COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE HIDALGOPLANTEL TETEPANGOJOSE MARIA Y PAVON

MATERIA:GEOMETRIA ANALITICA

ESPECIALIDAD:SOPORTE YMANTENIMIENTO EN EQUIPO DE CMPUTO

TERCER SEMESTREGRUPO: J

NOMBRE DE LA PRCTICA:

HIPERBOLANOMBRE DEL ALUMNO:

ANTONIO URIEL SANCHEZ MERA

NOMBRE DEL DOCENTE:ING. VCTOR URIEL HERNANDEZ BORGES

CICLO ESCOLAR:AGOSTO 2013-ENERO 2014

RESUMEN

Una hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vrtices, la cual es una constante positiva.Hiprbola deriva de la palabra griega (exceso), y es cognado de hiprbole (la figura literaria que equivale a exageracin).Debido a la inclinacin del corte, el plano de la hiprbola intercepta ambas ramas del cono.Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicacin del cubo, donde demuestra la existencia de una solucin mediante el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes. Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.Elementos de la hiprbola:1Focos: Son los puntos fijos F y F'.2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.4Centro: Es el punto de interseccin de los ejes.5Vrtices: Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vrtices y de radio c.6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.7Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.8Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.9Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.10Ejes de simetra: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.11Asntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12Relacin entre los semiejes:

INTRODUCION

Debido a la inclinacin del corte, el plano de la hiprbola interseca ambas ramas del cono.Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicacin del cubo,[2] donde demuestra la existencia de una solucin mediante el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes. Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas,[4] considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.

Elementos de la hiprbolaFocos Son los puntos fijos F y F'.Eje focal Es la recta que pasa por los focos.Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento.Centro Es el punto de interseccin de los ejes.Vrtices Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vrtices y de radio c. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.Distancia focal Es el segmento de longitud 2c.Eje mayor Es el segmento de longitud 2a.Eje menor Es el segmento de longitud 2b.Ejes de simetra Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.Asntotas Son las rectas de ecuaciones:

OBJETIVO

LA HIPERBOLA Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

HIPERBOLA CON CENTRO EN ORIGENPor definicin la hiprbola es una figura geomtrica que tiene dos focos, y la diferencia entre las distancias desde un punto hacia cada foco siempre es constante (la misma).Enfoqumonos en un punto de la grfica, especficamente el vrtice A. La distancia F'A es c + a y la distancia FA es c - a. entonces tendramos: Donde k es la distancia constante.

Resolviendo para k tenemos Recuerda que c representa la distancia del centro a un foco y a es la distancia del centro al vrtice.Entonces, teniendo los puntos P(x,y), F(c,0) y F'(-c,0), escribimos la definicin:

Ahora hacemos lgebra:

, Ahora elevamos los dos lados al cuadrado.

Como podemos notar, ahora se simplifica la expresin eliminado algunos trminos.

, dividimos dentro de 4.

, de nuevo elevamos todo al cuadrado.

, ahora pasamos todos los x's y y's a la derecha y los dems a la izquierda.

Recordemos que

, dividimos todo entre (a^2 * b^2)

, y esta es la ecuacin de la hiprbola.

ECUACION GENERAL DE LA HIPERBOLA

Si el centro de la hiprbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuacin de la hiprbola ser:

EjemplosAl quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F (7, 2), de vrtice A (5,2) y de centro C (3, 2).

Ecuacin de la hiprbola de eje vertical

Si el centro de la hiprbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y0+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuacin de la hiprbola ser:

EjemploAl quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuacin de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F (-2, 5), de vrtice A (-2, 3) y de centro C (-2, -5).

DESARROLLO TEORICO

Una hiprbola (del griego ) es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra, y con ngulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.[Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicacin del cubo, donde demuestra la existencia de una solucin mediante el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes.Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas,[4] considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.

Hiprbola

Las asntotas de la hiprbola se muestran como lneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hiprbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la lnea negra que los une es el eje transversal. La delgada lnea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos lneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hiprbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vrtices se encuentran en el eje transversal a una distancia a con respecto al centro.Ecuaciones de la hiprbolaEcuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuacin de una hiprbola con centro en el origen de coordenadas y ecuacin de la hiprbola en su forma cannica.

Ecuacin de una hiprbola con centro en el punto

Ejemplos:a)

b)

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hiprbola es horizontal; si es al revs, es vertical. La excentricidad de una hiprbola siempre es mayor que uno.

Ecuacin de la hiprbola en su forma complejaUna hiprbola en el plano complejo es el lugar geomtrico formado por un conjunto de puntos, en el plano; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condicin geomtrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias, a dos puntos fijos llamados focos y, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vrtices del eje focal.La ecuacin queda: Evidentemente esta operacin se lleva a cabo en el conjunto de los nmeros complejos.Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hiprbolas y sus asntotas en coordenadas cartesianas.Hiprbola abierta de derecha a izquierda:

Hiprbola abierta de arriba a abajo:

Hiprbola abierta de noreste a suroeste:

Hiprbola abierta de noroeste a sureste:

Hiprbola con origen en el foco derecho:

Hiprbola con origen en el foco izquierdo:

Ecuaciones paramtricas

Seccin cnicaHiprbola abierta de derecha a izquierda:

Hiprbola abierta de arriba a abajo:

HiprbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la hiprbola:1Focos: Son los puntos fijos F y F'.2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.4Centro: Es el punto de interseccin de los ejes.5Vrtices: Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vrtices y de radio c.6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.7Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.8Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.9Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.10Ejes de simetra: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.11Asntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12Relacin entre los semiejes:

Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.Distancia focal Es el segmento de longitud 2c.Eje mayor Es el segmento de longitud 2a.Eje menor Es el segmento de longitud 2b.Ejes de simetra Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.Asntotas Son las rectas de ecuaciones:

HIPERBOLA CON CENTRO EN ORIGENPor definicin la hiprbola es una figura geomtrica que tiene dos focos, y la diferencia entre las distancias desde un punto hacia cada foco siempre es constante (la misma).Pero cmo sabemos cul es esta distancia constante? Bueno, es fcil.Enfoqumonos en un punto de la grfica, especficamente el vrtice A. La distancia F'A es c + a y la distancia FA es c - a. entonces tendramos: Donde k es la distancia constante.

Resolviendo para k tenemos Recuerda que c representa la distancia del centro a un foco y a es la distancia del centro al vrtice.Entonces, teniendo los puntos P(x,y), F(c,0) y F'(-c,0), escribimos la definicin:

Ahora hacemos lgebra:

, Ahora elevamos los dos lados al cuadrado.

Como podemos notar, ahora se simplifica la expresin eliminado algunos trminos.

, dividimos dentro de 4.

, de nuevo elevamos todo al cuadrado.

, ahora pasamos todos los x's y y's a la derecha y los dems a la izquierda.

Recordemos que

, dividimos todo entre (a^2 * b^2)

, y esta es la ecuacin de la hiprbola.

DESARROLLO EXPERIMENTALEjercicio 1 resueltoRepresenta grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.1

2

3

4

Ejercicio 2 resueltoRepresenta grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:1

2

CONCLUCIONESNOSOTROS APRENDIMOS EL SIGNIFICADO DE LA HIPERBOLA, SUS ELEMENTOS, COMO SACAR DIFERENTES ECUACIONES DE UNA HIPERBOLA PARA LLEGAR AL RESULTADO UTILIZANDO DIFERENTES COORDENADAS, EJES E INCOGNITAS.

BIBLIOGRAFIA

REFERENCIAS Bracho,J.GeometraAnaltica,Notas-Villarreal, Csar E., Gonzlez Hernndez, Juan, Geometra, Publicaciones Electrnicas hiprbola - Textos, Vol.8, Sociedad Matemtica Mexicana, 2007.