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Índice: Geometría, cinemática y dinámica
• Geometría– Coordenadas propias y del mundo– Representación de la posición.
• Tipos de coordenadas– Matrices de rotación– Representación de la orientación del elemento final
• Ángulos de Euler y RPY– Matrices de transformación homogéneas
• Cinemática– Problema cinemático directo e inverso
• Dinámica– Ecuaciones de Newton-Euler– Ecuaciones de Lagrange-Euler
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Coordenadas propias y del mundo• Coordenadas propias (del cuerpo)
– Indican la posición y orientación del extremo final del robot.• Coordenadas del mundo
– Posición y orientación del extremo final del robot respecto a unsistema de coordenadas homogéneas. Normalmente, fijamos el centro en la base del robot.
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Representación de la posición (I)
• Vamos a representar la posición en un espacio tridimensional
• Veremos 3 tipos de representación– Coordenadas cartesianas– Coordenadas cilíndricas– Coordenadas esféricas
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Representación de la posición (II)
• Coordenadas cartesianas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ– Definimos la posición mediante
el vector p(x,y,z)• x expresa la proyección del
vector p sobre el eje OX.• y expresa la proyección del
vector p sobre el eje OY.• z expresa la proyección del
vector p sobre el eje OZ.
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Representación de la posición (III)
• Coordenadas cilíndricas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ– Definimos la posición
mediante el vector p(r,θ,z)• r es la distancia desde el
origen O hasta el extremo del vector p.
• θ es el ángulo formado por la proyección del vector p sobre el plano OXY con el eje OX.
• z expresa la proyección del vector p sobre el eje OZ.
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Representación de la posición (IV)
• Coordenadas esféricas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ– Definimos la posición
mediante el vector p(r,θ,Ф) • r es la distancia desde el
origen O hasta el extremo del vector p.
• θ es el ángulo formado por la proyección del vector psobre el plano OXY con el eje OX.
• Ф es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.
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Composición de rotaciones
• Podemos multiplicar las matrices de rotación básicas entre sí para representar una secuencia de rotación finita respecto del eje principal del sistema de coordenadas OXYZ– La multiplicación de matrices no es conmutativa – Importante el orden de realización de las rotaciones
• También podemos encadenar rotaciones básicas respecto a los ejes principales de los sistemas de coordenadas obtenidos después de una rotación
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Composición de rotaciones: Ejemplo
−+−−
+−=
=
−
−
−==
αθφαφαφαθφθφαθαθθ
αφαθφαθφαφθφ
ααααθθ
θθ
φφ
φφ
αθφ
SSSCCSCCSSCSSCCCS
CSSSCCSCSSCC
CSSCCS
SC
CS
SC
xzy
00
001
10000
0010
0
,,, RRRR
• Orden de composición (respecto de OXYZ)1. Rotación de ángulo α respecto del eje OX2. Rotación de ángulo θ respecto del eje OZ3. Rotación de ángulo Φ respecto del eje OY
(Sustituimos Sin y Cos por S y C, respectivamente)
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Orientación del elemento terminal (I)
• Un punto queda definido en el espacio a través de su posición
• Para un sólido necesitamos definir además cual es la orientación
• Hay varias formas de definir la orientación siendo las más usuales:– Ángulos de Euler– Ángulos RPY
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Orientación del elemento terminal (II)
• Ángulos de Euler ZXZ – Es una de las representaciones
más habituales.– Se suele asociar con los
movimientos básicos de un giroscopio.
– Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden):1. Girar el sistema OUVW un
ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´.
2. Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con respecto al eje OU´ (X inicial), conviertiendoseen el OU´´V´´W´´.
3. Girar el sistema OU´´V´´W´´ un ángulo ψ con respecto al eje OW´´ (Z inicial), convirtiéndose finalmente en el OU´´´V´´´W´´´
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Orientación del elemento terminal (III)
• Matriz de rotación:
−+−+
−−−=
=
−
−
−== ′′′
θψθψθθφψθφψφψθφψφθφψθφψφψθφψφ
ψψψψ
θθ
θθφφφφ
ψθφ
CCSSSSCCCCSSSCCCSSSCCSSCSCSCC
CSSC
CS
SCCSSC
wuz
10000
0010
0
10000
,,, RRRR
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Orientación del elemento terminal (IV)
• Ángulos de Euler ZYZ– Si se parte de los sistemas
OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden):1. Girar el sistema OUVW un
ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´.
2. Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con respecto al eje OV´ (Y inicial), conviertiendoseen el OU´´V´´W´´.
3. Girar el sistema OU´´V´´W´´ un ángulo ψ con respecto al eje OW´´ (Z inicial), convirtiéndose finalmente en el OU´´´V´´´W´´´
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Orientación del elemento terminal (V)• Ángulos RPY
– “roll” (balanceo), “pitch” (inclinación) y “yaw” (orientación). En naútica corresponde a alabeo, cabeceo y guiñada.
– Representación utilizada generalmente en aeronáutica.
– Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden):
1. Girar el sistema OUVW un ángulo ψcon respecto al eje OX. Es el denominado Yaw o guiñada.
2. Girar el sistema OUVW un ángulo θcon respecto al eje OY. Es el denominado Pitch o cabeceo.
3. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ. Es el denominado Roll o alabeo.