IES Las Musas
Proyecto de investigación
“EL NÚMERO DORADO DEL ARTE”
Marta Platón Álvarez
Jorge Vega Arias
Índice
Resumen
Objetivos
Introducción ................................................................................................................ 1
Los secretos de la proporción ................................................................................... 3
El descubrimiento de los números irracionales .......................................................... 3
Representaciones geométricas y algebraicas ........................................................... 6
Propiedades del número áureo ................................................................................. 9
Aplicaciones en el diseño ........................................................................................ 10
La búsqueda de la perfección en la antigüedad ..................................................... 13
La proporción de las pirámides ................................................................................ 13
Historia clásica ........................................................................................................ 15
La sucesión de Fibonacci ........................................................................................ 16
El triángulo de Kepler e investigadores modernos ................................................... 17
La edad de oro: el Renacimiento ............................................................................. 21
El “renacimiento” de Italia ........................................................................................ 21
Phi en el arte ........................................................................................................... 22
Fractales, el arte de la naturaleza ............................................................................ 27
Definición y propiedades de los fractales ................................................................ 27
Construcción de un fractal ....................................................................................... 28
Conclusión ................................................................................................................ 34
Bibliografía ................................................................................................................ 36
Resumen
El número áureo ha sido utilizado e investigado en incontables ocasiones a lo largo de
la historia. Desde los egipcios hasta Kepler, pasando por los diálogos de Platón y los
cuadros de Leonardo da Vinci, se da la presencia de una determinada proporción en la
que hay una semejanza entre elementos y a la vez con el conjunto. Para la investigación
se recogieron los escritos de distintas personalidades de la ciencia y el arte desde la
Antigua Grecia hasta investigaciones recientes, además de un experimento propio que
consiste en la creación de un fractal, un objeto geométrico de componentes infinitos,
para comprobar un posible vínculo con el número áureo debido a similitudes en sus
propiedades. En este fractal se observa una correspondencia con la proporción áurea,
lo que arroja luz sobre su relación supuesta al comienzo. Gracias a sus distintas deduc-
ciones matemáticas se pueden reconstruir las propiedades del número áureo, a la vez
que con su historia se destacan aplicaciones e importancia en varios períodos artísticos
como el arte clásico y el Renacimiento.
Abstract
The Golden number has been used and studied countless times during history. Ranging
from Egyptians to Kepler, going through the dialogues of Plato and the paintings of Leo-
nardo da Vinci, there is this presence of a certain proportion in which there is a resem-
blance between the elements and at the same time with the whole. For this research
documents from significant personalities in the scientific and artistic field were collected
starting with ancient Greece to recent studies, along with an experiment consisting of the
creation of a fractal, a geometrical object with infinite components, in order to prove a
possible link with the Golden number due to similarities in their characteristics. In this
fractal a clear connection is seen with the spiral created with the Golden ratio, which
clarifies the relation assumed on the premise. Thanks to its various mathematical deri-
vations the properties of the number can be deduced, while the history highlights its
applications and importance in several artistic movements like classic art and Renais-
sance.
Objetivos
− Explicar las características del número áureo mediante el análisis de sus deduc-
ciones matemáticas.
− Hallar una relación entre la proporción áurea y figuras geométricas complejas a
partir de la construcción de un fractal.
− Deducir un vínculo entre las propiedades del número áureo y su utilización en el
arte.
1
1. Introducción
Desde siempre la humanidad ha intentado comprender la estructura detrás del universo,
llevar a términos propios los secretos de la naturaleza y descifrarlos para llenar ese
vacío de conocimiento que hoy en día aún perdura. Así se llegaron a crear ciencias
como las matemáticas o la física, fundamentales a día de hoy. Pero, además, disciplinas
como la escultura o la pintura, que más que entender, lo que pretenden es retratar toda
esta complejidad en una obra, ya que, después de todo, el arte imita a la vida. Pero ya
sean matemáticos o químicos, a lo que se pretende llegar es a una norma que englobe
y explique el porqué general. Una fórmula con la que llegar a un principio indubitable
que nos permita entender la realidad a un nivel distinto.
A lo que finalmente se ha llegado varias veces a lo largo de la historia es a las
proporciones. En el día a día nos manejamos con ellas constantemente, ya sea
comprando una camiseta rebajada un 20% o dando una décima parte de la cuenta como
propina. En las proporciones encontramos una herramienta para explicar relaciones
entre varios elementos, por ejemplo, en el ideal de belleza griego, el hombre tenía una
altura de siete cabezas. Como se puede observar, no se da una medida exacta de la
altura de un hombre o las perfectas facciones, sino que se da una relación entre varios
elementos, en este caso la altura y la cabeza. Esto se debe a que la naturaleza no tiene
una longitud exacta de todo lo que crea, en cambio, lo que proporciona armonía es el
conjunto que forma.
Llegamos a un callejón sin salida, ya que, tenemos el camino, pero ninguna fórmula o
número con el que trabajar más que las opiniones de los artistas. Entonces, ¿cómo
llegamos a una proporción única? Viéndolo de esta manera quizá creamos que sería
imposible de encontrar fácilmente y pasaríamos años buscando sin resultado. Pero nada
más lejos de la realidad, porque solo con levantar la mirada la tendremos a nuestro
alrededor, a veces inapreciable, otras misteriosamente evidente. Se hace notar en
árboles, rayos, caracolas e incluso nuestras manos.
Porque se da por hecho que al ver un rayo que según se acerca a tierra se va separando
en distintas ramificaciones cada vez más pequeñas, o las manos, en segmentos cada
vez más cortos. No es de extrañar que cosas tan dispares tengan un denominador
común, ya que realmente se encuentra en todo lo demás, todo va agrandándose o
empequeñeciéndose gradualmente, pero o interesante aquí es el hecho de que todos
estos elementos guardan la misma relación entre ellos. Este será el punto de partida
2
para empezar una investigación que recorrerá tanto el ámbito matemático como el
artístico en busca de esta proporción que se lleva estudiando miles de años.
Pero ¿Qué tiene que ver esto con el arte? Durante muchos periodos artísticos, se buscó
el equilibrio en la composición y los pintores hallaron en esta proporción una vía para
conseguirlo. De esta manera acabamos viendo esta relación usada en numerosas obras
a lo largo de la historia, aunque quizá lo más interesante es que la mayoría no conocían
su uso anterior, sino que la proporción se fue redescubriendo por un gran número de
pintores o escultores en muchas ocasiones. Esto también nos da una idea de que no
fue un capricho artístico de una persona a la que fueron copiando sistemáticamente,
sino una tendencia, puede que inexplicable, de nuestra propia mente.
Se empezaba por la premisa de que el arte imita a la vida, pero ahora encontramos que
a nuestro alrededor contamos con estructuras que más que naturales parecen medidas
al milímetro y trazadas por una mano experimentada, por lo que podría formular otra
pregunta: ¿es el arte el que imita a la vida o la vida imita al arte? Teniendo en cuenta la
subjetividad de la pregunta, lo factible será encontrar el nexo que una todos los
conceptos entre sí y de una explicación sobre un patrón que se va repitiendo
frecuentemente. Y es que el interés por este tema nace de la repetida aparición de un
número concreto en infinidad de cuadros y escritos, además de esta búsqueda de la
importancia de la relación entre elementos. Lo cual, en el proyecto se llevará a cabo
encontrando el número y describiéndolo matemáticamente, para después ver su
evolución a lo largo de la historia a través de un recorrido por personalidades de gran
importancia en el mundo de la ciencia. Y, por último, con un experimento propio, se
intentará probar la relación entre figuras matemáticas complejas con la proporción.
3
2. Los secretos de la proporción
El ser humano ha tenido el concepto de número desde que tuvieron la necesidad de
comparar dos magnitudes y decidir cuál era mayor que la otra, o de decidir cuántos
elementos conformaban cierto conjunto. Es decir, contemplaban una aplicación práctica
como contar o medir. Pero, como se puede deducir atendiendo a nuestro avance
científico, no se quedó en eso, sino que las personas los han usado para explicar y
predecir los misterios de su alrededor. Así, sociedades prehistóricas sabían relacionar
las fases lunares con los ciclos de crecimiento de los seres vivos, mientras que se iba
formando un lenguaje a base de símbolos con el que seguir fenómenos naturales, como
el movimiento de los planetas1.
Según fueron creciendo las necesidades de un sistema más complejo, se desarrollaron
maneras de dejar plasmados registros y el sentido de número. En torno al propio cuerpo
del ser humano se crearon sistemas numerales, como los más comunes que estuvieron
asociados con la cantidad de dedos. Por eso los sistemas de base decimal y vigesimal
han sido los más repetidos en distintas sociedades.
Ya las civilizaciones agrícolas de Egipto y Mesopotamia junto con otros pueblos situados
hacia el este llegaron a un desarrollo bastante avanzado de cálculo práctico, que tenían
estrechamente relacionado con la filosofía y religión. Aunque nuestros sistemas
actuales no se fundamentan en ellos, sino en los que crearon los griegos de la
antigüedad. Sin embargo, también ellos consideraban a estas primeras sociedades
todas las invenciones que se habían hecho hasta ese momento, desde escritura a
cálculo.
2.1 . El descubrimiento de los números irracionales
Hacia el siglo VI a.C. llegó el primer gran matemático y filósofo de la antigua Grecia,
Pitágoras. Sus enseñanzas se basaban en ideas como la metafísica de los números y
que toda realidad tiene una naturaleza matemática en su nivel más profundo. Una de
las preguntas que rondaban en la filosofía de aquella época planteaba una disputa entre
la geometría y el álgebra, queriendo llegar a una conclusión sobre si el universo está
formado por elementos discretos que pueden contarse o, en cambio, sustancias
1 Stewart, I. 2008. Historia de las matemáticas en los últimos 100 años. Recuperado de http://www.librosmaravillosos.com/historiadelasmatematicasenlosultimos10000anos/pdf/Historia%20de%20las%20matematicas%20-%20Ian%20Stewart.pdf.
4
continuas que solo puedes medir. Esta pregunta hoy en día sigue presente en elementos
de la lengua, por ejemplo, en español decimos “agua” y “mucha o poca agua", pero no
“un agua” o “dos aguas”. Los pitagóricos confiaban en que los números racionales
podían describir toda la geometría2, hasta la aparición de Hípaso de Metaponto, quien
demostró la existencia de los números irracionales3 probando geométricamente que la
razón entre un lado y la diagonal del rectángulo no puede expresarse en números
racionales. A la vista de esta situación, los griegos intentaron negar la existencia de
estos números, llamándolos “innombrables”, pero finalmente tuvieron que aceptar que
ciertas longitudes no podían medirse con números racionales, por lo que era imposible
situarlos con precisión sobre una línea. Por esta razón, los números no podían asociarse
con longitudes y pasaron a ser conceptos únicamente abstractos. Así, se produjo una
división entre el álgebra y la geometría que vendría a reunificar en el siglo XVII René
Descartes, con su combinación de ambas.
Los antiguos griegos no contaban con el álgebra que utilizamos actualmente y a
cuestiones que hoy parecen obvias entonces no era fácil llegar. Su conocimiento estaba
basado en la lógica y diagramas, la adición de una medida inconmensurable tiró muchas
de las creencias y supuso un estancamiento. Esto siguió así hasta la época de Platón,
cuando, por fin, se introdujo el concepto de razón (un cociente entre dos magnitudes),
con lo que se podía tener en cuenta las magnitudes inconmensurables.
Euclides, considerado el padre de la geometría, en el Libro VI de los Elementos escribió
la siguiente definición de la proporción que denominó media áurea: “se dice que una
recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento
mayor como el segmento mayor es al segmento menor”4.
Esto da un número irracional igual a 1.61803…, aunque también se expresa como 1+√5
2.
Se obtiene primero suponiendo b=1 y a=x, teniendo en cuenta las proporciones
podemos expresarlo como 𝑥
1=
𝑥+1
𝑥, que, despejando denominadores quedaría como
2 Russell, D. (4 de diciembre de 2017) Irrational Pythagoreans - Hippasus Expelled! Recuperado de https://www.thoughtco.com/pythagoreans-theorem-geometry-worksheets-2312321 3 Weisstein, E.W. Hippasus of Metapontum (ca. 500 BC). ScienceWorld. Wolfram Research 4 Euclides. S III a.C. Libro sexto de Elementos de Euclides. Recuperado de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Los_Elementos_de_Euclides_(1576)_-_Libro_VI.pdf
𝑎
𝑏=
𝑎 + 𝑏
𝑎= 𝜑
5
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0, reducido ya a una ecuación de segundo grado, se resolvería dando dos
soluciones: 1+√5
2 y
1−√5
2. La segunda solución no tiene sentido ya que es negativa y,
tratando longitudes, no tiene una correspondencia con la realidad, por lo que nos
quedaremos únicamente con la primera. Este es el valor de 𝜑 (phi).
Más adelante, Euclides también obtiene la construcción del rectángulo áureo
representado en la figura 1. Para ello, partió con el triángulo pitagórico EBC, cuya
hipotenusa mide 𝐸𝐶 = √12 + 22 = √5, trazando una circunferencia con centro en E y
radio hasta C se halla una circunferencia que, prolongando el lado EB se obtiene F.
Ahora formando un cuadrado de lado el doble que EB se ve que:
𝐸𝐶 = 𝐸𝐹 = √5 ; por lo que el lado del rectángulo es 𝐴𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 = 1 + √5. La
proporción entre los lados del rectángulo sería de 𝐴𝐹 𝐴𝐷 =1+√5
2⁄ , lo que equivale al
número áureo.
1. Construcción del rectángulo áureo de Euclides.
Esto también se puede expresar en forma del segmento anterior trasladando uno de los lados a la recta sobre la que se sitúa el otro.
6
2.2. Representaciones geométricas y algebraicas
Después de las demostraciones geométricas de Euclides se han encontrado muchas
más maneras de deducir phi. De forma algebraica es, en realidad, bastante sencillo, por
ejemplo, utilizando una serie de números. Empezando por dos términos cualesquiera,
pongamos por caso el 2 y el 7, a continuación, sumaremos ambos números, obteniendo
el 9, después iremos añadiendo este número al anterior de la serie, por lo que quedaría
2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, 280, 453, 733… Parece no haber nada especial, pero
si calculamos la proporción entre los elementos, se observa una tendencia:
La forma más conocida de esta secuencia es la sucesión de Fibonacci, partiendo de 1,
la secuencia quedaría como 1,1,2,3,5,8,13,21… Construyendo cuadrados con estas
medidas de lados y trazando un arco en esquinas opuestas vemos la conocida espiral
descrita por Durero5:
5 Durero, A. 1525. Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas.
7/2= 3.5
9/7= 1.285714…
16/9= 1.777…
…
280/173= 1.6184971098…
453/280= 1.61785714285…
733/453= 1.618101545253…
𝜑 = 1.6180339887…
7
También es interesante el caso del pentágono regular, ya que tiene una gran relación
con el número áureo, además de ser uno de los símbolos más característicos de la
cultura griega. Tomemos un pentágono regular de lado 1 unidad y fijemos como
incógnita su diagonal, ya que es aquí donde se encuentra la relación.
Ahora, trazando otra diagonal que corte a la primera, conseguimos una división que va
recordando a otros casos, pero no adelantemos acontecimientos. Se forma un
paralelogramo ABCF, por lo que se deduce que el segmento CF, al igual que FA y AB,
miden 1 unidad, quedando EF y DF como x-1.
Trazando una tercera diagonal de modo que nos queden dos triángulos semejantes
(aplicando el teorema de Tales, simplemente tenemos que hacer que los lados de
ambos triángulos estén en la misma recta dos a dos y el tercer lado sea paralelo). En
este caso se cumple con la diagonal AC y, ya que son semejantes, podemos hacer una
proporción que quedaría como: 𝑥
1=
1
𝑥−1. Siguiendo el mismo procedimiento de la anterior
𝑥 = 𝜑 =1 + √5
2
8
ecuación de segundo grado, llegamos a la misma expresión, 1+√5
2. Por lo que la diagonal
del pentágono regular también mantiene la proporción áurea con respecto al lado.
Por último, otra forma algebraica de conseguir phi es con esta expresión que contiene
infinitas raíces cuadradas:
√1 + √1 + √1 + √1 + ⋯
Para resolverla, consideraremos el valor de toda la expresión como x, por lo que:
𝑥 = √1 + √1 + √1 + √1 + ⋯
Elevando ambos términos de la ecuación y sustituyendo:
𝑥2 = 1 + √1 + √1 + √1 + ⋯; 𝑥2 = 1 + 𝑥
Esta ecuación deriva de la identidad de Nathan Altshiller-Court, publicado en 1917 que
tiene como formula general:
lim𝑛→∞
√𝑎1 + √𝑎2 + √𝑎3 + √… + √𝑎𝑛
9
Donde 𝑎𝑖 = 𝑎 es igual al mayor cero de la ecuación de segundo grado 𝑥2 − 𝑥 − 𝑎 = 0,
lo que es igual a 1+√1+4𝑎
2. Como 𝑎 = 1, quedaría de nuevo la expresión
1+√5
2
2.3. Propiedades del número áureo
Estos ejemplos sirven como prueba de que la proporción áurea se puede encontrar en
todo tipo de situaciones, ahora viene la pregunta de realmente para qué sirve. Para ello
conviene saber sus propiedades, la primera de ellas, quizá obvia, es que puede ser
iterada indefinidamente. Lo que significa que se pueden repetir, en este caso,
segmentos infinitos que sigan esa proporción, teniendo todos una correspondencia con
el conjunto (figura 2).
2. División repetida de un segmento con la proporción áurea.
Sumado a eso, phi es el único número positivo cuyo cuadrado es una unidad mayor que
él mismo (1.6180…2=2.6180…), y, como se ha visto antes, su inverso es igual a 𝜑-1,
propiedad otra vez única en los números positivos. Esta relación se puede ver fácilmente
en la ecuación que se usó para sacar su valor numérico. Donde teníamos:
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
Llevando los dos últimos términos al segundo miembro y considerando ya la x como phi,
quedaría:
10
𝜑2 = 𝜑 + 1
Si ahora, en vez de cambiar términos de lugar, dividimos toda la ecuación entre phi,
quedaría esta expresión:
𝜑2
𝜑−
𝜑
𝜑−
1
𝜑= 0; 𝜑 − 1 −
1
𝜑= 0;
1
𝜑= 𝜑 − 1
Lo que concluiría con la segunda relación.
Se puede deducir de ambas que las potencias del número áureo se pueden expresar
como suma de potencias de grados inferiores con esta expresión siendo n un número
entero:
𝜑𝑛 = 𝜑𝑛−1 + 𝜑𝑛−2
Con esta última propiedad, se puede formar una fracción continua sustituyendo 𝜑 del
denominador por el segundo término de la igualdad:
𝜑 = 1 +1
𝜑; 𝜑 = 1 +
1
1 +1
1 +1
1 + ⋯
Como no puede ser de otra manera, también es único phi en este aspecto, siendo la
más simple de todas las fracciones continuas y la de convergencia más lenta. Gracias
a esto llega a ser el uno de los irracionales peor aproximables mediante racionales6.
2.4. Aplicación en el diseño
Ya con estas expresiones que resultan de gran utilidad para obtener relaciones o
medidas exactas, se puede empezar a aplicar al diseño. El uso más directo que se le
puede dar es en las dimensiones de la composición. Una de las medidas más usadas
en tanto en fotografía como en diseño es la anchura de 960 píxeles, que, dividiendo
entre 1’6180… para obtener la altura, quedarían 594 píxeles. Ahora si además seguimos
dividiendo en segmentos se logran composiciones equilibradas que los diseñadores
utilizan para añadir textos u otras fotografías. Veamos el caso de National Geographic,
famosa por sus impresionantes fotografías, que en su página web están dispuestas con
información en la parte inferior. La parte de fotografía mide 3’29 cm, mientras que la de
abajo 2 cm, ahora si hacemos la división de la parte mayor entre la menor quedaría
como 3′29 2 = 1′645⁄ , número que se aproxima bastante a phi.
6 Briggs, Keith. "Badly Approximable." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/BadlyApproximable.html
11
3. RBA Revistas, S.L. National Geographic España. https://www.nationalgeographic.com.es/
No solo las dimensiones, sino que también se puede hacer una organización de los
elementos siguiendo la espiral áurea. El espacio positivo y negativo es una parte
fundamental en el diseño, además de la organización de todos los componentes que
formarán la pieza final.
Tomemos como ejemplo una revista de una empresa especializada en diseño gráfico.
A primera vista puede que no nos venga una imagen exacta de la espiral, pero al
superponer ambas no hay duda de la relación. Esto ayuda a conseguir una organización
armoniosa y calculada sin tener que recurrir a la impresión subjetiva del ojo humano
4. Moodley brand identity gmbh. https://moodley.at/idsheet/bregenzer-festspiele/
12
Como ya se han demostrado propiedades y aplicaciones, lo siguiente sería preguntarse
cómo se han desarrollado las investigaciones sobre el número áureo a lo largo de la
historia y como, de una simple línea dividida en dos segmentos se han formado las
obras de arte más famosas de nuestros tiempos.
13
3. La búsqueda de la perfección en la antigüedad
Una de las características más llamativas de la proporción áurea, al contrario de lo que
pueda parecer, no es ni su complejidad matemática ni sus usos, sino la enorme cantidad
de nombres que ha tenido a lo largo de la historia. Dependiendo de la fuente, el periodo
o el lugar geográfico donde se encuentre llevará un nombre distinto: desde la “divina
proporción”7 de Luca Pacioli, pasando por la “sección áurea”8 de Martin Ohm y hasta la
“piedra preciosa”9 de Kepler, podemos encontrar innumerables ejemplos que nos hacen
sacar la conclusión de que la proporción áurea no fue un descubrimiento individual en
un momento determinado, sino un redescubrimiento a lo largo de muchas épocas y en
sociedades completamente distintas. Por esta razón, no sería posible determinar un
origen exacto, pero lo que sí que se puede asegurar es que ha sido usada mucho antes
de que se diera siquiera un nombre.
3.1. La proporción de las pirámides
Por norma general se considera a los griegos la primera civilización que utilizó el número
áureo con conocimiento de causa, apareciendo nombres como Euclides o Fidias,
aunque ya varias investigaciones apuntan que en sociedades anteriores artistas y
matemáticos se percataron de la relación10.
Herodoto, nacido en el siglo V a.C. y considerado el primer historiador, habló de las
pirámides egipcias y dijo que se construyeron de manera que “el cuadrado de la altura
de la pirámide sea igual al área de la cara lateral de la misma”11. Según sus escritos,
que más tarde se han corroborado con mediciones, las medidas en codos son de 280
para la altura y 440 para el lado de la base (figura 5). La relación entre estas dos medidas
quedaría como 280 220 = 14 11⁄⁄ , que se corresponde con la raíz de phi.
7 Pacioli, L. 1991. La Divina Proporción. Madrid. Akal. 8 Dudley, U. 1999. Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. 9 J. Kepler. 1596. Mysterium Cosmographicum. Tubinga. 10 Schoch, R.M. 2008. El misterio de la pirámide de Keops, (pp. 189-190). Madrid. Editorial Edaf S.L. 11 Gallada, M. 2018. Redescubriendo las pirámides egipcias. Greensboro. EE.UU. Tehuti Research Foundation.
14
5. Pirámide descrita por Herodoto con medidas.
No mucha gente reconocerá su nombre, pero René Schwaller de Lubicz ha sido uno de
los investigadores del antiguo Egipto más influyente, siendo su libro más famoso El
Templo del Hombre. Es en esta obra, que llevó un estudió de doce años, donde defiende
el conocimiento de los egipcios de la proporción áurea 2000 años antes que los griegos.
Sobre esto, compara la planta de templos egipcios con la silueta humana, sobre la que
antes dice: “El Número Dorado no actúa únicamente como una función de una
proporción ideal, sino que sirve como base para una filosofía que establece la conexión
entre el estado metafísico y el estado físico… Además, el cuerpo humano se desarrolla
en términos de este número”12 (figura 6).
6. Luxor, The Temple in man. R. Schwaller de Lubicz.
12 Schwaller de Lubicz, R.A. 1981. The Temple in Man: Sacred Architecture and the Perfect Man. Recuperado de http://www.fatuma.net/text/R.A.SchwallerdeLubicz-TheTempleinMan-SacredArchitectureandthePerfectMan.pdf
ℎ2 = 2802 = 78400
ℎ𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = √(440
2)2 + 2802
ℎ𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 = 20√317
𝐴𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 =440 ∙ 20√317
2
𝐴𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 = 78400 = ℎ2
15
Por lo que incluso los egipcios probablemente conocían las proporciones ideales no solo
en humanos sino también en disciplinas como la arquitectura. Aunque esto se podría
tomar como una simple coincidencia, ya que al imitar un elemento natural indirectamente
se puede llegar al número áureo, hay que tener en cuenta los conocimientos
matemáticos de su cultura, teniendo su propio sistema de numeración y manejando
conceptos como las fracciones.
3.2. Historia clásica
Avanzando en el tiempo llegamos a una época de innovación y descubrimientos, lo que
repercute, claro, en la proporción. Por primera vez se dio un nombre formal y se trató
como un principio matemático de vital importancia.
".. el placer no es el primero, ni el segundo bien, sino que el primer bien es la medida, el
justo medio, la oportunidad y todas las cualidades semejantes, que deben mirarse como
condiciones de una naturaleza inmutable. (....) el segundo bien es la proporción, lo bello,
lo perfecto, lo que se basta a sí mismo, y todo lo que es de este género."13. Decía Platón
en uno de sus diálogos. Como se puede ver, las proporciones ganaron importancia en
varias disciplinas como el arte, las matemáticas o la filosofía durante la Antigua Grecia.
Como ya se ha mencionado en varias ocasiones, a Euclides se le debe la primera
expresión en términos matemáticos de la sección áurea, en el libro VI de su obra
Elementos, con el segmento dividido en la media y la extrema razón. De hecho, presume
de ser la primera fuente escrita en la historia sobre la proporción áurea que ha llegado
hasta nuestros tiempos. Aunque no se limita simplemente a dividir una línea con la
proporción, sino que da aplicaciones como la construcción del pentágono regular, el
icosaedro y el dodecaedro.
Poco después, un escultor de Atenas, Fidias, dedicó gran parte de su vida y de su obra
a la proporción áurea, estudió la sección y con ella construyó esculturas que
anteriormente se encontraban en el Partenón, aunque han desaparecido con el paso
del tiempo. Una de sus obras, la estatua de Zeus en Olimpia14, es considerada una de
las siete maravillas del mundo en la Antigüedad, lo que da una idea de la importancia
de su trabajo. Su protector Pericles le encargó la dirección del proyecto de
reconstrucción de la Acrópolis de Atenas y, aunque sus arquitectos fueron Ictino y
Calícrates, se considera a Fidias como supervisor artístico del Partenón. Su marca más
13 Platón. Diálogos Polémicos. Recuperado de http://www.filosofia.org/cla/pla/img/azf03009.pdf 14 Sánchez, C. 2006. Una nueva mirada al arte de la Grecia antigua. p.54, Madrid. Cátedra
16
evidente en la historia del número áureo es que con el tiempo se le denominó phi en su
honor.
Incluso Platón, uno de los filósofos más influyentes de la historia, en sus estudios sobre
cosmología y naturaleza mencionó que existía una proporción con la que se tropezaba
muy a menudo y, aunque no le dio nombre, decía: “es imposible combinar bien dos
cosas sin una tercera, porque es preciso que entre ellas haya un lazo que las una. No
hay mejor lazo que aquel que forma de él mismo y de las cosas que une un solo y mismo
todo… porque cuando de tres números, de tres masas o de tres fuerzas cualesquiera,
el medio es al último lo que el primero es al medio, y al primero lo que el último es al
medio… todo subsiste necesariamente tal como estaba, y como las partes están entre
sí en relaciones semejantes, no forman más que uno como antes”15. Al cumplirse en
tantos aspectos, encontró en ella la clave para entender la física del universo.
3.3. La sucesión de Fibonacci
No es hasta más de un milenio después cuando nace uno de los personajes más
importantes en la historia de phi, Fibonacci, quien publicó un libro en 1202 llamado Liber
Abaci, donde presentó el problema: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un
lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la
pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y
que a partir del segundo se empiezan a reproducir”16. Por lo que empezó con una pareja
de conejos ficticia, después de un mes ya habían crecido hasta ser adultos y en un tercer
mes ya tenían capacidad de criar. De esta manera se añadía una nueva pareja de
conejos, que en un mes habían crecido mientras la primera pareja engendraba otras
dos crías (figura 7), contando finalmente 144 parejas de conejos. Con el número de
parejas queda la sucesión 1,1,2,3,5,8…, que posteriormente recibió su nombre.
Esta sucesión queda definida por la ecuación: 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2
Con los valores iniciales de 𝑓0 = 0 y 𝑓1 = 1
Pudiendo ahora obtenerse cualquier valor a partir de los dos anteriores:
𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 0 = 1
𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 1 + 1 = 2
15 Platón, edición de Patricio de Azcárate. 1872. Obras completas: Timeo. Tomo 6. Madrid 16 Sigler, L.E. 2003. Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer-Verlag New York Inc. New York. EE.UU.
17
7. Teoría de Fibonacci sobre el incremento en el número de conejos
Aun así, no es seguro que el propio Fibonacci supiera la gran relación que tenía con el
número áureo y es que aquí reside la clave para su presencia en la naturaleza, ya que
cada célula necesita por decirlo así, un “turno” para crecer y dividirse. Al igual que los
conejos, primero una célula, crece, se crea una nueva, etc., desgraciadamente hubo
que esperar dos siglos más para la llegada de Luca Pacioli, un geómetra del
Renacimiento que de nuevo puso sobre la mesa la misteriosa proporción en la que sería
su época de mayor relevancia, de la que se hablará en mayor profundidad más adelante.
3.4. El triángulo de Kepler e investigadores modernos
No es hasta 1571 que nace la siguiente figura relevante en la historia de la proporción
áurea. Se trata de Johannes Kepler, un matemático y astrónomo alemán famoso por
sus leyes sobre el movimiento de los planetas. Aunque menos conocidos, también tiene
estudios acerca de la proporción áurea y, de hecho, fue quien demostró la relación entre
la sucesión de Fibonacci y el número áureo, hallando el cociente entre términos
consecutivos, efectivamente encontró una tendencia que se iba acercando a phi. Y no
solo eso, sino que también demostró que había cierto tipo de triángulos rectángulos que
tenían entre sus catetos e hipotenusa una relación igual a la proporción áurea. Se tratan
de triángulos rectángulos con el cuadrado de sus lados en progresión geométrica (figura
8), y más adelante se denominaron triángulos de Kepler en su honor. Actualmente,
sabiendo las propiedades del número áureo, podríamos deducirlo fácilmente de esta
expresión: 𝜑2 = 𝜑 + 1, ya que poniéndola en forma del teorema de Pitágoras quedaría
como (𝜑)2 = (√𝜑)2 + 12.
18
Esto ayudo a descubrir una de las propiedades
clave del número áureo, pero fuera de eso, lo que
más le fascino a Kepler fue el hecho de haber
juntado dos conceptos tan importantes en las
matemáticas como son la sección áurea y el
teorema de Pitágoras, a los que consideraba “un
montón de oro” y “una piedra preciosa”17
respectivamente.
Desde la muerte de Kepler hasta nuestros días no han existido grandes descubrimientos
con respecto a la proporción áurea, aunque caben mencionar algunos nombres sin los
que su historia estaría incompleta. El primero Charles Bonnet (1720-1793), biólogo suizo
que observó la distribución de las hojas de las plantas y sacó la conclusión de que los
números de espirales en la filotaxis encajaban con los números consecutivos de la
sucesión de Fibonacci18. En los años 1830, un par de hermanos biólogos lo relacionaron
con cierto ángulo en el que cada hoja de la plata estaba dispuesta. Entre hojas
consecutivas midieron 137.5º, ángulo igual al que se halla uniendo los extremos
divididos en proporción áurea por los extremos y separando las dos partes (figura 9).
9. Siendo la longitud de la circunferencia igual a phi y los segmentos 1/phi y 1 de izquierda a derecha.
17 J. Kepler. 1596. Mysterium Cosmographicum. Tubinga. 18 King, S. Beck, F. and Luttge, U. 2004. On the mystery of the golden angle in phyllotaxis. Plant, Cell and Environment. Blackwell Publishing Ltd.
8. Triángulo de Kepler.
19
Posteriormente, Martin Ohm (1792-1872), el matemático hermano de Georg Ohm (quien
daría nombre a la unidad de resistencia eléctrica), que utilizó por primera vez en la
historia la denominación “sección áurea” formalmente en su libro Die reine Elementar-
Mathematik19. Y por último Roger Penrose (1931-), físico y matemático inglés famoso
por su descubrimiento de los “mosaicos de Penrose” (figura 10), que aplicaban un tipo
de simetría que se consideraba imposible hasta el momento. Gracias a ellos se pudieron
describir los cuasicristales, una forma estructural ordenada pero no periódica, lo que
supuso un avance considerable en la materia, pero además se observó que estos
cristales guardan una relación intrínseca con la sucesión de Fibonacci, llegando a
denominarse como “cristales de Fibonacci”
10. Ejemplo de mosaico de Penrose
Ya vista su historia, si podemos destacar un aspecto además de su cantidad de
nombres, es el número de disciplinas a las que se dedicaban cada uno de los personajes
mencionados. La lista cuenta desde matemáticos hasta filósofos, antes pasando por
biólogos, físicos y, como no, artistas. Con esto, se saca la conclusión de que la sucesión
áurea no es una anécdota matemática sin mayor importancia, sino que se presenta en
una gran cantidad de ámbitos científicos, que se relacionan entre sí. Por ejemplo, la
presencia de la secuencia de Fibonacci dentro de la estructura de las plantas está
vinculada con los cuasicristales, ya que se forman ese tipo de patrones dentro de
organismos vivos20, de hecho, llegan a ser comunes dentro de la biología habiendo sido
19 Dudley, U. 1999. Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. 20 Gardiner J. 2012. Insights into plant consciousness from neuroscience, physics and mathematics: A role for quasicrystals? Plant Signal Behav. doi: 10.4161/psb.21325.
20
demostrado el potencial que tienen las membranas biológicas de formarlos,
particularmente en balsas lipídicas21.
Sin duda quedan infinidad de temas por explorar, que acabaran interrelacionando la
información que tenemos hasta ahora, unida en algunos puntos, pero carente de una
correspondencia entre todos los ámbitos. Aunque ahora toca dejar su lado científico
para investigar una de sus aplicaciones más interesantes: el arte.
21 Feng Y, Rainteau D, Chachaty C, Yu Z-W, Wolf C, Quinn PJ. Characterization of a quasicrystalline phase in codispersions of phosphatidylethanolamine and glucocerebroside. Biophys J. doi: 10.1016/S0006-3495(04)74279-4
21
4. La edad de oro: el Renacimiento
Este es, sin duda, uno de los movimientos culturales más importantes de la cultura
occidental, ocurrido durante los siglos XV y XVI. El nombre del periodo significa volver
a nacer o revivir, lo que hace referencia a la recuperación de las formas clásicas, tanto
en arte como en pensamiento.
4.1. El renacimiento de Italia
Su foco surgió en Italia donde para alabar la obra de un artista se decía que llegaba a
la altura de los antiguos. Italia llegó a la conclusión que su momento de mayor esplendor,
antes de la invasión de tribus germánicas, fue precisamente con Roma como capital.
Llegaron a ser el centro del mayor imperio de la época, pero de ahí su poder se fue con
la llegada de los invasores. Con este “renacimiento” se hacía referencia a la
recuperación de la gloria de Roma.
Las ciencias tuvieron un papel fundamental para los italianos del siglo XIV y XV, ya que
conocían a todos los sabios de la antigüedad y consideraban a los vándalos y godos los
culpables de la destrucción de la cultura. Creían tener el deber de crear una nueva época
dorada para la ciencia. En ninguna ciudad llegó tanto el sentimiento de renovación como
en Florencia donde a principios del siglo XV un grupo de jóvenes artistas llegó dispuesto
a romper todos los esquemas anteriores.
Estos artistas tenían una concepción realista en sus cuadros, no pretendían la
exageración o modificación de lo que observaban, por lo que en sus cuadros
predominan estructuras que ya han visto previamente y han simulado con un propósito.
No es sorpresa que sea en este período donde más se vincularon las matemáticas con
el arte, ya que, al fijarse en la naturaleza, los cuadros representan cualidades en las que
la biología se ha servido de las matemáticas para optimizarse. Como ejemplo de ello,
uno de los elementos más conocidos de la pintura renacentista es sin duda la simetría,
el cuerpo dividido está en dos partes iguales por un eje vertical ya que así únicamente
se necesita la mitad de información genética para formarlo.
Eran naturalistas, como ya se ha dicho, y uno de sus modelos fundamentales fue el ser
humano. En su marcado antropocentrismo el hombre era la medida de todas las cosas,
dicho de otra manera, utilizaron un elemento natural como relación para todos los
22
elementos. Lo que, volviendo a las pirámides egipcias, aporta indirectamente la sección
áurea a las medidas.
4.2. Phi en el arte
Además de basarse en griegos y romanos, su meta era el equilibrio y la armonía en la
composición, así que fue cuestión de algunos años que volviera a la razón áurea como
elemento indispensable. Y sin duda un elemento que apoyó este resurgimiento es la
educación. La idea del ser humano en esta época es que tenía que ser universal, tener
conocimientos de varias disciplinas, esto hace que los pintores sepan además de
matemáticas, física y otras materias, que, como hemos visto antes se consiguen enlazar
por la proporción áurea.
Por esto, el número áureo fue un recurso muy utilizado por numerosos artistas del
renacimiento, ya que es una manera muy efectiva de aportar equilibrio a la composición.
Por ejemplo, cuadros de Sandro Botticelli, uno de los pintores renacentistas con más
relevancia, se pueden encajar dentro de la proporción áurea de manera sencilla (figura
11).
11. El nacimiento de Venus, Sandro Botticelli
Como se puede observar, la figura central queda delimitada por estas medidas, y no
únicamente eso, sino que además los dos personajes que quedan a la izquierda del
lienzo también tienen su torso y cabeza inscritos entre las mismas líneas.
Y, al igual que Botticelli, se encuentran muchos otros pintores que emplearon este
recurso como Leonardo da Vinci o Durero. Aunque no tan conocido como los
anteriormente mencionados, fue un fraile franciscano matemático y economista el que
23
redescubriría la proporción áurea. Nacido en 1447, Luca Pacioli es el precursor del
cálculo de probabilidades y consiguió sentar las bases de la economía moderna. Pero
si se deja a un lado su importancia en el mundo de la economía, su trabajo más relevante
es un libro llamado Divina proportione. Repartido en tres manuscritos, trata como tema
principal las proporciones y es aquí donde propone el nombre de divina proporción,
justificando que al igual que “Dios no se puede propiamente definir ni puede darse a
entender a otros mediante palabras”, la proporción “no puede nunca determinarse con
un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna, sino que es
oculta y secreta y es llamada irracional por los matemáticos”22.
En la primera parte, Pacioli analizaba la proporción áurea y los poliedros regulares,
partiendo de los principios formulados por Euclides, extrapolando todos estos
conocimientos al arte para después hablar de la perspectiva geométrica utilizada por
varios autores. La segunda parte se centra en las proporciones del cuerpo humano
concretadas por Vitruvio23, que relaciona con la arquitectura al igual que antes habían
hecho los griegos en edificios como el Partenón. En la tercera y última sección escribe
una traducción al italiano de quinque corporibus regularibus, obra del autor latino Piero
della Francesca en la que se habla de poliedros semirregulares y los poliedros ya
descritos por Euclides.
Además de lo escrito por Pacioli, el libro cuenta con ilustraciones de Leonardo da Vinci,
uno de los genios más famosos de la historia. Al estar muy interesado en las
matemáticas en la composición y la naturaleza, esta sería una de sus herramientas
fundamentales, incluyéndolo en la mayor parte de sus obras, como La última cena o La
Gioconda. Da Vinci vivió durante los siglos XV y XVI y ha dejado estudios de gran
relevancia en numerosos campos como la anatomía y la ingeniería, lo que le permitía
utilizar conocimientos de varios ámbitos en un mismo trabajo y le acercaría al número
áureo. No su obra más conocida, pero con una evidente muestra de ello es Salvator
Mundi, datada en torno al año 1500 y pintada al óleo.
Sorprendentemente ha sido recientemente “redescubierta”, pero ya se ha convertido en
la obra de arte más cara de la historia24. Después de 6 años de restauración, en 2011,
se concluyó que se trataba de una obra de Leonardo da Vinci tras numerosas evidencias
como marcas personales del autor y su parecido con La Gioconda.
22 Pacioli, L. La Divina Proporción. Akal. Madrid, 1991. Cap. V 23 Vitruvio Polión, M.L. Arquitectura, libro III 24 'Leonardo da Vinci artwork' sells for record $450m. (16 de noviembre de 2017). BBC News. Recuperado de https://www.bbc.com/news/entertainment-arts-42000696.
24
A simple vista es fácilmente deducible que cuenta con las características renacentistas
antes mencionadas: la simetría y el equilibrio conforman un eje fundamental en la
composición. Con detalles a escala minúscula, consigue la sensación de realismo que
se acentúa con el uso de la perspectiva y el “sfumato”, técnica usual en cuadros de da
Vinci con la que aportaba profundidad a los elementos. Esto lo conseguía dejando los
contornos imprecisos, él la definía como: "sin líneas o bordes, en forma de humo o más
allá del plano de enfoque"25. Aunque en este caso, su propiedad más relevante es el
uso de la proporción en los elementos. Por ejemplo, comparando la medida del alto de
la cabeza con el cuello hasta la línea que comienza la ropa, se encuentran dos
segmentos en proporción áurea. Dividiendo una vez más esta última medida, corta
exactamente con el final de una falange del dedo, delimitando la medida de los
elementos dentro de la mano.
25 Earls, I. 1987. Renaissance Art: A Topical Dictionary. Greenwood Press.
12. Salvator Mundi, Leonardo da Vinci
25
La cara mantiene entre su ancho y su largo un rectángulo áureo dividiéndola
exactamente al final de la frente. Con ese mismo cuadrado que se forma, se encuentran
más correspondencias con otros componentes.
Ahora teniendo el lado menor del rectángulo de la cara dividido también según phi, se
halla el rectángulo donde se inscribe la mano derecha.
Si se analiza la mano, se observa que la posición de los dedos está también determinada
por relaciones con phi.
26
Y al igual que estos elementos, muchos otros como la disposición de la cara o los
adornos del traje está, determinados por relaciones con los anteriores. Después de
encontrar tantas relaciones, llamarlo casualidad no sería muy acertado, aunque a lo
largo de la historia ha habido mucha diferencia de opiniones al no estar presente el
número áureo en todas sus obras. En este caso sí que parece intencional por parte de
Leonardo, siendo algunas relaciones son más claras que otras. Lo que se puede
asegurar es que no pintó el cuadro como un simple hombre en una túnica, sino que dio
tiempo al análisis y a la precisión en la composición y al hacerlo se puede suponer que
utilizó sus conocimientos aprendidos junto con Luca Pacioli.
27
5. Fractales, el arte de la naturaleza
Llegados a este punto, encontramos quizá una de las estructuras más interesantes que
podemos formar con las iteraciones. Muy distintas de los cuadros del Renacimiento,
pero que pueden dar algo de luz a la presencia del número áureo en ciertas situaciones.
5.1. Definición y propiedades de los fractales
Un fractal es un objeto geométrico formado por componentes infinitos, y esta propiedad
se enlaza con la autosimilitud que presentan, es decir, su estructura se repite a distintas
escalas, lo que hace que, aunque nos acerquemos o alejemos, siempre podremos
apreciar la misma disposición de elementos.
28
El término fue acuñado en 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático polaco que también
da nombre a una familia de fractales llamada el conjunto de Mandelbrot. La palabra
viene del latín, fractus, que quiere decir fracturado o quebrado, debido a su apariencia
irregular. Y aunque su nombre oficial es de 1975, estos objetos ya eran conocidos desde
principios del siglo XX, cuando se empezó a establecer la dimensión en la que se
desarrollan los fractales, que no admiten un espacio tangente.
Su forma se basa, como se ha dicho, en las iteraciones, es decir, se aplica una función
repetidamente, siendo el resultado de una iteración, el comienzo de la siguiente. Y este
carácter iterativo hace que esté estrechamente relacionado con la sucesión de
Fibonacci, que, analizando, también podemos ver la iteración, ya que el resultado de la
suma anterior se usa como término de la siguiente. Por esa razón, al mirar a la
naturaleza encontramos innumerables ejemplos de fractales, como pueden ser las
caracolas o los copos de nieve. Aquí cabe mencionar la estructura conocida como el
“copo de Koch”, que, como su nombre indica, imita la forma de los copos de nieve y se
forma partiendo de un segmento, que se parte en tres y en el centro se crea un triángulo
equilátero sin su base. Repitiendo una y otra vez el proceso, el resultado se parece cada
vez más a la imagen típica de un copo de nieve real, estando los elementos en
progresión geométrica y cumpliendo con las características fractales antes explicadas.
13. Copo de nieve de Koch
Ya se han mencionado algunas propiedades, pero la más interesante en este contexto
es que en un fractal las iteraciones son similares al todo, solo que a distinta escala. Esto
ocurre igual en un segmento dividido por la proporción áurea, ya que todo va a guardar
relación.
29
5.2. Construcción de un fractal
Para entender las matemáticas dentro de los fractales, el mejor método no es otro que
construir uno. Por ello, este será el experimento práctico para comprobar la relación
entre phi y estas formas geométricas. De entre los distintos grupos que existen, los
fractales de Newton son figuras formadas a partir de la aplicación del método de Newton
para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que sirve para encontrar las
raíces (o ceros) de una función real. Para ello, parte de un valor cercano al cero y se
reemplaza la función en la que estamos trabajando por su recta tangente en ese punto,
se iguala a cero y se despeja la ecuación lineal (figura 14). Este valor será una
aproximación a la raíz de la función inicial y se harán iteraciones para determinar con
más exactitud su valor real. De esta manera, es posible sacar tanto soluciones reales
como complejas, es decir, que fijando parámetros para que se coloreen de una manera
u otra las soluciones a las que va convergiendo una función se crea un fractal de Newton
determinado por el polinomio inicial.
14. Método de Newton. En esta expresión, p es una función polinómica compleja y los puntos en los que
converge la función son las raíces de p, llamados los puntos atractores.
Teniendo en cuenta que únicamente se necesita un plano y una hoja de cálculo para
hacer iteraciones, ese será el fractal elegido, y se llevará a cabo usando el programa
GeoGebra, un software matemático libre. Lo primero es elegir una región del plano
complejo y un polinomio para aplicar el método de Newton en un punto, dependiendo a
qué raíz del polinomio converja, a los que llamaremos puntos atractores, se pintarán de
un color u otro. Para que tenga varios puntos de convergencia, el polinomio será: 𝑝(𝑧) =
𝑧3 − 8, con sus tres raíces: (2,0), (2, 2π/3) y (2, 4π/3). Así que los primeros elementos
en añadir serán estos tres puntos como como notación polar con los nombres “P”, “Q” y
“R”, respectivamente. Para poder calcular los puntos que conformarán el dibujo, la
herramienta indispensable es una hoja de cálculo. En GeoGebra, como en los
programas habituales de hoja de cálculo, cada casilla está identificada por un número y
una letra representando las filas y columnas, por ejemplo, la primera que encontraremos
será la casilla A1, primera fila, primera columna. Dentro de las casillas se pueden definir
tanto puntos, como funciones e incluso comandos y objetos geométricos. Además,
30
usando esta función para escribir puntos se pueden definir como puntos en el plano
complejo.
Para crear el fractal, como se ha dicho previamente, se deberá iterar sobre un punto la
función, por lo que para empezar habrá que crear ese punto. Se podría empezar sobre
un punto aleatorio (ya que se extienden infinitamente), pero hay que tener en cuenta
que posteriormente habrá que colorear. Para dejar colores en el plano, la función más
útil es el rastro, que deja una marca donde el punto ha pasado, pero teniendo un punto
fijo, nada se coloreará. Por lo que se necesita que la posición del punto sobre el que se
iterará varíe y esto se consigue mediante un deslizador, en este caso, denominado “a”,
de intervalo [-2,2] e incremento 0.01. Lo siguiente será definir el primer punto en A1
como (a, n), siendo “a” el deslizador y “n” un número, en este caso el 1.5.
15. P, Q, R y A1 ya creados, el deslizador fijado a valor 1.
Ahora los valores del eje de abscisas dependen del deslizador que variará al activar la
animación. Teniendo un punto que pintará, quedará un fractal de una sola línea de
puntos (al avanzar hacia la derecha o la izquierda dejará el rastro), para aumentar el
área coloreada se necesitará crear una hilera de puntos hacia abajo que acaben
“pintando” toda la superficie. Esto se conseguirá variando el valor de la y en una serie
de puntos que compartirán la “a” como coordenada x, así que con restar un número n
al componente la expresión de los puntos quedará como A1+(0,-n). El resultado final
deberá tener una resolución aceptable, por lo que n no debe ser excesivamente grande,
además de que los puntos tendrán el menor tamaño posible para maximizar la
resolución. Consideraremos 0.02 como nuestra n, siendo la fórmula en A2: A1+(0,-0.02),
31
que habrá que llevar hasta A150. Esta columna tendrá activado el rastro y además
cambiará de color según los parámetros que más tarde se fijarán.
Llega el momento de introducir la función para empezar a iterar sobre el punto A2
usando la expresión de Newton, por lo que habrá que calcular la derivada del polinomio
que funcionará como denominador: 𝑝(𝑧) = 𝑧3 − 8 ; 𝑝′(𝑧) = 3𝑧2.
La expresión final, usando el punto, quedaría: 𝐴2 = 𝐴2 − (𝐴23 − 8) (3𝐴22)⁄ , aunque
para variar el polinomio y conseguir un efecto distinto, meteremos una modificación,
multiplicando el cociente por 𝑓(𝑥) = (í + 1), por lo que la función final sería: 𝐴2 = 𝐴2 −
(í + 1) ∗ (𝐴23 − 8) (3𝐴22)⁄ , que será la introducida en B2 y arrastrada hasta la columna
K para iterar el punto. En este momento, podemos observar que según movamos el
deslizador, los puntos van cambiando de posición acercándose a un atractor u otro. Para
la imagen final, tener tal cantidad de puntos en pantalla será molesto e innecesario, por
lo que lo mejor será ocultar todos los puntos.
A la hora de colorear habrá que tener en cuenta la cercanía a cada punto atractor (P, Q
y R), tras las iteraciones. Una de las razones para la elección del polinomio p(z)=z3-8
son sus tres raíces, ya que el programa permite incluir los parámetros de tres colores:
rojo, verde y azul; así que se podrá asignar cada punto atractor a un color distinto. Para
que se vea en qué región está la hilera de puntos de la columna A, se determina el color
atendiendo a la cercanía de la última columna (con el punto iterado al máximo), a un
atractor. Si está cerca, la intensidad de ese color aumentará; si, en cambio, está lejos
se irá anulando hasta que no quede ese color. Al punto P se le asignará el color rojo,
por lo que en el componente rojo irá una función que varíe en función de la distancia
entre “P” y “K”. Cuanto más cerca esté de P, el valor debe ir aproximándose a 1; mientras
que cuando se vaya alejando, debe llegar a 0, por lo que la fórmula será: 𝑅𝑜𝑗𝑜(𝐴𝑛) =
𝑒−𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝐾𝑛), siendo n el número de fila en el que se introduzca. Esa misma expresión se
puede utilizar en los colores verde y azul variando el punto atractor. (figura 16)
16. Aplicando esta expresión a todos los puntos creados se fijan los parámetros para los colores.
32
Finalmente, al activar la animación automática del deslizador, se va revelando el
fractal tras la hilera de puntos (figura 17).
17. Fractal siguiendo la expresión de Newton con un polinomio de 3 raíces.
Y aquí vuelve la parte esencial de este apartado, ya que, superponiendo imágenes, se
puede observar que las espirales formadas siguen la espiral de Durero (figura 18), por
lo que desde luego se intuye una relación entre los fractales y phi.
18. Espiral a partir del rectángulo áureo superpuesta al fractal creado.
33
Con un solo fractal no se puede probar esta relación, pero, de hecho, se puede encontrar
esta relación a simple vista de muchas maneras si comparamos los fractales con figuras
naturales que también siguen una proporción áurea, aunque no sea la espiral como en
este caso.
19. En la flor del girasol, los flósculos están distribuidos siguiendo el ángulo que forma un segmento
dividido con la proporción áurea si unimos sus extremos en una circunferencia. Se aprecia una formación
similar en el fractal presentado en la parte izquierda.
Y son, finalmente, los fractales los que relacionan los tres grandes temas tratados hasta
ahora, siendo éstos la naturaleza, el arte y las matemáticas. Figuras geométricas,
puramente teóricas (al nosotros no poder recrear elementos infinitos), que comparten
características con la proporción áurea y además son composiciones artísticas que se
encuentran en cuerpos naturales. Phi acaba siendo no solo una relación entre dos
magnitudes, sino entre grandes ámbitos científicos.
34
6. Conclusión
Con toda la información sobre la mesa, es clara la división en dos partes de este
proyecto: la historia de la proporción áurea y las propiedades del número áureo. Las dos
tienen una relación necesaria, además de basarse en lo mismo, se apoyan entre ellas.
Sin sus aplicaciones en la pintura o la arquitectura muchas investigaciones científicas
no hubieran existido, y a la vez sin esas propiedades matemáticas y lo que suponen en
el mundo natural, los artistas no hubieran puesto atención y experimentado con el
número áureo. Y esto se ve claramente repasando sus personajes históricos relevantes,
destacando en la relación de los dos personajes centrales Leonardo da Vinci y Luca
Pacioli.
En sus deducciones matemáticas se puede ver su presencia en cuerpos geométricos
regulares, lo que puede explicar que en los comienzos del arte también sea un motivo
recurrente. Aunque lo que más impacta en el arte para que se use la proporción áurea
es, como se ha ido viendo en varias partes, su aparición en elementos naturales ya sea
como disposición o forma. Y esa es quizás la mejor explicación al vínculo entre sus
propiedades y su uso recurrente en las distintas épocas.
También así se han podido explicar las propiedades principales de phi, teniendo
cualidades únicas entre los números como sus potencias a partir del propio número y la
unidad o su reticencia a ser aproximado mediante racionales. Además, al dividir un
segmento siguiendo la proporción, se puede repetir el proceso indefinidamente dando
lugar a la autosimilitud, algo clave en muchos aspectos.
Lo más interesante ha llegado con la creación del fractal. Existen programas
especializados en ello, pero al utilizar un software más general obliga a partir los
fundamentos matemáticos a sus bases y de ahí intentar conseguir un resultado. Por
ejemplo, uno de los puntos más importantes son las iteraciones: otros programas te
permiten hacerlas simplemente metiendo el número, pero en este caso, con las
operaciones que te permite una hoja de cálculo, ha sido necesario repasar el concepto
de iteración y así repetir una y otra vez la función sobre los resultados de la anterior. Lo
que ha hecho que lleve más tiempo y errores, ya que no todo fue perfecto al primer
intento, como este fractal fallido:
35
Desde luego ha sido una investigación que merece la pena ya que, como se decía en
la historia que unía diferentes disciplinas, ayuda a ver nexos entre varios aspectos de la
realidad. Ahora los girasoles y los pentágonos regulares no parecen tan distantes, y esto
a traducido a términos más generales quiere decir que al estudiar un concepto u objeto,
se puede aprender también de su relación con otros. Una obra de Leonardo da Vinci
con sus elementos por separado puede ser igual que cualquier otra, es con sus
relaciones entre ellos como se consigue su importancia en el mundo del arte. Y no solo
eso: únicamente fijando la atención en su pintura, tampoco encontramos una figura tan
significativa, pero al estudiar todos sus trabajos en distintos campos y cómo se apoyó
en unos y otros, llega a ser un genio.
36
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