GUÍADEMATEMÁTICANº15
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LICEOBICENTENARIOIGNACIOCARRERAPINTODEPARTAMENTODEMATEMATICA
PLANDEARENDIZAJEREMOTO–TERCEROMEDIOUNIDADI:LATOMADEDECISIONESENSITUACIONESDEINCERTEZA
GUÍADEMATEMÁTICANº15>>TomadedecisionesaplicandoTeoremadelaProbabilidadTotal<<
Objetivo:Aplicarelteoremadelaprobabilidadtotalenlatomadedecisionesensituacionesdeincerteza.
.ProbabilidadTotal
Recordemosque:
• El nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir deteorema de la probabilidad totalprobabilidadescondicionadas,sumandodichasprobabilidades.
• Sea𝑨𝟏,𝑨𝟐,… ,𝑨 un sistema completo de sucesos (una partición del espacio muestral) tal que la𝒏
probabilidaddecadaunodeellosesdistintadecero,ysea unsucesocualquieraparaelqueseconocenBlasprobabilidadesdeP(B/𝑨𝒊 ,entonceslaprobabilidaddelsucesoBvienedadaporlasiguienteexpresión:)
𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵)+𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵)+⋯+𝑃(𝐴!)⋅𝑃(𝐵/𝐴!)
ü Ejemplo1:
SegúnlarevistaAllmovil,el63%delosusuariosdemóvilenEspañatieneun“Smartphone”.Entrelospropietariosdeestetipode teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos deteléfonomóvilsoloel8%loempleaparalaconexiónhabitualainternet.
Calculalaprobabilidaddeconectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvil.a.SOLUCIÓN:
Definiremoslossucesos:S :Usuariopropietariodeunteléfonomóvil“Smartphone”.O :Usuariopropietariodeotrotipodeteléfonomóvil.I :Conexiónhabitualainternet.NoI :ConexiónhabitualNOainternet”.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:
SeaA:conectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvil
EntonceslaprobabilidaddeAes: P(A)=0,63·0,77+0,37·0,08 P(A)=0,4851+0,0296 P(A)=0,5147Porlotanto,laprobabilidaddeconectarsehabitualmenteainternetatravésdelteléfonomóvilesde0,5147ó51,47%.
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ü Ejemplo2:
CiertaenfermedadpuedeserproducidaportrestiposdevirusA,B,C.EnunlaboratoriosetienentrestubosconelvirusA,dosconelBycincoconelC.LaprobabilidaddequeelvirusAproduzcalaenfermedades1/3,quelaproduzcaBes2/3yquelaproduzcaCes1/7.
Siseinoculaalgúnvirusaunanimal,¿cuáleslaprobabilidaddequeéstecontraigalaenfermedad?a.SOLUCIÓN:
Definiremoslossucesos:A:EnfermedadproducidaporelvirusA.B:EnfermedadproducidaporelvirusB.C:EnfermedadproducidaporelvirusC.E:Contraerlaenfermedad.E:Nocontraerlaenfermedad.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:
EntonceslaprobabilidaddeE:elanimalcontraelaenfermedades: P(B)= !
!"· !!+ !
!"· !!+ !
!"· !!
P(B)= !
!"· !
! + !
!" · !!+ !
!" · !!
P(B)= !
!"+ !
!"+ !
!" → !"!!"!!"
!"#
P(B)= !"
!"# → !"
!"#≈ 0,3048
P(B) ≈30,48%Porlotanto,laprobabilidaddequeelanimalcontraigalaenfermedadesde0,3048ó30,48%aproximadamente.
ü Ejemplo3:
Unbancohaestimado,porexperienciasanteriores,quelaprobabilidaddequeunapersonafalleenlospagosdeunpréstamopersonalesde0,3.Tambiénhaestimadoqueel40%delospréstamosnopagadosatiemposehanhechoparafinanciarviajesdevacacionesyel60%delospréstamospagadosatiemposehanhechoparafinanciarviajesdevacaciones.Sesolicita:
Probabilidaddequeunpréstamosehagaparafinanciarviajedevacaciones.a.SOLUCIÓN:
Definiremoslossucesos:A:Préstamopersonalpagadoatiempo.A:PréstamopersonalNOpagadoatiempo(lapersonafallaenelpago).B:Financiarviajedevacaciones.B:Préstamodestinadoafinanciar“otros”.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:
EntonceslaprobabilidaddeB:elpréstamosehagaparafinanciarviajedevacacioneses:
P(B)=0,7·0,6+0,3·0,4 P(B)=0,42+0,12 P(B)=0,54
Porlotanto,laprobabilidaddepréstamosehagaparafinanciarviajedevacacionesesde0,54ó54%.
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Probabilidaddequeelpréstamosepagueatiempoysehagaparapropósitosdistintosaviajesdevacaciones.b.
SOLUCIÓN:
SeaC:elpréstamosepagaatiempoysehizoparapropósitosdistintosafinanciarviajesdevacaciones.EntonceslaprobabilidaddeCes:P(C)=0,7·0,4P(C)=0,28 Porlotanto,laprobabilidaddequeelpréstamosepagueatiempoysehagapara propósitosdistintosafinanciarviajesdevacacionesesde0,28ó28%.
ü Ejemplo4:
Un banco revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de losclientes con tarjeta ha pasado a sermoroso, esto es que ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda.Además,elbancohacomprobadoquelaprobabilidaddequeunclientenormalseatraseenunpagoesde2%.Laprobabilidaddequeunclientemorososeatraseenunpagoes1.
¿Cuáleslaprobabilidaddequeelclienteseatraseenunpagomensual?a.SOLUCIÓN:
Definiremoslossucesos:M:Elclienteesmoroso.M:ElclienteNOesmoroso.A:Elclienteseatrasaenunpagomensual.A:ElclienteNOseatrasaenunpagomensual.Organizaremoslainformaciónenundiagramadeárbol:EntonceslaprobabilidaddeA:elclienteseatrasaenunpagomensuales: P(A)=0,05·1+0,95·0,2 P(A)=0,05+0,19 P(A)=0,24
Porlotanto,laprobabilidaddequeelclienteseatraseenunpagomensualesde0,24ó24%.
Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que éste se atrase en un pagob.mensualesmayorde0,25.Deacuerdoconlosresultadosanteriores,¿debecancelarunalíneasiunclienteseatrasaenunpagomensual?.¿Porqué?
SOLUCIÓN:
Laprobabilidaddequeunclienteseatraseenunpagomensualesde0,24,queesmenorquelaprobabilidad0,25exigidaporelbanco.Enconsecuencia,nodeberíadecancelarselacuentadeunclientequeseatraseenunpago.
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v AHORATÚ!!
El volumen de producción de dos plantas de una empresa es de 8.000 y 10.000 unidades de producto por día. Elporcentajedepiezasdefectuosasesdel0,5%enlaprimerafábricaydel0,8%enlasegunda.
Calcularlaprobabilidaddequealelegirunproductoalazarseadefectuoso.a.
Enunaasignaturauniversitariadeprimerañoasistena laclase100de los150alumnosmatriculados.Sesabequeapruebanel90%delosalumnosqueasistenaclaseyel30%delosquenoasisten.Seeligeunalumnoalazar.
Calcularlaprobabilidaddequehayaaprobado.a. Calcularlaprobabilidaddequehayaasistidoaclaseyhayaaprobado.b.
Unafábricadeenlatadosproduce5000envasesdiarios.LamáquinaAproduce3000deestosenvases,delosqueel0,02sondefectuososylamáquinaBproducelos2000restantesdelosquesesabequeel0,04sondefectuosos.
Determinarlaprobabilidaddequeunenvaseelegidoalazarseadefectuoso.a. DeterminarlaprobabilidaddequeunenvaseelegidoalazarseadelamáquinaAyestéenbuenestado.b.
En la sala de pediatría de unhospital, el 60%de los pacientes sonniñas.De los niños el 35% sonmenores de 24meses.El20%delasniñastienenmenosde24meses.Unpediatraqueingresaalasalaseleccionauninfantealazar.
Determineelvalordelaprobabilidaddequeseamenorde24meses.a. Determinelaprobabilidadqueseaunaniñaymenorde24meses.b.
Unmédicocirujanoseespecializaencirugíasestéticas.Entresuspacientes,el20%serealizancorreccionesfaciales,un35%implantesmamariosyelrestanteenotrascirugíascorrectivas.Sesabeademás,quesondegeneromasculinoel25%delosqueserealizancorreccionesfaciales,15%implantesmamariosy40%otrascirugíascorrectivas.Siseseleccionaunpacientealazar,determine:
Laprobabilidaddequeseadegéneromasculinoa. Laprobabilidadqueseadegéneromasculinoyquehayarealizadounacirugíadecorreccionesfaciales.b.
Sesabequeel65%delosaccidentesdetráficoqueseproducendurantelanochedelossábadossedebenalaingestaexcesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor (sobrio) y el resto a otras causas (fallomecánico... etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en elsegundoyel5%eneltercero.
Calcularlaprobabilidaddequeunodeestosaccidentestengaresultadonefasto.a.
v TICKETDESALIDA–MATEMÁTICA3ºMEDIO–PROBABILIDADTOTAL
Nombre: Curso: Fecha:Instrucciones:
Ø Unaveztrabajadosloscontenidosdeestaguía,respondelasiguientepreguntaencuestionarioClassroom.Ø Sitienesdudas,consultaalasprofesorasencargadas.Ø NoseaceptarántareasenviadasaloscorreosoWhatsApp.Ø Aquelloscasosjustificadospreviamente,enviarfotografí[email protected]
Unmédicohaobservadoqueel0,4desuspacientesfumaydeestos,el0,75sonhombres.Entrelosquenofuman,el0,61.-
sonmujeres.¿Cuáleslaprobabilidaddequeunpacienteseamujer?Ayuda:Representalasituaciónenundiagramadeárbol.
A. 0,3B. 0,4C. 0,46D. 0,5E. 0,54