Date post: | 29-Jul-2015 |
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CAPITULO 10
NOTACION CIENTIFICA
En el trabajo científico a menudo deben realizarse operaciones con números muy
grandes o muy pequeños. Por ejemplo la constante de gravitación universal
vale .000,000,000,066,7 el tamaño de una molécula de aceite mide cerca de: .000,000,01
metros, la longitud de una bacteria vale casi .000,001 metros. El radio terrestre mide
6,360,000 metros, la masa de la Tierra vale 5,976,000,000,000,000,000,000,000
kilogramos, la distancia media de la Tierra a la luna 384,404,000 metros, la distancia
media del planeta Marte al Sol vale 227,900,000,000,000 metros. Hacer cuentas con
estos números presenta problemas muy especiales. Aunque las calculadoras han
simplificado la realización de operaciones aritméticas, cifras como las de arriba no caben
en la pantalla de la calculadora, ya que involucran muchos dígitos, y las calculadoras
están limitadas a 8 o cuando mas a 12 dígitos. Podemos simplificar las operaciones con
números muy grandes o muy pequeños, utilizando potencias del número 10.
Leyes de Exponentes y Potencias de 10
Un número muy grande por ejemplo 123,000,000,000 puede escribirse como el
producto 1231,000,000,000 = 123109. Análogamente un número muy pequeño
como .000,000,000,75 = 75.000,000,000,01 = 751
100,000,000,000 = 751
10 11
=7510–11 En ambos casos se ha empleado una potencia del número 10 como auxiliar.
Siempre es posible escribir de forma abreviada cantidades muy grandes o muy chicas
mediante el auxilio de potencias de 10, y efectuar operaciones aritméticas aprovechando
las leyes de exponentes. Elevar un número a una potencia dada, consiste en multiplicarlo
una y otra vez por si mismo cuantas veces lo indique la potencia. Por ejemplo a2 = aa; b
5
= bbbbb. En general xn = xxxxxxxx....... n veces. Las leyes algebraicas para operaciones
con exponentes se exponen a continuación:
axay = ax+y; ax
ay =ax-y; 1
ax =a-x; (ax)y=axy; a = a1 2
; an=a1 n . Para hacer operaciones con
potencias de 10, se procede como se muestra en los ejemplos siguientes.
Notación científica 118
I. Operaciones usando la ley: a x
ay
=a x + y
10.1 10 510 7 = 10 5 + 7 = 10 13 10.2 10 - 12 10 7 = 10 -12 + 7 = 10 - 5
10.3 10 - 3210 - 8=10 - 32 - 8= 10 - 40 10.4 10 - 10 10 14 = 10 - 10 + 14 = 10 4
II. Operaciones usando la ley:
a x
a y= a
x −y
10.5 1012
108 = 10
12 – 8 = 10
410.6 107
109
= 10 7 - 9
=10 – 2
= 1
102 =
€
1
100 = .01
10.7 107
10−10 = 10
7 – (-10) = 10
7 + 10 = 10
17 10.8
10−3
106 = 10
- 3 - 6 =10
- 9
10.9 10 −10
10 −12 = 10
–10 – ( - 12) = 10
– 10 + 12 = 10
2
10.10 10 −20
10 −15= 10
– 20 – ( -15) = 10
– 20 + 15 = 10
– 5 =
€
1
10 5
III. Operaciones usando la ley: a−x =
1
a x
10.11 10 – 2
= 1
102 = 1
100 = .01 10.12 1
10−3 = 10 – (- 3)
= 10 3 = 1000
IV. Operaciones usando la ley ( a x )
y = a
x y
10.13 (10 3)
5 = 10
(3)(5) = 10
1510.14 (10
- 2 )
4 = 10
(-2)(4) = 10
- 8
10.15 (10 7
) - 10
= 10 (7)( - 10)
= 10 - 70
10.16 (10 - 4
) - 3
= 10 (-4)(-3)
= 10 12
V. Operaciones usando la ley an = a
1n
10.17 103 = 10
13 10.18 10
– 1 / 3 =
1
101 3 = 1
103
10.19
€
1035= ((10)3)1/5=(10)3(
€
1
5)=(10)
€
3
5
118
Notación científica 119
10.20 ( 1035
)3 = (103)1 5( )
3= 10(3)(1 5)(3) =10((3 ×1 ×3) 5) =109 5
10.21
€
1012
1033 =
€
1012 − 33 =
€
(109)1 3 = 10(9)(1/3)
=
€
109 3 = 103
10.22
€
105
10-105 =
€
105− (−10)5 =
€
105+105 =
€
(1015)1 5=
€
1015 5 = 103
10.23 (
€
1053 )(
€
1065 ) = (
€
105 3)(
€
106 5) =
€
10
5
3+
6
5 =
€
10
25+18
15 =
€
1043 15
Nótese que debemos utilizar leyes algebraicas como las de los signos y muchos
detalles de aritmética, como son las operaciones de quebrados.
Representación de Cantidades Utilizando Potencias de 10
Los números muy grandes se representan mediante potencias de 10 con exponente
positivo. Por ejemplo el número 6,360,000 es el resultado del multiplicar: 636 10,000
como se ilustra en el cuadro 10.1. Dado que 10,000 = 104 entonces
6,360,000 = 636 10,000 = 636 104. Sin embargo esta no es una
representación única del número, ya que como el lector puede
comprobar mediante multiplicación simple 6,360,000 puede
representarse también de las formas siguientes:
63.6 100,000 = 63.6 105
10.36 1,000,000 = 10.36 106
.636 10,000,000 = .636 107
6,360 1000 = 6,360 103
63,600 100 = 63600 102
636,000 10 = 636,000 101
El ejemplo anterior muestra la forma en que se escriben los números con potencias
de 10 positivas. Recordando que en toda expresión numérica existe un punto decimal,
aunque no se escriba explícitamente, en 6,360,000 el punto decimal está a la derecha del
primer cero aunque no lo veamos. En la representación 6,360,000 = 6.36 106 se
aprecia que el punto decimal se ha movido seis lugares hacia la izquierda (cuadro 10.2),
desde su posición original, y esa cantidad de lugares, nos proporciona el exponente que
acompaña a la potencia de 10. En resumen, para escribir un número en términos de
Cuadro 10.1
119
Notación científica 120
potencias positivas de 10 se procede como sigue:
1.-) Se corre el punto decimal hacia la izquierda de su posición inicial hasta el lugar
donde se desea ubicarlo.
2.-) Se cuentan los lugares que se ha corrido el punto, el número así obtenido es la
potencia positiva de 10.
3.-) Se escribe el número ya con el punto decimal en su nueva ubicación, multiplicado
por el número 10 elevado a la potencia determinada en el inciso 2.
Para números negativos se sigue exactamente el mismo procedimiento, conservando el
signo del número pues el cambio de representación no lo altera.
Ejemplo 10.24 Escribir en términos de potencias de 10, proponiendo por lo menos
tres alternativas diferentes el número 5,976,000,000,000,000,000,000,000
5,976,000,000,000,000,000,000,000 = 5.9761024
corriendo el punto 24 lugares a la
derecha (cuéntelos). 5,976,000,000,000,000,000,000,000 = 59.761023
corriendo el
punto 23 lugares a la derecha, y también corriendo el punto solamente 22 lugares a la
izquierda obtenemos: 5910.6 1022
Ejemplo 10.25 Escribir en términos de potencias de 10, proponiendo al menos tres
alternativas el número 227,900,000,000,000
Corriendo el punto 11 lugares 2279 1011
. Corriendo el punto 12 lugares 2210.9
1012
y corriendo el punto 13 lugares 22.79 1013
Ejemplo 10.26 Escribir en términos de potencias de 10 el número - 560,000
Corriendo hacia la izquierda 5 lugares el punto tendremos: - 10.6 105
Para pasar de la representación en potencias de 10 a la representación normal,
corremos el punto hacia la derecha tantos lugares decimales como indica el exponente
de 10, agregando ceros para llenar los lugares donde no haya dígitos. Esto se ilustra en
los ejemplos siguientes.
6,360,000 = 6.36106
El punto decimal se mueve seis lugares a la izquierda
Cuadro 10.2
120
Notación científica 121
Ejemplo 10.27 Escriba explícitamente el número 10.5 1011
10.5 1011
= 10.5 100,000,000,000 = 650,000,000,000
Ejemplo 10.28 Escriba explícitamente el número - 2.35 107
- 2.35 107 = - 23,500,000
Representación con Potencias Negativas de Diez Los números muy pequeños,
positivos o negativos se representan usando potencias negativas de 10. Para apreciar esto
veamos la división375
100,000 . El cuadro 10.3 muestra en detalle el procedimiento usual
para hacer esta operación. Analizando detalladamente el resultado, se aprecia que si
corremos a la izquierda el punto decimal tantos lugares como lo indica el exponente de la
potencia de 10 entre la que se hizo la división, obtenemos el mismo resultado.
En el ejemplo el punto decimal se corre 5 lugares a la izquierda de su posición
original: 375
100,000= .003,75 =37510-5 . Analizando esta expresión es fácil darse cuenta
que la división entre una potencia positiva de 10, como es el caso (375/105) es lo mismo
que multiplicar el número en cuestión por la potencia de 10 con el signo negativo. En
resumen, para escribir un número en términos de potencias negativas de 10 se procede
como sigue.
1.-) Se corre el punto decimal hacia la derecha de su posición inicial hasta el lugar
donde se desea ubicarlo.
2.-) Se cuentan los lugares que se ha corrido el punto, el número así obtenido es la
potencia negativa de 10.
Cuadro 10.3
121
Notación científica 122
3.-) Se escribe el número ya con el punto decimal en su nueva ubicación, junto con la
multiplicación por el 10 elevado a la potencia negativa determinada en el inciso 2.
Para números negativos se sigue exactamente el mismo procedimiento,
conservando el signo del número pues el cambio de representación no lo altera. Al igual
que en el caso de las potencias positivas de 10 la representación de un número no es
única, pues la cantidad de lugares que debe correrse el punto decimal puede ser definido
a nuestra voluntad. Por ejemplo, el número .000,000,009,3 puede representarse de las
formas siguientes:
.000,000,009,3 = .93 10 - 8
.000,000,009,3 = 9.3 10 - 9
.000,000,009,3 = 93 10 - 10
.000,000,009,3 = .0093 10 - 6
.000,000,009,3 = .000,0093 10 - 3
Ejemplo 10.29 Escriba en dos formas diferentes empleando potencias negativas de
10 el número: .000,004,5
Corriendo el punto 6 lugares hacia la derecha 4.5 10 - 6
Corriendo el punto 7 lugares hacia la derecha 45 10 - 7
Ejemplo 10.30 Escriba en dos formas diferentes empleando potencias negativas de
10 el número: - .000,0791
Corriendo el punto 7 lugares hacia la derecha - 791 10 - 7
Corriendo el punto 3 lugares hacia la derecha - .0791 10 - 3
Para pasar de la representación en potencias negativas de 10 a la representación
normal, corremos el punto hacia la izquierda tantos lugares decimales como indica el
valor absoluto de la potencia de 10, agregando ceros para llenar los lugares donde no
haya dígitos.
Ejemplo 10.31 Escriba explícitamente la cantidad 9.0273 10 - 6
Corriendo 6 lugares hacia la izquierda el punto decimal obtendremos .000,009,027,3
Ejemplo 10.32 Escriba explícitamente la cantidad - 1.03 10 - 7
122
Notación científica 123
Corriendo el 7 lugares a la izquierda obtenemos: - .000,000,103
Operaciones con Números Representados con Potencias de 10
A la notación en términos de potencias de 10 se le llama notación científica o de
ingeniería. Ahora veremos como se efectúan operaciones aritméticas utilizando esta
representación.
Multiplicación Para realizar estas operaciones, se multiplican por separado las
potencias de 10 y los números. Por lo demás se respetan las leyes algebraicas de
operación.
Ejemplo 10.33 Efectuar la operación (9.36 107) ( 3.2 10
9)
(9.36 107) ( 3.2 10
9) = 9.36 3.2 10
7 10 9= 29.952 10
7 + 9 = 29.952 10
16
Ejemplo 10.34 Efectuar la operación (10.2 1012
) (9 10 - 8
)
(10.2 10 12
) (9 10- 8
) = 10.2 9 1012 - 8
= 91.8 10 4
Ejemplo 10.35 Efectuar la operación (.032 10 - 7
)( 40 10 5)
(.032 10 - 7
)( 40 10 5) = .032 40 10
- 7 + 5 = 1.28 10
- 2
Ejemplo 10.36 Efectuar la operación (1.25 10 -11
) (10.3 10 -7
)
(1.25 10 -11
) (10.3 10 -7
) = 1.25 10.3 10 -11 - 7
= 10.875 10 - 18
División Al igual que con las multiplicaciones, se dividen por separado los
números y las potencias. Se efectúan las divisiones por separado y al final se unen en el
resultado.
Ejemplo 10.37 Calcular la división: 4.5×1015
2.1×107
4.5×1015
2.1×107=
4.5
2.1×1015
107 = 2.14310
15-7 = 2.14310
8
Ejemplo 10.38 Calcular la división: 9.8×106
7.7×1012
123
Notación científica 124
9.8×106
7.7×1012 =
9.8
7.7
106
1012 = 1.273 10 6 – 12
= 1.273 10 – 6
= .000,001,273
Ejemplo 10.39 Calcular la división: 6.5×10−10
2.3×104
6.5
2.3
10 −10
10 4 = 2.826 10
– 14 – 4 = 2.826 10
- 18
Ejemplo 10.40 Calcular:
€
20 ×10-7
5×10-11
20
5
10 −7
10 −11 = 4 10
– 7 – ( - 11) = 4 10
– 7 + 11 = 4 10
4
Ejemplo 10.41 Calcular:
€
5.37 ×10-16
3.6 ×10-8
5.37
3.6
10−16
10−8 = 1.492 10
– 16 - ( - 8) = 1.492 10
–16 + 8 = 1.492 10
– 8
Potencias y Raíces con Potencias de 10 Estas operaciones se efectúan utilizando
las siguientes leyes de operación del álgebra:
a bn = an bn
= a1/n
b1/n
; a
bn =
an
bn = a1 n
b1n ; (a b) n
= a n
b n
y a
b ⎛ ⎝
⎞ ⎠
n=
a n
bn
Ejemplo 10.42 Calcular la raíz cuadrada de 81 1012
€
81×1012 = 81 10 12 = 9 (1012
) 1/ 2
= 9 10 12/2
= 9 10 6
Ejemplo 10.43 Calcular la raíz cúbica: 1.257×10 283
Para obtener la raíz cúbica de 1028
va a ser necesario dividir el exponente 28 entre 3.
Pero 28 no es divisible entre 3, sin embargo 27 si lo es. Entonces antes de hacer cualquier
otra operación, se mueve el punto decimal en una cifra hacia la derecha, para obtener una
expresión multiplicada por 10 27
, transformamos 1.257 10 28
en 12.57 10 27
y luego
procedemos con la raíz. Obviamente 1.257 10 28
= 12.57 10 210.
1.257×10 283 = 12.57 ×10273 = 12.573 10 273 = 2.325 10 27 / 3
124
Notación científica 125
y concluyendo: 1.257×10 283 = 2.3251 10 9
Suma y Resta Únicamente podemos hacer sumas y restas si las cifras están
expresadas en términos de la misma potencia de 10. No es posible sumar o restar
expresiones expresadas en términos de potencias de 10 diferentes. Para restar o sumar
cantidades expresadas en términos de potencias de 10:
1. Antes que nada se arreglan las cantidades para que todas queden expresadas en
términos de la misma potencia de 10, moviendo los puntos decimales para aumentar o
disminuir las potencias, según se necesite.
2. Se suman o restan los números y el resultado será lo que se obtenga de la suma o
resta multiplicado por la potencia de 10 determinada en el inciso anterior
3. No se suman ni restan los exponentes, únicamente se suman las expresiones numéricas
asociadas a las potencias.
Ejemplo 10.44 Calcular 10.17 10 12
+ 10.22 10 15
Método 1) Igualando a la potencia 10 12
.
El único término que hay que arreglar es el segundo. Se corre el punto decimal 3 lugares
hacia la derecha con lo que la potencia de 10 disminuirá en 3 lugares, quedando la cifra
10.221015 = 52201012. Con esto sumamos: 10.17 1012
+ 10.22 1015
=
10.17 1012
+ 5220 1012
= ( 10.17 + 5220 ) 1012
= 52210.17 1012
Método 2) Igualando a la potencia 1015.
Ahora se arregla la primer cifra de la suma, corriendo el punto decimal 3 lugares hacia la
izquierda, con lo que obtenemos: 10.17 1012
= .00617 1015
Sumando tenemos: 10.17 1012
+ 10.22 1015
= .00617 1015
+ 10.22 1015
=
= (.00617 + 10.22) 1015
= 10.22617 1015
Ejemplo 10.45 Calcular - 3.89 106 + 1.46 10
8
Método 1) Igualando a la potencia 106
125
Notación científica 126
Arreglamos el segundo término, corriendo el punto decimal dos lugares a la derecha
quedando 1.46 108 = 146 10
6, con esto la suma es
- 3.89 106 + 1.46 10
8 = - 3.89 10
6 + 146 10
6 = ( - 3.89 + 146) 10
6 y el
resultado es 142.10 106
Método 2.-) Igualando a la potencia 108
Arreglamos el primer término corriendo el punto decimal dos lugares a la izquierda
quedando 3.89 106 = .0389 10
8. Con esto la suma es:
-.0389 108 + 1.46 10
8 = (- .0389 + 1.46) 10
8 y el resultado es 1.4211 10
8
Ejemplo 10.46 Calcular 8.67 10-12
+ 4.19 10-9
En este ejemplo tenemos exponentes negativos y conviene recordar que si se corre
el punto a la izquierda el valor absoluto del coeficiente negativo disminuye, mientras que
si se corre el punto decimal a la derecha el valor absoluto del coeficiente aumenta.
Método 1.-) Igualando coeficientes a 10-12
Tenemos que modificar el término 4.19 10-9
. Corremos el punto decimal 3 lugares a la
derecha para que el exponente sea -12, o sea 4.19 10-9
= 4190 10-12
, y sumamos:
8.67 10-12
+ 4.19 10-9
= 8.67 10-12
+4190 10-12
= (8.67 + 4190) 10-12
y
el resultado es 4198 10-12
.
Método 2.-) Igualando coeficientes a 10-9
Modificamos 8.67 10-12
de manera que su potencia de 10 sea 10-9
corriendo el punto
decimal 3 lugares hacia la izquierda quedando: 8.67 10-12
= .00867 10-9
. La suma
es:
8.67 10-12
+ 4.19 10-9
= .00867 10-9
+ 4.19 10-9
= (.00867 + 4.19) 10-9
y el
126
Notación científica 127
resultado es 4.1987 10-9
.
Ordenes de Magnitud
En ciencia es costumbre hablar de ordenes de magnitud cuando se comparan
medidas o dimensiones físicas de objetos. El orden de magnitud se define en términos de
potencias de 10. Por ejemplo si una longitud vale .0001 m. = 10 - 4
m y otra vale .1 m =
10 - 1
m. La razón entre ambas es
€
10-1
10- 4 = 10 - 1 - ( - 4) = 10 - 1 + 4 = 10 3 y decimos que
entre ambos números hay una diferencia de tres órdenes de magnitud. Si tenemos un
volumen V1 = 20 litros = 2 10 litros y otro de V2 = 1000 litros = 103 litros, la razón
entre los volúmenes es
€
103
2 ×10= .510
2 = .5 100, es decir la diferencia entre ambas
cantidades es de 100 = 102 a 1 o sea de dos órdenes de magnitud.
La diferencia en órdenes de magnitud de entre dos cantidades, está dada por la
diferencia en los exponentes de las potencias de 10 involucradas en la representación
numérica de ambas cantidades, cuando ambas cantidades se dividen.
Ejemplo 10.47 ¿Por cuantos órdenes de magnitud es mas grande la masa del
protón (1.67 10-27 kg.) que la del electrón (9.11 10-31)?
Dividiendo ambas cantidades: 1.67
9.1110 −27
10 −31
= .183310 -17+31 = .1833104 una
diferencia de cuatro órdenes de magnitud. Otra forma de ver la diferencia en órdenes de
magnitud es restar los exponentes - 27 - (- 31) = - 27 + 31 = 4 órdenes de magnitud.
Calculadoras
Desde 1972 existen calculadoras de mano que sirven no solo para sumar restar y
dividir, sino también para obtener cualquier potencia, cualquier raíz, valores de funciones
trigonométricas, graficar los resultados de experimentos y muchas otras operaciones
Representación de potencias de 10 en Calculadoras En la pantalla de una
calculadora existen límites para la presentación de cantidades. Lo mas común es que
solamente se puedan presentar de 8 a 10 dígitos o combinaciones de dígitos y símbolos
en la pantalla. En algunos modelos en la pantalla de una calculadora no se puede escribir
127
Notación científica 128
una expresión con potencias de 10 en la misma forma como lo hacemos en un cuaderno o
en el pizarrón. Veamos el número: 3.56 10- 27.
En una pantalla se vería como sigue:
Los tres últimos lugares hacia la derecha de la pantalla están destinados para
representar tanto el exponente de 10 como su signo. En otros modelos de calculadora
veríamos: 3 . 5 6 E - 2 7 Usualmente pueden representarse números desde 10 - 99
hasta
10 99
. No aparece explícitamente el número 10 ni tampoco necesitamos marcarlo en la
máquina al introducir el número. También hay modelos en los que aparece el término
“10”, usualmente en un recuadro al lado derecho de la pantalla: 3.5610 – 27”
Para escribir números incluyendo potencias de 10 en las calculadoras, se emplea,
según la marca y el modelo de máquina, una tecla con el letrero tecla EXP o con
únicamente la letra E, o bien el símbolo “”. Por ejemplo para escribir en una calculadora
la cifra 5.74109, los teclazos serian los siguientes: 5 . 7 4 EXP 9 Nótese que no es
necesario teclear ni el número 10 ni el signo , pues cuando se oprime la tecla EXP, la
máquina automáticamente “entiende” que se está representando el número en términos de
potencia de 10, y agrega internamente sin mostrarlo en la pantalla esta potencia
automáticamente. Si se teclea la multiplicación por 10, ya no se representa el número
5.74109 sino el 5.7410
10, lo cual es erróneo. Otras formas de teclear el número según
el modelo de la máquina son 5 . 7 4 E 9 o bien 5 . 7 4 9
Para escribir números con exponente negativos, en algunos teclados existe una tecla
con los símbolos +/- y en otros una tecla con el signo menos entre paréntesis (-) , para
agregar el símbolo “ – “ al exponente. Obviamente este signo no es el que se emplea para
efectuar la resta usual de la aritmética. Por ejemplo para el número 1.510-25 los
teclazos serán: 1 . 5 EXP +/- 2 5 o 1 . 5 E +/- 2 5 o bien 1 . 5 +/- 2 5 también
puede ser :
1 . 5 EXP (-) 2 5 o 1 . 5 E (-) 2 5 o bien 1 . 5 (-) 2 5. Es indispensable que el
128
Notación científica 129
alumno lea el manual de su máquina, para aprender cuales teclas se emplean en la
representación y operación, de números con potencias de 10.
Problemas
1. Efectuar sin máquina las operaciones siguientes entre potencias de 10
1) 10310
12 = 2) 10
-5106 = 3) 10
-410-3
=
4) 10 - 12 10
15 = 5) 10
2/7101/5
= 6) 10- 2/310
3/5 =
7) 10- 2/310
-1/5 = 8) 10
-1/4102/7
= 9)
€
106
105 =
10)
€
108
10- 3 = 11)
€
10- 6
102 = 12)
€
10-3
10- 7 =
13)
€
10- 5
10- 12 = 14) (10
5)3 = 15) (10
6)- 4
=
16) (10-7
)2 = 17 (10
-6)-8
= 18)
€
106 =
19)
€
10- 183 = 20)
€
1
1084 = 21) (
€
1034 )(
€
1043 ) =
22) (
€
10-53 )(
€
10-23 ) = 23)
€
1021
1012 = 24)
€
10−3
1063 =
2. Expresar en términos de potencias de 10
25) .000,000,000,32 26) (.002)3 27) 134,000,000,000
28) .000,000,55 29) (.075)4 30) 65,000,000,000
31) .000,000,000,000,21 32) (1.5)10 33) 891,000,000
34) .000,19 35) (- 2.5 ) 7 36) 756,000
37) .000,000,000,000,91 38) (6)9 39) 157,000,000,000
40).000,000,0085 41) (12)8 42) 36,000
43) .0071 44) (5) 5 45) 715,000,000
46) .045 47) (7)7 48) 31,400,000,000
3. Efectuar sin máquina las multiplicaciones siguientes
49) (3.2 10-3)(4.5 1014) 50) (6.89 10 -3)(4.65 10 -4)
51) ( 10.1 1015)(2.3 1014) 52) ( .003 109)(7 105)
129
Notación científica 130
53) (-2.5 1012)(-10.5 108) 54) (12 1012)(15 1015)
55) (2.1 10-5)(6 10-13) 56) (3.21 10-5)(10.19 1015)
4. Efectuar sin máquina las divisiones siguientes
57)
58)
59)
60)
61)
130
Notación científica 131
15×10 15
9×10 9
131
Notación científica 132
62)
132
Notación científica 133
6.4×10 3
8×10 -9
133
Notación científica 134
63)
134
Notación científica 135
6.4×10 -17
3.2 ×10 17
135
Notación científica 136
64)
136
Notación científica 137
2.5 ×10 22
1.2 ×10 17
137
Notación científica 138
65)
−3.1×108
2.5 ×10−12
5. Efectuar sin máquina las sumas y restas siguientes
66) 1.2 10 -16 + 1.8 10 -18 67) 2.4 1018 - 3.2 1020
68) 10.7 10 - 22 + 9.3 10 - 20 69) 6.3 1028 - 1.5 1026
70) 4 10 -22 - 5 10 -20 71) 6.6 10 12 + 1.5 10 10
72) 3 10-14 - 2 10-16 73) 1.9 1014 + 2.456 1016
74) 10.6 108 – 1.758 1010 75) 9.5 1011 + 1.756 1013
76) 1.9 106 + 10.8 105 77) 10.42 1030 - 6.39 1029
78) 2.15 1013 - 6.52 1011 79) 3.45 10-30 + 6.51 10-33
80) 10.75 10-35 - 1.45 10-33 81) 5.58 1023 + 510.695 1020
6. Efectuar sin máquina las operaciones siguientes
82) (1.3 10-5)5 83)
138
Notación científica 139
2.5 ×10 22
1.2 ×10 17
139
Notación científica 140
84)
140
Notación científica 141
3.2 ×10 −6
1.6 ×10 45
141
Notación científica 142
85) (2.5 10 5 )-3 86)
87)
88) (3 104 ) 4 89)
142
Notación científica 143
6.4×10 3
8×10 -9
143
Notación científica 144
90)
91) (5 103)6 92)
144
Notación científica 145
15×10 15
9×10 9
145
Notación científica 146
93)
146
Notación científica 147
64 ×108
2 ×1044
147
Notación científica 148
94) (6 106)1/6 95)
96)
97) (4 101/5) 10 98)
99)
100) (8 108) 3 101)
102)
103) (9 109) (1/3) 104)
105)
106) 2.510-6 + 3.210-8 107) 3.21018+5.31016 108) 510-12+3.210-11
109) 1.510-3 + 5.4210-4 110) 4.5510100+32.51099111) 31027+21028
112) 6.951056+321055 113) .04510-7+310-5 114) 41075+.0341077
115) 3.21035+1.561037 116) 7.310-15+.00410-17 117) 6.210-75+.00310-71
118) 9.8210-36+.004510-38119) 6.510-16+3.4510-14 120) .04710-35+3.210-33
148