of 252
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
1/252
HABILIDADESLGICOMATEMTICAS
ORIENTADO PARA INGENIERIALGICA, CONJUNTOS, PROPORCIONALIDAD, ECUACIONES EINECUACIONES, FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES
pc[Escribir ! "#$br % !& c#$p&'(&)
[S!cci#"&r *c+&)
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
2/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 2
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
3/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Contenido
AGRADECIMIENTO:5
PRESENTACIN 6
PRIMERA UNIDAD 7
CAPTULO I: LGICA 9SESIN .......................................................................................................................................9I.- DEFINICIN Y OBJETO DE LA LGICA....................................................................................9Ejercicios.................................................................................................................................10
II.- CLASES DE PROPOSICIONES................................................................................................11Ejercicios.................................................................................................................................12
SESIN -.....................................................................................................................................23III.- SIGNOS DE PUNTUACIN, AGRUPACIN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIVOSLGICOS.....................................................................................................................................23Ejercicios.................................................................................................................................23
IV.-CLCULO PROPOSICIONAL...................................................................................................25Ejercicios.................................................................................................................................29
V.-CONTINGENTES, TAUTOLOGAS Y CONTRADICCIONES.........................................................30Ejercicios.................................................................................................................................32
VI.-INFERENCIA LGICA.............................................................................................................33Ejercicios:................................................................................................................................35
VII.-LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL...............................................................................36Ejercicios.................................................................................................................................41
SESIN ......................................................................................................................................63VIII.-PROCESOS DE DEDUCCIN...............................................................................................63
Ejercicios:................................................................................................................................64IX.-CIRCUITOS LGICOS.........................................................................................................65Ejercicios:................................................................................................................................69
CAPTULO II: TEORIA DE CONJUNTOS 71SESIN /.....................................................................................................................................71I.- TEORIA DE CONJUNTOS........................................................................................................71Ejercicios.................................................................................................................................73
II.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS......................................................................................75Ejercicios.................................................................................................................................77
CAPTULO III: PROPORCIONALIDAD 80SESIN 0.....................................................................................................................................80I.- PROPORCIONALIDAD..............................................................................................................80Ejercicios.................................................................................................................................87
II.-REGLA DE TRES.....................................................................................................................92Ejercicios.................................................................................................................................94
SESIN 1.....................................................................................................................................96III.-REGLA DE TRES COMPUESTA..............................................................................................96Ejercicios.................................................................................................................................96
SEGUNDA UNIDAD 98SESIN 2.....................................................................................................................................98
CAPTULO III: ECUACIONES E INECUACIONES 98I.-ECUACION DE PRIMER GRADO...............................................................................................98
Ejercicios...............................................................................................................................102SESIN 3...................................................................................................................................104
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 3
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
4/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
II.-ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO....................................................................................104Ejercicios...............................................................................................................................106
III.-INECUACIONES DE PRIMER GRADO...................................................................................109Ejercicios...............................................................................................................................110
SESIN 4...................................................................................................................................113IV.-INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO................................................................................113
Ejercicios...............................................................................................................................113V.- INECUACIONES FRACCIONARIAS.......................................................................................115
Ejercicios...............................................................................................................................115SESIN 10.................................................................................................................................117
CAPTULO V: FUNCIONES 117I.-FUNCIONES...........................................................................................................................117Ejercicios...............................................................................................................................114
II.-FUNCIONES II.......................................................................................................................118Ejercicios...............................................................................................................................123
TERCERA UNIDAD 126SESIN -.................................................................................................................................126
CAPTULO VI: MATRICES Y DETERMINANTES 126SESIN ..................................................................................................................................130
SESIN N5 /............................................................................................................................152
SESIN 0.................................................................................................................................154EJERCICIOS..........................................................................................................................156
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 4
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
5/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
AGRADECIMIENTO:
En forma especial agradecemos la gestin denuestros directores: Econ.RAL VALENCIAMEDINA, ING. LUIS BARRERA ARRSTEGUI,por su acertada direccin, en el sentido deimpulsar el desarrollo acadmico al hacerrealidad la publicacin de los presentesmdulos , lo cual redundar en el nivelacadmicos es nuestros alumnos en la ucv.
Asimismo agradecer lavaliosa colaboracin del equipo de matemtica queen su conjunto han hecho realidad la redaccin delpresente material .
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 5
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
6/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
PRESENTACIN
El presente mdulo de Habilidades Lgico Matemticas tiene como finalidad proporcionar los
fundamentos matemticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenieras y ciencias
sociales, para que los estudiantes adquieran soltura en el manejo de estos conceptos, que
son herramientas comunes en los cursos que llevaran en ciclos superiores
El objetivo de este material es que la transmisin delos conocimientos bsicos de
Habilidades Lgico Matemticas debe hacerse a trav!s de situaciones aplicadas y
conte"tuali#adas a las $iencias empresariales, ingenieras y ciencias sociales, aumentando
el inter!s y la motivacinpara as de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos
conocimientos
En este material, cada concepto matemtico es e"plicado y ejemplificado a trav!s
desituaciones conte"tuali#adas que introduce al alumno en problemas que encontrar a
lolargo de su vida acad!mica y profesional
El mdulo contiene conceptos y ejemplos de lgica proposicional, teora de conjuntos,
proporcionalidad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, as como aplicacin de los
conocimientos adquiridos en la resolucin de problemas prcticos teniendo como soporte el
soft%are matemtico &E'&E()* para la visuali#acin geom!trica de conceptos en
concordancia con el enfoque pedaggico de +an Hiele$ada tema contiene aplicaciones a
sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplicaciones resueltas, al final
de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene la misin de
anali#ar ejemplos concretos de la teora revisada
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 6
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
7/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
PRIMERA UNIDAD
I. COMPETENCIA
Desarrolla habilidades lgico matemticas para identifcar y plantear
problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolucin,
desenvolvindose con responsabilidad y actitud proactiva.
II. CAPACIDADES6 A"&!i7& 8 &p!ic& !#s pri"cipi#s !9:ic#s " s; C#"s=r;8 ! c#"cp=# % r:!& % =rs6
SESI !"
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 7
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
8/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
#E$%#I&'(DE)II&I * +-E#+ DE ' /I&', &'SES DE 01+0+SI&I+ES.
SESI !2#E$%#I&'(SI/+S DE 03#3'&I, '/130'&I * +1DE DE +S +0E1'D+1ES +&+EI4+S /I&+S,&%&3+ 01+0+SI&I+', &+#I/E#ES,#'3#++/5'S * &+#1'DI&&I+ES, I)E1E&I' /I&'
SESI !6#E$%#I&'(
E*ES DE %/E1' 01+0+SI&I+',01+&ES+S DEDED3&&I,&I1&3I#+S /I&+S
SESI !7
#E$%#I&'(#E+1I' DE &+-3#+S, +0E1'&I+ES E#1E &+-3#+S, 01+E$'SS+1E &+-3#+S.
SESI !8#E$%#I&'( 01+0+1&I+'ID'D, 1E/' DE #1ES, 1E/' DE #1ES&+$03ES#'.
SESI !9
#E$%#I&'( E4'3'&I DE 3ID'D6
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 8
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
9/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
CAPTULO I: LGICA
SESI "
I.- DEFINICIN Y OBJETO DE LA LGICA
La palabra Lgica se deriva de la palabra griegalogosque significa razonamientoo discurso.
La Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En unnivel elemental, la Lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o novlido un argumento dado. Ciertamente se usa en forma constante el razonamientolgico para realizar cualquier actividad.
Existen adems otras definiciones:
Lgica es la ciencia que estudia la estructura del pensamiento, prescindiendo delcontenido.
Lgica tambin es la manera ordenada de pensar y de expresar nuestras ideas.
El objetivo principal de la Lgica es analizar la estructura del pensamiento, es decir suforma lgica para descubrir leyes y reglas.
1.1.- DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIN Y PROPOSICIN
1.1.1.- El juicioEs una relacin o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir unaafirmacin o aseveracin de algo, es una forma, una estructura del pensamiento queobjetivamente es verdadero o falso. (Astudillo, Dolores; Inciso, Liliana).1.1.2.- El EnunciadoEs la expresin verbal o escrita del juicio.
Ejemplos: Pedro es ingeniero.
El puente ms extenso del mundo se encuentra en China.
Las matemticas son la base de las ingenieras.
No son enunciados:
Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: socorro!, auxilio! tequiero!
Las oraciones imperativas. (rdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.
Las desiderativas. (Deseos, splicas). Ej.: Ojala no haya clases.
Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: Qu hora es?
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 9
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
10/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
1.1.3.- Razonamiento
Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera tal que se suponeque uno de ellos (llamado conclusin) se desprende o infiere del o los otros (llamadospremisas). La pretensin de que la conclusin se deriva de las premisas se manifiesta
a travs de expresiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 10
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
11/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
1.1.4..- La Proposicin
Es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. Laproposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica; generalmente se lasexpresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:
Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Maana es lunes.
Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca
Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace fro entonces es invierno
A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones vlidas y no vlidas, y seexplica el porqu algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones seindican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamentedicha.
Ejemplo.
p El edificio es alto.q -17 + 38 = 21r x > y-9s Las ingenieras son base para el desarrollo del pas.t: Hola como estas?w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tantoson proposiciones vlidas. El inciso r tambin es una proposicin vlida, aunque elvalor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y endeterminado momento. La proposicin del inciso s,es vlida Sin embargo losenunciados t y w no son vlidos, ya que no pueden tomar un valor de falso overdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
EJERCICIOS No. 1.
Valida las siguientes Proposiciones.
p1: Todo ingeniero del 2 ciclo de la UCV tiene soluciones concretas.p2: Todas las ingenieras necesitan de las matemticas.p3: Todos los ingenieros egresados de la UCV tienen trabajo.p4: Un ingenieros es trabajador.p5: Los ingenieros aceptan los retos ms difciles de la vida.p6: El alumno no necesariamente quiere ser ingeniero.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 11
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
12/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios
Escribir 20 proposiciones vlidas y 10 invlidas.
Importante: Valor de verdad
Una proposicin es verdadera o es falsa; si es verdadera se denotar por la letra V o el1 y si es falsa se denotar por F o por el 0. Si no se puede determinar su valor deverdad, se podr analizar los posibles valores de verdad (tablas de certeza).
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 12
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
13/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
II.- CLASES DE PROPOSICIONES
Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atmicas y proposicionescompuestas o moleculares:
2.1.- PROPOSICIONES SIMPLES
Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer.
Ejemplo:
p: Todo ingeniero se adapta rpidamente a su centro laboral.
q: Si un puente resiste a un terremoto; tambin para las lluvias.
r: (a +b)2= a2+ 2ab + b2
2.2.- PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Son aquellos enunciados que estn formados por dos o ms proposiciones simples yunidos por trmino lgico.
Ejemplos:
p: Laisaes Administradora y su hermano Mateo es Ingeniero.
q: Un Ingeniero tiene como base las matemticas y las Fsica.
Podemos observar en los ejemplos anteriores que tantopcomoqestn compuestas dedos proposiciones simples.
Los conectivos lgicos son elementos gramaticales que unen dos o ms proposicionessimples; estos son:
2.3.- CONECTIVOS LGICOS
OPERADOR LGICOLGICA
SIMBLICA
TERMINOLOGA
LGICA
Negacin noConjuncin YDisyuncin O
Disyuncin exclusivav
o en sentido excluyente
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 13
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
14/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Conjuncin negativa ni.ni
Disyuncin negativa / nono
Condicional Si., entoncesBicondicional Si y slo si
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 14
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
15/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.- PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LGICOS
Los operadores lgicos tambin permiten formar proposiciones compuestas(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son:
2.4.1.- CONJUNCIN() QUE SE LEE Y
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se puedaobtener un resultado verdadero. Su smboloque se lee y. Se lo conoce como lamultiplicacin lgica y tiene estrecha relacin con la interseccin de conjuntos.
Ejemplo 01.
Sea el siguiente enunciado:
Un tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batera.
Simbolizando tenemos:
p: el tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque
q: el tren enciende cuando tiene corriente la batera.
V(p) = VV(q) = V
En consecuencia:V(pq) = V
Ejemplo 02.
3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10p: 3 + 4 = 6 V(p) = Fq: 3 + 7 = 10 V(q) = V
Por consiguiente:V (pq) = F
De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa
lgica es como sigue:
p y qp pero q
pq; que se lee:p aunque qp incluso qp tambin q; etc.
Su tabla de verdad es:
p q p q
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 15
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
16/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
VVFF
VFVF
VFFF
Ejercicios
Escribir 5 ejercicios de conjuncin y determine el valor de verdad de cada uno.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 16
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
17/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.2.- LA DISYUNCION:
2.4.2.1..- LA DISYUNCIN INCLUSIVA
( )QUE SE LEE: O.
Es la unin de dos proposiciones simples con el conectivo lgico o.Simblicamente se lo representa as: pq que se lee p q o ambas. El enunciadoes verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera o ambas sonverdaderas; Se conoce tambin como la suma lgica y se relaciona estrechamentecon la unin de conjuntos.
Ejemplo 01.
Sea el siguiente enunciado
Un ingeniero puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase.
Donde.
p: Un ingeniero puede entrar al cine si se compra su boleto.q: Obtiene su pase.
Simblicamente tenemos:pq
V( p ) = VV( q ) = V
En consecuencia: V (pq) = V
4 + 3 = 9 o 3 + 5 = 8
p: 4 + 3 = 9 V ( p) = Fq: 3 + 5 = 8 V (q ) = V
En consecuencia: V (pq) = V
Su tabla de verdad es:
p q p q
VVFF
VFVF
VVVF
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 17
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
18/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
TAREA
Escriba 10 ejemplos de disyuncin inclusiva y determine su valor de verdad.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 18
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
19/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.2.2..- DISYUNCIN EXCLUSIVA
(V )QUE SE LEE O EN SENTIDO EXCLUYENTE
El enunciado es verdadera cuando p es verdadero y q es falso o viceversa.Simblicamente se lo representa por pq que se lee p o q pero no ambas.
Ejemplos:
Carmen es ingeniero de matematico
Simblicamente tenemos:
p: Carmen es ingeniero V(p) = Vq: Carmen es matematico V (q) = V
En consecuencia: V (pq) = F
(pq) que se lee: p q, pero no ambas.
25 = 6 o 3 + 9 = 7
p: 25 = 6 V (p) F
q: 3 + 9 = 7 V (q) = F
En consecuencia: V (pq) = F
Su tabla de verdad es:
p q ( pq )
VVFF
VFVF
FVVF
TAREA
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 19
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
20/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Escribir 10 ejercicios de disyuncin exclusiva y determine el valor de verdad.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 20
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
21/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.4.- Negacin
( )no
Su funcin es negar la proposicin. Esto significa que s alguna proposicin es
verdadera y se le aplica el operador no se obtendr su complemento o negacin
(falso). Al negar una proposicin simple, se transforma en una proposicin
compuesta Este operador se indica por medio de los siguientes smbolos:
(~,)
Ejemplos:
p: Patricio est estudiando ingeniera V (p) = V
p: Patricio no est estudiando ingeniera. V (p) = F
q: Mara es ingeniero V (q) = F
q: No es cierto que Mara es ingenieroV (q) = V
Su tabla de verdad es:
p p
VF
FV
A veces la negacin de una proposicin simple se obtiene mediante otra
proposicin simple, as:
p: x es mortal
p: x es inmortal
q: y es par
q: y es impar
La negacin en Matemtica se realiza as:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 21
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
22/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
p: 2 + 3 = 5 V (p) = V
p: 2 + 35 V (p) = F
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 22
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
23/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.5.- CONJUNCIN NEGATIVA:
El enunciado es verdadero cuando las proposiciones simples que la forman son
falsas.
La conjuncin negativa de dos proposiciones p y q, se representa por p q o porpq se lee: ni p, ni q
Ejemplos:
ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6
Simblicamente tenemos:p q
p: 3 + 2 = 5 V (p) = V
q: 2 + 4 = 6 V (q) = V
Consecuentemente tenemos que:V (p q) = F
p: 3 + 25 V (p) = F
q: 2 + 46 V (q) = F;
Consecuentemente:V (pq) = F
Entonces se deduce que:(p q)(pq )
Su tabla de verdad es:
P q ( p q )
VV
FF
VF
VF
FF
FV
TAREA
Escribir 10 ejercicios de conjunciones negativas y determinar el valor de verdad.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 23
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
24/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.6.- DISYUNCIN NEGATIVA:
El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman sonverdaderas. La disyuncin negativa de proporciones se representa por p / q; quese lee nono q.
Ejemplo:
No eres ingeniero o no eres matemtico p / q
p: eres ingeniero V (p) = V
q: eres matematico V ( q) = V
En consecuencia:V (p / q) = F
p: no eres ingeniero V (p) = F
q: no eres matematico V (q ) = F
Consecuentemente:V (pq) = F
Luego: p / q (pq )
Su tabla de verdad es:
p q ( p / q )
VVFF
VFVF
FVVV
2.4.7.- NEGACIN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Se puede tambin utilizar otras formas de negar como: no es el caso que; no escierto que, (frecuentemente se acostumbra a utilizar esta forma cuando se nieganproposiciones compuestas)
No es el caso que: 3
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
25/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
p: 3
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
26/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.8.- PROPOSICIONES CONDICIONALES()que se lee entonces
Una proposicin condicional, es aquella que est formada por dos proposicionessimples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:que se leesi p, entonces q; simblicamente se la representa por:
Se lee Si p, entonces q Si p, q
pq p, slo si qp es necesario para q; etc.
En este caso p: es el antecedente y q: es el consecuente.
Se lee:q puesto que p
q, si p q cuando pqp q cada vez que p q dado que p q porque p q ya que p; etc.
Se caracterizan porque despus de cada uno de estos conectivos est el antecedente o condicin.
Ejemplo:Simbolice y determine el valor de verdad:
Un candidato a presidente del Ecuador dice:
Si salgo electo presidente del Colegio de Ingenieros del Per, entonces recibirn un
50% de aumento en su sueldo el prximo ao.
Una declaracin como esta se conoce como condicional. Su valor de verdad es lasiguiente:
p: Si salgo electo Presidente delColegio de Ingenieros del Per V (p) = V
q: Recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao V(q)= V
De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: pq
El V( pq ) = V
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 26
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
27/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Otro ejemplo: 5+7=128- 5 = 4 ; Simblicamente tenemos: pq
p: 5+7=12 V( p) = V
q: 8 5= 4 V( q ) = F
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 27
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
28/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Su valor de verdad es: V (pq ) = F
Su tabla de verdad es:
p q pq
VVFF
VFVF
VFVV
Esto significa que una proposicin condicional es falsa cuando p = V y q = F;en los dems casos ser verdadera.
2.4.8.1.- VARIANTES DE LA CONDICIONAL
A toda proposicin condicional se le asocia tres proposiciones igualmenteimportantes, que son: proposicin recproca, inversa y contrarecproca.
Proposicin recproca.-
Dada la proposicin condicional pq , se llama proposicin recproca a laproposicin que se denota por: qp
Ejemplo:
Si y es par, entonces, y es mltiplo de 2 ; simblicamente: pq. Condicional
Si y es mltiplo de 2, entonces, y es par ; simblicamente: pq. Su recproca:
Si b es perpendicular ac, entoncesces perpendicular ab.
La proposicin anterior simblicamente la denotamos por pq; mientras que laproposicin recproca ser: qp.
ces perpendicular ab, sibes perpendicular ac.
Proposicin inversa. -
Dada la proposicin condicional pq , se llama proposicin inversa a laproposicin que se denota por: pq.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 28
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
29/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo:
Si Marcos consigue la beca, entonces estudiara una maestra en ingeniera;
simblicamente tenemos: pq
La proposicin inversa ser: "pq, ser:
Si Marcos no consigue la beca, entonces no estudiara una maestra en ingeniera.
Simblicamente tenemos:pq
Proposicin contrarecproca.-
Dada la proposicin condicional: pq, se denomina proposicin contrarecprocaa la que se denota por:qp.
Ejemplo:
Si vivo en Lambayeque, vivo en la provincia de Chiclayo; simblicamente: pq
La proposicin contrarecproca ser :
No vivo en la provincia deChiclayo, si no vivo en Lambayeque ;
simblicamente: qp
En los siguientes ejercicios escribir la proposicin dada en la forma si p entoncesq; determine su valor de verdad. A continuacin, escribir la recproca y lacontrarecproca y determinar la verdad o falsedad de cada una.
Las lechugas son verduras
Slo las rectas paralelas no se cortan
Slo las rectas perpendiculares orman ngulos rectos.
!n tringulo e"uiltero tiene tres lados iguales
Si a es ma#or "ue b entonces b es ma#or "ue a
Los tringulos issceles son e"uilteros
!n hombre natural de $apotillo es natural de Lo%a
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 29
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
30/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Si x & ' entonces x2& ()
*ing+n proesor de idiomas tiene mala ortograa
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 30
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
31/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
2.4.9.- PROPOSICIN BICONDICIONAL
: (),QUE SE LEE SI Y SLO SI
Sean p y q dos proposiciones simples entonces se puede indicar la proposicinbicondicional de la siguiente manera: pq; que se lee p si y solo si q
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p esfalsa si y solo si q tambin es falsa. Ejemplo; el enunciado siguiente es unaproposicin bicondicional
Un puente est bien construido , si y solo si; resiste a un terremoto de mayorescala
Simblicamente tenemos:
p: Un puente est bien construido V (p) = V
q: resiste a un terremoto de mayor escala V (q) = V
Por consiguiente: V (pq) = V
Su tabla de verdad es:
p q pq
VVFF
VFVF
VFFV
La proposicin bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas obien ambas verdaderas.
La proposicin bicondicional, tambin se forma por la conjuncin de unaproposicin condicional y su recproca, simblicamente tememos:pq = pq qp
Ejemplo:Oscar viajar a la ciudad de Cuenca si y slo si obtiene un prstamo en el Banco deLoja;Simblicamente tenemos:qp
Equivale a decir: Si Oscarviaja a la ciudad de Cuenca, entonces obtiene unprstamo en el Banco de Loja, y si obtiene un prstamo en el Banco de Loja viajara la ciudad de Cuenca. Simblicamente tenemos:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 31
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
32/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
= pq qp
Por lo tanto la primera y segunda proposicin son iguales:pq = pq qp
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 32
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
33/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
SESI 2
III.- SIGNOS DE PUNTUACIN, AGRUPACIN Y ORDEN DE LOS OPERADORES
O CONECTIVOS LGICOS
Los signos de agrupacin ms conocidos tenemos: el parntesis, corchete yllaves( ); [ ] ;{}
Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto ycomo (;), y los dos puntos (:).
Los signos de agrupacin se usan en lgica cuando se trata de obtener esquemaslgicos ms complejos con el fin de evitar la ambigedad de las frmulas:
Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lgico, se debecolocar los parntesis de izquierda a derecha as:
pqr = (pq)r
pqrs = [(pq)r ]s
Si no hay signos de puntuacin ni parntesis se debe considerar el siguiente ordendemenor a mayor jerarqua de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicarlos parntesis.
,,,,
Ejemplos:pqr = (pq)rpqr v s = (pq)(r v s )pqrs = (pq)(rs)
Si la proposicin compuesta est escrita con parntesis, la ubicacin de stos nosindicar cual es el operador predominante:
Ejercicios
pqr = (pq) v r Es un esquema disyuntivo
pqr v s = (pq)( r v s ) Es un esquema condicional
pqrs = (pq)(rs ) Es un esquema bicondicional.
4. Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupacin, se puede indicarcual esel operador predominante as:
1)Conjuncin prs (pr)s
2)Condicional pq s -----------------------
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 33
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
34/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
3)Condicional pqr -----------------------
4)Condicional rpq -----------------------
5)Conjuncin rpq -------------------------
6)Disyuncin rqt -------------------------
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 34
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
35/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7)Disyuncin qps -----------------
8)Disyuncin qps ------------------
9)Disyuncin qrs -----------------
10)Condicional qrs -----------------
11)Negacin pr -----------------
12)Condicional pr ------------------
13)Negacin ts--------------------------
Dadas las siguientes proposiciones matemticas, incluir los parntesis.
Disyuncin x0x > yy = z x0( x > yy = z)
condicional x = 0x > yyz --------------------------------
condicional x = 0x0yz --------------------------------
condicional x > yxyy> z --------------------------------
conjuncin x = 0x > 0y= 0 --------------------------------
condicional x = yy = zx= z --------------------------------
conjuncin x = yy = zyz --------------------------------
En la proposicin compuesta: p( qr ) el conector principal es.
En la proposicin compuesta: pq el conector principal es
En la proposicin compuesta: p( pr) el conector principal es
En la proposicin compuesta: [ ( pq)(rs)] el conector principal es
Como podemos darnos cuenta, que los signos de puntuacin permiten, entre otras
cosas, identificar en una proposicin compuesta elCONECTOR DOMINANTE
OCONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR JERARQUA
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 35
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
36/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 36
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
37/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
IV.-CLCULO PROPOSICIONAL
Hay dos formas de establecer los valores de verdad:
4.1. POR MEDIO DE LAS TABLAS DE VERDAD
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposicincompuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores quecontengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad especfico para cada proposicin;es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas lasdiferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las
posibilidades de combinar valores de verdad dependen del nmero de proposicionesdadas.
Para una proposicin (n = 1), tenemos 21= 2combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22= 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 23= 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2ncombinaciones
Ejemplo:dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores deverdad:
Pasos para construir la tabla: (pq)(pr)
Determinamos sus valores de verdad 23= 8 combinaciones
Determinamos las combinaciones:
p q rVVVVFFFF
VVFFVVFF
VFVFVFVF
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 37
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
38/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Adjuntamos a ste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada unade la variables sus valores de verdad :
p Q r (p q ) ( p r )
VVVVFFFF
VVFFVVFF
VFVFVFVF
FFFFVVVV
FFFFVVFF
(4)
VVFFVVFF
VFVFVVFF
(6)
VVVVFFFF
FVFVVVVV
(5)
FVFVFVFV
4.Aplicamos la conjuncin de:
(p q )
5.Aplicamos la condicional
( p r )
6.Aplicamos la bicondicional
(p q ) ( p r )
El operador de mayor jerarqua es el que determina los valores de verdad del esquemamolecular.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 38
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
39/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios:
Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es falso, hallar el valor de verdad de lassiguientes proposiciones compuestas por medio de la tabla de verdad.
(pq)(pq)
p(qr)
q(pq)
(pq)(pr)
(q)(qr)
(rr)r
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 39
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
40/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
4.2.- POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE RBOL.-
Es un procedimiento corto y fcil, se necesita conocer los valores de verdad decada variable y aplicar las tablas de certeza lgica:
Ejemplos:
a.Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es verdadera. Cul es el valor deverdad de la proposicin q(pr).
Solucin:
Tenemos:q(pr)
V F V
FF
Luego la proposicin: q(pr), es falsa.
b. Dado el siguiente esquema molecular:(pq)(pr)
Si: p es falsa q es verdadera y r es verdadera. El conector dominante es elbicon
dicional encontrar el valor de verdad del esquema por medio del diagrama delrbol:
Solucin:(pq )( pr)
V VF F
V V
V
Luego la proposicin: (pq)(pr) es verdadera
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 40
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
41/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios
1. Si el valor de verdad de la proposicin: qp, es falsa, Cul ser el valor deverdad de:qp.
2. Completar con V o F, cada una de las siguientes proposiciones, justificar larespuesta:
Se sabe que pq es verdadera. Por lo tanto el valor de verdad depq es:-----------------------
Se sabe quepq es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de pq es:-----------------------
Se sabe quepq es falsa. Por lo tanto, el valor de vedad de pq es:-----------------------
Se sabe que p es falsa ypq es verdadera. Por lo tanto, pq es:-----------------------
Se sabe que q yr es verdadera. Por lo tanto q( pr) es:------------------------
3.Escribir simblicamente las proposiciones siguientes y encontrar el valor deverdad por el diagrama del rbol:
4)2 es nmero par y 21 es mltiplo de 3, 5 es la raz cuadrada de 10Si el m.c.m. de 12 y 15 es 60 y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juegoajedrez.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 41
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
42/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
V.-CONTINGENTES, TAUTOLOGAS Y CONTRADICCIONES
Los esquemas moleculares se clasifican segn el resultado que se obtenga en eloperador de mayor jerarqua, pueden ser:
5.1.- CONTINGENTES
Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dadoel siguiente esquema: (pq)(pr)
P q r (p q ) ( p r )
VVV
VFFFF
VVF
FVVFF
VFV
FVFVF
FFF
FVVVV
FFF
FVVFF
VVF
FVVFF
VFV
FVVFF
VVV
VFFFF
FVFV
VVVV
FVF
VFVFV
El esquema es contingente
5.2.- TAUTOLOGA
Es una proposicin que siempre es verdadera, independientemente del valor lgicode las proposiciones simples que la componen..
Se puede decir tambin que un esquema es un tautolgico cuando los valores deverdad del operador principal son todos verdaderos.
Ejemplo
Si p y q son proporciones simples distintas, demuestre mediante tablas de certezaque el siguiente esquema proposicional es una tautologa.
(pq)(pq)
p q ( p q ) ( p q )
VVFF
VFVF
VVFF
VFFF
VFVF
VVVV
VVFF
VFFV
VFVF
Es un esquema tautolgico
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 42
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
43/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
5.3.- CONTRADICCIN
Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos o Un esquema Aes una contradiccin si no A (A), es una contradiccin cuando todos los valoresdel operador de mayor jerarqua son falsos.
Indeterminacin: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.
Ejemplo:
Dado el siguiente esquema molecular:
[(pq)r][ r( pq )],
determinar si se trata de una contradiccin:
P Q R [(p q ) r] [ r ( p q )]
VVVVFFFF
1
VVFFVVFF
2
VFVFVFVF
3
FFFFVVVV
4
FFFFVVFF
10
VVFFVVFF
5
VVVVFVVV
11
FVFVFVFV
6
FFFFVFFF
15
VFVFVFVF
7
FFFFVFFF
14
FFFFVVFF
13
VVVVFFFF
8
VVVVFFVV
12
FFVVFFVV
9
Podemos observar en el ejemplo anterior que no se trata de una contradiccin; perosi es un es un esquema contingente.
OBSERVACIN:
Ala tautologa se la simboliza con la letra T
A la idea de tautologa se la relaciona con el conjunto universal
A la contradiccin se la simboliza con la letra C
A la contradiccin se la relaciona con el conjunto vaco.
La negacin de una tautologa es una contradiccin
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 43
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
44/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
La negacin de una contradiccin es una tautologa.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 44
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
45/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios
1.-Cules de las siguientes proposiciones compuestas son tautolgicas?
(p~q)(~pq)
(q~p)(p~q)
(~qp)(q~ p)
2.-De las siguientes proposiciones
(pq)(p~q)
(pq)(~pq)
[(p~q)q]~p
[(pq)q)][(qp)q]
Son contingencias:
3.-Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientesesquemas compuestas son tautologas, contingentes o contradictorios
pp
(pq)( qp)
[( pq )( qr )]( pr)
[p( pq )]q
( pq)(qp)
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 45
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
46/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
VI.-INFERENCIA LGICA
Se clasifican en:
6.1.- IMPLICACIONES LGICAS
Se lo representa por el smbolo , no es un conectivo lgico, es un signo derelacin .
Se dice que un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por lacondicional nos da una tautologa. Simblicamente se lo representa as: AB.
Si la proposicin compuesta A implica a la proposicin compuesta B, entonces B sededuce necesariamente de A, o tambin se dice que B se infiere lgicamente de A.
Ejemplo:
Demostrar que el esquema A implica a B
A: pqB: pq
Luego unimos con la condicional y construimos la tabla: pqpq
P Q p q p q
VVFF
VFVF
VFFF
VVVV
VVVF
Como el resultado es una tautologa, se ha demostrado que A implica a B.
Nota: la relacin de implicacin no es recproca.
6.2.- EQUIVALENCIAS LGICAS
Se lo representa por pero no es un operador lgico.
Decimos que dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, s al unir lasdos con la bicondicional nos da una tautologa, es decir que P y Q tienen losmismos valores de verdad en su operador principal. Simblicamente se escribe as:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 46
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
47/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
PQ PQ Se lee P es equivalente a Q Q es equivalente a P.
Si no son equivalentes se los escribe as: PQ
Si P y Q son equivalentes, entonces Q se deduce vlidamente a partir P, y a la veztambin P se deduce necesariamente a partir de Q.
Para demostrar que una proposicin compuesta es equivalente a otra, se lo puedehacer por medio de las tablas de verdad o por medio de las leyes y reglas deinferencia que veremos a continuacin.
A los esquemas moleculares compuestos se los representa con las letrasmaysculas A, B, C,.. etc. con P, Q, R, etc.
Ejemplos:
Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes, por medio de la tablade verdad:
A : Si Laisa aprob el curso preuniversitario, entonces ingres a la UCV. Simblicamente: pq
B: No es el caso que: Laisa apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UCV
Simblicamente :( p q )
Luego demostramos que: pq ( p q )
Seguidamente para demostrar que estos dos esquemas son equivalentes, losunimos con la bicondicional as: ( pq )( p q ) y construimos una tablade verdad:
p q ( p q )( p q )
VVF
F
VFV
F
VFV
V
VVV
V
VFV
V
FVF
F
Dado que el resultado de la tabla es una tautologa, las proposiciones A y B sonequivalentes.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 47
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
48/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Otro Ejemplo:
P: qp ; Q: ( q p )
P q ( q p ) ( qp )
VVFF
VFVF
FVVV
1
VVVV
FVVV
3
VFFF
2
Aqu observamos que la columna 1 y 3 de los operadores principales de las
proposiciones P y Q son iguales, por lo tanto son equivalentes.
Tambin las proposiciones P y Q son equivalentes porque al unirlas con labicondicional nos dio una tautologa.
Ejercicios:
Demostrar que los siguientes esquemas moleculares son equivalentes
a)[ p( qr ) ][ ( pq )( pr )]
b) [p( q r ) ][( pq )( pr )]
c)( p( qr)(pq )r
d)(p(qr)(pq)r
e)( pq )(pq )
f) ( pq )(pq )
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 48
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
49/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
VII.-LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL
En lgica, las tautologas son conocidas con el nombre de leyes o principios lgicos.A continuacin anotamos las principales leyes que vamos a utilizarlos en el futuro
y que usted de familiarizarse:
7.1.- LEYES
L- 1:LEYES DE IDEMPOTENCIAPARAY PARA
Si p es una proposicin simple o compuesta, entonces:
(p p) p
(p p) p
Segn estas leyes, las proporciones ( pp) o (pp) pueden sustituirse por p.
L 2:LEYES DE IDENTIDADPARAY PARA
Si p es una proposicin simple o compuesta, entonces:
p ( V ) ( V );
es decir, cuando formamos la disyuncin de una proporcin p, cuyo valor deverdad es desconocido, con otra cuyo valor de verdad de ( V ), el resultado es ( V ),ya que la disyuncin es ( V ) cuando al menos una de las proposiciones dadas esverdadera.
p ( F ) p;
es decir, el valor de verdad de la disyuncin de una proposicin p, cuyo valor deverdad no conocemos, con otra cuyo valor de verdad es ( F ), depende del valor dep.
p ( V ) p;
en este caso el anlisis es similar a la parte b), teniendo en cuenta que aqu elconector es
p ( F ) ( F );
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 49
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
50/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
el anlisis es similar al de la parte a), teniendo encuenta aqu que el conector es
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 50
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
51/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
L- 3: LEYES CONMUTATIVASY PARA
Si p y q son proposiciones, entonces:
( p q ) ( q p )
(pq )(qp), es decir, dos proporciones conectadas conpueden escribirseen cualquier orden.
L - 4:LEYES ASOCIATIVAS
Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces:
a- ( p( qr)(pq )r
b)(p (q r) (p q) r
L 5: LEYES DISTRIBUTIVAS:
Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces.
a)[ p( qr ) ][ ( pq )( pr )]
b) [p( q r ) ][( pq )( pr )]
Estas leyes son similares a las que conocemos en el lgebra para la suma y lamultiplicacin. Recordemos que:
4( x + y ) = (4x) + ( 4y)
L 6: LEY DE LA DOBLE NEGACIN:
Si p es una proposicin simple cualquiera, entonces:( p ) p
Al negar dos veces una proposicin obtenemos una afirmacin.
L 7: LEY DEL TERCER EXCLUIDO:
Si p es una proposicin cualesquiera, entonces:( p p) ( V )
Esta propiedad establece que independientemente del valor de verdad que tenga p,la proposicin:
(pp) siempre es verdadera. Por tanto, en un esquema lgico complejo podemosreemplazar
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 51
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
52/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
(pp), (qq), (rr), (ab)(ab), etc., por ().
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 52
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
53/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
L 8: LEY DE CONTRADICCIN:
Si p es una proposicin cualesquiera, entonces:( p p ) ( F )
Esquemas como (pp), (qq), (rr) pueden remplazarse por (F)
L 9: LEYES DE DE MORGAN:
Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces:
( p q ) ( p q )
( p q ) ( p q )
Estas leyes nos indican cmo negar una disyuncin y una conjuncin. La parte: a)establece que para negar una conjuncin es necesario cambiar la conjuncin pordisyuncin (por) y negar las proposiciones dadas.
La parte b) establece que para negar una disyuncin debemos cambiar ladisyuncin por la conjuncin (la por) y negar las proposiciones dadas.
Ejemplo:
Negar la proposicin: 7 es un nmero primo y 30 es divisible por 5.
Solucin:
Cambiamos y por o y negamos las proposiciones simples que formanelenunciado, as:
7 no es un nmero primo o 30 no es divisible por 5.
L 10: LEY DE LA CONDICIONAL:
Usando tablas de verdad podemos verificar que: pq equivale apq .
La proposicin pq es una abreviacin de la proposicinpq; es decir:
( pq ) ( p q)
NOTA:Son muchos los esquemas lgicos que ofrecen alguna complejidad y pueden
simplificarse utilizando esta definicin alterna del condicional.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 53
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
54/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 54
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
55/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo 1:
Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes:
a)( pq)r
b)p(q)
c)pq
SOLUCIN:
a.(pq )r ]( pq )r
b. [p(qr ) ]p(qr )
c.(pq )(p )qp(q )
Ejemplo 2:
Escribamos una proposicin equivalente a:Si X es ingeniero entonces X tiene unaconstructora
SOLUCIN:
Usando la definicin alterna de la implicacin tenemos:X no es ingeniero o X notiene una constructora
Ejemplo 3:
Comprobemos que ( pq)(pq)
SOLUCIN:
Elaboramos la tabla de verdad:
p Q p
( p q) (p q)
VVFF
VFVF
FFVV
V VVF V FV VVV VV
(1) (3) (2)
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 55
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
56/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
L- 11.- LEY DE LA BICONDICIONAL
p q ( pq ) ( qp )
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 56
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
57/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
L- 12.- CONJUNCIN NEGATIVA.-
p q p q
L-13.-DISYUNCIN EXCLUSIVA.-
p q ( p q ) ( p q )
Ejercicios: Demuestre las leyes mediante el uso de las tablas de verdad.
7.2.- APLICACIONES DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
Las leyes nos pueden servir para demostrar que un esquema es equivalente a otro,tambin podemos utilizar en la simplificacin de proposiciones etc.
Ejemplo 1:Probemos que( pq )[p q )]
SOLUCIN:
( PQ )[( p )q] Definicin alterna de implicacin
(p)( q )Ley de De Morgan para
p(q) Ley de la Doble Negacin
Luego:( pq )[p(q)]
Ejemplo 2:Probemos que la proposicin ( pq)p es una tautologa.
SOLUCIN:
[( pq )p ]( pq )pDefinicin alterna de
(pq)pLey de De Morgan para
(pp )(q)Ley Asociativa de la
( V )(q ) Ley del Tercer excluido
( V ) Ley Idntica de la
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 57
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
58/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Por lo tanto, al ser[( pq )p]( V ), concluimos que es una tautologa.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 58
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
59/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios
1)Probemos que la proposicin [ ( pq)(q)](p) es una tautologa.
2)Probemos que la siguiente proposicin es una contradiccin:
[(pq )(pq ) ][(pq )](pq )
3)Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y decir en cada casosi se trata de una tautologa, una contradiccin o una determinacin.
a) ( pq)( pq )
b)( pq)(pq)
c)p( qr )
d)p(pq)
e)(pq )( pq)
f) ( pq )p
g)(qr )( qr)
h)( rr )r
4)Los siguientes ejercicios deben resolverse aplicando las Leyes del lgebraproposicional y no por tablas de verdad.-
Probar que las proposiciones siguientes son tautologas:
a)[q( pq ) ](p )
b)[ ( pq )q ](p )
c)[ ( p( qr ) ][ ( pq )r ]
d)[p( pq ) ]q
e)p( pq )
5)Simplificar las siguientes proposicin utilizando leyes:
a.(pq )(pq )
b.p( pq )
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 59
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
60/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
c.m (mn )
d.[ t( m t )]
e.[( pq )(pq ) ]
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 60
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
61/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.2.- INFERENCIA LGICA:
La inferencia es el paso de un conjunto de premisas a la conclusin.
Simblicamente se lo representa as:
P1P2P3.
.
.Pn______C
Al unir cada una de las premisas por el operador conjuntivo y estas a la vez con laconclusin por medio del condicional, se obtiene la siguiente frmula inferencial:
P1P2P3PnC
Como las premisas y la conclusin estn constituidas por proposiciones, podemos decirque la inferencia es una estructura de proposiciones, donde a partir de una o msproposiciones llamadas premisas se obtiene otra proposicin llamada conclusin:
Ejemplos:
1.Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, Si Vicente viaja
al norte del pas entonces no se quedar en la capital.
2.Si Mateo gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Mateo gan el
concurso de poesa. Luego Mateoobtendr una beca.
La conclusin se puede distinguir de sus premisas porque generalmente van precedidas
por alguno de los trminos como por lo tanto, luego, en consecuencia, de ah que,
etc. y las premisas podemos distinguirlas casi siempre por los signos de puntuacin
comoel punto seguido o por el sentido que tiene el enunciado.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 61
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
62/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.3.- VALIDEZ Y VERDAD
La validez se refiere a la forma de pensamiento, mientras que la verdad se obtiene
del anlisis del contenido del pensamiento. En todo razonamiento o inferencia hayque distinguir su validez de su verdad.
El razonamiento o la inferencia son vlidos cuando la conjuncin de premisasimplica a la conclusin; y, si esto no sucede, la inferencia es invlida.
La validez o invalidez de una inferencia depende nicamente de su forma lgica, yla forma lgica depende de la funcin que desempean las conectivas en laestructura del enunciado inferencial.
Si una inferencia vlida tiene su premisa o conjunto de premisas verdaderas,
entonces se puede asegurar que la conclusin es necesariamente verdadera; pero sila premisas o conjunto de premisas no son verdaderas, as la inferencia sea vlida,lgicamente no se puede saber la verdad o falsedad de la conclusin. Entonces, elnico caso que se puede saber la verdad de la conclusin es cuando la inferencia esvlida y tiene premisas verdaderas.
7.4.- MTODOS PARA DETERMINAR LA VALIDEZ DE UNA INFERENCIA
LGICA
Analizar la validez o invalidez de una inferencia consiste en decidir si la frmula de
la inferencia es vlida o no, para esto conocemos dos mtodos:
7.4.1.POR LA TABLA DE VALORES
Se sugiere seguir los siguientes pasos:
a.Simbolizar las premisas y la conclusin:
b.Obtener la formula inferencial
c.Aplicar la tabla de valores.Si el resultado es tautolgico, la conjuncin de
premisas implica a la conclusin, y por tanto la inferencia es vlida, pero si elresultado no es tautolgico, la inferencia no es vlida.
Ejemplos:
1. Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, SiVicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la capital.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 62
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
63/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
a.Simbolizamos:
p q _____________pq
b. Obtenemos la formula inferencial: ( p q )( pq )
b.Elaboramos la tabla de valores:
p Q ( p q ) ( pq )
VVFF
VFVF
V F FV VVV VVF V V
El esquema no es tautolgico, luego la premisa no implica a la conclusin y lainferencia no es vlida,
2.Si Mateo gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Mateo ganel concurso de poesa. Luego Mateo obtendr una beca.
a. Simbolizando tenemos:
pqp__________q
b. Obtenemos la formula inferencial:
[( pq ) p ]q
c. Elaboramos la tabla de valores:
p Q [( pq ) p ] q
VVFF
VFVF
VVVFF VV F VV F V
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 63
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
64/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
El esquema es tautolgico, luego la conjuncin de premisas implica a la conclusiny la inferencia es vlida.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 64
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
65/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.4.2.POR EL MTODO ABREVIADO
Es un procedimiento que evita estar construyendo la tabla de valores de verdadpara determinar la validez de la inferencia.
Este mtodo consiste en suponer la conjuncin de premisas verdaderas y laconclusin falsa, nica posibilidad que invalidad la implicacin.
P1P2P3PnC
V VVV F
Ejemplo:
1.Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, SiVicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la capital.
a. Simbolizamos: p q _____________pq
b. Obtenemos la formula inferencial: ( p q )( pq )
c.Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusin falsa
( p q )( pq )
V F
Como cada una de las variables(p, q), cumplen una sola funcin veritativa,decidimos que la inferencia no es vlida. Esto es, se ha demostrado que la premisa
es verdadera y la conclusin es falsa.
2.Si Juan gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Juan gan elconcurso de poesa. Luego Juan obtendr una beca.
Simbolizando tenemos:
pqp
__________q
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 65
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
66/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
b. Obtenemos la formula inferencial:[(pq)p]q
c. Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusin falsa:
[(pq) p]q
V VF
c.Comprobamos:
[( pq ) p ]q
F FV V F
Como la variable p tiene dos valores: verdadero y falso a la vez. Por lo tanto, hayimplicacin y la inferencia es vlida.
7.5.-Reglas de inferencia:
Para inferir un razonamiento a partir de otros se requiere de un proceso en el quese aplican propiedades o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidasde casos particulares o para casos particulares.
Estas leyes dan la certeza de que solo es posible obtener conclusiones ciertas depremisas ciertas.
7.5.1.-MODUS PONENDO PONENS( REGLA DE SEPARACIN):
Su abreviatura es PP.
Simblicamente tenemos:
p
q (1)p (1)
_______
q (1)
Su frmula inferencial es:[ ( pq )p]q
Si una proposicin condicional es verdadera y si verdadero el antecedente, entoncesnecesariamente ser verdadero el consecuente.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 66
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
67/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo:
Premisa 1: Si l est en el partido de ftbol, entonces l est en el estadio.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 67
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
68/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Premisa 2: El est en el partido de ftbol
Conclusin: El est en el estadio.
Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior
pq (1)p (1)
_______q (1)
Ejercicios:
A.Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas?
Es decir qu proposicin lgica se sigue de las premisas?
Si usted est en Madrid, entonces su reloj seala lamisa hora que en Barcelona.Usted est en Madrid.
Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nosdespedimos ahora.
Si vivo en la capital del Ecuador, entonces no vivo en ninguno de las 21 provinciasdel Ecuador. Vivo en la capital del Ecuador.
Utilizando Modus PonendoPonens sacar una conclusin de cada uno de losconjuntos de premisas siguientes. Escribir la conclusin en la lnea (3)
pqr
pq
pr
p
Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusin es correcta segn elModus
Poniendo Ponens. Poner una I junto a cada conclusin incorrecta.
Premisas: s y st: conclusin: t
Premisas: tv y t: conclusin v
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 68
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
69/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Premisas: pq y q: conclusin r
Premisas: s y rs
Premisas: r y rs
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 69
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
70/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.2.DOBLE NEGACIN.
La reglade doble negacin es una regla simple que permitepasar de unapremisa nica a la conclusin.
Simblicamente tenemos:
p (1) p (1)________ _______p (1) p (1)
Ejemplo:
No ocurre que Mara no es estudiante
Simbolizando el ejemplo anterior tenemos:
p (1) ________p (1)
La conclusin es que Mara es estudiante.
Ejercicios:
A. Qu conclusin podemos sacar de cada una de las proposiciones siguientes porla doble negacin:
1. Todos los mamferos son animales de sangre caliente
2. El granito es un tipo de mineral gneo
3. No ocurre que un quinto no es el veinte por cierto
B. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas:
1. Demostrar:t 2. Demostrar: b
(1) st (1)a
(2) s (2)ab
(3) (3)
(4) (4)
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 70
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
71/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.3.-MODUS TOLLENDO TOLLENS.
Su abreviatura es TT.
Simblicamente tenemos:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 71
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
72/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
(1)(1)
p (1)
Su frmula es: [ ( pq )q ]p
Si una proposicin condicional es verdadera y si es verdadera la negacin delconsecuente, entonces necesariamente ser verdadera la negacin del antecedente.
Ejemplo:
Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella
Premisa 2: El astro no es una estrella.
Conclusin: Por tanto no tiene luz propia
Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior
PPp TT 1, 2
Ejercicios:
1)Qu conclusin se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisassiguientes utilizando TT? Escribir las conclusiones es castellano.
2)Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luzms brillante dar lugar siempre a una emisin de electrones con mayor energaque los originados por luz ms tenue. La luz ms brillante no siempre emite
electrones con mayor energa que los originados.
3)Si un ngulo de un tringulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de losotros dos ngulos es menor de 90 grados. La sima de los otros dos ngulos noes menor de 90 grados.
4)Si el arriendo se mantiene vlido, entonces el dueo es responsable de lasreparaciones. El dueo no es responsable de las reptaciones.
5)Deducir una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes,aplicando la regla del Modus TollendoTollens.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 72
pqq
pqq
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
73/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
1.(1) qr 2. (1) qr 3. (1) ( pq)r (2)r (2)r (2)r(3)(3) (3)
Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicarla demostracin completa.
Demostrar: c Demostrar: rs Demostrar:
(1)b (1) pq (1) f(2) ab (2) q (2)ef(3)ac (3)prs
7.5.4.-MODUS TOLLENDO PONENS.
Su abreviatura es: MTP
Simblicamente tenemos:
(1)(1) q (1)
(1)(1) p (1)
Sus frmulas son:
[(pq )p]q
[(pq )q]p
Si una proposicin disyuntiva es verdadera y si es verdadera la negacin de una desus componentes, entonces necesariamente ser verdadera la otra componente dela disyuncin.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 73
pqp
pqq
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
74/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo:
1.- Supngase que se tiene como premisa:
O esta sustancia contiene hidrgeno o contiene oxgeno
La segunda premisa dice:
Esta sustancia no contiene oxgeno
Por medio del Modus TollendoPonens se puede concluir:
Esta sustancia contiene oxgeno
2.- Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo:
p: Esta sustancia contiene hidrgeno
q: Esta sustancia contiene oxgeno
La demostracin de la conclusin es:
q TP 1, 2
Ejercicios:
1.-Qu conclusin, en forma de proposicin escrita en castellano, se puedededucir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando la reglaTP?
2.-Este hombre o es un abogado o es un poltico. No es un abogado.Juan o ha terminado el libro o no ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca.
Juan no ha terminado el libro.
B. Deducir una conclusin de cada uno de los siguientes conjuntos de premisasusando el Modus TollendoPonens.
(1)qrP (1) t( pq) (1) (st)r (2) r P (2)t P (2)(st) P
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 74
pq Pp P
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
75/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas en losEjercicios que siguen. Dar una demostracin completa.
1) Demostrar: p 2) Demostrar ab 3)Demostrar: p
(1) pq P (1)ab P (1) tpq P
(2)t P (2) ae P (2)t P
(3) qt P (3) e P (3)q P
7.5.5.-TAUTOLOGA SIMPLIFICATIVA
Simblicamente tenemos:
pq
p
pq
Q
Su frmula es: (pq)p
(pq)q
Si una conjuncin de proposiciones es verdadera entonces necesariamente serverdadera cada una de sus componentes.
Ejemplo:
Apruebo los talleres y apruebo el mdulo 2
Premisa 1: apruebo los talleres
Premisa 2: apruebo el mdulo 2
Conclusin: 1) apruebo los talleres
Conclusin: 2) apruebo el mdulo 2
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 75
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
76/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.6.- TAUTOLOGA ADJUNCIN
Simblicamente tenemos:
P
Q
pq
Su frmula es:[( p )( q )]( pq)
Si dos proporciones cualesquiera son verdaderas, entonces necesariamente serverdadera la conjuncin que con dichas proposiciones se forme.
Ejemplo:
Sal bien en el examen y tengo 10
p: sal bien en el examen
q: tengo 10
( p q ) : sal bien en el examen y tengo 10
7.5.7.TAUTOLOGA ADICIN
Simblicamente tenemos:
P
pq
Su frmula es: p[pq]
Si una proposicin cualesquiera es verdadera, entonces necesariamente serverdaderala disyuncin que se forme con dicha proposicin y cualquier otra.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 76
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
77/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo:
Estudio con responsabilidad o pierdo el mdulo
p: estudio con responsabilidad
q: pierdo el mdulo
pq: estudio con responsabilidad o pierdo el mdulo.
7.5.8. SILOGISMO HIPOTTICO(LEY TRANSITIVA).
Su abreviatura es HS
Simblicamente tenemos:pqqr
pr
Su frmula es:[( pq )( rs ) ( pr )](qs)
Si una proposicin condicional es verdadera y si es verdadera otra condicional quetenga como antecedente el consecuente de la primera, entonces necesariamenteser verdadera otra condicional que tenga por antecedente el de la primea y porconsecuente el consecuente de la segunda.
Ejemplo:
(1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar
(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa despus de comer.
Se puede concluir:
(3) Si hace calor, entonces arregla la casa despus de comer.
Ejercicios:
En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipottico obsrvese que algunosde los antecedentes y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sinembargo es la misma.
a. (1)pq P
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 77
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
78/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
(2)qr P
(3)pr HS 1,2
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 78
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
79/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
b. (1) (pq)rP
(2) r(qt ) P
(3) (pq)( qt ) HS 1,2
A.Qu conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley desilogismo hipottico de los conjuntos de proposiciones siguientes?
Si el agua se hiela, entonces sus molculas forman cristales. Si lasmolculasforman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.
Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cmara de niebla, entonces losfotones expulsan electrones de lo s tomos del gas. Si los fotones expulsan
electrones de tomos de gas, entonces la energa de la luz se convierte en energacintica de los electrones.
B.Traducir los razonamientos del ejercicio A en smbolos lgicos y demostrar quesu conclusin es consecuencia lgica de las premisas.
C.Utilizar la ley del silogismo hipottico y obtener una conclusin del siguienteconjunto de premisas.
1. (1) qp 2. (1) strq
(2)pr (2) rqp
D.Indicar una deduccin formal de las siguientes conclusiones a partir de laspremisas dadas.
1. Demostrar:t 2. Demostrar: q(1) ( qr)p (1)rs(2) rt (2) spq
(3) ( qr )t (3) rt(4)t
7.5.9.- SILOGISMO DISYUNTIVO(LEY DEL DILEMA).
Su abreviatura es DS
Simblicamente tenemos: pq
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 79
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
80/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
rspr
qs
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 80
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
81/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Su frmula es:[(pq)(rs )(pq)](qs)
Si dos proposiciones condicionales son verdaderas y si es verdadera la disyuncinque se forme con los antecedentes de dichas condicionales, entonces
necesariamente ser verdadera la disyuncin que se forme con los consecuentes.
Ejemplo:
O llueve o el campo est seco
Si llueve, entonces jugaremos dentro.
Si el campo est seco, entonces jugaremos al baloncesto
Qu conclusin se puede sacar de estas proposiciones? La conclusin es que o
jugaremos dentro o jugaremos el baloncesto. La conclusin es otra disyuncin.
Simbolizamos:
r: llueve
d: el campo est seco
p: jugaremos dentro
b: jugaremos al baloncesto
Esto se simboliza as:
(1) rd P
(2) rp P
(3) db P
(4) pb D S1, 2, y 3
Ejercicios:
A.Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas,por la ley del silogismo disyuntivo? Dar como conclusin una proposicinen lenguaje corriente.
O Juan tiene mayora o Pedro tiene mayora. Si Juan tiene mayora. Pedro ser eltesorero. Si Pedro tiene mayora, entonces Juan ser el tesorero.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 81
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
82/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
O la planta es un aplanta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde,entonces fabrica su propio elemento. Si es una planta no verde, entonces dependede las materias de otras plantas para su alimento.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 82
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
83/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
B.Simbolizar los razonamientos de los ejemplos anteriores y demostrar que lasconclusiones son consecuencia lgica de las premisas.
C.Utilizar la ley del silogismo disyuntivo (DS) para obtener una conclusin de cadauno de los siguientes conjuntos de premisas.
1. (1) pq 2. (1)ts
(2)qr (2)sp
(3) ps (3) tq
Dar una deduccin completamente formal de las siguientes conclusiones a partir delas premisas dadas.
1. Demostrar: r(pq ) 2. Demostrar:qs
(1) pq (1) sr
(2) qr (2) rt
(3) pt (3) qt
(4)t
7.5.10. CONMUTATIVA
Simblicamente tenemos:
pq pq
_______ ______qp qp
Su frmula es:
(p q )(q p) (pq)( qp)
Ejemplo:
Pedro trabaja y estudia pq
Por lo tanto:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 83
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
84/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Pedro estudia y trabaja qp
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 84
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
85/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.11. SIMPLIFICACION DISYUNTIVA:
Simblicamente tenemos:
pp
________p
Su frmula es: (pp)p
Ejemplo:
Pedro es ingeniero o Pedro es ingeniero pp
Se concluye: que Pedro es ingeniero
7.5. 12.LAS LEYES DE DE MORGAN:
Simblicamente tenemos:
a)(pq) b)pq
________ ________pq (pq)
Ejemplos:
a) No ocurre a la vez que: hace calor o que hace fro (pq)
Se puede tambin expresar:
No hace calor y no hace fro pq
b) No llueve y no hace sol pq
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 85
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
86/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Se puede tambin expresar:
No ocurre que: llueve o haga sol(pq)
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 86
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
87/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios:
A.Qu se puede concluir de las premisas siguientes utilizando las leyes de De
Morgan?
1. O los estudiantes no son ingenieros o no tienen tiempo
2. No ocurre que o el aire es un buen conductor del calor o el agua es unbuenconductor del calor.
3. No ocurre que los puentes son cementos o que los edificios son calles
B.Aplicar las leyes de De Morgan para deducir conclusiones:
1.( pq)
2.rt
3.(rs)
4.gh
C.Indicar una demostracin formal completa para cada uno de los razonamientossimbolizados siguientes:
1. Demostrar:s 2. Demostrar: rq
(1)(pq) (1)s( pt)
(2)qt (2) t(qr)
(3)pt(3)s
(4) st
D.-Dar una demostracin formal completa para cada uno de los razonamientossiguientes:
1. Demostrar: x = 1
(1)(zy)y = 2
(2) x
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
88/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
(3) x>zx>y
(4) x>zx
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
89/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.13.- REGLA DE LA BICONDICIONAL.
Su abreviatura es LB
Simblicamente tenemos:
pq pq ___________________ qp (pq )(qp) ____________
pq
Ejercicios:
A.Simbolizar las siguientes proposiciones y dar una deduccin formal:
1.Esta ley ser aprobada en esta sesin si y solo si es apoyada por la mayora. Oes apoyada por la mayora o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador seopone a ella, entonces ser pospuesta en las deliberaciones del comit. Por tanto oesta ley ser aprobada en esta sesin o ser pospuesta en la deliberacin delcomit.
2.3 x 5 = 125 +5 +5 = 12
4 x 413
5 +5 +5 = 124 x 4 = 13
Por lo tanto: 3 x 512
B.Dar una demostracin formal completa de cada uno de los razonamientossiguientes:
1.Demostrar: 2 x 5 = 5 + 52 x 4 = 4 + 4
(1) 2 x 4 = 4 + 42 x 5 = 5 + 5
2.Demostrar: x = 43x + 2 = 14
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 89
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
90/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
(1) 3x + 2 = 143x = 12 (2) 3x = 12x = 4
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 90
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
91/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
7.5.14. CONJUNCIN NEGATIVA
Simblicamente:
pq
_________pq
Su frmula es: (pq)(pq)
Ejemplo:
Ni Luis estudia ni Juan trabaja pq
Se concluye que:
Luis no estudia y Juan no trabaja. pq
7.5.15. DISYUNCIN EXCLUSIVA
Simblicamente:
p v q_____________
(pq )( pq)
Ejemplo:
Ins es hija de Pedro o hija de Luis p v q
Se concluye:
Ins es hija de Pedro o Ins es hija de Luis y no es cierto que: Ins es hija de Pedroy de Luis
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 91
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
92/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
SESI 6
VIII.-PROCESOS DE DEDUCCIN
De un conjunto de premisas dadas, que se puede deducir:
1.Determinar el valor de verdad de las premisas. Si alguna de ellas es falsa no esposible inferir nada de ellas.
Ejemplo: que se puede deducir de:
2 + 3 = 53 = 3
4 + 2 = 79 + 2 = 11
4 + 2 = 7 2 = 2
Determinamos el valor de verdad
2 + 3 = 53 = 3 V
4 + 2 = 79 + 2 = 11 V
4 + 2 = 7 2 = 2 F
De este conjunto de premisas no se puede concluir nada.
2.Determinar si las premisas son inconsistentes o no. a. Si las premisas no son consistentes (inconsistentes) no se puede inferirnada de ellas.
b. Si las premisas son consistentes es posible deducir una conclusinutilizando las reglas de inferencia.
Ejemplo: Que se deduce de:
Si 3 + 2 = 5, 6 4 = 2
Si 6 4 = 2, 6 = 3 + 3
1.Determinamos el valor de verdad de las premisas:
3 + 2 = 5 6 4 = 2 V
6 4 = 2 6 = 3 + 3 V
2.Determinamos la conclusin:3 + 2 = 56 = 3 + 3
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 92
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
93/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejemplo: Considerando que las premisas son verdaderas, que sepuede deducir de:pqrpqr
pq P1
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 93
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
94/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
rpP2
qr P3
r C1de P2 (Regla de la simplificacin)
q C2de P3y C1 (M T.T)
p C3de P1y C2 (M. T.T)
p C4de P2 (Regla de la simplificacin)
ppC5de C3y C4 (Regla de adjuncin)
Las premisas son inconsistentes, en consecuencia nada se puede deducir de ellas
Ejercicios:
Que se puede deducir de:
1.4 + 3 = 72 = 2 3. q v r
3 + 2 = 64 + 3 = 7 qp
3 + 2622 r( st)
2.pq 4. pq
p q[s(rp)]
sq
MTODOS DE DEMOSTRACIN
Los mtodos de demostracin pueden ser: directo, condicional e indirecto. Lademostracin de una proposicin tiene por objeto establecer que es verdad,infirindola de verdades conocidas o ya demostradas.
MTODO DIRECTO:
Consiste en inferir una conclusin, partiendo nicamente de un conjunto depremisas.
Ejemplo:
Demostrar: s; de
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 94
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
95/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
pq pq P1ps ps P2qs qs P3
s C1; de P1, P2y P3 (Regla del SilogismoDisy.)
s C; de C1 (Simplificacin Disyuntiva)
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 95
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
96/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
IX.-CIRCUITOS LGICOS
El valor de verdad de una proposicin puede asociarse al pasaje de corriente en un
circuito elctrico controlado por un interruptor.
En efecto, para representar un interruptor mediante una proposicin p, se tiene:
p p
Circuito cerrado Circuito abierto
Es decir, el interruptor est cerrado (pasa corriente) si V(p) = V, y est abierto (nopasa corriente) si V(p)=F. De aqu establecemos una identificacin entre lasproposiciones y los interruptores de un circuito elctrico. Las operacionesproposicionales (conjuncin, disyuncin, etc.) pueden representarse mediantecircuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes. Considerandolas clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible disear esquemas decircuitos elctricos para representar a proposiciones compuestas o viceversa.
Circuitos en serie:
Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie:
p q
Se observa que este circuito admite poso de corriente cuando los dos (interruptoresp y q estn cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente. De aqutenemos el comportamiento de la conjuncin de las proposiciones pq. Por tanto:
a) pq: representa un circuito cerrado en serie, que deja posar corriente solo silosinterruptores p y q estn cerrados a la vez. Diremos que solo en este estado pqes verdadera.
b) p q: representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente.Diremos entonces que en este estado p q es falsa.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 96
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
97/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
p q p q
pq pq
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 97
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
98/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Circuitos en paralelo:
Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo:
p
q
Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los interruptoreso ambos estn cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos interruptoresestn abiertos. Tenemos, entonces, el comportamiento de la disyuncin de las
proposiciones p y q. La falsedad de pq, es decir, el hecho de que no pase corriente,solo se verifica en el caso de la falsedad simultnea de pq; Por tanto:
pq: representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corriente si por lomenos uno de los interruptores elctricos est cerrado. Diremos que solo enesteestado pq es verdadero
b) p q: representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar corriente,polo que en este estado p q es falsa.
p p
q q
pq pq
Las representaciones anteriores nos permiten disear o simbolizar redes decircuitos elctricos conectados en serie y en paralelo, o tambin simplificarcircuitos muy complicados haciendo uso de las ya conocidas equivalenciasnotables.
Ejemplo:
Disertar circuitos lgicos de las siguientes proposiciones:
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 98
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
99/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
a) (pq)r b) pq c) pq
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 99
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
100/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Solucin:
a) Vemos que (pq)r es la conjuncin de pq y r, que deben estar conectados enserie:
pq r
Pero, pq se representa por:(1)p
q
Luego sustituyendo en (1), tendremos la representacin pedida, esto es:
p r
q
b) Segn la condicional: pq pq
Luego, la representacin de pq, es la disyuncin (conexin en paralelo) de pq.Esto es:
p
q
c) De la equivalencia: pq(pq)(qp)
( pq )( qp)
Entonces, la representacin de pq es conjuncin (conexin en serie) de
( p v q ) y ( qp), esto es:
pq qp
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 100
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
101/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Pero pq y qp, se representan, respectivamente, por: (2)
p q
q p
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 101
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
102/252
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Sustituyendo en (2) se tiene:
p q
qp
Pero, segn la equivalencia:pq( pq )( p q)
Representando la disyuncin de pq y p q, tendremos:
pq p q
pq p q
Los circuitos (3) y (4) son representaciones de pq; se dice entonces que(3) y (4) son circuitos equivalentes.
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 102
7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc
103/252
q
qp
Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013
Ejercicios:
Si el costo de cada llave de Instalacin del circuito E de la figura adjunta es $10, cuntose ahorrara si se reemplaza ste por un circuito lgico ms simple equivalente?
1.Describir simblicamente el circuito:rp
q
q r
2.. Determinar el circuito equivalente al circuito:
p q p
p qq
q p
p
q
3.Construir el circuito lgico equivalente del esquema:( )[ ] ( )[ ]pqppqp
p
q
4.La proposicin p q