vectores pesos de C2 se puede obtener proyectando los 4 vectorespesos de A3, que corresponden a los vértices del tetraedro, sobre el plano subtendidopor los vectores k1k2 y k0k3 o k1k2 y k0, formando cuadrados en estos subespacios deCartan. Las 6 aristas del tetraedro se proyectan a los 4 lados y 2 diagonales de cadacuadrado. Los lados opuestos de un cuadrado son equivalentes por tener la mismadirección. El conjunto de las 8 raíces de C2 también se puede obtener proyectando elconjunto de las 12 raíces de A3, que corresponden a las aristas del tetraedro. En estecaso, 8 de las raíces se proyectan en 4 pares de raíces degeneradas (equivalentes)correspondientes a los lados del cuadrado. Las otras 4 raíces se proyectan a las cuatroraíces correspondientes a las diagonales del cuadrado. Un colapso de los espaciosbidimensionales C2 al espacio unidimensional A1 de Cartan de SL(2,C) produce unaproyección de los cuadrados sobre el segmento que representa los 2 estados estándaresde espín y las dos raíces de este último espacio de artan, asociado a una L-partícula.

El hecho que el espacio bidimensional de artan no esté determinado unívocamentetiene consecuencias físicas, de acuerdo a la interpretación suministrada. Los cuatroestados de la representación irreducible se pueden etiquetar con el espín y el flujo ocarga según el elemento regular escogido, la ec. (7.6.1) o la ec. (7.6.10). Pero, como seindicó anteriormente, ambos espacios de artan están relacionados por un automorfismodel álgebra compleja, lo que implica que un conjunto de números cuánticos se puedeexpresar como funciones del otro conjunto o sea que el cuanto de flujo es una funciónde los cuantos de espín y carga. En este caso, esta relación se interpreta como elremanente de la relación multiplicativa entre el espín, la carga y el flujo en larepresentación fundamental del grupo padre SL(4,). Esto indica que una partículafísica asociada a esta representación, que llamaremos una P-partícula, tiene los tresnúmeros cuánticos. No hay variables continuas que representen los valores mensurablesde espín, carga y flujo de la P-partícula. La diferencia entre la G-partícula y la P-partículano se muestra a través de estos números cuánticos.

Tres espacios sp(4,) pueden ser inyectados como subálgebras en los tres sectores geomé-trica y algebraicamente independientes del álgebra completa sl(4,) del grupo G. De esta manerapodemos construir una sección p valuada en sl(4,) inyectando tres secciones independientes(e1, e2, e3) valuadas en la subálgebra sp(4,). oncluimos que para cualquier estado e de larepresentación fundamental de P, su dual e formado por la tríada (e1, e2, e3) de estados de larepresentación fundamental de P determina un estado de partícula p de la representación


fundamental de G. Los estados correspondientes, de igual carga, definen una relación deequivalencia de carga entre estos estados,

( ), ,e e e e p@ @1 2 3 . (7.6.11)

Podemos escoger cualquier estado en la representación fundamental de G para representarfísicamente la partícula fundamental p asociada a esta representación. Los estadosfundamentales (1, 1, 1) de SL(2,) definen un signo de carga para el protón. Sinembargo, como las cargas de los estados correspondientesy e y p son iguales, estamos enlibertad de definir la carga solamente para un estado en las representaciones de G y P enconjunto. La carga correspondiente a esta partícula escogida p (el protón) se puede definircomo positiva. Esto determina una carga inequivalente negativa para el estado correspondienteque represente a la otra partícula fundamental e (el electrón) en la representación fundamentalde P,

( ) ( ) ( )Q p Q e Q e+ º = =-1 . (7.6.12)

7.7. Aplicaciones.De acuerdo a la discusión anterior toda partícula que fuese una representación

fundamental de SL(4,) o Sp(4,) tiene que ser una partícula cargada con un cuanto deflujo. Este cuanto de flujo es exactamente el valor determinado experimentalmente porDeaver y Fairbank [10] y Doll y Nebauer [11], predicho teóricamente con anterioridadpor London [12 p.152] con un factor extra de dos. El experimento consistió en hacer unpequeño cilindro superconductor depositando una delgada capa electroplateada deestaño sobre un alambre de cobre. El alambre se colocó en un campo magnético y seredujo la temperatura hasta que el estaño se convirtiera en un anillo superconductor.Después el campo externo se eliminó, dejando atrapado un mínimo de flujo atravesandoel anillo.

Nuestro resultado es consistente con el resultado experimental si consideramos queel flujo atrapado, atravesando la capa cilíndrica anular de estaño superconductor, estáasociado al flujo discreto mínimo intrínseco de un solo electrón dentro del alambre decobre normal (no superconductor) que sirve de núcleo para el estaño superconductor.Se cree generalmente, que la cuantización del flujo se debe a la topología del materialsuperconductor en el experimento y relacionada a la carga de un par de electronesdentro del superconductor. La idea expresada aquí es que el cuanto de flujo es unapropiedad intrínseca de las partículas materiales cargadas (electrones, protones etc.) yque solamente la posibilidad de atrapar el flujo depende de la topología delsuperconductor.

Si una partícula cruza una línea en un plano normal a su flujo, hay una relación entrela carga y el flujo que cruzan la línea,


( )hf eQ qe

DFD

= 2 . (7.7.1)

Si no hay pérdidas resistivas a lo largo de la línea, la fuerza electromotriz inducidadetermina una resistencia transversal que esta fraccionalmente cuantizada,

( )( )tf hR q e

= 22 . (7.7.2)

Esta expresión nos lleva a la conjetura que el efecto Hall cuantizado fraccionalmente(EHF o FQHE) [13, 14] nos da evidencia acerca de la existencia de esos cuantos deflujo en vez de evidencia acerca de la existencia de cargas fraccionales. El experimentoEHCF consiste esencialmente en la medición de la conductividad transversal que ocurrea bajas temperatura en un gas de electrones en interfaces cristalinas en semiconductores.

Si consideramos que las funciones de onda correspondientes a los portadores decuantos deben ser representaciones de SL(2, ) o de Sp(2, ) , el las estaráncaracterizadas por los enteros cuánticos m, q, f. Si imaginamos la formación del campo,los detalles serían complicados por la reacción de corrientes inducidas sobre el campooriginal. Independientemente de estos detalles, después de llegar a un estadoestacionario el flujo total debe tener f cuantos, incluyendo todos los efectos. Se tiene,entonces,

( )hNf eF = 2 . (7.7.3)

La conductividad bidimensional en términos del campo eléctrico E, la velocidad deHall V y el área A de la superficie es

( )( )qeNv q ef hAE

s = =22 . (7.7.4)

Esta expresión es compatible con la estructura general de los datos experimentalesdel EHCF. Para f, q enteros aleatorios, las fracciones de e2/h con denominador imparson 11 veces más probables que las pares.

Adicionalmente la ec. (7.7.3) suministra una interpretación simple del efecto Meissner[15]. Esta expresión debe ser válida también cuando los electrones están apareados. Siel par es tal que los cuantos de flujo se cancelan entre sí, el valor de f debe ser cero paracada par y en consecuencia, el flujo magnético total dentro del superconductor debeser cero también.

Es de interés apuntar que las motivaciones clásicas de esta investigación nos llevana una relación sencilla que implica un resultado cuántico profundo. La existencia deeste cuanto de flujo parece ser realizada en la naturaleza y no esta asociada a un cuantode carga magnética. El carácter fundamental de este flujo ayuda a explicar la exactitud


Referencias

1 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). 2 A. O. Barut, Phys. Rev. 133B, 839 (1964). 3 R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) p. 56 (1966). 4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley and

Sons, New York), p. 246, 453, ch. 9, 10 (1974). 5 P. A. M. Dirac, Phys Rev. 74, 817 (1948). 6 B. Doubrovine, S. Novikov, A, Fomenko, Géométrie Contemporaine, Méthodes et

Applications (Ed. Mir, Moscow), tranlated by V. Kotliar, Vol. 2, p. 62 (1982). 7 E. P. Wigner, Ann. Math. 40, 149 (1939). 8 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 130, 137 (1962). 9 Vea el apéndice B.10 B. S. Deaver, W. M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961).11 R. Doll, M. Nabauer, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961).

extraordinaria del cuanto de resistencia en el EHCF.

7.8. Resumen.Las representaciones irreducibles fundamentales de SL(2,) inducidas del SU(2) de

rotaciones y del SU(2) electromagnético están caracterizadas por números cuánticoscuya interpretación se asocia al impulso angular y la carga total, dentro de la teoríapropuesta.

Se demostró que una subálgebra de Cartan se puede generar por el elemento regular(k1k2 + k0k1k2k3) y tiene como base los generadores compactos k1k2 del SU(2) derotaciones y k0k1k2k3 del SU(2) electromagnético y el generador incompacto obtenidopor el producto de Clifford de los otros dos en la representación definitoria.

En esta subálgebra, los estados de una representación irreducible se pueden etiquetarcon los enteros m, q, f. Los dos primeros determinan los valores posibles de lacomponente z del impulso angular m/2 y de la carga eléctrica qe. Además, la relaciónmultiplicativa entre los generadores implica que el tercer número cuántico estárelacionado con los otros dos y asociado a un cuanto de flujo magnético.

Si exigimos que una partícula cargada sea una representación de sl(4,) o sp(4,),debe llevar cuantos de impulso angular, carga eléctrica y flujo magnético. Otros númeroscuánticos físicos, relacionados con otras subálgebras de Cartan, se pueden expresaren términos de estos números cuánticos fundamentales.

La teoría suministra un mecanismo de cuantización de la carga que requiere, en vezde los monopolos de Dirac, el cuanto de flujo magnético.Adicionalmente la teoría implicaque el signo de la carga de la partícula (dual) electrón debe ser opuesto al signo de la carga dela partícula (dual) protón.


12 F. London, Superfluids (John Wiley & Sons, New York), Vol. 1 p. 152 (1950).13 D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).14 K. V. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).15 W. Meissner, R. Ochsenfeld, Naturwiss. 21 787 (1933).

8. MEDICIÓN DE OBSERVABLESGEOMÉTRICOS.

8.1. Introducción.Hemos visto en los capítulos 3, 6 y 7 que la geometría física muestra algunas

características cuánticas cuyo desarrollo continuamos aquí. Es posible dar unarepresentación geométrica a los postulados de la mecánica cuántica. En la mayoría de loscasos esto es solamente una superestructura que puede estar vacía de nuevas ideas físicas.Al contrario, es posible empezar por una teoría física geométrica y obtener sus implicacionescuánticas. De esta manera pueden surgir nuevos fenómenos físicos. Propósitos similaresguiaron a Dreschler a discutir objetos extendidos como funciones en fibrados homogéneosde De Sitter dentro de una teoría geométrica de hadrones [1, 2].

Drechsler incorporó el electromagnetismo en su teoría usando una geometría modificadade Weyl en la construcción de los fibrados homogéneos de De Sitter y relacionando lacurvatura completa a corrientes de materia cuantizada [3, 4]. Nuestro enfoque ha sidodistinto. Originalmente nuestro propósito fue unificar la gravitación con elelectromagnetismo por medio de una conexión. Para evitar contradicciones tuvimos queintroducir grupos que actuaban sobre el álgebra de Clifford del espacio tiempo, forzandouna estructura geométrica que implica aspectos cuánticos.

Nuestra teoría considera a las excitaciones de la materia física como representacionesdel grupo de estructura de la teoría geométrica. De esta idea se deduce que hay ciertosnúmeros discretos asociados a los estados de la materia microscópica. Se demostró queesos números podían ser interpretados como cuantos de espín, carga eléctrica y flujomagnético, suministrando una explicación plausible del efecto Hall cuántico fraccional(FQHE) [5]. En adición, la teoría nos llevó a un modelo geométrico de cuantización decampos [6], implicando la existencia de operadores bosónicos y fermiónicos y sus reglasde cuantización. Debe estar claro que un proceso de mediciones físicas debe exhibir estosnúmeros geométricos discretos como cuantos experimentales, suministrando una descripciónatomista (partículas) de la materia. Por lo tanto, es necesario discutir el proceso de medicióndentro de la geometría física [7].

Podemos especular que estos resultados sean accidentales o la consecuencia de unaprofunda relación fundamental de la estructura geométrica de la teoría unificada con laestructura cuántica estándar. Aquí perseguimos la segunda alternativa. Se puede argumentarque, si el principio de incertidumbre se toma como fundamental, la geometría a distanciasmuy pequeñas se convierte en una geometría “difusa” y las aplicaciones de geometríadiferencial son cuestionables. Sin embargo, nada nos impide dentro de la teoría, seguirtomando la geometría diferencial como germen fundamental de los principios de la teoría


cuántica y representar las partículas por excitaciones o fluctuaciones de un substratoilineal.

En particular, consideramos las siguientes preguntas que pueden indicar el camino:¿Se puede definir, dentro de nuestra teoría, una operación geométrica que represente elproceso de medición en la física cuántica? ¿Son los resultados de este proceso compatiblescon los bien conocidos hechos de la física experimental? ¿Podemos definir un impulsoangular y una carga geométricamente? Primero repasaremos las ideas principales de lateoría geométrica.

Exigimos el uso del grupo de automorfismos del álgebra universal de Clifford asociadaal espacio tiempo plano cuatridimensional o equivalentemente su subgrupo simple de mayordimensión, SL(2,). Esto implica una extensión de la relatividad. La conexión, querepresenta la interacción, no sólo unifica la gravitación con el electromagnetismo,incluyendo el movimiento correcto, sino que da una teoría gravitacional que difiere de lateoría de Einstein y se asemeja a la teoría de Yang [8]. Esto se puede ver de las ecuacionesde campo de la teoría que relacionan las derivadas de la curvatura de Ehresmann a unafuente de corrientes J,

D k JW* *= . (8.1.1)Debido a la estructura geométrica de la teoría, la corriente de fuente J debe ser un

objeto geométrico compatible con las ecuaciones de campo de la teoría. La ecuaciónde campo implica unas condiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con laestructura geométrica de J, estas condiciones implican una ecuación generalizada deDirac que, por lo tanto, no tiene que ser postulada adicionalmente como se hacenormalmente en las teorías no unificadas. En realidad las ecuaciones ilineales para laconexión y la más simple estructura geométrica de la corriente son suficientes parapredecir la ecuación generalizada de Dirac. La estructura de J, claro está, se da entérminos de los objetos geométricos sobre los cuales actúa la conexión,

( )ˆˆkJ ke u em a mai= , (8.1.2)

en términos de la copoliada e, un subconjunto ortonormal i del álgebra, la correlaciónen los espacios espinoriales ~, y una tétrada espacio temporal u.

Los tres generadores compactos k0, k5, y k1k2k3 son equivalentes como generadoreselectromagnéticos, dentro de la teoría, porque existen automorfismos que transformana cualquiera de ellos en cualquier otro. Se deduce que el subconjunto ia que entra enla corriente se define módulo un automorfismo del álgebra. Esto nos permite tomar alelemento i0 como cualquiera de estos tres generadores electromagnéticos o unacombinación lineal sin cambiar el contenido físico de la teoría.

8.2. Mediciones de Corrientes

99Medición de Observables Geométricos

Geométricas.Es posible estudiar las propiedades de fluctuaciones o excitaciones de los elementos

geométricos de la teoría unificada. Adicionalmente, si como se sugirió anteriormente[5], se puede representar a una partícula como una excitación de la geometría, suspropiedades físicas se pueden determinar por sus fluctuaciones asociadas. Estasfluctuaciones se pueden caracterizar matemáticamente por un problema variacional.De un principio variacional, si las ecuaciones de movimiento se cumplen, es posibledefinir el generador de la variación. Hay una corriente geométrica canónica asociadacon este generador que representa geométricamente a la excitación y debe serconsiderada el sujeto de una medición física (observable).

La densidad lagrangiana, en general, tiene unidades de energía por volumen y laacción tiene unidades de energía tiempo. En las unidades naturales definidas por laconexión (c=1, =1, e=1), la acción es adimensional. En las unidades relativistasestándares (c=1), la constante surge como un factor en la acción W.

Es bien conocido que la variación de una integral de acción a lo largo de unatransformación de la variable y con parámetro l es

RR

LW yd x Q d

ym

m¶

dd d d s

d= + òò 4 , (8.2.1)

donde la corriente canónica , y el impulso conjugado P son

dy dxQ L

d d

mm m md dl P dl

l l

æ ö÷ç ÷= = +ç ÷ç ÷çè ø , (8.2.2)

,

Ly

m

m

¶P

¶= . (8.2.3)

La corriente es un campo de objetos geométricos que representa una propiedadobservable p.e., densidad de impulso angular. En general una medida no es un procesopuntual sino una excitación de interacción con un instrumento sobre una región espaciotemporal local. En la teoría geométrica, el resultado de una medición debe ser un númeroque dependa de la corriente variacional de una variación de una sección de substratoe, sobre una región R(m’) alrededor de un punto característico m del espacio base M,con algún procedimiento de promedio instrumental sobre la región. Por lo tanto, haremosla hipótesis que una medición de una exci tación geométr ica se representamatemáticamente por un funcional m de la corriente geométrica observable definidapor la variación asociada sobre una hipersuperficie complementaria s,


( ) ( ) ( ),mR

m m m dmm

¶

s¢ ¢= ò . (8.2.4)

En algunos casos las excitaciones se pueden aproximar a excitaciones puntuales sinuna estructura extendida. Para mostrar la relación de nuestra teoría geométrica conotras teorías, sin usar ningún conocimiento acerca de la estructura de las excitaciones,definiremos la medición geométrica de una propiedad de una excitación puntual porun proceso de contraer la región R(m’) de la corriente al punto m. Con este procedimiento,la sección local que representa la excitación se convierte en una sección singular en m.Podemos expresar esto matemáticamente por

( ) ( )( )

lim m mR m m

d¢

= , (8.2.5)

donde el funcional dm es el funcional de Dirac,

( ) ( )m md = . (8.2.6)

Este procedimiento contrae la corriente a una línea universal temporal. Podemosvisualizar el borde ¶R de una región R como una cajita cilíndrica infinitesimal cruzadapor la corriente en las superficies espaciales inferior y superior S. Mientras la cajitase contrae al punto m, las funcionales de la corriente dm() en las superficies inferior ysuperior son iguales, si la corriente es continua. El funcional dm() en cualquiera de lassuperficies espaciales es la medición geométrica

( ) ( ) ( )m m d x m x u d xm mm m

S

d d s d= = -ò ò3 3 3 , (8.2.7)

( ) ( )m u mmmd = , (8.2.8)

donde u es la velocidad temporal, ortogonal a S, del observador espacio temporal.Del lagrangiano de a la teoría, ec. (3.2.2), la corriente geométrica de una excitación

material arbitraria tiene la forma general

e Xem mi= , (8.2.9)en términos de la copoliada e, un subconjunto ortonormal i del álgebra, la correlaciónen los espacios espinoriales ~, y el generador X del grupo correspondiente a la variación.

Debe apuntarse que la copoliada e está asociada con el conjunto de estados queforman una base de una representación del grupo de estructura. No representa un únicoestado físico sino un conjunto de estados físicos. Para cada operador L del álgebrapodemos seleccionar, como vectores columnas de e, a los vectores propios fcorrespondientes a L. Podemos escribir entonces,


( ) ( ), , , , ii ie eL L f f f l f l f l f l= = =1 2

1 2 1 2 , (8.2.10)

donde l es la matriz diagonal formada por los valores propios li.

En concordancia, el resultado de la medición dado por la ec. (8.2.9) en coordenadasadaptadas a la cuadrivelocidad u, es

( )m e Xe e ed i L= = =0 0 , (8.2.11)

lo cual define el operador asociado L.En esta expresión debemos apuntar que e es el inverso de grupo de e y que el

producto correlacionado en el espacio espinorial es un escalar. El producto e e nos dauna matriz unidad de escalares y los valores medidos de la corriente coinciden conla matriz diagonal formada por los valores propios,

( )m

i

ee

ll

d l

l

é ùê úê úê ú= = ê úê úê úë û

1

2

. (8.2.12)

Este resultado está de acuerdo con uno de los postulados de la mecánica cuántica.El contenido matemático de la última ecuación es verdaderamente independiente de lainterpretación física de e. En particular no requiere, pero permite, interpretar a e comouna amplitud de probabilidad.

El resultado de la medición esencialmente es igual al valor de la corriente en elpunto representativo m. Equivalentemente es el promedio sobre un trivolumen Vcaracterístico de S,

VV

Qd d

V V

mm

m m

ds s

dl= = òò

1 1 . (8.2.13)

Este promedio, indicado por á ñ, es similar a la operación de tomar el valor deexpectación de un operador en la mecánica ondulatoria.

Los diferentes generadores del grupo producen excitaciones cuyas propiedadespueden ser investigadas midiendo las corrientes geométricas asociadas. En particularestamos interesados aquí en las corrientes asociadas con los generadores de lossubgrupos compactos, que fueron usados para caracterizar las representacionesinducidas.


8.3. Espín Geométrico.El concepto de espín se relaciona con las rotaciones. En la teoría geométrica los

generadores pares compactos forman una subálgebra su(2) que está relacionada con elálgebra de rotaciones. El homomorfismo de grupos entre este subgrupo SU(2) y lasrotaciones es

( )†tra ab bR s s= 1

2 g g , (8.3.1)

donde gÎSU(2) y RÎSO(3). El isomorfismo entre este SU(2) y el subgrupo parcompacto de SL(2,) es el bien conocido isomorfismo entre los números complejos yuna subálgebra de las matrices reales 2 ´ 2,

, ié ù é ù-ê ú ê ú« «ê ú ê úë û ë û

1 0 0 11

0 1 1 0 . (8.3.2)

El isomorfismo dado por estas expresiones no es accidental, sino parte de ladefinición conceptual del álgebra geométrica de Clifford como una generalización delos números complejos y los cuaterniones. Estas álgebras y los espacios espinorialesdonde actúan tienen estructuras complejas bien definidas.

Si consideramos que los generadores kikj que pertenecen a su(2) son los generadoresde rotación, la corriente geométrica asociada es el impulso angular. Por ejemplo, losresultados de la medición de esta corriente en una dirección preferida 3, usando comoilustración la ec. (8.2.13) para el valor de expectación, son

de dxd L

V d d

mm

ms Pl l

æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè øò3 1 , (8.3.3)

donde la variación de es generada por k1k2. Entonces, para una métrica plana,

ˆˆde de

d e u d xeV d V d

a mm as i i

l l= =ò ò3 3 01 1

. (8.3.4)

Como i0 conmuta con k1k2 y i0i0 es -1, podemos usar la ec. (8.3.2) para identificar

, iI ii k k s 0 1 2 3 (8.3.5)

y expresar la variación generada por k1k2 como el diferencial de la ec. (8.3.1),

( )tra a ab b b

iR

ld s s s s s s= -3 3

2 . (8.3.6)

Los únicos elementos no nulos son


R Rd d l q- = = =1 22 1 2 , (8.3.7)

que representan una rotación por un ángulo q en el plano 1-2. Esta rotación induce uncambio en las funciones en el espacio tridimensional, dando una variación total de eigual a

( )y x

ie e x y ed s ¶ ¶ dl

æ ö÷ç= + - ÷ç ÷çè ø3

2 , (8.3.8)

que nos lleva a

( )( )y xd xe i x y eV

s ¶ ¶= - -ò3 3 312

1 . (8.3.9)

El factor ½ indica, claro está, que el parámetro l de SU(2) es la mitad de la rotaciónangular, debido al homomorfismo 2-1 entre estos dos grupos.

El cálculo fue hecho, por simplicidad, con una sola componente. Queda claro quesi usamos las tres componentes espaciales obtendremos

( ){ }a a abcb cd xe i x e

Vs e ¶= -ò 3 1

21

, (8.3.10)

donde la expresión en paréntesis es el operador impulso angular L en la mecánicacuántica. Si e es una poliada propia de este operador obtendremos los valores de lascomponentes de impulso angular asociada con una fluctuación relacionada con larepresentación de espín. El resultado es

e ed x ee d xV V

L L l= =ò ò3 31 1 . (8.3.11)

Como antes, el producto e e da una matriz diagonal de escalares, y podemosconstruir la integral en el espacio base

eed x V I=ò 3 , (8.3.12)

donde I es la identidad y V es el volumen característico. Está claro que podemosintroducir una e normalizada al volumen, dividiendo por V. Los valores medidos deloperador L coinciden con la matriz diagonal formada por sus valores propios como seindicó anteriormente:


i

ll

L

l

é ùê úê úê ú= ê úê úê úë û

1

2

. (8.3.13)

En el caso descrito, los estados de e son puros (término cuántico) con respecto alimpulso angular. Ambos elementos, poliada y el operador se pueden diagonalizarsimultáneamente o, equivalentemente, conmutan entre sí.

En general la poliada no es pura con respecto al operador. Así los resultados de lamedición no son elementos diagonales de los operadores (valores propios). Sidesignamos las columnas de e por Fa, y las filas de ê por Fb se tiene para las medidasla matriz

d xV

b ba ar F LF= ò 31

, (8.3.14)

que corresponde a la matriz densidad (para el operador observable L).Las secciones poliádicas tienen el papel de funciones de onda y los generadores

del grupo tienen el papel de operadores cuánticos. Estas similitudes entre nuestra teoríageométrica y la mecánica cuántica suministran resultados esencialmente equivalentes.Hay diferencias, en particular las funciones de onda tienen una estructura compleja ynuestras secciones poliádicas tienen una estructura de Clifford. En vez de unacontradicción esta diferencia es una generalización porque existen estructurascomplejas en varios subespacios del álgebra geométrica de Clifford. Es posibleintroducir espacios de secciones pero ellos ciertamente pueden tener estructuras másgenerales que los espacios de Hilbert. Los elementos geométricos y de grupo en lateoría realmente determinan muchas de las características físicas.

8.4. Carga Geométrica.La corriente geométrica fuente J es una generalización de la corriente eléctrica.

Los tres generadores compactos k0, k5, y k1k2k3 son equivalentes como generadoreselectromagnéticos dentro de la teoría porque hay automorfismos que transforman acualquiera de ellos en otro cualquiera. Se deduce que el subconjunto ia, que entra enla corriente esta definido módulo un automorfismo del álgebra. Esto nos permite escogercualquiera de los generadores electromagnéticos como el elemento i0 sin cambiar elcontenido físico de la teoría.

La corriente fuente generalizada J es la corriente canónica correspondiente a unavariación generada por un generador electromagnético. Para ver esto escogemos elsubconjunto km para im, y buscamos un generador de una variación que resulte en un


automorfismo de la corriente. En otras palabras, buscamos un generador que nos dé unsubconjunto equivalente a km por multiplicación derecha. Un generador que hace estoes k5,

exp expm mp pk k k k k

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø5 5 5

4 4 . (8.4.1)

Es posible escoger otro que resulte en un automorfismo diferente pero siempre estaráen el sector electromagnético. Queda claro que la corriente J corresponde a variacionesgeneradas por el sector electromagnético.

Cuando hacemos una medición de esta corriente canónica J, estamos midiendo lacarga asociada con la fluctuación de e relacionada con una representación irreducibledel grupo. Repetimos el mismo cálculo hecho en la sección anterior para la corrientedel impulso angular. Si despreciamos la parte gravitacional, la métrica es plana y laexpresión para la medida de la corriente de carga es

ˆê u edd

V Va mm

a mm k ss= =ò ò1 1

e ed xV

k k= ò 0 5 31 , (8.4.2)

donde se entiende que estamos trabajando en el fibrado SM que es la suma de Whitneyde los fibrados espinoriales asociados VM y su conjugado. Explícitamente, en términosde los elementos de VM la última ecuación se escribe

eej d x

eV e

k kk k

-

-

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú= ê ú ê ú ê ú ê ú- - ë ûë û ë û ë û

ò1 0 5

310 5

00 0 0100 0 0

. (8.4.3)

Debe enfatizarse que las matrices en la última ecuación son matrices reales 8´8, larepresentación de doble dimensión usada en el fibrado SM como se indica en el apéndiceA. Los generadores pares se pueden escribir como matrices complejas 4´4 usando elisomorfismo de la ec.(8.3.2). Podemos sustituir un generador equivalente por k0k5.

Es posible, escoger una sección poliádica e correspondiente a los vectores propiosde la representación fundamental de SU(2). De hecho, como k5 conmuta con k1k2, estambién posible escoger una poliada correspondientes a los vectores propios de estosdos generadores antihermíticos pertenecientes a las dos subálgebras su(2) en sl(4,).Los valores propios corresponden a los cuantos de espín y carga, en la forma siguiente:


i

i

i

i

k k

é ùê úê ú-ê ú= ê úê úê ú-ë û

1 2 , (8.4.4)

i

i

i

i

k

é ù-ê úê ú-ê ú= ê úê úê úë û

5 , (8.4.5 )

que es precisamente la forma explícita de estas matrices cuando se trabaja en el fibradoSM. Claro está que es usual trabajar con los operadores hermíticos asociados por unamultiplicación por i, con valores propios reales ±1. Sin embargo el uso de la expresiónantihermítica es natural porque ellos son los generadores de las dos subálgebrascompactas su(2).

Si e es una poliada propia de los generadores, tenemos

j i= . (8.4.6)

En otras palabras, la medida resultante para la representación fundamental es un númerocuántico igual a ±1. Este número conservado se puede interpretar como el cuanto decarga.

Se conoce que la carga electrónica tiene dos roles distintos, uno como el cuanto decarga y otro como la raíz cuadrada de la constante de acoplamiento de estructura finaa. Para reducir la teoría al electromagnetismo debemos justificar el uso de la constantede acoplamiento de Coulomb k/4p y entender las relaciones entre estas constantes.Esta k se puede absorber en la definición de corriente en la ec.(8.1.1), pero al finaldebe ser identificada. Es mejor indicarla explícitamente y mantener la poliada eseparada, como una sección del fibrado principal de forma que su conjugada e sea elinverso dual de e, y su producto e e sea la matriz unidad.

La constante adimensional de la estructura fina a está dada por ke2/4pc. Lasunidades de la constante arbi t rar ia k , que s i rve para def in i r las unidadeselectromagnéticas de las mecánicas, son ml3t-2q-2. Si ponemos k=4p, las unidadescorresponden al sistema gaussiano, donde la constante de Coulomb es 1. Si ponemosk=1, obtenemos el sistema de Heaviside-Lorentz donde la constante de Coulomb es 1/4p. Si ponemos k=4pc210-7, obtenemos el sistema de unidades racionalizadas MKSAdonde la constante de Coulomb es c210-7. En todas estas unidades, el acoplamiento


minimal determina que la conexión G corresponde a eA, en términos del potencial A y lacarga eléctrica e. Por otro lado, en vez de fijar k, parece mejor considerar que la teoríageométr ica in t roduce una unidad natural de carga a l def in i r e l potencia lelectromagnético igual a la conexión. De esta manera, la nueva unidad geométrica decarga (el “electrón”) es igual a e Coulombs, k se determina igual a 4pa y la constantede Coulomb se convierte en la constante de estructura fina a. Con nuestra definiciónde corriente y constante de acoplamiento (4pa) la carga calculada del electrón es ±1en estas unidades geométricas. En unidades arbitrarias el cuanto de carga calculado ees ±(4pac/k)1/2.

En otras palabras este valor es el cuanto mínimo de cambios mensurables de carga.Esta predicción geométrica explica los dos roles que tiene la carga del electrón, comoconstante de acoplamiento y como cuanto. En la sección anterior, el cálculo nos diolos valores bien conocidos del impulso angular. En esta sección obtuvimos un nuevoresultado teórico.

Cuando hay un solo campo electromagnético U(1) en el espacio plano, nuestrasecuaciones se reducen a [9]

d d jG pa* *= 4 . (8.4.7)

Una solución particular para una conexión G, estática con simetría esférica, es

qr

aG =0 , (8.4.8)

donde q es la carga en “electrones”. Si ahora cambiamos las unidades al sistemagaussiano (1 electrón = e Coulombs), donde a=e2 ,

2 = (Gauss)q qee

e er rG a

j a= = =0 , (8.4.9)

que es la ley de Coulomb en términos de la carga qe en Coulombs.

8.5. Resumen.Hemos demostrado que es posible introducir, en la teoría geométrica unificada,

una hipótesis que concierne a la representación matemática de las propiedades mediblesde las excitaciones geométricas. En concordancia, se define el proceso de medición deuna propiedad de una excitación alrededor de una sección geométrica material comoun funcional de la corriente geométrica que genera la excitación. Para excitacionespuntuales (partículas puntuales) el funcional se reduce al funcional de Dirac,llevándonos a la expresión para valores de expectación. Debido a las propiedades delas secciones e, los resultados de la medición son los valores propios de los generadores(operadores) de la excitación.


El impulso angular es la corriente geométrica canónica asociada con variaciones delas secciones generadas por rotaciones. Esto lleva a la expresión del impulso angulartotal como el operador diferencial y matricial de la mecánica cuántica. Similarmente,la carga eléctrica se representa por la corriente geométrica canónica asociada con unavariación de secciones generada por el sector electromagnético.

La medida del impulso angular de una excitación fundamental de una sección (larepresentación fundamental) resulta en el número cuántico ±½ [±(/2) en otras unidades]correspondiente a los valores propios del generador de espín. Similarmente, como elelectromagnetismo está relacionado con el otro SU(2) contenido en SL(2,), usandosus generadores la medición de carga resulta en el número cuántico ±1 [(4pac/k)1/2 enotras unidades] correspondiente a los valores propios del generador de carga. Debemosenfatizar que la unidad natural de carga eléctrica es la que hace el potencialelectromagnético coincidir con la componente de la conexión geométrica (e desapareceen el acoplamiento minimal).

Claro está que estas ideas se aplican a la representación fundamental del grupo quecorresponde a espín /2 y carga e. Esta representación es la base con la cual seconstruyen representaciones irreducibles de mayor dimensión. Para estos campos lasmatrices son de mayor dimensión y deben tener valores propios de n /2 y qe.

El cuadro que emerge de esta teoría es que la geometría es el germen de la físicacuántica. A través de ecuaciones ilineales la materia determina la geometría y debeobedecer condiciones de integrabilidad. Las ecuaciones implican una ecuacióngeneralizada de Dirac para la sección material e que tiene el rol de la función de ondaque representa la materia. Una fluctuación irreducible (partícula) es una representaciónirreducible del grupo que lleva ciertos números discretos. De esta manera, los númerosdiscretos de la teoría cuántica surgen en compatibilidad con la continuidad de lageometría diferencial. Los resultados numéricos de las medidas microscópicas sobreuna excitación geométrica necesariamente revelan estos autovalores geométricos discretosde los generadores del grupo geométrico.

Referencias

1 W. Drechsler, Found. Phys. 7, 629 (1977).2 W. Drechsler, J. Math. Phys. 26, 41 (1985).3 W. Drechsler, Class. Quantum Grav. 6, 623 (1989).4 W. Drechsler, Found. Phys. 22, 1041 (1992).5 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea el capítulo 7.6 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.7 G. González-Martín,.Phys. Rev. A51, 944 (1995).8 C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).9 Vea el capítulo 4.

9. DEFINICIÓN DE MASA.

9.1. Introducción.Después de discutir los conceptos fundamentales de cuantos de espín y carga nos

enfrentamos nuevamente al concepto de masa. Este concepto tiene un papel fundamentalen la relatividad como se muestra por la relación de masa con energía y el principio deequivalencia entre las masas inercial y gravitacional pasiva. Desde un punto de vistarelativista, la masa en reposo de un sistema debe ser un concepto único definido en términosde la autoenergía del sistema.

En la teoría cuántica, un parámetro en la ecuación de Dirac se interpreta como la masarelativista en reposo usando el principio de correspondencia. Este parámetro se consideraun parámetro inmensurable, la masa desnuda, y se requiere un proceso de renormalizaciónpara incluir los efectos de la autointeracción en una masa física corregida. Aparte de losinfinitos que aparecen en esta renormalización, no hay una relación clara entre estas masasque sea derivada enteramente de una definición relativista en términos de la energía.Consideramos que esta relación es sólo posible en el marco de una teoría unificada.

Nuestra geometría física determina las ecuaciones de la mecánica cuántica relativistay suministra un parámetro de masa para una ecuación generalizada de Dirac [1, 2]. Comolas ecuaciones ilineales de la teoría y sus condiciones de integrabilidad determinansimultáneamente la evolución del campo y el movimiento de las fuentes, todos los efectosde autointeracción quedan incluidos, en principio, en cualquier solución dada. En otraspalabras, conceptualmente, no es posible tener una solución para la ecuación de campoque no satisfaga la ecuación de movimiento de las fuentes. No se necesitan fuerzas deautorreacción adicionales para describir la evolución del campo y la fuente.

Como en relatividad general, [3] las dificultades de autointeracción surgen cuando seseparan las fuentes del campo al intentar una resolución aproximada. Una aproximación(linealización) que divida estas ecuaciones en un sistema infinito de ecuaciones de distintoorden, exige el cálculo de un número infinito de correcciones debidas a la autointeracción.Esta renormalización es una consecuencia del método de aproximación y no debida a lateoría ilineal. En particular, podría ser posible definir una masa que incluya laautointeracción, sin necesidad de introducir masas desnudas inmensurables.

La ecuación de campo,

( )D ke u eW i** - -= 1 1 , (9.1.1)

implica condiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con la estructurageométrica de J, estas condiciones determinan una ecuación generalizada de Diracque, por lo tanto, no requiere ser postulada separadamente como se hace usualmente


en teorías no unificadas,

( ) ˆê e u em a n

m m n ak ¶ G k- + =12 0 . (9.1.2)

Como Dirac apunto una vez, en una nueva teoría debemos dejar que la mismaestructura geométrica sugiera su posible interpretación física. Para relacionar laecuación de densidad de movimiento con la ecuación estándar de Dirac, el término demasa se interpretó como un parámetro asociado a la parte impar de la conexión. Laconexión define una unidad de masa de la misma manera que la métrica define unidadesde velocidad y de tiempo. En otras palabras, la conexión Gm debe tener las mismas unidadesde ¶m y por lo tanto, el término de masa se expresa naturalmente en unidades de inversode distancia l-1. Esta unidad de masa, junto con la unidad natural de tiempo determinauna unidad de impulso angular que tiene el valor 1 en nuestras unidades naturales.Claro está que esta unidad geométrica de impulso angular corresponde al valor de laconstante de Planck en cualquier sistema de unidades.

Es posible estudiar las propiedades de fluctuaciones o excitaciones de los objetosgeométricos de la teoría unificada. Adicionalmente, si como se sugirió anteriormenteuna partícula puede representarse como una excitación de la geometría, sus propiedadesfísicas se pueden determinar de la fluctuación asociada.

9.2. El Concepto de Masa.En la relatividad, la masa inercial en reposo es la norma de su cuadriimpulso. En la

mecánica cuántica el impulso se relaciona con las derivadas en el espacio tiempo.Para arribar a un concepto de masa dentro de nuestra teoría geométrica, debemosconsiderar las variaciones generadas por una traslación en el espacio base a lo largode las curvas integrales de los vectores de una tétrada espacio temporal ua. Obtenemos,de esta forma, cuatro corrientes geométricas canónicas, como se definieron en elcapítulo anterior, cuyos valores medios sobre el volumen V son

ˆ êdVm

a a mq P s= ò1 , (9.2.1)

donde a indica las cuatro derivadas de Lie con respecto a los vectores ua y P es elimpulso canónico. En coordenadas adaptadas se tiene

ˆ ˆ ê ed e ed xV V

ma a m aq k ¶ s k ¶- -= =ò ò1 1 0 31 1

. (9.2.2)

En particular, consideremos la traza de la corriente temporal,

111Definición de Masa

ˆ e ed xV

q k ¶-= ò1 0 3

00

1 . (9.2.3)

Usando la ecuación de movimiento y suponiendo, por el momento,

ae¶ = 0 , (9.2.4)

se expresa la integral en función de la conexión,

e e e u em m a mm m m ak k ¶ k G k = - = - =0 1

0 2 0 , (9.2.5)

ˆ trtr tr J d xe e d xV V

mmmm Gq k G-= =ò ò 31 3

0

1 1 . (9.2.6)

De la analogía con jmAm es claro que JmGm debe tener el significado de energía y que <q0>es el valor medido correspondiente. Mas tarde volveremos aquí para indicar elsignificado de la condición supuesta, ec. (9.2.4).

Esta energía media nos lleva al concepto de parámetro de masa. Como se apuntóantes, esta masa se puede definir como un parámetro relacionado con la conexión. Porrazones geométricas la unidad de conexión, el inverso de distancia, es la misma deloperador ¶m. Esto suministra una unidad geométrica (natural) de masa en términos delinverso de distancia. Previamente hemos definido la masa por

( )trm mmk G= 1

4 . (9.2.7)

Debemos apuntar que como usamos el tiempo (distancia) como unidad de intervalo, lamétrica y sus matrices relacionadas km son adimensionales. Entonces la masa m tieneunidades de inverso de distancia.

Proponemos ahora una mejor definición del parámetro de masa, que se puede obtenerdel integrando en la ec. (9.2.6),

( ) ( )tr trm e e Jm mm mk G G-= =11 1

4 4 . (9.2.8)

Esta definición se reduce a la anterior, ec. (9.2.7) bajo las hipótesis simplificantes delcapítulo 3.

La masa se define como un parámetro asociado a la conexión y la corriente queresuelven la ecuación ilineal para el sistema en autointeracción. Si el signo de lacorriente cambia se supone que el signo de la conexión también cambia y el signo dela masa sigue positivo. Para una excitación alrededor de una solución geométrica, quellamaremos substrato, la propia solución ilineal para el substrato suministra unparámetro m0 para la ecuación lineal de la excitación, que se puede considerar elparámetro de masa desnuda de la partícula asociada a la excitación.

Como el único elemento del álgebra con traza no nula es la unidad, encontramos


que

e e mImmk G- = +1 (9.2.9)

y podemos escribir las ecuaciones de movimiento,

( )e e e u em m a mm m m m ak k ¶ G k = - = - =1

2 0 , (9.2.10)

como una ecuación de Dirac,

e memmk ¶ = + . (9.2.11)

Si usamos la unidad estándar de masa en vez de la unidad geométrica, aparece unaconstante enfrente del operador diferencial que es la constante de Planck . Lanaturaleza geométrica de la constante de Planck está determinada por la conexión de lamisma manera que la naturaleza geométrica de la velocidad de la luz c es determinadapor la métrica.

9.3. Masa Invariante.Hay una dificultad con la definición dada. La conexión G no es un tensor y la masa

no es invariante bajo cambios arbitrarios de referenciales. Por ejemplo, supongamosque hacemos una transformación por un elemento gÎSL(4,). El nuevo parámetro demasa m’ es

( )( ){ } ( )tr trm J m Jm mm m mG ¶ ¶- - - -¢ = + = +1 1 1 11 1

4 4g g g g g g gg . (9.3.1)

El cambio en la masa es

( )trm J mmD ¶ -= 11

4 gg . (9.3.2)

Si ponemos

( )exp aaEt=g , (9.3.3)

donde el índice a corre sobre todos los generadores Ea, el cambio de masa se puedeexpresar como

( ) ( )tr tra b aa a am J E J E Em m

m mD ¶ t ¶ t= =1 14 4 , (9.3.4)

aam J m

mD ¶ t= 14 . (9.3.5)

En palabras, podemos decir que para tener una masa invariante debemos restringir elcambio g del referencial de forma que el generador de la transformación sea ortogonal


a la corriente J. Por ejemplo, esto significaría para la electrostática estándar, que elpotencial escalar no cambie en la transformación. Si la corriente J es impar la masadada por la ec. (9.2.8) es invariante bajo SL1(2,) y es por lo tanto un invariante deLorentz.

Sin embargo nos damos cuenta que la teoría se aplica a la materia en todo el universo.Si una partícula se asocia a una excitación de una sección material local con unasolución de fondo cósmico geométrico, esperamos que la masa correspondiente estérelacionada con la parte de la conexión responsable de la interacción ilineal local conla corriente local de materia.

Es conveniente separar la corriente en una parte Js correspondiente a un sistemalocal representativo de una partícula y otra parte Jb correspondiente al fondo cósmicoque bordea el sistema. La ecuación de campo toma la forma,

( )t s bD J JW pa* * *= +4 , (9.3.6)

donde Wt es la curvatura de la conexión total Gt. Si no hay materia local, se tiene laecuación de fondo,

b bD JW pa* *= 4 , (9.3.7)

donde Wb es la curvatura de una conexión básica Gb del fondo cósmico.Muy lejos de la región del sistema local podemos considerar que su efecto es una

pequeña perturbación con respecto al fondo cósmico, pero este no es el caso muycerca de una poliada material local. De hecho, muy cerca de esta, el fondo cósmicodinámico puede ser considerado una perturbación con respecto a la autointeracciónilineal en el área de la sección poliádica.

Con esto en mente, podemos definir la forma tensorial potencial material Ls, ladiferencia entre la conexión total y la conexión de fondo,

s t bL G G= - , (9.3.8)

como el elemento responsable de la autoenergía de la interacción de la poliada materiallocal.

Es claro que la diferencia de conexiones es un tensor y que la última ecuación esválida aún en al caso que el efecto del fondo sea nulo. En este caso Gb sería una conexiónplana inercial GI, que sería cero en algunos referenciales pero puede tener otros valoresen referenciales arbitrarios. En general este no es el caso debido a la presencia demateria lejana. Sin embargo, podemos escribir

b I bG G L= + , (9.3.9)

donde la forma tensorial potencial Lb representa el efecto de esta materia lejana. Definamosla forma tensorial potencial dinámica total L como la suma de Ls y Lb.

Una expresión invariante para la masa se obtiene de este potencial total L definiendo


( )( )

( )( )

( )( )tr

trtr

C

s bC

J Jm J

I

m mm m m

m m

L LL L

k kº = = +

-140

0

g

g . (9.3.10)

El parámetro de masa está determinado por el producto escalar, usando la métrica deCartan-Killing, del potencial y la corriente que resuelven el sistema autointeractuanteilineal. Como la métrica de Cartan-Killing depende de la representación [4] del álgebra Ausada en la ecuación de Dirac, el parámetro m depende de la representación escogida. Enalgunas representaciones los productos involucrados son convoluciones en vezmultiplicación de matrices.

Si el fondo cósmico dinámico es despreciable, Gb se puede tomar como una conexiónplana y esta ecuación se reduce a la original en aquellos referenciales donde Gb seacero. Los términos extras que aparecen en la ecuación de Dirac cuando se usa unreferencial inapropiado son similares a los efectos inerciales que aparecen en sistemasde referencia acelerados. Estos efectos aparecen en la ec. (9.2.11), aparte de la masareal, como parte de una interacción inercial “ficticia”. De hecho, la GI plana relacionadacon la conexión de fondo se llama la conexión inercial porque es la parte responsablepor todos estos efectos inerciales.

Debe apuntarse que una partícula se asocia a una excitación de la poliada materiallocal en una región muy pequeña comparada con el universo. La poliada material locales el término dominante y el fondo cósmico dinámico debe tratarse como unaperturbación que consideramos despreciable. Podemos decir que la poliada materiallocal es el substrato para la excitación. En este caso el substrato es el término dominantey la excitación debe tratarse como una perturbación lineal de la solución ilineal desubstrato. El valor del parámetro de masa para la excitación debe estar relacionadocon alguna constante asociada con la solución de substrato.

9.4. El Operador Impulso.La primera definición de masa ec. (9.2.7) fue usada en el capítulo 3, sección 4,

para mostrar la relación de una solución particular, bajo ciertas restricciones, de laecuación de movimiento con la ecuación de Dirac. Con la nueva definición de masaestas restricciones no son necesarias y se obtiene la ecuación generalizada de Dirac,como se indicó en la sección 2. Por otro lado el concepto de partículas materiales seha asociado a excitaciones poliádicas que estrictamente son elementos del álgebra envez de elementos del grupo. Por estas razones, debemos revisar la relación de laecuación de movimiento con la ecuación estándar de Dirac para una partícula.

La ecuación generalizada de Dirac, ec. (9.2.10), es esencialmente una relación entrematrices que representan los elementos de un álgebra de Clifford. En particular, lapoliada material e es un elemento del grupo de automorfismos del álgebra. Si laspartículas se asocian a excitaciones, debemos representarlas como fluctuaciones de


poliadas en vez de poliadas propiamente. La ecuación estándar de Dirac para unapartícula debe corresponder a una fluctuación de la ecuación generalizada de Diracpara la materia. Si las partículas corresponden a representaciones con números cuánticosespecíficos, la excitación asociada debe corresponder a un solo vector de la poliada,el vector propio que tenga como valores propios los números cuánticos especificados.En concordancia, para describir una partícula, debemos restringir las fluctuacionespoliádicas a matrices de la forma

ˆ

ˆ

hh

h


11

21

0

0 , (9.4.1)

ˆ

ˆ

xx

x


11

21

0

0 , (9.4.2)

donde hA indica dos biespinores complejos. Podemos combinar las dos columnas enuna, que puede ser interpretada como un espinor que satisface la ecuación estándar deDirac,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

x

xY

h

h

é ùê úê úê úê ú=ê úê úê úê úë û

11

21

11

21

. (9.4.3)

Es fácil comprobar que el escalar y†y corresponde a la traza de las matricescorrespondientes. Se tiene

( )† † †trY Y h h x x= + . (9.4.4)

Bajo estas condiciones, toda la información de la ecuación de excitación está contenidaen la primera columna de las matrices y la ecuación matricial se reduce a una ecuaciónespinorial. Si la conexión es aproximadamente plana, excepto el término de masa, laecuación espinorial de movimiento resultante es

mmmk ¶ Y Y= . (9.4.5)

Como el límite no relativista de esta ecuación es la ecuación de Schroedinger, querepresenta el movimiento libre de una partícula de masa m, es claro que el teorema de


Ehrenfest [5] es válido en este límite. Como resultado, el valor medido obedece la segundaley de movimiento de Newton. En cierto sentido nuestra teoría dice que hay unacorrespondencia con la mecánica y debemos interpretar <-ih¶m> como el impulso clásicoy <-ih¶0> como la energía clásica. Queda claro también que los operadores querepresentan geométricamente el impulso y la posición satisfacen automáticamente lasconocidas relaciones de conmutación de Heisenberg,

[ ],p x i= - , (9.4.6)

[ ],E t i= . (9.4.7)

Ahora estamos en posición de indicar que la ec. (9.2.4) significa, en esta teoría, quela partícula asociada a la fluctuación especificada tiene triimpulso lineal cero y suenergía es igual a la masa en reposo, como debe ser en el caso de la mecánica cuánticarelativista.

Las relaciones físicas de incertidumbre son la consecuencia de la geometría en vezde su fuente. Como se indicó en la sección 8.1, no puede argumentarse que la geometríaes “difusa”. Se puede decir que la asociación de un operador diferencial con el impulsotiene un carácter geométrico. También debe quedar claro que el i imaginario en laecuación de Schroedinger (o Dirac) surge del uso del álgebra geométrica para construirla corriente material como se demostró en capítulos anteriores. En adición, el operador¶m está presente en la ecuación porque surge de la ecuación de conservación de lacorriente J.

9.5. Resumen.Presentamos una definición invariante de masa en reposo, dentro de nuestra teoría

geométrica unificada, en términos del concepto de autoenergía de la interacción ilineal.Una excitación lineal de una solución ilineal de substrato obedece la ecuación de Diraccon el término apropiado de masa.

Referencias

1 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990). 2 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). 3 A. Einstein, L. Infeld, B. Hoffmann, Ann. Math. 39, 65 (1938). 4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and

Sons, New York), p. 248 (1974). 5 A. Messiah, Quantum Mechanics, translated by G: M. Temmer (North Holland,

Amsterdam), p. 216 (1961).

10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA.

10.1. Introducción.En el capítulo 6 mostramos que si tomamos en consideración la estructura geométrica

del fibrado principal E y del fibrado afín W, relacionada con la estructura algebraica de susfibras, un proceso de variación de las ecuaciones de la teoría suministra una interpretaciónde los campos extendidos de Jacobi como operadores cuánticos. También se mostró que esposible definir una operación de corchetes que se convierte en los conmutadores para loscampos de Jacobi asociados a la conexión y en los anticonmutadores (o conmutadores)para los asociados a la poliada. Esta operación corchete nos lleva a las relaciones decuantización de la teoría cuántica de campos para los campos bosónicos de interacción ylos campos fermiónicos materiales.

Ahora discutiremos, en particular, si la teoría nos da la electrodinámica cuántica (EDC)incluyendo su interpretación probabilística [1]. Una característica básica de la teoríapropuesta es la ilinealidad. Una solución no puede obtenerse por la suma de dos o mássoluciones y por lo tanto no es posible construir soluciones exactas partiendo desubsistemas pequeños. Si embargo, es posible estudiar sus ecuaciones locales linealizadasque representan excitaciones que evolucionan aproximadamente bajo la influencia de losefectos heredados de la ecuación ilineal.

Si representamos las partículas como excitaciones, la interacción entre dos partículascorresponde a la interacción de dos de estas excitaciones geométricas, generadas poroperadores geométricos de Jacobi. El acoplamiento geométrico es entre la conexión y lapoliada. La interacción entre electrones (excitaciones poliádicas) es intermediada por fotones(excitaciones de conexión).

10.2. Relaciones Geométricas.

10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi.El producto ab en el anillo A [2]se ha tomado, en general, como el producto de Clifford.

Como el fibrado poliádico E es un fibrado principal y su fibrado tangente TE tiene comofibra la estructura algebraica heredada del grupo, es necesario que el producto escogido seacerrado en el álgebra de forma que el resultado también esté valuado en el álgebra de Lie.Geométricamente debemos especializar, como se indicó anteriormente, que el producto enel anillo sea el producto de Lie. Entonces el producto ab es cero cuando su gradación espar. El corchete sobrevive solamente cuando el conmutador de ab no se anula porque sugradación es impar y corresponde a los anticonmutadores. En otras palabras, el producto


en el anillo obedece las relaciones

[ ], na b a b ab· = ¹ 2 , (10.2.1)

na b ab· = =0 2 . (10.2.2)

Con este producto el corchete definido anteriormente satisface, para los campos deoperadores materiales de Jacobi,

{ } { }, ,V W W Va b b a= , (10.2.3)

que es el anticonmutador.El fibrado de conexiones, W, es un fibrado afín y el producto del anillo asociado a la

fibra de TW es conmutativo. Por lo tanto, el corchete es el conmutador para los camposde operadores de Jacobi de la conexión.

10.2.2. Relaciones de Conmutación.Si tomamos el principio de acción de Schwinger [3], obtenemos las relaciones de

cuantización deseadas requiriendo que los operadores cuánticos Y sean operadores decampo vectorial de Jacobi,

( ) ( ){ },x yY dY = 0 , (10.2.4)

( ) ( ){ } ( ), ,x y x ym mY P d= - . (10.2.5)

Como se discutió anteriormente, los vectores de Jacobi Vs representan fluctuacionesde secciones s del fibrado E. La prolongación jeta jV

de una extensión V de Vs es un

campo vectorial en JE que actúa como operador sobre las funciones en JE. Un campovectorial de Jacobi, como vector vertical sobre la sección poliádica s(M) se puedeconsiderar como un desplazamiento de s. Similarmente, sus prolongaciones jetas sepueden considerar como un desplazamiento de js, en otras palabras una variación,

( )j

jj

d sV s

dl= . (10.2.6)

La acción lineal de los campos de Jacobi sobre las secciones del substrato nospermite asociarlos con objetos de la teoría cuántica. Podemos considerar la secciónpoliádica del substrato como el estado |ñ de un sistema físico y los campos de Jacobicomo los operadores lineales físicos Y que tienen una acción geométrica sobre losestados.

Una sección poliádica material física se puede expresar en términos de seccionespoliádicas de referencia. Estas secciones son también sistemas físicos. Por tanto, ellas

119Electrodinámica Cuántica

pueden evolucionar bajo la acción del mismo grupo que actúa sobre las seccionesmateriales. Esto representa la conocida equivalencia de las visiones activa y pasiva dela evolución. Podemos considerar que el sistema físico evoluciona relativo a una secciónpoliádica fija de referencia o, equivalentemente, que el sistema esta fijo relativo a unsistema de referencia que evoluciona.

Podemos escoger una sección de referencia de forma que la sección de substrato noevolucione. En esta condición la sección de substrato permanece fija y los operadoresde Jacobi obedecen la ecuación de movimiento linealizada. (Cuadro de Heisenberg).

Los campos vectoriales de Jacobi y sus prolongaciones jetas transforman bajo larepresentación adjunta del grupo. Podemos usar estas transformaciones a una nuevasección de referencia donde los operadores de Jacobi no evolucionen. En esta condiciónla dependencia temporal de los operadores de Jacobi se elimina y las secciones desubstrato obedecen ecuaciones de movimiento, indicando que el estado es dependientedel tiempo (Cuadro de Schrödinger).

10.3. Electrodinámica Geométrica.

10.3.1. Partículas Libres y Corrientes.Debe estar claro que una solución exacta del problema propuesto no es posible con

esta técnica linealizada. La razón para esto es la presencia de la ilinealidad de lasautointeracciones en las ecuaciones. Debemos considerar solamente solucionesaproximadas. La interacción entre las excitaciones poliádicas es intermediada por lasexcitaciones de la conexión. En EDC (QED) la interacción se impone sobre ciertos camposespeciales llamados “campos libres”, el campo electrónico y el campo de radiación.Aquí tenemos que discutir que secciones poliádicas y de conexión corresponden aestos campos libres. Se tiene que escoger una excitación poliádica que represente unelectrón “libre”. Similarmente, debemos escoger una excitación conectiva que representeun fotón “libre”.

La ecuación de movimiento

emmk = 0 , (10.3.1)

incluye términos de autointeracción. No es posible poner la conexión de substratoigual a cero porque automáticamente eliminaría la autoenergía y el parámetro de masade acuerdo con nuestra teoría. Entendamos como electrón “libre” una excitaciónpoliádica con el parámetro de masa correcto determinado por el substrato [4]. Laaproximación más simple es entonces suponer que todos los efectos de autointeracción,al primer orden, están concentrados en el único parámetro de masa. La ecuación defluctuación es,

interac.e memmk ¶ = + . (10.3.2)


Es natural considerar un campo poliádico libre como uno que satisface la ecuaciónanterior sin el término de interacción. Una solución de esta ecuación libre suministrauna sección poliádica de excitación que puede ser utilizada con nuestra técnica. Lasecuaciones linealizadas de fluctuación, con el término de interacción, determinan laevolución de los campos de excitación de la conexión y las poliadas.

La ecuación de campo,

D JW pa* *= 4 , (10.3.3)cuando la conexión tiene solamente la componente electromagnética k0 se reduce a laelectrodinámica pura,

d dA jpa* *= 4 . (10.3.4)

Es natural considerar un campo de conexión libre como aquel que satisfaga laecuación anterior con j=0. Una solución a la ecuación de campo suministra una secciónde substrato para la excitación de conexión, que puede ser usada con la técnica propuesta.

Para obtener la EDC estándar de la teoría geométrica, tenemos que reducir el grupode estructura a uno de los 3 subgrupos U(1) en el sector electromagnético SU(2). Lacomponente u(1) correspondiente de la fluctuación de la conexión generalizada es elpotencial electromagnético Am. Similarmente, una fluctuación electromagnética de lacorriente material determina la fluctuación de la corriente generalizada. Esta fluctuacióndebe ser generada por uno de los tres generadores electromagnéticos, por ejemplo, k5.La corriente eléctrica estándar es la componente de esta fluctuación de corriente en elsector electromagnético,

( ) ( ) ( )( )

tr tr , tr

tr

j J J J

J

d k k k d k k k k k k k k

k

é ù= = =ê úë û

=

1 2 3 1 2 3 5 5 1 2 31 1 1 14 4 2 4

014

. (10.3.5)

Ya se ha demostrado que la corriente estándar en la teoría cuántica está relacionadacon la componente k0 de la corriente generalizada [5],

( )tr trJ e em m mk k k Yg Y= =0 01 14 4 , (10.3.6 )

que es la corriente eléctrica para una partícula con carga igual a un cuanto en lasunidades geométricas.

10.3.2. Electrodinámica Cuántica.Podemos escoger una sección de referencia de forma que ambas secciones de

substrato, que incluyen las autointeracciones respectivas de los dos sistemas “libres”,también incluyan un movimiento libre de ambas excitaciones relativo al observador.Las dos secciones de substrato no son soluciones del sistema interactuante, sino que


son soluciones de fondo. Esta situación corresponde al cuadro de interacción en EDC.Escogiendo apropiadamente la poliada de referencia, ambas secciones de substrato(estados) tienen el movimiento libre, incluyendo efectos de autointeracción, y losoperadores de Jacobi de ambas excitaciones representan la dinámica de la interacciónentre los dos sistemas, excluyendo ambas autointeracciones.

El único efecto invariante de la autointeracción en el movimiento libre de los camposes el parámetro de masa m. Los otros efectos de la interacción física total, asociadoscon los campos de fluctuación, corresponden a una energía efectiva neta de interacciónque se puede escribir como

e e mI Hmmk G - = . (10.3.7)

El primer término de H es la interacción física total. El significado del segundotérmino es que la autoenergía de la masa no está incluida en la fluctuación y estemétodo (o EDC), por construcción no es adecuado para calcular la masa desnuda.

Se conoce que el lagrangiano para la primera variación de las ecuaciones de Lagrangees la segunda variación del lagrangiano. Para ambos campos libres, la segunda variacióncorrespondiente del lagrangiano nos da el campo libre de Maxwell-Dirac. Como lavariación de la corriente tiene solamente una componente k0 expresada por la ec.(10.3.6)y la variación de la conexión tiene a Am como componente k0, la segunda variación ohamiltoniano nos da, en términos de estos operadores de Jacobi de campos deinteracción dG, dJ,

( ) ( )tr trH L J A Am mm md dGd k k Yg Y Yg Yº = = = -2 0 01 1

4 4 , (10.3.8)

que es el hamiltoniano estándar de interacción en EDC.Hemos obtenido un conjunto de operadores lineales (las prolongaciones de campos

de Jacobi) que actúan sobre secciones que forman un espacio de Banach (estados)donde los operadores obedecen relaciones de conmutación de corchetes, conmutadorespara A y anticonmutadores para Y. Adicionalmente, el lagrangiano geométrico de lateoría se reduce a un lagrangiano en términos de operadores que es el lagrangianoestándar para QED.

Desde este punto podemos proceder usando las técnicas, notación y lenguaje deEDC, equivalentes a técnicas geométricas, para cualquier cálculo que se quiera haceren esta aproximación de la teoría geométrica. El resultado del cálculo debe serinterpretado físicamente, de acuerdo con las ideas geométricas. Este es nuestra próximatarea, el obtener una interpretación estadística para las fluctuaciones en la teoríageométrica.

10.3.3. Interpretación Estadística.La significación física de las secciones locales en la teoría geométrica ilineal

incluye la influencia holística del universo total de materia e interacciones. La geometría


de la teoría, incluyendo la noción de excitaciones, está determinada por el gran numero defuentes en el universo. Dentro de esta teoría geométrica y su interpretación, no es apropiadoconsiderar las secciones asociadas a una partícula única o excitación. Mas bien, ellasestán asociadas a los efectos geométricos globales ilineales de la radiación y la materiagruesa extendida.

Esta no es la situación acostumbrada donde se establecen las teorías físicas. Esusual postular leyes fundamentales entre objetos microscópicos fundamentales(partículas). Para trasladar la geometría global universal a la física microscópica usual,como hemos asociado las partículas a excitaciones geométricas, estableceremos lo quellamaremos un “régimen microscópico de muchas excitaciones”, que se distingue de lasituación descrita en el párrafo precedente.

La estadística entra en nuestra teoría en una manera distinta de la usual, donde sepostulan las leyes microscópicas fundamentales entre partículas elementales ideales yel análisis estadístico se usa por las dificultades que surgen cuando se combinanpartículas para formar sistemas complejos. Aquí las leyes fundamentales se postulangeométricamente para toda la materia y radiación presente en el sistema (el universofísico) y el análisis estadístico surge de las dificultades y aproximaciones inherentes enla partición del sistema ilineal en subsistemas lineales microscópicos elementales defluctuaciones. Como consecuencia de esta situación holística, los resultados asociadosa excitaciones fundamentales deben tener un carácter estadístico natural (clásico) quecorresponda al de la teoría cuántica.

Consideremos que podemos trabajar en dos regímenes diferentes de la teoríageométrica. Uno es el régimen holístico geométrico, holofísico, que no representa apartículas, donde hay ecuaciones ilineales exactas entre las secciones locales poliádicas,que representan la materia y la sección de conexión que representa la interacción. El otroes el régimen microscópico de muchas excitaciones donde tenemos ecuaciones linealesaproximadas entre las variaciones de las secciones poliádicas y de conexión, querepresentan partículas y campos.

En el régimen de muchas excitaciones, los efectos ilineales quedan escondidos enuna solución de substrato y en su lugar aparecen efectos locales lineales aproximadosde los subsistemas, vistos como una colección de excitaciones en el substrato. Elnúmero de excitaciones es naturalmente muy grande y las interacciones cruzadas entreellas hacen imposible un tratamiento exacto para una excitación. En su lugar es necesariotratar a la excitación como una entre un conjunto grande de excitaciones y usar la teoríaestadística clásica.

Las excitaciones geométricas forman un ensamble estadístico de densidad depoblación ni. No es posible seguir la evolución de una de ellas por los argumentosanteriores. Es absolutamente necesario usar estadísticas para describir la evolución delas excitaciones. La situación es similar a la que se presenta en las reacciones químicaso la radiación, donde las partículas son creadas o aniquiladas estadísticamente.

Existen técnicas estadísticas clásicas adecuadas para describir estos procesos. Losmétodos matemáticos usados en química física se pueden aplicar a las excitaciones


geométricas. En particular, podemos usar la teoría de la termodinámica irreversible [6]para calcular la velocidad de reacción entre diferentes excitaciones geométricas. Elproceso se describe por medio de la densidad de flujo que caracteriza el flujo de nexcitaciones entre dos sistemas o velocidad de reacción,

dndt

= . (10.3.9)

Es también necesario introducir una función fuerza, , que es llamada afinidad yrepresenta diferencias de parámetros termodinámicos intensivos. El uso de estosconceptos clásicos se deriva de un análisis estadístico fundamental. Cuando hayequilibrio entre dos subsistemas diferentes, ambas variables, la afinidad y el flujo seanulan.

La identificación de la afinidad se hace considerando la velocidad de producción deentropía s,

kkk

k

d nds sdt n d t

¶¶

= = , (10.3.10)

de donde se identifica que la afinidad asociada a una excitación dada es

kk

k

s uu n T

¶ ¶ m¶ ¶

= = , (10.3.11)

donde u es la energía, T es la temperatura y m es el potencial de excitación, similar alpotencial químico usado para determinar la estadística de las reacciones químicas.

El flujo estadístico es una función de la afinidad y vemos que la estadística dereacción de las excitaciones geométricas debe depender de la energía clásica geométricade las excitaciones. Una excitación es un parámetro extensivo x que tiene asociado unparámetro intensivo F relacionado termodinámicamente con el cambio de energía,

du Fdx= - . (10.3.12)En un punto, la excitación es una función del tiempo que siempre se puede descomponeren funciones armónicas. En general, la energía de oscilaciones armónicas depende dela amplitud de las excitaciones. Entonces, la probabilidad de ocurrencia de un eventoúnico de reacción, implícita en la velocidad de reacción determinada por el potencialde excitación, depende de la amplitud de excitación. Este es el significado de lainterpretación probabilista de los campos cuánticos.

En algunos casos, para sistemas lineales markoffianos (sistemas cuyo futuro estádeterminado por su presente y no por su pasado), el flujo es proporcional a la afinidad

= ¶D D

¶ 0

(10.3.13)


y el calculo de velocidades de reacción se simplifica, indicando explícitamente ladependencia del flujo en los potenciales de excitación.

10.4. Aplicaciones.Para ilustrar este carácter estadístico del régimen linealizado, discutamos la dualidad

onda o corpúsculo de la luz y la materia, típicamente demostrada en el experimento dedoble interferencia de Young, dentro de los conceptos de la teoría geométrica. Hayexcitaciones que corresponden a partículas múltiples y muestran los “estadosenredados” de Schrödinger. En los últimos años ha habido una revolución en lapreparación experimental de enredos de multipartículas [7, 8, 9, 10, 11]. En particularconsideremos un interferómetro de dos partículas, ilustrado en la figura 2. En el centrohay una fuente de partículas en decaimiento, con una extensión vertical d. Dos pantallasde colimación, cada una con un par de rendijas ofrecen caminos alternativos a un par departículas que se detectan finalmente en dos pantallas.

Una partícula física (p.e. un fotón) es una excitación del campo de substrato deradiación correspondiente. En términos geométricos, un vector de Jacobi Y, asociado auna variación de una sección e o w, representa la partícula. Como se indicó en la secciónprecedente, no es posible seguir la evolución de una excitación única Y. La técnicaestadística clásica es tratar la radiación como un reservorio termodinámico deexcitaciones. Esta técnica se usó en el estudio de la radiación del cuerpo negro [12, 13,14] y fue el origen de la teoría cuántica de Planck. En años recientes una idea similarllevó a la introducción de la cuantización estocástica [15, 16], que se ha demostradoequivalente a la cuantización por integrales de camino. Nuestra técnica es diferente,por ejemplo no introducimos una evolución a lo largo de una dirección ficticia de tiempocomo se hace en la cuantización estocástica. Nosotros nos apoyamos en la existenciade una geometría global ilineal que hace una necesidad práctica el tratamiento estadísticode las ecuaciones lineales que describen la evolución de subsistemas microscópicos.Los átomos en la pantalla son un ensamble de excitaciones poliádicas o electronesalrededor de su substrato electrónico, en contacto con el reservorio de radiaciones quees un ensamble de excitaciones de conexión o fotones alrededor de su substrato fotónico.El equilibro del sistema total, radiación y pantalla, es determinado por la igualdad delos potenciales de excitación asociados a las excitaciones geométricas que forman lossubsistemas electrónico y fotónico. Cuando no hay equilibrio hay un flujo deexcitaciones entre la radiación y la pantalla. Las técnicas de la termodinámica irreversiblerelacionan esta densidad de flujo de excitaciones con la afinidad, que depende de ladiferencia de los potenciales de excitación correspondientes. También suponemos quetenemos sistemas markoffianos. Esta aproximación se ha usado satisfactoriamente enla teoría cuántica de amortiguación de sistemas de láser [17, 18].

Para calcular los potenciales de excitación necesitamos expresar la energía en términosdel número de excitaciones. La excitación de radiación debe ser una excitación de la conexióngeométrica, sin masa, de largo alcance y que sea una representación del grupo G=SL(2,)


inducida del subgrupo P=Sp(2,). Como se indica en la sección 7.2, esta representación secaracteriza por el número cuántico helicidad determinado por una representación del grupo deisotropía SO(2,1). La correspondiente representación irreducible fundamental, que es el fotón,debe llevar un cuanto de impulso angular. La presencia de helicidad implica que un fotón es unaoscilación armónica de alguna frecuencia n. Entonces los operadores vectoriales de Jacobi Y sepueden descomponer en sus fotones irreducibles usando una descomposición en una serie deFourier.

Debe quedar claro que las relaciones geométricas de conmutación o anticonmutación de losoperadores Y implican relaciones similares para las amplitudes de sus osciladores fundamentales(componentes de Fourier) a. En consecuencia, la energía de los osciladores armónicoscorrespondientes a las excitaciones está cuantizada, con los mismos resultados de la teoríacuántica. Estas amplitudes se convierten en operadores de creación o aniquilación. Bajo estascondiciones el operador número,

†N a a= , (10.4.1)tiene valores propios discretos n que indican el número de fotones y determinan la energíade los osciladores. Los cuantos de energía, para valores grandes de n, son los autovalores

n ne n næ ö÷ç= + »÷ç ÷çè ø

12

, (10.4.2)

Figura 2

yz x

A

B

B’

A’

PP’ d/2

-d/2


en unidades geométricas donde la constante de Planck es 1. La energía de las excitacionestiene cuantos de valor proporcional a la frecuencia n.

En el experimento estándar de Young las ondas que llegan a un punto de la pantallatienen la bien conocida diferencia de fase f que nos permite escribir para la amplitudresultante,

i ie ef fY Y Y -= +0 0 . (10.4.3)

El campo de radiación tiene una amplitud modulada a través de ciertas regiones delespacio debido al patrón de interferencias producido por las ondas. Esto significa quela energía promedio no está distribuida homogéneamente sino concentrada en lasregiones de mayor amplitud. Para n grande, cuando la amplitud Y0 se expresa en términosde los operadores de creación a, obtenemos una expresión para la energía modulada,

† † cos cosa a n uY Y f n fn n

æ ö÷ç= = =÷ç ÷çè ø2 24 44 . (10.4.4)

Esta ecuación muestra que, como un oscilador armónico de cualquier tipo, la energía totalde nuestras excitaciones geométricas es igual a la energía potencial máxima dada por elcuadrado de la amplitud de desplazamiento Y del parámetro extensivo. Esta amplitud deenergía potencial es la interpretación física del operador vectorial de Jacobi Y.

Debemos considerar un potencial de excitación local definido dentro de un dominio de volumen,determinado por una distancia de correlación, donde la densidad de energía pueda tomarse comoconstante. Entonces el potencial de excitación es

un

¶m

¶= , (10.4.5)

donde n es el autovalor de N o número de fotones.La energía de la excitación determina la expresión para el potencial de excitación,

cos cos sinlpm n f n a

læ ö÷ç= = ÷ç ÷çè ø

2 2 . (10.4.6)

En nuestro caso tenemos que considerar una onda de excitación de m-particulas.Para aclarar la situación y evitar confusiones con el concepto de partícula, definamosuna excitación de m-corpúsculos como la representación correspondiente al productotensorial de m representaciones fundamentales (1-corpúsculo). La amplitud del campovectorial de Jacobi de la excitación es una representación de m productos.

Consideremos el caso de un experimento con una excitación de 2-corpúsculos, enparticular el caso de dos experimentos de Young adosados, lado con lado. No solamentetenemos una correlación entre caminos alternativos a través de A y B para el corpúsculoderecho sino también correlaciones entre los caminos A o B y A’ o B’ para la excitación


de 2-corpusculos formada por el producto de dos excitaciones de 1-corpusculo. Si unapartícula decae a la altura x sobre la línea de centros, se puede detectar una partícula enla pantalla derecha a la altura y y otra en la pantalla izquierda a la altura z. La diferenciade fase f para la partícula del lado derecho tiene una contribución del ángulo en lapantalla

P

lyr

pf

l= , (10.4.7)

y otra del ángulo en la fuente,

P

lxr

pf

l= , (10.4.8)

determinando para valores pequeños de y y z,

( )P x ypq

fl

= + , (10.4.9)

donde q es el ángulo subtendido por las dos rendijas. Una expresión similar se obtienepara la partícula del lado izquierdo,

( )P x zpq

fl¢ = + . (10.4.10)

La amplitud de la excitación de Jacobi, que es una representación producto de lasdos excitaciones, es

( ) ( )cos cosd

d

adx x y x z

dpq pq

Yl l

+

-

é ù é ùê ú ê úµ + +ê ú ê úë û ë û

ò2

2

. (10.4.11)

Si d es mucho más pequeña que l/q la integral da el producto de dos patrones deYoung, como debe ser. Si, por el contrario, d es mucho más grande que l/q, esta integralda

( )cosaz y

pqY

læ ö÷çµ - ÷ç ÷çè ø2

. (10.4.12)

Obtenemos para el potencial de excitación

( )cos z ypq

ml

é ùæ ö÷çê úµ - ÷ç ÷çê úè øë û

2

. (10.4.13)


La probabilidad de la detección simultánea de partículas en P y P’ está determinadapor este potencial de excitación. Hay regiones de alta y baja probabilidad debido alpatrón de interferencias de las amplitudes de excitación. Estos casos recién ilustradospara interferómetros de 1-particula y 2-particulas presentan una característica generalde las excitaciones de secciones en la teoría geométrica. Similarmente, la probabilidad dela detección de partículas correlacionadas con energías E y E’ o momento k y k’ debe estardeterminada por un potencial de excitación. No hay ecuaciones exactas para situacionesfísicas con una excitación única. Toda situación física real en el régimen linealmicroscópico requiere el uso de estadísticas. El resultado de experimentos microscópicosde transición depende de los potenciales de excitación de los sistemas. El requisito deestadísticas necesariamente conduce a la interpretación probabilista de la teoríacuántica. Si, dentro de un arreglo experimental particular, podemos físicamente distinguirentre dos estados de excitación, no hay lugar para aplicar estadísticas y por consiguienteel patrón de interferencias está ausente. Este es el contenido del pronunciamiento deFeynman acerca de a l te rna t ivas indis t inguib les exper imenta lmente [19] .Fundamentalmente las estadísticas en la mecánica cuántica son las estadísticas clásicasde excitaciones de secciones en esta geometría física. Las objeciones planteadas porEinstein [20, 21] a la interpretación probabilista se resuelven automáticamente porqueestas estadísticas entran debido a la falta de conocimiento detallado del estado de muchasexcitaciones.

10.5. Resumen.Las excitaciones geométricas se usaron para representar la teoría de electrodinámica

cuántica. Las excitaciones de la conexión y las excitaciones de la poliada se reducen,respectivamente, al operador del campo electromagnético y al operador del campoelectrónico. Debido a la estructura geométrica y algebraica inherente, estos operadoresobedecen las reglas de conmutación estándar. El uso del análisis armónico introducelos operadores de creación y aniquilación asociados a las ondas de excitación. Laenergía de las excitaciones de la conexión es n.

Las técnicas geométricas se reducen a las técnicas de ECD (QED). Sin embargo, suuso está limitado a excitaciones perturbativas y por lo tanto excluye su aplicación a laautointeracción y en particular al cálculo de masas desnudas.

Las ecuaciones geométricas ilineales se aplican al universo total de materia yradiación. Si trabajamos con excitaciones, esto implica que necesitamos usar la teoríaestadística cuando consideramos la evolución de subsistemas microscópicos. El usode la estadística clásica, en particular de técnicas de la termodinámica irreversible,determina la probabilidad de absorción o emisión de excitaciones geométricas a travésdel potencial de excitación como una función de la densidad de energía clásica.

La emisión y absorción de excitaciones geométricas implican cambios discretos deciertas variables físicas porque son representaciones de un subgrupo, pero con unaprobabilidad determinada por la densidad de energía de la excitación. Por lo tanto, esta


Referencias

1 G. González-Martín, ArXiv physics/0009042, USB Report SB/F/272-99 (1999). 2 Vea la sección 5. 3. 3 Vea la sección 5. 6. 4 Vea la sección 9. 3. 5 Vea la sección 3. 6. 6 H. B. Callen, Thermodynamics, (J. Wiley & Sons, New York), p. 289 (1960). 7 M. A. Horne, A. Zeilinger, in Proc. Symp. on Foundations of Modern Physics, P. Lahti,

P. Mittelstaedt, eds., (World Science, Singapore), p. 435 (1985). 8 C. O. Alley, Y. H. Shih, Proc. 2nd Int. Symp. on Foudations of Quantum Mechanics in the

Light of New Technology, M. Namiki et al, eds. (Phys. Soc. Japan, Tokyio), p. 47(1986).

9 M. A. Horne, A. Shimony, A Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 62, 2209 (1989).10 R. Ghosh, L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 59, 1903 (1987).11 Y. H. Shih, C. O. Alley, Phys Rev. Lett. 61, 2921 (1988).12 M. Planck, Verh. Dtsch. Phys. Gesellschaft, 2, 202 (1900).13 S. Bose, Z. Physik 26, 178 (1924).14 A. Einstein, Preuss. Ak. der Wissenschaft, Phys. Math. Klasse, Sitzungsberichte, p, 18

(1925).15 G. Parisi, Y. S Wu, Sc. Sinica, 24, 483 (1981).16 P. H. Damgaard, H. Huffel, Physics Reports 152, 229 (1987).17 W. H. Louisell, L. R. Walker, Phys. Rev. 137B, 204 (1965).18 W: H. Louisell, J. H. Marburger, J. Quantum Electron. QE-3, 348 (1967).19 R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Quantum Mechanics. (Addison

Wesley, Reading), p.3-7 (1965).20 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).21 N. Bohr, Phys. Rev. 48, 696 (1936).

teoría no contradice los aspectos fundamentales de la teoría cuántica. Al contrario,ofrece una justificación geométrica para la existencia de cuantos discretos de energía,espín, carga eléctrica y flujo magnético.

11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONA-LES.

11.1. Introducción.Como se mostró en el capítulo 7, las excitaciones que representan partículas tienen un

flujo magnético cuantizado. Es posible que estos cuantos de flujo correspondan a nivelesdefinidos de impulso angular total y que estén asociados a órbitas electrónicas. En estecaso sería posible observar sus efectos en un gas de electrones bajo un campo magnéticointenso a bajas temperaturas. Esta asociación puede ser útil en el análisis del efecto Hallcuántico. La teoría del efecto integral, EHCI (IQHE), y la del efecto fraccional, EHCF (FQHE),se han desarrollado por la construcción explícita de las funciones de onda de los estadoscuánticos que describen muchas características de estos fenómenos [1, 2, 3]. Sin embargo,aún puede ser posible explicar ciertos hechos partiendo de principios generales, como asílo sugiere la exactitud extraordinaria de los resultados experimentales. Claro que, los análisisdetallados y funciones de onda todavía serían necesarios para una descripción completa.Sería como utilizar la teoría de representaciones del grupo de Lorentz para caracterizar losestados del electrón en un potencial central en vez de usar las funciones de ondaparticulares. De esta manera esperamos exhibir los principios generales implicados. Dehecho, fue la generalización del grupo de Lorentz (automorfismos del espacio de Minkowski)al grupo de automorfismos del álgebra geométrica del espacio de Minkowski y lainterpretación física correspondiente, [4, 5], que indicó que cualquier partícula (ocuasipartícula) masiva debe llevar, no solamente cuantos de impulso angular, sino tambiéncuantos de carga eléctrica e y cuantos de flujo magnético, h/2e , (uno o más), que puedenser intrínsecos u orbitales.

11.2. Cuantos de Flujo Magnético.Usualmente el movimiento en un campo magnético constante se discute en coordenadas

cartesianas en términos de estados con energía definida y componentes de impulso linealdefinido. Los niveles de energía resultantes, de Landau, son degenerados en términos de lacomponente de impulso. Adicionalmente, para el electrón, los niveles de energía de Landauson doblemente degenerados exceptuando el nivel inferior. Para usar estados de impulsoangular definido, el problema se expresa en coordenadas cilíndricas y la energía de losniveles es [6],

( )eBU n m sMc

= + + +12

, (11.2.1)


donde B es el campo magnético a lo largo del eje positivo de simetría z, m es el valorabsoluto del número cuántico de impulso angular, también a lo largo del eje z positivo,n es un número cuántico no negativo asociado a la función de onda radial y s es elespín. Esta expresión tiene la peculiaridad que aun para m igual a cero, puede habercuantos de energía asociados a la dirección radial.

Las ecuaciones de movimiento de partículas cargadas en un campo magnéticoconstante, en la mecánica clásica o cuántica, no determinan el impulso ni el centro derotación de la partícula. Estas variables son el resultado de un proceso previo queprepara el estado de la partícula. Podemos idealizar este proceso como una colisiónentre la partícula y el campo. Como el campo magnético no realiza trabajo sobre lapartícula la energía de la partícula se conserva si el sistema se mantiene aislado despuésde la colisión inicial. También se conserva el impulso angular de la partícula con respectoal centro eventual de rotación. Los valores de impulso angular y energía adentro delcampo son iguales a sus valores afuera del campo. Esto implica que no hay energíacinética asociada a la función de onda radial como lo permite la ecuación. Por lo tanto,debemos excluir todos los valores de n, que representan la energía radial, excepto elvalor cero. Esto significa que la energía sólo depende del impulso angular, como en lateoría clásica.

La degeneración de los niveles de energía, aparte de la debida a la componente deimpulso a lo largo del campo, es la debida a la dirección del espín como en el caso de lascoordenadas cartesianas. Solamente los electrones en movimiento hacen unacontribución al efecto Hall, así que podemos rechazar los estados de impulso angularorbital igual a cero. Cada nivel degenerado de energía tiene dos electrones, uno conespín hacia abajo y impulso orbital m+1 y otro con espín hacia arriba y impulso orbitalm. Cada nivel degenerado de energía se puede considerar que tiene una carga total qigual a 2e, espín total 0 y un impulso angular orbital total 2m+1. Usando unidades desemienteros,

( )( )zL m= +2 2 1 2 . (11.2.2 )

En el tratamiento clásico del movimiento en un campo magnético se conoce que elimpulso cinético clásico de una partícula tiene una circulación, alrededor de la curvacerrada correspondiente a una órbita, que es el doble de la circulación del impulsocanónico. Esta última, a su vez, es igual al negativo del flujo magnético encerrado porla curva [7]. Esto es, para un valor dado de cuantos de impulso angular en un niveltípico, debemos asociar un número de cuantos de flujo magnético orbital. De acuerdocon la ecuación anterior, asignamos un flujo FL a un nivel degenerado,

( )( )Lhm eF = - +2 2 1 2 . (11.2.3)

Cuando tenemos un gas de electrones en vez de un solo electrón, los electronesocupan un número de estados disponibles en los niveles de energía dependiendo del


nivel de energía de Fermi. Los electrones en órbita son corrientes circulares efectivasque inducen un flujo magnético antiparalelo al flujo externo. El gas de electrones secomporta como un cuerpo diamagnético, donde el campo aplicado se reduce a un camponeto, debido al campo inducido por el movimiento electrónico. Asociada a lamagnetización macroscópica M, la inducción magnética B y el campo magnético Hintroduzcamos para cada nivel, respectivamente, un flujo cuántico FM de magnetización,un flujo cuántico FB neto de B, y un flujo cuántico FH desnudo de H. Estos flujostienen que estar relacionados por

B H MF F F= + . (11.2.4 )

El primer nivel de energía de los electrones en movimiento no es degenerado,correspondiendo a un electrón con espín hacia abajo y un cuanto de impulso orbital.Para que el electrón orbite tiene que haber un flujo (neto) orbital dentro de la órbita. Siel flujo está cuantizado, el mínimo posible es un (1) cuanto de flujo orbital para elelectrón. En adición, otro cuanto es exigido por el flujo intrínseco asociado al espínintrínseco del electrón. Por lo tanto, sin otras ecuaciones, el número neto mínimo decuantos de este nivel es 2 y su flujo magnético mínimo es

( )B

he

F = 22

. (11.2.5)

Debe apuntarse que el flujo mínimo atrapado por el electrón en este estado es el dobledel cuanto de flujo. En otras palabras el flujo atrapado se divide en una parte intrínsecay otra orbital.

El flujo cuántico de magnetización es, considerando su flujo inducido FL opuesto aFH, de dos (-2) cuantos por el movimiento orbital del único electrón y un (1) cuantoadicional por su flujo intrínseco FS,

M L S

h h he e e

F F Fæ ö÷ç= + = - + = -÷ç ÷çè ø

22 2 2

, (11.2.6)

que nos da para este nivel no degenerado, la relación,

B MF F= 2 , (11.2.7)

que indica una permeabilidad magnética mínima equivalente de 2/3.Este razonamiento no es aplicable al cálculo de FB para niveles degenerados en el

gas de electrones sino que habría que hallar, de alguna manera, una relación con FH.Para determinar esto exactamente necesitaríamos resolver las ecuaciones (cuánticas)de movimiento simultáneamente con las ecuaciones (cuánticas) electromagnéticas quedeterminan el campo producido por los electrones circulantes. En vez de ecuacionesdetalladas reconozcamos que, como el flujo está cuantizado, el flujo orbital debe cambiarpor cuantos discretos cuando se activen niveles de energía mayor. Mientras el impulso


angular de los niveles aumenta, un aumento proporcional en cualquiera de las dosvariables en la ecuación (11.2.4 ) implicaría que la permeabilidad magnética no varía desu valor de 2/3 determinado para su nivel no degenerado. Por lo tanto, en general, losaumentos de flujo debidos a una capa degenerada tienen que cumplir la siguiente relacióncuántica: el flujo FB puede desviarse por valores discretos de la proporcionalidadindicada en esa ecuación, a causa de un valor entero de cuantos de flujo de acuerdo a,

B MF F DF= +2 , (11.2.8)

donde DF es un flujo cuántico indeterminado del par de electrones del nivel degenerado.El flujo de magnetización FM tiene FL como cota superior,

( )( )M Lhm eF F£ + =2 2 1 2 , (11.2.9)

y podemos indicar los cuantos vinculados por la desigualdad

( ) ( )Bh hm e eF dé ù£ + +ê úë û

2 2 2 1 2 , (11.2.10)

donde d es un entero que indica un salto en el flujo asociado a cada electrón del par.Cualquiera que sea el flujo resultante FB, debe ser una función solamente del cuanto

de flujo por par de electrones. Un nivel degenerado de energía consiste en la combinacióno acoplamiento de dos electrones de niveles de impulso orbital m y m+1, en estados deespines opuestos, con 2m cuantos de flujo orbital vinculados a un electrón y 2m+2cuantosvinculados al otro electrón. El par, tiene 2(2m+1) cuantos, en función de unentero no negativo m. Por lo tanto, la única variable independiente que puede determinarel salto en el flujo FB es 2(2m+1). Para que FB sea una función solamente de estavariable, el entero d debe ser par para que pueda añadirse a m, dando los valoresposibles del flujo neto del nivel,

( )( ) Bh

eF m= +4 2 1 2 , (11.2.11)

La interpretación física de la última ecuación es la siguiente: Si el campo magnético externoaumenta, el flujo magnético neto efectivo B y el flujo de magnetización neto efectivo Mpor electrón aumentan ambos discretamente, por saltos cuánticos, y la permeabilidadequivalente permanece constante.

El número de cuantos posibles, indicado por f, vinculados a este nivel que llamaremosnivel con superflujo, es

( )f m= +4 2 1 , (11.2.12)

donde el índice de flujo m tiene una cota superior indeterminada. El número de cuantos decarga eléctrica por nivel, indicado por q, es


q = 2 . (11.2.13)

11.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional.Cada estado de un electrón es degenerado con una multiplicidad finita. Esto fija la

población de cada seminivel típico correspondiente a un solo electrón, indicada por N0,cuando está exactamente lleno. Es claro que si se levanta la degeneración de los nivelesde energía, por alguno de los mecanismos descritos en las referencias, los seminivelesse pueden llenar separadamente y observar experimentalmente.

Como hay el mismo número de electreones N0 en cada seminivel podemos asociar unelectrón de cada seminivel a un centro definido de rotación o eje magnético. Tendríamosentonces, como modelo de portador típico, un sistema de electrones rotando alrededordel eje magnético formando un vórtice magnético o un átomo magnético cilíndrico(¿cuasipartícula?). La validez de este modelo vorticial descansa en la posibilidad quelos distintos niveles de un vórtice se mantengan encadenados entre sí, de otra formalos niveles se moverían independientemente. Un mecanismo físico de encadenamientoes claro: Si tenemos dos bobinas de corriente vinculadas por un flujo común, y una delas bobinas se mueve reduciendo el flujo a través de la otra, la ley de Lenz produciríauna reacción que se opone al movimiento de la primera bobina, y mantendría las bobinasencadenadas.

La población electrónica total cuando hay niveles exactamente llenos es

( ) oqN N N Nn n= + = +0 02 2 1 , (11.3.1)

donde n niveles energéticos de Landau, doblemente degenerados, están llenos y dondeel primer N0 corresponde al primer nivel de Landau, no degenerado. El índice de carga nes un entero si el último nivel lleno es un nivel completo o un semientero si el últimonivel es un seminivel o cero si el único nivel lleno es el primer nivel no degenerado.

El flujo vinculado al vórtice, cualquiera que sea la función de onda que caractericelos estados de la materia electrónica, debe tener cuantos porque este es unarepresentación que debe llevar cuantos definidos de carga, flujo magnético y impulsoangular. En otras palabras, el vórtice lleva cuantos de flujo magnético. El flujo vinculadoa un vórtice particular es igual al flujo neto FB encadenado por la órbita del par deelectrones correspondiente al último nivel lleno. El valor de f, el número de cuantosnetos vinculados a un vórtice, se expresa por la ecuación (11.2.12) que depende delvalor del índice de flujo m para el último nivel del sistema.

Hacemos ahora la hipótesis que la condición de llenado de los niveles de Landaudebe ser tomada en el sentido establecido anteriormente [8, 3], contando los cuantosde flujo netos vinculados a todos los N0 vórtices. La condición de llenado se determinapor la conservación de flujo (continuidad de las líneas de flujo). El flujo externo aplicadotiene que ser igual al flujo neto total vinculado solamente al último nivel. Esto determina,en el sentido canónico (un h/e por electrón), un llenado parcial aparente de los niveles.


Esta condición de llenado implica, para un nivel degenerado con N0 pares,

hf

N eF æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø0 2

. (11.3.2)

La expresión general para la conductividad de Hall, en términos de la densidadbidimensional de portadores N/A y los cuantos de carga de los portadores q, es

qeNAB

s = . (11.3.3)

Substituyendo, obtenemos la conductividad, para valores de q y f dados por lasecuaciones (11.2.12), (11.2.13),

( )( )

, e N e

h

n ns n

F m

æ ö+ + ÷ç ÷= = ³ç ÷ç ÷ç+ è ø

20 1

2

2 1 2 12 2 1

. (11.3.4)

Esta expresión no es válida si el último nivel es el primer nivel no degenerado. Paraeste caso especial, cuando n es cero, hay valores separados de q y f ,

hf

N eF æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø0

0 2 , (11.3.5)

y obtenemos, usando las ecuaciones (11.2.5),

, eN e ef h h

s nF

æ ö÷ç ÷= = = =ç ÷ç ÷çè ø

2 20

0

1 2 0 . (11.3.6)

Para n semientero podemos definir otro semientero n que indica el número de nivelesllenos con número de impulso angular definido m (no niveles de energía), por la relación

n n= +12

. (11.3.7)

Si reemplazamos n por n obtenemos para la conductividad la expresión equivalente,

( ), n e

nh

sm

æ ö÷ç ÷= ³ç ÷ç ÷ç+ è ø

2

12 1

. (11.3.8)

El último nivel activo se caracteriza por el índice de flujo entero m, que indica elnúmero de cuantos de flujo por electrón en este último nivel y el índice de carga semientero,n, que indica el número de niveles degenerados de energía activos, o n, el número de


niveles de impulso angular orbital activos. Mientras se aumenta la intensidad magnética,los niveles, su población y los cuantos de flujo se reordenan, para lograr niveles llenos.Los detalles de este proceso dependen de las leyes microscópicas. Sin embargo, lanaturaleza cuántica del flujo magnético exige un valor fraccional exacto deconductividad cuando la condición de llenado se cumpla, independiente de los detalles.Mientras el campo magnético aumenta, las fracciones resultantes para valores pequeñosde n, m son

, / , , / , / , / , / , , / , / , / , / ,/ , 7/ , / , / , / , / , / , / , / , / ,/ 7, / ,

3 7 3 2 5 3 7 5 4 3 6 5 1 6 7 4 5 7 9 5 72 3 11 3 5 4 7 5 9 6 11 7 13 6 13 5 11 4 93 2 5

. (11.3.9)

Estas fracciones concuerdan con los resultados del efecto Hall cuántico fraccional[9, 10]. La misma expresión para enteros n, indica mesetas en algunas fracciones con undivisor adicional de 2. Por ejemplo, si m es cero o 3/2 para n=1, 5/2 para n=2, (pero no ½porque n>0). Esto parece compatible con los valores aceptados [11, 12, 13].

Un nivel con superflujo o parcialmente lleno ocurre a un valor de campo magnéticoque es fraccionalmente mayor que el valor correspondiente a un nivel normal con igualpoblación porque los portadores llevan un flujo extra fraccional.

Los valores de conductividad son degenerados en el sentido que un valorcorresponde a más de un conjunto de índices m, n. El campo magnético para cualquierpar de conjuntos con una conductividad dada es el mismo porque el menor número deportadores de un conjunto es compensado precisamente por el mayor número de cuantosde flujo por portador. Sin embargo los dos conjuntos difieren electromagnéticamentepor el flujo extra de uno de los portadores y podemos esperar pequeñas diferencias deenergía que levanten esta degeneración. Claro está que la prueba de esta diferenciarequiere un análisis detallado usando funciones de onda correspondientes a unHamiltoniano que incluya términos apropiados. Si todos los electrones están en nivelesde Landau, los niveles de Fermi saltarían directamente de un nivel de Landau a otro y lacurva de conductividad sería un conjunto de puntos singulares. Los estados localizadosdebido a imperfecciones de la red permiten un nivel de Fermi entre niveles de Landau,como se discute en las referencias. Si este es el caso, su pequeña separación haría quelos dos conjuntos confluyan en una meseta. Como el valor de la conductividad parados conjuntos m, n con el mismo cociente es exactamente el mismo, el valor de laconductividad debe ser insensitivo a una pequeña variación del campo magnético (oenergía) lo que indica una meseta de ancho finito en el valor dado por la ecuación(11.3.4) con gran precisión. En particular para el cociente 1 hay muchos conjuntos denúmeros bajos que confluyen produciendo una meseta más ancha. Esto explica lasmesetas observadas en los llenados integrales y fraccionales.

Estos resultados se pueden expresar de una manera alterna. Como se indicó en lareferencia [4], la ec. (11.3.2) es una consecuencia de los cuantos de flujo llevados por


los electrones en órbita. Como los portadores en el EHCF están polarizados en ladirección del campo magnético, cuando cruzan una línea paralela al campo eléctricohay siempre una relación fija entre la carga y el flujo que cruza esa línea,

( )hf eQ qe

DFD

= 2 . (11.3.10)

Si no hay pérdidas resistivas la f.e.m. inducida a lo largo de la línea por el flujo que lacorta nos da una resistencia transversa que esta cuantizada fraccionalmente,

( )( )tf hR q e

= 22 . (11.3.11)

Esta es una relación general fundamental que solo depende de los cuantos llevadospor los portadores. Este valor de resistencia es un valor de mucha precisión que dependede constantes fundamentales y enteros que se obtiene cuando se cumplen condicionesmicroscópicas adecuadas. El EHCF es tal experimento, que mide esencialmente elcociente de los cuantos de flujo y carga de las representaciones relevantes del grupo(portadores).

11.4. Resumen.Los resultados del capítulo 7, que demuestran que todos los portadores de carga

también portan cuantos de flujo, son esencialmente compatibles con los resultadosexperimentales. En particular, podemos decir que los voltajes y corrientes producidosen el EHCF son ocasionados por portadores de cuantos de carga e y de flujo magnéticoh/2e que forman un sistema vorticial de electrones rotando alrededor de un eje magnético.

Referencias

1 R: Laughlin, Phys. Rev. B23, 5652 (1981). 2 J. K Jain, Phys. Rev. B41, 7653 (1990). 3 Kamilla, Wu, J. K. Jain, Phys. Rev. Let., 76, 1332 (1996). 4 G. González-Martín, Gen Rel. Grav. 23, 827 (1991). 5 G. González-Martín, ArXiv cond-mat/0009181and Phys. Rev. A51, 944 (1995). 6 L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mécanique Quantique, Théorie non Relativiste (Ed. Mir,

Moscow), 2nd. Ed. p. 496 (1965). 7 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley and Sons, New York), Second

Ed., p. 589 (1975). 8 Vea la sección 6. 7. 9 D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).and R. Willet, J.


Eisenstein , H. Stormer , D. Tsui, A Gossard, J. English, Phys. Rev. Lett. 59, 1776(1987).

10 K. V. Klitzing, G. Dorda, M Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)11 R. Willet, R. Ruel, M. Paalanen, K. West, L. Pfeiffer, Phys. Rev. B47, 7344 (1993).12 R. Du, H. Stormer, D. Tsui, L. Pfeiffer, K. West, Phys. Rev. Lett. 70, 2994 (1993).13 J. Eisenstein, L. Pfeiffer, K. West, Phys. Rev. Lett. 69, 3804 (1992).

12. EL SUBSTRATO Y SUINTERPRETACIÓN FÍSICA.

12.1. Introducción.La ecuación ilineal propuesta y su condición de integrabilidad tienen aspectos peculiares

que las distinguen de las ecuaciones estándares de la física clásica. Normalmente lasecuaciones acopladas de campo y movimiento, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell yde Lorentz en presencia de una fuente de corriente, no suministran ellas solas una solucióninterna estática para una fuente que pueda representar a una partícula bajo la influencia desu propio campo. El uso de funciones deltas para partículas puntuales no resuelve el problemasino que lo ignora, y puede introducir soluciones autoaceleradas [1,2]. El tipo de densidadde corriente en la teoría, junto con la interpretación desarrollada, permite una discusión enterrenos diferentes. La poliada e que entra en la corriente representa a la materia. Como unamedición es siempre una comparación entre objetos similares, una medición de e requieresiempre de otra poliada e’ que sirve de referencia para sus componentes. Si se escoge e’adecuadamente es posible hallar soluciones de interés.

Como se ha visto en los capítulos anteriores, las condiciones de integrabilidad de laecuación ilineal determinan una ecuación de Dirac generalizada con un parámetro que sepuede identificar con la masa definida en términos de energía. El reconocimiento de un soloconcepto de masa es fundamental en la relatividad general y amerita la discusión de posiblessoluciones de las ecuaciones acopladas.

Si identificamos una excitación geométrica con una partícula física, la ecuación lineal dela excitación, que sería entonces la ecuación de una partícula, contiene parámetrossuministrados por la solución curva (ilineal) de fondo que llamaremos su substrato. Algunasde las propiedades de la partícula podrían determinarse por la geometría de un substrato. Enparticular, un parámetro de masa para la partícula de excitación poliádica surge del conceptode masa en términos de energía. Es claro que este parámetro no es calculable de la ecuaciónlinealizada sino de una solución ilineal de substrato. Esto parece interesante pero requieredel conocimiento de una solución de substrato para las ecuaciones ilineales de campo. Poreso es necesario encontrar una solución ilineal, mientras más sencilla mejor, para ilustrarestas ideas. En este contexto se presenta la siguiente solución [3].

12.2. La Ecuación de Campo.La geometría del substrato satisface la ecuación ilineal,

b bD JW pa* *= 4 . (12.2.1 )


El operador diferencial se puede expandir,

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

D D d d d d

d

w w w w w w w w w

w w w w w

*** ** * * * * *

** **

= + + +

- - , (12.2.2)

y el producto exterior se puede escribir en términos de formas diferenciales y generadoresdel grupo,

[ ]a b

a bE E dx dxm nm nw w w w = , (12.2.3)

( ) a ba bE E dx dxm n k l

mnklw w e w w* = 12 , (12.2.4)

( ) c a bc a bE E E dx dx dxm n r k l

mnkl rw w w e w w w* = 1

2 . (12.2.5)

El término cúbico, que es el responsable de la energía de autointeracción, es

( ) ( ) [ ]

[ ]

,

, ,

c a bc a b

c a bc a b

E E E

E E E

ara m nmn r

r ar

w w w w w w d w w w

w w w

* * *é ù - =ê úë ûé ù= ë û (12.2.6)

y los términos con derivadas son

[ ]a

ad E dx dxmn k lkl m nw e ¶ w* = 1

2 , (12.2.7)

( )[ ] agd d gg g E dx dx dxsm tn r k l

stkl r m nw e ¶ ¶ w*-

= - 12 , (12.2.8)

( ) ( ).a b

a bgd g E E dx dx dxm n r k l

mnkl rw w e ¶ w w* = - 12 , (12.2.9)

[ ]a b

a bd g g E E dx dx dxsm tn r k lstkl r m nw w e w ¶ w* = 1

2 . (12.2.10)

La ecuación se puede escribir en términos de la métrica del espacio tiempo g y lascomponentes de la conexión referidas a bases en el álgebra de formas diferenciales y enel álgebra de Lie. La traza de productos de la base del álgebra de Lie introduce lamétrica de Cartan-Killing [4],

tr d a daE E =14 g (12.2.11)

141El Substrato y su Interpretación Física

y los conmutadores en las expresiones introducen las constantes de estructura,

[ ] tr , tr nd a b ab d n abdE E E c E E c= =1 1

4 4 , (12.2.12)

[ ] tr , , tr m n mnd c a b ab cm d n abn cmdE E E E c c E E c cé ù = =ë û

1 14 4 g . (12.2.13)

Finalmente, indicando dos métricas por g y g, las ecuaciones de campo se convierten en

( )

( )

[ ]

[ ]

c a b mnabn cmd d

a b a babdd

c c gg gg

cg g J

g

r a rm anr r m n

r a an m ar m n

w w w ¶ ¶ w

¶ w w w ¶ w pa

+ - +-

é ù+ - + =ê úë û-

2g

2 4 . (12.2.14)

12.3. Una Solución de Substrato.

12.3.1. La Conexión del Substrato.Las ecuaciones ilineales de la teoría son aplicables a un sistema físico aislado en

interacción consigo mismo. Es claro que las ecuaciones deben ser expresadas en términosde componentes con respecto a un sistema arbitrario de referencia. Una poliada dereferencia adaptada a un observador arbitrario introduce campos arbitrarios que nocontienen información relacionada con el sistema físico en cuestión. La única poliadano arbitraria es la definida por el mismo sistema físico.

Cualquier excitación debe asociarse a un substrato definido. Una observaciónarbitraria de una propiedad de la excitación depende de ambos elementos, la excitacióny el substrato, pero el observador físico debe ser el mismo para ambos, la excitación yel substrato. Podemos usar la libertad para escoger un sistema referencial para referir laexcitación a la poliada física definida por su propio substrato.

Hemos escogido la 3-forma densidad de corriente J que seaˆ

ˆJ e u em a mak= , (12.3.1)

en términos de la poliada espinorial material e y la tétrada ortonormal espacio temporalu .

Como seleccionamos que el substrato se refiera a sí mismo, la poliada local materialdel substrato eb, referida a er se convierte en la identidad del grupo I. En realidad estogeneraliza las coordenadas comóviles (coordenadas adaptadas a las geodésicas de unpolvo material) [5]. Escogemos estas coordenadas adaptadas a las poliadas materialeslocales del substrato porque ellas son las únicas poliadas no arbitrarias, como lo son las


coordenadas comóviles. Si la poliada e se convierte en la identidad I, la densidad decorriente del substrato se convierte en una constante. La comparación de un objetoconsigo mismo nos da información trivial. Por ejemplo, la materia libre o un observadorestán siempre en reposo con respecto a sí mismos, no hay velocidades ni aceleracionesni autofuerzas, etc. En los sistemas propios todos estos efectos desaparecen. Solamentequedan los términos de autoenergía, determinados por la ilinealidad, que tienen sentidoy deben ser la causa del parámetro de masa constante.

A una distancia pequeña l, característica de las excitaciones, ambos elementos delsubstrato, conexión y poliada, parecen simétricos independientes del espacio tiempo.Debemos recordar que el espacio tiempo M es, matemáticamente, un espacio localmentesimétrico [6] o variedad hiperbólica [7]. Reconocemos que estas son las condicionespara que el substrato admita localmente la existencia de un conjunto maximal de vectoresde Killing [8] que determinen la simetría espacio temporal de la conexión (y curvatura).Esto significa que, en el substrato, hay coordenadas de Killing tales que la conexión esconstante pero no nula en la pequeña región determinante para las propiedades de laexcitación. Una conexión nula no satisface la ecuación de campo. Las excitacionessiempre se pueden tomar alrededor de una conexión simétrica que no se anule.

En particular, la ecuación admite una solución local de conexión constante no nula.Esta sería la conexión determinada por un observador en reposo con la poliada material.Está claro que esta solución es trivial pero como la conexión tiene unidades de distanciainversa, o masa, esto realmente introduce distancias fundamentales en la teoría.Adicionalmente, una solución constante no nula le asigna un parámetro constante demasa desnuda a una excitación de partícula y puede permitir el cálculo de masasfundamentales m relacionadas con la conexión y la energía en función de la constanteadimensional de acoplamiento a. Por lo tanto deseamos hallar una solución constantepara la ecuación ilineal, que llamaremos la solución trivial de substrato.

Primero miramos el lado izquierdo de la ecuación de campo y notamos que, para unaforma de conexión constante w y una métrica plana, la expresión se reduce al productotriple de w consigo misma, el cual se puede poner en forma de un polinomio en lascomponentes de w. Este polinomio cúbico representa una autointeracción del campo deconexión ya que también puede considerarse como una fuente para el operadordiferencial.

En vez de trabajar con todo el grupo G, primero restringimos el grupo al subgrupo de10 dimensiones Sp(4,). Adicionalmente, deseamos investigar la parte sin gravitaciónde la conexión. Así que limitaremos las componentes de la conexión al subespacio deMinkowski definido por el subconjunto ortonormal. Esto es posible porque si la conexiónes impar, también lo es el producto triple dando una corriente impar como se requiere.Usando las relaciones,

tr a b abk k h= -14 , (12.3.2)


( )tr , ,

tr

d c a b

d c a b d c b a d a b c d b a c

k k k k

k k k k k k k k k k k k k k k k

é ùé ù =ê úë ûë û- - +

14

14 , (12.3.3)

( )tr ,d c a b db ca da cbk k k k h h h hé ùé ù = -ê úë ûë û14 4 , (12.3.4)

se obtiene la expresión,

( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆtr , ,g am bl a m l a m l

m g a m a m ad b b bk w w w k k k w w w w w w- é ùé ù = - -ê úê úë ûë û

14 4 . (12.3.5)

Ahora consideremos el lado derecho de la ecuación de campo. La poliada material ereferida a sí misma es la identidad y la tétrada espacio temporal u es dn

m . Así la ecuación

diferencial ilineal se reduce a una ecuación polinomial que puede tener solucionesconstantes para las componentes de w,

ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ

a m l a m l lm a m ab b b

w w w w w w pad- + = . (12.3.6)

Las incógnitas de w se pueden indicar por cuatro 1-formas w, una para cada uno de loscuatro elementos de k. Supongamos que una de las formas sea temporal y las otras tressean espaciales. Como tenemos libertad de escoger las coordenadas en el espaciobase, escogemos la coordenada temporal adaptada a la forma temporal. Similarmenteescojamos la coordenada x adaptada a la componente ortogonal de una de las formasespaciales, con respecto a la forma temporal. Como en el procedimiento deortogonalización de Schmidt, escojamos la coordenada y adaptada a la componenteortogonal de una segunda forma espacial, con respecto al plano t, x. En la misma manera,escojamos la coordenada z adaptada a la componente ortonormal de la última forma yescribamos las cuatro formas como sigue,

ˆ ˆmw wé ù= ê úë û

00 0

0 0 0 , (12.3.7)

ˆ ˆ ˆmw w wé ù= ê úë û

0 11 1 1

0 0 , (12.3.8)

ˆ ˆ ˆ ˆmw w w wé ù= ê úë û

0 1 22 2 2 2

0 , (12.3.9)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆmw w w w wé ù= ê úë û

0 1 2 33 3 3 3 3 . (12.3.10)

Escribamos ahora la ecuación para la componente 3 de la 1-forma 0 y notemos quecomo las componentes terceras son cero, excepto para la 1-form 3, esta ecuación implicaque


ˆˆ ˆm

mw w w =3 30 3 0 , (12.3.11)

ˆ mmw w =3

0 0 . (12.3.12)

Usando esta relación de ortogonalidad, escribamos ahora la ecuación para lacomponente 2 de la misma 1-forma y notemos de nuevo que, como hay componentesnulas, debemos tener también,

ˆˆ ˆm

mw w w =2 20 2

0 , (12.3.13)

ˆˆm

mw w =20 0 (12.3.14)

y similarmente obtenemos,

ˆˆm

mw w =10

0 . (12.3.15)

Tomando ahora las otras ecuaciones para la 1-forma 1 y entonces la ecuación para la 1-forma 3, obtenemos de la misma manera,

ˆˆm

mw w =31

0 , (12.3.16)

ˆˆm

mw w =21

0 , (12.3.17)

ˆˆm

mw w =32

0 . (12.3.18)

Debido a esta ortogonalidad de las cuatro 1-formas, nos damos cuenta que soloquedan cuatro componentes desconocidas que indicaremos por T, X, Y, Z, y lasecuaciones se convierten en

( )X Y Z T pa- + + =2 2 2 , (12.3.19)

( )Y Z T X pa- + + =2 2 2 , (12.3.20)

( )Z X T Y pa- + + =2 2 2 , (12.3.21)

( )X Y T Z pa- + + =2 2 2 . (12.3.22)

Notemos que estas ecuaciones son todas esencialmente la misma y que una conexión


nula no es solución. Hay una solución homogénea isótropa única, proporcional a lacorriente, que llamaremos la solución trivial. Una transformación de Lorentz determina unasolución equivalente. Escogemos el nombre de substrato para esta clase de equivalencia desoluciones bajo SO(3,1). Existe otra solución constante que depende de un elementoalgebraico no inercial [9]. Como no hay una dirección preferida, la conexión trivial nodebe distinguir entre T, X, Y, Z y las componentes w deben ser proporcionales a laidentidad I. En este caso las cuatro ecuaciones se reducen a una sola para una únicaincógnita, como sigue,

gT mpa- = º -3 33 3 , (12.3.23)

que determina la constante positiva mg, con unidades de distancia inversa, en términosde la constante adimensional de estructura fina. En otras palabras, junto con la cargafundamental tenemos una masa fundamental o distancia fundamental determinada por untérmino de la conexión. Podemos escribir la expresión para la conexión, en este sistemade referencia, en términos de las bases de 1-formas y las del álgebra de Clifford,

ˆˆgm dxaaw k= - (12.3.24)

y en un sistema arbitrario de referencia, en términos de la forma de corriente J,

( )ˆˆg ge m dx e e de m J e deaaw k- - -= - + = - +1 1 1 . (12.3.25)

La conexión trivial es esencialmente proporcional a la corriente, módulo unautomorfismo. Debe apuntarse que, en la expresión para w, el término que contiene lacorriente J es la forma tensorial potencial L usada en el capítulo 9 en la definición demasa. Su substracción de w da un objeto, e-1de, que transforma como una conexióninercial.

Es conveniente introducir un parámetro M determinado por la definición de masapartiendo de la energía de interacción J.G [10] presentada en el capítulo 9. La formatensorial L valuada en el álgebra sl(4,) se puede expresar como

JL-

=4M

. (12.3.26)

Usando esta expresión el parámetro de masa calculado correspondiente a esta soluciónde substrato es

( ) ( ) ( )

( )

tr tr tr

tr g

m J J e e e e

I m

m m mm m mG L k k- -

æ öæ ö- ÷ç ÷ç= = = ÷÷ç ç ÷÷çç ÷è øè ø

= = =

1 11 1 14 4 4

14

44

M

M M . (12.3.27)


12.3.2. La Curvatura del Substrato.La forma de curvatura se puede calcular en el sistema especial de referencia,

ˆˆˆˆ[ ]gm J J dx dxa b

a bW w w k k= = = 2 2116

M , (12.3.28)

que es una expresión tensorial y por lo tanto covariante, válida en todo sistema dereferencia. La curvatura es independiente del término e-1de de acuerdo con lainterpretación de este término como un efecto inercial [11].

La solución de substrato determina, en el espacio tiempo, una métrica plana h y laforma de curvatura par W de una conexión que no es métrica. El conjunto ortonormal kdefine un conjunto equivalente usando una tétrada ortonormal u asociada a g, la métricadel espacio tiempo en coordenadas arbitrarias. Un tensor de curvatura so(3,1) se obtiene dela forma valuada en el álgebra par sl(2,) usando el homomorphism correspondiente a la ec.(4.2.7)

( )trb b bamn a mn mn aW k W k W k k-= +1

4 (12.3.29)

que se reduce a

( )tr , ,bamn a b m nW k k k ké ùé ù= ê úê úë ûë û21

64M . (12.3.30)

Por lo tanto, el tensor de curvatura de la solución de substrato se escribe

[ ]gb bamn m n aW d= 21

2M (12.3.31)

mostrando la naturaleza hiperbólica de la solución. La constante M determina el

parámetro de curvatura. El espacio tiempo correspondiente es conformalmente plano.Se conoce que un espacio conformalmente plano tiene, aparte de su métrica regular,una métrica plana asociada. El tensor de curvatura contraído es

gan anW = 234

M . (12.3.32)

Si cambiamos a otro sistema de referencia por una transformación de grupo que no preservela parte par obtenemos un punto de vista diferente, con efectos gravitacionales. En particular, laconexión w adquiere una componente riemanniana al realizar una rotación interna generada pork0. Si el ángulo de rotación es p/4 se obtiene

( ) ( ) ( )exp exp expi ip p pk k k k k k k- = - = -0 0 0 1 04 4 2 . (12.3.33)

La curvatura par del substrato se transforma, por esta rotación k0, a una curvatura con


partes par e impar

ˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆ[ ]

a a ba a b

dx dx dx dxW k k k W W- +¢ ¢ ¢= + º +2 0 21 18 16

M M . (12.3.34)

12.3.3. Relación con el Límite Newtoniano.La solución de substrato es compatible con la ecuación de energía (5.2.1) y

precisamente suministra la curvatura hiperbólica simétrica necesaria para obtener ellímite newtoniano correcto. Las componentes proyectadas en las hipersuperficiesortogonales a la dirección temporal tienen el límite newtoniano especificado en lasección 5.4,

lim liman anhe e

W e

-= =2 2

0 0

3 04

M . (12.3.35)

Al establecer este límite, para cualquier solución de conexión G, siempre podemosdefinir una nueva conexión substrayendo la forma tensorial potencial L correspondientea la solución de substrato,

JG G L Gæ ö- ÷çº - = - ÷ç ÷çè ø4

M . (12.3.36)

La curvatura par o componente so(3,1) de la curvatura se puede separar en una parte desubstrato sW, determinada por la ec. (12.3.32) en términos de la nueva métrica, el tensor deRiemann de la nueva conexión y una parte complementaria irriemanniana determinadasolamente por la conexión impar total,

n n sR Ra a a abkl bkl bkl bklW W= + +

. (12.3.37)

La ecuación de Einstein (5.2.22) se puede escribir

n nG GT

R Rrm rm rm rmp Q p Q pW

= = º+ +2

3 38 8 83

M

(12.3.38)

donde la expresión de la energía impulso gravitacional, ecuación (5.2.20), es

ng R Rg C Rk l

rm mlr kQp

é ùæ ö÷çê ú÷= +ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

1 28 3 4

. (12.3.39)

La única contribución de la curvatura irriemanniana debida al substrato es a través delescalar nR. Todas las demás contribuciones de esta curvatura conformalmente plana se


cancelan entre sí.Sabemos que la teoría de Newton es una teoría gravitacional pura y suponemos que la

nueva conexión es estrictamente gravitacional cuando se aproxima el límite. Como se discutióen la sección 5.4, es necesario hacer las hipótesis usuales de regularidad del tensorenergía impulso de la materia. Cuando tomamos el límite newtoniano de la ecuación deEinstein generalizada (5.2.22), la curvatura del subespacio tridimensional se anula como semuestra en la ec. (4.4) del apéndice F. Entonces, la única componente del tensor de Riemannque sobrevive satisface la ecuación de Poisson (5.4.6)

ˆ ˆ ˆ ˆlim limn s nR

R Re e

Q Qpp

W W

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç + +è ø è ø00 00

00 0 0

3 38 42

. (12.3.40)

Si en el límite newtoniano nos acercamos simultaneamente a la solución de substrato trivial, Ry nW son despreciables, en el límite, con respecto a sW. El límite de nR es

( ) ( )lim lim lim

lim lim

n n n s

bk

bk

R R g R g

hg g h

a bk a a a bkbka bka bka bkae e e

bkbke e

W W

ee

é ù= = + +ê úë ûé ùé ù æ ö÷çê úê ú ÷= = + =ç ÷ê úçê ú ÷çè øë û ë û

0 0 0

2 22 2

20 0

3 3 1 34 4

M MM . (12.3.41)

La expresión para la densidad de energía newtoniana, ec. (5.4.10), se puede escribirentonces en la forma que sigue:

ˆ ˆlim limaa G

e e

Q p¶ ¶ j p Q p r

æ ö÷ç ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø00

002 20 0

44 4MM

. (12.3.42)

En el límite newtoniano las densidades geométrica y clásica están relacionadas por lasconstantes M y G. Si los campos irriemannianos de conexión impar contribuyen al escalarde curvatura nR, el parámetro G sería variable, disminuyendo con la intensidad de los cam-pos. Este efecto puede interpretarse como la presencia de materia oscura.

12.3.4. Significación Física del Substrato.En el substrato hay un campo escalar fundamental de energía de interacción caracterizado

por el parámetro constante de masa M, correspondiente a la definición de masa partiendo de Jy w, usando la métrica de Cartan-Killing Cg en la representación definitoria. Este campo escalarde energía es el dual del campo de una 4-forma densidad w *J también caracterizado por M. Elcampo tensorial de densidad de energía impulso jQ de la corriente está también relacionado conJ y w en el substrato. Esencialmente los objetos geométricos en el substrato son determinadospor estas dos formas valuadas en A: la 3-forma de corriente *J y la 1-forma de conexión w. Estasformas son constantes en el substrato.


Como la métrica de Cartan-Killing depende de la representación particular [4], el parámetrofundamental de masa que caracteriza al substrato se determina módulo una constante denormalización dependiente de la representación. Para una representación (A) el parámetro demasa es, con la normalización que estamos usando,

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

trtr trtr tr tr

tr tr

tr

JJ Jm

I

J J

N I N d

m mm m GG G

k k k k

G G

= = =- -

= =

0 00 0

(12.3.43)

en función de la dimensión d y una constante N, ambas relacionadas con la representación .Aparte de la representación definitoria, tenemos que considerar las representaciones indu-

cidas [12] necesarias para caracterizar excitaciones de partículas. En el próximo capitulo discu-tiremos estas representaciones inducidas en mayor detalle. El valor del parámetro de masa enestas representaciones difiere del valor M obtenido en la representación definitoria. Un parámetrofísico fundamental de masa de Dirac, asociado a una representación inducida particular, debeestar relacionado por una constante con el parámetro escalar de energía de interacción M,

m N= M . (12.3.44)

Para hallar esta constante N es suficiente calcular el producto de Cartan-Killing para ungenerador en ambas representaciones [4]. La constante, que relaciona los parámetros entre larepresentación matricial definitoria y la representación inducida, es matemáticamente un núme-ro indeterminado porque depende del cociente de integrales de valor infinito en los espacioscocientes simétricos incompactos involucrados en la métrica de Cartan-Killing en larepresentación inducida. La relación del campo tensorial geométrico de densidad de energíaimpulso Q con la densidad física estándar r, expresada por la ecuación (12.3.42), obtenida dellímite newtoniano, suministra una determinación física de esta constante indeterminada. Enotras palabras, es posible igualar M -2 al valor de la constante gravitacional y m al valor de unamasa fundamental de partícula sin contradicciones. Físicamente consideramos que el substratosuministra dos escalas conceptualmente relacionadas de masa: en la representación fundamen-tal determina el parámetro gravitacional G que caracteriza una escala macroscópica de masa y enla representación inducida determina la masa m de una partícula fundamental que caracterizauna escala microscópica de masa .

Hemos visto que para una solución gravitacional esférica pura, la masa de Schwarzschild es la integral de la densidad de energía usando este acoplamiento nR/3, como se muestra enla ecuación (5.3.3). Esta masa determina las geodésicas de la geometría de Schwarzschild yel movimiento de partículas sin el conocimiento explícito de un parámetro G. En principio,relaciones similares deben existir para otras soluciones.


La curvatura riemanniana asociada a la parte par en la ecuación (12.3.34) puede correspondera un espacio tridimensional simétrico que fue usado por Einstein en aplicaciones cosmológicas.Desde este punto de vista gravitacional cosmológico, la variedad espacial tridimensional es unespacio simétrico S3, H3 o R3. Suponiendo la simetría S3, Einstein [13] derivó una relación entrela masa total M, el radio del universo R y el parámetro gravitacional. Uniendo estos resultadosobtenemos un estimado para el parámetro de masa M del substrato, que representa la densidadlineal radial de masa,

Mp= 2M R . (12.3.45)

En soluciones cercanas al límite newtoniano, el escalar nR/3 debe tener un valor cercano ala constante G que sería el valor exacto en este límite. La introducción de un parámetrogravitacional relacionado con la energía de interacción del substrato modifica la ecuaciónde Einstein por un factor que puede interpretarse como un incremento (o decremento)“aparente” del tensor de energía impulso. El tensor de Einstein se puede escribir,

( ) ( )n nG G

R G Rrm rm

rm

pQ Qp

W W= =

+ + + +2

88

3 1 3

M . (12.3.46)

Por lo tanto, la densidad de energía de interacción del substrato se relaciona con la masa endiferentes contextos. En particular la energía determina lo siguiente: 1- el parámetro de masa departículas de Dirac m, en representaciones correspondientes; 2- el parámetro de masa gravita-cional de la de métrica de Schwarzschild; 3- el parámetro gravitacional G. El conceptomacroscópico de masa gravitacional activa es consistente con el concepto microscópico demasa inercial.

También es consistente el uso del substrato como vacío cuántico. Para mostrar esto esconveniente evaluar otros términos de energía relacionados con la solución de substrato.El tensor de energía impulso depende cuadráticamente de la curvatura del substrato. Usandola ec.(12.3.31) obtenemos que el tensor de energía impulso de la curvatura es

c gab n abklabrn m rm abklQ W W W W= - =

1 04

. (12.3.47)

Similarmente, el tensor de energía impulso de la corriente es

( )

( )

tr

tr

j e e g e e

g

lmr m r mr l

m r mr

aQ k k

ak k

- -é ù= - - ê úë û

é ù= - + =ê úë û

1 1144

016M

. (12.3.48)

Por lo tanto, la solución de substrato, que tiene una energía de interacción G.J, establece un


nivel cero para las energías internas de su geometría y de su fuente material.La ecuación (12.3.46) puede ser responsable de efectos anómalos achacados a materia

y energía oscuras, Si un cuerpo de masa M produce la métrica cosmológica de Friedmann

( ) ( )( )sin

sin sinh

k

d dt a t d d d k

k

S ct c S q q f S c

S c

ì = =ïïïï= - + + = =íïï = - =ïïî

2 2 2 2 2 2 2

101

(12.3.49)podría determinar un tensor aparente de energía impulso que se puede escribir, usando unresultado bien conocido [14] para su escalar de curvatura R y despreciando W, de la forma

TGR a k a

Ga a

rm rmrm

Q Q= =

æ ö++ ÷ç ÷- +ç ÷ç ÷çè ø

2

21 3 1 2

. (12.3.50)

Claro está que las nuevas soluciones para el radio a del universo, usando los diferentestensores de energía impulso conocidos, difieren de las soluciones conocidas.

Si k y ä son cero, usando las ec. (12.3.50) la velocidad newtoniana de una partícularotante bajo este campo estaría determinada [15] por la relación

( )( ) ( )vMG

vG a ar G a a

= =--

22 0

22 1 21 2 , (12.3.51)

donde v0 sería la velocidad de la partícula si la velocidad de la métrica de Friemann fuesecero. Este efecto puramente geométrico aumenta la velocidad rotacional aparente. No esnecesario achacar este efecto, que correspondería a la medición de velocidades anómalasde las galaxias rotantes, a la presencia de una “materia oscura”.

12.4. Ecuación General de Movimiento.Usando la nueva conexión definida por la ecuación (12.3.36), pero en representaciones

inducidas, la ecuación de movimiento muestra explícitamente un término dependiente dela masa de substrato, necesario en la ecuación de Dirac

( )

me e e e e e J

e me

m m mm m m m m m

mm

k k G k G

k

æ öæ ö- ÷ç ÷ç = ¶ - = ¶ - - ÷÷ç ç ÷÷çç ÷è øè ø

= - =

0

4

0

(12.4.1)


y las ecuaciones para las partes par e impar de un sistema G son, partiendo de laexpresión correspondiente en la sección 3.4,

( ) † mm m mm m m ms x xG s x s h G h+ -¶ - º = -

, (12.4.2)

( ) † mm m mm m m ms h hG s h s x G x+ -- ¶ - º - = -

. (12.4.3)

Debemos indicar aquí que la presencia de s en la ecuación impar determina signos inusualesimportantes en el acoplamiento electromagnético.

Designemos ahora diferentes vectores potenciales en la nueva conexión con la

siguiente notación: +Ai es la parte par del sector SU(2)Q de la conexión, ( )QG

, y

corresponde al potencial electromagnético; A es la parte impar complementaria en elmismo sector ; G es, en esta sección, el sector SL(2,) de la conexión que determina unaderivada covariante por el subgrupo L; es la parte complementaria. Ambas -A y son matrices complejas, respectivamente proporcionales a la identidad y a las matrices dePauli, a lo largo de la direccion impar k0. La primera ecuación se puede escribir como

( ) † †i A A mm m mm m m m ms x x xG s h s h ¡ h+ -¶ - - = + - . (12.4.4)

Insertando la unidad -i2 en el lado izquierdo de esta ecuación

( ) ( ) ( )( )( ) † †i i A i i i A mm m mm m m m ms x x x G s h s h ¡ h+ -- ¶ + - = + - . (12.4.5)

Las partes impar y par, x y h, son elementos de sl(2,) y sl(2,)Åu(1) respectivamente. Lacomponente u(1) contribuye con una fase común que debe despreciarse. Por lo tanto, laconjugación da

h h= - , (12.4.6)

x x= - (12.4.7)

y se obtiene

( )( ) † †i A i A mm m mm m m ms x s h s h ¡ h+ - + = + + . (12.4.8)

Similarmente se tiene para la segunda ecuación después de multiplicar por i

( )( ) ( ) ( ) ( )† †i A i A i i m im m mm m m m ms h h h G s x s x ¡ x+ -- ¶ + - = + - , (12.4.9)

( )( ) ( ) ( ) ( )† †i A A i i m im m mm m m ms h s x s x ¡ x+ - + = + + . (12.4.10)

Si definimos


( )ij h xº +12 , (12.4.11)

( )ic h xº -12 , (12.4.12)

podemos sumar y restar las ecuaciones par e impar y escribir las ecuaciones generalizadas deDirac en la siguiente forma

( ) ( ) † †

† †

m mm m m

mm

i A i A A A

m

j s c c s j

c ¡ s j ¡ j

+ + - - + - + = + +

+ + +

0 0 0

0 , (12.4.13)

( ) ( ) † †

† †

m mm m m

mm

i A i A A A

m

c s j j s c

j ¡ s c ¡ c

+ + - - + - + = - - +

- - -

0 0 0

0 . (12.4.14)

12.5. Substrato General.Un análisis similar al de la sección 3 se puede hacer para el caso general sin restringir

al subgrupo Sp(4,). Queremos una solución sin gravitación, de modo que tomamos laconexión trivial solamente en términos de los nueve generadores del espacio cociente G/L,

ˆ ˆˆ ˆ

aaEa a

a aw w k w k k wk w wk+ += + + = +5 5 5 , (12.5.1)

donde los puntos encima de w indican el número de matrices k en el generadorcorrespondiente.Por conveniencia, indicamos los ocho generadores del espacio K por Ea.Si restringimos los índices latinos de los generadores del 1 al 9 en la ecuación (12.2.6),podemos escribir el producto triple de la conexión, indicado aquí por X, en la siguienteforma,

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

c b a c bc b a c b

c a cc a c

b a bb a b

aa

X E E E E E

E E E

E E E

E

a m a m am m

m a m am m

m a m am m

m a m am m

w w w w w w k

w w w k w w w k k

w w w k w w w k k

w w w k k w w w k k k

+

+ + +

+ + +

+ + + + +

é ù é ù= +ë û ë ûé ù é ù+ +ë û ë ûé ù é ù+ +ë û ë ûé ù+ +ë û

5

5 5 5

5 5 5

5 5 5 5[ ]é ùë û5 . (12.5.2)

El subespacio vectorial impar total de sl(4,), subtendido por ka y k5ka, es isomórfo aKk, el espacio tangente del cociente simétrico K en un punto k. El espacio del cociente


simétrico K tiene una estructura compleja, como se muestra en la sección 13.3.2, que nospermite definir una métrica compleja en su espacio tangente usando la métrica de Cartan-Killing. De esta manera, el subespacio vectorial impar total de sl(4,) puede considerarsecomo un espacio complejo de Minkowski con métrica h,

( ) ( ) ( ), , ,CC CX Y X Y X Yh* *º = -g g . (12.5.3)

En general, estamos realmente interesados en la clase de equivalencia de posiblesconexiones complejas de substrato. Esta clase de conexiones se genera por la acciónsimétrica del grupo U(1) asociado al generador k5 extendiendo, de esta manera, el espaciodel substrato al espacio complejo KkÅk5. Tomando en cuenta la base del espacio Kk formadapor el conjunto ortonormal ka sobre los números complejos, la ecuación para la corrientegeométrica compleja total, incluyendo las componentes real e imaginaria, es

iX J el l f lpa pa k= = , (12.5.4)

que es diferente de la ecuacion real (12.3.6) pero se reduce a ella cuando f es cero. Podemostambién considerar excitaciones alrededor de la solución de conexión de substrato 2w. Larepresentación completa de 2w estaría formada por una combinación de un elemento algebraicow y su conjugado de Clifford, como se indica en la sección A.3. La ecuación de esta excitaciónde la conexión determinaría una excitación bosónica masiva relacionada con un par conjugadode excitaciones.

Como el generador k5 conmuta con el sector par y genera la estructura compleja, la eq.(12.5.2) se convierte en

[ ] { }

{ }

, , ,

,

c b a c bc b a c b

c a b ac a b a

X E E E E E

E E E E

a m a m am m

m a m a m am m m

w w w w w w k

w w w k w w w w w w

+

+ + + + +

é ù= +ë û- + -

5

5

2

2 . (12.5.5)

Podemos usar la estructura compleja de K para tomar w como una función compleja y losgeneradores como ka,

[ ], ,

c b a c bc b a cb

c a b aca b a

X a m a m am m

m a m a m am m m

w w w k k k w w w k h

w w w k h w w w k w w w k

+

+ + + + +

é ù= -ë û+ + -

5

5

4

4 4 4 . (12.5.6)

Finalmente, evaluamos las componentes en el término X,

[ ]( )tr tr , ,c b a b ad d c b a b aX a m a m a m a

m m mk k w w w k k k w w w k w w w k+ + + +- - é ù= + -ë û1 1

4 4

( ) ( )c cd c d d c d dX a m a m a m a m a

m m m mw w w w w w w w w w w w* * + + + += - - - -4 4 . (12.5.7)

y escribimos la ecuación de campo en la siguiente forma,


( ) ( )( )( )

c c dc d d c d d

c cc c J

m a m a m a m am m m m

m a m a am m

w w w w w w w w w w w w k

w w w w w w k pa

* * + + + +

* + * +

- + -

+ - = -5 . (12.5.8)

Si suponemos que la componente par de la conexión +w es cero obtenemos

( )c c ic d d c dem l m l f l

m mw w w w w w pa d* * - - = (12.5.9)

y la solución compleja impar de substrato es

( )ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆcos sini

g gm e dx m dx dxf a a aa a aw k f k f k w = - º - =5 (12.5.10)

con el mismo valor constante mg dado por la ec. (12.3.23),

( )gm pa= =1 3

3M

4 . (12.5.11)

Por lo tanto la parte real es la solución real original.Podemos representar las conexiones complejas impares w del substrato, dadas por esta

solución, como puntos en el espacio complejo de Minkowski Kk, con módulos iguales. Laenergía asociada a la solución es

( ) ( ) ( )

( )ˆˆ tr .

C CJ J J J

aa

w h w w w

k k

* * = ⋅ = - ⋅ = - ⋅

æ ö÷ç= - =÷ç ÷÷çè ø

g g

14

MM

4(12.5.12)

Los puntos definen vectores complejos -q+,

q i ix y za a a a a ak k k- + ¶ ¶ ¶

= + º + =¶ ¶ ¶5 (12.5.13)

y sus conjugados complejos -q0, que forman una base en el sector Kk, relacionada con lascoordenadas complejas asociadas za. El par de vectores -q0 junto con el vector determinadopor la conexión estática +w,

q k+ =35 , (12.5.14)

suministran una base de quaterniones en un subespacio compacto para el subálgebrasu(2)Q.

Si suponemos que la componente par de la conexión +w no es cero debemos extender la


corriente en concordancia. La parte par de la ec. (12.5.8) es

( )c cc c jm a m a

m mw w w w w w k pa k* + * + +- = -5 5 . (12.5.15)

De hecho, una solución arbitraria constante se puede sumar a la solución compleja desubstrato sin cambiar la estructura de la ec. (12.5.8). El valor de la parte impar de estaecuación se modifica en presencia de una componente par de acuerdo al témino

( )d d dY a a aw w d w w+ + += -2 (12.5.16)

que debe ser cero fuera de la diagonal. Las ecuaciones de campo determinan que solo unade las componentes de la 1-forma +w puede ser diferente de cero. Esta +w puede ser tempo-ral o espacial y puede ser llamada electrostática o magnetostática. De esta manera,obtenemos una serie de soluciones de substratos complejos relacionados con diferentesvalores constantes posibles de -w y +w. El módulo de la conexión total w no está dado porla eq. (12.5.12). Adicionalmente, se puede probar que el módulo de cualqiera de estassoluciones complejas relacionadas aumenta debido a +w y es mayor que el valor dado poresta ecuación.

12.6. Resumen.La ecuación de campo admite soluciones constantes de campos de conexión. En

particular, exhibimos una solución homogénea isótropa constante, que llamamos lasolución de substrato. El valor constante de cualquier componente de la conexión tienedimensiones de distancia inversa y fue expresado en función de la constante deestructura fina a, que es un número puro. Esto introduce una distancia fundamental enla teoría. Adicionalmente, hemos construido soluciones constantes complejas, en términosde esta unidad geométrica fundamental, extendiendo las funciones reales del substrato afunciones complejas.

La expresión para la curvatura constante del substrato muestra que éste es un espaciosimétrico hiperbólico, conformalmente plano. La masa fundamental asociada, en larepresentación definitoria, se puede relacionar con la constante gravitacional G. De unespacio cosmológico de Einstein obtenemos un estimado para el parámetro de masa M en elsubstrato.

El escalar de curvatura par W puede considerarse el germen y origen de constantes físicasrelacionadas con el substrato y, en general, juega este papel en soluciones que no sean constantes.Físicamente consideramos que el substrato suministra dos escalas relacionadas de masas: laconstante gravitacional G caracteriza una escala de masa macroscópica y la masa m de una partículafundamental caracteriza una escala de masa microscópica, de acuerdo con las ideas de Mach.

El substrato es el fondo en cuyo derredor están las excitaciones de los campos deconexión y poliádicos y suministra un mecanismo para asignarles masas constantes. Laecuación de movimiento se escribe como una ecuación de Dirac en términos de esta masaconstante. En general, el substrato determina las propiedades inerciales de la materia. En estesentido podemos decir que él representa geométricamente el concepto físico de sistema inercial.


Referencias

1 A. O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles (MacMillan,New York), p. 197 (1964).

2 G. N. Plass, Rev. Mod. Phys., 33, 37 (1962). 3 G. González-Martín, USB prepublicación 96a (1996). 4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and

Sons, New York), p. 248 (1974). 5 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Fran-

cisco), p. 715 (1973). 6 E. Cartan, Assoc. Avanc. Sc. Lyon, p. 53 (1926) 7 Vea la sección 2.3. 8 A. Trautman, Geometrical Aspects of Gauge Configurations, IFT/4/81, Acta Phys.

Austriaca, Supl. (1981). 9 J. G. González-T., Tesis (Universidad Simón Bolívar, Caracas), p. 45 (1999). 10 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 26, 1177 (1994). Vea el capítulo 9. 11 Vea la sección 9.3. 12 R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) (1966). 13 A. Einstein The Meaning of Relativity, 5th ed. (Princeton Univ. Press, Princeton), p. 104

(1956).14 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Fran-

cisco), p. 715 (1973). 15 G. González-Martín, ArXiv 0910.3380 (2009).

13. COCIENTES DE MASA.

13.1. Introducción.El proceso dinámico fundamental en la teoría es la acción de la conexión sobre la poliada.

Como la conexión está valuada en el álgebra de Lie de G y la poliada es un elemento delgrupo G, la dinámica se realiza por la acción del grupo sobre sí mismo. La estructura defibrado del grupo, (G,K,L), suministra una representación geométrica natural de esta acciónsobre sí mismo. Un subgrupo particular L define un espacio simétrico K, el cociente izquierdoG/L, el espacio base de este fibrado. El subgrupo L, la fibra del fibrado, actúa sobre símismo por la derecha, y es el grupo de isotropía del cociente K. Los elementoscomplementarios del cociente actúan como traslaciones en el espacio simétrico cociente.

Esta interpretación geométrica se puede transformar en una interpretación física siescogemos que L sea homomorfo al grupo espinorial, SL(2,), relacionado con el grupode Lorentz. La acción de L se interpreta entonces como una transformación de Lorentz(una seudorotación) del espacio externo, el espacio tangente TM a la variedad M del espaciotiempo físico y define su métrica. La acción del cociente complementario se interpretacomo una traslación en el espacio interno, el mismo cociente simétrico K. Hay entoncesuna relación geométrica no trivial entre los espacios interno y externo determinada por laestructura del álgebra de Clifford de la variedad. El espacio K es la exponenciación delsector impar del álgebra de Clifford y está relacionado con las copias locales del espaciotangente TM y su dual el espacio cotangente T*M. Se puede interpretar como un espaciode impulsos generalizado. Los estados de impulso k corresponderían a los puntos de K.

Se deduce que las excitaciones poliádicas reciben la acción de la conexión y evolucionancomo representaciones de G. El parámetro constante m caracteriza un valor propio de unoperador diferencial , definido por la ecuación de movimiento, que actúa sobre lasexcitaciones de de una solución de substrato sobre un espacio tiempo localmente simétrico,vistos por algún observador definido,

( ) ( )e e m emmd k ¶ d d= + = , (13.1.1)

( )e em

d d=

, (13.1.2)

( )e m ed d=2 2 (13.1.3)

y por lo tanto m también caracteriza los valores propios de un operador cuadrático 2

sobre el espacio tiempo.

159Cocientes de Masa

Diferentes observadores medirían diferentes valores de impulso relativo k para unaexcitación dada. Una medida para cada k corresponde a una función sobre el espacio deimpulsos. Una excitación abstracta es una clase de equivalencia de estas funcionesbajo el grupo de la relatividad. Como el grupo mismo lleva sus propias representaciones,la realización de las excitaciones como representaciones definidas en el espacio degrupo tienen un carácter geométrico fundamental. La acción geométrica del sector Kes una traslación sobre sí mismo y las funciones sobre K son las representacioneslineales internas que se observan (observables). La acción del sector L es unatransformación de Lorentz y los espinores de sl(2,) son la representación externaobservable. Por estas razones, debemos representar las excitaciones observablesfísicamente como clases de funciones sobre el espacio simétrico K valuadas enespinores. En particular, las realizamos sobre un fibrado vectorial, asociado al fibradoprincipal (G,K,L), tomando como fibra a las funciones sobre el espacio simétrico Kvaluadas en las representaciones de sl(2,). De hecho, esto es lo que se hace en lafísica de partículas cuando se introducen las representaciones del grupo de Poincaré.En matemáticas estas representaciones se llaman representaciones de SL(4,) inducidasde SL(2,).

Como se indicó en el capitulo 2 la variedad base, el espacio tiempo M, es unavariedad hiperbólica modelada por K. Dado un observador, las excitaciones en M sepueden idealizar localmente como funciones en el espacio simétrico K localmentetangente a M en un punto u en una vecindad UÌM. Por un momento restrinjamos G asu subgrupo P de 10 dimensiones. El espacio simétrico tangente modelo es isomorfoal espacio simétrico hiperbólico P/L que tiene un operador diferencial de LaPlace-Beltrami correspondiente al operador de Casimir 2. Debido al isomorfismo local entreM y P/L, se puede tomar que 2 corresponde a la imagen de 2 en el espacio tiempo.

Tendríamos entonces que la constante m también caracterizaría los valores propiosde 2. Es conocido que las representaciones de P inducidas sobre P/L estáncaracterizadas por los valores propios de este operador Casimir y por lo tanto, ellastambién estarían caracterizados por m. En general tendríamos que el parámetro masociado a una función de excitación (onda) en M, como lo vería un observadordefinido, caracteriza una representación inducida de G sobre G/L. Debido a esta relaciónpuramente geométrica entre 2 y 2 las representaciones inducidas deben jugar unpapel físico significante. Debe quedar claro el origen geométrico de esta conocidahipótesis de la física de partículas elementales.

Al escoger una representación inducida particular de G sobre G/L y observadoreslocales definidos en un entorno de un punto dado de M se determina la función deexcitación (onda). Como tenemos una clase de observadores relativísticamenteequivalentes, realmente tenemos una clase de funciones (de onda) sobre M, una paracada transformación que vincule observadores válidos. Las secciones del fibrado Eque definen una representación inducida particular tienen como soporte el hiperboloidede masa en K caracterizado por el valor de la masa en reposo m. Una vez que se escojanobservadores en puntos u en un entorno U en M, correspondientes a puntos k en el


hiperboloide de masa, tenemos funciones (de onda) sobre M con valores definidos dek(u) en el entorno U. El grupo de isotropía del hiperboloide de masa (el grupo “pequeño”de Wigner), que deja un punto (impulso) invariante, transforma las funciones (de onda)sobre el hiperboloide de masa. Si tenemos los fibrados triviales que se usan en lateoría cuántica estándar, por ejemplo, si M es el espacio plano de Minkowski, P es elgrupo de Poincaré y L es el grupo de Lorentz entonces el cociente P/LK es un espacioplano de Minkowski (espacio de impulsos) distinto pero isomorfo a M (espacio tiempo)y el grupo pequeño sobre el hiperboloide de masa en K es SO(3) o ISO(2). La función(de onda) se convierte en la función de onda estándar para una partícula, que dependede un valor definido de k sobre puntos en M.

Debido a los argumentos precedentes, cuando tratemos de calcular los valores físicosm, correspondientes a excitaciones en un substrato, debemos usar las representacionesinducidas caracterizadas por m, que son las que representan una excitación geométricade impulso definido por funciones (de onda) en el espacio tiempo y que tienensignificado geométrico y físico.

Desde nuestro punto de vista geométrico, hemos indicado [1] que el protón, elelectrón y el neutrino son representaciones de SL(2,) y sus subgrupos, inducidas delos subgrupos SL1(2,) y SL(2,). Esto es una generalización de las partículas comorepresentaciones del grupo de Poincaré inducidas de su subgrupo de Lorentz. Usandonuestra definición de masa [2, 3], es posible encontrar una expresión para la masa deestas excitaciones geométricas y compararlas con el cociente de las masas protónicasy electrónicas (hay una expresión geométrica no explicada físicamente [4, 5, 6]). Debeapuntarse que no hay contradicción en este cálculo con las teorías físicas actuales,que pueden ser consideradas como teorías efectivas derivadas de otras teorías bajociertas condiciones y límites. El grupo de estructura de la teoría, SL(4,), ha sidousado en un intento de describir propiedades de partículas [7, 8, 9] en otro enfoque.

13.2. Masas Desnudas.La definición del parámetro de masa m, en términos de una conexión w en el fibrado

principal (E,M,G), fue dada en la representación definitoria fundamental de (SL(4,)en términos de matr ices 4´4 , pero en general , se puede escr ibi r en ot rasrepresentaciones usando la métrica de Cartan-Killing Cg, definida por la traza. Ladefinición de esta métrica se puede extender al álgebra de Clifford A, que es un álgebraenvolvente de las álgebras sl(4,) y sp(4,). El álgebra de Clifford A es unarepresentación y subálgebra del álgebra envolvente universal U de estas álgebras deLie. Hemos normalizado la masa, dentro de una representación fija, por la dimensión delespacio vectorial que lleva la representación, dada por la traza del representante de laidentidad en A. Podemos escribir la definición del parámetro de masa en cualquierrepresentación de sl(4,) y sp(4,) y la correspondiente representación del álgebraenvolvente común (A) como


( )( )( )

trtr

tr CA A

JJm J

I I

mmmmm

m

GGG= = º

Cg14 g

. (13.2.1)

Se conoce que la métrica de Cartan-Killing depende de la representación, pero usaremosesta expresión solamente para hallar cocientes dentro de una representación inducidaparticular fija del álgebra envolvente.

Si consideramos las excitaciones en el substrato constante que determina la equiparticiónde la energía de las excitaciones, esta masa se puede expandir como una perturbaciónalrededor del substrato en términos de la única constante de la teoría, el parámetropequeño de estructura fina a que caracteriza la excitación,

J J J Ja a= + + +20 1 2 , (13.2.2)

G G aG a G= + + +20 1 2 , (13.2.3)

( )( )trm J J Jm m mm m mG a G a G a= + + + 2

0 0 1 0 0 114

, (13.2.4)

lo que indica que la aproximación de orden cero, que llamaremos masa desnuda, estádada enteramente por la corriente y conexión del substrato, con correcciones quedependen de la autointeracción de las excitaciones.

La variación de J es ortogonal a J. De la misma manera que el módulo de lacuadrivelocidad es constante en la relatividad y la cuadriaceleración es ortogonal a lacuadrivelocidad, tenemos en la representación definitoria de matrices de 4 dimensiones,

G G H H G G H HJ J e ee e I J J J J J Jmmk k- -· · · ·¢ ¢ ¢ ¢= = - = = =1 1 4 . (13.2.5)

Esto implica que J1 es ortogonal a J0,

( )tr J J J Jmm d ·= =1 0

1 04

. (13.2.6)

La corrección de primer orden de la masa es

( ) ( )tr tr trgm J J m J J J Ja a a

D G G G G· · · · ·= + = + =1 0 0 1 1 0 0 1 0 14 4 4 .(13.2.7)

La ecuación de primer orden para la conexión es lineal,

( )L JG pa=1 14 , (13.2.8)

donde L es un operador matricial diferencial lineal. Si tomamos la proyección de esta


ecuación a lo largo de J0, su fuente se anula y como J0 es constante,

( )trL J L ma

G D·æ ö÷ç = =÷ç ÷çè ø0 1 0

4 . (13.2.9)

Por lo tanto no existen soluciones DM que dependan físicamente de la fuente J. Laúnica solución física de esta ecuación homogénea, que no sea una solución de uncampo externo, es cuando DM se anula. Por consiguiente la corrección de primer ordendebe ser cero y las correcciones de masa, que dan la masa física teórica partiendo de lamasa desnuda, deben ser del orden de a2, o 10-5.

Como se indicó en trabajos previos [10], estas correcciones corresponden a unaaproximación geométrica o teoría de campos cuánticos (TCC). En este capítulo noslimitaremos al término de orden cero que consideramos la masa desnuda de TCC.

El grupo de estructura G es SL(2,) y el subgrupo par G+ es SL1(2,). El subgrupoL es el subgrupo de G+ con determinante real o sea, Sl(2,). Hay otro subgrupo H queforma la cadena GÉHÉL que es Sp(2,). Los espacios simétricos correspondientes ysus isomorfismos se discuten en el apéndice B. Trabajaremos con dos cocientes quedesignaremos C y K,

( , ) ( , )( , ) ( ) ( , ) ( )

G SL SOK

G SL SO SO SO+

º @ @Ä Ä

4 3 32 2 3 1 2

, (13.2.10)

( , ) ( , )( , ) ( , )

H Sp SOC

L SL SOº @ @

4 3 22 3 1 . (13.2.11)

Estos grupos tienen una estructura de fibrado principal sobre los cocientes y ellosmismos llevan representaciones. La acción geométrica de los generadores de K sontraslaciones en el cociente K. Las funciones en K son las representaciones naturalesinternas.

Consideremos las representaciones de SL(2,Q) y Sp(2,Q) inducidas de los subgruposSL1(2,C) y SL(2,C) sobre los espacios simétricos SL(2,Q)/SL1(2,C) y Sp(2,Q)/SL(2,C),respectivamente. Estas representaciones geométricas inducidas se pueden realizar comosecciones de un fibrado vectorial homogéneo (D, K, D[SL1(2,C)], G+) con lasrepresentaciones D de SL1(2,C) como fibra F sobre el cociente [11], como se muestra en lafigura 3. A cada representación inducida de SL(2,Q) en D, corresponde una representacióninducida del álgebra envolvente A de Clifford en D [12]. En adición, la última tambiéncorresponde a una representación del subgrupo Sp(2,Q) en D. En otras palabras, el fibradovectorial lleva representaciones correspondientes de A, SL(2,Q) y Sp(2,Q). Estas tresrepresentaciones son funciones sobre K valuadas en representaciones de SL1(2,C). Encada punto del espacio base M consideremos el espacio de funciones S de todas lassecciones del fibrado vectorial homogéneo D.


Definamos el fibrado vectorial S(S,M,S,G), asociado el fibrado principal E, con elespacio de funciones S como fibra. La fibra de S está formada por las representacionesinducidas de G.

Hay una conexión inducida que actúa, como la representación adjunta de G, en elfibrado S. La conexión w se representa por una rotación de Lorentz en L y una traslaciónen K. La conexión inducida w se puede descomponer en términos de un conjunto defunciones bases caracterizadas por el parámetro k, las funciones esféricas generalizadasYk en el espacio simétrico [13]. Si K fuese compacto, la base de este espacio de funcionessería discreta, de dimensión infinita d. Las componentes, relativas a esta base estaríanetiquetadas por un numero infinito de índices discretos k. La métrica de Cartan-Killingen las representaciones inducidas expresa la equipartición de la energía y se tieneformalmente para el parámetro de masa, en términos de las componentes de G y J

,

tr k kkk

k k

m Jd

mmG ¢

¢¢

= å14

. (13.2.12 )

Todos los estados contribuyen igualmente a la masa. Como los espacios en discusiónson realmente incompactos, los índices discretos k que etiquetan las componentes, seconvierten en una variable continua y la sumatoria sobre multiplicación de matrices seconvierte en integración sobre el parámetro continuo k o convolución de funciones J(k),G(k). Si trabajamos con matrices cuatridimensionales y funciones continuas en el cocienteK, la métrica de Cartan-Killing en A se expresa por la traza y la integración e introduceun factor de dimensión 4V(KR) para el espacio común de representaciones D, resultando en,

( )( ) ( )tr , ,

R

m dk J k k k k dkV A

G= ò ò 22 21

4 . (13.2.13)

Figura 3

(S, M, , G)

M

s (L)

(D, K, , L)

K


donde V(AR) es un volumen característico que determina la dimensión de la representacióncontinua de A. Interpretamos el valor de una función en k como la componente respectoa las funciones bases Y(kx) del espacio simétrico K, parametrizadas por k, como sehace usualmente en el espacio plano en términos de una expansión de Fourier. Podemosdecir que hay tantas “traslaciones” como puntos en K. Debe apuntarse que estas“traslaciones” no forman el bien conocido grupo abeliano de traslaciones.

Una G-conexión en E induce una SO(3,1)-conexión en TM. La acción combinada delas conexiones, bajo el subgrupo par G+,

deja invariante el subconjunto ortonormal km

[14] y define una relación geométrica de equivalencia relativista R en el subespacioimpar K. Cada elemento del cociente es un elemento k del grupo que corresponde auna tétrada móvil espacio temporal. Físicamente una clase de equivalencia de tétradasmóviles k se representa, módulo una transformación de SL1(2,), por una sola tétradaen reposo, un punto k0 que corresponde a la masa en reposo m. La descomposición de G yJ es en clases de equivalencias de funciones de estado Y(kx). El número de clases defunciones Y(kx) (bases independientes), es el volumen de un subespacio KRÌK de clases(puntos inequivalentes). Las componentes de la corriente y la conexión son funcionessobre el cociente K. Físicamente, la integral representa la sumatoria del productoconexión ´ corriente, sobre todos los observadores inequivalentes, representados porlos observadores en reposo.

Existe una solución constante de substrato [15] para las ecuaciones ilineales quesuministra una conexión trivial v al fibrado principal (E,M,G). Esta 1-forma en Evaluada en SL(2,) representa la clase de equivalencia de formas locales de conexiónde la solución de substrato. Para una sección poliádica particular s, que podemos tomarcomo origen en el espacio cociente, la expresión local de v es la constante

g gs m dx m Jaav k* = - = - . (13.2.14 )

Todos los puntos de K o C se pueden alcanzar por la acción de una traslación por k,restringida al subgrupo correspondiente, desde el origen del cociente. Mientras lapoliada de referencia cambia de s en el origen a sk en el punto k del cociente, la formalocal de conexión cambia

gk s k s k k dk m J k dk k dkv v L* * - * - - -= + = - + º +1 1 1 1 , (13.2.15)

que corresponde a la clase de equivalencia de la solución constante v. Todas las k*s*vcorresponden a la misma clase de solución v, vistas en las diferentes poliadasreferenciales del cociente.

En el fibrado principal la conexión constante v se combina con la corrienteconstante J para producir un producto constante sobre el cociente mientras latransformación sea ortogonal a J [16]. Como se indicó anteriormente, la variación deenergía producida por el último término de la ecuación es un efecto inercial debido aluso de una poliada de referencia arbitraria. El primer término de lado derecho de laecuación produce efectos que no son inerciales porque la corriente J es una forma


tensorial que corresponde al potencial del substrato L. Es claro que su substracciónde la conexión, nos da el último término de la ecuación que solo tiene una dependenciaen k, que transforma como una conexión y corresponde a la conexión inercial. Lacontribución física a la masa desnuda se calcula referida a la poliada especial s y da,

( ) ( ) ( )C C Cgs J J m J Jm m

m mw L·* = = -g g g , (13.2.16)

que define una expresión invariante en G en términos de L, válida en una representacióndada.

Estamos interesados en las representaciones de SL(2,) y Sp(2,) inducidas porla misma representación de SL1(2,) y correspondientes a la misma solución trivial desubstrato. En la representación definitoria de matrices cuatridimensionales, el productoJJ

G G H H G G H HJ J e ee e I J J J J J Jmmk k- -· · · ·¢ ¢ ¢ ¢= = - = = =1 1 4 (13.2.17)

es invariante bajo una transformación SL(2,) en el cociente K y es igual a la identidaden A para ambos grupos, G y cualquier subgrupo H. Existe una representación de A enel fibrado S correspondiente a la representación inducida. La invariancia (igualdad)del producto JJ debe ser válida en cualquier representación de A, aunque el valor delproducto puede diferir de una representación a otra. Para las funciones de lasrepresentaciones inducidas, valuadas en el álgebra sl(2,) (matrices de Pauli), elproducto invariante se convierte en integración sobre la variable k,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ˆˆˆ ˆ

ˆˆˆ ˆ

,, ,

, ,

FF k kJ k k J k k dk

J k k J k k dk

a m bm a b

a m bm a b

k k k k

k k k k¢

=º =

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

ò

ò

001 301 2 2 3 2

0201 2 2 3 , (13.2.18)

que debe ser una matriz 4´4 constante F0 sobre K, independiente de k1 y k3.La expresión para la masa se convierte en,

( )( ),tr

R

g

KR

mF k k dkm

AV= ò

4 . (13.2.19)

El integrando es la misma constante F0 para ambos grupos, pero el rango de integraciónKR difiere. La integración es sobre un subespacio KRÌK de puntos relativísticamenteinequivalentes de K para el grupo G y sobre un subespacio CRÌCÌK para el grupo H.Las expresiones para las masas correspondientes a excitaciones de G y de H son,


( )( ) ( )

( )( )tr,tr

R

g RG g

KR R

m V Km m FF k k dkV A V A

= =ò 04 4 , (13.2.20)

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

tr,trR

g g G RH R

C RR R

m m m V CFm F k k dk V C

V KV A V A== =ò 04 4

.(13.2.21)

Los parámetros de masa desnuda m están relacionados con integraciones en subespacioscocientes de grupos, dependiendo proporcionalmente de sus volúmenes. En otraspalabras, el cociente de parámetros de masa desnuda para las representaciones deSL(2,) y Sp(2,), inducidas por la misma representación de SL(2,) como funcionessobre los espacios K y CÌK debe ser igual al cociente de los volúmenes de los espaciosrespectivos.

13.3. Cocientes Simétricos.

13.3.1. Volumen del Espacio C.Consideremos primero el volumen del espacio simétrico cuatridimensional Sp(2,)/

SL(2,) que coincide con el cociente SO(3,2)/SO(3,1) como se muestra en el apéndiceB. En la representación regular tiene la estructura

[ ]

*

*

x

x

xCx

x

é ùé ùé ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ú= ê úê úê úê úê úê ú ê úê úë û ë ûê úé ùê úê úê úë ûë û

0

1

2

3

4

, (13.3.1)

donde x4 debe ser una función de las xm impuesta por la estructura de grupo [17] quedetermina que el espacio es un hiperboloide unidad,

( )x x xm nmnh= -

1 24 1 . (13.3.2)

El elemento de volumen euclidiano dV(c) dado en términos de las formas dxm(c)varía sobre el cociente cuatridimensional. La medida invariante dm(c) se determinapesando el elemento euclidiano con una densidad igual al inverso del jacobiano de la


transformación generada por una traslación en el cociente,

( )( )

( )dV c

d cJ c

m = , (13.3.3)

v

dx dx dx dx dVd

x x x xm m nmn mn

mh h

= =

- -

0 1 2 3

1 1 , (13.3.4)

o en R5 con w como la quinta coordenada x4,

( )w x x dx dx dx dx dwm nmnd h+ - 2 0 1 2 31 , (13.3.5)

que nos lleva a

dx dx dx dx dVd

w wm = =

0 1 2 3

, (13.3.6)

donde,

x x x x wm n m nmn mnh h + 2 . (13.3.7)

Por inspección de esta ecuación podemos interpretar físicamente al parámetro wcomo una medida de la variación de energía masa sobre el cociente C,

w x x mm nmnh= - = - 21 1 . (13.3.8)

La presencia del jacobiano indica que es conveniente usar coordenadas adaptadas aeste espacio simétrico, coordenadas polares hiperbólicas, para calcular su densidad devolumen invariante,

( )C C

dV C dVg

w

m= = -

ò ò . (13.3.9)

El espacio cociente debe ser uno de los hiperboloides unidad cuatridimensionalesestándares H4 [18]. Añadimos un superíndice a que indica el número de signosnegativos en la definición estándar Hn,a,

( ) ( )n

i ii i

w x xa

a= + =

= + -å å2 22

1 1

1 . (13.3.10)


En particular, el espacio corresponde al hiperboloide minkowskiano H4,3 ,

1 2 2 2 2 2 2 2 2 w u x y z w u k , (13.3.11)

en términos de las coordenadas u, k, que corresponden respectivamente a la energía yal valor absoluto del impulso, y un parámetro l=1 que caracteriza el tamaño unidaddel hiperboloide cuatridimensional particular. Introduzcamos una parametrización entérminos de arcos en el espacio simétrico definiendo las coordenadas hiperbólicas j,q, b, c ,

cos x

x yj =

+2 2 , (13.3.12)

cos zk

q = , (13.3.13)

cosh u

u kb =

-2 2 , (13.3.14)

cos wc

l= . (13.3.15)

Debe apuntarse que el parámetro de arco hiperbólico b no es la velocidad sino queestá relacionada con ella por

tanh k vu c

b = = . (13.3.16)

En particular, el volumen de C se obtiene por una integración sobre este espaciocurvo de impulsos de Minkowski, donde las coordenadas x representan u, k. Separamosla integración en la integración angular sobre la esfera compacta S2, la impulsión radialb y el parámetro de energía c,

( )

( )2

sin sinh

sinh C

dV C dd

d I

b pp

b

c c Wb b

p pb b b

= =

=

ò òò

ò

4

23 2

0 00

0

16 163 3

, (13.3.17)


obteniendo el resultado en términos de una integral de impulsión I(b).

13.3.2. Volumen del Espacio K.Para el volumen de K, la integración es sobre un espacio simétrico de 8 dimensiones.

Este espacio G/G+ tiene una estructura compleja y no es un espacio hermitiano. Elcentro de G+, que no es discreto, contiene un elemento generador k5 cuyo cuadrado es-1. Indicaremos por 2J la restricción del endomorfismo de A, ad(k5), al espacio tangenteTKk. Este espacio que tiene por base las 8 matrices ka, kbk5, es el subespacio propio deA correspondiente al autovalor -1 del operador J2,

( ) , ,

J x y x y

x y

l l l ll l l l

l ll l

k k k k k k k k

k k k

é ùé ù+ = + =ê úê úë ûë û- -

2 15 5 5 54

5 . (13.3.18)

El endomorfismo J define una estructura cuasicompleja sobre K. Adicionalmente,usando la métrica de Cartan-Killing en la representación de Clifford,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), tr tr tr ,Ja Jb JaJb J a b ab a b= = - = =21 1 14 4 4g g , (13.3.19)

hallamos que la estructura compleja preserva la métrica de Kill ing de t iposeudoriemanniana (minkowskiana). También encontramos que la torsión S se anula,

( ) [ ] [ ] [ ] [ ], , , , ,S a b a b J Ja b J a Jb Ja Jb= + + - = 0 . (13.3.20)

De esta manera, se cumplen las condiciones para que J sea una estructura complejaintegrable invariante por G. Por lo tanto K es un espacio simétrico complejo con métricainhermitiana [19].

Se conoce que los espacios simétricos hermitianos son clasificados por ciertoscocientes de grupos. El espacio simétrico inhermitiano K es una forma real incompactadel espacio simétrico complejo correspondiente a la extensión compleja del grupoincompacto SU(2,2) y sus cocientes como se muestra en el apéndice B. Este espaciocoincide con el cociente SO(3,3)/SO(3,1)SO(2) de la serie caracterizada por SO(4,2).En particular se tienen los espacios octodimensionales

( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )SO SL SO

R KSO SO SL SO SO SO

º » @ @ »´ ´ ´4 2 4 6

4 2 2 2 4 2

(13.3.21)

que son cinco formas reales caracterizadas por SO(4,2). Los espacios extremoscorresponden a los dos espacios hermitianos, compacto e incompacto R.

Entre los extremos se encuentran tres espacios incompactos inhermitianos, enparticular el espacio de interés K. En la representación regular estos cocientes tienenla estructura matricial [17 p. 178],


*

*

x y

x y

x yK

x y

x y

x y

é ùé ùé ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ú= ê úê úê ú ê úê úë û ë ûê úé ùê úé ùê úê úê úê úê úê úë û ë ûë û

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

, (13.3.22)

donde la matriz inferior derecha determina las condiciones,

x x x yx y

y x y yx y

é ù é ù+ · ·ê ú ê ú=ê ú ê ú· + ·ë ûë û

14 4 2

5 5

11

, (13.3.23)

impuestas por los grupos asociados correspondientes sobre las coordenadas x4, x5, y4,y5 en espacios de mayor dimensión (d>8), expresadas por el producto escalar en estasubmatriz en términos de los cuadrivectores x, y y la métrica correspondiente,relacionada con la métrica euclidiana por el truco unitario de Weyl. Como en el casoanterior, esta condición determina un espacio simétrico unidad.

Como estas condiciones son difíciles de analizar, es conveniente tratar de hallar elvolumen aprovechando la estructura compleja de la variedad. Podemos introducircoordenadas complejas zm en K. Se obtiene de esta manera una métrica compleja bilinealsimétrica en el espacio complejo cuatridimensional K,

( )tr z z z Ca a ba abk h= - Î

214

, (13.3.24)

iz z emm m y= . (13.3.25)

El grupo que preserva esta métrica compleja bilineal simétrica es el grupo ortogonalSO(4,).

Hay dos proyecciones estándares de los complejos C sobre los reales R, la partereal y el módulo. En una manera similar al módulo, que proyecta el plano complejo sobrela semirecta real, definimos una relación de equivalencia S sobre puntos de K definiendopuntos equivalentes como puntos con coordenadas de igual módulo. Esta relación deequivalencia se puede expresar por

S S S S S= ´ ´ ´1 1 1 1 , (13.3.26)


donde S1 es la esfera unidimensional de fases. Podemos definir el cocientecuatridimensional por

KQ

S= . (13.3.27)

Es conveniente parametrizar K de acuerdo a esta relación de equivalencia S. Cadauna de las coordenadas complejas z tiene un modulo êzê y una fase y que usaremoscomo parámetros. La medida de Haar en términos de la medida euclidiana debecorresponder a la integración en este espacio complejo cuatridimensional. Escojamoslos parámetros que definen el elemento de volumen euclidiano en la identidad,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

dV I d z I d I d z I d I

d z I d I d z I d I

y y

y y

=

10 0 1

2 2 3 3 , (13.3.28)

y trasladémoslo al punto k por una operación del cociente,

( )( )

( )dV k

d kJ k

m = . (13.3.29)

Como en el caso anterior el jacobiano es una medida de la variación de masa energíaa través del cociente K. Calculemos la integral de volumen usando la densidadinvariante de volumen,

( )d z d z d z d z d d d d

dJ k

y y y ym

=

0 1 2 3 0 1 2 3

. (13.3.30)

El jacobiano no depende de las fases y el elemento de volumen de S es separablede dm definiendo un elemento de volumen complementario que corresponde al espaciocociente Q. El volumen de K será entonces el producto de los volúmenes de S y Q,como también indica la ec. (13.3.27). De la ec. (13.3.24) se puede ver que el cocienteQ es un espacio simétrico, tomando como sus puntos representativos aquellos concoordenadas reales. Por otro lado Q debe ser incompacto de otra forma K sería tambiéncompacto porque la relación S es compacta. El cociente no puede ser el producto deuna variedad por un conjunto discreto porque K tendría componentes desconectadas.El subgrupo SO(4,) de SO(4,), que actúa sobre este subespacio Q de K preservandola métrica bilineal de este espacio, tiene S3 como órbita. Por lo tanto, Q es simétrico,cuatridimensional, incompacto con un subespacio tridimensional compacto igual a laesfera Riemanniana S3,


KQ S

S= É 3 . (13.3.31)

El cociente Q debe ser el hiperboloide unidad H4,4, el único con un subespacio S3 notemporal, caracterizado en un espacio pentadimensional por la invariante,

w u x y z w u k= - + - - - = - + -2 2 2 2 2 2 2 21 . (13.3.32)

El parámetro físico de impulsión b (el que representa un cambio de energía cinética)es el parámetro de arco hiperbólico a lo largo de la órbita de un subgrupo uniparámetricoincompacto. La parametrización de Q es en términos de las coordenadas hiperbólicasj, q, z, b definidas, en vez de las ecs. (13.3.14, 13.3.15) por,

cosh ub

l= , (13.3.33)

cos w

w kz =

+2 2 . (13.3.34)

Separemos la integral en las integrales de los 4 espacios compactos de fase en S yla integración en el espacio cuatridimensional Q, parametrizada por los módulos delas coordenadas. Esta última integral se separa además en la integral sobre las triesferascompactas S3 y la integración sobre la dirección incompacta complementaria quecorresponde a las impulsiones b. Se obtiene,

( ) ( ) ( )

sinh sin

K

d d d d d V Q V Sg VV K

dd d db pp p

y y y y

yb b Wz z

´- == =

æ ö÷ç ÷ç´ ÷ç ÷÷çè ø

ò

ò ò ò ò

40 1 2 3

4243 2 3

0 0 0 0

, (13.3.35)

( ) ( )( ) ( )sinh KdV K Ib

p p b b p b= =ò42 3 5 6

0

2 2 2 , (13.3.36)

en términos de otra integral de impulsión I(b). Este resultado muestra, como era deesperarse, que el subespacio relativísticamente equivalente de K es de mayor volumenque el espacio relativísticamente equivalente de C, porque así lo indican las integralesrespectivas del seno hiperbólico de b.


13.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes.Indicamos que el cociente de los volúmenes V de subespacios inequivalentes de K

y C, correspondientes a la representación fundamental de espín 1/2, debe estarrelacionado con el cociente de las masas geométricas correspondientes. Como se indicóen la sección 2 hay un subconjunto de puntos del espacio simétrico que sonrelativísticamente equivalentes. Tenemos que eliminar estos puntos equivalentesdividiendo por la relación de equivalencia R bajo las impulsiones de SO(3,1). Puntosequivalentes están relacionados por una transformación de impulsión b de Lorentz.Hay tantos puntos equivalentes como el volumen de la órbita desarrollada por elparámetro b.

Los volúmenes inequivalentes respectivos son, para C,

( ) ( )( )( )

( )

( )C

RC

IV CV C

IV R

pb p

bb= = =

16163

3 , (13.3.37)

y para K,

( )( )

( )( )( )

( )K

RK

V K IV K

IV R

p bp

bb= = =

5 65 62

2 . (13.3.38)

Aunque los volúmenes de los espacios incompactos divergen, el cociente tomando encuenta la relación de equivalencia R tiene un limite bien definido y se obtiene,

( )( )

R

R

V K

V Cp= 56 . (13.3.39)

Realmente hemos demostrado en esta sección que: El cociente de los volúmenes deK y C, módulo la relación de equivalencia R bajo el subgrupo relativista, es finito ytiene el valor de 6p5.

13.4. Cociente de Masa Física.En la discusión de la sección 1 se vio que, para una solución constante, las masas

son proporc ionales a los volúmenes respect ivos V (K R) . Las cons tantes deproporcionalidad dependen solamente de la representación inducente de SL1(2,). Enparticular para cualquier par de representaciones inducidas de la representación ½, lasconstantes respectivas son iguales.

Armado con el teorema de la sección anterior, el cociente de las masas desnudas delas representaciones fundamentales de los grupos G y su subgrupo H inducidas de la


representación de espín 1/2 de L, para el substrato trivial constante, es igual al cocientede los volúmenes de los espacios inequivalentes de los cocientes respectivos G/L1 yH/L, y tiene el valor finito exacto,

( )( )

. .pRG

H R e

mV Kmm V C m

p= = = » =56 1836 1181 1836 153 , (13.4.1)

que es una aproximación muy buena para el cociente de las masas físicas experimentalesdel protón y el electrón, en confirmación de la relación del grupo G con el protón y elgrupo H con el electrón. Si esto fuera el caso, el único otro subgrupo dinámico de G,L=SL(2,), debe originar una relación similar. Anteriormente hemos relacionado Lcon el neutrino. En este caso el espacio cociente es la identidad y se tiene,

( )( )

( )( )

/R RL

H R R e

V L L V Im mm V C V C m

n= = = =0 , (13.4.2)

de acuerdo con una masa desnuda del neutrino igual a cero. La masa física del neutrinopuede incluir un término pequeño de corrección debido a la excitación.

13.5. Resumen.El cociente de los volúmenes de los espacios cocientes SL(2,)/SL1(2,) y Sp(2,)/

SL(2,)), módulo la relación de equivalencia relativista bajo SL(2,), es igual al valordel cociente de las masas del protón y del electrón, con una discrepancia de 2´10-5.

Es posible tomar los valores geométricos como las masas desnudas en reposo delprotón, del electrón y del neutrino, que necesitan términos de corrección debido a lainteracción de las excitaciones. Se estimó que las correcciones debidas a la interacciónde las excitaciones sean del orden de a2, igual al orden de la discrepancia.

Referencias

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9 F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke, Y. Ne’eman, Phys. Rep. 258, 1 (1995).10 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992).11 R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) (1966).12 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 90 (1962).13 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 360 (1962).14 Vea la sección 4.4.15 G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996).16 Vea la sección 9.3.17 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley and

Sons, New York), ch. 9 (1974).18 J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)

(1994).19 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 285 (1962).

14. MASA DE EXCITACIONES DE CO-NEXIÓN.

14.1. Introducción.Las ecuaciones ilineales de campo tienen condiciones de integrabilidad que suministran

una ecuación generalizada de Dirac que introduce una unidad fundamental de impulsoangular y un parámetro que puede ser identificado como masa. Se estableció una definicióngeométrica de masa en términos de energía para los campos materiales poliádicos queinteraccionan a través de la conexión. Adicionalmente las ecuaciones de campo admitenuna solución constante de substrato en términos de una unidad geométrica fundamental dedistancia [1]. Usando estas ideas se calculó con precisión el cociente de las masas desnudasdel protón y del electrón [2].

Estos resultados indican que algunos efectos de la mecánica cuántica pueden estarcontenidos en la teoría geométrica. En particular, algunas de las propiedades se podríandeterminar de la geometría del substrato. Por ejemplo, un substrato curvo puede ser unmecanismo para dar masas a las excitaciones de la conexión. Esto es posible solo en teoríasilineales como la que está en discusión y es interesante porque hemos hallado una soluciónsimple de substrato para la ecuación ilineal de campo. Ahora ilustramos estas ideas hallandoecuaciones particulares para el caso de una excitación del campo de conexión alrededor deeste substrato [3]. En adición, discutiremos las condiciones para que estas excitacionespuedan considerarse de masa nula.

14.2. Forma General de la Ecuación deExcitación.

En el capítulo 12 la ecuación de campo de la teoría,

D JW pa* *= 4 , (14.2.1)se expandió escribiendo el producto exterior en términos de formas diferenciales ygeneradores del grupo. La expresión para la ecuación de campo se convierte en,

( ) ( )[ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

,

, , ,

a a ba a bg g

a b c a b aa b c a b a

gg g E g E E

g g E E E E E J E

rm an r ar m n r

rm an r a ar m n r

¶ ¶ w ¶ w w

w ¶ w w w w pa

- -- + - +

é ù+ =ë û

2 1

2 4 . (14.2.2)

El conmutador en las expresiones introduce las constantes de estructura y la traza de

177Masa de Excitaciones de Conexión

productos de las bases del álgebra de Lie introducen la métrica de Cartan-Killing.Los grupos de holonomía de la conexión se pueden usar geométricamente para

clasificar las interacciones contenidas en la teoría. La cadena de subgrupos SL(2,) ÉSp(2,) É SL(2,) caracteriza una cadena de subinteracciones con sectores deinteracción que se reducen.

Una sección se relaciona por cartas (coordenadas) a elementos del grupo, SL(2,),los cuales son matrices que forman una base de espinores columnas generales deSL(2,), en la representación definitoria. La conexión es una 1-forma valuada en sl(4,)que actúa naturalmente sobre las secciones e.

Procedamos formalmente en la representación definitoria 4´4. La ecuación se puedeescribir referida a estas bases,

( )

( )

[ ]

[ ]

c a b mnabn cmd d

a b a babdd

c c gg gg

cg g J

g

r a rm anr r m n

r a an m ar m n

w w w ¶ ¶ w

¶ w w w ¶ w pa

+ - +-

é ù+ - + =ê úë û-

2g

2 4 . (14.2.3)

Notemos que los términos cuadráticos en las constantes de estructura también incluyentérminos dependientes de la métrica de Cartan-Killing. Esto puede verse de la expresiónpara la traza,

( )tr o.t. a b c d ab cd ac bd ad bcE E E E = - + +14 g g g g g g . (14.2.4)

Para obtener las excitaciones del campo hagamos perturbaciones de los objetosgeométricos en la ecuación. Entonces la ecuación diferencial lineal para la perturbaciónde la conexión toma la forma general,

( )[ ]

c cd c d d c dg

d

gg g L L g

J

rm an r a a r amnr m n r r mn

a

¶ ¶ dw w w dw dw d

pad

-- + + + =1 22 4

4 , (14.2.5)

donde 1L y 2L son operadores lineales de primer y segundo orden respectivamente, concoeficientes variables que son funciones de w. El segundo término, que surge del términode autointeracción cúbica, puede suministrar un mecanismo para dar masas efectivas alas excitaciones de la conexión sobre el substrato curvo, en términos de un parámetroque representa la autoenergía, determinada usando la métrica de Cartan-Killing en larepresentación definitoria,

ccr

rw w w=2 . (14.2.6)


14.3. Una Solución Particular.En la sección 12.5 hemos construido una solución constante de substrato complejo, en

términos de la unidad geométrica fundamental de distancia mg, extendiendo la funcionesreales del substrato a funciones complejas,

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆgm dx ia a aa a a aw w k w k k k k= + = - 5 . (14.3.1)

En particular, si suponemos que podemos obtener una solución solamente concomponentes algebraicas en el plano complejo de Minkowski Kk generado por elsubconjunto ortonormal k del álgebra de Clifford tendríamos que la base completa Epuede ser reemplazada por este subconjunto ortonormal k . Como la conexión no tendríacomponentes pares, la métrica en el espacio tiempo base M es plana. Usando lasrelaciones de trazas se tiene,

tr a b abk k h= -14 , (14.3.2)

tr ,d a bk k ké ù =ë û14 0 , (14.3.3)

( )tr , ,

tr

d c a b

d c a b d c b a d a b c d b a c

k k k k

k k k k k k k k k k k k k k k k

é ùé ù =ê úë ûë û- - +

14

14 , (14.3.4)

( )tr ,d c a b db ca da cbk k k k h h h hé ùé ù = -ê úë ûë û14 4 . (14.3.5)

Si la excitación compleja alrededor del substrato complejo tiene la forma,

( )ˆ âa ar rr

w w dw= +

, (14.3.6)

la ecuación de la excitación se convierte, usando la métrica compleja g del plano complejode Minkowski Kk, que involucra bajar los índices y tomar la conjugada compleja, en

( )( )

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

d d

J

n c ar bn c ar bn c ar bnr r rd

nca ddb da cb

dw dw w w w dw w w w dw

pa d

* * + + + ´

- =

4

g g g g 4 ,

ˆˆ ˆ ˆ ˆd d Ja a r a a

rd d d ddw w dw w dw d pad* * + + =

2 22 4 . (14.3.7)

Dada una representación, se puede hallar siempre una solución a estas ecuaciones


lineales acopladas en términos de la función de Green del operador diferencial y lacorriente de excitación dJ que puede ser una fuente extendida. Para desacoplar lasecuaciones, es necesario suponer que dwr

r se anula. Si este es el caso, entonces todaslas ecuaciones son esencialmente la misma y la solución se simplifica.

Restrinjámonos a considerar las ecuaciones para una excitación puntual del cuantode carga física y su solución que es la función de Green. Si suponemos una excitaciónindependiente del tiempo con simetría esférica, la única ecuación relevante sería laecuación radial. Como mg es constante, representa una singularidad esencial de laecuación diferencial, un punto singular irregular en el infinito. Las solucionescorrespondientes tienen un comportamiento exponencial similar al de Yukawa [4].Interpretemos que el substrato curvo da un alcance efectivo w-1 a las excitacioneslineales. La ecuación (14.3.7) independiente del tiempo para una fuente puntual es,designando la fluctuación como un campo débil W,

( ) ( ) ( )W x W x j g j g x xw pa d pa d pa d- ¢ - = - = - = - -2 2 2 2 2 2 24 4 4 ,(14.3.8)

donde se reconoce explicitamente que la corriente es de orden a o equivalentemente deorden del cuadrado de la carga. Adicionalmente, tomamos en cuenta que la excitación supuestaes la parte impar de una representación de su(2)Q y debe depender explicitamente de la parteimpar formal de la carga. La carga que entra en esta ecuación de primer orden de perturbaciónes la carga su(2)Q, ec. (8.4.5), definida por la ecuación ilineal original sin perturbar. Este es elcuanto de la única carga física: el cuanto de carga eléctrica e=1. Debemos definir un factor g queexprese este cuanto de carga geométrica en unidades de una carga impar formal indefinida (ocarga débil). El factor (ag)2 no es parte de la función d que representa la unidad de cargaimpar formal. Esta ecuación se puede dividir por (ag)2, obteniendo la ecuación para lasexcitaciones impares producidas por la unidad de carga impar puntual o ecuación para lafunción de Green

( )( ) ( ) ( )W x W x x x

gg

wpd

aa

æ ö÷ç ¢ - = - -÷ç ÷÷çè ø

22

21 4 . (14.3. 9)

Se puede definir una nueva coordenada radial r=agx’, racionalizada con un nuevo alcance-m-1 que incorpora la constante ag. Tomando en consideración las transformaciones covariantesde W y d, la ecuación radial se puede escribir entonces

( ) ( )rW W r rr r

¶m pd

¶- ¢- = - -

22

21 4 . (14.3.10)

Como -m es constante la función de Green para este operador diferencial es

x x re ex x r

m m

p p

- -¢- - ¢-

= =¢ ¢-

1 14 4

. (14.3.11)


cuya integración espacial total introduce, en general, el factor de alcance,

rdr r e dp

m Wp m

-

¥

¢--

¢ ¢ ¢ =ò ò4

22

0 0

1 14

, (14.3.12)

El alcance -m se puede evaluar usando la ec. (14.3.7),

( )CC gmm mm mw w w w w*= = =2 2g 8 , (14.3.13)

obteniendo

gm

g gw

ma a

- = =2 2

. (14.3.14)

Para obtener una excitación completa, en vez de su parte impar, se pone g igual a 1.

14.4. Excitaciones SU(2) Masivas.De acuerdo a la física geométrica podemos considerar una excitación del subgrupo SU(2)Q

de G alrededor del substrato. La solución compleja de substrato nos indica que esta excitaciónadquiere una masa efectiva. Consideremos los tres componentes A de una conexión SU(2)Q

como tres potenciales electromagnéticos clásicamente equivalentes.El subgrupo electromagnético es SU(2)Q, similar al subgrupo de espín SU(2)S. El grupo

mismo, como un fibrado (SU(2),S2,U(1)) lleva sus propias representaciones [5]. El espacio basees el cociente SU(2)/U(1) que es la esfera bidimensional S2. La fibra es un subgrupo par arbitrarioU(1). La acción de este SU(2)Q electromagnético es una multiplicación en la fibra por un elementodel subgrupo U(1) y una traslación en el espacio base S2 por la acción del operador Casimir delgrupo SU(2)Q, que representa el cuadrado de una rotación total de SU(2)Q.

Esta acción no es tan simple como una traslación en el espacio plano, sino que tienecomplicaciones similares a las asociadas con el impulso angular debido a la geometría del grupoSU(2). La orientación de las direcciones en SU(2) esta cuantizada. En particular, solamente uncomponente del generador E de rotaciones electromagnéticas conmuta con el operador de CasimirE2 del grupo. Este operador actúa sobre el cociente simétrico S2 convirtiéndose en el operadorde Laplace-Beltrami sobre el cociente. Sus autovalores están geométricamente relacionadoscon las translaciones en S2 de la misma manera como los autovalores del operador usual deLaplace están relacionados con las translaciones en el plano. Hay autovalores definidos,simultáneos con el operador de Casimir, a lo largo de una sola dirección arbitraria cualquiera ensu(2), que hemos tomado como la dirección del generador par +E. El generador E se puededescomponer en términos de las componentes par e impar complementaria E. No podemosdescomponer E en componentes con valores de expectación definidos. La separación en partespar e impar representa, respectivamente, la separación de la acción grupal en su acción parvertical en la fibra y una traslación impar complementaria sobre la base S2.


Considere que las funciones exponenciales ek.r forman una representación del grupo detraslaciones en el plano. La magnitud de la traslación k esta determinada por el autovalor deloperador de Laplace ,

k x k x k xe e k elD = = 2 , (14.4.1)donde el valor absoluto de k es

( )mnm nk k kd=

1 2 . (14.4.2)

El subespacio impar de su(2)Q, subtendido por los dos generadores electromagnéticos com-pactos impares en E, es isomorfo al subespacio impar del álgebra de cuaterniones, subtendidopor su subconjunto ortonormal qa. Asociado a este subconjunto ortonormal tenemos el opera-dor de Dirac q en un espacio curvo bidimensional. Este operador de Dirac representa aloperador de rotación L2 en las funciones vectoriales sobre la esfera que también corresponde ala componente bidimensional del laplaciano. Obtenemos para esta acción, si separamos lafunción de onda j en su autovector f de SU(2)S y su autovector y de SU(2)Q, y usamos elhecho que la conexión de Levi-Civita es simétrica,

( ) ( ) [ ]

a a b a b a ba a b a b a b

aba b

q q q q q q q

g L

y y y y

y y y

= = +

= - = -D =

2

2 . (14.4.3)

Esta ecuación muestra que el cuadrado del operador curvo de Dirac es el operador de Laplace-Beltrami o de Casimir sobre la esfera, igual al cuadrado del momento angular. Por lo tanto, podemos

Figura 4

q 1

q 2

q 3

E+

E

E-

Q


definir el generador electromagnético impar E como el cuaternión operador diferencial

a 2aE q C . (14.4.4)

La dirección de E en el plano tangente impar es indeterminable porque no hay autovectoresimpares comunes con +E y E2. Sin embargo el valor absoluto de este cuaternión debe ser la raízcuadrada del valor absoluto del cuaternión de Casimir. Los valores absolutos de +E y E definenun ángulo polar Q en el álgebra su(2) como se indica en la figura 4.

El ángulo Q es una propiedad de las representaciones del algebra, independiente de lanormalización como se verifica sustituyendo E por NE. En la sección 7.4 utilizamos lanormalización natural del álgebra geométrica. Los generadores tienen una magnitud doble quelos generadores estándar de espín. Esta normalización introduce un factor de 2 en las constantesde estructura de las relaciones de conmutación respectivas y determina que los autovalores delos generadores, caracterizados por los números cuánticos de carga c, n, son el doble que losautovalores estándares caracterizados por los números cuánticos de espín j, m. Sin embargo,esconveniente utilizar las 2 diferentes normalizaciones para los subgrupos isomorfos SU(2)Q ySU(2)S de acuerdo a la interpretación física de cuantos enteros de carga y semienteros de espín.Con la normalización estandar, en la base los autovectores comunes de +E y E2, se tiene,

( ), ,E j m j j j m- = +2 1 , (14.4.5)

( ), , ,aaE j m q j m j j j m- = = +1 , (14.4.6)

, ,E j m m j m+ = . (14.4.7)

El generador electromagnético tiene una dirección acimutal indefinida pero una direcciónpolar cuantizada determinada por los valores posibles de las traslaciones. Por lo tanto se obtiene,como los valores absolutos de los cuaterniones son los autovalores respectivos,

( ) ( )tan tanj c

m n

E C j j c c

m nE EQ Q

-

+ +

+ += = º = º

12 2 1 2

. (14.4.8)

Las direcciones internas del potencial A y de la corriente J en su(2)Q deben estar en lasdirecciones posibles del generador electromagnético E. En la zona cercana definida por 1rm- las componentes de A deben ser proporcionales a las traslaciones par e impar posibles. El vectortotal A debe hallarse en un cono, que llamamos el electrocono, definido por un ángulo polarcuantizado Qn

c relativo a un eje en la dirección par y un ángulo acimutal arbitrario.

El estado fundamental ,c n que representa a un cuanto de carga es ,1 1 y corresponde

al estado de rotación electromagnética ,1 12 2 . El ángulo Q½

½ correspondiente es


( ) ( )tan tanE

Ep Q

-

+

+= = = º

12

12

1 12 2

12

13 3 . (14.4.9)

Las excitaciones de la conexión su(2) son funciones sobre la esfera bidimensinal SU(2)/U(1) generada por los generadores impares -E. Los generadores complejos de subir y bajarcargas -E, que son distintos al generador imparE, pueden definirse en términos de losgeneradores reales

E E iE- = 1 2 (14.4.10)y cumplen las relaciones

( ), ,E E c n n E c n+ - - = 2 . (14.4.11)

Por lo tanto, estas excitaciones cargadas, definidas como representaciones del grupo SU(2)Q,requieren un substrato con una dirección preferida a lo largo del cuaternión q3 en el sectorsu(2)Q. Sólo la solución compleja, ec. (12.5.10), suministra un substrato adecuado.Designemos este substrato como el substrato complejo impar.

Las soluciones complejas de substrato impar en el sector su(2) se reducen a

( )ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin a

adx A dx Aqm mm mw w k f k k k f- - - -= = =0

0 1 2 3 (14.4.12)

y deben corresponder a los dos generadores -E de la esfera. Este subespacio impar desu(2) generado por la solución compleja se interpreta físicamente como un substratoelectromagnético SU(2) impar, de vacío, con potencial -w que determina alcances quepueden interpretarse como masas para las excitaciones A de la conexión electromagnéticaa su alrededor. El alcance -m-1 es determinado por la componente bidimensional fundamentalde -w en el plano ecuatorial del substrato.

Las componentes par e impar de la excitación su(2) en la dirección E tienen que obedecerlas relaciones,

A A A+ -+ =2 2 2

, (14.4.13)

Debido a la cuantización de su(2), en la zona cercana sólo están definidos dos valores posiblesde la conexión, asociados a una representación fundamental, los cuales se relacionan por

sinA E

A EQ

- -

= = 1 2 . (14.4.14)

Una excitación fundamental de la conexión su(2)Q debe ser el bosón de espín1(representación de SU(2)S) que también sea una representación fundamental de SU(2)Qdonde los tres generadores componentes mantienen sus relaciones quantizadas


correspondientes a los autovalores de rotación electromagnética ½, ½, similar al de laexcitación poliádica (proton). Claro está que ellas difieren de acuerdo con el SU(2)S de espínporque la primera es una representación de espín 1 y la segunda de espín ½. Designaremosa esta excitación con el nombre de excitación fundamental completa. Cuando el ángulo Q seescriba sin índices debe entenderse que se refiere a esta representación. Una fluctuación delsubstrato impar

( ) ( ) qd w d w- - - = 0 (14.4.15)

no suministra una excitación completa de su(2)Q.Las corrientes de su(2)Q están similarlmente quantizadas y definen la carga impar formal.

Estas corrientes y cargas estan relacionadas por

sinj E e

j E eQ

- - -

= = =1 2 . (14.4.16)

El factor g que expresa el cuanto de carga geométrica en unidades de la carga impar formal (ocarga débil) es

cscg Q= 1 2 . (14.4.17)

Los únicos alcances posibles asociados a una excitation su(2)Q deben ser proporcionalesa los dos únicos valores posibles de la conexión cuantizada

sinA

A gm

Qm

- -

= = =1

. (14.4.18)

Los valores posibles de alcance son

singm

g

Qwm

a a- = = 1 22 2

(14.4.19)

y

gmm

a=

2 2 . (14.4.20)

Por otro lado, los alcances de las excitaciones deben ser suministrados por la ecuación(14.3.7) de campo de la excitación como el valor absoluto de alguna conexión de substrato.El substrato complejo impar admite un substrato relacionado con un componente paradicional de la conexión +w, que debe suministrar el valor de la diferencia de energía. Estaparte par +w aumenta el módulo de la conexión total. Los valores posibles de +w deben


corresponder a los valores absolutos m permitidos de la conexión total de substrato.Designaremos este substrato como el substrato complejo completo.

El valor m2 representa el cuadrado de la energía de enlace de una excitación su(2)Q

fundamental completa (con sus tres componentes) alrededor del substrato complejocompleto con la ecuación,

( ) ( )A x A x xm pd ¢ - = - -2 2 4 . (14.4.21)

Como las orientaciones del potencial A y la conexión del substrato w están cuantizadas,sus descomposiciones vectoriales en sus partes pares e impares están fijadas por larepresentación de la conexión. Por lo tanto, este término de energía m2 se puede separarusando el ángulo del electrocono característico Q,

( ) ( ) ( )cos sin cos sinm m Q Q m Q m Q m m+ -= + = + º +2 22 2 2 2 2 2 . (14.4.22)

El parámetro de energía +m corresponde a la componente par +w asociada al grupo U(1)generado por el generador electromagnético par k5.

Esta energía m producida por las componentes de la excitación no puede descomponersesin disociar la excitación debido a la cuantización de la orientación de sus componentes. Sila excitación completa se desintegra en sus componentes parciales, la ecuación parcorrespondiente se separa del sector impar en K como indica la ec. (14.3.7) y tiene unaconexión abeliana. Por lo tanto, el término de masa no aparece en la ecuación par, lo que esfísicamente consistente con la masa cero del fotón. La energía +m asociada a +w en ladirección k5 está disponible como energía libre. Por una corta duración la desintegraciónextrae energía del substrato. Por otro lado, la energía -m corresponde al substrato complejoimpar y cuando la excitación completa se desintegra, la energía aparece como el término demasa en las ecuaciones acopladas (14.3.7) asociadas al par de generadores impares -E.

( ) ( ) ( ) ( )A x A L x xm m dw pd- + - ¢ - - + = - -2 2 21 4 . (14.4.23)

Podemos despreciar el término de acoplamiento L1, como se hizo anteriormente en la ec.(14.3.7)), de forma que la ecuación se puede escribir aproximadamente

( ) ( )A x A x xm pd- - - ¢ - = - -2 2 4 . (14.4.24)

14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre.Las soluciones fermiónicas fundamentales que representan a los fermiones estables

tienen la masa (energía), según la ec (12.3.27) en la representación definitoria. La únicamanera de calibrar la masa geométrica mg que aparece también en la ec. (14.4.19) para w es através de las dos únicas masas físicas proporcionales a mg por la integración requerida para lasrepresentaciones inducidas descritas en la sección 13.2. La calibración con la masa me de larepresentación Sp(2,) es inadecuada para una excitación de partícula libre -A de la conexión


su(2) porque esta última requiere una representación SL(2,) completa de la fuente de corrientematerial. Si mg se calibra con la masa mp se tiene

p gm m= 4 , (14.4.25)

tr gm gmmw w w a m*= = =

1 2 24

. (14.4.26)

Considerando estas relaciones, el ángulo Q también determina el cociente de las dos energíaso masas asociadas a la excitación fundamental,

sinA

A

m

mQ

-

= . (14.4.27)

Estas relaciones determinan que las energías o masas de las excitaciones nucleares de laconexión SU(2) son proporcionales a la masa del protón mp,

. Gev. . Gev.g pA Z

m mm mm

a a= = = = » =

2 290 9177 91 188

2(14.4.28)

sin. Gev. . Gev.p

WA

mm m

Qm

a-

-= = = » =78 7370 80 422 (14.4.29)

Estos valores indican una relación con los bosones débiles intermedios [6]. Tambien indicanuna relación del ángulo electrocónico con el ángulo de Weinberg: el ángulo de Weinberg seríael complemento del ángulo Q. Ellos admiten correcciones de orden a, en particular la masa delos bosones cargados necesita correciones electromagnéticas. Por ejemplo, si usamos el valorcorregido de Q, obtenido de su relación con el valor experimental del ángulo de Weinberg,

sin. Gev . Gevp

WA

mm m

Q

a- = = » =79 719 80 42

2 . (14.4.30)

Definamos una monoexcitación como una excitación que no forme una representacióncompleta o impar de SU(2)Q y que esté asociada a un solo generador. Una colisión puedeexcitar una resonancia a la energía m

A de la excitación fundamental A de la conexión

determinada por el substrato complejo completo. Esta excitación fundamental A de laconexión que es una representación de SU(2) puede también disociarse o desintegrarse,cuando la energía es suficiente, en sus tres componentes (+A, -A) como dosmonoexcitaciones libres -A, cada una con masa (energía) A

m - determinada por el substrato

complejo impar, y una tercera monoexcitación libre +A de U(1), de masa nula determinada


por la componente par del substrato complejo +w que es abeliana.Esto determina simplemente la existencia de cuatro excitaciones de espín 1 o partículas

bosónicas asociadas a la conexión SU(2) y el valor teórico de sus masas:1- La resonancia en la energía m del potencial fundamental A, que tiene que decaer

neutralmente en sus componentes (+A, -A) y puede identificarse con la partícula Z.2- El par de monoexcitaciones libres -A±, cargadas ±1 con igual masa -m, que pueden

identificarse con las partículas W±.3- La monoexcitación libre +A, neutral sin masa que puede identificarse con el fotón.

De esta manera se puede dar una interpretación geométrica a los bosones intermedios W, Z y alángulo de Weinberg que equivale entonces al complemento del ángulo del electrocono Q.

14.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red.La ecuación para la excitación impar SU(2) tiene una corriente geométrica producida por la

misma excitación del campo. Esta componente de la corriente, con excitaciones cargadas de laconexión, puede dominar la corriente efectiva total. En estos casos la ecuación original (14.3.7),desacoplada e independiente del tiempo, determina una ecuación de Helmholtz [7] para unaonda colectiva coherente y auto sostenida del potential magnético su(2),

( ) ( ) ( ) ( )A x A x j x A xw pa d w- = - »2 2 2 24 . (14.4.31)

Como aplicación, podemos considerar excitaciones alrededor de una red con potencialesperiódicos en algún medio. Toda onda en un medio periódico debe describirse como una ondade Bloch [8]. Las propiedades de estas ondas están esencialmente basadas en la teoría deFloquet [9] para ecuaciones diferenciales. Si tenemos un sistema de muchas excitacionescompuesto de diferentes especies de partículas en el medio, debemos considerar las ecuacionesde onda de Bloch para las ecuaciones de potential de Helmholtz y de partícula de Pauli para lasdifferentes especies. Las funciones de onda se comportan como ondas de Bloch que consistende una onda plana envolvente y una función periódica de Bloch unk(r) con la misma periodicidaddel potencial externo,

( ) ( )ik r

nk nkr e u ry =

. (14.4.32)

El índice n caracteriza las bandas de energía de las soluciones. Un vector de onda k de Blochrepresenta al impulso conservado, módulo una suma de vectores de la red recíproca. La velocidadde grupo de la onda también se conserva. Las partículas asociadas a la onda pueden propagarsesin dispersión a través del medio, casi como partículas libres. Hay transferencias posibles deenergía e impulso entre las diferentes ondas.

Para el campo colectivo A, los dominios de las funciones de Bloch unk son celdas de reddonde existen perturbaciones. Estas perturbaciones deben producirse por los términos deprimer orden en a de la corriente, ec. (14.4.31) .

La ecuación (14.4.19) para el alcance m, usando la masa mp, nos da mW como se demostróen la sección anterior. Para un estado colectivo de excitaciones, un estado -A de la excitación deconexión no requiere de una representación particular de SL(2,) de la fuente material y puede


acoplarse también al generador k0 de una representación Sp(2,) con la otra masa fundamentalme. La misma expresión (14.4.19), usando esta masa me, nos da una masa mA de menor energía,

sin . . MeVeeA

mm m

Qm

a-

-= = = =83 9171 42 88142

. (14.4.33)

Por lo tanto, las excitaciones masivas colectivas complejas de la conexión SU(2) pueden estaren solamente dos estados de distinta energía. Estas excitaciones obedecen estadísticas de Bose-Einstein y bajo ciertas condiciones pueden condensarse en un estado coherente colectivocorrespondiente a la energía más baja. La masa dada por la ecuación (14.4.33) debe relacionarsecon los términos de energía en las funciones de Bloch unk de A. Usando esta masa colectiva envez de la masa mW del espacio libre obtenemos la relación cuántica requirida entre lascomponentes par e impar del algebra su(2) completa, coherente y global,

tan Am rA e AQ -- +=2 222 . (14.4.34)

14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa.Como la masa efectiva de la conexión surge del término cúbico, un substrato curvo

es una condición necesaria para este efecto. Sin embargo esta condición no es suficiente.Si el substrato curvo corresponde a una subálgebra abeliana, no existe el término cúbico.Por lo tanto este efecto está asociado a un substrato curvo inabeliano. Como lasubálgebra abeliana de Cartan es tridimensional tenemos un máximo de tres campos deexcitación sin masa, de largo alcance. De acuerdo a lo indicado en la sección 7.2 cada uno deestos campos sin masa está caracterizado por el número cuántico helicidad.

Uno de los tres campos sin masa está asociado con cualquiera de los generadorescompactos del SU(2) electromagnético. Por lo tanto esta excitación sin masa obedecelas ecuaciones electromagnéticas de Maxwell y se comporta como un fotón, en elespacio plano. El segundo campo sin masa está asociado con cualquiera de losgeneradores compactos del SU(2) de las rotaciones. Por lo tanto, esta excitación sinmasa obedece ecuaciones seudomaxwellianas, pero la acción de la conexión es unarotación sobre los vectores espaciales (acción de espín) y debe ser interpretada comoparte de la gravitación.El tercer campo sin masa está asociado a cualquiera de losgeneradores incompactos asociados a las impulsiones relativistas. Esta excitaciónobedece ecuaciones lineales seudoelectromagnéticas, su acción corresponde aimpulsiones de Lorentz (aceleraciones) y debe ser interpretada como parte de lagravitación.

Buscaremos ecuaciones ondulatorias. Una forma de conexión con una solacomponente algebraica a lo largo del generador k2k3 es un elemento par del álgebra queinduce una conexión en TM con una sola componente algebraica a lo largo del generadorde rotaciones en el plano 2-3 por medio del diferencial del homomorfismo de grupo deSL(2,) a SO(3,1). Hagamos los cálculos en términos de las componentes de la tétrada


ortonormal. La métrica es constante pero las componentes tetrádicas son funciones delas coordenadas. Las formas de conexión y curvatura se pueden escribir como

ˆˆ ˆˆ ˆ Ê Aa a m

mb bw q= 1 , (14.5.1)

( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆd E dA A da a r r

r rb bw q q= +1 , (14.5.2)

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ ]E F E A dx dxa a a m n

m nb b bW ¶= = 1 1 . (14.5.3)

Las ecuaciones de campo para la conexión dependen de la métrica o las tétradas delespacio tiempo base. Para un espacio libre ellas son,

ˆ ˆˆ ˆd E d Fa ab b

W* * * *= =1 0 , (14.5.4)

que pueden ser escritas en términos del codiferencial, o la métrica y la conexión deLevi-Civita,

( )L Ld g dxnl mn l md w w= - = 0 , (14.5.5)

que lucen formalmente como las ecuaciones de Maxwell. Una ecuación similar seobtendría para el tercer campo sin masa. En general tenemos que resolversimultáneamente estas ecuaciones con aquellas que relacionan la conexión con latétrada.

De acuerdo al uso previo, indicamos por G los coeficientes clásicos de la conexiónde TM en coordenadas. En otras palabras, las G están relacionadas con las componentesde la forma de conexión w por un cambio de bases de coordenadas. En cada punto m dela variedad base M las transformaciones a coordenadas arbitrarias son transformacioneslineales con unidad e inverso. Las transformaciones en un punto fijo se puedenconsiderar matrices de GL(4,). Así, los coeficientes de la conexión en coordenadasarbitrarias, en cada punto de una vecindad U de m, se pueden obtener de las 1-formasde conexión en un sistema ortonormal por una transformación de una conexión GL(4,)en cada punto de U, en otras palabras por una sección local en un fibrado principalGL(4,) sobre M. Como un fibrado principal SO(3,1) se puede identificar como unsubfibrado del fibrado anterior, podemos escribir la transformación de la conexión wpor un elemento gÎGL(4,),

w w ¶- -¢ = +1 1g g g g . (14.5.6)

Tomando para g la matriz correspondiente a las componentes de la cotétrada q encoordenadas arbitrarias y por u su inverso, obtenemos los coeficientes de conexión entérminos de la forma de conexión, usando notación matricial. Podemos multiplicar por laizquierda por q para definir las componentes mixtas,


ˆˆ ˆ ˆˆ

a a b aln n l nbl

G w q ¶ qº + . (14.5.7)

La parte antisimétrica de esta relación da la expresión para la torsión,

[ ] [ ]ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ] [ ][a a b a a

n l nln lnb lS w q ¶ q Gº + = , (14.5.8)

ˆˆ ˆ ˆˆda a a bb

S q w q= + , (14.5.9)

La compatibilidad de la conexión con la métrica determina una relación entre la forma deconexión, la tétrada ortonormal y la conexión de Levi-Civita (símbolos de Christoffel),

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )a g a g a ggl a m n gn a l m gm a n lw q q w q q w q q+ - = 0 , (14.5.10)

{ } ( )g g g gr a a amr ln am an lm al nmlnG S S= + + . (14.5.11)

Una solución de substrato que permita una excitación sin masa se puede obtenerresolviendo simultáneamente las ecuaciones (14.5.5, 14.5.9, 14.5.11).

14.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles.Dejaremos el caso general para consideraciones futuras. Aquí discutiremos el caso

especial cuando se satisfacen las ecuaciones de Einstein para la conexión. En este casola torsión es cero, las soluciones de vacío comunes de la ecuación de campo y laecuación de energía impulso son espacios de Einstein [10, 11]. El tensor de curvaturade cualquier solución abeliana toma la forma,

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ ]ˆ ˆR E F E A dx dxa a a m n

mn m nbmn b b¶= = . (14.5.12)

Como ejemplo supongamos ondas planas o sea que la superficie transversa seaplana. La métrica transversa, en el plano 2-3, es euclidiana y podemos usar coordenadastriviales para simplificar las ecuaciones. Ellas implican que F es cero, excepto unacomponente

F A A¶ ¶= -01 0 1 1 0 , (14.5.13)

indicando que la conexión es trivial para un campo transverso. Para espacios de Einsteincon constante cosmológica nula no hay soluciones transversas de este tipo.

14.6. Resumen.Hemos hallado ecuaciones para las excitaciones geométricas de conexión alrededor

de una geometría fija de substrato. En un caso particular mostramos que las ecuaciones


Referencias

1 G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996).2 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, USB Reporte SB/F/274-99 (1999).3 G. González-Martín, ArXiv 0712.1538, USB Reporte SB/F349-07 (2007).4 H. Yukawa, in Foundations of Nuclear Physics, R. T. Beyer, ed. (Dover Publications,

New York), p. 139 (1949).5 G. González-Martín, I. Taboada, J. González, ArXiv physics/0405126, USB Reporte SB/F/

305.3-02, (2003).6 R. E. Marshak, Conceptual Foundations of Modern Particle Physics, (World Scientific,

Singapore) ch. 6 (1993).7 Philip M. Morse and Herman Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 1st edition

(McGraw-Hill,New York), Vol.1, Chap.5.8 F. Bloch, Z.Physik 52, 555 (1928).9 G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1887).10 E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976).11 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990). See chapters 3 and 5.

toman la forma de una ecuación de Yukawa. Las soluciones correspondientes secomportan como campos de corto alcance, con el alcance determinado por una constanteasociada a la conexión de la solución de substrato. Esta constante, que en generaldepende de las representaciones, puede interpretarse como la masa de una partículaasociada a la excitación.

Especialmente, estudiamos las excitaciones que forman una representación de SU(2)Q. Sedemostró que los generadores asociados a estas excitaciones deben obedecer las reglas deconmutación del grupo y que esto determina que la dirección interna de una fluctuación de laconexión A debe estar a lo largo de una de las direcciones cuantizadas posibles. En consecuenciael vector total A debe hallarse en un cono definido por un ángulo cuantizado Q relativo un ejepolar en la dirección par con un ángulo acimutal arbitrario.

Los únicos alcances posibles de una excitación que sea la representación fundamental desu(2)Q deben ser proporcionales a los dos únicos valores absolutos posibles de su conexióncuantizada, los cuales se relacionan por este ángulo polar. Las masas correspondientes, conposibles correcciones de orden a, son aproximadamente iguales a las masas experimentales delos bosones W y Z. El ángulo de Weinberg está relacionado con el ángulo polar Q.

La posibilidad de tener excitaciones de largo alcance sin masa alrededor de unsubstrato constante, los campos clásicos, está limitada a la subálgebra de Cartan, quetiene tres dimensiones. Una de las excitaciones sin masa corresponde al fotón. Lasotras dos están asociadas a la gravitación. La restricción a ecuaciones de Einstein en elvacío hace que una solución particular se anule.

15. INTERACCIONES DÉBILES

15.1. Introducción.Si la teoría geométrica tiene algo que ver con las interacciones débiles, debería ser

posible representar las interacciones entre el electrón y el neutrino dentro de estas ideasgeométricas, de la misma manera como se representan la gravitación y el electromagnetismo.El rol que las álgebras de Clifford juegan en la estructura geométrica de la teoría suministraun vínculo con las teorías de interacciones no clásicas. Una poliada par obedece la ecuacióndel neutrino. Los grupos de holonomía de la conexión pueden ser usados geométricamentepara clasificar las interacciones contenidas en la teoría. La cadena de subgrupos SL(2,) ÉSp(2,) É SL(2,) caracteriza una cadena de subinteracciones con sectores reducidos deinteracciones no clásicas y posee una simetría interna SU(2)U(1) igual a la de lasinteracciones débiles

Por otro lado, las ecuaciones de campo de la teoría admiten un conjunto de solucionesconstantes para el campo de conexión en términos de una unidad de distancia fundamental[1]. Hemos visto en capítulos anteriores que podemos asociar el resultado de una mediciónfísica a una de estas distancias para obtener una calibración de la unidad de distancia demodo que la escala correspondiente pueda ser usada para obtener otras constantes físicas.El cociente de las masas del protón y del electrón se calculó con gran precisión usandoestas ideas [2]. Posteriormente se calcularon las masas de los bosones W y Z [3] como seindicó en el capítulo anterior. Estos resultados nos permiten esperar que efectivamente la teoríageométrica pueda representar las interacciones débiles.

El modelo estándar ha tenido muchos triunfos describiendo las interacciones débiles yfuertes que han llevado a una aceptación general de este modelo. Sin embargo, hoy día,este modelo puede ser considerado como una teoría efectiva de otra teoría más general. Lahistoria nos ha enseñado que, en muchos casos, el progreso en física se obtiene por laevolución y reemplazo de modelos que suministran ajustes parciales a los datosexperimentales por otros más generales. Por lo tanto, en la búsqueda de la unificación, lafalta de una relación a priori entre la geometría y el modelo estándar no debe impedirnos lainvestigación de las posibles interpretaciones físicas del sector impar de la conexión queprecisamente tiene la clave para su relación con las interacciones no clásicas. El estudio dehilos geométricos para representar partículas es una tendencia en esta dirección. En particular,el sector par puede servir de vínculo con el modelo estándar. Aunque esto fuera imposible,hay de hecho otro modelo [4], algunas de cuyas características eventualmente podríanofrecer un enfoque complementario a las partículas y sus interacciones, que puede estarrelacionado con nuestra teoría.

Como próxima tarea consideremos los aspectos de baja energía de las interaccionesdébiles. En este capitulo nos ocuparemos principalmente de las conexiones de Sp(2,) y

193Interacciones Débiles

SL(2,). Una sección e se relaciona a través de las cartas (coordenadas) con elementos delgrupo, SL(2,), los cuales son matrices que forman una base de espinores columnas deSL(2,), en la representación definitoria. La conexión es una 1-forma valuada en sl(4,) queactúa naturalmente en la sección e.

La ecuación de campo, que relaciona las derivadas de la curvatura con una fuente decorriente J, es

D k J JW pa* * *= = 4 , (15.1.1)

ˆˆJ e u em a mak= , (15.1.2)

en términos de la poliada material e, un subconjunto ortonormal k del álgebra, lacorrelación en espacios espinoriales y la tétrada espacio temporal u. La constante deacoplamiento es 4pa, donde a , es la constante de estructura fina. Para evitarconfusiones, en este capítulo usaremos el símbolo f para una sección general reservandoe para secciones electrónicas.

La ecuación de campo implica una ley de conservación para la corriente geométrica,que determina una ecuación generalizada de Dirac en términos de las poliadas locales.Esta ecuación, para las partes par e impar de una poliada f se reduce, bajo ciertascondiciones [5, 6] a

f f mfm mm mk ¶ k G+ - - -= = , (15.1.3)

f f mfm mm mk ¶ k G- - + += = , (15.1.4)

implicando que una poliada para un corpúsculo masivo debe tener partes par e impar.Para una poliada par,

=f m- = 0 0 . (15.1.5)

Por lo tanto, para una poliada par tenemos, multiplicando por k0 ,

fmms ¶ + = 0 , (15.1.6)

que es la ecuación normalmente asociada a un campo de neutrino. Una fluctuación def+

en un substrato fijo también obedece la última ecuación.

Anteriormente hemos sugerido que las partículas se pueden representar porexcitaciones en un substrato geométrico. En particular, el electrón y el neutrino, enestados definidos corresponden a matrices con una sóla columna que no se anule yque forme una representación del grupo.


15.2. Interacción Débil Geométrica.Partiendo de la discusión previa, [7] consideremos que una interacción electrodébil

se puede relacionar con la acción del grupo de holonomía Sp(2,). El campo deinteracción total debe corresponder a una conexión G, una representación de Sp(2,).La corriente material total debe asociarse a una poliada f de Sp(2,) que represente elpar de campos del electrón e y del neutrino n.

En un punto, la poliada total f de los e,n en interacción se relaciona con un elementodel grupo Sp(2,), un elemento de un subespacio del álgebra geométrica R3,1=R(4). Lapoliada f se puede descomponer en campos asociados a las partículas e,n por medio dela operación suma dentro del álgebra. Estos campos e, n no son necesariamente poliadasporque la suma no preserva el subespacio del grupo Sp(2,) y geométricamente, e y nno son secciones de un fibrado principal sino de un fibrado asociado, con el álgebra deClifford como fibra.

La corriente de fuente J en la teoría es

J f f f fk k= = , (15.2.1)

donde f es la sección de la poliada asociada al campo total del electrón y del neutrino yk representa al subconjunto ortonormal. Para el grupo Sp(2,) la correlación se reducea la conjugación.

Debido a las propiedades que debe poseer el campo de una partícula neutra (no hayefectos electromagnéticos ni masivos), consideremos que el efecto producido por ndebe ser pequeño relativo al efecto de e. Por lo tanto, podemos suponer que, en elsistema compuesto, n es una perturbación del orden de la constante de estructura finaa, la única constante física de la teoría.

f e an= + . (15.2.2)

Entonces la corriente se convierte en

( ) ( ) ( )J e e e e e ean k an k a kn nk a nkn= + + = + + + 2 . (15.2.3)

Los términos intermedios se pueden considerar como una perturbación de orden aa una poliada material electrónica de substrato. La corriente de perturbación se puedeescribir separando e en sus partes par e impar y notando que n tiene solamente partepar,

( ) ( )J e ek a h xk kn n k h k x+ +é ù- = + + +ê úë û

0 0 . (15.2.4)

Como es usual en la teoría de partículas, despreciamos la gravitación que se tomacomo una conexión par de SL(2,). Si buscamos aquellos efectos que no puedanimputarse a la gravitación, es lógico centrar nuestra atención en la parte impar de lacorriente de perturbación como candidata para ser la corriente de interacción,


( )j m m ma a hk n nk h- = + . (15.2.5)

Esta expresión tiene la estructura de la corriente débil. Debe apuntarse que el neutrinon se asocia automáticamente, por suma de Clifford, con la parte par h del electrón. Estocorresponde a la asociación de Weinberg y Salam de las componentes izquierdas comoun doblete, con las mismas propiedades bajo una transformación de Lorentz .

Apliquemos la teoría de perturbaciones a las ecuaciones de campo, expandiendo laconexión G en términos de la constante de acoplamiento a. Se tiene,

J J J Ja a= + + +20 1 2 , (15.2.6)

G G aG a G= + + +20 1 2 . (15.2.7)

La ecuación del substrato y la ecuación de la primera variación, que es de segundoorden en a, tienen la estructura siguiente,

( ) EED JW pa* = 4 , (15.2.8)

( )*D Jd W pad= 4 . (15.2.9)

En el límite estático, las excitaciones dJ se reducen a la subálgebra su(2)Q+su(2)S. Las excitacionesson representaciones de SU(2)Q y por lo tanto sus componentes estan sujetas a la cuantizaciónde sus orientaciones electromagnéticas, de acuerdo a la sección 14.4. Debemos expresar eltérmino J1 en función de su componente impar. De esta manera dejamos que los términos deprimer orden sean, en función del ángulo Q del electrocono de la representación,

sinJ j j Q-= =1 , (15.2.10)

WG =1 , (15.2.11)

y obtenemos para la variación, la ecuación lineal,

( )d dW LW ja pa* + = 24 , (15.2.12)

donde L es un operador diferencial de primer orden determinado por el substrato. Estaecuación se puede resolver, en principio, usando su función de Green . La solución entérminos de las componentes relativas a una base Ea del álgebra es

( ) ( )ji i j

jW xx xdx nm mnpa ¢= ¢¢ -ò4 . (15.2.13)

Es bien conocido que la segunda variación de un lagrangiano sirve de lagrangianopara la primera variación de las ecuaciones de Euler. Por lo tanto, el término GJ en la


derivada covariante presente en el lagrangiano [8] suministra un término de acoplamientode interacción, que puede tomarse como parte del lagrangiano para el proceso endiscusión. Cuando el término GJ se toma en unidades de energía, considerando que ellagrangiano tiene un factor común, debe llevarnos a la energía de interacción del proceso.La segunda variación (o diferencial) en una expansión de Taylor de la energía U,corresponde al hessiano de U,

( ) ( ), i i ji j i

U UU x U x x x

x x x¶ ¶

d d d d¶ ¶ ¶

= + + +210 0

2 . (15.2.14 )

El término GJ da el lagrangiano de interacción para el substrato, en unidades deenergía,

( )E tr E E E E EJ J j Am m mm m mG Gé ù= - + » -ê úë û

1 14 2 , (15.2.15)

donde jA es claramente la energía eléctrica. Para las perturbaciones, el lagrangiano deinteracción está dado por 1/2 de la segunda variación o dJ.dG,

( )tr W j j Wm mm ma- +2 1 1

4 2 = . (15.2.16)

Queda claro que esta interacción se propaga por G o W. Sin embargo, deseamosobtener una interacción de corriente a corriente para compararla con otras teorías abaja energía. La substitución de la ec. (15.2.13) en la última ecuación da la accióncorrespondiente que para mayor claridad indicamos por

( ) ( ) ( )tr j i l l ii j lx x E E E E j x j xdxdx m nmnpa é ù¢ ¢¢ - += - ê úë ûò3 1

42 , (15.2.17)

que representa el hamiltoniano de interacción de corriente a corriente con una constantede acoplamiento derivada de la constante de estructura fina. Esta nueva expresión sepuede interpretar como un lagrangiano para la interacción débil de Fermi. La constantede acoplamiento es del mismo orden que la constante estándar de acoplamiento deinteracciones débiles, módulo términos de la función de Green .

15.3. Relación con la Teoría de Fermi.La acción, en términos de los elementos del álgebra y la traza, corresponde al

producto escalar. Para el caso de la solución homogénea isotrópica constante delsubstrato [9], la función de Green es un múltiplo de la matriz unidad con respecto a lascomponentes del álgebra. Supongamos que, para alguna clase de soluciones, la funciónde Green tiene esta propiedad. Entonces, para esta clase de soluciones, la última ecuaciónse puede escribir como


( ) ( ) ( )tr x x j x jdxdx xm nmnpa ¢¢= - ¢-ò3 1

44 , (15.3.1)

donde las j son matrices.La corriente define una corriente par equivalente j-, la componente k0, al insertar

k0k0 y conmutar como sigue,

( ) ( )† †j m m m m mhk k k n nk k k h k h s n n s h- = + = +0 0 0 0 0 , (15.3.2)

† + h.c.j h sn-- = . (15.3.3)

Cada componente de bloque 2´2, de cada matriz cuatridimensional, es una matriz parque se puede representar como un número complejo, por el conocido homomorfismoentre este álgebra compleja y una subálgebra de matrices 2´2. Así, podemos usar, envez de los espinores generalizados que forman la poliada f, los pares de espinoresestándares complejos, h1, h2 y n1, n2 que forman las matrices correspondientes,respectivamente, a la parte par del electrón y del neutrino. El primer término de j-, quecorresponde a un término inhermítico, es

† †ˆ†B

A † †

m mm

m m

h s n h s nh s n

h s n h s n

é ùê ú= ê úë û

1 21 1

1 22 2

. (15.3.4)

De esta manera, si usamos la notación estándar de la mecánica cuántica en larepresentación de Weyl, cada componente es de la forma

( ) †e nj m m mY g g Y h s n- = + =51 1

2 , (15.3.5)

que puede reconocerse como la corriente inhermítica estándar de la interacción débil deFermi para el sistema electrón neutrino. Indiquemos esta corriente por jF y escribamosj0, la componente 0-0 de la matriz,

( )†F Fj j jm m m- = +1

0 2 . (15.3.6)

Podemos evaluar la traza de las corrientes en la expresión para ,

( ) ( ) ( ) ( )† †tr tr tr trj j j j j j j jk k k k- - - - - - - -- - - - - -= = =0 0 0 0 . (15.3.7)

Como se discutió anteriormente, dentro de esta teoría, las partículas se representaríanpor excitaciones de poliadas materiales. Estas fluctuaciones son matrices quecorresponden a un estado, con números cuánticos definidos, de una representación


del subgrupo en cuestión. Esto significa que para cada par de espinores de una poliadaespinorial, solamente uno está activo para una matriz de fluctuación. En otras palabras,para una fluctuación, una sola de las componentes de la matriz en la ec. (15.3.4) no escero y podemos omitir los índices en los espinores,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

† ††

† †

h.c. h.c.tr

h.c. h.c.

x x x xj j

x x x x

m nm n

m n

h s n h s n

h s n h s n

- -æ öé ùé ù ¢ ¢+ + ÷ç ê úê ú ÷ç = =÷ç ê úê ú ÷÷çè øë û ë û

¢ ¢+ ´ +

0 00 0

0 0 0 0

, (15.3.8)

donde el lado derecho está en notación de números complejos en vez matrices 2´2.Este término se combina con su conjugado hermítico. Debe apuntarse que al ir de lasrealizaciones con matrices reales 4´4 a las de matriz compleja 2´2, el factor 1/4 enfrentede la traza cambia a 1/2 y debido a la forma de las matrices de excitación aparece unfactor de 1/2.

La expresión resultante para es

( ) ( ) ( )†0 0sin

x x j x j xdxdx m nmn

pa

Q- -¢ ¢¢= - -ò

3

2

2 . (15.3.9)

Restrinjamos ahora la discusión a excitaciones alrededor de la solución compleja desubstrato constante indicada anteriormente, ec. (12.5.10). Entonces la función de Greenestá determinada por la ecuación de fluctuación, como se hizo en la sección 14.3.

( ) ( ) ˆˆ ˆ ˆ ˆg gd d m m Ja a r a a

rd d d ddw dw dw d pad* * + + =

2 22 2 2 2 2 4 , (15.3.10)

donde mg tiene el valor constante dado por la ec. (12.5.11), en la representación 44.Podemos desacoplar las ecuaciones suponiendo un valor cero para los términos deacoplamiento cruzado dwa

a, e introducir la coordenada radial r como se hizo en la secciónmencionada. El resultado es una ecuación de Yukawa, donde hemos definido el coeficienteconstante dentro del paréntesis como el parámetro de masa m, en la correspondienterepresentación de interés. En general, la función de Green tiene una función d de Dirac,de un tiempo t’ que permite una integración temporal. La parte espacial de la función deGreen debe suministrar un rango equivalente para la interacción. Como m es unaconstante, la ecuación se reduce, para una fuente puntual, a la ecuación radial. Lafunción de Green es

x x re ex x r

m m

p p

¢- - ¢-- -= =

¢ ¢-1 1

4 4 . (15.3.11)

Si suponemos adicionalmente que las corrientes varían poco en la pequeña región de


integración de forma que j(x’) es aproximadamente igual a j(x), obtenemos unaaproximación para el hamiltoniano contenido en la teoría geométrica,

( ) ( )

( ) ( )

†w

†0 0

.sin

r ddx j x j x dr r e

dx j x j x

p

m Wa

pam Q

¥

¢-- -

- -

=¢¢ ¢= ·-

-·

ò ò ò

ò

42

0 00 0

2 2

12

2

. (15.3.12)

El valor del ángulo Q, que indica la relación de la corriente impar con la corriente total, esdeterminado por la cuantización de la orientación de las componentes en la representación quecorresponde a la corriente. Como la corriente J es cuadrática en función de la poliada e, suexcitación correponde a un par de excitaciones fundamentales de de su(2)Q y la excitación j dela corriente es la representación con índice de espín electromagnético i=1 en la ecuación(14.4.8). Se tiene entonces el ángulo del electrocono correspondiente que indicaremos por Q1 y

( )( )

sin sinj j i i

j i ij jQ Q

- -

- +

+= = = = =

+ ++

11 1 2 2

1 231 1

. (15.3.13)

La expresión de las corrientes en la integral se puede reescribir de la manera siguiente,

( )† † † †F F F F F Fj j j j j j j jm m m m

m m m m- - = + +1

0 0 4 2 , (15.3.14)

Podemos evaluar este escalar en cualquier sistema de coordenadas. Escojamos unsistema donde jF es a lo largo de la dirección temporal, esto es, que tenga solamenteuna componente JF

0. Podemos escribir entonces,

( )† † † †

†

cos

cos

i iF F F F

F F

j j j j j j e e j j

j j

m j jm

mm

j

j

- - - - -= = + + =

=

0 0 2 2 0 210 0 0 00 0 04

2

2

, (15.3.15)

en términos de una fase j. El ángulo j mide el grado de inhermiticidad de jF. Si j escero jF es hermítica. Podemos entonces suponer que j es p/2. Sin embargo, como j no semide en experimentos estándares, podemos esperar que su influencia en sea a travésde su valor promedio <cos2j> y es conveniente dejar esta expresión en la forma

†cossinw F Fdxj j

pa jm Q

- < >= ò

2

2 21

2 , (15.3.16)


que determina el lagrangiano y la corriente jF que se suponen en la teoría de Fermi.El valor de la constante de interacción GF es usualmente determinado de los resultados

de experimentos como el decaimiento del muón. Como siempre se hace en otras teoríasde interacciones débiles podríamos ajustar el valor de la constante al frente de la integrala su valor experimental, fijando los valores de m y j.

cos

sinFGpa j

m Q-- < >

=2

2 21

22

. (15.3.17)

Por otro lado, ahora tenemos a nuestra disposición la posibilidad de calcularteóricamente el valor de GF partiendo de la solución de substrato constante. El valor dela masa m se obtiene teóricamente en una unidad geométrica debido a la representacionusada,

- ggmm

a= 12 2

. (15.3.18)

Esta unidad geométrica g se puede calibrar, en la representación de SL(4,) inducidapor SL(2,), usando el valor de la masa del protón mp en términos de una unidad demasa. Esto es deseable porque la expresión teórica para el cociente de las masas delprotón y del electrón concuerda con el valor experimental [10]. El parámetro de masapara el protón, expresado en la unidad geométrica en la representación definitoria, es

- gp gm m= 14 , (15.3.19)

y podemos calibrar la unidad fundamental de distancia g por el valor experimental de lamasa del protón. Debido a las similitudes de la corriente débil de Fermi con la corrienteelectromagnética, que es hermítica, podemos fijar el factor relaciondo con la fase j igual a1. El valor teórico de GF determinado de la masa del protón, sin otro valor experimental, es

-2

-2

. GeVsin

. GeV

F

p

Gm

pa pam Q

a

-

-

= = = ´æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç ÷ç÷ç è øè ø

» ´

522 2 2

1

5

2 2 2 2 1 176668 102

2 31 16639 10 . (15.3.20)

Este valor está sujeto a correcciones de orden a debido las aproximaciones hechas.En la representación inducida el valor calculado de la unidad geométrica es

g . cm . f-= ´ =141 1 657012 10 0 1657012 . (15.3.21)

La perturbación general de la interacción geométrica de los campos del electrón y del


neutrino determina las ecs. (15.3.5, 15.3.16, 15.3.20) que esencialmente son la corriente, ellagrangiano y la constante supuestos en la teoría de Fermi [11, 12] de interaccionesdébiles [13, 14] de leptones. La teoría de Fermi esta contenida, como limite de bajaenergía, dentro de la teoría unificada de conexiones y poliadas, o geometría física. Si lateoría completa es aceptada hay ciertamente nuevos efectos e implicaciones, que debenser determinados sin hacer estas simplificaciones que muestran la relación de nuestrateoría con las interacciones débiles a baja energía.

En particular, no debemos esperar que la teoría electrodébil esté relacionada a otraconstante de acoplamiento. Debido a la ilinealidad de la teoría, no es correcto suponerque si substraemos de una solución completa, una solución parcial electromagnética,obtenemos otra solución. Lo mismo pasa con las interacciones fuertes. Estasinteracciones nucleares fueron introducidas históricamente para contabilizar losfenómenos físicos no explicados por los campos electromagnéticos y gravitacionales.Desde nuestro punto de vista, podemos decir que los efectos nucleares correspondenteóricamente al residuo de substraer soluciones de ecuaciones lineales de solucionesde ecuaciones ilineales y en este sentido son residuales.

15.4. Resumen.Se mostró que la técnica de perturbaciones generales para la interacción geométrica

de los campos del electrón y del neutrino conduce a las ecs. (15.3.5, 15.3.16, 15.3.20) queson la corriente, el lagrangiano y la constante de acoplamiento de la teoría de Fermi deinteracciones débiles de leptones. La teoría de Fermi, es un límite de baja energía de lateoría geométrica unificada. También está claro que si la teoría completa es un modeloadecuado hay nuevos efectos que considerar.

La unidad geométrica fundamental de distancia, en la representación inducida, secalibró en términos del valor experimental de la masa del protón. De esta calibración seestimo un valor para la constante de acoplamiento débil G que es cercano al valoraceptado actualmente, considerando las simplificaciones hechas. Claro está quedebemos considerar en el futuro aplicaciones a altas energías que puedan iluminar larelación de esta geometría con el modelo estándar.

Referencias

1 G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996). 2 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, USB Report SB/F/274-99 (1999); See chapter

13. 3 G. González-Martín, ArXiv 0712.1538, USB Reporte SB/F349-07 (2007). 4 W. T. Grandy, Found. of Phys. 23, 439 (1993). 5 Vea la sección 3.5.1 6 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).


7 G. González-Martín, arXiv physics/0009045. USB Report SB/F/271-99 (1999). 8 Vea la ecuación 3. 2.2. 9 Vea el capítulo 12.10 Vea el capítulo 13.11 E, Fermi, Z. Physik 88, 161 (1934).12 E. Fermi, N. Cimento, 11, 1 (1934).13 R. Feynman and M. Gell-Mann, Phys. Rev, 109, 193 (1958).14 E. C. G. Sudarshan and R. E. Marshak, Phys. Rev. 109, 1860 (1958).

16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE.

16.1. Introducción.El electromagnetismo se representa por la conexión correspondiente a los generadores SU(2)Q,

que están sujetos a la cuantización de la misma manera que los generadores de impulso angular.En particular, este acoplamiento geométrico suministra un potencial magnético atractivo condependencia radial fuerte 1/r4 que puede ser importante en procesos nucleares. El interés en losefectos del electromagnetismo sobre la estructura nuclear es viejo [1]. Sin embargo, aquípresentamos efectos nuevos debidos a esta interacción geométrica. Para ciertas aplicaciones noes necesario usar la teoría completa y es suficiente tomar solamente el triple acoplamientoelectromagnético del subgrupo SU(2)Q.

16.2. Movimiento de una Excitación enuna Aproximación No Relativista.

Las ecuaciones de movimiento se discutieron en las secciones 3.3, 3.4 y 12.4. Son ecuacioneslinealizadas alrededor de la solución de substrato, con una fluctuación de la conexiónque representa autointeraciones. Para una aproximación no relativista podemosdespreciar los términos con bajas velocidades de orden v/c, que corresponden al sectorde impulsos del álgebra, o sea la impulsión y las partes hermíticas de y ,

†h h= - , (16.2.1)

†x x= - , (16.2.2)

para obtener

( ) ( )† † †i ic h x h x j= + = - - = -1 12 2 , (16.2.3)

( ) ( )† † †i ij h x h x c= - = - + = -1 12 2 . (16.2.4)

Como se hace usualmente en mecánica cuántica relativista [2] para obtener unaaproximación no relativista, sea

imtej j - , (16.2.5)

imtec c - , (16.2.6)


obteniendo así funciones del tiempo que varían lentamente de acuerdo con lasecuaciones

( ) ( )

m mm m m

mm

i A i A A Aj s c j s c

j¡ s c¡

+ + - - + - + = - - +

- -

0 0 0

0 , (16.2.7)

( ) ( )

m mm m m

mm

i A i A A A

m

c s j c s j

c¡ s j¡ c

+ + - - + - + = + +

+ + -

0 0 0

0 2 . (16.2.8)

Despreciando las ecuaciones se convierten, reconociendo las componentesespaciales Am como un vector potencial magnético impar, en

( ) ( )mm m mi A A i A Aj s c+ - + - + + - + - =0 0 0 0 , (16.2.9)

( ) ( )mm m mi A i A A m Ac s j c c+ + - - + - + + = - +0 0 02 , (16.2.10)

donde c es una componente pequeña, de orden v/c relativa a la componente grande j.Despreciamos los términos pequeños que son, como es usual, los términos c en laecuación (16.2.10) a no ser que estén multiplicados por m, y substituimos la expresiónresultante para en la ecuación (16.2.9). El resultado es

( )( ) ( )

m n

m m m n m m

i A A

i A A i A A

m

j

s s j

+ -

+ - + -

+ + -

+ - + +=

0 0 0

02

. (16.2.11)

Como tenemos la bien conocida relación

( ). . . .a b ab i a bs s s= + ´ , (16.2.12)

substituyendo en la ecuación (16.2.11) se obtiene, indicando el 3-vector potencial magnéticopor A,

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

[

]

i A A i A Ai A A

m

A A A i A A

m m m

j

s s sj

+ - + -+ -

+ - - - +

+ - ⋅ + + = - + +

⋅ ´ + ⋅ ´ ⋅ ´- + -

0 0 02

2(16.2.13)

205Interacción Magnética Fuerte

que es una ecuación de Pauli [3] generalizada que depende de los vectores potencialesmagnéticos par e impar +A, A. El vector A decae exponencialmente en la forma característicade Yukawa, como se vió en la sección 14.4. Las distancias Wm r 1 definen una zona subnuclear

donde la exponencial se aproxima a 1. Las distancias Wm r 1 definen una zona lejana dondela exponencial es despreciable. En la zona lejana se obtiene la ecuación de Pauli,

( )i A Ai V

m ms

y yé ù+ ⋅´ê ú = - -ê úê úë û

2

0 2 2 . (16.2.14)

16.3. Momentos Magnéticos.De acuerdo a la física geométrica [4] una solución G debe incluir los tres generadores

SU(2)Q. La ecuación de movimiento (16.2.13) muestra la notable estructura geométrica de triples.Podemos asociar el efecto de una combinación de tres componentes de conexión SU(2)Q, unopara cada posible P en G, como tres potenciales electromagnéticos A clásicamente equivalentes.Se ha demostrado [5], en esta geometría, que todos los campos de largo alcance correspondena campos asociados al fibrado obtenido contrayendo el grupo de estructura SL(4,) a susubgrupo par SL1(2,), que a su vez corresponde a los campos clásicos. Por lo tanto lascomponentes de largo alcance de la conexión sl(4,) coinciden con las componentesde largo alcance de una conexión sl1(2,) correspondiente a una subálgebra par sl(2,)u(1) de sl(4,) relacionada con campos gravitacionales y electromagnéticos. De hecho, cualquierdirección en la subálgebra tridimensional electromagnética geométrica su(2)Q se puede identificarcomo una dirección válida correspondiente a este remanente clásico electromagnético u(1) delargo alcance. No hay una dirección preferida en su(2)Q. Si observamos un campoelectromagnético de largo alcance, siempre podemos alinear el campo clásico A con cualquierade los 3 generadores electromagnéticos geométricos k en su(2)Q, o una combinación lineal,realizando una transformación SU(2)Q. Sin embargo los dos A adicionales deben hacercontribuciones adicionales a la energía magnética del sistema G de corto alcance, como semuestra en la ecuación (16.2.13), y por consiguiente al momento magnético correspondiente[6]. Para estudiar esta energía nos restringimos a la zona subnuclear. Vea la sección 14.4 paramas detalles sobre el subgrupo electromagnético SU(2)Q similar al subgrupo de espín SU(2)S.

La dirección interna del potencial A está a lo largo de las direcciones posibles del generadorelectromagnético E en su(2)Q. Las componentes de A deben ser proporcionales a las traslacionespar e impar posibles. En la zona subnuclear el vector A se halla en el electrocono definido por elángulo polar cuantizado Q [5] relativo a un eje en la dirección par y un ángulo acimutal arbitrario,

( )tan i

n

E E i i

nE EQ

-

+ +

+= = º

12 2 1

. (16.3.1)


La acción de los cuadripotenciales -Am o Am sobre un vector propio común en el álgebrase puede expresar simplemente en términos de la acción de +Am,

( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) tan ,

r

r in

A A A n e i

e i n n r A A

mm m m m

mm m m

y y l y

l y Q m y X y

-

-

+ - -

- + +

= + = +

¢= + º + º +1 1 1 .(16.3.2)

El potencial Am tiene una orientación en el álgebra de Clifford con el ángulo Q’ respecto alpotencial estándar, que se reduce en la zona subnuclear Wm r 1 al ángulo electrocónico Q

ni

exigido por la quantización del generador de SU(2)Q en la representación (n,i), como se indicó enla sección 14.4. El ángulo Q½

½ de la representación fundamental es aproximadamente igual alcomplemento del ángulo de Weinberg y puede sugerir su interpretación geométrica. Cuando elángulo Q se escriba sin índices debe entenderse que se refiere a la representación fundamental.

La energía magnética acoplada al espín en la ecuación (16.2.13) es, en la zona subnuclear,

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) tan in

B BU A A n n

m m m n

i iA A

n m m

s s s lj l j j

s sj Q j

+ -

+ +

æ ö⋅ ⋅ ÷ç= - ⋅ ´ + = - + = - + ÷ç ÷çè ø

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷= - + ⋅ ´ = - + ⋅ ´ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

1 2

12 2 2

11 1

2 2.(16.3.3)

Hemos introducido el ángulo electrocónico Q que representa la dirección del generador total Ade un G-sistema, en el álgebra su(2).

El estado fundamental que representa a un protón es el estado de SU(2)Q con carga +1,correspondiente a los autovalores de rotación electromagnética ½, ½. En términos delcampo magnético par la energía se convierte en

( )( ) ( )BU B

m ms

j s j+

+æ ö ++ ÷ç ⋅÷ç ÷= - + = - ⋅ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

1 21 1

2 2

12

1 311

2 2 . (16.3.4)

El valor de Q es p/3. Estadísticamente esta dirección corresponde al promedio de la componenteproyectada de una dirección clásica aleatoria a lo largo de una dirección par escogida.

El primer termino en el paréntesis esta relacionado con el P-sistema que tiene solamente unsubgrupo electromagnético U(1) y donde no están presentes las complicaciones debidas aSU(2). El subespacio impar complementario correspondiente a S2 no existe. La orientación de laconexión electromagnética completa A siempre se puede tomar a lo largo de una dirección pardefinida por la subálgebra física u(1). El ángulo Q puede tomarse igual a cero. Él corresponde aun P-sistema, asociado al electrón, con solamente una componente electromagnética k0. En


este caso la energía se reduce a

( )U A Bm m

s s+ +- -= ⋅ ´ = ⋅

1 12 2

. (16.3.5)

Si fuera posible hacer una transformación que alinee la dirección interna Q a lo largo de ladirección par en todo lugar, realmente estaríamos lidiando con un P-sistema porque habríamosrestringido la conexión a un subgrupo P. Un P-sistema suministra una dirección preferida en elsubgrupo SU(2)Q de G, el único generador electromagnético k0 del grupo P asociado. Si usamosuna P-particula de prueba (un electrón) para interactuar con un campo magnético externo B,realmente alinearíamos la componente de largo alcance A con esta dirección preferida. De estamanera podemos explicar los experimentos físicos de largo alcance usando una ecuación decampo electromagnético abeliano con una fuente remota y una ecuación de Dirac. Si usamosuna G-particula de prueba (un protón) para interactuar con un campo externo, lo mas quepodemos hacer es alinear la componente clásica de largo alcance A con una dirección aleatoriaen su(2). Parte del campo total interno iB es solo observable en regiones de corto alcance. Acada dirección interna de B relacionada por una transformación de SU(2)Q, corresponde unadirección “asociada” de espín, que define productos escalares asociados s.B. Los productosescalares adicionales, relativos a un P-sistema, surgen de los dos campos geométricosadicionales, y/o, equivalentemente, de dos copias adicionales de matrices de Pauli knk en elálgebra universal de Clifford, determinadas por las direcciones adicionales magnéticas yespinoriales k, que se hallaban originalmente a lo largo de k1k2k3 y k5. Los operadores adicionalesde espín, introducidos por los potenciales electromagnéticos de corto alcance “no clásicos”,representan lazos de corrientes internas adicionales que generan un incremento “anómalo” dela energía magnética intrínseca.

Hemos calculado la energía magnética de un G-sistema libre, con cero campo externo B, entérminos del campo interno par observable +B cuya dirección interna coincide con la direccióninterna eventual de un campo externo B. En este experimento imaginario, el momento magnéticose define como la derivada parcial de la energía magnética, producida por el campo magnéticointerno generalizado total iB, con respecto a la componente par +B en cuya dirección interna sealinearía la dirección interna del campo externo B,

a

a

UB

m +

¶º -

¶ . (16.3.6)

Los métodos estándares de mediciones físicas del momento magnético son resonanciaparamagnética nuclear [7, 8 ], haces moleculares y espectroscopia óptica [9]. En un experimentofísico real, cuando la muestra se coloca en el campo externo, hay un cambio en la energíamagnética, ya sea de un G-sistema o de un P-sistema. Para ambos sistemas, nuestra partícula deprueba responderá a un campo externo, sintiendo una variación del campo electromagnéticovinculado a la partícula de prueba, en la dirección interna del campo par +B que es la únicacomponente observable a largo alcance. El cambio en la energía magnética, después de restablecer


en la ecuación las constantes físicas fundamentales e, , c que son todas iguales a 1 en nuestrasunidades geométricas, es

( )tanU e S B S BU B g

B m ci i ii

D D Q m+

æ ö¶ ⋅ ⋅÷ç ÷= = - + = -ç ÷ç ÷ç¶ è ø2 1

2

(16.3.7)

donde la variación vista por la partícula de prueba es igual al campo externo B, el ángulo internoQi es cero para el electrón o p/3 para el protón y mi es la masa respectiva. Esta expresión defineel magnetón (atómico o nuclear) mi y el factor giromagnético anómalo de Landé gi.

Los momentos magnéticos del protón y del electrón resultan,

( )tana a

a e Sg

m ci i ii

sm Q m

æ ö÷ç ÷= + =ç ÷ç ÷çè ø2 1

2 2

, (16.3.8)

( )a a

ap p N

p

e Sg

m cs

m mæ ö÷ç ÷ç= + =÷ç ÷÷çè ø

2 1 32 2

, (16.3.9)

a aae e B

e

e Sg

m cs

m mæ ö÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷çè ø

22 2

, (16.3.10)

determinando los factores giromagnéticos anómalos del protón, 2(2.732) y del electrón, -2.En EDC (QED) los valores calculados del momento magnético de orden cero para el

electrón y el protón, dados por el diagrama de difusión del campo externo de Coulomb, sonsingulares. En cada caso, el hamiltoniano de interacción para el campo externo de Coulombdifiere por el coeficiente anómalo adicional respectivo g, determinado por la ecuación (16.3.10).El efecto de esta diferencia es adjuntar el coeficiente respectivo g al vértice externo en eldiagrama. Así después de la renormalización, los valores del momento magnético de ordencero para el protón y el electrón son proporcionales por los factores respectivos de orden cerog0. Las correcciones radiativas para el electrón fueron calculadas por Schwinger [10, 11, 12].Para ambos, el electrón y el protón, las correcciones de primer orden, determinadasexclusivamente por la parte de vértice del diagrama de difusión de Coulomb, sonproporcionales a los términos correspondientes de orden cero. Para el electrón el diagramade corrección de vértice, formado por una línea interna fotónica entre dos líneas internasfermiónicas, da el factor de corrección de Schwinger a/2p. Para el protón, la triple estructuraelectromagnética U(1) presente en el sector SU(2)Q del operador de interacción geométricaJG, determina tres términos de acoplamiento estándar j.A. La triple estructura también estápresente en el sector incompacto del álgebra. Esto indica que una descripción completa deuna excitación protónica requiere tres momentos de impulsión ki. Consecuentemente una


descripción plena del diagrama de difusión del campo externo de Coulomb requiere de unpar de tripletes internos de momentos fermiónicos de impulsión, en vez de simplemente unpar de momentos electrónicos. Volveremos a esta cuestión en la sección 17.4. Hay procesosradiativos U(1) adicionales entre las seis líneas internas fermiónicas correspondientes a lostripletes. Por lo tanto, hay múltiples diagramas adicionales de vértices, que se obtienenpermutando la línea interna fotónica entre las líneas fermiónicas, que contribuyen a la corrección deprimer orden. La multiplicidad de las correcciones de vértice de las 6 líneas fermiónicastomadas dos a dos es

! !!( )! ! !

nM

p n p= = =

-6 15

2 4 . (16.3.11)

Cada corrección es igual al valor de Schwinger, a/2p, debido a la equivalencia por el grupoSU(2)Q. Hasta primer orden, el momento magnético del protón es

. ( . ) .gg ap

æ ö÷ç= + = + =÷ç ÷çè ø01 151 2 7321 1 0 01742 2 7796

2 2 2 . (16.3.12)

Calculemos el momento magnético de una combinación de excitaciones en la cadena GPL. Elpotencial electromagnético total es la suma del potencial A de SU(2)Q y AU de un U(1) diferente. Seaj una función propia (½) de A y de AU. El momento magnético corresponde a [13]

( )( )

( )( )( ) ( )( )

U

U UU

U A A Am

i iBn n A A

m m n n

sj

s sl j j

+ -

+

= - ⋅ ´ + +

æ ö+ ÷ç- ⋅ - ÷ç ÷= + + = + ⋅ ´ +ç ÷ç ÷+ç ÷çè ø

1 2

2

11

2 2.(16.3.13)

Incluyendo la corrección radiativa con la multiplicidad de 28 vértices, correspondiente a 4excitaciones P en el álgebra su(2)+U(1) resultante, el momento magnético de la combinación es

( ) ( ).a a a

an N N

p

e S Sg

m ca s

m m mp

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç= - + + = = -÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ÷çè ø

282 1 3 2 1 2 1 9672 2 2

.

(16.3.14)Las discrepancias de estos momentos magnéticos con los valores experimentales, del protón

(2.7928) y del neutrón (1.9130), son del orden de 0.5% . El neutrón puede considerarse unacombinación del protón, el electrón y el antineutrino.


16.4. La Ecuación Modificada de Pauli.Si la ecuación de Pauli generalizada (16.2.13) en la zona subnuclear sirve para calcular los

momentos magnéticos de los nucleones esperamos que esta ecuación intervenga en la interacciónnuclear. En particular nos interesa aplicarla al estudio de las propiedades de los nucleidos estableslivianos [14]. Substituyendo las ecuaciones (16.3.2) y (14.3.11) para estados cuánticos de A se obtiene,

( ) ( ) ( )

( )( )[

]

i A A m V

A A A mE

X X X

s X X X y y

+ + +

+ + +

- + ⋅ + - - - +

- ⋅ + ´ + ´ - ´ =

2 2 22 1 2 1

1 2 2 . (16.4.1)

Una solución de substrato ilineal implica la autointeracción entre las ecuaciones de campo ymovimiento de sus excitaciones. Es normal definir el autopotencial de una carga como positivo.Con la definición adecuada del potencial clásico A, de acuerdo con la sección 12.4, se tiene,

( )A i Q Am m mG ++º = - , (16.4.2)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ˆ[ tan tan

tan tan

ˆ tan tan ]

W W

W W

W W

m r m rW

m r m r

m r m rW

iA rm e e A

m e V e A

e A m e r A mE

Q Q

Q Q s

s Q Q y y

- -

- -

- -

- - ⋅ - + - -

+ + - ⋅ ´

+ ⋅ + ´ - ´ =

22 2 22 1

2 1 2

1 2 . (16.4.3)

La relación de esta excitación con su substrato determina sus potenciales que dependen dela masa bosónica mW. La excitación se descompone linealmente en excitaciones fundamentaleslocales, con signos relativos de carga. Estos signos corresponden a la acción del operador A,que ahora se considera un campo externo, sobre la función de onda Y. Ambos son autovectoresdel operador carga de SU(2)Q con signos correspondientes a sus representaciones.

La conexión SU(2)Q es un campo de corto alcance [14]. A distancias atómicas, en la zonalejana Wm r 1 , Q es cero. Para el átomo, la función de onda Y corresponde a la excitación delelectrón de carga negativa y el potencial escalar A0 corresponde a la excitación del núcleo decarga positiva. Obtenemos la ecuación estándar de Pauli (16.2.14) con el potencialelectromagnético clásico A de U(1) al incorporar la carga -e en las unidades usuales.

A distancias pequeñas en la zona subnuclear Wm r 1 , la tangente del ángulo electrocónicocuántico fundamental Q, que está relacionado con el ángulo de Weinberg, es 3½ y obtenemos

( ) ( )( )( )

ˆ[

ˆ ]

W

W

iA rm A m V

A m r A A mEs s y y

- - ⋅ - + - + +

+ ⋅ + ´ - ´ - ⋅ ´ =

2 23 2 2 2 1 3

1 3 3 2 3 2 . (16.4.4)


La presencia del sector impar de A, como ya se sugirió en la sección 12.4 cambia el signo deltérmino A2 de potencial, de acuerdo a las ecuaciones (16.2.13) y (12.4.13), de forma que estepotencial fuerte sea atractivo. En términos del momento magnético m y lacarga positiva q de unafuente puntual, la ecuación es

( ) ( )

( )

[

ˆ]W

rr ri

r r r

m qr r rm mE

rr r

mm ms

s m s my y

´´ ´- - ⋅ - + + ⋅ ´

+⋅ ´ ´ ⋅ ´ ´- - + =

22

3 6 3

3 3

2 2 1 3

2 1 33 2 3 2

(16.4.5)

donde vemos que los efectos dominantes son los términos magnéticos que incluyen unpotencial nuclear atractivo r-4.

Debe indicarse que el factor giromagnético y el espín son propiedades geométricas internasde una partícula o excitación que están determinadas por los operadores geométricos (cuánticos)electromagnéticos presentes en el término de la energía magnética interna de su ecuación demovimiento interno. Por lo tanto, es conveniente reconocer un factor geométrico total mg m=en el momento magnético m que incluya el factor giromagnético y el espín pero que excluya lamasa, que representa una reacción inercial secundaria en el movimiento de las cargas.Dependiendo del sistema particular que se considere esta masa puede corresponder a la masareducida del sistema o a una masa total.

16.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón parael Deuterón.

Consideremos que la ecuación representa un sistema de excitaciones G y P, en particular unsistema de un electrón y dos protones moviéndose alrededor del centro de masa del sistema.Los campos están dominados por el campo magnético del electrón debido a su mayor momentomagnético m. El campo SU(2) resultante está caracterizado por la masa reducida del sistema quees la masa m del electrón. Hay cuantos de flujo asociados a los protones p y al electrón e, unopara cada partícula, que se enlazan entre sí. Esto hace conveniente usar las líneas de flujo ohilos magnéticos para caracterizar los enlaces entre los momentos magnéticos de las partículas.El potencial dominante es una fuerte atracción en la dirección radial ecuatorial que puedeconsiderarse como atracción entre líneas de flujo. Los tres hilos de cuantos de flujo indicadosno pueden enlazarse de forma que se atraigan todos en conjunto sin contradecir el principio deexclusión de Pauli para los dos protones. Para que se atraigan todos es necesaria la presencia deun cuarto hilo. Este hilo tiene que ser suministrado por la única excitación neutra fundamentalen la teoría, una excitación L o neutrino con un cuanto de flujo enlazado. El sistema resultante

( ), , ,p e pn es un modelo para el deuterón. La única manera posible de enlazar las líneas de flujo


atractivamente determina que el subsistema ( ),e en ¢º tiene los espines de e y en la mismadirección. Por lo tanto e’ tiene espín 1, la carga, masa y momento magnético del electrón. Los

operadores +Ae del electrón e y Ap de los protones p dentro del sistema estable ( ), ,p e p¢

integran un único operador del campo coherente total A, que depende de la masa reducida, ydetermina su excitación fundamental de SU(2). Es decir, el cuadripotencial A resultante tiene laorientación requerida en el álgebra de Clifford por la representación cuántica fundamental delgenerador en SU(2)Q. Esto determina el ángulo electrocónico geométrico Q de A con respecto alpotencial electromagnético par +A. El campo A resultante afecta a todos los componentes delsistema y en particular a los protones. La energía magnetostática interna dominante es la que

mantiene ligado el sistema ( ), ,p e p¢ de excitaciones y determina el valor propio E de su energía.Decimos que es una disposición simétrica casi estática de dos protones alrededor del electrónexcitado en una formación protón-electrón-protón que facilita una solución estable.

Debido a la simetría podemos usar coordenadas cilíndricas con el eje z a lo largo del momentomagnético m del electrón. Es conveniente aproximar los potenciales a un r muy pequeñoconservando solamente el término dominante r-4 del potencial. Expresemos el autovalor de la

energía como una fracción de la masa E me= 2 . De esta manera obtenemos [14] la ecuación

mz

me y

rr

é ùê úê úê ú- - - =ê úæ öê ú÷ç ÷+ê úç ÷ç ÷çê úè øë û

22 2 2

324

2

22 01

. (16.5.1)

Esta ecuación no es separable [15] debido la dependencia del ángulo espacial polar qcontenida en el producto vectorial.

Sin embargo, como el impulso angular orbital y el espín tienden a alinearse con el campomagnético B, debemos esperar que la función de onda se concentre alrededor del planoecuatorial y que la mayor parte de la energía esté en la región ecuatorial. Un cálculo delgradiente negativo del término dominante del potencial confirma esta consideración,

( ) ( ) ( ) z

z zu u

zzz zr

m r mr rr rr r r

æ ö é ùæ ö÷ç ÷- -ç÷ ê úç ÷ç÷- = + -ç ÷ê ú÷ ç ÷ç ÷ ç +÷+ç ÷ê úç÷+ +÷ç è øè ø ë û

2 2 2 2

3 3 2 22 22 2 4 2 2

2 2 4 6 6

1 .

(16.5.2)

El gradiente negativo tiene una dirección hacia el plano ecuatorial z = 0 para todos los valoresde z y hacia el origen en una región ecuatorial definida por z r<2 22 . Esta región ecuatorial estádelimitada por dos conos cercanos al ecuador, caracterizados por un ángulo ecuatorial o latitud qe.


( ) ( ), e e e zp q q p q q r- £ £ + »2 2 2 . (16.5.3)

En el límite de r muy pequeño el problema se reduce a un problema bidimensional en el planoecuatorial. Por lo tanto, cerca de este límite debemos simplificar poniendo sin q » 1 , z » 0 ,obteniendo una ecuación aproximada separable,

mm

e yr

é ùê ú + + =ê úë û

22 2 2

4

22 0 , (16.5.4)

mz

me y

r r r r j r

é ù¶ ¶ ¶ ¶ê ú+ + + + + =ê ú¶ ¶ ¶ ¶ë û

2 2 2 22 2

2 2 2 2 4

1 1 22 0 . (16.5.5)

Como la dependencia en z es originalmente a través del ángulo polar espacial q, es convenienteintroducir en su lugar, en la zona ecuatorial, una coordenada de latitud angular z,

tan z zz

r r= » . (16.5.6)

En términos de esta coordenada en la región ecuatorial la ecuación se convierte en

mm

r r e r yr r j z r

é ù¶ ¶ ¶ ¶ê ú+ + + + + =ê ú¶ ¶ ¶ ¶ë û

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

22 0 (16.5.7)

porque

z z z zz z z

z z z r z

æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ç ÷ç» » »÷ ÷ç ç÷ ÷çç ÷ è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

22 2 2

2 2 2 2

1 . (16.5.8)

Suponemos una solución separable en la región ecuatorial, de la forma

( ) ( ) ( )R Zy r L j z= . (16.5.9)

La ecuación separada para Z es

ZZa

z¶

=¶

22

2 (16.5.10)

donde a es sólo una constante aproximada de separación.La simetría cilíndrica implica la conservación del componente acimutal del impulso angular.

El espinor de Pauli Y, o componente grande del espinor de Dirac, es un autoespinor común de


los generadores de rotación Lz, de espín S

z y total J

z. Las autofunciones se pueden construir

usando las funciones exponenciales,

( ), ,ie nj

L j n n+æ ö÷ç ÷= + = ç ÷ç ÷çè ø

12 0

, (16.5.11)

( ), , ie njL j n n-æ ö÷ç= - = ÷ç ÷ç ÷çè ø

12

0 . (16.5.12)

Exigimos que la parte espacial de la autofunción sea monovaluada, lo cual determina que n es unentero. De esta manera, la ecuación separada para la función angular es

, ,n n nj

¶ = -

¶

221 1

2 22 . (16.5.13)

Los valores n significan que el sistema tiene impulso angular orbital alrededor de su centrode masa. Desde un punto de vista mecánico, esto implica una rotación del más liviano electróne alrededor del centro de masa de los dos protones p. Esto podría ser inconsistente con elmecanismo casi estático, indicando una inestabilidad, y podríamos descartar los valores n ¹ 0 .El modelo estable pudiera ser posible solamente con un sistema estático.

De acuerdo a lo indicado en la sección 16.4, el momento magnético está determinado por unfactor geométrico g que depende de los campos y las cargas en movimiento. El momentomagnético es inversamente proporcional a la masa que tiende a oponerse al movimiento. Esconveniente hacer un cambio de variable a una variable radial adimensional compleja zracionalizada a la masa,

z zm mm g

re e

= =2 2 22 , (16.5.14)

donde g para el electrón es ½. Se obtiene la ecuación radial separada que tiene puntos singularesirregulares en cero y en el infinito [15],

( )z R zR z Rz

ge n aé ùæ ö÷çê ú¢¢ ¢+ + + - - =÷ç ÷çê úè øë û

2 2 2 22

12 0 . (16.5.15)

Si ponemos uz e= obtenemos

( ) ( )u uR e e Rge n a-é ù¢¢ + + - - =ê úë û2 2 2 22 0 , (16.5.16)

que es la ecuación modificada de Mathieu [16, 17] con los parámetros


q ge= 2 , (16.5.17)

a n a= -2 2 . (16.5.18)En la última ecuación los parámetros a y a deben ser considerado parámetros efectivos adeterminar por el conjunto de las tres ecuaciones porque, independiente de n2 y a2, a puedeincluir otras contribuciones asociadas a la ecuación (16.4.5). Sin embargo, los valores propiosde las ecuaciones angular y radial son los que determinan directamente los valores posibles delpar n, a y en consecuencia el valor efectivo de a2.

Este resultado aproximado de la aplicación de la ecuación de Mathieu para el sistema enestudio podría obtenerse también partiendo del uso de coordenadas esféricas.

16.6. Energía de Ligadura del Deuterón.Según el teorema de Floquet [18], una solución de la ec. (16.5.16) incluye un factor total, sue

donde s es una constante compleja. Si s es un entero se obtienen las funciones de Mathieu deorden s. Una función de Mathieu [15] es una de las pocas funciones especiales que no soncasos especiales de la función hipergeométrica y por lo tanto la determinación de sus valorespropios difiere. Las funciones de Mathieu pueden expresarse como una serie de Fourier. Loscoeficientes de la expansión en serie son proporcionales a los valores de las raíces característicasar de un conjunto de ecuaciones de fracciones continuadas obtenidas de las relaciones derecurrencia entre tríos de coeficientes de expansión. Estas raíces características se obtienencomo series de potencia en q.

Una solución de la ecuación de Mathieu puede expresarse también en términos de una seriede funciones de Bessel con los mismos coeficientes de la serie de Fourier. Esta serie de Besseles conveniente para hallar el comportamiento asintótico de la solución. Reemplazando lasfunciones de Bessel con las funciones de Neumann obtenemos una solución de la segundaclase. Soluciones de la tercera y cuarta clase se obtienen al combinar las funciones de Bessel yde Neumann para formar funciones de Hankel. Queremos una solución regular en cero que seanule en el infinito. Exigimos que s = 0 para evitar un comportamiento asintótico singular uoscillatorio. El comportamiento apropiado de exponencial negativo en el infinito se obtiene delas funciones radiales de Mathieu de orden cero, de la tercera clase, o funciones de Mathieu-

Hankel indicadas por ( ),He q u0 .Se conoce que las raíces características y los coeficientes correspondientes de la expansión

en serie de las funciones de Mathieu tienen singularidades de corte en el eje imaginario q y elplano complejo a de las superficies correspondientes de Riemann [17, 20]. Por lo tanto, loscoeficientes de la expansión son multivaluados. En el problema estándar de valores propios dela ecuación radial, la energía se determina eliminando las singularidades de la seriehipergeométrica requiriendo que sus coeficientes se anulen después de cierto orden. En nuestrocaso, la energía debe determinarse eliminando las singularidades de corte de la serie de Mathieuescogiendo coeficientes apropiados. Debemos exigir que los coeficientes de la función R de lasolución sean monovaluados así como se exigió para la función L. Para eliminar la posibilidad


de coeficientes multivaluados y obtener una solución regular debemos descartar todos lospuntos q en todas las ramas de las superficies de Riemann excepto los puntos comunes q0 detodas las ramas. Exigimos que q sea el par de puntos comunes q0 en las ramas de la superficie deRiemann correspondiente a las dos primeras raíces características a0 y a2 que determinan elresto de los coeficientes de las funciones pares de Mathieu de período p.

Las constantes q0 y a han sido calculadas [19, 20, 21] con muchos dígitos significativos. Elvalor q0 determina un único valor propio negativo degenerado para la energía de los estados dela solución, como sigue,

q iqge e= = = 02 , (16.6.1)

y se tiene una solución estable con energía de ligadura por estado

( ). . Mev.e e eE m q m me= = - = - » -22 2

0 0 1 4687686 1 10237 (16.6.2)

De acuerdo al modelo, ambos estados ,y = 120 están ocupados y la energía total es

. Mev. . Mev. dE U= - » - = -2 20474 2 2246 (16.6.3)

donde Ud es la energía de ligadura del deuterón. Esta es la energía necesaria para destruir la

disposición simétrica casi estática del sistema. Es requerida para desintegrar el sistema en unprotón y una excitación electrón-protón o neutrón, como se indica en la siguiente sección. Estaenergía negativa de ligadura es debida a la interacción electromagnética fuerte SU(2)Q. Por lotanto, la reacción física de un protón con un neutrón, que produzca un deuterón, debesimultanemente liberar esta cantidad U

d de energia electromagnética en forma de radiación. Eso

determina la reacción

p n d g+ + . (16.6.4)

Como los protones componentes deben estar en estados opuestos de impulso angular, elespín del deuterón es igual al espín del sistema e’. Si encontrásemos la ecuación correcta parael sistema e’ de espín 1, tendría un término de energía magnética similar a los encontradospreviamente donde el coeficiente del campo B es

B e Be e eg Sm m m m¢ ¢ ¢= = = (16.6.5)

en términos del magnetón de Bohr y una matriz S de espín 1. Esta ecuación descarta el estado deespín 0 para e’ y para el deuterón. El deuterón sólo puede estar en los estados de espín ±1.También muestra que e’ no tiene un factor giromagnético anómalo.

En general la barrera magnética nuclear del potencial para la “ligadura pep” del deuterónestá aproximadamente determinada por el bosón A [5] en la ecuación radial ecuatorial,

( )[ ]

Ame mmE

m m

r

r y yr r r

--

-¶ - - - =2

22 4 3

3 1 1 2 24 2

, (16.6.6)


con el 1 según y. La altura de la barrera de SU(2) depende criticamente del valor .Amr =2 1 3984

que determina la localización del máximo del término r-4 . Si el sistema está en un medio periódico,la ec. (14.4.33) para el alcance 1/mA indica que la barrera pep disminuye por un factor de orden

. -´ 148 8 10 facilitando que un protón la penetre, en una reacción de fusión de baja energía.

16.7. El Modelo Electrón-Protón para elNeutrón.

Si el sistema estable de 2 protones bruscamente pierde un protón, podemos suponer que elpotencial producido por el electrón permanece constante durante una corta transición, mientrasel sistema se hace inestable. La disposición simétrica casi estática de los dos protones alrededordel electrón en la formación protón-electrón-protón es destruida, conduciendo a una disposiciónasimétrica con una fuerte dinámica en un sistema electrón-protón. En lugar de la representaciónfundamental de SU(2) del potencial del sistema, se constituyen representaciones separadas deU(1) y SU(2) del electrón y el protón respectivamente. Como se indicó anteriormente, el factorgiromagnético g es determinado por la interacción SU(2). La suma de los valores respectivosdetermina el factor giromagnético anómalo del neutrón. Durante esta transición, los parámetrosmagnéticos, en particular el factor giromagnético anómalo g, deben ajustarse a la nueva situación,

( ) pgm mr r

+ =3 32 1 3 . (16.7.1)

El otro parámetro que se ajusta automáticamente es el valor propio de la energía E. Losúnicos términos potenciales en la ecuación (16.4.5), que deben cambiar son aquellos quedependan de estos parámetros magnéticos. Así, consideremos la expresión

( )W m mE gm m

er r

= + + = +2 23 32 2 1 3 2 (16.7.2)

que contiene los valores variables g y E, mientras se mantienen constantes r y los otrostérminos potenciales en la ecuación (16.4.5). Es claro que el valor total de W también permanececonstante mientras E y g cambian. Por lo tanto,

dW mdE dgmr

= + =32 0 . (16.7.3)

Esta última ecuación relaciona los cambios del valor propio de la energía con el cambio delfactor giromagnético mientras los campos magnéticos su(2) se ajustan,

dEK

dg mmr

= - º32 , (16.7.4)


donde K se toma como constante. Suponemos que la constante de integración es igual a cero,lo cual significa que E y g evolucionan proporcionalmente hacia el estado inestable y W es cerodespués de la colisión y durante la evolución hacia el estado inestable. El valor propio de laenergía es proporcional al factor giromagnético y al término potencial del momento magnéticointrínseco que es una fracción del potencial efectivo total

n

n p

EEEg g g

= = 0 . (16.7.5)

El cociente de los valores propios de la energía de los dos nucleones es, entonces,aproximadamente igual al cociente de los factores giromagnéticos. Sabemos de la sección 16.3que ambos momentos magnéticos anómalos del protón y del neutrón están determinados ycalculados teóricamente según dos arreglos diferentes de los campos magnéticos su(2) ensistemas de excitación nucleónica de masa mp. El sistema protón-electrón sufre cambios en suscampos magnéticos su(2) hacia un sistema inestable del neutrón que eventualmente decae. Laenergía de este último sistema queda teóricamente determinada por estos valores teóricos delfactor giromagnético,

( ). . . Mev. . Mev..n n p eE m m m

-= - = » - - =

1 967 1 10237 0 780 0 7822 780

(16.7.6)Este sistema tiene un exceso de masa igual a En que libera en forma de energía cuando decae ensus constituyentes protón y electrón.

La ecuación de Pauli (16.4.5) para el movimiento interno relativo al centro de masa, con lamasa reducida m, bajo el campo magnético interno, sirve para calcular efectos giromagnéticosy energías de ligadura. Para el neutrón se tiene

( )( ) nn

p

g BmE

gs

y yé ù⋅ê ú- - - + =ê úê úë û

2 2 1 3 22

. (16.7.7)

La ecuación de Pauli también sirve para estudiar el movimiento del centro de masa del sistemaneutrón bajo un campo magnético externo, ahora con la masa total resultante,

n p e nM M m E¢ = + + . (16.7.8)

En este caso la ecuación, con el mismo factor giromagnético geométrico en el término interno deenergía magnética, es

n n

i e Bi

M M c ts y

yé ùæ öæ ö ⋅ ¶÷ ÷ç çê ú÷ ÷- + + =ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç¢ ¢÷ç ¶è øè øê úë û

2 32 12 2 2 2 . (16.7.9)


El sistema ( ), ,p e n es un sistema de espín ½ porque el espín del protón es opuesto al espín

de ( ),e en ¢º . Así, el neutrón y el protón que forman el deuterón tienen sus espines en la mismadirección. El hecho de que el momento magnético del deuterón sea la suma aproximada de losmomentos del protón y del neutrón se explicaría porque la presencia de un campo magnéticoexterno hace que un protón reaccione por si solo y el resto del sistema, p, e’ reaccione ajustandosus campos como un neutrón.

16.8. El Modelo de muchos Deuterones.La presencia de impulso angular orbital, l ¹ 0 , rompe el mecanismo casi estático del modelo.

La ecuación determina sólo una excitación estable de ligadura correspondiente a los estados deespín ±½ de las excitaciones de campos poliádicos bajo la interacción magnética fuerte. Esta“ligadura pep” del deuterón es una excitacion fundamental (p,e’,p) y suministra otro mecanismode acoplamiento que permite la combinación de más de 2 protones. La partícula alfa, o excitacióna, puede considerarse como una excitación de 2 deuterones [22].

El rango de la interacción magnética define la zona subnuclear W pr m r1 , muy pequeñarespecto al radio de los protones rp. La ecuación de Mathieu determina una sóla energía deligadura pep en un par de protones. Para que los protones sientan la atracción fuerte suscentros tienen que estar en la zona subnuclear. Por lo tanto, los protones están esencialmentesuperpuestos. En el modelo a hay 4 protones y 2 electrones los cuales están tambiénsuperpuestos y deben compartir el campo magnético. El estado estacionario, de energía mínima,es la superposición cuántica simetrizada, como en el ion molecular de hidrógeno. Los electronesy protones son compartidos por todas las ligaduras pep posibles del sistema. Las ligaduras pepposibles cumplen el principio de exclusión de Pauli y son sólo aquellas que comparten unelectrón solo e'. Los p participan en tantas ligaduras pep como posibles pares de protones.

Una diferencia en el modelo a es que la masa reducida m del sistema es aproximadamente lamitad de la masa me del electrón debido a la presencia de dos electrones en el sistema. Latransformación de coordenadas requerida para obtener la ecuación de Mathieu difiere de la ec.(16.5.14),

e

z z zm m m mm g g

re e e

= = =2 2 2 222

, (16.8.1)

que cambia q proporcionalmente y determina una energía doble de enlace Ud’ por par,

q e= 2 , (16.8.2)

( )d e dE E m q m q m Ue¢ ¢= = = =- =-22 2

0 02 2 2 2 4 2 . (16.8.3)

La energía d dE U¢ =-2 es el único autovalor de Mathieu para cada ligadura pep aunque e' se


comparta. Este hecho junto con la simetría simplifica el cálculo de la energía del problema de ncuerpos. Hay estados simétricos de agrupamientos cuyas energías están determinadas por susligaduras pep. El agrupamiento a simétrico asociado a 4 protones tiene 6 ligaduras pep y por lotanto tiene la energia de estas 6 ligaduras menos la diferencia de masas electrónicas,

, ,

, ,

p e p e

i i ep e p em m m

¢ ¢

¢¢ ¢= -å å4 2 4 6 4 , (16.8.4)

( ) ,, . Mev.e d ep ep eE E m E m E Ua a¢¢

¢= - = - = - º » -4 64 2 4 6 4 28 501 . (16.8.5)

Similarmente tenemos las mismas consideraciones para 3 protones. El agrupamiento simétricoasociado a los 3 protones tiene 3 ligaduras pep con energía única Ed de Mathieu,

( ) ,, . Mev. He Hee d ep ep eE E m E m E U¢¢ = - = - = - º » -3 33 33 2 3 2 7 636 . (16.8.6)

El principio de exclusión prohibe 2e en una ligadura pep. Un e extra sí se puede vincular al p queno esté al instante en una ligadura pep (imposible en el sistema a), con la energía de la ec.(16.7.6),

( )e n pE m m mD = - - , 16.8.7)

( ), . Mev.He H Hp eE E E E U¢ = + D = - º » -3 3 33 2 8 416 . (16.8.8)

Estas ecuaciones determinan una identidad entre las masas de los isóbaros A=3. Como

nuestra notación usa la correspondencia ( ) ( ), ,p e p n¢ =3 2 podemos escribir

p n p n eH He He

eH He

m m m E E m m m E

m m m

+

+ +

= + + + D = + + +

º +

3 3 3

3 3 2

2 2(16.8.9)

lo cual indica una pequeña posibilidad de decaimiento b de 3H+ a 3He+ de acuerdo aconsideraciones de energía total a pesar de las diferencias desfavorables de energía de enlace.También implica que los átomos correspondientes 3He y 3H tienen esencialmente masas iguales,con diferencias despreciables del orden de la interacción electrónica de Coulomb.

Hemos obtenido las energías de enlace para 4He y los nucleidos isóbaros 3H, 3He dentro deun 1%. Por lo tanto, el modelo nos induce a considerar que las ligaduras pep o deuterones sonel componente esencial de agrupamientos más complejos en interacción electromagnética connucleones adicionales. Esto es consistente con los números protónicos y neutrónicos de losnucleidos. Cualquier protón extra afuera de una ligadura pep cuando se asocie con e' puedeinterpretarse como neutrón. La energía de enlace U

d determina una fuerza “nuclear” entre los

nucleones que es independiente de una asociación como neutrón.


16.9. Resumen.La ecuación de movimiento se puede escribir, en una aproximación no relativista, como una

ecuación de Pauli modificada que nos permite hacer cálculos aproximados. Los resultadosnuméricos obtenidos para los momentos magnéticos y las energías de enlace sonsorprendentemente cercanos a los valores experimentales, para este crudo modelo. Estos valoresteóricos admiten factores de corrección debido a las aproximaciones hechas.

Los principios teóricos geométricos requieren ligaduras magnéticas ( ), , ,p e pn para formary combinar agrupamientos nucleares de manera similar a los enlaces atómicos. Desde un puntode vista teórico es interesante conocer que este electromagnetismo “fuerte” SU(2)Q, sin ayudade ninguna otra fuerza, genera potenciales atractivos cuasiestáticos de corto alcance capacesde suministrar la energía de ligadura de nucleidos livianos, compuestos de protones y electrones.Puede ser que la consideración de los términos de interacción despreciados sea suficiente, sinninguna otra fuerza nuclear, para explicar todas las propiedades nucleares. En cualquier caso,las implicaciones de la existencia de esta atracción electromagnética “fuerte” SU(2) deben jugarun papel fundamental en las interacciones fotonucleares, la fusión nuclear, la estructura de losnucleidos, el desarrollo de modelos nucleares, la espectroscopía de rayos gamma y otros camposrelacionados.

La energía de enlace del deuterón y otros nucleidos livianos sería esencialmentemagnetostática y las reacciones nucleares de fisión y fusión en un sistema de nucleidos seríantransiciones magnéticas multipolares. El campo electromagnético puede intercambiar radiaciónelectromagnética gamma del tipo M1 a través del correspondiente cuanto o fotón gamma. Si elsistema interactúa con otro sistema (externo), además del canal radiativo habrían otros canalesposibles en la matriz de difusión S. El potencial total puede tener transferencias de energía en lazona cercana no radiativa. Podrían abrirse canales cuasiestáticos entre el sistema de nucleidosy el otro sistema a través del campo en esta zona electromagnética. En particular, si el potenciales periódico y coherente podría reducirse la barrera magnética cuántica para intercambioscuasiestáticos. De esta manera se transferiría energía magnética con baja radiación como sucedeusualmente entre sistemas electromagnéticos y materiales cercanos.

Desde un punto de vista práctico no se deben pasar por alto estos resultados por lasimplicaciones que ellos puedan tener en entender los procesos de fusión de núcleos livianos. Elcampo electromagnético sería un elemento activo de un generador de fusión. En particular,puede suministrar posibles procesos de fusión para el desarrollo de la energía de fusión limpia,sin los problemas presentes de alta radiación y radioactividad.

También, aparte de dificultades técnicas, campos magnéticos fuertes localizados relacionadoscon una radiación gama dirigida en un plasma nuclear pueden ocasionar efectos de resonanciaque estimulen una reacción electromagnética de fusion y emisión de gammas. La reacción en unsector de un plasma de protones, electrones y neutrones polarizados magnéticamente, con lascondiciones apropiadas, podría ser amplificada por estimulación debido a la presencia de laradiación gamma M1 resonante desde otros sectores. En otras palabras, amplificación de lafusión y la radiación por emisión estimulada de radiación gamma.

Se puede argumentar, que si este modelo se realiza en la naturaleza, existirían evidencias


Referencias

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Moscow), 2nd. Ed. p. 496 (1965).4 Vea las secciones 3. 6 y 4.2.5 Vea las secciones 2.3 y 14.46 G. González-Martín, I. Taboada, J. González, ArXiv physics/0405126, USB Reporte SB/F/

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capítulo 13.14 G. González-Martín, ArXiv 0712.1531, USB Reporte SB/F/350.2-07 (2007).15 Philip M. Morse and Herman Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 1st edition

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Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964)18 G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1887).19 H. P. Mullholland and S. Goldstein, Phil. Mag. 8, 834 (1929).20 Josef Meixner, Friedrich W. Schäfke, and Gerhard Wolf, in Mathieu Functions and

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21 C. J. Bouwkamp, Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 51, 891 (1948).22 G. González-Martín, ArXiv 0805.0363, USB Report SB/F/361-08 (2008).

experimentales adicionales en su favor. Al respecto, debemos apuntar que el rasgo másextraordinario del SU(2) electromagnético es su estructura geométrica triple. En particular estaestructura debe revelarse con la presencia de tríos de resonancias asociados a subexcitacionessu(2) dentro de los nucleones. La evidencia experimental para estos fenómenos se enmascaracomo quarkios. En vez de bloques fundamentales de materia, los quarkios pueden considerarseestados internos excitados que realmente brindan soporte a la interacción electromagnéticageométrica SU(2).

17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DEPARTÍCULAS E INTERACCIONES.

17.1. Introducción.El grupo de la estructura geométrica del espacio tiempo en la relatividad especial es fundamental

para las teorías de campos de las partículas elementales, que se toman como representaciones deeste grupo. En contraste, la geometría de la relatividad general no ha jugado este rol fundamental.Sin embargo, nuestra geométricamente unificada teoría relativista de la gravitación y elelectromagnetismo puede tener aplicaciones no triviales para la teoría de partículas [1, 2]. Algunosde los valores numéricos obtenidos en capítulos anteriores y relacionados con propiedades delas partículas se indican en los párrafos siguientes.

El quantum de flujo magnético posible de las partículas, ec. (7.5.3), es

he e

pf = =0 2 .

Los cocientes de masas del protón, el electrón y los bosones W y Z, ecs. (13.3.39),(14.4.28), (14.4.29), son

( )( )

. .pRG

H R e

mV Kmm V C m

p= = = » =56 1836 1181 1836 153 ,

. Gev. . Gev.g pA Z

m mm mm

a a= = = = » =

2 290 9177 91 188

2

sinsin . Gev. . Gev.p

A WA

mm m m

QQ

a- = = = » =78 7370 80 42

2La energías de ligadura del deuterón, la partícula alfa y el exceso de masa del neutrón,

ecs. (16.6.3), (16.8.5), (16.7.6), son

. Mev. . Mev. d e e dE m q m Ue= = - = - » - = -2 202 2 2 20474 2 2246 ,

( ) ( ), , . Mev. .e d ep e p eE E m U m Ua¢ ¢

¢= - =- - =- »- =-4 2 4 6 4 6 4 28 5009 28 28 ,


. Mev. . Mev.d nn n p e

p

E gE m m m

g= = » - - =0 780 0 782

2

Los momentos magnéticos del protón y el neutrón, ecs. (16.3.12), (16.3.14), son

( ) ( ).p p N Np

e S Sg

m ca s

m m mp

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç= + + = =÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ÷çè ø

152 1 3 1 2 2 77962 2 2

,

( ) ( ).n n N Np

e S Sg

m ca s

m m mp

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç= - + + = = -÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ÷çè ø

282 1 3 2 1 2 1 9672 2 2

.

Estos valores y otros resultados anteriormente indicados no son valores “ad hoc” sinoconsecuencias matemáticas de un modelo geométrico de la relatividad. Es decir, estándeterminados geométricamente por primeros principios, lo cual no es cierto en otros modelospopulares de física de partículas que son incapaces de producir números equivalentes. Porel contrario, muchos de estos modelos están llenos de parámetros arbitrarios.

Por lo tanto, en este capítulo discutiremos esta cuestión usando las propiedades e ideasgrupales y geométricas, evitando aquellos aspectos innecesarios que presenten obstáculosen la comprensión de las implicaciones físicas de esta geometría para las partículas físicas.Previamente, es conveniente hacer un resumen de las ideas principales como unaintroducción a la discusión general.

El estudio de grupos que actúan en las estructuras geométricas de una teoría físicapuede determinar propiedades físicas esenciales, sin resolver realmente las ecuaciones dela teoría. Este enfoque particular, una realización del grupo geométrico como secciones deun fibrado, es nuevo en el tratamiento de las partículas elementales y su interacción.

Es bien conocido que los grupos de holonomía de una conexión en un fibrado se puedenusar para clasificar sus posibles conexiones. Es de interés usar este método para obteneruna visión de los tipos de interacciones físicas presentes en la teoría unificada.

En la teoría cuántica de campos (TCC o QFT) ciertas partículas adquieran masa por elmecanismo de Higgs [3] que descansa en ciertas simetrías que posee el vacío. Esto pareceasignar al vacío un rol que no es completamente pasivo. Podemos asignarle al vacío un rolmas activo. Esto se logra reconociendo que el vacío de partículas es un espacio geométricocon significado físico, relacionado con esta teoría de física geométrica unificada ilineal.Consideremos una aproximación, a la teoría ilineal, donde los objetos microscópicos serealizan como excitaciones lineales alrededor de un espacio geométrico de substrato ilineal.Esto es consistente con la interpretación en TCC de partículas como excitaciones del vacío.Interpretemos las excitaciones como partículas y el substrato como vacío de partículas.

Con esta definición, una partícula recibe la acción del substrato y nunca esta realmentelibre excepto en un espacio absolutamente vacío (curvatura cero del substrato). El espaciode substrato lleva propiedades inerciales universales. Una partícula libre es una idealización.

225Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones

A un nivel fundamental, si aceptamos una física en el substrato, estamos suponiendo, enparte, un principio holístico (Parménides) que debe ser consistente con las ideas de Mach[4] y de Einstein [5] que asignan importancia fundamental a la materia distante en ladeterminación de las propiedades inerciales de la materia local. Al contrario al suponersolamente partículas aceptaríamos un principio atomístico (Democritus). Esto implicaríaque no hay física en el substrato.

La restricción a subgrupos de holonomía tiene también implicaciones para las ecuacionesde movimiento de la materia. Como, en la teoría, las partículas se representan comoexcitaciones de bases o poliadas materiales (secciones de un fibrado), podemos esperarque la asociación geométrica de poliadas materiales a subgrupos de holonomía clasifiquenaturalmente a las partículas y las asocie a interacciones. La esperanza de lograr esteobjetivo descansa en los resultados de trabajos previos.

Las constantes asociadas a cierta conexión aparecen como parámetros constantes enlas ecuaciones de excitaciones y juegan un rol fundamental [6]. Como en relatividad general,las ecuaciones covariantes pueden y deben referirse a bases (coordenadas) que debenrelacionarse con observadores determinados por el experimento físico en cuestión. De otraforma, los resultados teóricos permanecen indeterminados. La libertad de escoger unreferencial, arbitrario por una transformación del grupo, genera una clase de solucionesequivalentes representada por un referencial particular er.

Cualquier excitación debe ser asociada a un substrato definido. Una observaciónarbitraria de una propiedad de una excitación depende tanto de la excitación como delsubstrato, pero el observador físico debe ser el mismo para ambos, la excitación y elsubstrato. Podemos usar la libertad de seleccionar la poliada referencial para referir laexcitación a la poliada física definida por su propio substrato, que satisface la ecuaciónilineal (1.4.2).

Entonces este substrato trivial está referido a sí mismo, como en el capítulo 12, y lapoliada eb, del substrato referida a er se convierte en la identidad I. Realmente estogeneraliza las coordenadas comóviles (coordenadas adaptadas a las geodésicas de unpolvo material) [7]. Escojamos coordenadas adaptadas a la poliada del substrato porqueel único referencial que no es arbitrario es la propia poliada material. La materia libre nomuestra autoaceleracion ni autoacción. En el sistema de referencia propio estos efectosdesaparecen. Solamente los términos de autoenergía, determinados por la ilinealidaddel substrato, tienen sentido y deben ser el origen del parámetro de masa constante.

A distancias pequeñas l, característica de las excitaciones libres, tanto la conexióncomo la poliada del substrato parecen simétricas. Matemáticamente podemos decir queel substrato es localmente un espacio simétrico [8] o variedad hiperbólica. Reconocemosla condición necesaria que el substrato sea un fibrado que admita localmente unconjunto maximal de vectores de Killing de simetría del espacio tiempo, que anulen laderivada de Lie de la conexión [9]. Esto implica que hay coordenadas de Killing talesque la conexión es constante no nula en la región de interés de la partícula. (Unaconexión plana es una hipótesis demasiado fuerte).

Está claro de la definición de excitación, que una partícula libre es una representación


del grupo de estructura de la teoría y en consecuencia un elemento algebraico. Unarepresentación (y por lo tanto una partícula) está caracterizada por los autovalores delos operadores Casimir. Los estados de una representación (partícula) estáncaracterizados por los autovalores de una base de operadores en el subespacio deCartan. Esto suministra un conjunto de números cuánticos algebraicos a la excitación.Se ha indicado que las partículas físicas son representaciones del grupo de holonomíade la conexión, un subgrupo de SL(2,), inducidas del subgrupo SL(2,) y realizadascomo funciones en los espacios cocientes. De hecho, se ha mostrado que nuevasconsecuencias electromagnéticas de la teoría de la teoría determinan la cuantización dela carga eléctrica [10] y del flujo magnético, suministrando una explicación para el efectoHall cuántico [11]. Las propiedades de las partículas deben estar determinadas por la estructurageométrica.

Un aspecto importante es: ¿Cómo calculamos la masa en una forma consistente? Lamasa surge de constantes con dimensión de longitud inversa correspondientes a unasolución de substrato de la ecuación de campo ilineal. Estas constantes aparecen enlas ecuaciones de excitaciones lineales de (13.1.1) para una poliada fermiónica y dw(14.3.7) para una conexión bosónica, en la representación definitoria, donde m es elparámetro de masa fermiónica expresado por la ec. (13.2.13) y w determina el parámetrobosónico de masa expresado por la ec. (14.2.6). Ambos parámetros son determinados porla métrica de Cartan-Killing en términos de las constantes de la solución de substrato.

Si consideramos excitaciones geométricas sobre un substrato, estas expresiones sepueden expandir como una perturbación alrededor del substrato en términos de unparámetro pequeño e, que caracterice la excitación. Esto indica que el término de ordencero, la masa desnuda, está dado enteramente por la corriente y la conexión del substrato,con correcciones que dependen de la autointeracción de las excitaciones. Como seindicó en trabajos anteriores [12], estas correcciones corresponden a una teoríageométrica de campos cuánticos.

De esta manera, el parámetro de masa desnuda de una partícula no se determina dela propia ecuación lineal de la partícula, sino de la solución ilineal de substrato inercialholístico. La existencia de una solución de conexión constante para estos camposasintóticos (substrato de partículas libres) suministra una distancia fundamental, debidaa la ilinealidad, y da un mecanismo para calcular cocientes de masas en términos devolúmenes de los respectivos espacios cocientes simétricos. El caso extremo de unespacio vacío absoluto, que implique una autointeracción nula de la curvatura delsubstrato, solo es matemáticamente posible en esta teoría para un universo vacío demateria, debido a la ilinealidad de las ecuaciones de campo del substrato.

Sin embargo, la asociación de una masa a esta distancia geométrica permanecearbitraria porque esta solamente calibra una escala geométrica de distancia en términosde una escala física de masa. Como la unidad de masa es distancia inversa, podemosasociar una masa física estándar a la distancia geométrica estándar. Después de estaasociación podemos intentar el cálculo de cocientes de masa. Por ejemplo, si escogemosla masa de la excitación protónica para calibrar la unidad geométrica, podemos calcular


la masa de la excitación electrónica, como se demostró en la ecuación (13.4.1) [13]. Elresultado de este cálculo, usando los cocientes de grupos de holonomía y la existenciade esta solución constante de substrato, es el cociente de masas que esencialmente estáde acuerdo con el valor experimental. Similarmente podemos calcular la masa de los bosonesintermediarios en términos de la masa del protón, como se indica en las ecuaciones (14.4.28) y(14.4.29).

La ecuación de movimiento se puede escribir, en una aproximación no relativista, comouna ecuación de Pauli modificada que nos permite calcular aproximadamente los momentosmagnéticos del protón y el neutrón [14], las energías de ligaduras del deuterón, la partículaalfa, los isóbaros A=4 y el exceso de masa del neutrón [15].

Los resultados numéricos obtenidos son sorprendentemente cercanos a los valoresexperimentales. En este capítulo nos planteamos como determinar la existencia y propiedadesde las partículas utilizando las propiedades algebraicas y topológicas de la geometría delmodelo y en particular como calcular los cocientes geométricos de las masas de las partículasposibles.

17.2. Clasificación de la Conexión.Para clasificar las interacciones busquemos los grupos dinámicos de holonomía H

de la conexión asociada. Es claro que H debe ser un subgrupo del grupo de estructurade la teoría, SL(2,). Por razones físicas deseamos que las interacciones estén asociadasa una evolución dinámica de las fuentes de materia. Los efectos dinámicos se producenen la teoría por la acción del grupo, en particular, las aceleraciones deben ser producidaspor los generadores equivalentes a las impulsiones de Lorentz, referidas a un observador.Por lo tanto, exigimos que los generadores de impulsiones, k0ka, estén presentes enuna conexión que pueda identificarse con una interacción dinámica por un observadorasociado al subespacio de Minkowski generado vectorialmente por ka. Debido a lanaturaleza de la corriente fuente,

ˆˆJ e u em a mak= , (17.2.1)

que corresponde a la acción adjunta del grupo en el álgebra, debe estar claro que todoslos generadores de la forma k[akb] de SL(2,) deben estar presentes en el grupo dinámicode holonomía de una conexión de interacción física.

Si designamos el subgrupo par generado por k[akb], como L, la discusión anterior

significa que

L H GÍ Í . (17.2.2)

Adicionalmente, H debe ser simple. Las diferentes posibilidades se pueden obtener delconocimiento de los subgrupos de G.

Los posibles subgrupos simples son los siguientes:1. El subgrupo de 10 dimensiones P, generado por ka, k[bkg]. Este grupo es

isomorfo a los grupos generados por k[akbkg], k[akb] y por k[akbkc], k[akb], k5 y


de hecho a cualquier subgrupo generado por una combinación lineal de estostres generadores.

2. El subgrupo de 6 dimensiones L, correspondiente a los generadores pares delálgebra, k[akb]. Este grupo es isomorfo al subgrupo generado por ka, k[akb], ypor k0k [akb], k [akb] y de hecho a cualquier subgrupo generado por unacombinación lineal de estos tres generadores.

3. El mismo grupo G.El subgrupo P es Sp(2,), como puede verificarse explícitamente mostrando que los

generadores satisfacen el requisito simpléctico [16]. Este grupo es homomorfo a SO(3,2),uno de los grupos de De Sitter. El subgrupo L es Sp(2,), isomorfo a SL(2,). Enadición hay solamente dos subgrupos compactos simples de G, no dinámicos, generadospor k[akb] y por k0, k5, k1k2k3, aparte de los grupos unidimensionales.

Entonces tenemos solamente tres posibles grupos dinámicos de holonomía: L, P, oG. Para cada caso tenemos una clase de equivalencia de conexiones y una interacciónfísica posible dentro de la teoría. Como se mostró en la sección 3.7, la simetría internade la cadena LPG, SU(2)U(1), coincide con la simetría de las interacciones débiles.Los otros grupos de holonomía no son dinámicos, en el sentido que no producen unaacción aceleradora sobre la materia, determinada por la impulsión referida a algúnobservador. Este es el caso de subgrupos de holonomía en la cadena no simple L U(1)L SU(2)L G que podrían representar el electromagnetismo pero no suministran, por suacción directa, una dinámica geométrica (fuerza) sobre la materia cargada. La dinámicarequeriría del postulado adicional de la fuerza de Lorentz [15].

17.3. Excitaciones Correspondientes aSubgrupos.

Si restringimos el grupo a cualquiera de los subgrupos P o L, las matricescorrespondientes a la sección son elementos del subgrupo. La poliada completa f, quees un elemento a del álgebra, se descompone en partes par e impar de acuerdo con ladescomposición general del álgebra de Clifford,

a a ak+ -= + 0 . (17.3.1)

De resultados anteriores, las ecuaciones de movimiento para las partes par e impar de fbajo ciertas restricciones son [16],

f f mfm mm mk ¶ k G+ - - -= = , (17.3.2)

f f mfm mm mk ¶ k G- - + += = , (17.3.3)

que implican que la poliada para una partícula masiva debe tener partes impar y par. En


nuestro caso, si ponemos f- igual a cero obtenemos que también m es cero. Por lo tanto,para una subbase L se tiene multiplicando por k0,

fmms ¶ + = 0 , (17.3.4)

la ecuación del neutrino como se discutió anteriormente.Adicionalmente, si calculamos las componentes izquierda y derecha, obtenemos

omitiendo los índices,

( ) ( )L

xy g y g

h h

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + = + ÷= ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø5 51 1

2 2

01 1 , (17.3.5)

( ) ( )R

x xy g y g

h

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - ÷= ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø5 51 1

2 21 10

. (17.3.6)

Tenemos que la componente izquierda es equivalente al campo h que se definetambién en términos del campo par f+. Similarmente, vemos que la componente derechaes equivalente al campo x y en consecuencia al campo impar f-. Por lo tanto, una poliadapar corresponde a una partícula izquierda como debe ser para un neutrino. Una excitaciónde una poliada de Lorentz tiene las propiedades del neutrino. Es necesario apuntar que,como la masa en esta ecuación es cero, el grupo pequeño de Wigner, que preserva elimpulso k, es ISO(2) en vez de SO(3) correspondiente a partículas masivas. Lasrepresentaciones inducidas de la excitación neutrino son secciones sobre el 3-hiperconode luz valuadas en representaciones de ISO(2) y están caracterizadas por el valor de lahelicidad.

Una excitación general de Sp(2,) tiene un generador k0, que es un generadorelectromagnético. Esta excitación representa a una partícula con un cuanto de carga yun cuanto de espín. La componente de la corriente a lo largo de este generador coincidecon la corriente eléctrica estándar [17] en la mecánica cuántica. En adición, se mostróque la técnica de perturbaciones generales para la interacción de los campos del electróny del neutrino conduce, esencialmente, a la corriente y el lagrangiano supuestos en lateoría de Fermi de las interacciones débiles [18] de los leptones. Esto conduce a laconjetura que una excitación Sp(2,) puede representar al electrón. Con esto en mente,el valor del cociente de las masas del protón y del electrón se derivó, en una secciónanterior, de la definición de masa en términos de energía, usando las propiedades delgrupo de estructura y sus subgrupos y los cocientes respectivos.

Es posible definir el autovalor del operador de proyección al sector impar del álgebrageométrica como un número cuántico que l lamaremos rareza. Mas allá, lastransformaciones por el subgrupo SL(2,) dejan invariante los espacios par e impar deuna poliada. Como estos autoespacios corresponden a las partes izquierda y derecha,o equivalentemente a los autovalores de helicidad, queda claro que, junto a una poliadaeL de Sp(2,), se puede asignar un compañero nL y puede ser considerado un binomio o


doblete, bajo otro grupo, mientras que eR no tiene un compañero nR y puede serconsiderado un monomio. Esto indica un vinculo posible con el modelo estándar deinteracciones débiles.

17.4. Estructura Algebraica de Partículas.En general, la ecuación de movimiento de la materia,

ˆê u em a m

m m ak k + =2 0 , (17.4.1)

es aplicable a las tres clases de poliadas dinámicas, de acuerdo a los tres gruposdinámicos de holonomía. Las tres ecuaciones linealizadas, junto con la ecuación ilinealde campo, deben tener soluciones relacionadas con la solución del estado de substrato.Entonces podríamos asociar una excitación para cada clase de poliada alrededor de lasolución de substrato. Estas excitaciones son elementos del álgebra de Lie del grupode estructura de la teoría.

El subespacio maximal de generadores del álgebra de Lie sl(4,) que conmutan,generado por el elemento regular escogido, [19] es una subalgebra de Cartantridimensional, subtendida por los generadores,

X k k=1 1 2 , (17.4.2)

X k k k k=2 0 1 2 3 , (17.4.3)

X k k=3 0 3 . (17.4.4)

Es claro que X1, y X2 son generadores compactos y por lo tanto tienen autovaloresimaginarios. Debido a la forma en que fueron construidos, ellos deben asociarse,respectivamente, al componente z de impulso angular y a la carga eléctrica. Ambospueden diagonalizarse simultáneamente en términos de los autovalores imaginarios.

Los cuatro miembros de la representación fundamental forman un tetraedro en elespacio tridimensional de Cartan como se describe en el capítulo 7. Ellos representan lacombinación de los dos estados de espín y los dos estados de carga de la partículaasociada. Por ejemplo,

carga espín flujo carga negativa con espín arriba carga negativa con espín abajo carga positiva con espín arriba carga positiva con espín abajo

f

f

f

f

-

-

+

+

- + -- - ++ +++ --

1 1 11 1 11 111 11


La representación fundamental de SL(2,), que puede indicarse por f+, f+

, f-, f-

agrupa dos estados de excitación de carga positiva con dos estados de excitación decarga negativa. La presencia de cargas opuestas en una representación nos obliga ahacer una aclaración. Para evitar confusión, debemos restringir el término conjugaciónde carga para indicar la operación original de Dirac para relacionar estados de cargaopuesta.

Hay otra representación fundamental f dual a f, de la misma dimensión, con todoslos signos invertidos, que es inequivalente a la original y corresponde al tetraedroinvertido en el subespacio de Cartan. Una de las dos representaciones se asignaarbitrariamente para representar la excitación física. La matemática del álgebra derepresentaciones indica que el estado se puede describir también como compuesto portres miembros de su representación dual. A la vez, la representación dual se puededescribir similarmente, con el mismo derecho, como compuesta por tres miembros de surepresentación dual, que es la representación original. Esta descomposición mutua nosrecuerda la idea la “democracia nuclear” propuesta en la década de los 60 [20] perorestringida a representaciones duales. Para evitar confusiones restrinjamos el uso deltermino dualidad para relacionar ambas representaciones inequivalentes.

En el lenguaje estándar de partículas, la antipartícula es la partícula dual, lo cualimplica que también es la conjugada de carga. Sin embargo, esta asignación de un parpartícula y antipartícula a la representación fundamental y su dual inequivalente no esuna implicación matemática de la teoría estándar de partículas, sino solamente unahipótesis física. Como nuestra representación fundamental incluye cargas opuestas,no es apropiado considerar la representación dual como antipartículas. Podemos, conel mismo derecho, decir simplemente que la antipartícula se determina por la conjugada.La partícula dual es solo una estructura matemática dual necesaria.

Entonces se tiene para un estado particular p de la representación fundamental,

( ) ( )p f f f f q q q + + + - + + -º = º , (17.4.5)

en términos de los estados duales q. Similarmente para un estado particular q,

( ) ( )q q q q p p p + + + - + + -= = . (17.4.6)

No implica esto necesariamente que los estados q sean estados de una excitaciónfísica diferente, sino que los q forman un triplete matemático dual a los p que representanla misma excitación. Esto permite una interpretación diferente para estas construccionesmatemáticas. Debe apuntarse que todos los p, q tienen carga eléctrica igual a la unidadgeométrica, carga electrónica e. Como estas excitaciones tienen propiedades departículas, hay una representación dual de la excitación física (partícula). Podemoshacernos la siguiente pregunta ¿ Qué pasa si identificamos físicamente a p con elprotón, que matemáticamente puede expresarse como 3 q, interpretadas como quarkios?En nuestra teoría no existe la necesidad de asignar cargas fraccionales a los quarkios.


De acuerdo con una “democracia nuclear restringida” podemos suponer que, a su vez,los estados quarkios q pueden expresarse matemáticamente como 3 protones p, lo cualpodría justificar la gran masa experimental de estos estados.

La representación fundamental de Sp(2,), que se puede desplegar como uncuadrado en un espacio de Cartan bidimensional, es e-

, e-, e+

, e+. Su representación

dual en Sp(2,), que se obtiene invirtiendo todos los signos, es matemáticamente lamisma e+

, e+ e-

, e-. Similarmente, la representación n, n de SL(2,) que puede

desplegarse en un espacio de Cartan unidimensional es matemáticamente su propiadual en SL(2,). Por lo tanto, la única de las tres excitaciones con una estructura dualinequivalente es p. Como los subgrupos Sp(2,) y SL(2,) se pueden incrustar enSL(2,), los espacios de Cartan correspondientes de Sp(2,) y SL(2,) también sepueden incrustar en el espacio de Cartan de SL(2,). El subespacio plano Q=-1,incluyendo estados duales, tiene cargas de un signo definido y es una representaciónde Sp(2,). Otro plano, Q=1, que contiene cargas opuestas, es la parte complementariade la representación de Sp(2,) que completa el subespacio de Cartan de SL(2,).

El espacio SL(4,)/SU(2)SU(2) es un espacio nonadimensional riemanniano deltipo incompacto. Hay 9 generadores de impulsiones Bm

a. El SU(2) de rotaciones, indicadopor S, contenido en el SO(4) compacto maximal actúa sobre el índice m y el SU(2)electromagnético, indicado por Q, contenido en SO(4) actúa sobre el índice a,

a n m mb a n bQ B S B ¢= . (17.4.7)

Similarmente el subespacio Sp(4,)/SU(2)U(1) es un espacio hexadimensionalriemanniano del tipo incompacto. El subespacio complementario dentro de SL(4,)/SU(2)U(1) es tridimensional. Existe una triple infinidad de estos subespacios dentrodel espacio total, reflejo de la triple infinidad de grupos P en el grupo G, según seescoja un generador electromagnético entre los tres posibles en SU(2).

En Sp(4,)/SU(2)U(1), con un generador electromagnético fijo, se tiene un vectoren el sector impar que representa un impulso k asociado a una excitación e. Comotenemos esta situación en SL(4,)/SU(2)SU(2) para cada generador en SU(2), tenemos,en efecto, 3 impulsos diferentes, ki, que pueden caracterizar una excitación p. Debemosconsiderar excitaciones caracterizadas por 3 impulsos, ki, que pueden interpretarsecomo tres subexcitaciones.

Tres P-subexcitaciones son necesarias para caracterizar una excitación protónica p,pero no para las e ni las n. Matemáticamente tenemos un sistema caracterizado por 3triimpulsos, ki, que puede difundirse por colisión en otro sistema de 3 triimpulsos, kj’.Un análisis de difusión de excitaciones debe incluir todos los vectores de impulso enfunciones delta d que aparezcan en los resultados de la difusión. Experimentalmenteesto es una colisión con un sistema de 3 centros puntuales de difusión y se interpretacomo una colisión con 3 partones dentro la excitación protónica. En general está claro quenuestra teoría no predice una excitación protónica puntual. En particular, la difusión de epor p se puede reemplazar por una suma de difusiones incoherentes por P-excitaciones. Entoncesla invariancia de grupo implica que la sección eficaz de la colisión se puede expresar por dos


funciones de energía e impulso transferido, obteniendo, para difusión profunda, la ley deescalamiento de Bjorken.

17.5. Interpretación Física en Términosde Partículas e Interacciones.

Hemos encontrado propiedades de las excitaciones geométricas que son semejantesa propiedades de partículas. Tomemos la posición que esto no es una coincidencia sinoque indica una estructura geométrica de la física. Como la corriente de fuente material Jdepende de una poliada y para cada subgrupo de holonomía podemos asociar una clasede poliadas se obtienen así tres clases de materia.

Como ya se discutió en la sección 3 para la L-conexión, la L-poliada correspondienterepresenta una excitación geométrica puntual de masa desnuda cero, neutra, de espín ½,de helicidad izquierda que obedece la ec. (17.3.4). Tiene las propiedades del neutrino.

Para la P-conexión, la P-poliada correspondiente representa una excitación geométricapuntual, masiva, de carga negativa -1, de espín ½, con g-factor magnético desnudo -2, queobedece la ecuación de Dirac. Tiene propiedades del electrón.

Para la G-conexión, la G-poliada correspondiente representa una excitacióngeométrica tripuntual, masiva, de carga +1, espín ½, con g-factor magnético desnudo2(2.7809), que obedece la ecuación de Dirac con una masa desnuda igual a 1836.12 vecesla masa desnuda de la excitación anterior. Tiene las propiedades del protón.

De esta manera, hemos asociado a cada uno de los tres grupos de holonomía, una delas únicas tres partículas estables conocidas.

Para la L-conexión no es difícil reconocer que la interacción es la gravitación, de ladiscusión en capítulos anteriores y el trabajo de Carmelli [21]. Similarmente se mostrótambién en capítulos anteriores que el electromagnetismo (sin dinámica) se asocia auno de los generadores de SU(2) y que la interacción débil de Fermi está relacionadacon el sector impar de una P-conexión.

Proponemos aquí que los generadores P/L se pueden interpretar como unainteracción electrodébil y que los generadores G/P como interacciones nucleares fuertes.Entonces las tres clases dinámicas de holonomía de la conexión deben corresponder alas tres clases de interacciones como sigue:

1. La L-conexión describe la interacción gravitacional.2. La P-conexión describe las interacciones acopladas gravitacional y

electrodébil.3. La G-conexión describe las interacciones acopladas gravitacional, electrodébil

y nucleares fuertes.Las L-poliadas obedecen ecuaciones que se obtienen de la ecuación general de

movimiento cuando la poliada e tiene solo parte par e+. De la ecuación de campo se veque una P-poliada genera una P-conexión y una G-poliada genera una G-conexión.

De esta clasificación se obtiene, en concordancia con las interacciones físicas:


1. Todas las poliadas interactúan gravitacionalmente entre sí.2. Las L-poliadas solo interactúan gravitacionalmente entre sí (materia neutra).3. Las G-poliadas (hadrones) son las únicas que interactúan fuertemente entre

sí (materia hadrónica).4. Las G-poliadas interactúan entre sí con las tres interacciones.5. Las P-poliadas interactúan entre sí con las interacciones gravitacional y

electrodébil pero no con la interacción fuerte (materia leptónica).6. Las G-poliadas (materia hadrónica) y las P-poliadas (materia leptónica)

interactúan entre sí con las interacciones electrodébil y gravitacional.

17.6. Estructura Topológica de Partículas.La estructura de esta teoría es compatible con una clasificación fenomenológica de

las partículas de una manera similar a la que se realiza con los grupos estándares desimetría.

Primero debemos apuntar que la teoría sugiere naturalmente las tres partículasestables o estados bases (n, e, p). De hecho, si consideramos la posibilidad de nivelesdiferentes de estados excitados, cada partícula puede generar una clase de partículasinestables o resonancias.

En particular, como las ecuaciones para cada una de las tres clases son las mismas,difiriendo solamente en el subgrupo que se aplica, se puede esperar que haya ciertarelación entre los niveles correspondientes de excitaciones, formando familias.

El cociente de masas del hadrón de la familia del nivel base (el protón) con la masadel leptón de la familia del nivel base (el electrón) se ha calculado del cociente devolúmenes de espacios cocientes basado en la existencia de una solución trivial nonula para la conexión de substrato. Esta solución trivial es la representativa de unaclase de soluciones equivalentes generada por la acción del grupo de estructura.

Consideremos ahora solamente las propiedades topológicas, independientes de laconexión, del espacio de soluciones completas (substrato mas soluciones de excitación).Los procesos de difusión de excitaciones alrededor de un substrato dado deben mostrarnaturalmente estas propiedades. Una solución de difusión entrante es una sección localde un fibrado jetado, sobre un tubo de líneas universales en la variedad base, el espaciotiempo, que describe la evolución de la solución en términos de un parámetro temporalt desde el pasado infinito hasta un tiempo finito t. Similarmente, una solución salientees una sección local desde un tiempo t hasta el futuro infinito. Las secciones locales enel fibrado representan clases de soluciones relativas a observadores locales. Lassoluciones de difusión en el infinito son soluciones de excitaciones asintóticamentelibres alrededor de un substrato. Los substratos (entrante y saliente) son equivalentesentre sí y a la solución de substrato constante si escogemos observadores adaptadosa los substratos.

Las ecuaciones son de tipo hiperbólico y debemos suministrar condiciones iniciales,en el infinito pasado t=-¥, para las soluciones sobre una hipersuperficie espacial


tridimensional inicial -. Exijamos que toda solución entrante sobre la hipersuperficiedel infinito pasado -, se reduzca a una excitación libre alrededor de la solución desubstrato sobre el subespacio bidimensional -(¥) en el infinito espacial r=¥. Comolos substratos de todas estas soluciones son equivalentes a la solución constante desubstrato en el infinito espacial -(¥), podemos tratar este infinito espacial como unsolo punto en - realizando una compactificación puntual de -, de modo que lahipersuperficie inicial -es homeomorfa a S3. Todas las soluciones entrantes sobre -

están clasificadas por las funciones sobre S3. La misma exigencia se puede aplicar a lassoluciones salientes en el futuro remoto, y de hecho, a cualquier solución sobre unahipersuperficie tridimensional intermedia , una sección del tubo universal. Así lahipersuperficie final en el futuro infinito + es también homeomorfa a S3. Las seccioneslocales de substrato sobre - y + deben pegarse en alguna región común ´R alrededordel presente t, por medio de las funciones de transición del fibrado. La interacción dedifusión se representa por la acción grupal de las funciones de transición en t=0. Todos losgeneradores del grupo producen una transformación a una expresión de la solución,diferente pero equivalente bajo el grupo. Si el grupo de holonomía no es el grupocompleto, hay una base de referencia que reduce el grupo de estructura a este subgrupoparticular de holonomía. Pero, en general, hay soluciones generadas formalmente porSL(4,). Como la región de transición, el “ecuador compactificado” ´R, tiene latopología de S3´R, las funciones de transición j del fibrado definen una aplicación, enla hipersuperficie t=0,

: ( , )S SLj 3 2 , (17.6.1)

que está naturalmente clasificada por el tercer grupo de homotopía [22] del grupo deestructura SL(2,) o del subgrupo de holonomía correspondiente. Hay algunassoluciones que no son deformables a la solución trivial por un homeomorfismo porquej representa el torcimiento de los pedazos del fibrado cuando se pegó.

Para el grupo de homotopía de SL(2,) obtenemos, como se muestra en el apéndiceE,

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( , )

( )

SL SU SU

SU SU Z Z

p p

p p

= Ä

= Ä = Ä

3 3

3 3

2 2 2

2 2

. (17.6.2)

Similarmente, se tiene para los grupos de homotopía de los otros dos grupos posiblesde holonomía,

( ) ( )( ) ( )( , ) ( )Sp R SU SU Zp p p= Ä = =3 3 32 2 2 , (17.6.3)

( ) ( )( , ) ( )SL SU Zp p= =3 32 2 . (17.6.4)

Estas soluciones de difusión se caracterizan por números enteros cuánticos


topológicos n relacionados con el SU(2) de rotaciones, para los tres grupos, y n’relacionado con el SU(2) electromagnético sólo para el grupo G, conocidos como númerosde envoltura o devanado. En todos los casos las soluciones de difusión se caracterizanpor un número topológico, el devanado n y en particular las soluciones de difusiónhadrónicas tienen un número topológico adicional n’. Este resultado implica que haysoluciones wn, en que no son equivalentes homotópicamente a w0, e0.

Todas las soluciones de excitación p, e, n con un n dado se pueden asociar entreellas debido al isomorfismo de los grupos de homotopía Z. Esto es una relación deequivalencia. Dos excitaciones p, e, n con el mismo número n están en la misma clasetopológica determinada por el substrato. Cada clase de topología, caracterizada por elnúmero topológico cuántico n define una clase física, una familia de partículas con elmismo devanado, que es respetado por las transiciones al igual que los otros númerosalgebraicos cuánticos s, q, f.

Por ejemplo, la asociación de una solución de cada tipo con cualquier valor n podríaser parte de un esquema general de relaciones etiquetadas por n como sigue,

, , ,

e l

e

l e l l

h p h p hm

m

m tn n n n n n

= = == = == =

0 1 2

0 1 2

0 1 2

, (17.6.5)

entre los niveles de excitación del electrón (propiamente leptones), los niveles deexcitación del neutrino (otros neutrinos) y los niveles de excitación del protón(propiamente hadrones).

Como en nuestra teoría geométrica la única constante que entra es a, el cociente demasas de los estados excitados y el estado fundamental puede resultar en una expresiónrelacionada con esta constante. Es posible que la teoría geométrica pueda suministraruna explicación para la interesante relación aproximada de las masas de los leptones yel electrón,

l

l em m na

æ ö÷ç= + ÷ç ÷ç ÷è øå 4

0

312

. (17.6.6)

Esta ecuación fue propuesta por Barut [23] con n interpretado como el número de pares . Aunque esa interpretación está caracterizada también por el grupo Z, no está claroque las dos interpretaciones sean compatibles.

En todo caso, la posibilidad existe que haya estados excitados que se puedaninterpretar como una partícula compuesta de p, e y n . De hecho, Barut [24] sugirió queel muón podría ser considerado una excitación electromagnética del electrón. Aunquelos detalles son diferentes porque el enfoque de Barut es solamente de naturalezaelectromagnética y el nuestro es una interacción unificada, podríamos hacer la conjeturaque el muón es un estado excitado del electrón con devanado leptónico n=1 .


Similarmente el t sería una excitación con n=2.

17.7. Masas de Excitaciones Geométricas.Si los leptones son excitaciones topológicas debe ser posible calcular sus cocientes

de masas [25] usando los métodos indicados en el capítulo 13. El integrando JG en laecuación (13.2.13), correspondiente a una representación fundamental, es una constantelocal del substrato igual para todo valor de n. El número de estados posibles de unarepresentación fundamental sólo depende del volumen de integración. Físicamente, alintegrar sobre el subespacio CR del espacio de De Sitter C, correspondiente a losestados determinados por observadores inequivalentes por una transformación por L,se ha contado el número de clases de equivalencia L de estados (puntos en elhiperboloide de masa están en la misma clase de equivalencia relativista que el estadode reposo de la representación) en forma local (solo contando los estados localesn=0). Tomando en cuenta las características globales de la excitación topológica querepresentaría a leptones pesados la cuenta ha de ser mas amplia, sobre todos las clasesde equivalencia L de los estados de una excitación de envoltura n. ¿Cuál es el númerode estados para cada valor de n?

Como estamos trabajando en variedades con atlas, la integración sobre el espaciosimétrico K se realiza en las cartas del atlas. En el fibrado principal (E,M,G), la funciónde transición preserva la proyección y actúa, como un elemento del grupo, sobre lafibra que es el grupo de estructura G del fibrado [26]. Para dos entornos U, V en lavariedad base M , que corresponde al espacio tiempo, tenemos las siguientesaplicaciones: homeomorfismos h del fibrado al espacio modelo, funciones de transiciónj entre las cartas e identidad parcial i sobre los puntos mM,

( ) ( )

( ) ( )

U

V

h

U UV V

h

U E U M G

i

V E V M G

j

¾¾ ´

¾¾ ´

. (17.7.1)

La función de transición j actúa como un elemento de G sobre la solución dedifusión entrante, definida en una hipersuperficie homeomorfa a S3, para producir lasolución de difusión saliente. Físicamente j representa una interacción de colisión. Larepresentación activa es la interacción de dos excitaciones observadas por un solo observador.La representación pasiva es la observación de una sola excitación por diferentes observadores.Las funciones de transición no triviales de clase [jn], donde el índice n representa alconjunto de números de envoltura (n, n’), se clasifican por las aplicaciones

( ),S G S SL 3 3 4 . (17.7.2)


Consideremos a G como un fibrado principal (G,K,G+). Las representaciones inducidas,asignadas a puntos mM, son secciones del fibrado asociado a G que tiene por fibrarepresentaciones [L] del grupo de Lorentz que designamos por (D,K,[L],L) como semostró en el capítulo 13. Bajo un cambio de cartas, que representa un cambio deobservadores, la función de transición actúa en el fibrado D sobre la sección JGsobre K, que indicaremos por f(m).

Las funciones de transición pertenecen a las distintas clases determinadas por eltercer grupo de homotopía de G. La clase [jn] se puede expresar usando el productohomotópico en términos de la clase [j1]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nn nj j j j j j j= =0 1 1 1 0 11 2

. (17.7.3)

Esta clase [jn] se puede considerar generada por el producto de n elementosindependientes de la clase [j1] y un elemento de la clase [j0]. Observemos que laaplicación homotópica

( ): , ,h S G K G+3 (17.7.4)

determina esencialmente un envoltorio de subespacios s(m)G, envolturas homeomorfasa esferas S3, dentro de (G,K,G+). Cada una de las clases generadoras j está asociadaglobalmente a un subespacio envuelto generador s en (G,K,G+), adicional y necesario,vinculado al subespacio trivial original por una función de transición. De esta manerala clase [jn] está asociada a la envoltura trivial [s0] y a (n, n’) envolturas adicionales[s1], definidas por la expresión para coordenadas u del punto mM

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ), ,UiV iu m s u m v m s v mj = . (17.7.5)

La excitación no se describe completamente por un subespacio único que corresponderíaa un observador único s(m) en la representación pasiva. Por razones globales debemosaceptar la presencia de tantas imágenes de subespacios generadores en la carta notrivial como envolturas haya. Sin embargo, algunas de las envolturas pueden ser equivalentesbajo el subgrupo de interés. Para el subfibrado trivial G hay una sola envoltura independientes0, la envoltura trivial (n=0), porque los subespacios sn son equivalentes bajo una transformaciónpor G. Para otros subfibrados una subálgebra tridimensional su(2), que actúa sobre el fibradodel grupo completo G, genera transformaciones de los subfibrados P y L que no son equivalentesbajo el subgrupo correspondiente. Se pueden generar hasta tres envolturas si(m) en subfibradosPi o Li que sean geométricamente independientes. Cualquier otra envoltura puede obtenersepor alguna combinación de tres transformaciones en Pi o Li. Por esta razón el número de envolturasindependientes si en fibrados P o L es n2 y determina tres, y solo tres, familias de excitaciones.


17.7.1. Masas Leptónicas.Las acciones de los n+1 subespacios si(m)Pi (0in) sobre una representación de

Lorentz sobre C, la sección f del fibrado (D,C,[L],L),

( ):f m C D , (17.7.6)

aplican la fibra p-1 sobre c en las fibras p-1 sobre sic por transformaciones lineales li[27],

( ) ( )( ) ( ) ( )( ):i is m c m s m c mp p- -1 1 , (17.7.7)

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,i i i is m f m c m l s m f m s m c m= , (17.7.8)

que determinan un conjunto de n+1 imágenes de f, secciones envueltas independientesfi en la carta no trivial, una para cada envoltura independiente,

( ) :if m C D , (17.7.9)

( ) ( ) ( )i i i i if s c l s f s cº . (17.7.10)

Las representaciones de Lorentz fi(sic) pueden ser independientes de cualquier otra fa(sac).Por lo tanto, los estados físicamente posibles de una excitación envuelta de clase [jn]corresponden 1a 1 a las clases de equivalencia L de los estados determinados en cadauna de las n+1 imágenes de secciones fi. Si usamos la representación pasiva, en cadaimagen exis ten coordenadas de impulso k i

m re la t ivas a l observador local icorrespondiente, estados físicamente independientes entre sí. La integración debehacerse sobre todas las variables independientes k0

m,k1m,...kn

m o sea sobre el conjuntode espacios equivalentes a CR contenidos en un producto de n+1 espacios de De Sitter C.

Como se indicó anteriormente para las soluciones de substrato, el integrando JG,correspondiente a una representación fundamental, es una constante local igual paratodos los valores de n. Las masas desnudas quedan determinadas por los volúmenes deintegración. Designemos el espacio de integración que soporta a fi(m) como C*, igual alproducto de n+1 copias del espacio CR original, correspondientes a las n+1 envolturasobservadas

( )* n

RC C+= 1

. (17.7.11)

Para el caso trivial (n=0) el cálculo es estrictamente local, no es necesario considerarcartas envueltas y la integración sobre CR se puede hacer localmente en cualquier cartade la clase trivial. El subespacio s0 se determina por el observador local.


Para estados envueltos (n0) estamos obligados a utilizar las funciones de transiciónno triviales [jn], con envoltura no nula n0, que relacionan una carta envuelta declase [n] con la carta trivial. Por lo tanto es necesario considerar simultáneamente(globalmente) este par de clases de cartas asociadas a las soluciones de difusión entrantey saliente respectivamente. Físicamente es necesario considerar todas las clases deequivalencia L de los estados posibles de acuerdo a observadores relacionados conlas cartas no triviales obtenidas de la carta trivial. Por lo tanto, para la clase [n0] esnecesario integrar sobre todas las cartas posibles con secciones “globalmente envueltas”,producidas por la acción de las funciones de transición. En este caso la función de transiciónpuede ser cualquier elemento del grupo P. Restrinjamos la integración a aquellas cartas notriviales que sean inequivalentes bajo una transformación relativista L. El número de posiblescartas corresponde al volumen del subespacio P/L de clases de L-equivalencia CR.

Las excitaciones lineales topológicas se generan por la acción infinitesimal lineal del dife-rencial j* de la función de transición j que representa la interacción en t=0 . Al restringir lasfunciones de transición a elementos del subgrupo P,

( )UhV V V P¾¾ = ´ , (17.7.12)

debemos considerar solamente el efecto de la aplicación diferencial j*. El subespacio impar delálgebra P, como diferencial, genera el cociente C. El único generador inequivalente a una impulsiónL es el generador compacto u(1). La acción diferencial produce un espacio menor de clases deL-equivalencia. Si designamos el subgrupo compacto U(1)SU(2) de P por H, se tiene elcociente incompacto BC

PB

H= . (17.7.13)

El grupo P puede expresarse como un fibrado principal (P,B,H) sobre B. Si inyectamosL en P, la imagen del subgrupo de rotaciones de L debe ser el subgrupo SU(2) de H perola imagen del sector “impulsión” de L no queda unívocamente definida dentro de B. Elgrupo L actúa en P preservando su imagen en P. La subálgebra u(1) de H actúa en B,como traslación dentro de P, aplicando el subespacio C de B a otro subespacio C’ de Bque es P-equivalente a C. Sin embargo C´ no es L-equivalente a C. Por lo tanto, losestados inequivalentes por L posibles corresponden a la acción de traslación por elsubgrupo compacto U(1) no relacionado con el SU(2) de rotaciones. El número declases de equivalencia L de estas cartas posibles, sobre las cuales hay que integrar,queda determinado por el volumen de este grupo U(1) electromagnético. El espacioenvuelto total CT para una n-excitación (n0) es el espacio formado por todos losposibles espacios C* trasladados, inequivalentes relativisticamente,

( ) *TC U C= ´1 . (17.7.14)

El número de estados (diferentes valores de k) es, por lo tanto, proporcional al volumen


de este espacio total CT, que se puede calcular,

( ) ( )( ) ( )( ) nTRV C V U V C n

+= ´ ¹

11 0 . (17.7.15)

La masa desnuda de la excitación trivial (n=0) que es el electrón, según cálculoanteriormente indicado, es proporcional al volumen de CR [28]

( )RV Cp

=16

3 . (17.7.16)

Las masas desnudas correspondientes a las n-excitaciones (n0) son proporcionalesa los volúmenes

( ) n

TV C np

p+æ ö÷ç= < £÷ç ÷çè ø

1164 0 23

, (17.7.17)

que pueden expresarse en función de la masa desnuda del electrón m0,

n

nmn

mp

pæ ö÷ç= < £÷ç ÷çè ø0

16 4 0 23

. (17.7.18)

Para excitaciones con envolturas 1 y 2 tenemos

( ) . .R

m mV C

m mt

m

p= = = » =2

1

16 16 75516 16 8183

, (17.7.19)

( )

. .

. Mev

m m

m Om

pp

a

æ ö÷ç= = ´÷ç ÷çè ø

= » +

1 016 4 0 5109989 210 5516

3107 5916 , (17.7.20)

( )

. .

. Mev

m m

m Ot

pp

a

æ ö÷ç= = ´÷ç ÷çè ø

= » +

2

2 016 4 0 5109989 3527 825

31802 7 , (17.7.21)

que corresponden a las masas desnudas de los leptones m y t, debidas a la interacciónelectromagnética U(1). Debemos aplicar energías de corrección de orden superior a mi, causadaspor la interacción electromagnética U(1) del electrón en la excitación topológica. Para el subfibrado


L podemos hacer un cálculo similar. Las masas desnudas de los neutrinos de las 3 familias seanulan debido a que el volumen del espacio cociente L/L es cero, como se indica en lasección 13.4. Nos referiremos a estas excitaciones topológicas, respectivamente, comoexcitaciones TnP y excitaciones TnL.

17.7.2. Masas Mesónicas.Las transformaciones de cartas bajo funciones de transición generales G trasladan, dentro

de G, la región CR de integración. Los únicos estados L-inequivalentes adicionales posibles,corresponden a la acción de sectores compactos de grupos. Para hallar las diferentes posibili-dades consideremos las dos cadenas relacionadas de espacios simétricos en G, no relacionadoscon L

( ) ( )

( ) ( )

R RG K C I

SU SU U U I

É É É

È È È

É É É2 2 1 1 . (17.7.22)

Los subespacios simétricos compactos CR y KR, respectivamente, contienen uno y dossubgrupos electromagnéticos U(1) de los tres subgrupos U(1) equivalentes contenidos en elSU(2) electromagnético. Notamos que un U(1) es común a ambos subespacios. Estamos intere-sados en extender la traslación dentro de G, mas allá de las funciones de transición U(1),adjuntando sectores compactos. La interpretación física es que estas excitaciones están sujetasa interacciones ilineales adicionales que incrementan la energía y por lo tanto sus masas. De lamisma manera que un movimiento relativista observable aumenta la masa estática a una masacinética, una interacción relativista observable aumenta la masa libre a una masa dinámica. Esteefecto relativista, incluido en la definición de masa, se realiza por la acción de las funciones detransición en t=0.

Para excitaciones topológicas n0 las funciones de transición se pueden extender de U(1)a CR. La interpretación física es que estas excitaciones topológicas están sometidas a las inte-racciones electrodébiles ilineales adicionales en un sistema P leptónico. Decimos que las exci-taciones están «enmascaradas» por las interacciones electrodébiles ilineales. Las expresionesde la masa para las clases [n0] de excitaciones enmascaradas deben ser multiplicadas por elvolumen del subespacio completo correspondiente de clases de L-equivalencia V(CR) en vez depor su subespacio V(U(1)). La energía de interacción débil adquirida por las excitaciones ncorresponde al producto de los valores de las ecuaciones (17.7.20) y (17.7.21) por el cociente delos volúmenes,

( )( )( )

.RV Cm mm mV U

p

m

¢= = » =1

1

4 1 32095731

. (17.7.23)

Si usamos los valores experimentales de las masas de los leptones, obtenemos las


masas geométricas enmascaradas,

( ). Mev m m Op a¢ = » +1 140 8778 , (17.7.24)

( ) Mev fm m O a¢ = » +2 2369 . (17.7,25)

Nos referiremos a estas excitaciones topológicas enmascaradas por CR (con interacciones elec-trodébiles) como excitaciones TnPC. Las excitaciones TnPC pueden considerarse componentesde los mesones. En particular, un muón enmascarado m’ o excitación T1PC, ligado a una excita-ción T1L de baja energía, tiene la masa y otras propiedades del pión p.

Para excitaciones topológicas n0 las funciones de transición pueden ser extendidas masallá de CR para incluir el sector de KR correspondiente a ambos subgrupos U(1) en KR, que es unsector compacto SU(2)/U(1) que puede ser identificado con la esfera S2. La interpretación físicaes que estas excitaciones están sometidas a la interacción fuerte electromagnética S2 adicionalde un sistema G hadrónico. La parametrización de espacios de grupo y sus cocientes simétricoses, en gran medida, arbitraria. Ellas aplican diferentes puntos en el álgebra lineal de Lie a lamisma operación grupal. Como ambos subgrupos U(1) equivalentes en S2 tienen la mismasignificación debido a la simetría de S2, ambos deben contribuir equitativamente al volumeninvariante de S2 y es conveniente escoger una parametrización que explícitamente muestre estehecho. Una parametrización que cumple esto es

( ) ( ) ( )( ) exp exp exp ( )SU J J J Ua a a S S+ + - - + -= =3 32 1 , (17.7.26)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )V SU V V U V Vp S S p S+ - += = =2 22 16 1 4 . (17.7.27)

Adjuntemos el subespacio de grupo SKR, definido por la expresión en la ecuación (17.7.26),al subespacio CR. Debido a la integración extendida en S, las excitaciones n adquieren unaenergía de interacción fuerte correspondiente al cociente de los volúmenes

( )( )

( ) ( ) . .R K

R

V Cm mV

m V C mp

SS p

¢¢= = = = » =

¢121

1

4 3 5449 3 5371 . (17.7.28)

Se obtienen las masas geométricas para n=1 y n=2,

( ) ( ) ( ). Mev m m V m m Op p KS p a¢¢= = = = +12

1 4 494 76 , (17.7.29)

( ) ( ) Mev K

mm m V m m

mt

m

pS p

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷¢¢ ¢ ¢ ç= = » =÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ÷çè ø

12

2 2 116 4 8303

3. (17.7.30)

Estas excitaciones no están contenidas en el sector P definido por la envoltura n=0, sino por


una combinación de sectores P inequivalentes dentro de G. Por lo tanto, estrictamente, notienen excitaciones P constitutivas apropiadas. Nos referiremos a estas excitaciones topológi-cas enmascaradas por S (con interacciones fuertes) como excitaciones TnPS. En particular, unmuón enmascarado m’’ o excitación T1PS, ligado a una excitación T1L de baja energía por lainteracción fuerte, tiene la masa y otras propiedades del kaón K.

La interpretación física de estos leptones enmascarados sugiere que las excitaciones geomé-tricas correspondientes se pueden combinar para formar pares de excitaciones que se interpre-ten como partículas. De acuerdo a esta interpretación, las combinaciones bajo interaccionesnucleares sólo son posibles si hay, por lo menos, un leptón enmascarado. Tomemos los lepto-nes topológicos n=1 y construyamos un doblete l de un grupo combinatorio cSU(2) asociandoun muón enmascarado y un leptón estable. Debemos indicar que la conjugación en el álgebrageométrica, que es equivalente a la operación dual en sp(4,), no es la operación dual en csu(2).Tanto l y su conjugado son representaciones fundamentales 2 de csu(2). El producto es

Ä = Å2 2 3 1 . (17.7.31)La primera posibilidad es que m sea un muon débilmente enmascarado m’, parte del sistema

leptónico (m’, n) o doblete de SU(2) caracterizado por la carga Q y el número muónico Lm.Obtenemos la amplitud para la representación p:

( ) ( )( ), , , ,

, ,

xm n m n p p p

nm m m nn m n m m nn

- +é ùé ù é ù¢ ¢Ä º Åê úë û ë û ë ûé ù¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= - Å +ê úë û

0

1 12 2

. (17.7.32)

La única otra posibilidad es la combinación mas compleja donde el muon está fuertementeenmascarado m’’. En adición al acoplamiento a n, como m’’ muestra una interacción fuerteelectromagnética S2, m’’ también se acopla fuertemente al electrón e, formando dos sistemashadrónicos SU(2) relacionados. Podemos substituir n por e como el compañero del dobleteleptonico. Obtenemos la amplitud para la representación K:

( ) ( )( ), , , ,

, ,

L Lxm n m n K K K

nm m m nn m n m m nn

- +é ùé ù é ù¢¢ ¢¢ ¢Ä º Åê úë û ë û ë ûé ù¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= - Å +ê úë û

1 12 2

, (17.7.33)

( ) ( )( ), , , ,

, ,

s Se e x

e ee e ee

m m K K K

m m m m m m

é ùé ù é ù¢¢ ¢¢ ¢Ä º Åê úë û ë û ë ûé ù¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= - Å +ê úë û

0 0

1 12 2

. (17.7.34)

Las masas de estas partículas geométricas p y K son iguales a las masas de los estadosbases pertenecientes a la representación producto de estas representaciones. Sus masas geomé-tricas, determinadas esencialmente por la masa del componente principal o leptón pesado en-mascarado según las ecuaciones (17.7.24) y (17.7.29), corresponden aproximadamente a todas


las masas de los piones y kaones físicos. Podemos definir también

( ) ( )L Sx x x eem m nn h¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢= + = + + º1 122

2 , (17.7.35)

( )x x h¢+ º12 . (17.7.36)

Estas definiciones corresponden a partículas físicas cuyas masas geométricas, determinadasesencialmente por la masa del leptón pesado enmascarado, son aproximadamente,

( ) Mev . Mevxm O mha¢ ¢» + » =990 957 8 (17.7.37)

y usado el valor experimental de mh’,

( ) Mev . Mevxm O mha» + » =549 547 3 . (17.7.38)

Estos resultados sugieren una simetría mayor aproximada de la combinación pK, que puedeser la contenida en la representación seudoescalar de mesones como se indica en la figura 5. Enotras palabras, los mesones escalares pueden considerarse pares de leptón y antileptón, comosugirió Barut [29].

Adicionalmente a las propias excitaciones topológicas P, recién discutidas, podemos consi-derar excitaciones dentro de G. Para excitaciones P, [n=0], consideradas en G, hay un conjuntode subespacios C que corresponden a las infinitas maneras de escoger PG, en vez del único Cdefinido para un electrón PP. Estos espacios C adicionales no son P-equivalentes y deben serincluidos en la integración. Para una triple interacción electromagnética hay tantos espacios Ccomo subgrupos U(1) dentro de SU(2), en otras palabras, tantos como puntos hay en la esferaSU(2)/U(1). El volumen de integración debe ser multiplicado por 4p. Lo mismo pasa con lasexcitaciones L. En otras palabras, las masas m0 de subexcitaciones leptónicas de clase [n=0],presentes en un sistema G hadrónico, están enmascaradas por las interacciones fuertes ilineales.Nos referiremos a estas excitaciones enmascaradas por S2 (con interacciones fuertes) comosubexcitaciones GS. Los valores de las masas geométricas de las subexcitaciones GS correspon-dientes a las excitaciones leptónicas fundamentales son 4p veces los valores anteriores de masaleptónicas geométrica,

( ) ( ), , , , , . , , . , , . , Gevem e m tn m n t n¢¢¢ = 0 00641 0 1 77 0 29 9 0 . (17.7.39)

Las excitaciones enmascaradas están caracterizadas por los mismos números cuánticos quecaracterizan la excitación externa libre pero el valor de la masa enmascarada incluye el aumentode energía debido otras interacciones. Si las excitaciones enmascaradas fueran eyectadas(inyectadas) desde (hacia) un sistema G ellas perderían (ganarían) la energía debida a lasinteracciones adicionales, y saldrían (entrarían) con los valores de masa geométrica desnuda,como leptones libres normales. No hay partículas libres observables con estas masas enmasca-radas. Experimentalmente la masa enmascarada nunca sería detectada por métodos de largoalcance. Estas excitaciones leptónicas enmascaradas se comportan como los quarkios.


En particular, las subexcitaciones GS corresponden, una a una, a los leptones. Estas subex-citaciones GS determinan un espacio hexadimensional. En consecuencia cualquier otra subexci-tación GS geométrica posible se puede expresar como una superposición lineal de estas subex-citaciones geométricas enmascaradas fundamentales. En contraposición podemos interpretaralgunas de estas subexcitaciones como estados quarkios. La estructura de las subexcitacionesleptónicas enmascaradas es geométricamente equivalente a la estructura física de los quarkios.Por ejemplo, una superposición de 2 electrones enmascarados e a bajas velocidades mas 1neutrino enmascarado ne tiene 2/3 de carga y 4.2 Mev de masa total invariante y se puedeinterpretar como un quarkio u. Similarmente una superposición de 2 muones enmascarados m abajas velocidades mas 1 neutrino enmascarado nm de baja energía tiene 2/3 de carga y 1.2 Gevde masa total. Debe indicarse que, si los quarkios libres no son observables, toda informaciónexperimental acerca de sus masas viene de estados quarkios ligados (resonancias de mesón) ydebe depender de alguna manera en argumentos teóricos acerca de estos estados. No existe elproblema de confinamiento de quarkios.

17.8. Modelo de Barut.Como se mostró en la sección 17.4, un protón contiene subexcitaciones leptónicas. Podría-

mos considerar que existen subexcitaciones GS dentro de los hadrones. De esta manera podría-mos identificar seis sabores de excitaciones geométricas leptónicas enmascaradas dentro detodos los hadrones, suministrando una estructura equivalente a la de quarkios con sabores.También hay otra estructura triple asociada a las representaciones duales, indicada también enesa sección, que puede en principio suministrar otra estructura de quarkios. Sin embargo hemosdicho que la dualidad es solo una estructura matemática dual necesaria pero equivalente. Además,el problema estadístico del espín no existe con estos componentes geométricos y no haynecesidad de un grado de libertad adicional (color). Por otro lado, Barut ha sugerido [29, 30, 31,32, 33] un proceso para construir las partículas en términos de las partículas estables y el muón.Por lo tanto, parece mejor constituir excitaciones geométricas que representen a las partículaspartiendo de las excitaciones geométricas fundamentales G (el protón), P (el electrón) y L (elneutrino), junto con las excitaciones leptónicas enmascaradas TnPS que interactúan fuertemente.En esta sección los símbolos m, m’, m” y t representan a leptones enmascarados, que soninestables. En una escala hadrónica de tiempo un muón débilmente enmascarado se consideraestable y se puede representar aquí por sus componentes estables ee .

Para adaptar nuestro modelo geométrico al modelo de Barut, establezcamos que losnúmeros cuánticos de una excitación corresponden a los números cuánticos de suscomponentes. De esta manera, siguiendo la idea de Barut, se define la carga de una excitacióncomo el número neto de cuantos de carga de sus excitaciones componentes,

p eQ N N= - . (17.8.1)

Similarmente, el número bariónico (atómico) de una excitación es el número de excitacionesconstitutivas G, representativas de protones p,


pA Nº (17.8.2)

y el número leptónico de una excitación es el número de excitaciones constitutivas P y L, enclases n de acuerdo a sus estados topológicos excitados Tn, representativas de los leptonesfundamentales e, n,

eL N N nº + . (17.8.3)

En un sistema hadrónico de excitaciones la extrañeza es el número de muones componentesm, enmascarados por la interacción fuerte, capaces de una excitación T1PS o m’’,

S N m- º (17.8.4)

y, similarmente, la belleza es el número de leptones componentes t fuertemente enmascaradoscapaces de excitaciones T2PS,

B N tº . (17.8.5)

Octeto bariónico J P 12

Figura 5

p

pe

p

0 p

0 p

n pe

0 p e

pe

0 p

0 p


El encanto y la verdad son, respectivamente, el número de excitaciones componentes T1L yT2L, representativas de neutrinos nm y nt,

( )C Nn mº , (17.8.6)

( )T Nn tº . (17.8.7)

El espín isotópico depende del número de excitaciones estables constitutivas G, P y L,representativas de protones p, electrones e y neutrinos n, de la manera siguiente,

p eI N N N nº - +32 . (17.8.8)

De estas definiciones es posible derivar la fórmula de Gell-Mann, Nakano y Nishijima,

( )Q I A S= + +13 2 . (17.8.9)

y definir la hipercarga fuerte

Octeto mesónico seudoescalar J P 0

Figura 6

e e 16

0K e K

K 0K e

0 e e

12 2

12

2 e e

0 12


Y A Sº + . (17.8.10)En adición a estas definiciones de Barut, es también posible definir geométricamente lahipercarga débil para una P-excitación en términos del número leptónico y la rareza [34]del elemento algebraico representativo,

( )y L rº - + . (17.8.11)

Los estados hadrónicos incluyen protones. En la figura 4 se muestran los estadosdel octeto bariónico JP=1/2+ y en la figura 6 los estados del décuplo bariónico JP=3/2+.Los estados mesónicos son estados ligados de dos leptones como se indican en elocteto mesónico JP=0- de la figura 5.

Adicionalmente, la teoría geométrica permite una discusión de la interacción cuánticaaproximada entre dos estados de excitaciones leptónicas enmascaradas, o estados quarkios,

Décuplo bariónico J P 32

Figura 7

p e

p

pe e 0 pe p pe

0 p e

pe p e

0 p

0 p


que formen un sistema (¿quarkonio?). Podemos especular que el potencial efectivo norelativista sea similar al de CDC (QCD) porque hay similitudes matemáticas entre lasteorías. Si este fuese el caso (tiene que ser demostrado) el potencial efectivo sería [35]

( ) aV r kr

r= - + (17.8.12)

y se podrían ajustar los niveles excitados experimentales de Y como se hace en CDC.Las excitaciones de una base completa tienen propiedades protónicas. Dentro de la

teoría geométrica, las excitaciones de quarkios no son parte fundamental de la materia.Ellas son subexcitaciones útiles y necesarias en la descripción de una serie deexcitaciones hadrónicas.

17.9. Relación con la Teoría de Partículas.La triple estructura geométrica determina varias estructuras compatibles con la descripción

de quarkios. Encima de esta geometría, como se hace en el modelo estándar sobre lageometría de la relatividad especial, es posible añadir una estructura aproximada paraayudar a entender fenológicamente las partículas físicas. Se conoce que los núcleospesados pueden entenderse parcialmente usando los grupos SU(N), U(N), O(N) paraasociar protones y neutrones en una forma dinámica simétrica o supersimétrica [36].Esto es, esencialmente, el uso de teoría de grupos para estudiar las combinaciones delas dos partes fundamentales, protones y neutrones, que se suponen forman los núcleos.De la misma manera podemos usar ciertos grupos para describir las combinaciones delos tres objetos geométricos fundamentales introducidos por la geometría física,protones, electrones y neutrinos que se suponen forman otras partículas.

Nos interesa combinar excitaciones de G, P y L. Añadiremos L-excitaciones a P-excitaciones y estas, posteriormente, a G-excitaciones. Como se indicó en la sección3.7, esta combinación no es unívoca sino que depende de la identificación de unsubgrupo H con un subespacio en el espacio fibrado del grupo G. Cualquier generadorincompacto es equivalente a una impulsión o simetría externa, por la acción adjunta deun generador compacto. De esta manera, los generadores compactos generan unasimetría interna en la combinación de excitaciones.

En particular, la identificación de L dentro de P no es unívoca. El grupo L puedeexpresarse como un fibrado principal (L,3B,S), donde la fibra S es el SU(2)R asociado alas rotaciones y 3B es el espacio simétrico tridimensional de impulsiones,

( , )( )R

SLB

SU=3 2

2

. (17.9.1)

El grupo P se puede expresar como el fibrado principal (P,6B,SU(1)) donde 6B es elespacio simétrico hexadimensional de impulsiones dobles,


( , )( ) ( )R Q

SpB

SU U=

Ä6 4

2 1

. (17.9.2)

El espacio de impulsiones de L (generadores pares), escogido dentro de P, depende dela acción del grupo U(1) en la fibra de P, generado por k0, una rotación dentro del sectorde impulsión doble en P.

[ ],k k k k=0 1 0 12 . (17.9.3)

Matemáticamente esto corresponde a la acción adjunta del único generador compactoen el cociente impar P/L.

Similarmente, la identificación de P dentro de G tampoco es unívoca. El grupo Gpuede expresarse como el fibrado (G,9B,SQ) donde Q es el SU(2)Q asociado a la cargay 9B es el espacio simétrico nonadimensional de impulsiones triples,

( , )( ) ( )R Q

SLB

SU SU=

Ä9 4

2 2

. (17.9.4)

La selección del sector de impulsiones de L y P dentro de G depende de la acción delSU(2) en la fibra de G, generado por los generadores compactos electromagnéticos.Matemáticamente esto corresponde a la acción de todos los generadores compactos enel cociente G/L. La simetría interna total de identificar primero LP y entonces (LP)Ges el producto de los dos grupos. Por lo tanto, hay una acción de simetría interna de ungrupo igual a SU(2)U(1), pero diferente de los subgrupos de G, en la identificación delos subgrupos en la cadena GPL.

Hay una simetría inducida en las combinaciones de excitaciones de L y P sobreexcitaciones de G correspondientes a esta simetría SU(2)U(1). La acción de este grupocombinatorio se puede interpretar como la determinación de las combinaciones posiblesde excitaciones L y P para dar sabor a los estados de excitaciones de G y P y asírelacionarse con las interacciones débiles.

Este grupo SU(2)F relaciona estados de P-excitaciones equivalentes a electrones oestados de L-excitaciones equivalentes a neutrinos. Claramente, a energíassuficientemente al tas la masa de cualquier exci tación parece muy pequeñacinemáticamente y sus efectos sobre los resultados son desviaciones pequeñas deaquellos que se obtienen para excitaciones de masa cero, que siempre corresponden aalguna L-excitación del subgrupo par. Por esta razón, a altas energías, la parte par(parte izquierda) de una P-excitación se puede relacionar con una L-excitación (par) poruna transformación SU(2). Ambas excitaciones leptónicas físicas, correspondientes ala parte par e+ o e0 y n, pueden ser consideradas miembros de un binomio (doblete),etiquetado por rareza 0 o hipercarga débil -1, mientras que la parte impar e- o e1 es amonomio etiquetado por rareza 1 o hipercarga débil -2. Esta asociación de interaccióndébil de leptones en estados de hipercarga tiene la simetría aproximada SU(2)F. En


adición, hay una orientación indeterminada de L1 dentro de G que depende de la acciónde SU(2)U(1). Bajo este enfoque, el potencial electromagnético físico estándar A, laconexión de U+(1) en SL1(2,), tiene un ángulo de orientación dentro del SU(2)U(1)quiral que debe estar relacionado con el ángulo polar Q en la ec. (14.4.8).

Como nuestra descripción puede hacerse en términos de la representación protóno, equivalentemente, en términos de su representación dual quarkia como se indicóen la sección 17.7.4, podemos obtener realizaciones duales complementarias de lasrelaciones entre diferentes resultados experimentales. Estas son realmente diferentespercepciones o cuadros de la misma realidad física de la materia. El protón o G-excitacióntiene estructura de quarkios: se comporta como formado por tres puntos. Usando larepresentación quarkia para construir otras partículas, podemos considerar que, en G,los 3 estados quarkios subtienden un subespacio bidimensional de Cartan. Hay unasimetría combinatoria unitaria, SU(3), relacionada con este subespacio de un espacio A3

de Cartan, que puede interpretarse como el color de las combinaciones de estados de Gy así relacionarse con interacciones fuertes. Los estados de G-excitaciones exhibenuna simetría SU(3)C.

De esta manera, la geometría física determina una simetría combinatoria internaaproximada caracterizada por el grupo combinatorio de simetría SC.

( ) ( ) ( )C C FS SU SU U= Ä Ä3 2 1 . (17.9.5)

Si la probabilidad de combinación se propagase infinitesimalmente por una conexión,tenemos los elementos de un modelo cuasiestándar para altas energías. Podemos esperarla aparición de resonancias de gran masa a energías altas. Queda claro que para obtenerel potencial electromagnético a bajas energías, la parte quiral de esta simetría internacombinatoria fenomenológica debe romperse.

El modelo estándar se construye de ciertos aspectos generales de los resultadosexperimentales. En particular las transformaciones de SU(3), entre un triplete decomponentes, o el modelo quarkio-parton [37, 38], y las transformaciones de SU(2)L delas partes quirales de un doblete, o la teoría electrodébil [39, 40], son los puntos departida del modelo [41]. Como estos aspectos están presentes en la geometría física,como se mostró en las secciones anteriores, tenemos la posibilidad real de construir unmodelo “cuasiestándar” sobre esta geometría. Los grupos combinatorios realmenterelacionarían estados asintóticos discretos, entrantes y salientes, en una teoría dedifusión de las excitaciones. Es posible, en una forma aproximada, “calibrar” estosgrupos en una teoría dinámica aproximada. Teóricamente, la evolución infinitesimal delos sistemas físicos o dinámica se determina por los generadores de SL(4,) de acuerdocon las ecuaciones de la teoría, pero las soluciones de difusión deben mostrar simetríasrelacionadas con el grupo combinatorio.

Sin embargo, existe otra alternativa al enfoque indicado en los párrafos anteriores. Puede sermejor continuar el desarrollo de este modelo geométrico dejando que la estructura matemática(geometría) nos guíe, como Dirac sugirió alguna vez, sin imponer otros modelos preconcebidos.Combinamos las L-excitaciones, P-excitaciones y G-excitaciones usando consideraciones ma-


temáticas y físicas. Cualquier subgrupo HG determina geométricamente un fibrado (G,G/H,H,U).El grupo de estructura U del fibrado no puede identificarse, unívoca y matemáticamente, con unsubespacio H fijo en G. Él actúa en cada subespacio equivalente H, mientras la fibra se transpor-ta a través del espacio G/H, y representa una clase de equivalencia de subespacios. Interpreta-mos U como un grupo diferente isomorfo a cada H. Matemáticamente, esto implica que lascombinaciones de la cadena de subgrupos GPL se realicen como productos directos. Sinembargo desde punto de vista físico reconocemos que todos los subgrupos de esta cadenaestán relacionados. El subgrupo compacto SU(2)R en L, P y G se interpreta como rotacionesespaciales externas. Los otros dos subgrupos compactos en P y G son U(1) y SU(2)Q y seinterpretan como rotaciones electromagnéticas internas. El sector complementario incompactose interpreta como impulsiones generalizadas (internas). Físicamente esto implica que los nú-meros cuánticos del producto de representaciones en la cadena GPL obedezcan una reglade adición. Como se indicó in las secciones 17.7 y 16.3, las combinaciones de excitacionesparecen determinar las masas, momentos magnéticos, números cuánticos, etc. de partículasfísicas. El neutrón y el pión corresponderían, respectivamente, a las combinacionesfundamentales de las cadenas GPL y PL.

Las construcciones discutidas en esta sección deben compartir ciertos aspectos y resul-tados con el modelo estándar mientras que habría diferencias en algunos otros aspec-tos. Debido a la variedad de resultados experimentales en la física de partículas, no estáclaro en este momento, como se compararían estas diferencias con los experimentos,particularmente porque las ideas geométricas y el grupo SL(4,) [42] podrían introducirun reordenamiento de los resultados experimentales. Esto podría ser un programa arealizar. Es cierto que el modelo estándar ha tenido triunfos, pero esto no implica queno exista una manera mejor de clasificar los resultados físicos.

17.10. Resumen.La triple estructura geométrica determina varias estructuras físicas triples en la clasificación

de partículas. La teoría geométrica unificada representa interacciones que pueden clasificarseen tres clases por los grupos dinámicos de holonomía de las conexiones físicas posibles. Lastres clases corresponden a las interacciones gravitacionales, electrodébiles y fuertes.

Las soluciones de las tres ecuaciones de excitaciones de poliadas correspondientes, querepresentan la materia, poseen números cuánticos algebraicos y topológicos. Los númerosalgebraicos corresponden a la carga eléctrica, el espín y el flujo magnético. Los números topo-lógicos corresponden a números de envoltura (devanado) de niveles superiores de excitaciónque definen tres familias de excitaciones leptónicas de 2 miembros.

Usando estos números, cocientes de masa calculados y otras propiedades, se identificantres clases de excitaciones fundamentales, correspondientes a las tres únicas partículas esta-bles: el neutrino, el electrón y el protón. Las masas y los momentos magnéticos calculadosconcuerdan con los valores experimentales. La combinación fundamental de estas tres excita-ciones tiene un momento magnético calculado que concuerda con el valor experimental delmomento magnético del neutrón. Los valores de masas y momentos magnéticos de las 6 excita-


References

1 G. González-Martín, ArXiv 0712.1538, (2007). 2 G. González-Martín, ArXiv physics/0405097, (2004). 3 J. C. Taylor, Gauge Theories of Weak Interactions (Cambridge Univ. Press, Cambridge),

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Phys. Austriaca, Supl. (1981).10 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea el capítulo 7.11 G. González-Martín, ArXiv cond-mat/0009181, (2000). Vea el capítulo 11.12 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.13 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, (2000). Vea el capítulo 13.14 G. González-Martín, ArXiv physics/0405126, (2004). Vea el capítulo 16.15 G. González-Martín, ArXiv physics/0712,1531, (2007). Vea el capítulo 16.16 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley

and Sons, New York), p.188 (1974).17 Vea la sección 2.6.1.18 G. González-Martín, ArXiv physics/0009045, (2000), Vea el capítulo 14.

ciones topológicas concuerdan con los de los leptones.El pión, el kaón y otros mesones se pueden considerar como sistemas de dos leptones

enmascarados. Las masas de los mesones pseudoescalares se pueden entender como las masasde los estados bases de la representación producto de dos representaciones fundamentales deleptones enmascarados. La geometría determina el espectro de masas de los estados base de lasexcitaciones geométricas, que para masas pequeñas, esencialmente concuerda con el espectrode masas de partículas físicas. Es posible clasificar las partículas en términos de las partículasestables: el protón, el electrón y el neutrino (p, e, n), junto con las excitaciones leptónicas.

El protón muestra una estructura triple en términos de subexcitaciones que geométricamen-te corresponden a estas excitaciones leptónicas. Se identifican estos seis tipos de subexcitacio-nes geométricas leptónicas “enmascaradas” dentro de todos los hadrones, suministrando unaestructura geométricamente equivalente a la de quarkios con sabores.

Las interacciones sentidas por estas excitaciones concuerdan con el esquema de clasifica-ción general de las partículas en neutrinos, leptones y hadrones. Las combinaciones de lasexcitaciones fundamentales exhiben una simetría SU(3)SU(2)U(1).


19 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)p. 137 (1962).

20 G. F. Chew, S. C. Frautschi, Phys. Rev. Lett. 7, 394 (1961).21 M. Carmelli, Ann: Phys. 71, 603 (1972).22 R. E. Marshak, Conceptual Foundations of Modern Particle Physics, (World

ScientificSingapore) ch. 10 (1993).23 A. O. Barut, Phys. Rev. Lett. B42, 1251 (1979).24 A. O. Barut, Phys. Lett. B73, 310 (1978).25 G. González-Martín, ArXiv physics/0405097, (2004).26 Vea el apéndice E.27 R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) p. 53 (1966).28 Vea el capítulo 1229 A. O. Barut, Surv. High Energy Phys. 1, 113 (1980).30 A. O. Barut, in Lecture notes in Physics, 94, (Springer, Berlin) (1979).31 A. O. Barut, Quantum Theory and Structure of Space-time, 5, L. Castell et al, eds.

(Hauser, Munich) (1983).32 A. O. Barut, Physics Reports, 172, 1 (1989).33 W. T. Grandy, Found. of Phys. 23, 439 (1993).34 Vea 23 apéndice A, sección A2.35 E. Eichen, K. Gottfried, T. Kinoshita, K. Lane, T. Yan, Phys. Rev. D21, 203 (1980).36 A. Arima, F. Iachello, Phys. Rev. Lett., 25, 1069 (1974).37 M. Gell-Mann, Phys. Lett. 8, 214 (1964).38 G. Zweig, CERN Report 8182/Th. 401 (unpublished) (1964).39 S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967).40 A. Salam, in Elementary Particle Theory, ed. N. Swartholm (Almquist and Wissell,

Stockholm) (1968).41 S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, (Cambridge Univ. Press, Cambridge)

V. 2, 384 (1996).42 Y. Ne’eman, Dj. Sijacki, Phys. Lett., 157B, 267.

18. LA CONSTANTE ALFA.

18.1. Introducción.Se conoce que la constante de estructura fina a es esencialmente igual a una expresión

algebraica en términos de p y números enteros que parece estar relacionada con el volumende ciertos grupos [1, 2]. Esta expresión es determinada por la medida invariante definida porla solución de substrato. Partiendo del grupo de estructura de la geometría física [3, 4] yusando el hecho geométrico que el espacio tiempo es una variedad hiperbólica modeladaen el espacio simétrico K, la medida invariante en este espacio simétrico, obtenida degrupos asociados, se transporta al espacio tiempo. Esta relación se debe a que la fibra delespacio tangente al espacio tiempo es la imagen de un subespacio minkowskiano del álgebrageométrica, como se vio en el capítulo 2.

18.2. Una Medida Geométrica.La corriente *J es una 3-forma en M valuada en el álgebra de Clifford A. Se construye

partiendo de campos vectoriales en el espacio simétrico K. Este espacio es G/G+ donde G esel grupo simple cuya acción genera los automorfismos de A y G+ es el subgrupo par, relativoal subconjunto ortonormal. Estos campos vectoriales son las imágenes, bajo la inyección kde Clifford, de campos vectoriales en el espacio tiempo M. Esta inyección nos permitedefinir a *J como la forma retroinducida de una 3-forma definida en K. La integración de esta3-forma en un espacio borde tridimensional de una región R en K es equivalente a laintegración de la 3-forma retroinducida en un espacio borde tridimensional de la imagen dela región R en el espacio tiempo M. Las formas se definen por la existencia de una medidainvariante en G/G+. El coeficiente constante de esta medida invariante se puede calcular enel caso particular cuando el fibrado es plano y la ecuación de campo se reduce a la ecuaciónlineal equivalente al electromagnetismo. Esta relación define una interpretación geométricade la constante de acoplamiento de la teoría unificada: “La constante de acoplamiento es elcoeficiente constante de *J introducido por la medida invariante en el espacio simétrico G/G+”.

18.2.1. Espacio Simétrico K.Como se indicó anteriormente, el grupo G es SL(2,) y el grupo par G+ es SL1(2,). El

espacio simétrico K es una forma real incompacta del espacio simétrico complejocorrespondiente a la extensión compleja del grupo incompacto SU(2,2) y sus cocientes. Laserie de espacios simétricos correspondientes coincide con la serie del grupo SO(4,2) comose muestra en el apéndice B. En particular, podemos identificar los cocientes con el mismo

257La Constante Alfa

carácter, +4, para escribir esta serie de espacios en la siguiente forma,

( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )SO SL SO

R KSO SO SL SO SO SO

º » @ @ »´ ´ ´4 2 4 6

4 2 2 2 4 2

.(18.2.1)

Esta serie incluye los dos espacios simétricos que nos interesan: el riemannianohermitiano incompacto R y el seudoriemanniano inhermitiano incompacto K. Comoalgunos de estos grupos y cocientes no son compactos, usaremos la medida invariantenormalizada mN calculada de una medida conocida, como es usual cuando se trabaja congrupos incompactos. Para grupos compactos, la integral de la medida invariante sobreel espacio parametrizado del grupo nos da el volumen del grupo. En general, la medidanormalizada da solamente la estructura funcional del elemento de volumen, en otraspalabras, la medida invariante módulo una constante multiplicativa.

Anteriormente hemos discutido el espacio simétrico K [5]. El centro de G, que no esdiscreto, contiene un elemento generador k5 cuyo cuadrado es -1. Designemos por 2Jla restricción de ad(k5) al espacio tangente TKk. Este espacio tiene como base las 8matrices k5 y k5kb y es el espacio propio correspondiente al autovalor -1 del operadorJ2, o,

( ) , ,

J x y x y

x y

l l l ll l l l

l ll l

k k k k k k k k

k k k

é ùé ù+ = + =ê úê úë ûë û- -

2 15 5 5 54

5 . (18.2.2)

El endomorfismo J define una estructura cuasicompleja sobre K. Adicionalmente,usando la métrica de Cartan-Killing en la representación de Clifford hemos demostradoque la estructura compleja preserva la métrica seudoriemanniana (minkowskiana). Esmás, la torsión S se anula,

( ) [ ] [ ] [ ] [ ], , , , ,S a b a b J Ja b J a Jb Ja Jb= + + - = 0 . (18.2.3)

De esta manera se cumplen las condiciones para que J sea una estructura complejaintegrable y el espacio K sea un espacio simétrico complejo inhermitiano.

18.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como unPolidisco Unidad.

La métrica bilineal compleja de K es invariante bajo SO(4,) y no tiene una signaturadefinida. Usando el truco unitario de Weyl en las coordenadas minkowskianas complejasdel espacio simétrico K con componentes xl, yl , encontramos que su estructura complejaestá relacionada con la estructura compleja de R. De los generadores del cociente K, 2son compactos y 6 no lo son en vez de los 8 generadores incompactos del cociente R.Ambos cocientes tienen la estructura matricial [6],


*

*

x y

x y

x yK

x y

x y

x y

é ùé ùé ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ú= ê úê úê ú ê úê úë û ë ûê úé ùê úé ùê úê úê úê úê úê úë û ë ûë û

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

, (18.2.4)

donde la matriz inferior derecha es

x x x yx y

y x y yx y

é ù é ù+ · ·ê ú ê ú=ê ú ê ú· + ·ë ûë û

14 4 2

5 5

11

. (18.2.5)

Las condiciones impuestas por los grupos asociados SL(2,) y SO(4,2) sobre lascoordenadas correspondientes en estos espacios, expresadas por el producto escalaren esta submatriz, están relacionadas respectivamente por las metricas minkowskiana yeuclidiana.

Definamos las seis coordenadas complejas ta en R que relacionan este espacio conel espacio complejo C6, donde R esta inmerso, o sea,

a a at x iy a= + £ £0 5 . (18.2.6)

Estas coordenadas pueden expresarse en términos de las cuatro coordenadascorrespondientes ua sobre K reconociendo la correspondencia de los productosescalares en la ec. (18.2.5),

( ) t t u u Im n m nmn mn m nd h k k m« - = £ £0 3 , (18.2.7)

si introducimos nuevas coordenadas t sobre K,m mt u= , (18.2.8)

t i u=0 0 , (18.2.9)Encontramos así las mismas condiciones sobre las coordenadas t en K que existíansobre las coordenadas t en R.

Las condiciones sobre las coordenadas t4 y t5 nos permiten reducir a C5 el planocomplejo donde se sumerge la realización de K. Si definimos las cuatro coordenadascomplejas proyectivas zm, obtenemos la realización,


tz

t it

mm m= £ £

-4 5 0 3 . (18.2.10)

Si indicamos la traspuesta por z’ las condiciones en estas coordenadas son las de unpolidisco unidad, D4ÌD5, que se define por

( ) { }; , n nD K z C zz zz zz¢ ¢ ¢= Î + - > <21 2 0 1 . (18.2.11)

De esta manera, las coordenadas complejas definen un difeomorfismo holomorfo h de Ksobre el interior de un dominio simétrico D. La realización acotada del espacio K es elpolidisco unidad D4(K) [6]. Esta realización D4(K) corresponde a la realización acotada delespacio R, el polidisco unidad D4(R), por un cambio de coordenadas. Estos espaciosoctodimensionales son parte de una serie de formas reales de espacios simétricos quepuede indicarse por 8Sn,4-n y son determinados por el grupo compacto que caracteriza laserie. En nuestro caso el grupo es SU(4) y los espacios se muestran en las ecuaciones 4.9y 4.10 del apéndice B. El polidisco D4 suministra realizaciones de cada miembro de esta seriesegún las coordenadas complejas utilizadas. Aunque el interior de D4 no es compactopodemos aplicar las técnicas matemáticas existentes sobre los dominios acotados clásicosal estudio de los espacios 8Sn,4-n. En particular podemos encontrar medidas invariantesnormalizadas para los espacios K y R.

18.2.3. Medida Invariante en el Polidisco.Para construir estas medidas es conveniente definir ciertos dominios [7] relacionados

con Dn. El borde de Silov, la generalización de la circunferencia como el borde del discocomplejo unidimensional, se establece por las transformaciones de Fourier en el espaciosimétrico Dn. Es el espacio característico de Dn, en otras palabras, nos permite caracterizarlas funciones holomorfas en Dn por sus valores en este borde. Se define por

( ) { }; , , n i nQ K xe x R xxqx q p¢= = Î = £ £1 0 . (18.2.12)

El núcleo de Poisson Pn(z,x) sobre Dn´ Qn se define como la medida euclidianainvariante sobre el espacio característico Qn. Este núcleo tiene el valor,

( )( )( )

( )( ) ( )( )

,,

n

n nnn

zz zzj zP z

V QV Q z z

xx

x x

¢ ¢+ -= =

¢´ - -

2 21 2 , (18.2.13)

determinado por Hua [7]. La construcción de la medida sobre Q4, debida a Wyler, seindica en la sección siguiente. La expresión de las funciones armónicas sobre Dn es


( ) ( ) ( ),n

n

Q

z P z dj x j x x= ò , (18.2.14)

que, para el caso del círculo, se reduce a la solución del problema de Dirichlet usandola fórmula integral de Poisson que nos da la función armónica conociendo su valor enla circunferencia borde,

( ) ( ) ( ),z P z dp

j q j q q= ò2

0

. (18.2.15)

Una estructura kahleriana es definida sobre Dn por el núcleo de Bergman que tiene la siguientepropiedad sobre las funciones armónicas,

( ) ( ) ( ),n

n

D

z B z w w dwj j= ò . (18.2.16)

Los núcleos de Poisson y de Bergman definen formas normalizadas sobre Qn y Dn

respectivamente si la función armonica es la función unidad.Las medidas invariantes retroinducidas desde los dominios complejos acotados hacia

cada uno de estos espacios simétricos en la serie tienen un coeficiente numérico comúndebido a que ellos son las distintas formas reales del mismo grupo complexificado y al usode medidas normalizadas. Existen subespacios cuatridimensionales 4Sn,4-n que correspondena espacios simétricos cuyos espacios tangentes en un punto son copias de espaciosortogonales Rn,4-n. Estos espacios son las formas reales determinadas por el subgrupocompacto USp(4) con su subespacio simétrico compacto S4 que caracteriza la serie,mostrados en las ecuaciones 4.11 y 4.12 del apéndice B. El polidisco D4 realiza cada uno delos 4Sn,4-n en subespacios según las coordenadas complejas usadas en la parametrizacióndel grupo, que se relacionan por el truco unitario de Weyl. Para poder retroinducir unamedida invariante desde los dominios complejos acotados es necesario sumergirtopológicamente todos los 4Sn,4-n en algún borde de Silov Qn. Es claro de la ec. 18.2.12 que lanecesaria inmersión topológica de S4, que caracteriza la serie, es irrealizable en Q4. Esnecesario hacer la inmersión en Q5 que si es topológicamente adecuado. Además como lasrealizaciones de todos estos espacios se definen inmersas en C5 la medida en D4 se obtienede la medida kahleriana en dimensión D5, así como la medida en la esfera Sn se obtiene de lamedida euclidiana en Rn+1. Esto determina el uso de grupos de mayor dimensión. Paraevaluar esta medida, es necesario hacer la inmersión, i:D4D5, definida sobre laintersección de D5 con el plano z5=0. Como D5 es un espacio homogéneo bajo la accióndel grupo compacto SO(5)SO(2), usando este grupo y SO(5,2) podemos obtener lamedida en el cociente R [6], que es igual a la medida sobre K. Hay aplicaciones inyectivas,

h iM K D Dk¾¾ ¾¾ ¾¾4 8 4 5 , (18.2.17)


que corresponden a la aplicación de Clifford k y a la aplicación holomorfa h. La inmersióntopológica de M en Q5 se puede expresar por

( )( )i h M Qbk ¾¾4 5 . (18.2.18)

La aplicaciones indicadas i y b nos permiten retroinducir una forma desde el espaciocaracterístico Q5, borde de D5, hacia D4 , la cual indicaremos como sigue,

( ) ( ) ( )4 4 4 5Q Q Qi D i h M i h M Qb m b m k m b k** * é ù é ù é ù= º Íê ú ê ú ê úë û ë û ë û . (18.2.19)

18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K.En principio se puede obtener el coeficiente común de las medidas de los espacios simétricos

en la serie usando cualquier grupo correspondiente en la serie. El cálculo más transparente esusando el grupo SO(5,2) como hizo Wyler. En lo que sigue indicamos este cálculo para hallarel valor del coeficiente constante de la medida sobre Q5, el borde de Silov de D5. Estamedida se obtiene de la construcción de la medida invariante de Poisson bajotransformaciones generales de coordenadas complejas en D5, por el grupo SO(5,2) deaplicaciones analíticas de D5 sobre sí mismo.

El cálculo se basa en la proposición siguiente: el subgrupo de isotropía en el origen,SO(5)SO(2), actúa transitivamente sobre Q5 y el núcleo de Poisson Pn(z,x), armónicoen Dn, representa una medida invariante de esta acción de SO(5)SO(2) sobre Q5. Elnúcleo de Poisson, aplicado al elemento de volumen, define una forma invariantenormalizada sobre el espacio característico,

( )( )( ) ( ),

,5

055 5 5

QCQ

N

Qj z dQ P z d

V Q V Q

mx xm x x

é ùê úë ûé ù = = =ê úë û , (18.3.1)

en términos de jC0, que es el jacobiano complejo o determinante de la matriz jacobianaJC0 de la transformación zG(z) del grupo SO(5,2) que transporte el punto z al origen. Laforma mQ representa una forma invariante no normalizada sobre Q5. La estructura kahlerianade los dominios complejos acotados (polidiscos) Dn está determinada por la estructurageométrica definida por el núcleo de Bergman y la métrica h que esta define [8]. Este núcleoqueda determinado por cualquier base ortonormal fn del subespacio de Hilbert que formanla funciones holomorfas sobre el polidisco Dn. Como las soluciones de los operadoresdiferenciales invariantes, obtenidas por sus operadores inversos o funciones de Green, sonfunciones armónicas holomorfas sobre Dn debemos tomar como medida invariante aquelladefinida por esta estructura kahleriana de Dn [9]. El grupo SO(5,2), de transformaciones decoordenadas, actúa sobre D5 y consecuentemente sobre Q5. El núcleo de Poisson, aunqueinvariante bajo el subgrupo de isotropía SO(5)SO(2) en el origen, no es invariante bajo elgrupo completo SO(5,2). Una medida invariante bajo este grupo G requiere una densidad


de volumen en el cociente G/GI, para ser incorporada como un factor adicional en mN.Hua estableció una relación entre el núcleo de Bergman y la densidad de volumen

sobre el dominio D5. El núcleo de Bergman se puede escribir como

( ) ( )( )

( )det C

n

J zB

V DV D zz zz= =

¢ ¢´ + -

2

5 525

1

1 2 . (18.3.2)

La métrica compleja de Bergman hC se define por la forma bilineal invariante

( ) ( )( )

C CdzJ z J z dzds

V D

¢ ¢=2

5 . (18.3.3)

En una manera natural el núcleo de Bergman suministra una densidad de volumen rproporcional, para los dominios D5, como indicó Hua,

( ) ( )det CV D B J zr = =25

5 . (18.3.4)

La parte real de la métrica kahleriana de Bergman induce una métrica real riemanniana hR quedebe ser usada al restringir las coordenadas complejas a las coordenadas reales del borde deSilov Q5. Queremos pasar del borde Q5 al interior de D5 cuando se reemplacen las coordenadasreales x por las coordenadas complejas z. Consideremos el efecto en Q5 de la transformaciónzG(z), donde G es el SO(5,2) completo. Un factor de 1, igual a la determinante de una métricareal euclidiana local en el origen que es una densidad tensorial de peso -2, se transforma por eljacobiano real jR relacionado con el jacobiano complejo jC de la transformación,

( ) ( ) ( ) ( )det det det2 4 41R R R C C Rh j h j j h¢ ¢= = = . (18.3.5)

El jacobiano jC, que incluye transformaciones por el subgrupo de isotropía en el origen y elcociente correspondiente G/GI, debe expresarse usando una descomposición por cocientedel jacobiano en dos factores correspondientes respectivamente al subgrupo y al cociente.El núcleo de Bergman es proporcional a la determinante de la métrica de Bergman hC [8, 9].Para eliminar este factor constante de proporcionalidad V(D5), que aparece en el denominadorde la determinante de la métrica h de Bergman, es necesario realizar una transformación queafecta a esta determinante por la acción del jacobiano inverso. Esto permite evaluar el coeficientegeométrico constante jg introducido por esta transformación en la medida invariante,

( )4 4 4 4 4 5 40 0 0C C C g C Cj j j j j V D j-¢= = = . (18.3.6)

La medida invariante bajo el grupo completo SO(5,2) se obtiene aplicando jC a la medida en laec.(18.3.1). Los jacobianos jC0 se combinan dentro de la forma invariante m para obtener


( )( )( )

( )( )( )

,

145

5 5 50 05 5

gQ Qg C N C

V Djj j Q j z d Q

V Q V Qm z z mé ù é ù¢ ¢¢= =ê ú ê úë û ë û . (18.3.7)

Para obtener la medida invariante en D4, es necesario reducir la acción del grupo deisotropía I(5,2) al subgrupo de isotropía I(4,2). Esto nos permite definir la medida invariantenormalizada en el polidisco D4,

( )( )

( )( )( )

( )( )

, ,, ,

145

5

4 2 4 25 2 5 2

Q Q QNg N g

V DV I V Ii i i i

V I V IV Qb m b m b m a b m* * * * * * * *

é ù é ùë û ë û¢= = =é ù é ùë û ë û

.(18.3.8)

El inverso de la medida del cociente de los grupos de isotropía es

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

V SO SO V SOV S

V SO SO V SOp p

G

é ù é ù´ë û ë û= = = =é ù é ù´ë û ë û

5 3 224

52

5 2 5 2 234 2 4

. (18.3.9)

Bajo esta reducción, el coeficiente del núcleo de Poisson sobre Q5, o coeficienteconstante de la medida normalizada mNg en la ec.(18.3.8), define el coeficiente de la medidasobre D4

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

,,g

V D V D V SOV I

V IV Q V Q V SOa

é ù ´ë û= =é ù ´ë û

1 14 45 5

5 5

44 25 2 5

. (18.3.10)

Los volúmenes indicados se conocen. El volumen del polidisco es

( )!

nn

nV Dn

p-= 12

(18.3.11)

y el volumen del borde de Silov es el inverso del coeficiente en el núcleo de Poisson,

( )( )

n

n

nV Q

pG

+

=2 1

2

2 . (18.3.12)

En particular se tiene,

( )!

V Dp

=´

55

42 5 , (18.3.13)


( )V Qp

=3 3

5 23

. (18.3.14)

La substitución de estas expresiones en la ec. (18.3.10) nos da el coeficiente deWyler de la medida invariante inducida,

!g

pa

p

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ´è ø

142 5

6 5 4

32 2 5

. (18.3.15)

18.4. Valor del Coeficiente Geométrico.La ecuación (18.3.8) suministra una medida invariante normalizada geométrica mNg en el espacio

simétrico K y nos permite retroinducir una medida similar en el espacio tiempo M,

[ ] [ ] ( ) [ ]Q QNg Ng g gM h i M h i M Mm k b m k a b m k a m k* * * * * * é ùº = ºë û . (18.4.1)

El uso de una medida normalizada tiene sentido y es necesario en un subespacio incompactode M. Para calcular el coeficiente de la medida invariante en este espacio incompacto debemosrestringir la medida mNg a este subespacio, integrando sobre un subespacio complementariocompacto. Este último espacio debe ser el subespacio compacto característico de las funcionesarmónicas en M. Hay una contribución de la integración en este espacio al valor del coeficientegeométrico en el subespacio complementario incompacto. Como mNg está definida en el espaciocotangente en un punto *TMm y sólo depende de las propiedades de la fibra simétrica K en m,esta contribución debe ser independiente de cualquier solución de la ecuación de campo. Por lotanto, sin perdida de generalidad podemos suponer las condiciones de estaticidad y simetríaesférica que permitan una descomposición del espacio tiempo M4 y sus formas en dossubespacios ortogonales, las esferas espaciales S2 y el espacio tiempo suplementarioM2 con sus formas,

( ) ( ) ( )( )Ng gM M Sm k a m k m ké ù é ù é ù¢= ê ú ê ú ê úë û ë û ë û4 2 2 2 2 . (18.4.2)

El espacio M2 tiene localmente la estructura de cono nulo del espacio relativisticobidimesional de Minkowski.

Restrinjamos el problema al caso especial del electromagnetismo puro en el espacio tiempoplano. Toda solución se puede hallar por la suma de soluciones fundamentales que correspondena la función de Green del campo electromagnético. La función de Green determina el campo deuna fuente puntual que siempre corresponde a un campo estático esféricamente simétrico relativoa un observador en reposo con la fuente. Estos campos potenciales armónicos esféricamentesimétricos quedan determinados, usando la fórmula de Poisson, por su valor en una esfera.Vemos que el espacio característico, donde se integra para hallar soluciones del problema físico,


es la esfera S2 en R3. Geométricamente, de acuerdo con nuestra teoría, la forma mNg debe integrarsesobre la imagen de una esfera en el espacio K, determinada por la aplicación de Clifford k. Por lotanto el espacio característico es k(S2). Como S2 es compacto la medida suministrada por elelemento de volumen m no require normalización. La medida mNg integrada sobre el espaciocaracterístico dá,

Ng g g g

S S Sk k

m a m m a m k m pa m*¢ ¢= = =ò ò ò2 2 2

2 2 2 22 8 , (18.4.3)

El volumen de k(S2), indicado en la ecuación anterior, es el doble del volumen de S2

debido al homomorfismo 2-1 entre espinores estándares y vectores, determinado porsus grupos homomorfos SU(2) y SO(3).

Después de la integración obtenemos una medida geométrica restringida al subespacioM2,

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 28Ng gM M M Mm k pa m k a m k a k m*é ù é ù é ù é ù= º = ê úê ú ê ú ê ú ë ûë û ë û ë û . (18.4.4)

Por lo tanto, el valor del coeficiente geométrico completo a se obtiene substituyendo enla última ecuación, el valor del coeficiente de Wyler calculado en la sección anterior,

! . e

p p pa a

p p

æ ö æ ö÷ç ÷ç÷= = = »÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç è ø´è ø

1 13 2 5 4 4

6 5 4 3

2 3 9 12 2 5 16 120 137 03608245

, (18.4.5)

que es igual al valor físico experimental de la constante alfa ae.En una manera natural podemos obtener un elemento de distancia geométrica, una 1-forma

mg, usando el producto interior de la 2-forma normalizada geométrica 2mNg por el vector unitario4-velocidad u de cualquier corriente física J arbitraria,

g NgM M u M u Mm k m ak m a m* *é ùé ù é ù é ùº = ºê ú ê ú ê úê úë û ë û ë ûë û21 1 2 2 2 1 1

. (18.4.6)

Tomemos 1m como el diferencial radial dr y usémoslo para construir un elemento euclidianode volumen d3x ortogonal a u para R3 . Tenemos una 3-forma geométrica de volumen sinnormalizar wg,

[ ]3 1 2 3 2 2g M d d x drr dw a m W a a W= = = . (18.4.7)

También obtenemos naturalmente una corriente geométrica *Jg proporcional al elemento devolumen wg. La 3-forma de la corriente física *J, dual de la corriente a lo largo de u, se puededefinir de *Jg,

g gJ d x Jrw ar a* *º = º3 . (18.4.8)


Si vamos al sistema en reposo de la corriente reconocemos a r como la densidad de cargavaluada en el álgebra. La ecuacion de campo se puede escribir como sigue,

gD J JW p pa* * *= º4 4 . (18.4.9)

En el capítulo 12 mostramos que en la solución de substrato la conexión es proporcional a la1-forma de corriente. Por lo tanto, la 3-forma de corriente geométrica que determina la conexión desubstrato también define una 4-forma natural en el substrato, invariante bajo G ,

( ), 2g g g g g g g S g g NgJ m J J m J J mw m r m* *¢ ¢ ¢ = º = . (18.4.10)

La 4-forma invariante mS definida de esta manera geométrica después de normalizada esprecisamente la medida invariante normalizada mNg

en K, inducida de la medida en el bordede Silov Q5.

18.5. Resumen.La constante geométrica de acoplamiento a de la teoría unificada es el coeficiente de la

medida invariante obtenida de los dominios complejos relacionados y se puede calcular delvolumen de ciertos espacios simétricos relacionados con el grupo de estructura de la teoría y sussubgrupos. El valor numérico obtenido es igual al valor físico de la constante alfa de estructurafina. No hay ninguna otra constante arbitraria en la teoría.

Esta medida invariante determina esencialmente que la fuente material de la ecuación decampo se representa por una corriente geométrica. Si suponemos la corriente geométrica podemosdefinir de vuelta la medida invariante.

Referencias

1 A. Wyler, Acad, Sci. Paris, Comtes Rendus, 269A, 743 (1969).2 A. Wyler, Acad, Sci. Paris, Comtes Rendus, 271A, 180 (1971).3 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 26, 1177 (1994).4 G. González-Martín, ArXiv physics/0009051, USB Report SB/F/277-00, (2000).5 Vea la sección 13.3.2.6 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and

Sons, New York), ch. 9 (1974).7 L. K. Hua, Harmonic Analysis in the Classical Domains (Science Press, Peking) (1958),

translated by l Ebner, A Korányi (American Mathematical Soc., Providence) (1963).8 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 298 (1962).9 A. Wyler, The Complex Light Cone, Symmetric Space of the Conformal Group, Report,

(The Institute for Advance Study, Princeton) p. 15 (1972).

A. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.

A.1. Introducción.Aquí presentamos ciertas nociones necesarias de álgebras de Clifford y espinores. El

tratamiento no es completo, pero sirve para establecer conceptos y la notación usada en ellibro. Se supone un conocimiento general de álgebra y espacios ortonormales. Para mayoresdetalles vea las referencias [1, 2, 3, 4].

A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores.Para cualquier espacio ortogonal de n dimensiones finitas, X=Rp,q, donde p y q son

respectivamente los números de negativos y positivos de la signatura (p,q), existe un álgebraasociativa real, A(p,q)=Rp,q, con unidad I, que contiene copias isomorfas de R y X comosubespacios lineales de forma tal que, para todo x en X,

x x x= -2 . (1.1)Si el álgebra se genera como anillo por las copias de R y X, o equivalentemente,

como un álgebra real por {I} y X entonces se dice que A es un álgebra geométrica (deClifford) de X. Las álgebras de Clifford de dimensión máxima 2n son únicas, móduloisomorfismos, y se llaman álgebras universales de Clifford.

Estrictamente hay una inyección lineal k tal que para todo x

( )( ) ( ),x x x I g x x Ik = - = -2

. (1.2)

Se puede probar que si ei es una base ortonormal en X, su imagen en A satisface

( )i i ie e e= - =2 1 , (1.3)

( )( )i j i j j ie e e e e e= + =12 0 . (1.4)

La involución de A, inducida por la involución ortogonal -1X se denotará por a yse llamará la involución principal. Las antiinvoluciones de A inducidas por lasinvoluciones or tonormales 1 X y -1 X se denotarán por a , a y se l lamaranrespectivamente reversión y conjugación.

Se puede considerar que un álgebra de Clifford actúa sobre un espacio espinorial.De hecho, cada álgebra universal de Clifford Rp,q es el álgebra de endomorfismos de unespacio Q-lineal derecho V, llamado el espacio espinorial del espacio ortogonal Rp,q.

Apéndice A GEOMETRÍA FÍSICA268

Un espacio lineal derecho sobre un anillo inconmutativo Q consiste de un grupoaditivo y una aplicación

X Q X´ , (1.5)

( ),x q xq x q¾¾ = , (1.6)

tales que se cumplen los axiomas usuales de distributividad y unidad y que satisfacen.

( )x q q x qq¢ ¢= . (1.7)

Similarmente, un espacio izquierdo satisface

( )q q x q q x¢ ¢= . (1.8)

El espacio espinorial no tiene una estructura métrica propiamente. Una correlaciónx en un espacio Q-lineal es una aplicación Q-semilineal, de derecha a izquierda, a suespacio dual,

: LX Xx ¾¾ , (1.9)

( ) ( )x q q xfx x= , (1.10)

( )x x xx = . (1.11)

Toda correlación en el espacio espinorial induce una antiinvolución del álgebra deendomorfismos, la antiinvolución adjunta correspondiente. Consideremos los espaciosQ-lineales derechos X, Y, de dimensión finita. Dada una aplicación Q-lineal,

:t X Y¾¾ , (1.12)se define la aplicación adjunta, con respecto a las correlaciones x en X y h en Y, como la únicaaplicación t*,

:t Y X* ¾¾ , (1.13)que satisface para todo x, y,

( ) ( )y tx t y xxh *= . (1.14)

Una aplicación en el espacio espinorial no necesariamente preserva una correlación.Un automorfismo correlacionado t es una aplicación Q-lineal, tal que para todo a,bX,preserva el producto,

269Álgebra Geométrica

( )ta tb a bh x= , (1.15)

que puede probarse equivalente a la condición sobre t

t t* = 1 . (1.16)Se puede probar el teorema siguiente: Sea V el espacio de espinores para el espacio

ortogonal Rp,q, con su álgebra de endomorfismos Rp,q. Entonces si p>0, (p,q) (1,0), laantiinvolución conjugación en Rp,q coincide con la antiinvolución adjunta de End(V)inducida por una correlación semilineal neutral en V. Este teorema indica que hay unacorrelación en el espacio espinorial, asociada a la conjugación en A.

El álgebra geométrica para el cuerpo de los reales, como un espacio ortonormal R0,1

con una métrica de signatura definida positiva, es el cuerpo de los complejos , conside-rado como un álgebra real. El cuerpo de los cuaterniones , también considerado como unálgebra real, es un álgebra geométrica para ambos R0,2 y R0,3. El valor absoluto del produc-to de cuaterniones obedece la relación

ab abab baab bbaa a b= = = =2 2 2 , (1.17)

ab a b= . (1.18)

Las álgebras universales de Clifford se pueden construir por inducción. El paso enel proceso de inducción está dado por el siguiente teorema. Sea X un espacio -lineal,donde es o 2 y es , o y sea h={ei} un subconjunto ortonormal de End(X)de tipo (p,q), que genera End(X) como un álgebra real. Entonces un subconjuntoortonormal h’ de tipo (p+1,q+1) que genera End(X2) está dado por las siguientesmatrices,

, ,i

i

e eeh

e ee

ì üé ù é ùé ù -ï ïï ïê ú ê úê ú¢ = í ýê ú ê úê úï ï-ë û ë û ë ûï ïî þ

0 0

0 0

0 000 00

, (1.19)

donde e0 es la identidad en . Se sobreentiende el uso de la identificación estándar de la partepar + con , + con y exp(ip) con -1.

A.2. Representación del Álgebra A.En particular, el subconjunto ortonormal del álgebra R3,1 se obtiene del subconjunto

ortonormal del álgebra R2,0. Esta última corresponde al espacio ortogonal bidimensionalcon signatura (-1,-1). Las dos matrices reales de Pauli satisfacen las propiedades delsubconjunto ortonormal de este álgebra. El álgebra de Clifford del espacio ortonormal designatura opuesta (1,1) es el álgebra de cuaterniones , generada por su subconjunto


ortonormal, los cuaterniones j, k que se pueden representar por las matrices imaginarias is1y is3. Introduzcamos las matrices reales que anticonmutan,

ré ùê ú= ê úë û

0 11 0

, (2.1))

sé ùê ú= ê ú-ë û

1 00 1

. (2.2))

Estos elementos anticonmutantes forman un subconjunto ortonormal que podemos designarpor,

{ },ir r s= . (2.3)

y generan dos matrices adicionales

eé ùê ú= ê ú-ë û

0 11 0

, (2.4)

eé ùê ú= ê úë û

1 00 1

. (2.5)

que juntas forman una base para las matrices reales 2´2

[ ] [ ]er s e r r r r r r= 1 2 1 2 1 1 . (2.6)

Las matrices R(2) forman el anil lo inconmutativo de las matrices realesbidimensionales, que es el álgebra de Clifford R2,0. Estas matrices son similares a loscuaterniones pero no son álgebras isomorfas. El anillo R(2) no es un anillo condivisión como el anillo de los cuaterniones y sus productos no son equivalentes. Esteanillo está asociado al espacio R2,0 en vez del espacio R0,2 asociado a los cuaterniones.Sin embargo, las partes pares de ambos anillos son isomorfas y se pueden identificarcon los complejos . Debido a estas similitudes designemos este anillo sin divisióncon el nombre de seudocuaterniones .

Por consiguiente, el álgebra R3,1 se obtiene de R2,0 poniendo

, , ,e e

he e

r sr s

ì üé ù é ù é ù é ù-ï ïï ïê ú ê ú ê ú ê ú¢ = í ýê ú ê ú ê ú ê úï ï- -ë û ë û ë û ë ûï ïî þ

0 0 0 00 0 0 0

. (2.7)

Este conjunto genera el álgebra R3,1 que designaremos por A. Es conveniente usar otro


subconjunto ortonormal equivalente ka definido usando solamente la matrices impares ri.

, , ,r r s r

kr r s r

ì üé ù é ù é ù é ù-ï ïï ïê ú ê ú ê ú ê ú= í ýê ú ê ú ê ú ê úï ï-ë û ë û ë û ë ûï ïî þ

0 0 0 00 0 0 0

. (2.8)

Del significado geométrico del álgebra, los elementos ka están asociados a triadasde orientación opuesta. En principio, ambos conjuntos de signo opuesto pueden serusados como el subconjunto ortonormal ka del álgebra. El signo arbitrario se determinapor la relación estándar de productos de matrices de Pauli, en términos de la dualidadde Hodge eijk y la dualidad de Clifford (compleja) i. Debemos adherirnos a la mismaconvención al escoger el signo de las ka. La orientación estándar en el espacio tiempo[u0,u1,u2,u3] induce una orientación en el álgebra geométrica que debe ser usada paradefinir la dualidad geométrica de Clifford k0k1k2k3. Esta operación de dualidad,designada por k5, y la dualidad de Hodge deben relacionar las matrices que representana las mat r ices de Paul i en e l á lgebra , preservando la re lac ión es tándar.Matemáticamente,

ik k k k k s s s s k k k k k k= º = =0 1 2 3 5 0 1 2 3 0 1 0 2 0 3 , (2.9)

i is k k= 0 . (2.10)

Los elementos del álgebra se pueden expresar como matrices 2´2 sobre el anillo. Explícitamente en esta representación, el subconjunto ortonormal del álgebra es,módulo equivalencia bajo automorfismos,

rk

r

é ùê úê úé ùê úê ú= = ê úê ú- -ë û ê úê ú-ë û

0

0 0 0 10 0 0 1 0

0 0 1 0 01 0 0 0

, (2.11)

0 r

kr

é ù-ê úê úé ù- -ê úê ú= = ê úê úë û ê úê úë û

1

0 1 0 00 1 0 0 0

0 0 0 10 0 1 0

, (2.12


sk

s

é ùê úê úé ù -ê úê ú= = ê úê úë û ê úê ú-ë û

2

1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 00 0 0 1

, (2.13

rk

r

é ùê úê úé ùê úê ú= = ê úê úë û ê úê úë û

3

0 0 0 10 0 0 1 0

0 0 1 0 01 0 0 0

. (2.14)

Este subconjunto ortonormal km genera el resto de la base,

I

Ik k s

é ùê úê ú é ùê ú ê ú= = =ê ú ê úë ûê úê úë û

0 1 1

0 0 1 00 0 0 1 01 0 0 0 00 1 0 0

, (2.15)

ek k s

e

é ù-ê úê ú é ù-ê ú ê ú= = =ê ú ê úë ûê úê ú-ë û

0 2 2

0 0 0 10 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0

, (2.16)

I

Ik k s

é ùê úê ú é ùê ú ê ú= = =ê ú ê ú- -ë ûê úê ú-ë û

0 3 3

1 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1

, (2.17)


ie

k k se

é ùê úê ú é ù-ê ú ê ú= = =ê ú ê ú- -ë ûê úê úë û

1 2 3

0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0

, (2.18)

ie

k k se

é ùê úê ú é ù-ê ú ê ú= = =ê ú ê úë ûê úê ú-ë û

2 3 1

0 0 0 10 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0

, (2.19)

Ii

Ik k s

é ùê úê ú é ùê ú ê ú= = =ê ú ê ú- -ë ûê úê ú-ë û

3 1 2

0 0 1 00 0 0 1 01 0 0 0 00 1 0 0

, (2.20)

sk k k

s

é ùê úê ú é ù-ê ú ê ú= =ê ú ê ú- -ë ûê úê úë û

1 2 3

0 0 1 00 0 0 1 01 0 0 0 0

0 1 0 0

, (2.21)

sk k k

s

é ù-ê úê ú é ù-ê ú ê ú= =ê ú ê úë ûê úê ú-ë û

0 2 3

1 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1

, (2.22)


rk k k

r

é ùê úê ú é ùê ú ê ú= =ê ú ê úë ûê úê úë û

0 3 1

0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0

, (2.23)

sk k k

s

é ùê úê ú é ù-ê ú ê ú= =ê ú ê úë ûê úê ú-ë û

0 1 2

0 0 1 00 0 0 1 01 0 0 0 00 1 0 0

, (2.24)

Ii

I

ek k k k

e

é ùê úê ú é ù é ù-ê ú ê ú ê ú= = =ê ú ê ú ê úë û ë ûê úê ú-ë û

0 1 2 3

0 1 0 01 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0

. (2.25)

El subconjunto ortonormal km del álgebra R3,1 obedece la relación,

( ) I e Ia b ab abk k h h= - » -2 4 , (2.26 )

donde la métrica plana se toma con la signatura temporal (1, -1, -1 -1). Este álgebra no esisomorfa al álgebra de Dirac R1,3, que obedece también la última ecuación pero con la métricatomada con la signatura espacial (-1, 1, 1, 1) y es generada por las matrices g de Dirac. Sinembargo sus subálgebras pares si son isomorfas.

Para cada elemento a del álgebra A, la antiinvolución conjugada es

† †a ak k= 0 0 (2.27)

que corresponde a la conjugación de Dirac. La antiinvolución † es la transpuesta de las matrices4 x 4 reales. La involución principal,

†a ak k= 5 5 , (2.28)

induce una descomposición de suma directa de A en su subálgebra par A+ y su partecomplementaria impar A-. Asociado a los autovalores de la involución principal, podemosintroducir el autovalor del operador de proyección impar, un número cuántico r que indica lapresencia de la parte impar o rara del álgebra y


( ) ˆrar a aa -=

2 . (2.29)

El álgebra A actúa sobre un espacio lineal espinorial V. Cada elemento de A es unamatriz 2´2 sobre el anillo de los seudocuaterniones . Sea V un modulo bidimensionalsobre , el espacio espinorial de R3,1. Los elementos de V se pueden representar pormatrices de 2 columnas y 4 filas,

r r

r rk

k r r

r r

é ùé ùê úê úê úê úé ù ë ûê úê ú ê úê ú é ùê úë û ê úê úê úê úë ûë û

11 21

12 221

2 13 23

14 14

. (2.30)

Se define la correlación o conjugación inducida, en el espacio espinorial V, por laconjugación en el álgebra. Para cualquier espinor v de V se tiene,

† †v v k= 0 . (2.31)

Es posible dar otra representación a este álgebra geométrica A. Definamos loscuerpos de matrices y isomorfas al cuerpo de los cuaterniones, con basesrespectivas,

{ }, , ,Ial k k k k k k= 1 2 2 3 3 1 , (2.32)

{ }, , ,q Ia k k k k k k k k= 0 1 2 3 0 1 2 3 . (2.33)

Los cuerpos y conmutan. Se puede definir el producto tensorial que tiene comobase

E qab a bl= Ä . (2.34)

El conjunto satisface los postulados para ser un anillo, que llamaremosbicuaterniones, con producto y adición definidos por

q q qql l ll¢ ¢ ¢ ¢Ä ´ Ä º Ä , (2.35)

( ) ( )q q q ql l l l¢ ¢ ¢ ¢Ä + Ä º + Ä + . (2.36)

El subconjunto ortonormal ka se puede expresar en términos del anillo,


{ }, , ,q q q qak l l l l= 1 0 2 1 2 2 2 3 . (2.37)

Este conjunto de productos tensoriales de matrices es homomorfo al conjunto de matrices 44generado por el subconjunto ortonormal con el producto matricial estándar. El homomorfismoes 2 a 1 debido al producto directo en la definición. La base E subtiende el álgebra geométricade Clifford A.

A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G.La conjugación en V no determina un producto invariante. Sin embargo es conveniente

usar un producto invariante definido en V. Se conoce que el grupo SL(4,) preserva lacorrelación [1] del espacio (hbR)4, cuya dimensión es el doble que la de V. En las seccionessiguientes se discute la relación entre estos espacios y los espinores usuales de Weyl y deDirac. El producto invariante y el espacio correlacionado S se expresan en términos deuna transformación del grupo SL(4,) y su inversa. Una manera de construirlo se indica acontinuación.

Asociado a R3,1 consideremos un espinor de primera clase v que transforma comogSL(4,) y un espinor de segunda clase w que transforma inequivalentemente como g 1

y formemos el espacio S con vectores reales de 8 dimensiones de la forma

; v

v gv w g ww

y -é ùê ú ¢ ¢= = =ê úë û

1 . (3.1)

Ahora introduzcamos una correlación e inducida por la conjugación del álgebra e de acuerdoa la regla hiperbólica,

[ ]w vy = . (3.2)

que también puede ser escrita en términos de matrices reales 8´8 indicadas como matrices2´2 diagonales con submatrices 4´4,

†I v

I w

ky

k

æ öé ù é ù é ù÷çê ú ê ú ê ú÷=ç ÷çê ú ê ú ê ú÷çè øë û ë ûë û

0

0

0 00 0

. (3.3)

Está claro que las bases e y e 1 son de clase opuesta y juntas definen una base en S.Representemos los automorfismos de S, inducidos por la acción del elemento g,

definiendo una aplicación r a las matrices 2´2 diagonales con submatrices 4´4 de laforma

:G Gr 2 , (3.4)


( ) t Gr -

é ùê ú= = Îê úë û

21

g 0g

0 g . (3.5)

La aplicación r induce su aplicación derivada en la identidad. Debe estar claro quehay una correlación inducida en el álgebra que para cualquier a en sl(4,) nos da larelación

:I A Ar* 2 , (3.6)

donde 2A representa también matrices 2´2 diagonales con submatrices 4´4 determinadas poralgún elemento a del álgebra.

Usando el subconjunto ortonormal km podemos definir cuatro matrices 2k quepertenezcan a 2A de la forma

mm

m

kk

k

é ùê úº ê ú-ë û

2 00 (3.7)

y una matriz g,

I

Ig

é ùê ú= ê úë û

00

. (3.8)

Podemos entonces definir t como sigue,

( ) ( )~ † †t t ty y k g y= =20

, (3.9)

donde

† † t t t Gg k k g-

-é ùê ú= = = Îê úë û

12 2 1 2

0 0g 00 g

. (3.10)

Como t es el inverso de t, se tiene que la correlación en S se preserva por el automorfismocorrelacionado t del espacio S.

La operación ~ se puede trasladar a 2A. Si indicamos los elementos de 2G y 2A porlos elementos componentes g y a, se tiene

( ) ( )exp expa a-= = = -1g g , (3.11)

( ) ( ) ,I

aa a A sl

ar*

é ùê ú= Î ºê ú-ë û

04

0 , (3.12)


que tiene un inverso.El producto de Clifford en A induce un producto en 2A,

a bA

a b

é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú- -ë û ë û

20 00 0

, (3.13)

por medio de la expresión,

( ) ( ){ } ,I I Ia b a b a b Ar r r- -* * *º Î2 2 1 2 1 2 2 2 2 , (3.14)

que da explícitamente

a b ab

a b ba

é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û

0 0 00 0 0

. (3.15)

Si representamos las matrices 2a Î 2A por sus componentes a de A, el producto sepuede indicar por el producto de Clifford en A,

a b a b«2 2 . (3.16)En una forma estricta debemos tener una notación que distinga los elementos

asociados a S de aquellos asociados a V. Sin embargo, puede ser conveniente indicarlos elementos correspondientes asociados a ambos espacios con el mismo símbolo,confiando que se pueda determinar del contexto si el elemento está asociado a S o V.Esta convención es usada en algunos lugares a través del libro. Prácticamente estosignifica que todos los cálculos se pueden hacer usando los elementos a Î A. Al final,la otra componente en 2A se puede obtener por conjugación.

aba b

ab

é ùê úê ú-ë û

0

0 , (3.17)

que da explícitamente el mismo resultado

aba b

ba


2 2 00

. (3.18)

De una manera informal podemos escribir,

~a a

a a

é ù é ù-ê ú ê ú=ê ú ê ú-ë û ë û

0 00 0

. (3.19)


A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0).Es de interés discutir la relación entre las involuciones y antiinvoluciones

correspondientes de las álgebras R3,1 y R2,0. Esta última, como se indicó anteriormente,es generada por los elementos r1 (igual a r) y r2 (igual a s)

que obedecen las relaciones

( )ir =2 1 . (4.1)

r r r r e= - = -1 2 2 1 , (4.2)

e = -2 1 . (4.3)La operación transposición sobre estas matrices nos da la antiinvolución reversión

de este álgebra de Clifford, que indicaremos por *. La involución principal del álgebra,indicada por ^, se puede expresar como

a ae e*= , (4.4)y la antiinvolución conjugación es a^*.

Está claro que tenemos las siguientes relaciones:

î ir r= - , (4.5)

e e= , (4.6)mostrando que la subálgebra par está subtendida por 1 y e. Esta subálgebra par es isomorfa alos números complejos. La antiinvolución reversión se reduce a conjugación compleja dentrode la subálgebra par. Esta es la razón para seleccionar el símbolo * para indicar la reversión enR2,0. También se tienen las relaciones,

i ir r* = , (4.7)

e e* = - . (4.8)Si indicamos por el anillo generado por estas matrices debe quedar claro que el

grupo SL(4,) es homomorfo al grupo SL(2,), donde cada elemento de la matriz2´2 pertenece a . Las operaciones en el álgebra se pueden expresar usando las de como sigue. La conjugación es

† †a a a t tk k k k* *= =0 0 0 0 , (4.9)

donde t indica la transpuesta de las matrices 2´2 y † la transpuesta de las matrices 4´4. Debedestacarse que, con esta notación, la operación † es equivalente a las operaciones *t en elsubálgebra par, como debe ser para coincidir con la notación compleja de la conjugaciónhermítica. Similarmente la involución principal es


†a a a tk k k k*= =5 5 5 5 , (4.10)

ˆ ˆˆ

ˆ ˆb c b c

ad f d f

e ee e

é ùé ù é ù é ù- ê úê ú ê ú ê ú= = ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û ê úë û

0 00 0

(4.11)

y la reversión es

ˆ â a t tk k* *= 0 0 . (4.12)

El grupo SL(2, ) actúa sobre un espacio bidimensional sobre el anillo , que es elespacio espinorial asociado V. Un elemento de V se puede descomponer sobre el anillocomplejo,

ii

ii

a b a ba a bv

c d c dc c d

re rr

re r

é ù é ù é ù é ù++ +ê ú ê ú ê ú ê ú= = = +ê ú ê ú ê ú ê ú++ + ë û ë û ë ûë û

1 2

1 2

. (4.13)

El espacio espinorial V= R3,1 está compuesto por dos espacios espinoriales R2,0. Laparte par de V es isomorfa al espacio usual de espinores complejos asociados a SL(2,),la parte par de SL(2, ).

A.5. Relación de Espinores de losGrupos G y L.

El grupo SL(4,) es homomorfo al grupo SL(2,). La conjugación en el álgebrade Clifford es

† †a ak k= 0 0 , (5.1)

_ † † † †

† † a b a b d b

c d c d c a

r r r r r rr r r r r r

é ùé ù é ù é ù é ùê úê ú ê ú ê ú ê ú= = ê úê ú ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û ë û ë û

0 00 0 (5.2)

y en el espacio espinorial, para xÎV

†

† † a

b ab

rx r r

r

æ öé ù é ù÷ç é ùê ú ê ú÷= = -ç ÷ ê úç ë ûê ú ê ú÷ç -è øë û ë û

00

. (5.3)

Si restringimos a SL(2,), el subgrupo par que preserva la métrica, la conjugaciónse reduce al intercambio hiperbólico de las componentes complejas porque el anillo


se reduce a su subanillo complejo. Se tiene entonces,

† † †

† †

a b I a b I d bc d I c d I c d

- é ùé ù é ù é ù é ù -ê úê ú ê ú ê ú ê ú= = ê úê ú ê ú ê ú ê ú- - -ë û ë û ë û ë û ë û

0 00 0

, (5.4)

†

† † I a

b aI b

xæ öé ù é ù÷ç é ùê ú ê ú÷= = -ç ÷ ê úç ë ûê ú ê ú÷ç -è øë û ë û

00

. (5.5)

Las matrices 2´2; a, b, c, d; se pueden expresar como números complejos,

b ax * *é ù= -ê úë û , (5.6)

o en forma matricial

( )†x ex= . (5.7)

En esta forma se ve que los espinores x corresponden a 2-espinores de Weyl. Laoperación de multiplicación de matrices se puede escribir con índices, usando e parasubir y bajarlos,

BAB Ae x xº , (5.8)

teniendo cuidado al bajar y subir los índices debido a la antisimetría de e. Adoptemos laconvención que el signo es positivo cuando la línea que uniría índices sumados adyacentes es/. Indiquemos también los índices de espinores inequivalentes conjugados complejos con unpunto. De esta manera escribimos

BA BAx e x= - , (5.9)

x x= 21 , (5.10)

x x= - 12 , (5.11)

x x* *= 21

, (5.12)

x x* *= - 12

. (5.13)

También apuntamos las relaciones siguientes,

ABABe e= , (5.14)


BCABe e e= - = 21 , (5.15)

A BA C BA C AB BC Cx x e e x e x d= = = . (5.16)

La parte par del subconjunto ortonormal k corresponde a las matrices s de Pauli,

X AA X

b ba as s d= 2

, (5.17)

X B B XA AY Y

mms s d d= 2

. (5.18)

Como s representa la parte par de la aplicación k, del espacio de Minkowski al álgebra A, nossirve como aplicación entre vectores y espinores de Sl(2,) de segundo rango. Podemosintercambiar índices espinoriales y vectoriales usando s, como sigue,

ab AWBXc CY

T T« , (5.19)

WXC W X CA BABY Y

T Tg aba b gs s s=

, (5.20)

X AAX

va ax s h =

. (5.21)

Si tenemos un espinor de dos componentes sobre la acción del subgrupo par Ldel grupo G, se puede expresar en términos de las partes par e impar del espinor original,que son espinores de dos componentes sobre el cuerpo complejo,

( )l l l l l ln h rx h rx h r x*= + = + = + , (5.22

lh h¢ = , (5.23)

*lx x¢ = (5.24)

y vemos que las partes par e impar transforman como representaciones conjugadasinequivalentes de L. Se puede formar un espinor complejo de cuatro componentes,

xx

yhh

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

1

2

1

2

, (5.25)

que se reconoce como un 4-espinor de Dirac.


A.6. Bases Espinoriales Pares y BasesVectoriales.

Una base espinorial par f, de SL(2,), compuesta de dos espinores que satisfacen,

ˆ ˆˆ ˆ

C DA B ABCD

e f f e= , (6.1 )

define una base vectorial q, en una forma canónica, usando el homomorfismo que envía SL(2,)a SO(3,1),

ˆ †tram a mq s f s f= 1

2 . (6.2)

La métrica asociada a esta base espinorial es

Y B A X Z D C WA X C WB Y D Z

g a bmn ab m nh f s f s f s f s= 1

4 , (6.3)

AC X YA CXY

gmn m ne e s s=

. (6.4)

La métrica también satisface,

( )detdeti

gi

aa

q q q q s qq q q q

é ù+ -ê ú == ê ú+ -ê úë û

20 3 1

1 2 0 3 , (6.5)

en términos de las matrices hermíticas s. Una seudorotación SO(3,1) deja invariante la métrica.La nueva matriz hermítica inducida por la base rotada se relaciona con la vieja por unatransformación l del grupo L formado por matrices complejas 2´2. Si la métrica permaneceinvariante bajo L

( )†detg g l laas q¢ = = , (6.6)

se cumple la siguiente relación,†det detl l = 1 , (6.7)

det il e a= . (6.8)El grupo de transformaciones L que preserva la métrica es SL1(2,), el grupo lineal especial endos dimensiones sobre el cuerpo complejo con determinante compleja de modulo unidad.

A.7. Derivada del Subconjunto


Ortonormal.Consideremos el fibrado AM con fibra A sobre el espacio tiempo M. Consideremos una

base Ea en el álgebra. Hay una manera de definir una conexión en AM tal que el conjuntoEa tenga derivada covariante nula [5]. Hay una base interna para la cual todas las matricesEa son iguales en cada punto. Como el grupo de holonomía es el mismo para cada punto,uno puede, para un punto fijo m0ÎM y cada punto mÎM asignar un camino de m0 a m. Elconjunto U de matrices Ea, generado por el grupo de holonomía está formado por funcionesanalíticas de las coordenadas. Entonces, una transformación interna de las bases U-1(m)resultará en un conjunto de matrices independientes del punto m.

Hay una conexión en AM definida partiendo de la conexión dada en VM, asociada a E.La derivada covariante de las matrices Ea es

ba a a a b aE E E E Em m m m m¶ G G G = + - - , (7.1)

donde podemos escribir los términos que involucran la conexión en VM como,

[ ], ,d d ba d a d a bE E E c Em m mG G Gé ù = =ê úë û (7.2)

y obtener

( )d b ba a da a bE E c Em m m m¶ G G = + - . (7.3)

Si ahora definimos la conexión en AM por la relación,

b b da dacm mG Gº , (7.4)

se tiene,

( ) aaE Emm

¶ = = 0 . (7.5)

En particular, para un subconjunto ortonormal, compuesto de cuatro de las matricesEa y designado por los símbolos ka se tiene,

( ) ˆ ˆˆ , bbEm a mama

k G k Gé ù = = -ê úë û0 . (7.6)

Referencias

1 I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), ch 13 (1969).2 E. Cartan, Theory of Spinors, (M.I.T. Press, Cambridge) (1966).3 R. Penrose, W. Rindler, Spinors and Space-Time (Cambridge University Press,4 R. Penrose, in Relativity, Groups and Topology, ed. by DeWitt and DeWitt (Gordon

and Breach Sc. Publ., New York), p. 565 (1963).5 Loos, J. Math. Phys. 8, 2114 (1967).

B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS.Presentamos ciertos grupos de Lie y espacios simétricos relacionados con el álgebra de

Clifford. Para un tratamiento general consulte, por ejemplo, los libros de Gilmore y Helgasonindicados en las referencias.

B.1. Grupos de Lie.Los grupos de Lie tienen una estructura de variedad diferenciable en adición a su estructura

algebraica de grupo. A ellos se les puede asignar una estructura de fibrado principal, con unsubgrupo H como fibra y un espacio simétrico M como base. Como se muestra en la sección 4,los cocientes de grupos son espacios simétricos,

M G H= , (1.1)

Si escribimos la descomposición por cociente izquierdo como

G MH= , (1.2)claramente se indica la acción por la derecha de H sobre G, y sobre si mismo como acciónvertical sobre la fibra del fibrado principal (G,M,H).

B.1.1. El Diferencial de una Aplicación.El álgebra de Lie de un grupo es el álgebra de los generadores diferenciales del

grupo, correspondientes a los elementos del espacio tangente al grupo en la identidad,TGI. Para ver esto geométricamente, introducimos primero el concepto de diferencialde una aplicación. Supongamos dos variedades M, N y una aplicación m,

:M Nm ¾¾ . (1.3)

Sea tÎTM, entonces se tiene tÎTMm para algún mÎM. Tomemos una curva g con t suvector tangente en m. Como

:R Mg ¾¾ , (1.4)

( ):R Nm g ¾¾ (1.5)

es una curva en N. Su tangente en m(m) indicada por m*t define la aplicación

:TM TNm* ¾¾ . (1.6)

que nos da una tangente en N. La definición de m* podría depender de la curva g

Apéndice B GEOMETRÍA FÍSICA286

escogida. Mostraremos que m* es independiente de g usando una definición equivalente.Si tÎTM, es suficiente decir como m*tÎTN opera sobre las funciones F(n), donde n esm(m). Si fÎF(n), se tiene fmÎF(m) y definamos,

( )( ) ( ) ( ) , , t f t f f F N t TM t TNm m m* *= Î Î Î . (1.7)

Esta definición no depende de g y veremos que es equivalente a la primera definición,como sigue,

( )( ) ( )( ) ( )( )tangent d df f f

d dm g m g m g

l l= =

0 0 , (1.8)

( ) ( )( ) ( )tangent t f f t fm g m m* = = . (1.9)

Por lo tanto las dos definiciones concuerdan.Se puede mostrar que m* es lineal,

( )t s t sm m m* * *+ = + . (1.10)

( )at a tm m* *= (1.11)

y también, si tenemos la aplicación,

:N Pt , (1.12)que obedece a la regla de la cadena,

( )t m t m* **= . (1.13)

Debemos apuntar que si N=R, m* se reduce al diferencial.Debe estar claro que, para las proyecciones p en TM y p en TN,

:TM Mp ¾¾ , (1.14)

:p TN N¾¾ , (1.15)

se tiene

t m p t m np m m*= = = . (1.16)

Si tenemos un campo de formas diferenciales a en N, esto es, una sección en *TN,podemos definir una sección en *TM por composición. Definamos a*m en M por,

( )mmm a a m**º , (1.17)

y se tiene para cualquier campo vectorial n en M,

287Grupos y Espacios Simétricos

( )( ) ( )v vm a a m**= . (1.18)

Por lo tanto obtenemos un campo de formas diferenciales en M, que llamaremos formaretroinducida a*m, que determina una sección en *TM.

B.1.2. El Algebra de Lie de un Grupo.El álgebra de Lie A de un grupo de Lie G es el espacio vectorial TGI con un producto

heredado del producto en el grupo. Para definir este producto, introduzcamos loscampos invariantes por la derecha (izquierda) sobre la variedad del grupo G en laforma siguiente. Consideremos la multiplicación por la derecha (izquierda) por unelemento aÎG,

:aR G G¾¾ (1.19)

( ) ,aR b ba a b G= Î , (1.20)

que es un difeomorfismo con inverso Ra-1 (La

-1). El diferencial de esta aplicación,

:a b baR TG TG* , (1.21)

es un isomorfismo de espacios tangentes. Un campo vectorial sobre G es invariante

por la derecha (izquierda), denotado por X , si satisface

aR X X a G* = Î , (1.22)

para todo aÎG. Esto significa que

a b baR X X* = , (1.23)

que es cierto si y sólo si

a I aR X X* = , (1.24)

a b I ba I baR R X R X X* * *= = . (1.25)

En consecuencia dado XIÎTGI hay un campo vectorial invariante por la derecha

(izquierda) X con el valor XI en la identidad. Se puede probar que X es C¥. De unamanera similar se pueden definir campos vectoriales invariantes por la izquierda.

Los campos vectoriales invariantes nos permiten definir una operación en TGI,usando la derivada de Lie, poniendo,

[ ] ( ), ,X II

X Y Y X Yé ù= = ê úë û . (1.26)


El espacio vectorial TGI, con esta operación como producto, forma el álgebra de Liedel grupo G. Este producto obedece,

[ ] [ ], ,X Y Y X= - , (1.27)

[ ] [ ] [ ], , , , , ,X Y Z Y Z X Z X Yé ù é ù é ù+ +ë û ë û ë û . (1.28)

Las constantes de estructura c se definen usando una base Xa en el álgebra,

, ki j i j kX X c Xé ù =ë û . (1.29)

La representación adjunta se puede definir en términos de multiplicación por laderecha y por la izquierda. Consideremos

:L R G G- ¾¾1g g , (1.30)

( ) :L R TG TG-

*¾¾1

g g . (1.31)

Podemos definir

( )AdI

L R-

*º 1

g g g , (1.32)

que claramente actúa sobre el álgebra A,

Ad :A A¾¾g (1.33)

y pertenece a End(A).Consideremos ahora que

( )Ad : EndG A¾¾ , (1.34)

( )Ad : End EndTG T A A* ¾¾ = . (1.35)

Podemos definir

ad Ad I*º , (1.36)

que claramente también actúa sobre A,

ad: EndA A . (1.37)En términos de expresiones explícitas, se tiene, si

, ae G a Al= Î Îg g , (1.38)


( ) [ ] ( )( )exp ,bL R e b a b Ol l l l- = + +1 2 3g g . (1.39)

Como la identidad corresponde a l=0 podemos escribir,

( ) ( ) [ ] ( ),L R b b a b Ol l l l-

*= + +1 2 3

g g , (1.40)

( ) [ ] ( )Ad ,b b a b Ol l= + + 2g . (1.41)

Si expandimos alrededor de g=I, se tiene,

( ) ( ) ( )Ad Ad adI ab b bl= + +g , (1.42)

pero como AdI es la identidad, comparando las dos últimas ecuaciones, se obtiene,

( ) [ ]ad ,a b a b= . (1.43)

Debe apuntarse que

( ) ( )expAd exp adaal l= . (1.44)

B.2.Subespacios de Cartan.Las constantes de estructura satisfacen las reglas de conmutación y la identidad de

Jacobi. Por lo tanto suministran una representación R del álgebra, llamada regular,

( ) ,k ki k ij k i jj

X X c X X Xé ù= = ë ûR , (2.1)

que corresponde a la representación adjunta

( ) [ ]ad ,a b a b= . (2.2)

La métrica de Cartan-Killing se define usando la traza en esta representación regular,

( ) ( ) ( )( ), tra b a b= R Rg . (2.3)

En cualquier representación se puede definir una métrica de la misma manera. Engeneral las métricas en distintas representaciones no son iguales ni proporcionales.Sin embargo, si el álgebra es simple, el producto de dos vectores es una propiedad delálgebra solamente. Si las representaciones están relacionadas por adición de representaciones,podemos relacionar matemáticamente las métricas en representaciones correspondientes (porejemplo, vea el teorema de Wigner-Eckart). En este caso, el producto interno en cualquierrepresentación se puede expresar en términos de un producto abstracto. En las


aplicaciones usamos una métrica normalizada de manera que la norma del operador unidad, enun álgebra de Clifford asociada, sea 1.

Considere la ecuación de valores propios en la representación regular,

( ) [ ]ad ,a x a x xl= = . (2.4)

Esta ecuación conduce a una ecuación secular que tiene soluciones determinadas porlas raíces complejas del polinomio asociado.

Para cualquier elemento H en A y cada autovalor l de adH consideremos elsubespacio

( ) ( ){ }, : ad kA H X A H I Xl l= Î - = 0 . (2.5)

Se puede probar que A es una suma directa sobre estos subespacios,

( ),r

ii

A A H l=

= å0

. (2.6)

Hay un subespacio que corresponde a los autovalores cero, llamado subespacio deCartan, subtendido por generadores que conmutan entre sí. Una subálgebra de Cartanno se determina unívocamente sino que está determinada por la escogencia de unelemento regular del álgebra completa. Existe un automorfismo de la extensióncompleja del álgebra que vincula cualquier par de subálgebras de Cartan. Un elementoH es regular si

( ) ( )( )dim , min dim ,A H A X=0 0 . (2.7)

Los n generadores que subtienden el espacio de Cartan se pueden considerarcomponentes de un vector H. Los autovalores correspondientes se pueden representaren el espacio de Cartan por el vector peso w,

w wy y=H w . (2.8)

Similarmente, las raíces se pueden representar en el espacio de Cartan como vectoresraíces r(a). De hecho, se puede transferir toda la información contenida en las raícesy la métrica de Cartan-Killing a la información contenida en el subespacio, máspequeño, de Cartan. Las relaciones de conmutación se pueden poner en la formacanónica,

,i jH Hé ù =ë û 0 , (2.9)

[ ] ( ),E Ea aa=H , (2.10)


[ ] ( ),E Ea a a- = · H , (2.11)

,N E

E E

0 , (2.12)

donde N es un factor de normalización.Los espacios de raíces de Cartan se pueden clasificar usando las relaciones que

existen entre las diferentes raíces posibles, que en conjunto forman figuras geométricasen este espacio. De esta manera se puede probar que existen cuatro series infinitas deestos espacios que se designan con las letras A, B, C y D. Cada elemento de una serieestá determinado por la dimensión del espacio de Cartan. Además existen otras clasesexcepcionales, de dimensiones limitadas designadas E, F, G. Existen los siguientesisomorfismos entre algunos de estos espacios,

1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 4 4 5 5

A B C B C A DD A A A E D E

= = = =

= ´ = = . (2.13)

Se puede probar el siguiente teorema debido a Cartan: Un álgebra de Lie incompactaA’ se puede descomponer en una suma directa,

'A A A+ -= Å , (2.14)

donde la métrica de Cartan-Killing es definida negativa cuando se restringe a A+ ydefinida positiva cuando se restringe a A- y existe una Z2-gradación,

,A A A+ + +é ù Ìë û , (2.15)

,A A A+ - -é ù Ìë û , (2.16)

[ ],A A A- - +Ì . (2.17)

En otras palabras A+ es compacta y A- es incompacta. Decimos que A+ es lasubálgebra compacta maximal de A. Asociada a A’ existe un álgebra real compacta,forma real de la extensión compleja AC de A, definida por el truco unitario de Weyl,

A A iA+ -º Å , (2.18)

En general la acción de los automorfismos involutivos de la extensión complejadel álgebra produce una descomposición que cumple con la Z2-gradación de lossubespacios con valores propios +1 y -1,

TAT A- =1 , (2.19)


T =2 1 . (2.20)Solo existen tres automorfismos diferentes de este tipo,

*T = , (2.21)

,p

p qq

IT I

I

é ù+ê ú= ºê ú-ë û

00 . (2.22)

,p

p pp

IT J

I

é ù+ê ú= ºê ú-ë û

00 . (2.23)

Se puede probar el siguiente teorema: Sean A’ y B’ dos álgebras de Lie, realessemisimples, con respectivas descomposiciones de Cartan. Entonces A’ y B’ sonisomorfas si y sólo si las formas reales compactas A y B son isomorfas por unisomorfismo que manda A+ a B+.

Esto indica que las álgebras semisimples se pueden clasificar determinando lospares (A,A+) o sea un álgebra compacta y una subálgebra compacta maximal. Lasálgebras relacionadas con esta descomposición se obtienen, partiendo del álgebracompacta A, utilizando el truco unitario de Weyl en el subespacio con autovalor -1 deuna de las involuciones indicadas. Las formas reales de los grupos se obtienen partiendode la forma compacta G al aplicar el mismo procedimiento. Los grupos clásicos realescorresponden a las series A, B, C y D de espacios de Cartan.

El espacio An-1 caracteriza el grupo complejo SL(n,) y todas sus formas reales. Laforma real compacta es SU(n). Bajo la conjugación compleja se construye el grupoSL(4,) que es la forma real normal del grupo complejo. Bajo la involución Ip,q seobtiene el grupo SU(p,q). Bajo la combinación de Jn,n y conjugación se obtiene elgrupo SU*(2n).

El espacio Bn caracteriza el grupo complejo SO(2n+1,). La forma real compactaes SO(2n+1,) que es también la forma real normal. La conjugación es trivial y lainvolución Jn,n no existe. Por lo tanto el único automorfismo no trivial es Ip,q quedetermina el grupo SO(p,q) para q+p impar.

El espacio Cn caracteriza al grupo complejo Sp(2n,). La forma real compacta esUSp(2n). La conjugación y Jn,n producen el mismo resultado, el grupo Sp(2n,) quees la forma real normal. El automorfismo Ip,q determina el grupo USp(2p,2q)

El espacio Dn caracteriza el grupo complejo SO(2n,). La forma real compacta esSO(2n,) que es también la forma real normal. La conjugación es trivial. Elautomorfismo Ip,q determina el grupo SO(p,q) para p+q par. El automorfismo Jn,ndetermina el grupo SO*(2n).


B.3.El Grupo G.Dentro del álgebra de Clifford A hay un grupo definido como el subconjunto de

elementos de A con inverso. Como el álgebra es el elemento geométrico determinante,este grupo se genera por la exponenciación del álgebra en términos de la baseortonormal del álgebra. Ambos tienen una acción natural sobre el espacio lineal V quellamamos el espacio espinorial asociado de A.

Consideremos el grupo en A, las transformaciones lineales GL(2,), compuesto detodas las matrices invertibles aÎA, 2´2 sobre . En otras palabras, es el grupo linealbidimensional sobre el anillo de seudocuaterniones (submatrices reales 2´2). Loselementos de GL(2,) se pueden representar por matrices reales 4´4, indicadas porR(4). Podemos definir la determinante de GL(2,) por la determinante correspondienteen R(4). Este grupo produce endomorfismos lineales del espacio espinorial V. Estamosinteresados en el subgrupo unimodular SL(2,), el grupo G de automorfismos internosdel álgebra R3,1.

En particular, los automorfismos internos del álgebra, producidos por G, son de laforma,

a a-¢ = 1g g . (3.1)

donde g es un elemento de SL(2,) contenido en el álgebra A. Como el álgebra es larepresentación adjunta, esta acción corresponde al grupo adjunto de G, Ad(G), actuandosobre A.

También nos interesan los automorfismos producidos por los grupos cubrientes.Como el grupo cubriente correspondiente a un álgebra que sea una suma directa es elproducto de los grupos cubrientes de las componentes invariantes del álgebra, se tiene

( ) ( ), ,GL R SL= Ä2 4 . (3.2)

La adjunta del centro de este grupo, actuando sobre el álgebra corresponde a laidentidad. Entonces hay automorfismos triviales producidos por el subgrupo R+. Losautomorfismos no triviales corresponden al grupo cubriente de SL(4,). El subgrupoSL(2,) esta representado por SL(4,) y tiene como álgebra de Lie sl(4,). Entoncesdebemos tener un homomorfismo

( ) ( , ),i

SLSL

D=

42 , (3.3)

donde Di es un subgrupo discreto del centro.En topología algebraica existe la secuencia general de homotopía [1] que relaciona

diferentes grupos de homotopía pk,


( ) ( ) ( ) ( ) ( ))i pk k k k kB H G B HD Dp p p p p* * * *+ -¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾1 1 , (3.4)

para un fibrado G con fibra H sobre el espacio base B.El primer grupo de homotopía de SL(4,) se puede determinar como sigue. Se

tiene la secuencia general exacta de homotopía,

( )( )

( ) ( )( )

( ), ,

,SL SL

SO SLSO SO

p p p pé ù é ùê ú ê úé ù é ù¾¾ ¾¾ ¾¾ë û ë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

2 1 1 1

4 44 4

4 4 . (3.5)

El espacio simétrico B es el espacio riemanniano incompacto generado por el sectorincompacto complementario al álgebra maximal compacta,

( )( )

( )( ) ( )

, ,SL SLB

SO SU SU= =

Ä4 4

4 2 2

. (3.6)

Debido a las propiedades homotópicas del espacio B, que es contráctil, sus grupos dehomotopía son la identidad y esta secuencia colapsa a la secuencia exacta corta,

( ) ( ),I SO SL Ip pé ù é ù ë û ë û1 14 4 . (3.7)

que implica que los grupos correspondientes de homotopía son isomorfos,

( ) ( ),SL SO Zp pé ù é ù= =ë û ë û1 1 24 4 . (3.8)

y SL(4,) es doblemente conexo, como el bien conocido SO(4). El grupo cubriente deSO(4) es

( ) ( )( )SO SU SU= Ä4 2 2 . (3.9)

Para obtener el grupo cubriente de G necesitamos la secuencia

( ) ( )I SU SU G Ip p é ùé ù Ä ë û ë û1 12 2 . (3.10)

Esta distinción se puede lograr en el álgebra envolvente de Clifford A, usando larepresentación del álgebra suministrada por su estructura bicuaterniónica. Para tenerlugar para un subgrupo SU(2)SU(2) dentro de G, hay que romper la igualdad

qe e Ipl p = 4 (3.11)

de multiplicación matricial, para l=1, q=1. Las operaciones suministradas por el anillo determinan que el inverso aditivo (negativo) de la identidad en , indicado por-I, no es equivalente al inverso respectivo en , indicado por -I.

Es posible definir matrices sobre el anillo . En particular consideremos el


grupo lineal en una dimensión sobre el anillo abstracto inconmutativo designadocomo GL(1,). Definamos el subgrupo especial de bicuaterniones de modulo unidad(dos cuaterniones de modulo unidad), SL(1,). Este grupo es generado por elálgebra de Lie

( ), a a aba a a bsl I I q b qdq l df d lÄ = Ä + Ä + Ä1 , (3.12)

que es isomorfa a sl(4,). Un grupo obtenido por exponenciación de este álgebra eshomomorfo a SL(4,).

Si usamos el producto tensorial , como en el álgebra A, el centro invariantediscreto del grupo se determina por

Il = 1 , (3.13)

qI = 1 . (3.14)

Por lo tanto, el grupo lineal especial SL(1,) tiene el subgrupo discretoinvariante D compuesto por los elementos,

{ } { } { } { }{ }, , , , , , ,I I I I I I I I- - - - . (3.15)

Los subgrupos invariantes de D son

{ },I I I= , (3.16)

{ } { }{ }, , ,I I I I Z- = 2

, (3.17.

{ } { }{ }, , ,I I I I Z- = 2

, (3.18)

{ } { }{ }, , ,I I I I Z- - = 2

, (3.19)

que son distintos aunque los tres últimos son isomorfos.Si usamos la identificación estándar que define las operaciones -I y -I como

equivalentes, como en multiplicación matricial, claramente se obtiene el grupo SL(4,).El subgrupo invariante de SL(4,) se puede escribir como

{ } { }{ } { }, , , ,DI I I I I I

Z-= = -4 4

2 . (3.20)

En otras palabras, SL(4,) es doblemente conexo y se obtiene dividiendo por la


relación de equivalencia,

( , ) ( , )( , )SL SLSL

Z ZÄ

= =2 2

1 44 , (3.21)

de la cual podemos identificar el grupo cubriente de SL(4,), módulo un isomorfismo,

( , ) ( , )SL SL= Ä4 1 . (3.22)

El subálgebra compacta es generada por

( ), ( ) ( )a aC a asl q su sudq l dfÄ = Å = Å1 2 2 (3.23)

y se obtiene el subgrupo maximal compacto

( ) ( )H SU SU= Ä2 2 . (3.24)

El grupo tiene la estructura de un fibrado sobre B con fibra el subgrupo compacto H,correspondiente a una descomposición por cociente izquierdo,

G BH= . (3.25)El grupo no simple U(1)SL(2,) es el subgrupo par de SL(1,) y el homomorfo

SL1(2,), las matrices 2´2 de determinante compleja de módulo unidad, es el subgrupopar de SL(2,) o SL(4,).

B.4.Espacios Simétricos.Los espacios simétricos son variedades cuyo tensor de curvatura es invariante bajo

todo transplante paralelo,

R = 0 . (4.1)Considere cualquier geodésica que pase por un punto p=g(0), en una variedadriemanniana. La simetría geodésica aplica simétricamente puntos a lo largo de lageodésica,

( ) ( ):ps g l g l¾¾ - . (4.2)

Una variedad riemanniana es localmente simétrica si para cada pM hay un entornonormal Np donde la simetría geodésica es una isometría.

Existe una demostración que la invariancia de la curvatura es equivalente a lacondición que la simetría geodésica, con respecto a cada punto, sea una isometríalocal. Por lo tanto, los espacios simétricos tienen un grupo transitivo de isometrías G’y pueden ser representados por un cociente G’/H. [2, 3]. La clasificación de estosespacios fue realizada por Cartan utilizando esta relación de los espacios simétricos


con los cocientes de grupos de Lie.La métrica de Cartan-Killing de un espacio cociente de grupos, G’/H, se toma como

la métrica en el subespacio del álgebra de G’ complementario al álgebra de H. Laexponenciación de este espacio es un espacio globalmente simétrico [4] porquecualquier punto y su entorno se pueden trasladar a cualquier otro punto por unaoperación del grupo. De esta forma, se puede probar que la métrica es invariante.

Como tanto el grupo G’ como el subgrupo H están relacionados con gruposcompactos por medio de involuciones, hay distintos cocientes relacionados entre sípor dos involuciones que indicaremos por s y t. Las posibilidades para la involuciónt son exactamente las mismas disponibles para las involuciones s, indicadas en lasección anterior. Por lo tanto, la clasificación de los espacios simétricos quedadeterminada aplicando un par de involuciones tomadas del conjunto indicado, queconmuten y agoten las posibilidades. Los valores propios simultáneos de este parpueden usarse para describir A

A A A A A++ +- -+ --= Å Å Å . (4.3)

El automorfismo involutivo t sirve para señalar un subgrupo compacto, partiendode un grupo compacto G

( )expG A At+ ++ -+= Å (4.4)

y el espacio simétrico compacto complementario con métrica definida es

( )( )exp Gi A A

G t+- --

+

Å = . (4.5)

El otro automorfismo s sirve para convertir el subgrupo compacto a un subgrupoincompacto

( ) ( )exp expG A A A iA Gs st t+ ++ -+ ++ -+ += Å ¾¾ Å = (4.6)

y para convertir el espacio simétrico con métrica definida en uno con métrica indefinida

( )( ) ( )( )exp expG Gi A A i A iA

G G

ss

st t

++ -- +- --+ +

= Å ¾¾ Å = . (4.7)

El espacio simétrico G/G+ posee una métrica definida negativa derivada de la métricade Cartan-Killing. El espacio dual G*/G+, donde G* es la forma grupal incompactamaximal y G+ es el subgrupo compacto maximal, posee una métrica igual pero definidapositiva, derivada de la métrica de Cartan-Killing restringida al subespaciocomplementario de A*. Ambos espacios son por lo tanto espacios riemannianos.

Hay un teorema que dice que los espacios simétricos hermitianos irreduciblesincompactos son exactamente las variedades G/H donde G es un grupo simple conexo


(no) compacto con centro {I} y H es el grupo compacto maximal de G con un centro nodiscreto [5]. Existe una notación estándar para la clasificación de estos espaciosriemannianos, que consiste en indicar el tipo de espacio de Cartan (A,B…), el tipo deinvolución (I,II,III) y las dimensiones que caracterizan a los grupos (2n,p,q).

Hay otras formas reales del grupo complejo GC entre los extremos G y G* y por lotanto también hay una serie de espacios simétricos que son formas reales de la extensióncompleja del cociente,

CC

CG G

G G+ +

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø , (4.8)

que se encuentran entre los dos espacios extremos riemannianos. Estos espaciosin termedios poseen una métr ica indef in ida y se cons ideran espaciosseudorriemannianos. El carácter de una forma real se define como la traza de la formacanónica de la métrica. Este número entero corresponde a la diferencia entre el númerode generadores compactos e incompactos. Los distintos espacios, dentro de una serie,se clasifican por el carácter de su forma real. La serie se puede caracterizar por sugrupo incompacto final.

Las series de espacios cocientes relacionados con el espacio de Cartan A3 son deinterés. En particular, escogemos el automorfismo involutivo t del tipo AIII(p=2,q=2)que determina un subgrupo compacto G+ heptadimensional. Se obtiene, de esta manera,una serie de espacios octodimensionales, caracterizados por el grupo incompactoSU(2,2), correspondiente a los espacios riemannianos G/G+ y su dual G*/G+,

( ) *( ) ( , )( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

SU SU SUSU SU U SL SO SL SO

SL ,R SUSL SO SU SU U

» » »Ä Ä Ä Ä

» »Ä Ä Ä

4 4 2 22 2 1 2 2 2 1 1

4 2 22 2 2 2 1

.(4.9)

Debido al isomorfismo de los espacios A3 y D3 se tiene la serie isomorfa, de espacioscaracterizados por el grupo incompacto SO(4,2), correspondiente a los espaciosriemannianos G/G+ y su dual G*/G+ con involución t del tipo BDI(p=4,q=2),

( ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )

SO SO SOSO SO SO SO SO SO

SO SOSO SO SO SO

» »Ä Ä Ä

» »Ä Ä

6 5 1 4 24 2 3 1 2 3 1 1 1

3 3 4 23 1 2 4 2

. (4.10)

Los caracteres de las formas reales de ambas series isomorfas son -8, -4, 0, +4, +8.


Otras series de interés están relacionadas con el espacio de Cartan C2. En particular,escogemos el automorfismo involutivo t del tipo CII(p=2,q=2) que determina unsubgrupo compacto G + hexadimensional . Se obt iene una ser ie de espacioscuatridimensionales, caracterizados por el grupo incompacto USp(2,2), correspondientea los espacios riemannianos G/G+ y su dual G*/G+,

( ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

USp USp SpUSp USp Sp Sp Sp

Sp USpSp USp USp

» » »Ä Ä

» »Ä

4 2 2 42 2 2 2 2

4 2 22 2 2

. (4.11)

También, debido al homomorfismo de los espacios B2 y C2 se tiene la serie isomorfa, deespacios caracterizados por el grupo incompacto SO(4,1), correspondiente a los espaciosriemannianos G/G+ y su dual G*/G+ con involución t del tipo BDI(p=4,q=1),

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )

SO SO SO SO SOSO SO SO SO SO

» » » »5 4 1 3 2 3 2 4 14 3 1 2 2 3 1 4

. (4.12)

Los caracteres de las formas reales de ambas series isomorfas son -4, -2, 0,+2, +4.

Referencias

1 G. W. Whitehead, Elements of Homotoy Theory (Springer Verlag, New York) (1978).2 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 163 (1962).3 E. Cartan, Bull. Soc. Math. France 55, 114 (1927).4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley and

Sons, New York), p. 350 (1974).5 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 310 (1962).

C. CONEXIONES EN FIBRADOS.Presentamos ciertas nociones necesarias de las conexiones en fibrados. El tratamiento

no es completo pero sirve para establecer conceptos y la notación usada en el libro. Sesupone un conocimiento general de geometría diferencial y fibrados. Para mayores detallesvea las referencias [1, 2, 3, 4].

C.1. Un Campo Fundamental.Sea A el álgebra de Lie de un grupo G que actúa sobre una variedad M por la derecha.

Por cada aÎA, tenemos una curva en G.

( )expt ta¾¾ . (1.1)

Para cada punto mÎM, esto produce una curva en M,tat me¾¾ . (1.2)

Indiquemos por ma el vector tangente a M en t=0. Así, se tiene un campo vectorial

sobre M. El vector a también se puede describir como sigue. Para mÎM sea laaplicación

:m G Ms ¾¾ , (1.3)

( )m ms =g g , (1.4)

entonces es

( )m m Ia as *= . (1.5)

Está claro que, si indicamos por S el conjunto de secciones de un fibrado,

( ):A S TMs* es lineal. También se puede probar que

[ ], ,a b a bé ù= ê úë û

. (1.6)

Si ahora tomamos M que sea un fibrado principal E, sabemos que G actúa por laderecha sin punto fijo. Por lo tanto, tenemos un campo vectorial fundamental acorrespondiente a cualquier aÎA. Para cada eÎE, la aplicación

301Conexiones en Fibrados

ea a¾¾ (1.7)

es un isomorfismo porque G actúa libremente. Como las aplicaciones Rg:EE envíanlos espacios verticales sobre sí mismos, el conjunto de todos los ea es precisamente elconjunto de vectores verticales en pe.

C.2. La Conexión de Ehresmann.Una conexión en un fibrado principal (E,M,G,p), con álgebra A correspondiente al

grupo de estructura G, es una 1-forma w sobre E valuada en A, tal que

:TE Aw ¾¾ , (2.1)

( )a aw = , (2.2)

( ) ( )Ad R t t t TEw w-* = Î1

g g . (2.3)

Para cada eÎE la aplicación

: e eTE A e Ew ¾¾ Î (2.4)

es sobreyectiva, de modo que su núcleo He es un subespacio de TEe que tiene las

mismas dimensiones que M . Este He se llama el subespacio horizontal de TEedeterminado por la conexión. Los vectores tangentes en He se llaman vectoreshorizontales. Se puede probar que H es una distribución C¥ que satisface

e e eTE V H= Å , (2.5)

e eH R H*=g g . (2.6)

También se puede probar que un H que satisfaga estas ecuaciones determina la forma de co-nexión w.

Partiendo de la descomposición en suma directa y del hecho que el subespaciovertical Ve es el núcleo de

: e eTE TMpp* ¾¾ , (2.7)

queda claro que

: e eH TMpp* ¾¾ (2.8)

es un isomorfismo para cada e. En consecuencia, para cada campo vectorial X en TMhay un campo vectorial único X* en E que es horizontal en todas partes y se proyecta

Apéndice C GEOMETRÍA FÍSICA302

de vuelta en X,

e eX Xpp ** = , (2.9)

que se llama el vector horizontal elevado de X. Se puede probar que

R X X* ** =g , (2.10)

( )X Y X Y* * *+ = + , (2.11)

( ) :fX f X f M Rp* *= , (2.12)

[ ], hor ,X Y X Y* * *é ù= ê úë û . (2.13)

Si c es una curva segmentada C1 en E, decimos que c es horizontal si y sólo si todossus tangentes son horizontales. En aquellos puntos donde c no sea C1 requerimos queambos c’+ y c’- sean horizontales. Si

[ ]: ,c M¾¾0 1 (2.14)

es una curva segmentada C1 en M, se define la curva elevada de c como la curvahorizontal,

[ ]: ,c E* ¾¾0 1 , (2.15)

que se proyecta de vuelta en c,

c cp * = . (2.16)Esta curva es única dado el punto inicial c*(0), que se proyecta en c(0).

Podemos ahora definir el transporte paralelo de los espacios verticales del fibradoE a lo largo de cualquier curva c en M, como el isomorfismo de los espacios vectoriales,

( ) ( ):t c c tt p p- -¾¾1 10 , (2.17)

definido por

( ) ( )tc c tt * *=0 . (2.18)

Si el fibrado principal es un fibrado de poliadas e, bases de un espacio vectorial Vde n dimensiones, está asociado naturalmente al fibrado vectorial VM con el espacio Vcomo fibra. Una sección e de E induce un isomorfismo,

: nee R VMp¾¾ (2.19)


y se tiene

( ) ( ):t e ee e VM VMp p tt - ¾¾1 , (2.20)

lo cual nos permite definir el transporte paralelo de vectores de V, secciones de VM,partiendo del transporte paralelo de e

( ) ( ) t m t m m mY e e Y Y VMt t -= Î1 . (2.21)

Podemos definir ahora la derivada covariante,

( )( ) ( )( )lim X t

Y c t Y cY

t

t-

- =

1

0

0 , (2.22)

donde c(0) es m y

( ) m mX c TM m c= Î = 0 . (2.23)

En particular, si el fibrado vectorial VM es el fibrado tangente TM, el fibradoprincipal E es un fibrado de poliadas asociado al fibrado tangente TM. Entonces ambosvectores en la derivada covariante cumplen X,YÎTMm y la derivada define unaconexión de Koszul en el fibrado TM. Si el grupo de estructura G se puede reducir al gruporeal ortogonal O(p,q) hay una métrica g, invariante grupal con derivada covariante cero, en lavariedad base M.

C.3. Las k-Formas Tensoriales.Dado un espacio vectorial V con un número finito de dimensiones y una representación

lineal del grupo de estructura(G) en V, podemos definir tensores de tipo (G) sobre elfibrado principal E como la aplicación,

:t E V¾¾ , (3.1)tal que

( ) -e et t G= Î1

g g g . (3.2)

Consideremos un atlas que cubra el espacio base con las cartas Ui y una sección localei del fibrado E en cada carta. Para cada mÎUiÇUj tenemos un elemento gj

i de G tal que

i ij i j je e G= Îg g (3.3)

y podemos considerar un tensor local en M,

i it e t*º , (3.4)


( ) ( )ij e mme t t* = , (3.5)

obteniendo,

( ) ( )( )- ij j im m

e t e t* *= 1 g . (3.6)

Puede verse que las s*it pueden considerarse las imágenes, por el homeomorfismolocal, de una sección en el fibrado sobre M con fibra V y grupo estructural (G) quepuede llamarse el fibrado tensorial de tipo (G).

Una q-forma a sobre E, con valores en V, se llama una q-forma tensorial de tipo(G) si satisface las dos propiedades siguientes,

( ), , vq iX X X X T E TEa = Î Ì1 2 0 , (3.7)

( ) ( ) ( ), , , ,-q qR X R X R X X X Xa a* * * = 1

g 1 g 2 g 1 2g . (3.8)

donde TvE es el subfibrado vertical.Un tensor de tipo (G) se puede considerar una 0-forma. Si tenemos un atlas con

secciones locales ei podemos definir q-formas locales sobre M con valores en V,

( ) ( ) ( ), , , , , ,i q i q i i i qX X X e X X X e X e X e Xa a a** * *

¢ = =1 2 1 2 1 2 , (3.9)

que satisfacen

( ) ( ) ( ), , , ,- ij q j i qX X X X X Xa a¢ ¢= 1

1 2 1 2g . (3.10)

Inversamente, un conjunto de a’i locales que cubran M y satisfagan la últimaecuación, determina una q-forma tensorial sobre E.

Debe quedar claro que una q-forma tensorial con valores en V define canónicamenteun tensor sobre E, un elemento del fibrado tensorial sobre M con fibra VÄLq donde Lq

es el espacio de q-formas.Adicionalmente consideremos una q-forma a sobre E con valores en un espacio

vectorial V. Definamos una (q+1)-forma valuada en V, llamada la derivada exteriorcovariante de a, por la siguiente expresión,

( ) ( ), , , ,q qD X X X d hX hX hXa a+ +=1 2 1 1 2 1 , (3.11)

donde XiÎTEm y hX es la parte horizontal de X.Está claro que si cualquiera de los vectores X1, X2, ...Xq es vertical,

( ), , qD X X Xa =1 2 0 . (3.12)

Además se tiene,


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, ,

k

-

-k

D R X R X R X d hR X hR X

d R hX R hX d hX hX

D X X X

a a

a a

a

* * * + * *

* *

+

=

= =

=

g 1 g 2 g 1 g 1 g 2

1g 1 g 2 1 2

11 2 1

g

g

. (3.13)

Por lo tanto, se tiene que si a es una q-forma tensorial del tipo (G), entonces Da esuna (q+1)-forma tensorial del mismo tipo.

C.4. Curvatura y Torsión.En cualquier fibrado principal con conexión se puede definir la 2-forma tensorial curvatura

W por la ecuación

DW wº . (4.1)Si se tiene el fibrado de poliadas del espacio tangente TM, se puede definir una 1-

forma valuada en Rn proyectando y tomando componentes,

: ne eTE RQ ¾¾ , (4.2)

e eQ p-*= 1 , (4.3)

que llamamos la forma canónica Q de la forma dual (copoliada) q de la poliada vectorialtangente u.

Para una sección s se tiene la forma en M

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )-= m m m ms ms Y sY s m sY s m Y Y TMQ Q p* -* * *= = Î1 1 , (4.4)

Si tomamos para Y todos los vectores de una poliada tangente u y consideramos unasección local

( )s m u= . (4.5)

obtenemos

u u I- =1 , (4.6)que son las componentes de una copoliada q con respecto a la poliada u. Claramentes*Q coincide con q.

Se puede definir la forma de torsión S en términos de esta forma canónica, a travésde la expresión

DS Qº . (4.7)Si la torsión es cero y las poliadas son ortonormales, la conexión es riemanniana o


seudorriemanniana dependiendo del grupo de estructura O(p,q).Si definimos un campo vectorial básico en un fibrado de poliadas, para cada punto

xÎRn,

( )( )ˆ ex x*

= , (4.8)

se pueden probar las siguientes relaciones,

( )ˆQ x x= , (4.9)

( ) ( ) ,R GL n Rx* -= Î1g g g , (4.10)

( ) ( )ˆ, ,a a a gl n R Ax xé ù = Î ºê úë û , (4.11)

[ ], , e ea h H h H a AÎ Î Î . (4.12)

Las propiedades de transformación de las formas W, Q, S son

( ) ( ) ( ), Ad ,R X Y X YW W* -= 1g g , (4.13)

( )R XQ Q* -= 1g g , (4.14)

( ) ( ), ,R X Y X YS S* -= 1g g . (4.15)

Se puede probar que estas formas obedecen un conjunto de ecuaciones de estructurade Cartan que son,

( ) ( ) ( ) ( ), , ,X Y d X Y X YW w w wé ù= + ë û , (4.16)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,X Y d X Y X Y Y XS Q w Q w Q= + - , (4.17)

las cuales se pueden escribir en términos de formas ordinarias. Con respecto a unabase estándar e de Rn,

iieQ Q= , (4.18)

iieS Q= (4.19)

y una base estándar E de gl(n,)


j ii jEw w= , (4.20)

j ii jEW W= . (4.21)

Entonces se tiene

i i i kj j k jdW w w w= + , (4.22)

i i i kkdS Q w Q= + , (4.23)

y omitiendo los índices,

dW w w w= + , (4.24)

dS Q w Q= + . (4.25)

Estas formas satisfacen ciertas identidades, llamadas identidades de Bianchi. Encualquier fibrado principal, se puede probar la primera identidad de Bianchi,

DW = 0 (4.26)

y si el fibrado es un fibrado de poliadas de TM, la segunda identidad de Bianchi es,

DS W Q= . (4.27)

C.5. Formas Inducidas de Conexión,Curvatura y Torsión.

Si tenemos secciones locales ei, en E, podemos inducir formas correspondientes enel espacio base, la conexión ei*w, la poliada dual ei*Q, la curvatura ei*W y la torsiónei*S.

A cada vector tangente m ÎTM en el punto m, corresponden los vectores en TEtales que

ie m TE* Î , (5.1)

ie m mp* * = . (5.2)

Si hacemos un cambio de sección referencial,

ij i je e= g , (5.3)

obtenemos


i ij i j i je e e= +g g , (5.4)

donde los vectores tangentes g ÎTG en gÎG, corresponden a un elemento a del álgebrade Lie A del grupo G tal que,

( )a d m-= 1g g . (5.5)

Si dejamos que w actúe sobre e tenemos,

( ) ( ) ( )i ij i j i je e ew w w= +g g , (5.6)

pero

( ) ( ) ( )Ad ie R e ew w w-*= = 1

g gg , (5.7)

( ) ( )( ) ( )ie d m d mw w - -= =1 1g g g g g , (5.8)

resultando

( ) ( ) ( )Adj ie m e m d mw w- -* *= +1 1

g g g , (5.9)

( )Adj i ie e d e dw w w* - * - - * -= + = +1 1 1 1g g g g g g g , (5.10)

que es la ley de transformación de una forma local de conexión en M bajo un cambiode referencial.

La derivada covariante también se puede usar para definir las formas locales deconexión e*w inducidas de la sección local e del fibrado principal E, en componentescon respecto a la base o poliada e y una base u de TM, como sigue,

( )e e e w* = , (5.11)

que se puede escribir en forma de componentes

( )BM MA B A

e e em mw* = . (5.12)

La acción por la derecha se expresa por la sumatoria sobre índices poliádicos. Estaecuación da la velocidad de cambio de la poliada e referida a sí misma, a lo largo decurvas en M con los elementos de la base u como tangentes.

El grupo de estructura puede actuar sobre la fibra del fibrado principal, una basevectorial poliádica e de un fibrado vectorial asociado, de dos maneras: primero comouna acción sobre todos los vectores de la base poliádica transformándolos entre sí, la


transformación activa por la derecha; y segundo como una acción sobre lascomponentes de cada vector de la base poliádica, respecto a otra base, la transformaciónpasiva por la izquierda. En el fibrado principal asociado, el conjunto de bases se puedetomar isomorfo al grupo de estructura. Los diferentes miembros de la poliada se puedenindicar con un índice con barra. De esta manera, la acción del grupo por la derecha otransformación activa se puede escribir,

e e ba ab= g , (5.13)

mientras que la acción del grupo por la izquierda o transformación pasiva se puedeescribir,

e em m ll= g . (5.14)

La forma de conexión w, definida en términos de la acción por la derecha sobre labase (una transformación activa), tiene una expresión en términos de la acción por laizquierda (transformación pasiva) sobre un vector v de la fibra V

( ) ( )ev ev e v e e v vw ¶* = + = + . (5.15 )

La derivada covariante de un campo vectorial v en VM es, en componentes,

M M M NNv v e vm m m¶ w* = + , (5.16)

u omitiendo los índices,

v v e v¶ w* = + . (5.17)En particular, para las componentes vectoriales de la poliada e, referida a otra arbitrarias, podemos escribir,

e e s e e e¶ w ¶ G* = + = + , (5.18)donde denotamos por G el conjunto de componentes (coeficientes de conexión) des*w respecto a una poliada arbitraria s.

La derivada covariante de una q-forma tensorial f se puede expresar por

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

ˆ,

ˆ ˆ , ,

i

qi

q A i qi

i j

i j i j qi j

D A A A A A A

A A A A A A

f f

f

++

+ +=

++

<

= - +

é ù- ë û

å

å

11

1 2 1 1 11

1 1

1

1

. (5.19)

Para una 0-forma vectorial v la última expresión se reduce, en una base de coordenadas,


M M M NNem m m¶ w* = +v v v . (5.20)

La acción por la izquierda se expresa por la sumatoria sobre los índices de componentes.Similarmente para una 1-forma vectorial q se tiene,

( ),D m n m n n mq ¶ ¶ q q= - . (5.21)

Si el fibrado VM es TM, podemos asociar secciones de poliadas de coordenadasholonómicas ¶, a las coordenadas del atlas en la variedad base M. Asociada a unapoliada arbitraria (inholonómica), una sección s de E, y su copoliada dual (inversa),hay matrices respectivas u, q, que son elementos del grupo GL(4,). Podemostransformar la expresión de la forma de conexión en la base de coordenadas, ¶*w, a laexpresión en la base arbitraria, s*w , por la ley de transformación, ec. (5.10). Debemostomar para g el elemento de grupo u, cuya acción por la derecha envía ¶ a s.

( )s u duw q ¶ w q* *= + . (5.22)

La expresión de coordenadas de los coeficientes de conexión G de ¶*w se puede obtenerpor la transformación inversa,

( )u s udG ¶ w w q q* *º = + . (5.23)

Podemos escribir, para una base u en TM,

u u ul l l nm a m a nm a¶ G = + , (5.24)

u omitiendo los índices,

u u u¶ G = + . (5.25)Si tenemos una forma F de grado p con valores en L(S,S), en otras palabras valuada

en matrices, podemos escribir la derivada covariante,

,D d sF F w F*é ù= + ê úë û , (5.26)

donde el paréntesis se define, para dos matrices a y b de grado p y q respectivamente,por

[ ] ( ), pqa b a b b a= - - 1 . (5.27)

Aplicando repetidamente estas relaciones y usando la definición de curvatura, se obtiene

,D sF W F*é ù= ê úë û2 . (5.28)


Referencias

1 M. Spivak, Differential Geometry (Publish or Perish, Berkeley), ch. 8 (1970).2 A. Lichnerowicz, Théorie Globale des Connexions et des Groupes d’Holonomie, (Ed.

Cremonese, Roma), p. 62, 101 (1972).3 J. A. Schouten, Ricci-Calculus, 2nd ed. (Springer -Verlag, Berlin), (1954).4 I. Vaisman, Cohomology of Differential Forms, (Marcel Dekker, New York), (1973).

D. FIBRADOS JETADOS.

D.1. Fibrados Jetados.Consideremos E un fibrado C¥. Sea S(E) el espacio de todas las secciones de E y Ck(E)

el subespacio de secciones Ck. Sea e Î E tal que p(e) = m’ y sea U un entorno abierto de mcon coordenadas locales xm tales que exista una trivialización

: U mE U Ej ¢ ´ (1.1)

y sea W un entorno abierto de em, en la fibra Em con coordenadas locales yi. Indiquemosderivadas parciales de orden | a | por

... nnx x

aa

a a

¶¶

¶ ¶=

11

, (1.2)

donde a = {a1,....an,} es un conjunto de enteros no negativos y |a|=a1+…+an.Definamos una relación de equivalencia sobre las secciones en un punto, enunciando

que (x, S1(x)) es equivalente a (x’, S2(x’)) si

x x¢ = , (1.3)

( )( ) ( )( )i i

m my s y sa a¶ ¶=1 2 (1.4)

e indiquemos el cociente de S(E) por esta relación de equivalencia por Jk(E)m. Parauna sección s, sea jks(m) la clase de secciones con iguales derivadas en m hasta elorden k. Unívocamente podemos tomar Jk(E)m como las fibras C¥ de un fibrado vectorialJkE sobre M tal que jks Î C¥(JkE) para todas las secciones s Î C¥(E), que llamaremosel fibrado jetado [1, 2] de orden k del fibrado E. La aplicación lineal

( ) ( ): kkj C E C J E¥ ¥ (1.5)

se llama el mapa de prolongación k-jeta de una sección.Dos secciones equivalentes de JkE tienen las mismas derivadas parciales en el punto

especificado. El J1E tiene como espacio vertical en un punto todas las clases desecciones que tienen el mismo valor y las mismas primeras derivadas parciales en elpunto especificado.

Hay una proyección natural p desde JkE hacia E definida al enviar un punto jksm ÎJkE sobre m Î M al punto de E que tiene como espacio vertical en m la clase deequivalencia de jksm. Se tiene

313Fibrados Jetados

( )k m mp j s s= . (1.6)

El espacio vertical JkEe es el conjunto de todas las clases de secciones, definidascerca de m=p(e), tales que s(m)=e, relativa a la relación de equivalencia s1 ~ s2 si ysólo si (¶ks1)m ~ (¶ks2)m. Los elementos de JkEe definidos por la sección s son la k-jetade s en m, indicado por jksm

Las funciones (xm,y,zim) definidas sobre p-1[j-1(U´W)] por la regla

( ) ( )mx j s x mm m=1 , (1.7)

( ) ( )( )i imy j s y s m=1 , (1.8)

( ) ( )( )i

im

yz j s s m

xm m

¶¶

=1 , (1.9)

donde yi=yi(xm) son las ecuaciones de la sección s relativas a las coordenadas xm, yi y latrivialización j que hemos escogido, forman un sistema de coordenadas locales enJ1E, llamadas las coordenadas canónicas sobre J1E.

Puede verse que este formalismo suministra un ambiente natural para plantearecuaciones diferenciales. Podemos pensar que un sistema de ecuaciones diferencialesse define por un conjunto de relaciones de la forma

( )..., , , ...i i i iAF x y z z zm

m mn mn x = 0 , (1.10)

donde las coordenadas z están vinculadas a las derivadas parciales de las variablesindependientes yi en términos de las variables dependientes xm. Geométricamente, lasfunciones FA representan superficies en el fibrado jetado JkE y determinan un subespacioSÎJkE. Se puede pensar que una solución del sistema es una sección s en JkE quesatisfaga

kj s SÌ . (1.11)

Es posible introducir una forma fundamental asociada al fibrado jetado, que puedeusarse para caracterizar geométricamente problemas variacionales. Para esto sigamosel tratamiento presentado por García [3, 4, 5]. Transportemos la fibra de TEv hacia J1Econstruyendo el fibrado inducido p*TEv como sigue. Para un punto dado js(m)ÎJ1E seobtiene un punto de E,

( )( ) ( ) p j s m s m E= Î1 . (1.12)

Sea p*TEv el conjunto {j1s(m), vs(m)} donde vs(m)ÎTEv indica un vector en s(m) quesatisfaga

Apéndice D GEOMETRÍA FÍSICA314

( )( ) ( )( ) ( )s mp j s m q v s m= =1 , (1.13)

donde q: TEvE. El fibrado p*TEv tiene la proyección

: vq p TE J E*¢ 1 , (1.14)

( ) ( )( ) ( ), s mq j s m v j s m¢ =1 1 . (1.15)

Ahora podemos definir una 1-forma diferencial sobre J1E, llamada la forma deestructura Q, valuada en p*TEv. Si U es un entorno abierto de e en J1E con coordenadascanónicas (xm,yi,zi

m) entonces p*¶/¶yi es una base para la fibra de p*TEv y Q tiene lasiguiente expresión:

: vTJ E p T EQ *1 , (1.16)

( ) ( ) aa

V V p V TJ Ey¶

Q q¶

*= Î 1 , (1.17)

donde las qi son las 1-formas ordinarias

a a ady z dx aaq = - . (1.18)

Por consiguiente, la prolongación 1-jeta jls de la sección s sobre E es la únicasección sobre J1E tal que

p j s s=1 , (1.19)

j sQ = 0 . (1.20)

Es conveniente introducir la definición siguiente: Una transformación infinitesimalde contacto se genera por un campo vectorial V, una sección de TJkE, por medio de laderivada de Lie, si satisface

V hQ Q= · , (1.21)

donde h es un homomorfismo de la fibra de p*TEv y · es el producto bilineal usual.Se puede probar que hay prolongaciones de vectores en analogía con prolongaciones

de secciones. Sea V una sección en TE. Entonces existe una transformación infinitesimalde contacto jV, proyectable por p, una sección de TJ1E, tal que p*jV = V. Llamaremos aeste jV la prolongación 1-jeta de V. La aplicación VjV es una inyección del álgebrade Lie de los vectores sobre E dentro del álgebra de campos vectoriales sobre J1E.

315Fibrados Jetados

D.2. Secciones Críticas y Vectores deJacobi.

Si tenemos una orientación h en la variedad base M, que llamaremos el elementode volumen de M, podemos inyectarla por (pp)* en el álgebra de formas diferencialessobre J1E. Podemos hablar de la 4-forma Lh en J1E donde L es el lagrangiano. Definamosun funcional sobre el conjunto de secciones diferenciables s de E por

( )js

LA s h= ò , (2.1)

donde js es la prolongación 1-jeta de s. El funcional A se define en el conjunto S deaquellas secciones tales que la integral exista.

Llamaremos el diferencial del funcional A en una sección dada sÎS, denotado pordAs al funcional lineal sobre el espacio {j1V} de transformaciones infinitesimales decontacto, con soporte compacto, definido por

( ) ( )s jVjs

A jV Ld h= ò . (2.2)

Diremos que una sección s es crítica cuando

( )sA jVd = 0 . (2.3)

Definamos una (m-1)-forma L, llamada la forma de transformación de Legendre,

: m vTJ E p TEL - * *Ä 1 1 , (2.4)

que cumpla con la siguiente expresión local:

ii p dyL L *= · , (2.5)

donde

!m

i i

J Ldx dx dx

m za b

mabm

¶L e

¶-= - 1

. (2.6)

Definamos también la m-forma de Poincaré-Cartan P, asociada al problemavariacional por medio de las relaciones

: mTJ E RP Ä 1 , (2.7)

Apéndice D GEOMETRÍA FÍSICA316

LP Q L h= · - , (2.8)

donde el producto exterior se toma con respecto al producto bilineal definido por lanoción de dualidad.

La expresión para la derivada de Lie en la ec. (2.2) se puede calcular. Para cadatransformación canónica infinitesimal jV se tiene

( ) ( ) ( ) ( )j V L jV D f d jVh Q L h P Q L¢= · + - + · , (2.9)

donde L’ es una (m-1)-forma sobre J1E valuada en p*TEv* y f es una sección única dep*TEv*. El símbolo indica el producto interior de formas. Llamaremos la m-formaresultante DL+fh, la forma de Euler-Lagrange asociada al problema variacional dado.

Notando que Qjs = 0 y despreciando la forma exacta en la ec. (2.9) obtenemos de laec. (2.2) que una sección s Î S es crítica si y sólo si la forma de Euler-Lagrange escero sobre la extensión 1-jeta de la sección (ecuación de Euler),

( )js

D fL h+ = 0 . (2.10)

Dada una sección s de E, sea Xs el espacio de todas las secciones Vs de s*TvE. Alidentificar M con s(M) por la sección s, cada VsÌXs, define un campo vectorial vertical

de E sobre s(M). Entonces hay un campo vectorial V de J1E, unívocamente definidosobre j1s(M), tal que

s spV V* = , (2.11)

( )( )sV js M

Q = 0 . (2.12)

Partiendo de la definición de prolongación jeta podemos demostrar que sV es el valortomado sobre j1s(M) por la prolongación 1-jeta j1V de alguna extensión local V de Vs.

Si s es crítica, podemos definir el hessiano de L en s como el funcional simétricobilineal

:s s sA Rd X X´ 2 , (2.13)

( ) ( ) ( ) ( ),s s s jVjV jVjs js

A V V L jV D fd h Q L h¢ ¢¢ = = +ò ò2 . (2.14)

El núcleo de (d2L)s es el subespacio de Xs definido por aquellos campos vectorialesVsÌXs tales que cumplen

317Fibrados Jetados

( )sjV D fL h+ = 0 . (2.15)

Llamaremos campos vectoriales de Jacobi, sobre las secciones críticas s, a estos camposvectoriales que satisfacen esta última ecuación de segunda variación (o ecuación linealde la variación de la ecuación de campo).

Referencias

1 R. S. Palais, Foundations of Global Non linear Analysis, (W. A. Benjamin, New York)(1968).

2 R. Hermann, The Geometry of Non Linear Differential Equations, BäcklundTransformations and Solitons (Math. Sci. Press, Brookline) (1976).

3 P. L. García, Symp. Math. 14, 219 (1974).4 P: L. García, J. Diff. Geom. 12, 209 (1977).5 P: L. García, Rep. on Math. Phys. 13, 337 (1978).

E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FI-BRADOS.

Agrupamos aquí ciertas definiciones sobre variedades, fibrados y su topología. Para untratamiento completo vea las referencias [1, 2, 3, 4].

E.1. Variedades.Un atlas valuado en una pseudocategoría topológica o-atlas es un trío (Q(E),,h)

que consiste de lo siguiente:1- Una pseudocategoría Q(E) formada por los subespacios abiertos Ui no vacíos de unespacio E de Hausdorff, como objetos, y las aplicaciones de identidad parcial, comomorfismos,

ii j i jU U U U e EÇ ¹ Æ $ ¬¾ Î ; (1.1)

2- Un funtor covariante (U)

( ):Q E , (1.2)

que es una asignación, para cada objeto (carta) de Q(E), de un objeto de lapseudocategoría topológica ;3- Un isomorfismo funtorial que aplica el funtor covariante de encaje I, desde Q(E)hacia Ens, en las funciones de transición

:h I j (1.3)

y que determina las aplicaciones locales (homeomorfismos), hU para cada U, queobedecen el siguiente diagrama conmutativo

( )

( )

U

V

h

U UV V

h

U U

i

V V

j

¾¾

¾¾

(1.4)

y las funciones loca les de t rans ic ión j VU que son apl icac iones b iyec t ivas

(homeomorfismos) que pueden formar un grupo,

( ) ( ):UV U Vh U V h U Vj Ç Ç , (1.5)

319Algunas Propiedades de los fibrados

U UV V V Uh i hj -= 1 . (1.6)

Un atlas es cubriente si la unión todos los U es E. Dos atlas son compatibles si susuma es también un atlas valuado en . Un atlas es completo si es cubriente y contienetodos los atlas compatibles.

Una -variedad es el espacio de Hausdorff E junto con un -atlas completo. Si losobjetos de son espacios de Banach, Hilbert o de Euclides obtenemos respectivamentevariedades de Banach, Hilbert o de Euclides. Si los objetos de son espacios simétricosX de n dimensiones con su grupo G de similaridad como funciones de transiciónobtenemos una (X,G)-variedad [5]. En particular tenemos una variedad hiperbólica siX es un espacio hiperbólico H y G su grupo de isometría I(H).

E.2. Fibrados.Definamos un fibrado de la siguiente manera [6]. Sea

:p E M (2.1)

un objeto de S(Top), la categoría saeta (“arrow”) de espacios topológicos (categoríaformada por todos los morfismos de la categoría Top como objetos y los diagramasconmutativos como morfismos). Si la aplicación p es sobreyectiva decimos que es unaproyección, E es el espacio total, M es el espacio base y el trío es un espacio proyectado.Si m Î M se define el espacio vertical,

( ) verticalmp m E- º1 . (2.2)

El espacio proyectado se llama un fajo (“sheaf”) si la proyección es un homeomorfismolocal. Todo punto e de E tiene un entorno abierto homeomórfo a un entorno abierto dep(e).

Definamos la pseudocategoría (M,F) tomando como objetos los productos U´F,donde los U son los subconjuntos de abiertos de M y F es un espacio topológico, ycomo morfismos que preservan la proyección sobre U,

:U F V Fa ´ ´ , (2.3)

pr id pr V U U Va = Ç ¹ Æ . (2.4)

Un espacio fibrado es la variedad formada por un espacio proyectado E sobre Mcon un atlas valuado en(M,F) compatible con la proyección p. Si las funciones detransición del atlas forman un grupo obtenemos un fibrado con grupo de estructura G.Si la fibra coincide con el grupo de estructura se tiene un fibrado principal (E,M,G).

En un fibrado principal (E,M,G,p), una sección local s sobre un conjunto abierto UÌMes una aplicación C¥ tal que

Apéndice E GEOMETRÍA FÍSICA320

:s U E¾¾ , (2.5)

s Ip = , (2.6)con ps la identidad en U. Entonces, si s es global, cualquier punto e se puede escribircomo s(m)g y (m,g)ÎM´G es un producto directo, trivialización de E. Si un fibradoprincipal tiene una sección global el fibrado es trivial.

Consideremos un fibrado principal p:EM con grupo estructural G y álgebra deLie correspondiente A. Denotemos por TGE el fibrado de campos vectoriales G-invariantes en E. Denotemos por AdE el fibrado adjunto de E, que es el fibrado asociadocon E por la representación adjunta de G. Es el subfibrado de TGE definido por loscampos vectoriales G-invariantes que son tangentes a la fibra (verticales). Es un fibradode álgebras de Lie.

Una conexión en el fibrado principal se puede definir por una dicotomía de lasecuencia exacta corta de fibrados vectoriales [6],

GAdE T E TMp ¾¾ 0 0 , (2.7)

donde la dicotomía

: GTM T E H Vw = Å (2.8)

es un homomorfismo que define los subespacios horizontales del fibrado principal.Esos subespacios horizontales definen una forma de conexión w.

Una conexión en E se puede identificar con una sección del fibrado de conexionesp:WM def inido como sigue. Para un punto mÎM , sea Wm e l conjunto dehomomorfismos w: TM TE tales que

Ip w = . (2.9)Definimos W = UMWm siendo p la proyección natural de W sobre M.

Se puede ver que cada punto wm del espacio vertical Wm del fibrado W correspondea un complemento de espacio vectorial de AdE en TGE. Se conoce [7] que un espaciode complementos lineales de un subespacio vectorial tiene una estructura afín natural.Por lo tanto, la fibra de W es un espacio afín con parte lineal L(TGE/AdE, AdE) »L(TM, AdE).

E.3. Producto Homotópico.Hay espacios topológicos caracterizadas por un número entero asociado a sus grupos

de homotopía, que llamaremos devanado o, mas apropiadamente, envoltura n para losdistintos grupos de homotopía. Para un tratamiento completo de este tema vea lasreferencias [2, 3].

El entorno de curvas C(Y,y0) en una variedad Y es la colección de todas lasaplicaciones continuas


:f I Y1 (3.1)

del intervalo unidad que cumplan

( ) ( )f y f= =00 1 . (3.2)

Sean f y g dos aplicaciones en C(Y,y0). La yuxtaposición de f y g es el elemento deC(Y,y0) dado por

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

f g x f x x

g x x

* = £ £

= £ £

12 0 212 12 . (3.3)

Similarmente consideremos las aplicaciones del n-cubo en Y

: nf I Y (3.4)

tales que envíen el borde de In al punto y0 de Y. El borde bIn de In se define como lospuntos que cumplen

( )n

i iix x

=- = 1

1 0 . (3.5)

O sea que f cumple

( )nf I yb = 0 . (3.6)

Designemos al conjunto de estas aplicaciones por Cn(Y,y0).Definamos una relación de homotopía en Cn(Y,y0) diciendo que f y g son homotópicas

módulo y0 si hay una aplicación continua

: nh I I Y´ 1 (3.7)

tal que cumpla

( ) ( ), nh x f x x I= Î0 , (3.8)

( ) ( ), nh x g x x I= Î1 , (3.9)

( ), nh I t y tb = £ £0 0 1 . (3.10)

Esta es una relación de equivalencia en Cn(Y,y0) y lo descompone en clases deequivalencia formadas por los componentes conectados por arco de Cn(Y,y0)

La yuxtaposición de dos elementos de Cn(Y,y0) es el elemento dado por

Apéndice E GEOMETRÍA FÍSICA322

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

, ,

, ,

n

n

f g x f x x x x

g x x x x

* = £ £

= - £ £

1 2 1

1 2 1

12 0 212 1 12

. (3.11)

El grupo de homotopía pn de Y en el punto y0 se define como las clases de Cn(Y,y0)con la operación de grupo definida por la yuxtaposición,

[ ] [ ] [ ]f g f g= * . (3.12)

Estas definiciones, basadas en las aplicaciones del n-cubo en Y, pueden expresarsecomo aplicaciones de las esferas

: nh S Y . (3.13)

E.4. Tercer Grupo de Homotopía.En particular nos interesa el tercer grupo de homotopía de los espacios de grupos,

tomados como fibrados sobre cocientes. Tenemos la secuencia general de homotopía[3],

( ) ( ) ( ) ( ))i pG GH GH HDp p p p* * *¾¾ ¾¾ ¾¾4 3 3 3 . (4.1)

Para determinar p3(G), reconozcamos que la aplicación exponencial desde su subálgebraincompacta maximal es un difeomorfismo [4] hacia el cociente G/H donde H es elsubgrupo compacto maximal. Este cociente es un espacio riemanniano incompactoque es contráctil y su tercer grupo de homotopía es la identidad. Por lo tanto, tenemosuna secuencia exacta corta

{ } ( ) ( ) { }*iH Gp p¾¾ ¾¾ ¾¾3 30 0 , (4.2)

que implica que la aplicación intermedia es un isomorfismo y obtenemos

( ) ( )G Hp p=3 3 (4.3)

donde H es el subgrupo compacto maximal.También se sabe que hay un isomorfismo entre los grupos de homotopía de un

grupo y su grupo cubriente, exceptuando el primer grupo de homotopía [8]. Para elgrupo de homotopía de SL(4,) obtenemos entonces

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( , )

( )

SL SU SU

SU SU Z Z

p p

p p

= Ä

= Ä = Ä

3 3

3 3

4 2 2

2 2

, (4.4)


Similarmente, se tiene para los grupos de homotopía de los otros dos subgrupos posiblesde holonomía,

( ) ( )( ) ( )( , ) ( )Sp R SU SU Zp p p= Ä = =3 3 34 2 2 , (4.5)

( ) ( )( , ) ( )SL SU Zp p= =3 32 2 . (4.6)

Referencias

1 I. Vaisman, Cohomology of Differential Forms, (Marcel Dekker, New York), p. (1973).2 J. G. Hocking, G.S. Young, Topology (Addison-Wesley, Reading) p. 159 (1961).3 G. W. Whitehead, Elements of Homotoy Theory (Springer Verlag, New York) (1978).4 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)

p. 130, 137, 214 (1962).5 J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)

(1994)6 P. L. Garcia, Rep. on Math. Phys. 13, 337 (1978).7 I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), ch 13 (1969)8 F. H. Croom, Basic Concepst in Algebraic Topology, (Springer Verlag, New York)

(1978).

F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍASGEOMÉTRICAS.

F.1. Límites del Espacio Tiempo.

F.1.1. Propagación Instantánea.La relación matemática entre las teorías geométricas del tipo de Einstein y la teoría de

gravitación de Newton es de interés. Esta relación se simplifica si se usa la representacióngeométrica de esta última, en otras palabras, la teoría de Newton-Cartan [1, 2, 3]. Laprincipal dificultad matemática es que esta formulación no suministra una métrica sinoque se basa en una conexión afín irriemanniana, un tensor de valencia (2,0) y rango 3(métrica singular) y una función escalar de tiempo. Como hemos tomado la conexión de lageometría necesaria del espacio tiempo como la representación fundamental de lagravitación en general, estamos en posición de expresar esta relación apropiadamente.

Sabemos que, en la teoría de Newton, las señales gravitacionales viajaninstantáneamente y sería natural esperar que las teorías del tipo de Einstein se reduzcan ala de Newton en el límite de propagación instantánea. Es conocido que las señalesgravitacionales deben propagarse en frentes de onda formados en las hipersuperficiescaracterísticas del sistema de ecuaciones diferenciales. En estas hipersuperficies,caracterizadas por un vector nulo normal, el problema de valor inicial de Cauchy no puederesolverse sin restricción. En cada punto de esta hipersuperficie existe también localmenteun cono tangente característico de vectores nulos. Los rayos de propagación de losdisturbios o bicaracterísticas del sistema son sus geodésicas nulas normales. Para obtenerun límite geométrico, buscaremos un límite de los conos nulos gravitacionalescaracterísticos de las teorías correspondientes.

Introduzcamos tétradas u (cuatro vectores linealmente independientes) en cada punto[4, 5, 6], formando un sistema que llamaremos referencial, de manera que la métrica es

ˆˆˆˆg u ua b

mn m nabh= (1.1)

donde

ˆˆâb

cabh

d-


2

1 00 . (1.2)

Esta forma muestra explícitamente que la métrica está localmente de acuerdo con la

325Gravitación de Newton y Teorías Geométricas

relatividad especial. Ahora descomponemos la métrica covariantemente en

ˆ ˆ ˆˆˆˆ

a bab

g u u u u hc cmn m n m n mn mnd t= - = +0 0

2 2

1 1 . (1.3)

que sirve como definición de unos tensores singulares t de rango 1 y h de rango 3.Estrictamente, la estructura expresada por la ecuación (1.3), es seudoriemanniana perola llamaremos riemanniana como es costumbre.

En relatividad especial se hace la hipótesis que la velocidad máxima de las señaleses igual a la velocidad de la luz expresada en las ecuaciones de Maxwell. Por elmomento no hacemos ninguna hipótesis acerca de una relación posible entre lasvelocidades de señales gravitacionales y electromagnéticas. Así, queda abierta laposibilidad que la velocidad de propagación de disturbios en el campo métricogravitacional pueda diferir de la velocidad de la luz. Las unidades de distancia y tiempose suponen determinadas por procesos independientes de la gravitación. La unidad detiempo puede ser definida por alguna frecuencia atómica definida. La unidad dedistancia puede ser derivada de la unidad de tiempo por el requisito que la velocidadde la luz sea la unidad de velocidad. De esta manera todos las componentes del tensormétrico son adimensionales. Entonces c, el parámetro en la métrica de Lorentz h, seríarealmente un cociente adimensional de la velocidad local de las señales gravitacionalessobre la unidad velocidad (velocidad de la luz).

Si ahora tomamos un vector nulo l, sabemos

ˆ ˆg l l u u l l h l l cm n m n m n

mn m n mn= + =0 0 2 0 , (1.4)

por lo tanto encontramos

( ) ( )ˆ ˆ

h l l lc

u l u l

m nmn

a aa a

-= =

22

2 20 0

(1.5)

donde hemos definido el escalar l. La expresión en el denominador es la proyeccióndel vector nulo sobre el vector temporal de la tétrada. Podemos definir un escalaradimensional característico e para los conos nulos característicos.

ˆ lu lm

me º 0 . (1.6)

Para hacer la hipótesis usual de igualdad de la velocidad de ondas gravitacionales yelectromagnéticas, solamente fijamos e igual a 1 in nuestras ecuaciones. La hipótesismatemática que cualquier vector nulo, que no sea el vector cero, sea ortogonal al vectortemporal de la tétrada es equivalente a la hipótesis física que las señales gravitacionalesse propagan instantáneamente. Esta hipótesis geométrica nos va a servir para establecer ellímite buscado.

Apéndice F GEOMETRÍA FÍSICA326

Investigaremos la geometría expresada por la ecuación (1.3) en el límite matemáticoe0, l0, que llamaremos el límite de propagación instantánea [7]. En este límite lavelocidad de las señales gravitacionales tiende al infinito. El cono nulo gravitacionallocal en un punto, o lugar geométrico de todos los vectores nulos, se abre al acercarsea este límite, reduciéndose a un sólo hiperplano local, normal a la dirección temporal,que separa el futuro absoluto del pasado absoluto. Podemos llamar este hiperplano elplano local de simultaneidad. Cuando e es igual a 1, tenemos la geometría usual deRiemann de las teorías del tipo de Einstein. Cuando e es igual a 0 obtenemos el límitede instantaneidad donde los frentes de onda gravitacionales se propagan con velocidadinfinita a lo largo del límite de las bicaracterísticas de la métrica. De otra maneratenemos espacios de Riemann donde las ecuaciones gravitacionales rigen pero la luzno necesariamente viaja a lo largo de las bicaracterísticas de la métrica. Este límite esequivalente al límite estacionario en el cual e representaría el cociente de la velocidadcaracterística sobre c y puede ser usado como una aproximación a baja velocidad.

F.1.2. Límite Local.Suponemos que la dependencia singular de la métrica en el parámetro e es la

dependencia minimal requerida por el acuerdo local con la relatividad especial.

ˆˆâb

cabh

d-


2

1 00 . (1.7)

En cierto sentido, lo que hacemos es introducir una estructura geométrica en nuestravariedad e investigar los límites en que el escalar e vaya a cero. Para definir el conceptode límites de variedades seguimos, en general, el trabajo de Geroch [8] y lo extendemosal caso de métricas singulares [7]. Por una estructura geométrica entendemos laespecificación general de los tipos de campos bajo consideración, esto es, el númerode conexiones, el número y valencias de campos tensoriales, etc. Por una realizaciónde una estructura geométrica entendemos una variedad conectada de Hausdorff,equipada con campos del tipo descrito por la estructura geométrica dada.

Sean M y M’ variedades con realizaciones f y f’, respectivamente, de una estructurageométrica dada. Por una isoafinidad entendemos un difeomorfismo de M sobre unsubconjunto de M’ que l leva f a f ’ , preservando la estructura geométrica.Consideremos una familia uniparamétrica de variedades, esto es, para cada valor deun parámetro e>0 tenemos una variedad cuatridimensional M(e) con alguna estructurageométrica. Estamos interesados en encontrar los límites de esta familia mientras e vaa cero. Supongamos ahora que las variedades M(e) se pueden poner juntas para formaruna variedad pentadimensional de Hausdorff M. Cada M(e) debe ser una subvariedadde M. El parámetro e ahora representa un campo escalar en M mientras la estructurageométrica en M(e) define una estructura geométrica en M.

El problema de hallar límites a la familia (M(e), f(e)) se reduce a ponerle un borde


apropiado a M. Definimos un espacio límite de M como una variedad pentadimensionalM’ con borde M, equipada con una estructura geométrica continua, un campo escalary una aplicación suave, una a una, Y de M en el interior de M’ tal que las siguientescondiciones sean satisfechas:

1) Y es una isoafinidad, p.e. envía f a f’ y e a e’.2) M’ es la región dada por e=0. Requerimos que M’ sea conectada, Hausdorff y

no vacía.La primera condición asegura que M’ realmente representa a M con un borde adherido;la segunda condición asegura que el borde representa un límite cuando e tiende a cero.

Es siempre posible, dado un espacio límite M’ de M, hallar alguna familia continuaC0 de referenciales que asume un límite cuando e0. Por una familia de continua Cl

de referenciales en M entendemos una tétrada u(e) asignada a un sólo punto m(e) deM(e) por cada e0 tales que los u(e) son campos vectoriales continuos de clase Cl enel parámetro e a lo largo de la curva suave en M definida por los puntos m(e).Representemos los puntos de M(e) en un entorno de m(e) en un sistema de coordenadasnormales basado en u(e). En términos de estas coordenadas, las componentes de losobjetos geométricos regulares en los M(e) se acercan a un límite cuando e0 y loslímites de las componentes son precisamente las componentes de un objeto geométricoen M’ en un entorno de m(0). Así la familia de referenciales u(e) unívocamente defineuna estructura geométrica en el espacio l ímite M’ a l menos en un entornosuficientemente pequeño de u(0). Las propiedades globales del límite se discutiránposteriormente.

Entonces, podemos decir que un límite de la familia de variedades M(e) secaracteriza localmente por una familia continua C0 de referenciales. Hemos relacionadola métrica en cualquier punto con la tétrada en ese punto por las ecuaciones definitorias(1.1) y (1.7). Esta tétrada representa el sistema en reposo de un observador ubicado enese punto, y define el cono nulo local que el observador puede determinar porexperimentos. Mientras variamos e abriendo el cono nulo, obtenemos una familiauniparámetrica de teorías del tipo de Einstein, cada una con diferente valor de e, hastaalcanzar la teoría límite en e=0 . Cada teoría se representa por una variedadcuatridimensional (espacio tiempo) M(e0) y todas se juntan para formar una variedadpentadimensional M’.

En cada una de las variedades M(e0) tenemos un observador, que define un sistemaen reposo en algún punto. Tenemos que definir como aplicamos los puntos yobservadores de una variedad a otra con valor diferente de e. Esto es, somos libres deespecificar cuando un punto y un observador en M(e’) han de ser considerados losmismos que otro punto y otro observador en M(e). En un lenguaje más matemático,definimos una curva en M que contiene el conjunto de puntos en cada M(e) que sonconsiderados puntos equivalentes y definimos una familia de tétradas en M que contieneel conjunto de tétradas (observadores) en cada M(e) que son considerados tétradasequivalentes. Somos libres de definir esta equivalencia de puntos y tétradas solamente


para un sólo punto y una sóla tétrada, porque la estructura geométrica que supondremoses una estructura rígida (en el sentido de Geroch), y la equivalencia de otros puntos ytétradas queda determinada por la estructura geométrica, como veremos en la próximasección.

F.1.3. Límite Global.Geroch [8] supone que la métrica es regular en el límite, para probar que el espacio

límite tiene una extensión única. En nuestro caso la métrica es singular en el límite ytenemos que generalizar [7] los teoremas probados por Geroch. Para hacer estodescansaremos en la conexión afín en lugar de la métrica. Sabemos que en laformulación cuatridimensional de la teoría de Newton, la conexión afín no es singular[7]. Nuestro objetivo es demostrar que la conexión newtoniana es de hecho un límitede la conexión de Riemann, pero por el momento hacemos la hipótesis que nuestravariedad M’ está provista de una conexión afín continua, que nos da la estructurageométrica necesaria. Representemos puntos en M(e0) en términos del sistema decoordenadas normales basado en u(e0). En términos de estas coordenadas lascomponentes de la conexión en M(e0) tienen límites cuando e0 y por lo tantodefinen una conexión afín en M’ en un entorno del punto m(0).

Sean M y M’ variedades conectadas provistas de una estructura afín y sea (v1, v2...vn) cualquier colección v de n vectores que no sean cero en el punto m en M .Construyamos una geodésica quebrada como sigue. Sea g1 la geodésica, que pasa porm cuyo vector tangente en m es v1. Escojamos un parámetro afín l tal que es cero en my obedece

vaa l =1 1 . (1.8)

Sea m1 el punto en g1, a una distancia afín unidad desde m. Transportemos paralelamentelos n-1 vectores v restantes a lo largo de g1, hasta m1. Ahora repitamos esta construccióncon estos n-1 vectores en m1 y así definamos un punto m2. Repitamos con n-2 vectoresen m2 y así definamos un punto m3, etc. Después de n pasos obtendremos un punto mn(Nos restringimos a conjuntos de n vectores v en m para los cuales, en cada paso de laconstrucción, las geodésicas apropiadas se pueden extender una unidad de distanciaafín). Como cualquier punto arbitrario m’ de M se puede unir a m por una geodésicaquebrada, siempre podremos escoger n y el conjunto v de manera que m’ sea mn.

Sean Y, Y* dos isoafinidades de M a M’ que envían una tétrada u en m a otra tétradau’ en m’ preservando la conexión. Entonces Y y Y* tienen la misma acción en cualquiervector v y ambas Y(m) y Y*(m) son definidas por geodésicas quebradas en M’ con elmismo conjunto inicial de vectores. Por lo tanto, Y coincide con Y* para cada punto mde M y tenemos (teorema 1) [8]: hay al máximo una isoafinidad de M a M’ que envíaG a G’ y u a u’. Decimos que tenemos una estructura rígida de orden 1

Sean M1 y M2 dos espacios límites de M. Decimos que M2, es una extensión de M1


si existe una aplicación suave de M1 adentro de M2 que preserva la estructura geométricay deja invariante cada punto de M. El teorema anterior implica que, si M1 es unaextensión de M2 y M2 es también una extensión de M1 entonces M1 es igual a M2.

Construyamos la unión disyunta de todas la extensiones de M’ y denotémosla porN. Ahora definamos una relación de equivalencia en N. Si m1 pertenece a M’1 y m2

pertenece a M’2 escribimos m1m2 si existe una familia de tétradas en M que en M1,tiene un límite en m1 y en M2 tiene un límite en m2. Vemos que siempre cuando m1m2

existen entornos de m1 y m2 que también están identificados. Así el conjunto de clasesde equivalencia forma en una manera natural un espacio límite M+. Por construcciónM+ es una extensión de cada extensión de M’. Si M* es una extensión de M+, debemostener que M* es igual a M+ y por lo tanto M+ no tiene extensión apropiada. Entoncestenemos (teorema 2) [8]: cada espacio límite M’ tiene una única extensión M+ talque (1) M+ no tiene extensión apropiada y (2) M+ es una extensión de cadaextensión de M’.

Hemos definido una relación de equivalencia en M, y las clases de equivalencia depuntos y tétradas (observadores), que son particiones, representan los puntos y tétradas(observadores) en la variedad cuatridimensional original de Riemann. Si la familia detétradas definida por una clase de equivalencia de puntos y observadores tiene unlímite en M’, selecciona una geometría límite particular del borde entre todas lasgeometrías posibles en el límite de instantantaneidad.

La cuestión de si una familia particular de tétradas, construida de esta manera tieneo no un límite, no puede resolverse a menos que añadamos más información. Al requerirque esta familia de observadores o tétradas sea continua, hemos introducido unaimportante hipótesis física. El límite de instantaneidad se selecciona al requerir quealguna familia de tétradas definida por las ecuaciones (1.1) y (1.7) es de hecho continuaC0. El límite newtoniano se determina haciendo otras hipótesis acerca de la distribuciónde materia. Cualquier tétrada permisible (observador) se define por la ecuación (1.1)módulo una transformación de Lorentz de las tétradas. En otras palabras, una vez queespecifiquemos como el espacio tangente de un punto particular m de M deba seraplicado dentro del espacio tangente de un punto particular m’ de M’, el comportamientode Y, en todo lugar queda determinado por la acción de Y sobre el espacio tangente. Porlo tanto cada familia de tétradas diferenciable o bien no define espacio límite o biendefine un espacio limite que es maximal. En nuestro caso, podemos decir que el límitenewtoniano que se obtenga en un entorno pequeño por el uso de la familia de tétradas use puede extender univocamente.

F.1.4. Postulados.Para discutir la geometría de espacios newtonianos como un límite de la geometría

de espacios relativísticos hemos hecho los siguientes postulados:1. - Hay un difeomorfismo Y de M adentro de M’ que es una isoafinidad (p. e. envía

G a G’, u a u’, e a e’, etc.).


2. - El borde M’ es la región definida por e igual a cero. Requerimos que M’ seaconectado, Hausdorff y no vacío. También requerimos que M’ sea un espacio con lamisma topología de los espacios M(e0).

3. - Una familia de tétradas u(e0), correspondiente a un único observador en unpunto único y relacionado con la métrica de Riemann por las ecuaciones (1.1) y (1.7),es continua de clase C0 a lo largo de una curva g en M’ (hipótesis de instantaneidad).

Ahora, para asegurar la rigidez necesaria, añadamos un cuarto postulado:4. - La aplicación, dada una geometría riemanniana, del campo tetrádico u a la

conexión afín G es continua de clase C0 a lo largo de la curva g en M’.

F.2. Condición de Rigidez Geométrica.Sabemos que en un espacio de Riemann la conexión es métrica y la derivada

covariante del tensor métrico es cero

ga mn = 0 . (2.1)

Nuestro postulado general (4) implica que esta ecuación tiene un límite en el bordeM’ en un entorno del punto límite de la curva g. Consideramos que esta ecuación nosda una aplicación entre el campo tetrádico y el campo de conexión, que podemosescribir como sigue

ˆ:uam G1 . (2.2)

Como esta aplicación m es continua (postulado 4) y su dominio es continuo (postulado3) concluimos que su rango, la conexión, es también continuo de clase C0 a lo largo lacurva g in M’. La conexión afín en el punto m’ en el borde M’ debe obtenersesuavemente de la conexión de Riemann cuando e0. Esto suministra la rigideznecesaria de nuestro espacio límite M’ como se describió en una sección anterior.

Una función escalar de coordenada tiempo 0t, definida en el espacio borde M sepuede extender del punto 0m’ en el borde M a un semientorno abierto U’ de 0m’ en M’al asignar el mismo valor de t a puntos equivalentes en cada M’(e). Así hemos definidouna función t en U’. Podemos definir el campo vectorial ortogonal t en U’

t tm m= ¶ . (2.3)

Usando la libertad que tenemos en seleccionar la dirección de las tétradas en cadaM(e) sin cambiar la métrica [4, 5] podemos escoger u(e) tal que su vector u0 se alineecon la dirección del campo vectorial t en cada punto en U’.

û tm mz=0 . (2.4)

En una sección anterior hemos separado la métrica en


ˆ ˆ ˆˆˆˆ

a bab

g u u u u hmn m n m n mn mne d t e= - º +0 0 2 2 (2.5)

y su inverso en

ˆˆˆ ˆ ˆˆ

aba b

g u u u umn m n m ne d-= - 20 0

. (2.6)

Si expresamos el campo tetrádico en el entorno de un punto m en la curva g, entérminos de las coordenadas adaptadas a la tétrada en el punto m, las componentes delcampo tetrádico deben ser continuas en un entorno de la curva g. Tenemos entoncesque existen coordenadas normales regulares, basadas en la familia de tétradas u, dondeambos t y h no son singulares cuando e0. En este límite obtenemos una relaciónválida en U’ en M’. Usando coordenadas adaptadas indicadas por , en el entorno U’

tm nd0 (2.7)

y podemos escribir

mn

zt


2 00 0

. (2.8)

También obtenemos, en U, debido a la ortogonalidad de las tétradas,

ˆ

iu um

m =0 0 , (2.9)

mnhh

mné ùê úê ú-ë û

0 00

(2.10)

y su normalización,

ˆû u tm

m z=0 2 00

1 , (2.11)

mt

Am z-é ù

ê úê úë û

2

, (2.12)

m

n m n

A

A A Amn z

tz

-é ùê úê úë û

2

2 , (2.13)

donde A es la proyección del vector tm en la hipersuperficie de tiempo t constante. El3-vector A es cero si tm es ortogonal a la hipersuperficie.


De la relación de la métrica g con su inverso obtenemos

mmn

n

A Ah

A hmn

z zz

é ù-ê úê ú-ë û

4 2 2

2 (2.14)

donde h es una 3-métrica en las hipersuperficies de t constante y

nm mnA h A . (2.15)

De la ecuación (2.1) se tiene que

haa mn mnt e= - 2 . (2.16)

Esta ecuación es equivalente a la expresión de la conexión en función de las tétradas.En otras palabras, ella no impone ninguna restricción en el orden de la conexión. Laúnica contribución posible a alguna singularidad de la conexión viene del término e-2

asociado a h en la métrica. Tomando en consideración la ortogonalidad de h y t tenemospara las posibles singularidades

( )h hab ab

m nb n mb b mn b mnt t t te e

-¶ +¶ -¶ = ¶2 22 2

. (2.17)

De las ecuaciones (2.8) y (2.16) vemos que debemos tener, para e pequeño ,

( )Oa z e¶ =2 2 , (2.18)

de manera que las derivadas no sean singulares as e0. La conexión tiene un límitecuando e0, suministrando la estructura rígida necesaria al espacio pentadimensionalM. Como z(0) es constante se puede fijar igual a 1 redefiniendo la función 0t in M.Esto implica que t puede ponerse en la forma

( )t t t tmn m n m nt z e j= º +2 21 2 (2.19)

donde j permanece finito cuando e0. También tenemos

ta m =0 0 . (2.20)

Un punto en el espacio de Riemann original es equivalente a un punto en el espacioborde cuando ellos están representados por una geodésica quebrada construida devectores con las mismas componentes con respecto a nuestra familia de tétradas. Hemossupuesto en nuestros postulados que la topología del borde M’ (espacio newtoniano)es igual a la topología en los espacios M(e0) (espacios de Riemann) de forma quepuntos separados sean equivalentes a puntos separados. Esto introduce una


correspondencia una a uno entre los puntos de los espacios de Riemann y Newton. Lasclases de equivalencia de puntos en la variedad pentadimensional M, discutida enanteriores secciones, se puede extender al espacio límite M’.

F.3. Conexión Geométrica del Borde.La métrica g es singular cuando e0. En vez de intentar asociar esta métrica singular

con la teoría de gravitación newtoniana hemos escogido tomar la conexión comofundamental. La conexión afín en el borde M’ es el límite de la conexión en el espaciode Riemann. Es importante indicar que este límite no es trivial, esto es, el no conducea un espacio afín cuatridimensional plano, mostrando que hay efectos gravitacionalesen este límite.

Definimos la conexión afín del borde o 0G como el límite, cuando e0, de laconexión en el espacio de Riemann.

( )lim gg g g

aba

mn m nb n mb b mneG

= ¶ + ¶ - ¶0

0 2 . (3.1)

En esta expresión, substituimos la métrica g por t y h e indicamos que el término delas derivadas de t se convierte, usando coordenadas adaptadas, en

( ){ }t t t t tm nb n mb b mn b n m m n m n bt t t e j j e j¶ + ¶ - ¶ = ¶ + ¶ - ¶2 22 2 . (3.2)

Entonces, tomando en cuenta que t es ortogonal a h, obtenemos para 0G

( )( ) ( )

( ) ( )lim

h t t t t t t t

h t th h h

ab a b am n b n m m n

aab a bmn e

m nb n mb b mn

e e j j e j j

G ee j

ì üï ï- + + ¶ + ¶ + ¶ï ïï ïï ïï ï= í ýæ ö÷ï ïç ÷+ + + ¶ + ¶ -¶ï ïç ÷ï ïç ÷çè øï ïï ïî þ

2 2 2

02

0 2

1 2

1 22 2

(3.3)

( )hh t t h h h

aba ab

mn m n b m nb n mb b mnG j= - ¶ + ¶ + ¶ -¶0

0 0 0 0 0 0

2(3.4)

que es cierto en cualquier sistema de coordenadas.En detalle tenemos, en coordenadas adaptadas,

mnG0 0 0 , (3.5)

( )a ab abb b bh h A AG j¶ - ¶ + ¶0 0 0 0 0 0 2

00 0 2 , (3.6)


( )ab

am m b mb b m

hA h AG

-¶ - ¶ - ¶

00 0 0 0

0 02 , (3.7)

mG0 00 0 , (3.8)

( )ab

a amn mn m nb n mb b mn

hh h hG G ¶ + ¶ -¶

00 0 0 0 0

2 . (3.9)

Estos resul tados para nuest ro espacio borde son vál idos en un entornosuficientemente pequeño de un punto, pero usando los resultados generales de lassecciones anteriores sabemos que el espacio límite obtenido se puede extenderunivocamente. La conexión en el borde tiene la estructura de la conexión newtoniana.Podemos definir

( )hh t t h h h

aba ab

mn m n b m nb n mb b mnG jº - ¶ + ¶ + ¶ -¶2

(3.10)

y separar la conexión como sigue

( )( )

( )

t th h h t t

t t

a ba a

mn mn m nb n mb b mn b m n

am n

eG G e j j

e j

= + + ¶ + ¶ -¶ - ¶

- ¶

22

2

1 2 22

2

. (3.11)

Por consiguiente el tensor de Riemann no es singular cuando e0 en coordenadasadaptadas. Sin embargo, el escalar R puede ser singular. El límite del tensor de Riccies, en términos de 3-tensores del subespacio tridimensional,

m m n mm m m nR G G G G - ¶ -0 0 0 0 0 0

00 00 0 0 0 0 , (3.12)

n nm n m m nR G G - ¶0 0 0 0

0 0 0 , (3.13)

mn mnR R0 0 . (3.14)

F.4. Conexión Newtoniana.Hasta ahora nos hemos concentrado en discusiones acerca de los límites de la tétrada

y la conexión. Ahora mostraremos que la conexión del borde, definida anteriormentepor nuestro procedimiento de límite, es la misma conexión dada en la formulación


cuatridimensional de la teoría de Newton y por lo tanto la llamaremos la conexiónnewtoniana. Si tenemos una teoría de gravitación con una ecuación de campo querelaciona la geometría con el tensor que representa a la materia podemos añadir otropostulado para lograr este objetivo. En general, el tensor de energía impulso Tmn sedefine como el tensor contravariante definido por variaciones del campo lagrangianocon respecto a la métrica g. Consideramos que la solución de nuestra ecuación ilinealde campo es una aplicación ilineal entre el campo tensorial de energía impulso y elcampo de conexión y debemos requerir que esta aplicación sea diferenciable. Por lotanto haremos la hipótesis que las ecuaciones ilineales que surgen en nuestro análisisson expresiones de aplicaciones diferenciables ilineales.

Postulado 5.- La aplicación, dada por la ecuación de campo gravitacional, de laconexión afín G y el campo tetrádico u al tensor energía impulso T es continua declase C0 a lo largo de la curva g en M’.

Para la estructura geométrica de las teorías del tipo de Einstein, incluyendo la teoríageométrica física, este postulado implica que las ecuaciones de campo son válidas enel límite e0 (son hereditarias). Consideramos que las ecuaciones de campo nos danuna aplicación entre el tensor energía impulso y la tétrada, que escribimos como sigue

( ): ,u Tm G 2 . (4.1)

Los postulados 4 y 5 implican que el tensor energía impulso también debe sercontinuo a lo largo de la curva g en M’. En el límite la relación entre los escalaresR y T se rompe debido a la singularidad en la métrica. Aunque R puede sersingular, tenemos que T no es singular cuando e0 en coordenadas adaptadas.Obtenemos, de las ecuaciones de campo que exhiben la dependencia explícita en lamétrica, las siguientes ecuaciones en el límite

lim limR g g T g g Tab abmn ma nb mn abe e

k

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø0 0

12

, (4.2)

( )limR T t t t t O T t t t tab abmn a b m n a b m ne

k e k

æ ö÷ç= + =÷ç ÷çè ø0 2 0 0

0

1 12 2

. (4.3)

En particular

( )lim lim limmn mn m n mnR R g g T g g T Oab aba b abe e e

k e

æ ö÷ç= = - = =÷ç ÷çè ø0 2

0 0 0

1 02

. (4.4)

Esta ecuación implica que el tensor tr idimensional de Ricci es cero en lashipersuperficies de tiempo t del borde cuando e0. En tres dimensiones el tensor deRiemann tiene solamente seis componentes no nulas como consecuencia de sus


propiedades de simetría. Por lo tanto el valor cero de este tensor de Ricci implica elvalor cero del tensor tridimensional de Riemann del borde. Por lo tanto el espacio

tridimensional del borde es plano y su métrica ( )h 0 puede igualarse a d, como debeser para que haya acuerdo con la teoría de Newton (el espacio borde cuatridimensionaltodavía permanece curvo).

Las ecuaciones (3.13) implican

( )om a m a a mR A A-

¶ ¶ -¶ =0 0 01 02

. (4.5)

Esta ecuación acepta soluciones, en coordenadas apropiadas, con A igual a cero. Lostensores asociados a la métrica riemanniana se convierten, finalmente,

mnté ùê úê úë û

0 1 00 0

, (4.6)

mn

hmn d


0 0 00

. (4.7)

El vector tm es ahora ortogonal a hipersuperficies de simultaneidad t como debe ser enla teoría de Newton. Las hipersuperficies de simultaneidad del espacio borde sonrealmente los hiperplanos de simultaneidad de la teoría de Newton.

Con estos tensores, la conexión afín del borde dada por la ecuación (3.4) se reducea la conexión newtoniana. Esta conexión se puede separar en una conexión inercialnewtoniana tridimensional y un campo tensorial gravitacional newtoniano.

h t ta a abmn mn b m nG G j= + ¶0 0 0 (4.8)

y el tensor de Riemann se convierte en

a aba a bR t t t tmn m n m nG d j= = ¶ ¶0 0 0 0

00 . (4.9 )

La ecuación de campo se reduce a la ecuación de campo de Newton en la formulacióncuatridimensional si definimos la densidad energía material r,

R t tmn m nkr=0 . (4.10)

Adicionalmente, esta ecuación se reduce a la ecuación de Poisson

aa G¶ ¶ j p r= 4 . (4.11)

La ecuación geodésica de la conexión newtoniana 0G nos da las ecuaciones


newtonianas para un monopolo. Para un tensor energía impulso T arbitrario lasecuaciones de movimiento de Einstein están dadas por

T aba = 0 (4.12)

si hay suficiente conocimiento acerca de T (p.e. conocimiento acerca de la estructuradel cuerpo). Esta ecuación se reduce exactamente a las ecuaciones newtonianas demovimiento de un fluido

T aba =0 0 0 . (4.13)

Por lo tanto, el límite e0 reduce las teorías del tipo de Einstein a la teoría deNewton si aceptamos los postulados generales indicados en las secciones 1.4 y 4.

Referencias

1 E. Cartan, Ann. Ecole Norm. 40, 325 (1923).2 E. Cartan, Ann. Ecole Norm. 41, 1 (1924).3 K. Friedrichs, Math. Ann. 98, 566 (1927).4 F. Pirani, Acta Phys. Pol. 15, 389 (1956).5 F. Pirani, Bull. Acda. Pol. Sci. C1 III, 5, 143 (1957).6 C. Pellegrini, J. Plebanski, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 2, 4 (1963).7 G. González-Martín, Boston U. Ph. D. Dissertation, unpublished (1970).8 R. Geroch, Comm. Math. Phys. 13, 180 (1969).

ÍNDICE

Aacción de grupo

sobre sí mismo 158acoplamiento

canónicogravitación y espín 8

inabeliano 31adjunta 268afinidad 123alcance

largocampo magnético 205

alfa 256. See constante: alfapartícula

energía de ligadura 219álgebra

álgebra A 26. See álgebra geométricaClifford 267. See álgebra geométricacuaterniones 269Dirac 274

del espacio tiempo 14envolvente 70

de campos vectoriales 72Grassmann 72Lie 287. See álgebra de Lieoperador 68

álgebra de Lieconstantes de estructura 141elemento regular 290semisimple

clase A 292clase B 292clase C 292clase D 292clasificación 292

álgebra geométrica 267A(1,3) 274A(2,0) 279A(3,1) 269A(p,q) 267, 279álgebra A

automorfismos 32descomposición 26

del espacio tiempo 11producto de Clifford

grado 72producto de Lie 72producto exterior 71producto interior 71

análisis global ilineal 69ángulo

de Weinberg 186, 206, 210electrocónico 182, 195, 199, 205, 210

anillobicuaterniones 275seudocuaterniones 279

antiinvoluciónadjunta 268conjugación 267reversión 267

aplicaciónadjunta 268diferenciable ilineal 69diferencial de 285inclusión 11prolongación jeta 312

atlas 318autointeracción

ecuaciones ilineales 37automorfismo

álgebra A 13correlacionado 268

autorreacción 6en cuantización de campos 77

autovalor

339Índice

masa 158

Bbariones 249bariónico

númerode excitación 246

barrera de potencialmagnética nuclear

ligadura pep 217base

espaciode un fibrado 319

espinorescorrelacionados 276

ortonormalálgebra de Clifford 272

bellezade una excitación 247

Bianchi 5identidades 307

bicuaterniones 275Bjorken

ley de escalamiento 233borde 321

de Silov 259volumen 263

borde límiteconexión en 333curvatura del 334estructura rígida del 328

C

camposbosónicos 77

corchete 75conexión 75cuánticos 68ecuación 21fermiónicos 77

corchete 75

materiales 75canónicas

coordenadasde un jetado 313

canónicoacoplamiento

gravitación y espín 8carga

eléctrica 88cuanto 106en el efecto Hall 130índice en el efecto Hall 134signos opuestos 93

medida 105número cuántico 80número de

de una excitación 246Cartan

descomposición 82ecuaciones de estructura 306generadores canónicos 82

geométricos 86por subconjunto ortonormal 84

generadores geométricospartículas 230

subálgebra 290automorfismo de 85elemento regular 85

subespacio 290carga y flujo 81clasificación de partículas 230

Cartan-Killingmétrica 21. See métrica: Cartan-Killing

Casimiroperador

electromagnetismo SU(2) 80rotaciones 80

operador electromagnéticoen momentos magnéticos 180

clasificaciónconexiones 227

grupo G 228

GEOMETRÍA FÍSICA340

grupo L 228grupo P 227

de excitaciones materiales 233de interacciones 233

Cliffordálgebra 11

cocienteC

estructura matricial 166volumen 166

espaciosserie AIII 298serie CII 299

K 256en cocientes de masa 169estructura matricial 257formas reales 169realización como polidisco 259relación de equivalencia 170volumen 169

simétricoconstante alfa 256en el grupo de estructura 162estructura compleja 257hiperboloide 167volúmenes 173

coeficiente geométricode la medida invariante de Wyler 264

colorde una excitación 252

compacta maximalsubálgebra 291

complejaestructura 169métrica 170

condiciónde integrabilidad 6

conductividadfraccional

EHCF (FQHE) 136conexión 20

clasificación 227

coeficientes de 310como dicotomía 74

de secuencia exacta 320como sección de un fibrado 74

fibrado de conexiones 320como subespacio horizontal 301

fibrado de conexiones 320del fondo cósmico 113del substrato trivial 145

curvatura 146ecuación de excitación 178excitaciones 156

Ehresmann 301en borde límite 333en definición de masa 113en fibrado principal

definición 301en principio físico 5espacio tiempo 45excitación

como fotón 188ecuación 178masa 177

inducidaen el espacio base 307

Koszul 303Levi-Civita 57métrica 45

riemanniana 305seudorriemanniana 306

newtoniana 335par

retroinducida 41parte impar 26parte par 26retroinducida 20

conexión de interacciónsolución 70

conjugación 267álgebra A 274carga 89

de Dirac 231

341Índice

conmutaciónrelaciones de 118

del álgebra de Lie 288Heisenberg 116relaciones canónicas de Cartan 290

teoría cuántica de campos 77conservación

corrientematerial 22

constanteacoplamiento 6

identificación 106alfa

coeficiente de medida invariante 256de estructura fina 106expresión geométrica 265

carga electrónica e 106de interacciones débiles G

debida al substrato 200gravitacional G 66

determinada por el substrato 149Planck 110velocidad unidad 110

contactotransformación de

en jetado 314coordenadas

comóviles 141copoliada 20corchete

como anticonmutador 75como conmutador 75como derivación 75operación sobre 73

campos de Jacobi de conexión 118campos de Jacobi materiales 118

reducción a corchete de Lie 74correlación 268

preservada por SL(4,R) 276corriente

canónicacomo electromagnética 104

de una variación 99conservación 8de interacción 194

en notación estándar 197fuente 6

geométrica 256geométrica

de una excitación 99material 20

corriente eléctrica 33en EDC 120

corriente geométricaasociada a medida geométrica

en cociente K 256medida geométrica

normalizada 265cosmología

galaxias rotantesvelocidad anómala 151

Coulombley de 107

covarianciaprincipio 1

generalizado 5covariante

derivada 303crítica

secciónen jetado 315

cuadrode Heisenberg 119de interacción 121de Schrödinger 119

cuantizaciónfraccional 94

cuanto fundamentalcarga eléctrica 88

medición 106energía de excitación 125flujo magnético 88

aplicación 93impulso angular 88


cuaterniones 269que generan álgebra A 275seudocuaternión 270

curvatura 20en la geometría física 5forma tensorial 305inducida

en espacio base 307Maxwell 44parámetro de

en límite newtoniano 66substrato 146

Riemann 44substrato trivial 146

DDe Sitter

espacio 80derecha

componentede espinor 30partícula 229

derivadacovariante 303

de base de Clifford 284exterior 304

exterior covariantede q-forma tensorial 309en términos de derivada covariante 310

Lie 70generalizada 75

deuterónenergía de ligadura 216model 211

difusiónclasificación topológica de soluciones

como funciones sobre S 235solución entrante 234solución saliente 234

Diracálgebra 14ecuación 115

2-componentes 28forma general 112generalizada 8

espinor 29dual

formulaciónteoría geométrica 31

dualidadde Clifford 271de Hodge 271de representación 89

fundamental 231

Eecuación de

campo 5newtoniana 336principio variacional 21solución de substrato 141substrato 144

conservacióncorriente material 22dipolo 48

Dirac 1152-componentes 28generalizada 8generalizada con masa explícita 151y definición de masa 110

Dirac generalizadaaproximación no relativista 203

Einsteingeneralizada 60

energía e impulso 24y gravitación 54

estructurade Cartan 306

Euler 316Helmholtz 187Klein-Gordon 33límite newtoniano 65Maxwell 44movimiento 6

343Índice

geodésico 52Lorentz 52multipolos 48principio variacional 22

movimiento newtonianoen general 336en geometría física 44

Paulia distancias nucleares 210deuterón 214generalizada 205, 210

Poissonen geometría física 65gravitación en general 336

Stephenson-Yanggravitacional 61

Yanggravitacional 44

Yukawa 179efecto Hall

conductividad 135mesetas 136valores fraccionales 135

modelo de portadoresvórtice magnético 134

modelo de vórticesflujo vinculado 134

nivel de Landaucondición de llenado 134

seminivelpoblación 134

Ehrenfestteorema 116

Einsteinecuación 55

generalizada 60espacios 61tensor 59

Einstein-Maxwellteoría 2

eléctricacorriente 120

electroconoángulo del 182, 195, 199, 205subespacio cuántico

en su(2) electromagnético 182electrodinámica

clásica 44movimiento 52

cuántica 117técnicas estándares 121

electromagnetismoecuación

Maxwell 44estándar 15generador

estándar 34generadores

cuantización 180generalizados 104identificación 52

generalizado 52potencial vector 152

ángulo polar 191en ecuación de Pauli 205excitación SU(2) 182momentos magnéticos 205

subgrupo 52electrón 233

carganegativa 93papel que juega 106unidad fundamental 107

componente izquierdaneutrino asociado 229

masa 174momento magnético

correcciones radiativas 209electrónico

campolibre 119

encantode una excitación 248

energía


cambio decomo parámetro 123

de ligaduradeuterón 216fusión 221isóbaros N=3 220partícula alfa 219

equipartición 161, 163interacción

neta 121magnética

de excitación 206operador 116oscura 60

aparente 151energía e impulso

de campos cocientes 56de campos geométricos 60de corriente material 56de torsión 58ecuación 24

y gravitación 54entramado 19

espinorial 7envoltura

de subespacios 238número de 235

homotopía 320equipartición

de la energía 161, 163equivalencia

principio 1generalizado 5

relación deen cociente K 170en espacios C y K 173relativista 164

escalamientoley de Bjorken 233

espacioA(p,q) 267afín 74

basede un fibrado 319

característico 259De Sitter 80Einstein 61externo 158impulsos 158interno 158ortogonal 267raíces

A3 81clasificación 291

simétrico 296. See cocienteclasificación 297en límite newtoniano 65

tangenteal espacio de soluciones 70

totalde un fibrado 319

espacio tiempométrica 45

espíncuántico 88geométrico 102isotópico

de una excitación 248espinor 267

Dirac 282en la geometría física 29

entramado de 7Weyl 281

estadísticainterpretación 122

estadode la materia 16puro 104

estados enredadosde Schrödinger 124

estándarmodelo

relación con 252estructura

345Índice

compleja 169ecuaciones de

Cartan 306forma de

en jetado 314grupo de un fibrado 319

en la geometría física 4hiperbólica 15rígida

del borde limite 328triple geométrica 222

envolturas topológicas 238impulsos 232momento magnético 205

Eulerecuación de 316

evoluciónvisión activa 119visión pasiva 119

excitación geométricaaniquilación 77como parámetro extensivo 123como partículas

clasificación 79números cuánticos 224

como representación de grupo 79sobre cociente simétrico 159

conectivaecuación 178en una red 187libre 119masa 176sin masa 188

creación 77cuanto de energía 125de m-corpúsculos 126G-partícula

comparada con P-partícula 92, 93define carga positiva 93números cuánticos 89

L-partículanúmeros cuánticos 92

P-partículacarga negativa 93números cuánticos 92, 93

poliádicalibre 119

potencial 123aplicación 126en experimento de Young 127

puntual 100topológica 237

expectaciónvalor de 101

experimentalcuanto de flujo 93

extensivoparámetro 123

extrañezade una excitación 247

Ffamilias

leptónicas 238partículas 236

Fermicorriente de

de interacciones débiles 197lagrangiano

de interacciones débiles 196teoría de

corriente y lagrangiano 200fibrado

afín 74de conexiones 320

en la geometría física 74de poliadas 302definición 319jetado 312principal 319

campo vectorial fundamental 300en la geometría física 19

SM 105flujo


de excitacionesdensidad 123

magnéticocuanto 130

flujo magnéticocuántico 88cuanto de magnetización 132cuanto orbital 131

cambio discreto en 132desnudo 132encerrado por lazo 131neto 132

cuantos posibles 133índice de 133

formacanónica dual

de cotétrada 305conexión 301curvatura 305de estructura

de un jetado 314de Euler-Lagrange

en un jetado 316de Poincaré-Cartan

en un jetado 315de transformación de Legendre

en un jetado 315fundamental

de un jetado 313retroinducida 287soldadura 305

en la geometría física 42tensorial 304

de potencial 113torsión 305

fotóncomo excitación de conexión 188masa cero 188

fraccionalcuantización 94efecto Hall cuántico 94

fuente

corriente 6función

Greende la ecuación de fluctuación 198en interacciones débiles 196para excitaciones de conexión 179

funcionalDirac 100hessiano 316

fundamentalforma

de un jetado 313representación 88

fusiónenergía de ligadura 221

Ggalaxias rotantes

cosmologíavelocidad anómala 151

Gell-Mann y Nishijimafórmula de 248

generadorde variaciones

como operador cuántico 104electromagnético 104

cuantización 180estándar 34

rotaciones 102geometría

del substrato 139germen de la mecánica cuántica 97

geometría físicay la carga electromagnética 79y la gravitación 54y la teoría cuántica de campos 68y las mediciones 98y las partículas 223

geométricaálgebra 11teoría 7

electrodinámica 119

347Índice

triple estructuraenvolturas topológicas 238impulsos 232momento magnético 205

unidadde carga 107

geométricoespín 102grupo G 79régimen 122subgrupo L (espín) 79subgrupo P (De Sitter) 79subgrupo SU(2)

electromagnetismo 80rotaciones 80

gradacióndel producto 73

Z 291gravitación

constante G 66Einstein

ecuación 55energía e impulso

tensor geométrico 60excitación sin masa 188

ecuación 190límite newtoniano 64

y el substrato 148Newton 64problema interno 62simetría esférica 62torsión 58Yang 44

grupoG 79geométrico 79GL(2,Q) 293ISO(3,1) (Poincaré) 81L 79Lie 285O(p,q)

y la métrica 303

y la torsión 306P 79SL(2,C) (espín) 80

grupo de homotopía 323números topológicos 235y relatividad 4

SL(2,K) 5SL(2,Q)

en la geometría física 5grupo cubriente de 296números topológicos 235significación física 13subgrupos 79

SL(4,R) 5grupo cubriente de 296grupo de homotopía de 322números topológicos 235

SO(3) (rotaciones) 80SO(3,1) (Lorentz) 80

en relatividad 2SO(3,2) (De Sitter) 80SO(4) 80SO(4,C) 170Sp(2,Q) 80

números topológicos 235Sp(4,R) 80

grupo de homotopía 323números topológicos 235

SU(2) 80electromagnético 52rotaciones 102

SU(2) electromagnéticoy carga 104

SU(3)xSU(2)xU(1) 252U(1) 3

grupo deestructura 319

en la geometría física 4homotopía 322

tercer grupo 322isotropía

acción en borde de Silov 263


HHall

efectoconductividad 94cuántico fraccional 94

hamiltonianointeracción 121

Heisenbergcuadro de 119relaciones de conmutación 116

helicidad 81campos sin masa 188fotón 125

Helmholtzecuación 187

hermiticidadgrado de inhermiticidad 199

hessianofuncional 316

hiperbólicaestructura 15solución

substrato 146variedad 319

substrato 142hiperboloide

Cparametrización 168

Kparametrización 172

unidad 167hipercarga

débil 249fuerte 248

holonomíagrupo de 192

Sp(2,Q) 194homomorfismo

entre SO(3,1) y SL(2,C) 41homotopía 321

grupo de 322

tercer 322producto 238secuencia de 293

Iidentidad

Bianchi 307en la geometría física 5

impulsocanónico 131cinético 131conjugado 99operador 116

en la geometría física 158punto de vista geométrico 25y operador de Casimir geométrico 159

tétrada 25vector

punto de vista cuántico 25impulso angular

cuanto 130niveles orbitales 131número cuántico 80operador 103

inabelianoacoplamiento 31

inclusiónaplicación 11de L en G 40

integrabilidadcondición 6

intensivoparámetro 123

interacciónclasificación de

generadores P/L como electrodébil 233corriente de 194energía de

neta 121interacciones

clasificación degeneradores G/P como nucleares 233

349Índice

débil 192corriente de Fermi 197lagrangiano de Fermi 196Weinberg-Salam 251

electromagnética 44generadores 52

gravitacional 55en la geometría física 44geométrica 60

nuclear fuerte 234magnética 211modelo de quarkios y partones 252simetría SU(3) 252

interferenciade excitaciones geométricas 126experimento de Young 124

interno, problemagravitación

simetría esférica 62interpretación

estadística 122probabilista 123

en experimento de interferencia deYoung 128

involuciónprincipal 267

inyecciónlineal 267

irreduciblerepresentación

fundamental 88isotópico

espínde una excitación 248

izquierdacomponente

de espinor 30partícula 229

J

Jacobicampo

doble estructura algebraica 71estructura algebraica canónica 71vector 317

campo vectorialen EDC 118en soluciones de conexión 74en soluciones poliádicas 70

operadorfijo 119interactuante 121móvil 119

jetadofibrado 312

en la geometría física 69

KKaluza 3kaón 244Killing

métrica 21. See métrica: Cartan-Killingvector 142

Klein-Gordonecuación 33

L

lagrangianopara la primera variación 195

leptóncomo excitación topológica 237familias 238masas 240. See masas numéricas

enmascaradas 242expresión general 241muón 241tau 241

leptóniconúmero

de una excitación 247Levi-Civita

conexión 57ley


de Coulomb 107Lie

álgebras 287derivada 70grupos 285producto 287

ligadurapep 216

ligadura pepmagnética nuclear

barrera de potencial 217límite

newtonianode un espacio tiempo 326en la geometría física 64postulados generales 329significación física 324y el substrato 148

linealización 69ecuación de primera variación 195

Lorentzecuación de movimiento 7

de la conservación de corriente 52grupo

en la geometría física 11en relatividad 2

M

Mach 1, 156magnético

campomovimiento en 130

momento 205electrón 208neutrón 209protón 208

potencialfuerte 211

markoffianossistemas 123

masaautovalor 158

cero 188excitación de conexión 188excitación gravitacional 188

de excitaciones de conexión 176definición 113densidad newtoniana 65desnuda 161

correcciones a 162correcciones a cocientes de masas 174de G-excitaciones 165de H-excitaciones 165en general 109en la representación inducida 165y el substrato 145

exceso deneutrón 218

leptonesexpresión general 241relación fenomenológica 236relación topológica 240

parámetro en la ecuación de campode bosones 226

parámetro en la ecuación de Dirac 110cambio en 112constante 114de fermiones 226en cocientes de masas 160en EDC 121en representación inducida 163en representaciones diferentes 149y el substrato 145

unidades de longitud inversa 110masas numéricas

bosones débiles 186enmascaradas 242eta 245kaón/pión 244leptones pesados

muón/electrón 241tau/electrón 241

partículas estableselectrón/protón 173

351Índice

neutrino/protón 174pión/muón 243

materiaclasificación 233corriente 20estado 16oscura 60

aparente 148, 151poliada

en la corriente 7significación física 19

Mathieuecuación de

deuteron 214funciones

hiperbólicas radiales 215Maxwell

curvatura 44mecánica cuántica

estructura compleja 104partículas libres 28

mediciónde corriente 99física 98geométrica

como funcional 100resultado 101

representación matemática 99medida

de Wylercoeficiente de 264en el borde de Silov 259

invariantenormalizada 257

mesones 249métrica 303

bilineal simétrica compleja 257en el espacio K 170

Cartan-Killingdefinición 289en distintas representaciones 149en gravitación 55

en principio variacional 21en representaciones distintas 149en representaciones inducidas 163y cocientes de masa 160y definición de masa 114y el substrato 140y masa de excitaciones 177

en la geometría física 20espacio tiempo

de Schwarzschild 62definida por poliada espinorial 45en el límite newtoniano 64en función de tensores newtonianos 325en principio variacional 21en relatividad 1gravitacional 57

Killing 21. See métrica: Cartan-Killingmodelo

Barut 246masas de leptones 236

de quarkios y partones 252deuterón 211estándar 252Weinberg-Salam 252

módulosobre anillo A 72

momentomagnético 205

aumento anómalo 207correcciones radiativas 209electrón 208neutrón 209protón 208

movimientoecuación 22

multiexcitacionesrégimen de 122

multiplicativarelación

entre números cuánticos 88multipolos

descomposición 47


ecuación 48muón

masacomo excitación topológica 241

Nneutrino 233

asociado a parte par del electrón 229en interacciones débiles 195

como perturbación de poliada 194ecuación 29

en interacciones débiles 193partícula 229

masa 174neutrón 209

exceso de masa 218Newton

densidad de masa 65gravitación 64

newtonianaconexión 335ecuación de campo 336ecuación de movimiento 337

newtonianolímite

de un espacio tiempo 326en la geometría física 64postulados generales 329significación física 324y el substrato 148

tensor de curvatura 336niveles de energía

degeneradosde electrones en órbita 132

degenerados con superflujocuantos posibles 133

Landau 130primer 132

cuantos de magnetización 132cuantos netos de flujo 132

nuclear fuerteinteracción

como espacio simétrico G/P 233interacción magnética 211

núcleode Bergman 262de Poisson 259

números cuánticosalgebraicos 231topológicos 235

Oobservable 99observador

completo 12normal relativista 13

ondade m-partícula 126

operacióncorchete 73

operadorCasimir

electromagnetismo 80en momentos magnéticos 180rotaciones 80sobre cociente 159

La Place-Beltrami 159operador cuántico 70

bosónico 77cambio en 75energía 116fermiónico 77impulso

en la geometría física 158punto de vista geométrico 116y operador de Casimir geométrico 159

impulso angular 103operador de aniquilación 77operador de creación 77orientación

enredo de 12estándar 271

ortonormalsubconjunto 20

353Índice

en la geometría física 7tétrada 20

Pparalelo

transporteen fibrados 302

parametrizaciónde hiperboloide

espacio C 168espacio K 172

parámetrode curvatura 146extensivo 123intensivo 123

partículaclásica

de prueba 45multipolos 46tétrada ortonormal 45

como excitación geométrica 224componente derecha 229componente izquierda 229familias 236libre

campo de 119puntual 100tripuntual

como protón 232partícula alfa

energía de ligadura 219partículas

bosón débil 186clasificación geométrica

familias 236G-poliada como materia hadrónica 234L-poliada como materia neutra 234P-poliada como materia leptónica 234

estables fundamentaleselectrón 233neutrino 233protón 233

leptones 241masas

fundamentales 227kaones 243leptones 241piones 243

mesones 244modelo de Barut 246

decuplete bariónico 249octeto bariónico 247

propiedadescarga 230envoltura 236espín 230flujo 230masas 226momentos magnéticos 205

Pauliecuación generalizada 205, 210

a distancias nucleares 210pep

lbarrera de potencialmagnética nuclear 217

ligadura 216perturbación

del substrato 194pesos

vectores canónicos 290en la geometría física 83geométricos de G 87geométricos del subgrupo P 91

pión 243Planck

constante de 110Poincaré

grupo 81Poisson

ecuaciónen gravitación 336en la geometría física 65

núcleo de 259poliada 20


clasificación 233compuesta

sistemas interactuantes 194correlacionada 276

doble dimensión 276material 20

autovectores 100como conjunto de estados 100en la corriente 8estados puros 104estructura geométrica 104significación física 19

par 283parte impar 26parte par 26referencial 19

comóvil 141en fibrado jetado 118

poliada materialvariedad de soluciones

fibrados jetados 70polidisco

unidad 259volumen 263

potencialdel substrato 145

contribución a la masa 165en la conexión 113fuerte

magnético 203, 211vector

ángulo polar 191electromagnético 152en excitaciones SU(2) 182en la ecuación de Pauli 205en momentos magnéticos 205

principalfibrado 319

principioatomístico 225covariancia 1

generalizado 5

de acción de Schwinger 76equivalencia 1

generalizado 5holístico 225incertidumbre

de Heisenberg 116inercia 1, 156relatividad especial 11

generalizado 12variacional 20

probabilistainterpretación 123

productoClifford

de doble dimensión 278convolución 114

en cocientes de masa 163homotópico 322Lie 287

en EDC 117prolongación jeta 70

de sección 312de vectores 314

protón 233carga

definida 93estructura de quarkios 231

partícula tripuntual 232masa 174momento magnético

correcciones radiativas 209proyección

de un fibrado 319

Q

quarkiocomo excitación

geométrica 246como excitación geométrica

tripuntual 232como representación dual de G 231sabores 246

355Índice

superposición deexcitaciones leptónicas 246

quarkonioconjetura 250

Rradiación

campolibre 119

raícesA3

tetraedro 89espacio

A1 90A3 81C2 90, 92clasificación 291colapso de A3 a C2 92colapso de C2 a A1 92

vectores canónicos 290en la geometría física 83geométricos de G 87geométricos del subgrupo P 91

rarezade una excitación 249operador

como proyector impar 274referencial

poliada 19comóvil 141en jetado 118

sección 118régimen

de multiexcitaciones 122geométrico 122

regularelemento

álgebra de Lie 290como generadores de carga y espín 86

relaciónde conmutación

canónicas de Cartan 290

del álgebra de Lie 288Heisenberg 116

de conmutación o anticonmutación 77en EDC 118

de equivalenciarelativista 164

multipicativaentre números cuánticos 88

relatividad de interacciones 16relatividad especial

principio 11generalizado 12

representaciónadjunta 288dual 89

fundamental 231dual fundamental del grupo G

como quarkios 231inducida por subgrupo 79

como sección de un fibrado 159de G 80

irreducible fundamental 88clasificación de partículas 230de G como protón 231de L como neutrino 232de P como electrón 232subgrupo L 92subgrupo P 92

regular 289representación inducida

métrica de Cartan-Killingen cocientes de masas 163en el substrato 149

residualfenómeno 36

resistividadfraccional

EHCF (FQHE) 136retroinducida

forma 287reversión 267Ricci


tensor 59Riemann

curvatura 44en borde límite 334tensor 58

rotacióngeneradores 102

rotación y espinores 12

Ssabor

de una excitación 246como excitaciones L y P 251

Schrödingercuadro de 119estados enredados 124

secciones críticas 70en jetado 315

secciones poliádicascomo funciones de onda 104como referencial 118

semisimpleálgebra

clasificación 292seudocuaterniones 270simetría

combinatorial 252geodésica 296

simétricoespacio 296. See cociente

en grupo de estructura G 162SL(2,Q)

grupo 15soldadura

forma 42soluciones

de fondo 114de substrato 142vacío 61

subálgebracompacta maximal 291de Cartan 290

subconjuntoortonormal 269

en la geometría física 7subespacio

de Cartan 290horizontal

en fibrado tangente 301vertical

en fibrado tangente 301substrato 139

como vacío de partículas 224conexión 145curvatura 146formas ortogonales 143parámetro de masa 148potencial del 113propiedades inerciales 224sección de

fija 119móvil 119movimiento libre 121

solución 142ecuaciones 144

T

taumasa

como excitación topológica 241tensor

Einstein 59Ricci 59Stephenson 58Weyl 59

teoríacampo antisimétrico 3cuántica

de campos 68Einstein-Maxwell 2Fermi

interacciones débiles 196geométrica 7

357Índice

electrodinámica cuántica 117y el modelo estándar de partículas 251

Kaluza 3Newton

gravitacional 64Weinberg-Salam 251Weyl 3ya unificada 3Yang

gravitacional 44teoría cuántica de campos

principio variacional 76tétrada

ortonormal 20tetraedro

representación fundamental 88clasificación de partículas 230proyección a cuadrado 92

topológicaclasificación

de soluciones de difusión 235números cuánticos 235

excitación 236números cuánticos 237

torsión 42forma 305gravitación 58inducida

en espacio base 307transformación

activa 309de contacto

infinitesimal 314pasiva 309

transiciónfunciones de 318

transpuesta 279triple estructura

geométricaenvoltura topológica 238impulsos 232momento magnético 205

Uultrarrelatividad 12

efectos pequeños 16unidad

cargagaussiana 107geométrica 107

masageométrica 200

Vvacío

como substrato 150de partículas

como substrato 224soluciones 61

valorde expectación 101

autovalores 103carga 105

variaciónde sección del observador 71de sección material 71generador 99

como operadores cuánticos 104variacional

principio 20variedad 319

de secciones 69de soluciones 69Hilbert 319

en la geometría física 77hiperbólica 319

en la geometría física 15substrato 142y partículas 225

vectorcampo fundamental de fibrado principal

300campo vectorial elevado

en fibrado 302


invariante por la derecha 287Jacobi 317

en EDC 118Killing 142peso 290raíz 290

verdadde una excitación 248

volumencociente simétrico C 166

función de integral de impulsiones 169módulo equivalencia 173

cociente simétrico K 169función de integral de impulsiones 172módulo equivalencia 173

WWeinberg

ángulo de 186, 206, 210Weinberg-Salam

teoría de 252Weyl 3

tensor 59

Y

Yanggravitación 44

Youngexperimento de interferencia 124

Yukawaecuación 179

359

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(1971).C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).

365

1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS. 11.1. Geometría de la Relatividad General. 11.2. Unificación Electrogravitacional. 21.3. Hacia una Geometría Física. 31.4. El Grupo de Estructura. 5

2. ULTRARRELATIVIDAD. 112.1. Introducción. 112.2. Extensión de la Relatividad. 112.3. Relatividad de las Interacciones. 142.4. Resumen. 17

3. UNA TEORÍA UNIFICADA. 193.1. Objetos Geométricos de la Teoría. 193.2. Principio Variacional. 203.3. Algunas Relaciones Algebraicas. 253.4. Ecuaciones de Movimiento para la Poliada Material. 273.5. Relación con la Teoría Cuántica. 28

3.5.1. Acuerdo con la Mecánica Cuántica. 283.5.2. Diferencias en Acoplamiento Inabeliano. 31

3.6. El Sector Electromagnético. 333.7. Otras Interacciones. 353.8. Resumen. 37

4. TEORÍAS CLÁSICAS. 404.1. Relación de los Fibrados. 404.2. Los Campos Clásicos. 444.3. Partículas Clásicas Geométricas. 454.4. Movimiento de las Partículas Clásicas. 464.5. Ecuaciones de Movimiento de Lorentz. 49

4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par. 514.5.2. Interpretación. 52

4.6. Resumen. 535. EL CAMPO GRAVITACIONAL. 54

5.1. Introducción. 545.2. Una Ecuación para el Tensor de Einstein. 55

5.2.1. La Ecuación de la Energía. 555.2.2. La Ecuación de Einstein. 59

5.3. Ecuaciones para una Solución Interna Geométrica de Schwarzschild. 625.4. El Límite Newtoniano. 635.5. Resumen. 66

Primera Parte: Fundamentos

366

6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS. 686.1. Introducción. 686.2. Linealización de Campos. 696.3. Soluciones Poliádicas. 706.4. Soluciones de Conexión. 746.5. El Corchete como Derivación. 756.6. Teoría Geométrica de Campos Cuánticos. 766.7. Resumen. 78

7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS. 797.1. Introducción. 797.2. Representaciones Inducidas del Grupo de Estructura G. 797.3. Subálgebras de Cartan. 817.4. Relación Entre Números Cuánticos. 847.5. Interpretación Física. 887.6. Representaciones del Subgrupo P. 907.7. Aplicaciones. 937.8. Resumen. 95

8. MEDICIÓN DE OBSERVABLES GEOMÉTRICOS. 978.1. Introducción. 978.2. Mediciones de Corrientes Geométricas. 988.3. Espín Geométrico. 1028.4. Carga Geométrica. 1048.5. Resumen. 107

9. DEFINICIÓN DE MASA. 1099.1. Introducción. 1099.2. El Concepto de Masa. 1109.3. Masa Invariante. 1129.4. El Operador Impulso. 1149.5. Resumen. 116

10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA. 11710.1. Introducción. 11710.2. Relaciones Geométricas. 117

10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi. 11710.2.2. Relaciones de Conmutación. 118

10.3. Electrodinámica Geométrica. 11910.3.1. Partículas Libres y Corrientes. 11910.3.2. Electrodinámica Cuántica. 12010.3.3. Interpretación Estadística. 121

10.4. Aplicaciones. 12410.5. Resumen. 128

367

Segunda Parte: Aplicaciones11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONALES. 130

11.1. Introducción. 13011.2. Cuantos de Flujo Magnético. 13011.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional. 13411.4. Resumen. 137

12. EL SUBSTRATO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA. 13912.1. Introducción. 13912.2. La Ecuación de Campo. 13912.3. Una Solución de Substrato. 141

12.3.1. La Conexión del Substrato. 14112.3.2. La Curvatura del Substrato. 14612.3.3. Relación con el Límite Newtoniano. 14712.3.4. Significación Física del Substrato. 148

12.4. Ecuación General de Movimiento. 15112.5. Substrato General. 15312.6. Resumen. 156

13. COCIENTES DE MASA. 15813.1. Introducción. 15813.2. Masas Desnudas. 16013.3. Cocientes Simétricos. 166

13.3.1. Volumen del Espacio C. 16613.3.2. Volumen del Espacio K. 16913.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes. 173

13.4. Cociente de Masa Física. 17313.5. Resumen. 174

14. MASA DE EXCITACIONES DE CONEXIÓN. 17614.1. Introducción. 17614.2. Forma General de la Ecuación de Excitación. 17614.3. Una Solución Particular. 17814.4. Excitaciones SU(2) Masivas. 180

14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre. 18514.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red. 187

14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa. 18814.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles. 190

14.6. Resumen. 19015. INTERACCIONES DÉBILES 192

15.1. Introducción. 19215.2. Interacción Débil Geométrica. 19415.3. Relación con la Teoría de Fermi. 19615.4. Resumen. 201

368

16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE. 20316.1. Introducción. 20316.2. Movimiento de una Excitación en una Aproximación No Relativista. 20316.3. Momentos Magnéticos. 20516.4. La Ecuación Modificada de Pauli. 21016.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón para el Deuterón. 21116.6. Energía de Ligadura del Deuterón. 21516.7. El Modelo Electrón-Protón para el Neutrón. 21716.8. El Modelo de muchos Deuterones. 21916.9. Resumen. 221

17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES. 22317.1. Introducción. 22317.2. Clasificación de la Conexión. 22717.3. Excitaciones Correspondientes a Subgrupos. 22817.4. Estructura Algebraica de Partículas. 23017.5. Interpretación Física en Términos de Partículas e Interacciones. 23317.6. Estructura Topológica de Partículas. 23417.7. Masas de Excitaciones Geométricas. 237

17.7.1. Masas Leptónicas. 23917.7.2. Masas Mesónicas. 242

17.9. Modelo de Barut. 24617.9. Relación con la Teoría de Partículas. 25017.10. Resumen. 253

18. LA CONSTANTE ALFA. 25618.1. Introducción. 25618.2. Una Medida Geométrica. 256

18.2.1. Espacio Simétrico K. 25618.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como un Polidisco Unidad. 25718.2.3. Medida Invariante en el Polidisco. 259

18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K. 26118.4. Valor del Coeficiente Geométrico. 26418.5. Resumen. 266

369

Tercera Parte: ApéndicesA. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. 267

A.1. Introducción. 267A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores. 267

A.2. Representación del Álgebra A. 269A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G. 276A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0). 279A.5. Relación de Espinores de los Grupos G y L. 280A.6. Bases Espinoriales Pares y Bases Vectoriales. 283A.7. Derivada del Subconjunto Ortonormal. 283

B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS. 285B.1. Grupos de Lie. 285

B.1.1. El Diferencial de una Aplicación. 285B.1.2. El Algebra de Lie de un Grupo. 287

B.2. Subespacios de Cartan. 289B.3. El Grupo G. 293B.4. Espacios Simétricos. 296

C. CONEXIONES EN FIBRADOS. 300C.1. Un Campo Fundamental. 300C.2. La Conexión de Ehresmann. 301C.3. Las k-Formas Tensoriales. 303C.4. Curvatura y Torsión. 305C.5. Formas Inducidas de Conexión, Curvatura y Torsión. 307

D. FIBRADOS JETADOS. 312D.1. Fibrados Jetados. 312D.2. Secciones Críticas y Vectores de Jacobi. 315

E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FIBRADOS. 318E.1. Variedades. 318E.2. Fibrados. 319E.3. Producto Homotópico. 320E.4. Tercer Grupo de Homotopía. 322

F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍAS GEOMÉTRICAS. 324F.1. Límites del Espacio Tiempo. 324

F.1.1. Propagación Instantánea. 324F.1.2. Límite Local. 326F.1.3. Límite Global. 328F.1.4. Postulados. 329

F.2. Condición de Rigidez Geométrica. 330F.3. Conexión Geométrica del Borde. 333F.4. Conexión Newtoniana. 334

ÍNDICE ................................................................................................................................. 338

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Geometría Física

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