IV ANÁLISIS DE FUNCIONES. IV.1. LA DERIVADA EN LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES (1) Función creciente .- Una función es creciente si “y” [ f(x) ] aumenta cuando “x” aumenta. Su derivada es positiva. (2) Función decreciente .- Una función es decreciente si “y” disminuye cuando “x” aumente. Su derivada es negativa. Gráficamente: Al variar un punto a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva “ sube “; es decir, a medida que “ x “ aumenta, la función ( y ) aumenta. Los incrementos y y x son del mismo signo. Al moverse el punto de izquierda a derecha sobre la curva, esta “ baja “; a medida que “ x “ aumenta, y ( la función ) disminuye. En este caso los incrementos y y x son de signos opuestos. Una función puede ser unas veces creciente y otras decreciente. Con la función:
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IV ANÁLISIS DE FUNCIONES.
IV.1. LA DERIVADA EN LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
(1) Función creciente.- Una función es creciente si “y” [ f(x) ] aumenta cuando “x” aumenta. Su derivada es positiva.
(2) Función decreciente.- Una función es decreciente si “y” disminuye cuando “x” aumente. Su derivada es negativa.
Gráficamente:
Al variar un punto a lo largo de la curva de izquierda a
derecha, la curva “ sube “; es decir, a medida que “ x “
aumenta, la función ( y ) aumenta. Los incrementos y y
x son del mismo signo.
Al moverse el punto de izquierda a derecha sobre la
curva, esta “ baja “; a medida que “ x “ aumenta, y ( la
función ) disminuye. En este caso los incrementos y y
x son de signos opuestos.
Una función puede ser unas veces creciente y otras decreciente. Con la función:
y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3; cuya gráfica es: asumiendo que un punto se mueve de izquierda a derecha
a lo largo de la curva se pueden hacer las siguientes
consideraciones: hasta llegar a A la curva sube, desde A
hasta B la curva baja, y de B en delante, continua
subiendo. Es decir:
a) Desde x = - hasta x = 1 la función es crecienteb) Desde x = 1 hasta x = 2 la función es decrecientec) Desde x = 2 hasta x = + la función es creciente
Generalizando lo anterior:Una función es creciente cuando su derivada es positiva ( pendiente positiva, ángulo agudo ) y
decreciente cuando su derivada es negativa ( pendiente negativa, ángulo obtuso ).Para la función del caso:
y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 = 6 ( x – 1 ) ( x – 2 )y ´ = 6 x2 – 18 x + 12 = 6 ( x2 – 3 x + 2 ) = 6 ( x – 1 ) ( x – 2 )
Cuando x 1; f (x) es positiva; f(x) es crecienteCuando 1 x 2; f (x) es negativa; f(x) es decrecienteCuando x 2; f (x) es positiva; f(x) es creciente
Resultados congruentes con la representación gráfica.
Ejemplo 23: Para f(x) = 6 – x2 , investigar el intervalo donde la función es creciente y donde es decreciente.
f (x) = - 2x
Para valores negativos de x ( x 0 ), f(x) será positiva ( es decir, creciente ); cuando a x se le asignen valores positivos ( x 0 ), f(x) será negativa ( es decir, decreciente ). Resumiendo:
Cuando x 0; f(x) es positiva; f(x) es crecienteCuando x 0; f(x) es negativa; f(x) es decreciente
La gráfica correspondiente es:
EJERCICIOS XIV
Encuentra los intervalos donde cada función proporcionada sea creciente o decreciente:
a) y = x2 - 9
b) y = x2
c) y = 2x - x2
d) y = 2x2 - x4
e) y = x3 – 6x2 + 9x
f) y = 5x
g) y = ( x – 3 )3
h) y = 3x2 – x3
IV.2. MÁXIMOS Y MINIMOS.
(1) Definición .- El valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una función es un mínimo si es menor que cualquiera de los valores inmediatamente anteriores y posteriores al considerado.
En la gráfica siguiente y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 la función tiene un valor máximo MA ( y = 2 ) en x = 1 y un valor mínimo NB ( y = 1 ) en x = 2.
A los anteriores conceptos se les llama mínimos y máximos locales, ya que en la gráfica se observa que a la derecha de B hay valores de “y” mayores que MA y a la izquierda de A también la función tiene valores menores que el mínimo NB.
En el punto A de la gráfica, y = 0 ( m = 0, tangente del ángulo de cero grados es cero ); en el punto C a la izquierda de A, el ángulo de la tangente es agudo ( pendiente positiva ) y en el punto D a la derecha de A el ángulo de la tangente es obtuso ( pendiente negativa ). En el punto A ( máximo ), la función cambia de creciente a decreciente; la derivada de la función cambia de positiva ( + ) a negativa ( -).
En el punto B, y = 0; en punto D la función es decreciente y en E es creciente. En B ( mínimo ), la derivada de la función cambia de negativa ( - ) a positiva ( + ). Lo anterior se puede resumir de la siguiente forma:
f(x) es un máximo si f (x) = 0 y f (x) cambia de + a –f(x) es un mínimo si f (x) = 0 y f (x) cambia de – a +
Los valores que satisfacen la ecuación f(x) = 0 se llaman valores críticos y determinan puntos de cambio donde la tangente es paralela al eje “x”. En la función del caso, los valores críticos son x = 1 y x = 2. Para determinar el cambio de signo en la derivada, se evalúa la función para valores un poco menores y un poco mayores.
Si y = 6x2 – 18x + 12:
Para x = 1; valor poco menor = 0.5 valor poco mayor = 1.5
el cambio de signo de la derivada es de + a –; por lo que se concluye que hay un máximo.
Máx. = f (1) = (1)³ - 6 (1)² + 9(1) = 1-6+9 = 4
Para el valor crítico x = 3Valor poco menor = 2; Valor poco mayor = 4
f (2) = –f (4) = 3(4)²-12(4)+9=9 +
el cambio de signo de la derivada es de – a + ; por lo que se concluye que hay un mínimo.
Mín. = f (3) =(3)³-6(3)²+9(3) = 54 - 54=0
Resumiendo:
Para x = 1; Máx. = 4
Para x = 3; Mín. = 0
La gráfica correspondiente es:
Máximos o mínimos para f (x) continua y f ’(x) se vuelve infinita.- En la gráfica siguiente:
En los puntos B y G (máximos) y en E (mínimo), f(x) es continua pero f ’(x) se vuelve infinita, ya que la tangente en dichos puntos es paralela al eje y. Por lo anterior se deben de incluir como valores críticos los valores de x para los que f ’(x) se vuelve infinita; matemáticamente, los valores de x que satisfacen la ecuación
Obsérvese en la figura que también en el punto A, f(x) se vuelve infinita, pero en la función no hay máximo ni mínimo.
EJERCICIOS XV
Calcula los máximos y mínimos en la función que se proporciona en cada inciso:
a) f(x) = 10 + 12x – 3x2 - 2x3
b) y = 2x3- 9x2 + 12x – 3c) f (x) = x3 + 2x2 - 15x –20d) y = 2x3 + 3x2 + 12x – 4
e) f (x) =
f) y = x4+ 2x3 - 3x2 - 4x + 4
g) f(x) = (x-1)2 (x+1)3
h) y = x2 + 2x – 3i) f ( x ) = 2x3 + 3x2
- 12xj) f ( x ) = 3x4 - 4x3 - 12x2
k) y = ( 2 + x )2 ( 1 – x )2
l) f (x) = x3 +
(3) Concavidad de una curva.- Si el punto P (x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P varia. Cuando la tangente a P queda debajo de la curva (fig. a), el arco es cóncavo hacia arriba, si la tangente queda arriba de la curva (fig. b), el arco es cóncavo hacia abajo.
El criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto es:
La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva; es cóncava hacia abajo (convexo) si esta derivada es negativa.
(4) Segundo método para determinar máximos y mínimos.- Las condiciones para máximos y mínimos de f(x) correspondientes a valores críticos de la variable son:
f(x) es un máx. si f (x) = 0 y f (x) es negativa.f(x) es un mín. si f (x) = 0 y f (x) es positiva.
Y se recomiendan los pasos siguientes en el cálculo de máximos y mínimos con este método:
I. Calcular la primera derivada de la función.
II. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores
críticos de la variable.
III. Determinar la segunda derivada.
IV. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos
obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico
considerado; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.
Si f (x) = 0; se aplica el primer método, puesto que puede existir un máximo o mínimo para el valor crítico respectivo.
Ejemplo 25: Con el segundo método, determinar máximos y mínimos dey = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4
EJERCICIOS XVICalcula los máximos y mínimos de las funciones de cada inciso:
m) y = 3 + 2x - x2
n) f (x) = x3 - 6x2 + 9x –8
o) f(x) = (x2 - 4)2
p) y = x4 - 4x2 + 4
q) y = 3x5 - 20x3
IV.3. PUNTOS DE INFLEXIÓN
(1) Definición.- Un punto de inflexión en una curva es el punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa o viceversa. Es el punto que separa arcos que tienen sentido de concavidad opuestos. En la figura, B es un punto de inflexión.
Las condiciones para que exista un punto de inflexión son:
f (x) = 0 o no este definida
f (x) cambie de signo
(2) Determinación de puntos de inflexión.-Para encontrar las coordenadas de los puntos de inflexión de una curva, se recomienda aplicar los siguientes pasos:
I. Encontrar f (x) (segunda derivada)
II. Igualar a cero f (x), resolver la ecuación resultante para considerar las raíces reales
encontradas.
III. Se evalúa f (x), primero para valores de x un poco menores y después un poco
mayores que cada una de las raíces obtenidas en el segundo paso. Si f (x) cambia de
signo, entonces se tiene un punto de inflexión.
IV. Se evalúa la función original para determinar la ordenada del punto de inflexión en el
valor de x considerado.
Hay que recordar que:Si f (x) es positiva, la curva es cóncava hacia arriba.Si f (x) es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.
Ejemplo 26: Determinar intervalos de concavidad y P.I. de la función:
f(x) = x 3 - 6x2 +9x – 8
I) f (x) = 3x2 - 12x +9; f (x) =6x – 12
II) 6x – 12= 06x = 12; x = 2
III) valor poco menor = 1; valor poco mayor = 3
f (1) = 6(1) – 12 = -6f (3)= 6(3) – 12 = 6Por haber cambiado de signo hay P.I.
IV) f(2) = (2)3-6(2)2+9(2) –8 =8 –24+18 – 8 = -6
La gráfica correspondiente es:
P.I. (2,-6)
Para x < 2; cóncavo hacia abajo
Para x > 2; cóncavo hacia arriba
EJERCICIO XVII
Encuentra los puntos de inflexión y la dirección de la concavidad en las funciones de cada caso:
a) f(x) = x2 + 2x – 3
b) f(x) = 3 + 2x – x2
c) y = x3 + 2x2 – 4x - 8
d) f(x) = x3 + 2x2 – 15x - 20
e) y = ( 2 – x )3
f) y = x3 - 3x2 + 3
g) f(x)=(x2–4)2
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IV.4. APLICACION DE MÁXIMOS Y MINIMOS
(1) Introducción .- En los temas anteriores, se estudió como conocer la forma aproximada de la gráfica de una función mediante la derivada. Estos métodos se usan para resolver cierto tipo de problemas de geometría, física, ingeniería, biología, etc. donde es necesario minimizar o maximizar alguna cantidad.En todos estos problemas, la dificultad estriba en que hay que representar el problema real mediante un modelo matemático estableciendo una relación funcional y = f(x). Una característica de estos problemas es que se refieren a procesos de variación: kilómetros por hora ( Km/hr ), precio por tonelada ( p/ton. ), kilómetros por litro ( Km/l ), etc. Todas son razones o cocientes que expresan la variación de una cantidad con respecto a otra; se le llama razón de cambio.
La aplicación de que hablamos, se detalla mediante los siguientes ejemplos:
a) De un cartón rectangular de 4 dm. por 5 dm. se desea construir una caja abierta cuyas dimensiones le den su máxima capacidad, calcular esas dimensiones.
Con el auxilio de las siguientes figuras
El volumen de la caja es:
( l ) ( a ) ( h );
l = 5 – 2x; a = 4 – 2x; h
= x
el volumen depende de la
longitud “ x “ ( relación
funcional )
V (x ) = ( 5 – 2x ) ( 4 – 2x ) ( x ) dm3 ; V (x ) = 4x3 – 18x2 + 20x
Restricciones: Por ser longitud, x será siempre positivax no debe ser mayor de dos ( la menor dimensión del cartón es cuatro ); 0 < x < 2
La relación funcional establece que el volumen de la caja depende del valor de x. Algunos pares de valores son:
X: 0 1 1 1 1 2
V (x): 0 3 6 6 6 4 3 1 0
La gráfica de esta función es:
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Observando la gráfica, el problema se resuelve encontrando las coordenadas del punto mas alto de la
gráfica. En este punto, la tangente a la curva es horizontal ( pendiente cero ). La derivada de V(x) igualada a
cero y resolviendo la ecuación resultante para x nos da la abscisa. Es un problema de máximos y mínimos.
V (x ) = 12x2 - 36x + 20; 12x2 - 36x + 20 = 0;
aplicando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:
x1 = 0.736; x2 = 2.263
x2 2; no cumple con una restricción, x1 es la solución y debe ser un máximo.
V(x) = 24x - 36
Para x = 0.736 V(0.736) = 24 ( 0.736 ) - 36 – Por ser V( x ) negativa, hay un Máx. = 6.5672
A (x ) = 500 – 2x ; 500 – 2x = 0; x = 250 ( debe ser un máximo )
A ( 240 ) = 500 – 2 ( 240 ) +
A ( 260 ) = 500 – 2 ( 260 ) –
Con el primer método, pasa de + a – ; hay un Máx. = 62 500 m2
Las dimensiones del rectángulo serán:l = 500 – x = 500 – 250 = 250 m.a = x = 250 m.
c) Se desea proyectar una lata para aceite de forma cilíndrica que deba contener un litro ( 1 000 cm3 ) de aceite. Determinar las dimensiones de la lata de manera que la cantidad de metal que se gaste en su fabricación sea mínima.
De las figuras siguientes:
Se tiene que volumen del cilindro = Area de la base
por la altura = Ab h
Ab = r2 ; V = r2 h
como V = 1 000; entonces r2 h = 1 000;
de donde h =
El menor gasto de material resultará de las menores áreas: lateral, inferior y superior que se utilice en la fabricación:
área del círculo = r2; 2 r2 = áreas superior e inferior
el área lateral es de forma rectangular con l = 2 r, a = h;
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Atotal = 2 r2 + 2 r h = 2 r2 + 2 r [ ] ; A( r ) = 2 r2 + [ ]
será la relación funcional donde el área depende del radio de la lata cilíndrica.
Por ser + ; hay un Mín. = 2 ( 5.4192 )2 + [ ] Mín. = 553.57 cm2
Las dimensiones deseadas serán: h = = 10.838 cm.; r = 5.4192 cm.
d) Dentro de un terreno sin barda, una persona construirá un corral rectangular. Si cuenta con 38 metros lineales de material para cercar y si aprovechará una barda del vecino como se muestra en la
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figura, determina la dimensión “h” del lado del corral que quedará en la barda del vecino y la longitud “b” que proporcionarán la mayor área posible.
longitud a cercar = 2b + h
2b + h = 38; b = m
área del rectángulo es: ( b )( h )
el área depende de “h “:
( relación funcional )
A (h ) = m2 ; A ( h ) = 19 h - h2 ; Restricciones: 0 < h < 19
Algunos valores de h y del área se dan en la tabla siguiente:
La gráfica de esta función es:Nuevamente se aprecia que se trata de un
problema de máximos y mínimos ( maximizar )
por lo que se calculan estos:
A (h ) = 19 – h ; 19 – h = 0; h = 19
( debe ser un máximo )
A ( 18 ) = 19 – ( 18 ) +
A ( 20 ) = 19 – ( 20 ) –
Con el primer método, pasa de + a – ; hay un Máx. = 180.50 m2 Las dimensiones del rectángulo serán:
h = 19 m; b = = = 9.5 m
EJERCICIO XVIII
Resuelve, aplicando máximos y mínimos, los problemas que en cada inciso se plantean.
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a) Se desea conocer las dimensiones del rectángulo inscrito en un círculo de cinco centímetros de radio y que sea de mayor área.
b) Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener ciento veinticinco metros cúbicos de capacidad, si el costo de las caras laterales es de dos mil pesos por metro cuadrado y el fondo es de cuatro mil pesos por metro cuadrado. Determinar las dimensiones del depósito que den el menor costo de fabricación.
c) Hallar dos números cuya suma sea ciento veinte y de forma que el producto “p” de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.
d) Se desea construir una caja rectangular de base cuadrada abierta por arriba. Calcular las dimensiones que debe tener si se quiere que su volumen sea máximo y se construye con mil doscientos centímetros cuadrados de material
e) Se quiere construir un recipiente cilíndrico y de sesenta y cuatro centímetros cúbicos de volumen. Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material usado en su construcción sea mínima.
f) Un mayorista vende zapatos para correr a veinte pesos el par si le piden menos de cincuenta pares. Si le piden mas de cincuenta ( hasta seiscientos ), el precio por par se reduce en .02 pesos multiplicado por el volumen del pedido. ¿Cuál es el pedido que produce el mayor ingreso para el mayorista?
g) Un arquitecto desea diseñar cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un triángulo equilátero ( ver figura ). Si cada ventana tiene un área de tres metros cuadrados, ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que el perímetro sea el menor posible?
h) Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de prisma de base cuadrada cuyo volumen es de ciento ocho centímetros cúbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel de la envoltura ( las dimensiones con que se gastaría menos papel ).
i) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su longitud con el perímetro de su base no exceda de ciento ocho pulgadas. Encuentre las dimensiones de la caja con la base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.
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