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UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
™§Funciones Elementales™§
1_Explique por qué la grafica de la ecuación no es la grafica de una función. 2_Demuestre que los siguientes triángulos con vértices A, B Y C es un triángulo rectángulo y encuentre área de cada uno.
a)
b) 3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas.
a) b) c) d)
e) f)
4_Encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada.
a)
b)
c)
d) ™§ Operación de hallar los limites ™§ Comparación de las magnitudes infinitesimales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
Función de argumento continúo. Hallar los límites en cada caso
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
w)
x)
y)
z)
aa)
bb)
cc)
dd) r
ee)
ff)
gg)
hh)
ii)
jj)
kk)
ll)
mm)
nn)
oo)
pp)
qq)
rr)
ss)
tt)
uu)
vv)
ww)
™§Limites Trigonométricos§™
a)
b)
c)
d)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
bb)
cc)
dd)
ee)
ff)
gg)
hh)
ii)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
jj)
kk)
ll)
mm)
nn)
oo)
pp)
qq)
rr)
ss)
tt)
uu)
vv)
ww)
xx)
yy)
zz)
aaa) §™Limites por Definición§™ o bien
Use cualquiera de las definiciones para demostrar los siguientes limites:
a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
™§ Otros casos de Limites ™§
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
a)
b)
c)
d)
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Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
™§ Función derivada §™
a) Hallar el incremento de la función en el punto , poniendo el incremento de la variable independiente igual a: .
b) Hallar la razón para las siguientes funciones :
1)
2)
3) . Mostar que cuando , el límite de
la referida razón en el primer caso es igual a 4, en el segundo, , en el tercer,
c) Dada la función hallar los valores aproximados de la derivada en el punto ,
poniendo sucesivamente igual a: 1) 0.5 ; 2) 0.1 ; 3) 0.01 ; 4) 0.001.
d)
e)
f) Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1)
2)
3)
4)
5)
Hallar las derivadas de las funciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
™§ Funciones Trigonométricas§™
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) 14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
™§ Funciones Trigonométricas inversas§™
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
™§ Funciones Logarítmicas ™§
a)
b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s) t)
u)
v)
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
™§ Funciones Exponenciales ™§
a) b)
c)
d)
e) f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s) t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
bb)
cc)
dd)
ee)
ff)
gg)
hh)
ii) jj)
™§ Derivación Logarítmica ™§
a)
b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Integral indefinida La integral se puede definir como un antiderivada, o primitiva de una función F(x) tal que su derivada sea f(x). Por tanto si F´(x)=f(x) dx, entonces F(x)=∫f(x) dx Ejemplo: Sea la función F(x)= 2x4- x3 + 2x – 6, siendo la derivada de F(x), la función F´(x)=8x3 – 3x2 +2. Por tanto la integral de F`(x) en la función F(x). Propiedades de la integral indefinida Distributividad de la integral respecto de la suma y la diferencia ∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx ∫[f(x)-g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx Homogeneidad de la integral respecto de un factor constante ∫k.f(x) dx = k.∫f(x) dx
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
c x cotagdxx cosec
ctagx dxx sec
csen xdx x cos
c xcosdxsen x
cdxa
cdxxdxx
c xLn
cedxe
c1n
xdxx
Rk ck.xdxk
cxdx
2
2
lna
ax
1
xm n
x
dx
xx
1n
n
x
m
n
1m
n
m
n
caxxln
ax
dx
cax
axln
2a
1
ax
dx
ca
xsen
xa
dx
caxxln
xa
dx
ca
xtag
a
1
xa
dx
c xcotag xcoseclndx x cosec
c xtag xseclndx x sec
c x secdx x tag. x sec
csen xlndx x cotag
c xseclndx x tag
22
22
22
1
22
22
22
1
22
Integrales de funciones inmediatas 1.- Resolver las siguientes integrales, realizando operaciones algebraicas para reducirlas a integrales inmediatas.
82s
ds12.
3t-3
dt11. dx
x
xxx10.
dxxx
)x-(29. 1)dx xxx).(2x(8. dx 23x7.
dx3x
35x2xx6. dx ea5.
x
xdx4.
dx73. x
dx2. dx .1
2
3 24
2
2322
2
23xx
x
3
3x
dxe
2)(e 24. dx2x)(e 23. dx
xtag1
2tagx 22.
dx xcosec xtag
xcotgsen x 21. dx
tagx1
cosecxsecx 20.
xcos .sen x
dx 19.
xsen2x cos
dx 18.
xx.cossen
dx 3 17. dx x)2sen(2x 16.
dxxx.sencos
2x cos15. dx
2x cos1
xcos114. dx
xx
)x-(2x13.
x
3x
2x
2
222
23
22
2
3
22
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
2.- Resolver las siguientes integrales usando el teorema de invarianza de la fórmula de integración. Integración por cambio de variables o por sustitución.
1tagxx cos
dx 24. dxcosx .x sen 21.
3xsen
dx 22.
dx 2e
e 21. dx
xcos1
2xsen 20.
.ln xx
dx 19.
dx
41
2 18.
x1
dxx 17.
1x
dxx 16.
)dxe5x(a15. cos3x)dxe(x 14. dxcosx e 13.
34xx
dx 2)-(x12. dx cose e 11. dxsen2x .x cos 10.
dx x
ln x 9. dx 4)sen(3x 5 8. dx
xcos
senx 7.
dx 3xsen .x 6.
4)3x(x
dx 3)(2x 5.
52x
dxx 4.
dx4)(x x 3. dx
63x
x 2.
4)(3x
dx 1.
2
2
2
x
x
2
x
x
8
3
4
x21-3xxsenx
2
xx3
3
2
2
3 223
2
4 332
5 4
3
4
32
3.- Integración de funciones racionales, por división de polinomios
dx x1
3x)-(2 9. dx
x-1
x 8. dx
2x
23xx 7.
dx 1x
x 6. dx
1x
)x(1 5. dx
1x
1x 4.
dx 1-x
32x 3. dx
12x
3x 2. dx
32x
x 1.
332
2
4
2
22
2
2
3
4.- Integración de funciones racionales, por completación de cuadrados
2
2
522
222
3x-2
dx 6.
x-x
dx 5.
32x
dx 4.
107x
dx 3.
544x
dx 2.
103x
dx 1.
x
xxx
9x-6x-2
dx 12.
9x-6x8
dx 11.
x-34x
dx .10
3)(2x-1
dx 9.
94x
dx 8.
41)-(x
dx .7
222
222
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
5.- Integración de funciones racionales, por separación en fracciones parciales o método de descomposición del integrando
1)(x1)(x
dxx 24. dx
5)(x2)(x
79x6xx 23.
x
dx
1x
2x 22.
dx 1)(x
13x 21.
xx
dx 20. dx
4)(x
511x6xx19.
48x5xx
dx x18.
1)2x(xx
dx 2)3x(x 17.
15)16x(4x 1)-(2x
dx x 32 16.
dxx4x
1x 15. dx
4xx
8xx 14. dx
4)3)(x1)(x(x
9141x2x 13.
3x7x6x
dx 12.
23x2x
dxx 11.
1)(2x 1)(x
dxx 10.
x)-(b x)-(a
dx 9.
3)-(2x 1)(x
dx 8.
1)(xx
dx 7.
9x-4
dx 6.
x-x
dx 5.
103xx
dx 4.
107xx
dx 3.
54x4x
dx 2.
34xx
dx 1.
22
5
3
232
22
2
244
23
23
2
2
2
2
3
3
3
452
232
2
2
522
222
6.- Integración de funciones racionales, por cambio de variable y completación de cuadrados
dx
19x4x
5x-2 9. dx
186x5x
3x-4 8. dx
12xx
24xx 7.
211x3x
dxx 6. dx
13x2x
4x-3 5. dx
26x9x
52x 4.
x-2x-3
dx 3)-(x 3. dx
x-2x5
11)-(8x 2. dx
22xx
2x .1
222
3
222
222
7.-Integrales trigonométricas aplicando las distintas relaciones entre funciones trigonométricas
dx
xcos
xsen 18. dx
xsen
cosx 17. dxx sen 16.
dx x)tagx(tag 15. xdx tg 14. dx cosx
senx-1 13.
xcos
dx 12. dx 5x sen 2x sen 11. dx 3x sen cosx 10.
dx3x coscos2x 9. dxcosx
xsen 8. dx
cosxsenx 1
2x cos 7.
dx senx-1
senx1 6. dx
cosx1
cosx-1 5.
senx1
dx 4.
cosx-1
dx 3. dx x sen 2. dx x cos 1.
3 4
3
3
5
424
3
22
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Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
8.- Integración por partes: Fórmula du . v - .vu .dvu
dxsenx ex 24. dx lnx cos 23. dx lnx sen 22.
dx ax 21. dx 1)ln(x x 20. dx x arctag 19.
dx
x
xln 18. dx x sec 17. dx senx e 16.
dx x
xln 15. dx senx x 14. dx e x 13.
dx x1
xarcsen 12. dx
x1
arctagxx 11. dx
x
xlog 10.
dxarcsen x 9. dx arccosx 8. dx x actagx 7.
dxln x 6. dx lnx x 5. dx 3x 4.
dx ex 4. dx 2x sen x 2. dx x cosx 1.
x2
x22
5
2
3x
2
3
3x-2
23
4x
-x
9.- Integración por sustitución o cambio trigonométrico (analogía trigonométrica) Recuerde las expresiones de referencia: cos2 θ = 1 - sen2 θ; sec2 θ = tag2 θ + 1; tag2 θ = sec2 θ – 1 Inversos multiplicativos: Sen θ . Cosec θ = 1; Cos θ . Sec θ = 1; Tag θ . Cotag θ = 1 Razones trigonométricas, en un triangulo rectángulo:
co
caθ Cotag ;
ca
Hθ sec ;
co
Hθ Cosec ;
ca
coθ tag;
H
caθ cos ;
H
coθsen donde
“co, ca y H” se refiere al cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa respectiva de un triangulo rectángulo.
dx
x-1
5-3x 18.
1625xx
dx 17.
499x
dx x 16.
254x
dx 15.
)x(a
dx 14. dx
x
ax 13.
x1 x
dx 12. dx x4x 11. dx
x
xa 10.
19x4x
dx 5 9.
186x5x
dx 8. dx
12xx
24xx 7.
211x3x
dxx 6. dx
13x2x
4x-3 5. dx
26x9x
52x 4.
x-2x-3
dx 3)-(x 3. dx
9x
8x 2. dx
x4
x 1.
222
3
2222
22
22
22
2
22
222
3
222
222
2
10.- Integrales de funciones hiperbólicas. Recordemos:
xx
xxxxxx
ee
ee
cosh x
senh xtagh x ;
2
eecosh x ;
2
eesenh x
Expresiones inverso multiplicativo:
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Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
senh x . cosech x = 1; cosh x . sech x = 1; tagh x . cotgh x = 1. Identidades hiperbólicas:
cosh2 x – senh2 x = 1 cosech2 x = 1 - cotgh2 x
senh x
dx 6. xdx tagh 5. dx
senh xcosh x
e 4.
xcosh
dx 3. dx senh x 2. dx cosh x 1.
2
x
2
dxx senh 12. dx x cosh 11. dx tagh x 10.
dxx cotgh 9. senh xcosh x
dx 8. dx x coshx senh 7.
33
232
Integral Definida Propiedades del la integral definida Si f es una función integrable en [a, b] y k un número real cualquiera, entonces k.f es integrable en [a, b]
b
a
b
a
dx f(x)k dx f(x) .k
Si f y g son funciones integrable en [a, b], entonces f ± g es integrable en [a, b] b
a
b
a
b
a
dx g(x)dx f(x)dx g(x) f(x)
Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces a
b
b
a
dx f(x)dx f(x)
Teorema del valor medio para integrales definidas Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces existe un número real z en el intervalo abierto (a, b) tal que
b
a
b
a
dx f(x)a-b
1 f(z) a) -(b f(z) dx f(x)
Teorema fundamental del cálculo Si f es una función continua e integrable en [a, b], Parte I. Si se define G como
x
0
dt f(t) )(xG
Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b]. Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces
F(a) - F(b) dx f(x)b
a
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Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
Resolver las siguientes integrales definidas
du )3u(
15. )3(2x 14. dx )34(
2 13.
dx 2-3x 12. dx 42x 11. dx e 10.
dr r)(1)r
1-(r 9. dx
2x
2x54x2x 8. dx
2x
1x 7.
dw2)(w w 6. dt t
3t 5. dt )tt( t 4.
dx16x 3. dz 2)z2z(8z 2. dx 6)2x(3x 1.
2
1
4
53
1-
23
2 32
6
2
4
1-
2
2
x
21-
3-
3
1 2
231
4
2
3/2
1-
229
4
3
0
3
4
1
54
1
3
2-
z352
2
udx
xx
x
2
0
2
1 2210
21
1/2 2
5
3
223/2
1/2
1
0 2
4
2 2
/4
0
1
0 4
xπ23
/2
0
/4
0
/2
0
22
2
/2
0 2
2
32/ 2
/22
0 4
1
0 x
x4
1 2
4
1 x
2
1 3
22
1 xx
xx10
1
0
2
2
0 x
x
x
2x1
0
x-
4
0
1
1-
4
2 23
2
2
5)4x(x
dx 42. dx
4)(3x
x 41.
3x2x
dx 40.
dx 164xx 39. dx 3)-2)(x-1)(x(x
11x-37 38. dx
82xx
16x 37.
dx 1)(x
116x 36. dx )(tag 35. dx x sen 34.
dx2x cos3x sen 33. dx x)tag(1x sec 32. dx xsen1
xcos 31.
dx 1xcos
sen x 30.
1xx
dx 29.
x-1
dxx 28.
dx e1
e 27.
16x
dx 26.
e x
dx 25.
dx 3xx
1x 24. dx
1010
1010 23.
xlogx
dx 22.
dx
43
3 21. dx
2
1)(2 20. dx 34x 19.
1)x(x
dx 18. dx
2)(x
x2 17. dx
9x
x 6.1
2
Aplicaciones de la integral definida Área: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y suponga que f(x) >0, para todo x en [a, b]. Entonces el área bajo el gráfico de f entre a y b es:
b
a
dx f(x)A
Si g(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] y f(x) > g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las graficas de f y g en el intervalo [a, b] es:
b
a
dx g(x)- f(x) A
Algunas veces resulta más sencillo calcular el área respecto del eje y que calcularle respecto del eje x. Para esos casos el área A entre las funciones f(y) y g(y) para todo y en [c, d] y f(y) > g(y) es:
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d
c
dy g(y)- f(y) A
En cada una de las situaciones, dibuja la región acotada por el gráfico de las ecuaciones dada y calcule el área de la región.
3xy 3;y x10. 1-x2y ;x-1y 9. 1xy ;1xy .8
2
xy 4x;y 7. -4y ;x-4y 6. 4y ;1xy 5.
3y -2;y 2;x-y ;y x4. 2.y -1;y 4;y- x;y 3.
4. x1; x x;-y ;x y 2. 2. x1; x;x- y ;x
1 y .1
2223
2
22
22
2
2
x
0y ;1)-(xx y 30. 5 x0;y ;9x x y 29. 0y ;x-4x y 28.
y x;y x27. 0 x;y-4y x26. 0y 6x;xxy 25
xcosy x;tagy 24. ln x x y ;4
ln xy 23.
2
xy ;
x1
1y 22.
0y x;xy 21. 02y2x 0;2y2x 0;1y- x20.
4y x3x;y x;y 19. 02-y- x;y x18. 2xy x;4y 17.
16y x6x;y 16. /2xy 8;y x15. /3xy ;xy 14.
48 x 24 -y 16;8xy 13. xy ; xy 12. 01-y- x:12xy 11.
222
23 2323
3
2
2
2
3
222
22222232
2222
Cálculo de volumen de sólido de revolución Método de las arandelas o discos (rebanado) Sea f una función continua en [a, b]. El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la gráfica de f, x=a, x=b y por el eje x, está dado por:
b
a
2dx [f(x)] πV
Cuando el sólido es rebanado por el eje y, su volumen viene dado por. d
c
2dy [g(y)] πV
En cada uno del los ejercicios propuestos a continuación dibuje la región R acotada por las gráficos de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que genera le región R al girar alrededor del eje indicado.
6 xrecta La ;4 xrecta La 4 x0;y ;xy 14. 5y recta La 4;y recta La 4;y ;xy 13.
y Eje 2; x1;xy 1;y x12. y Eje 0;2x-y ;y x11.
xEje ;0 x;y x10. x Eje ;x-4y ;xy 9.
3y recta La x;Eje 0;y -2; x;xy 8. x Eje 0;y ;4xy 7.
y Eje 3;y 1;y 0; x / x;1y 6. y Eje 2;y ;xy 5.
y Eje ;4x y 2x; y 4. y Eje 3y ;2y x;y 3.
xEje 4; x0;y ;xy 2. x Eje 0;y 3; x1; x1/x; y .1
2
2
2322
32
2
2
y
x
x
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
Integrales impropias Integrales con limites de integración al infinito: Si f en una función continua en [a, +∞), entonces por definición
t
aat
dx f(x) Lim dx f(x)
La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. De manera de análoga hacemos referencia a las funciones f continuas en el intervalo (-∞, a] y en el intervalo (-∞, + ∞)
t
a t
a
t- t
a
t
a
- t
dx f(x) Limdx f(x) Lim dx f(x)
dx f(x) Lim dx f(x)
Integrales con extremos indeterminados: Si f en una función continua en [a, b), o f es una función continua en (a, b], entonces por definición
εb
a
b
a0ε
dx f(x) Lim dx f(x)
b
εa
b
a0ε
dx f(x) Lim dx f(x)
La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. Integrales con un punto c en el intervalo de definición [a, b], tal que f es indeterminada, entonces por definición:
b
εc0ε
εc
a
b
a0ε
dx f(x)Lim dx f(x) Lim dx f(x)
De manera análoga a los casos anteriores, f es convergente, si y solamente si; los limites planteados existen. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, en caso de ser convergente calcule su valor.
0
- 4 2
222
-
2
-
x-
0
2x-
0 -
2
2
-
2
0
ax-
11
4
1xx
dx 12. dx
12xx
18x 11. dx
23xx
1 10.
dxx cos 9. dx ex 8. dx e 7.
dx9x
x 6. dx
2x-5
1 5. dx
x1
x 4.
0 adx e 3. x
dx 2.
x
dx 1.
2
UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
π/2
0
1
0
3
1
2
3
1
2
2
0
1
1-
x4
1
1-
3 5
1
1-
2
1/e
0
2
1
0
2
0
2
1
2
-
22
0
4
1
2
0
4
3
1
22
0
x-
dxx
sen xln 30.
1-xx
dx 29. dx
2x
x 28.
dx2x
x 27.
1e
dx 26. dx
x-1
x 25.
dx
x
1-x 24.
x-12)-(x
dx 23.
xlnx
dx 22.
dxln x x 21. 1-x
dxx 20.
34xx
dx 19.
1)(x
dx 18. dx
x1
xarctgx 17. dx
x
1)(xln 16.
dxx
1x 15. dx
)x(1
x 14. dx sen x e 13.