GRÁFICA DE FUNCIONES I

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNEs la representación geométrica en el plano cartesiano de los pares ordenados que pertenecen a una función. Ejemplo 1Graficar la función f={ (1;2), (2;0), (3;5), (4;4), (5;6) }ResoluciónUbicando los pares ordenados de la función en el plano cartesiano, tenemos:

(1;2)

(2;0)(3;5) (4;4)

(5;6)

f

X

Y

1

2

20 3

5

5

6

41

34

6

Ejemplo 2Graficar la función f(x)=x+1; x∈⟨-2;3]Resolución

En este caso, como x∈⟨-2;3], su dominio tiene infinitos números reales, para eso se recomienda tabular, encontrando algunos puntos de paso de la grafica que al final se unirán, entonces tabulando tenemos:

1

X

Y

1

2

20 3

5

5

6

4

34

-2-3

-1-2-3

-1

454

3

-2-3

22

-2

11

-1-1

3

00

y=x+1

x

Cuidado la gráfica dependerá del dominio de la función. Como x ∈ ⟨-2;3], se unirán los puntos en ese intervalo.

X

Y

1

2

20 3

5

5

6

4

1

34

-1-2-3

-1-2-3

También es importante indicar que “x no toma -2”. Al unir los puntos su gráfica toma la forma de una línea.

f

X

Y

Determine la gráfica de la función f(x) = Ix-1I+x Resolución

x

2

01

-2-1

f(x)

5

13

1

3

-3

111 1-1 2 3-2-3

5

3

1

0

Tabulando algunos valores para f(x)

EJERCICIO

PROPIEDAD 1Una grafica en R2, representa la gráfica de una función, si toda recta paralela al eje Y corta a la gráfica a lo más en un punto.Ejemplos

“ f ”es función

X

Yf

0

“g” No es función

Y

X0

g

“h” es función

X

Y h

0

“F” NO es función X

Y

0

F

a

Yf

0 X

b

f(a) = b

(a;b) X

Y f

-4-1 6

-3

2(-8;3)

(7;-1)

f(- 8)- f(- 4) f(6)f(- 1)+f(7)

+

Calcule

Del grafico tenemos: f(-8) = 3 f(-4) =-3 f(6) = 2

f(-1) = 2 f(7) =-1Reemplazando en lo que piden

3- (- 3) 22+(- 1)

+ 8=1=8

Donde la gráfica de la función “f” es:

PROPIEDAD 2

EJERCICIO

X

Y

fg

m n

f(m) = g(m) f(n) = g(n)

Además las gráficas de f y g son:

Calcule el valor de mn

X

Yg(x)=5-x

m n

f(x)=x2-6x+11

Además los valor de m y n se pueden obtener igualando f(x) y g(x).

Para obtener los valores de m y n se igualaran las reglas de correspondencias:

f(x) = g(x)x2-6x+11 = 5-xx2-5x+6 = 0

(x-2)(x-3) = 0x = 2 x = 3

Como m < nm = 2 n = 3

mn = 23 = 8

PROPIEDAD 3

EJERCICIO

FUNCIONES ESPECIALES

f(x) = c; c∈ℝ

1) FUNCIÓN CONSTANTE

Representación gráfica Se puede graficar la función tabulando algunos valores:

f(x)=cx 2

c1c

0c

-1c

-2c

Si “c” es POSITIVO, ubicamos los puntos en el PLANO CARTESIANO y luego lo unimos.

X

Y

0 1 2-2 -1

c (2;c)

(1;c)

(0;c)

(-1;c)

Propiedades

Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Dominio (f) =Rango (f) = {c}

(-2;c)Regla de correspondencia

ℝ

Grafique las siguientes funciones:1. f(x) = 5

X

Y

0

5

fy = 5

2. g(x) =-4

X

Y

0

-4

g

y = -4

6 x 0 h(x)= - 2. x 03 ;;

Para graficar esta función trabajaremos por partes.

X

Y

0

6

h(x)=6

x ≥ 0X

Y

0-2

h(x)=-2

x < 0

Uniendo las graficas obtenidas tenemos:

X

Y

0-2

6

h

EJERCICIOGrafique la función f(x) = (senx+cosx)2+(senx-

cosx)2ResoluciónReduciendo

f(x) = (senx+cosx)2+(senx-cosx)2(Por las igualdades de Legendre)f(x) =

2(sen2x+cos2x)f(x) = 2(1)

= 2 (Función constante)

X

Y

0

2

2) FUNCIÓN LINEALRegla de correspondencia

f(x) = ax+b; a≠0

Representación gráfica Su gráfica se podría obtener TABULANDO en 2 valores.

x y=ax+b

ba-

0 b

0

Suponiendo que a y b son POSITIVOS tendremos la siguiente gráfica.

X

Y

0

b (0;b)

- ba

b 0a- ;

β

Donde

=tanβ bba

=a

a:pendiente de la recta

PropiedadesDominio(f) = Rango(f) =

ℝℝEl punto de corte con eje Y es también el T.I. de f(x)Si 0<β<90º tanβ>0

Si 90º<β<180º

tanβ<0

Grafique la función f(x) = 5x+4Para graficar una función lineal es suficiente con tabular en los puntos que corta al eje X e Y.

x y=5x+4

45

0 4

0

X

Y

0

f(x)=5x+44- 5

Grafique la función g(x) = -4x+8Tabulando convenientemente .

x y=-4x+8

2

0 8

0

8

X

Y

0

g(x)=-4x+8

2

4

Esboce la grafica de la función f.Resolución

- 1 ; x 0f(x) 2- x; x 0<>

Como la función tiene 2 sub reglas de correspondencias graficaremos por separado y luego las uniremos según los valores que toma x.

f(x) = -1

X

Y

0-1

y=

Como x < 0

f(x) = 2-xy=

x y=2-x0 2

02

X

Y

0 2

Como x > 0

Uniendo ambas graficas tenemos

X

Y

0-1

2

2f

EJERCICIO

Determine el área de la región que se forma con las graficas de las funcionesf(x)=x+

1,2g(x)=- x+63 y el eje

X.

0 X

Y

x y=x+1

0 1

0

f(x)=x+1,

y=

-1

-1

f

2g(x)=- x+63y=

x

0 6

09

2y=- x+63

23456

1 2 3 4 5 6 7 8 9

El eje X.10.4A = 2

10

4

=20

g

1

EJERCICIO

3) FUNCIÓN IDENTIDADRegla de correspondenciaf(x) = x

Representación gráfica Su gráfica se podría obtener TABULANDO.

x y=x

- 1 - 1

1 1

2 2

00

-2-2

X

Y

0 2

2

1

1-1

-1

-2

-2

Dominio (f) =Rango (f) =

Propiedades ℝℝ

β

β=45ºLa pendiente de la recta es 1.

Su gráfica pasa por el origen de coordenadas “(0;0)”.

X

Y

CASOS ESPECIALES

f(x) = -x x

2

01

-2

-1

f(x)=-x-2

0-1

2

1

0- 2

1

2

1

- 2

- 1

2- 1

β

β=135°

f(x) = 2x x

2

01

-2

-1

f(x)=2x4

02

-4

-2-2

1 2

4

2

-1X

Y

-4

-2

4) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTORegla de correspondencia

f(x) = │x│Representación gráfica Su gráfica se podría obtener TABULANDO.

x y=│x│

- 1 1

1 1

2 2

00

2-2

2

2

1

1

-1-245º

X

Y

045°

PropiedadesDominio (f) =Rango (f) =

ℝ [0;+∞⟩

El punto (0;0) es el punto más bajo de su gráfica. La gráfica es simétrica con respecto al eje Y.

Determine el área de la región determinada por las graficas de las

funcionesf(x) = IxI y g(x)=4

ResoluciónGraficando las funciones f y g en un solo plano tenemos:

0 X

Y

4

8

4

g(x)=4

f(x)=IxI

45º45º

448.4A = 2 =16

Calculando lo que piden

EJERCICIO

IxI

X

Y

CASOS ESPECIALES1. f(x) = -IxI

IxI

-IxI

2. g(x) = Ix-2I

X

Y

Ix-2I

0 2

2

IxI

3. h(x) = Ix+3I

X

Y

Ix+3I

0-3

3

4. f(x) = IxI+5

X

Y

IxI

IxI+5

0

5

5. g(x) = IxI-4

X

Y IxI

IxI-4

0

-4

-4 4

IxI

6. h(x) = Ix-1I+3

X

YIx-1I+3

0 1

3

GRÁFICA DE LA FUNCION

f(x)=aIx-hI+k

Para graficar la función necesitaremos conocer:

1)

O¿ ?2)

La coordenada del vértice que tiene la forma V(h;K).

f(x)=aIx-hI+k

Donde

V(h;K)

3)

Punto de corte con eje Y.Se obtiene hallando f(0).

Grafiquef(x)=3Ix-2I+41) 2)

V(2;4)

3)

Hallando f(0).f(0)=3I0-2I+4

= 3I-2I+4f(0)=3(2)+4=10

X

Y

f(x)=3Ix-2I+4

2

4

10

f