COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE MEXICO PLANTEL CHIMALHUACAN PROFESOR: OSWALDO CAMACHO FLORES ALUMNA: MIRIAN LIZBETH RIOS MARTINEZ GRUPO: 212 TURNO: VESPERNINO CARRERA: PROGRAMACION TAREA: N° 1 GEOMETRIA
Transcript
1. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE
MEXICO PLANTEL CHIMALHUACAN PROFESOR: OSWALDO CAMACHO FLORES
ALUMNA: MIRIAN LIZBETH RIOS MARTINEZ GRUPO: 212 TURNO: VESPERNINO
CARRERA: PROGRAMACION TAREA: N 1 GEOMETRIA
2. La geometra analtica es la rama de la geometra en la que las
lneas rectas, las curvas y las figuras geomtricas se representan
mediante expresiones algebraicas y numricas usando un conjunto de
ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar
con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias
del punto a cada uno de los ejes. La geometra avanz muy poco desde
el final de la era griega hasta la edad media.
3. Los principios de la geometra eran una coleccin de
principios empricamente descubiertos en relacin con las longitudes,
ngulos, reas, y volmenes, y que fueron desarrollados para
satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construccin,
la astronoma, y diversas artesanas. Entre estos principios,
destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la
matemtica moderna o para un matemtico le pueden resultar difcil de
obtener algunos de ellos sin el uso del clculo moderno. Por
ejemplo, tantolos egipcios como los babilonios eran conscientes de
las versiones del teorema de Pitgoras aproximadamente 1500 aos
antes que Pitgoras; los egipcios tenan una frmula correcta para el
volumen de un tronco de una pirmide cuadrada; los babilonios
disponan de tablas de trigonometra. GEOMETRIA EGIPCIA
4. GEOMETRA BABILONIA Los babilonios conocan las normas
generales para la medicin de reas y volmenes. Se meda la
circunferencia de un crculo como tres veces el dimetro lo que sera
correcto si fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro
se tom como el producto de la base y la altura, sin embargo, el
volumen del tronco de un cono o una pirmide cuadrada fue tomada
incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma
de las bases.
5. GEOMETRA CHINA Las primeras matemticas simples, antecedentes
de las matemticas que aparecen en China pertenecen a los registros
de la adivinacin de la dinasta Shang (ao 1600 -1050 antes de
Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos ms
antiguo existente) sobre la geometra en China fue el Mo Jing,
perteneciente a los primeros escritos del filsofo Mozi (470 aC-390
aC). Se compil aos ms tarde despus de su muerte por sus seguidores
alrededor del ao 330 aC.
6. GEOMETRA CLSICA GRIEGA Para los antiguos matemticos griegos,
la geometra era la joya de la corona de sus ciencias, llegando a
una exhaustividad y una perfeccin de metodologa que ninguna otra
rama de su conocimiento haba antes alcanzado. Se ampli la rama de
la geometra a muchos nuevos tipos de clculos, curvas, superficies,
y slidos, que cambi su metodologa de ensayo y error a la deduccin
lgica, que reconoci que los estudios de geometra "eterna formas", o
abstracciones, de los cuales fsica los objetos son slo
aproximaciones, y desarrollaron la idea de una "teora axiomtica",
que, por ms de 2000 aos, se consideraba el paradigma ideal para
todas las teoras cientficas.
7. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el
filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado El Discurso
del Mtodo, publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una
conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los
mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la
geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante
expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la
geometra moderna.
8. "Considerara que no s nada de Fsica si tan slo fuese capaz
de expresar cmo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de
demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo
logrado reducir la Fsica a las Matemticas, la demostracin es
entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido
alcance de mi conocimiento. Con estas palabras, Ren Descartes
expresa el pensamiento que lo situara entre los principales
artfices de la revolucin cientfica del siglo XVII. A las "formas" y
las "cualidades" de la Fsica Aristotlica, que haban resultado ser
un callejn sin salida, contrapona la "idea clara y fundamental" de
que el mundo fsico no es ms que un puro mecanismo. En la Edad
Moderna Descartes propone un nuevo mtodo de resolver problemas
geomtricos, y por extensin, de investigar en geometra. El nuevo
mtodo analiza la geometra utilizando ecuaciones algebraicas. Se
cambia la regla y comps clsicos por expresiones numricas que se
pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando
notacin actual, dicho mtodo se expresa as: En un plano se trazan
dos rectas perpendiculares (ejes) que por convenio se trazan de
manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada
punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de
dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un
criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada
una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene
dado por un signo.
9. Los matemticos ms importantes de la poca de la Revolucin
Francesa fueron, casi sin excepcin, franceses, pero coincidiendo
con los comienzos del siglo XIX Francia tuvo que compartir de nuevo
los honores del liderazgo con otros pases. El matemtico ms grande
de la primera mitad del siglo XIX, y quiz de todos los tiempos, fue
un alemn que nunca viaj fuera de Alemania: Carl Friedrich
Gauss.
10. Desde haca ms de 2.000 aos se saba cmo construir con regla
y comps el tringulo equiltero, el cuadrado y el pentgono regular
(as como algunos otros polgonos regulares cuyos nmeros de lados son
mltiplos de dos, de tres o de cinco), pero ningn otro polgono
regular con un nmero primo de lados. Ese crtico da 29 de 1796 que
acabamos de mencionar, Gauss consigui construir, de acuerdo con las
normas eucldeas, el polgono regular de 17 lados. Y ese mismo da
comenz a llevar un diario en el que fue apuntando, durante los 18
aos siguientes, algunos de sus ms grandes descubrimientos; el
primer registro es, naturalmente, el de la construccin del polgono
regular de 17 lados.
11. Gauss es el primero en construir una geometra (un modelo
del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides,
pero no publica su descubrimiento. Son Jnos Bolyai y Lobatchevsky
quienes, de manera independiente y simultneamente publican cada uno
una geometra distinta en la que no se verifica tampoco el V
postulado. Qu quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky
parten de un objeto geomtrico y establecen sobre l unos postulados
que son idnticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el
quinto. Pretenden originalmente razonar por reduccin al absurdo: si
el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por
aqul que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna
contradiccin lgica.
12. -1 El V postulado es independiente de los otros cuatro, es
decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y
Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado. -2 Existen
modelos del espacio en los que, en contra de toda intuicin, por un
punto que no est en una cierta recta no pasa una nica recta
paralela a la dada. Esto es tremendamente anti intuitivo, pues no
podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos
dibujar) una situacin as, sin reinterpretar los conceptos de recta,
plano, etc. Pero desde el punto de vista lgico es perfectamente
vlido. Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la
Matemtica del siglo XIX, que vino a sumarse a otras
controversias.
13. Un hecho aparentemente lejano en lgebra dar como resultado
la resolucin de estos dos problemas. Galois muere a los 21 aos de
edad dejando un "testamento" lleno de ideas apresuradamente
escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teora de Grupos
y de la Teaoria de Galois. En ocasin del segundo centenario del
nacimiento del ilustre matemtico ruso N.I. Lobachevski (1792-1856),
se presenta una visin global de su trabajo geomtrico, que culmin
con el descubrimiento de la geometra hiperblica.
14. Se analiza el rol del V Postulado en la geometra eucldea y
los primeros intentos por demostrarlo, realizados hasta el siglo
XIX. Se exponen las principales ideas de la solucin dada por
Lobachevski al "Problema de las Paralelas", es decir, los
fundamentos de su nueva geometra. Se examina el impacto de la misma
en las discusiones acerca de qu es el espacio y qu la geometra.
Finalmente se hace referencia a la influencia de la geometra
hiperblica en la fsica.
15. Bernhard Riemann naci el 17 de septiembre de 1826 en
Breselenz. Su padre, un ministro luterano, se encarg de la educacin
de sus hijos hasta que cumplieron diez aos. Su tesis doctoral
Foundations for a General Theory of Functions of a Complex Variable
(Fundamentos para una teora general de funciones de variables
complejas), presentada en 1851, constituy una extraordinaria
aportacin a lateora de funciones. Sus escritos de 1854 llegaron a
ser un clsico en las matemticas y estos resultados fueron
incorporados dentro de la teora de la relatividad y gravitacin de
Einstein.
16. En el clculo integral, se le debe a Riemann el concepto de
integral definida a partir de un punto intermedio o integral de
Riemann (para ms informacin vase Integral de una funcin). En teora
de nmeros estudi los nmeros primos, lo que le llev a definir la que
hoy se denomina "funcin zeta de Riemann": f(s) = 1 + 1/2s + 1/3s +
1/4s + ........, s = u + iv Riemann conjetur que f(s) = 0 si y slo
si u = 1/2 para 0 < u < 1. Nadie ha conseguido demostrar esta
hiptesis, convertida en uno de los problemas ms estudiados en la
teora de nmeros y el anlisis.
17. Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometra en
el siglo XIX. En 1871 descubri que la geometra euclidiana y las no
euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la
geometra de una superficie proyectiva con una seccin cnica adjunta.
Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometra euclidiana
y las no euclidianas podan considerarse como casos particulares de
la geometra proyectiva (o mejor dicho, de la geometra de una
superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometra
euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a
contradicciones) si y slo si lo son las geometras no
euclidianas.
18. En la segunda mitad del siglo XIX se haban empezado a
desarrollar las llamadas geometras no eucldeas. En la geometra
eucldea, la geometra que todos hemos estudiado en la escuela, se
acepta como cierto el postulado de las paralelas, segn el cual, por
un punto exterior a una recta se puede trazar una y slo una recta
paralela a sta. Durante siglos se haba intentado, sin xito, deducir
este postulado a partir de los otros axiomas de la geometra de
Euclides. En las llamadas geometras no eucldeas se prescinde de
este postulado, o se niega.
19. 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 los
egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del
teorema de Pitgoras aproximadamente 1500 aos antes que Pitgoras; El
primer trabajo definitivo sobre la geometra en China fue el Mo
Jing, perteneciente a los primeros escritos del filsofo Mozi El
siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y
matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado El Discurso del Mtodo,
publicado en 1637, hizo poca. Del segundo centenario del nacimiento
del ilustre matemtico ruso N.I. Lobachevski 1792, se presenta una
visin global de su trabajo geomtrico Bernhard Riemann y su tesis
doctoral (Fundamentos para una teora general de funciones de
variables complejas), presentada en 1851 Felix Klein en 1871
descubri que la geometra euclidiana y las no euclidianas pueden
considerarse como casos particulares de la geometra de una
superficie proyectiva con una seccin cnica adjunta.