Date post: | 05-Dec-2014 |
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Escuela de Ingeniera Mecánica
Informe
Propiedades Elásticas De Materiales
1
Tabla de Contenidos
Portada…………………………………………………………………………………….1
Índice……………………………………………………………………………………...2
Objetivos..............................................................................................................................3
Marco Teórico.....................................................................................................................4
Materiales............................................................................................................................8
Procedimiento......................................................................................................................9
Datos y Resultados............................................................................................................12
Análisis de resultados........................................................................................................16
Conclusiones......................................................................................................................17
Recomendaciones..............................................................................................................18
Bibliografía........................................................................................................................19
2
Objetivos
Encontrar experimentalmente las constantes elásticas de un material de uso
frecuente: módulo de elasticidad, módulo de rigidez y módulo de Poisson.
Familiarizar al estudiante con las dificultades prácticas que surgen con el uso de
las galgas de deformación y su repercusión en la exactitud de los resultados.
3
Marco Teórico
Ley de Hooke: Esta ley relaciona la deformación normal de los materiales con el esfuerzo
en ellos, ya sea en carga o descarga. Nos dice que esta relación es lineal para esfuerzos
que no sobrepasen el límite de fluencia:
σ=Eϵ
En donde σ : es el esfuerzo que se produce sobre el material
E: es el modulo de elasticidad del material
ϵ : es la deformación unitaria.
Es importante tener en cuenta que esta ley se cumple únicamente para la parte elástica de
los materiales, esto es la parte lineal del gráfico de esfuerzo-deformación de un material
(ver figura 1). En el gráfico de esfuerzo-deformación se puede observar que la parte
lineal corresponde a la zona elástica del material donde se cumple la ley de Hooke, por lo
que la pendiente es el modulo de elasticidad del material.
4Figura 1. Grafico esfuerzo-deformación
Ahora bien, para obtener la deformación unitaria de forma experimental, generalmente se
utilizan galgas extensométricas que son básicamente resistencias que al deformarse
cambian su resistividad, esto porque sus conductores se vuelven más largos y finos al ser
deformados (estirados), por lo que al pasar una corriente durante la deformación se puede
medir el cambio en el voltaje y así relacionarlo con la deformación unitaria que se busca
(ver figura 2).
Relación de Poisson: Según la Ley de Hooke la deformación está relacionada linealmente
con el esfuerzo, por lo tanto si despejamos la deformación se obtiene: ϵ x=σx
E (a lo largo
de un solo eje). Sería erróneo suponer que para los otros dos ejes no hay deformación ya
que no tenemos esfuerzos en ellos. Se puede comprobar experimentalmente que en una
viga con carga axial no se deformará sólo en una dirección (alargándose en el eje de
aplicación de la fuerza), sino que también se deformara en los otros dos ejes (la barra se
adelgazará), como se puede observar en la figura 3.
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Figura 2. Galgas Extensométricas
Por lo tanto el módulo de Poisson se define como la relación entre la deformación lateral
y la deformación axial: v=−ϵ y
ϵ x
=−ϵ z
ϵ x
El signo menos indica en este caso que la deformación lateral será de compresión, dado
que la viga se está adelgazando en los ejes “y” y “z”.
Experimentalmente se puede obtener esta relación por medio de las galgas de
deformación por resistencia mencionadas anteriormente, al colocar dos galgas, una
perpendicular a la otra, de modo que una mida la deformación axial y la otra la
deformación perpendicular al eje.
Esfuerzo Cortante: Ahora bien, si se somete un material cuadrado a un esfuerzo cortante
(ver figura 4), probablemente lo que se obtendrá será un paralelepípedo, como el de las
líneas punteadas. Donde el ángulo γ , medido en radianes, es la deformación debida al
esfuerzo cortante.
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Figura 3. Relación de Poisson
Figura 4. Esfuerzo Cortante
Al hacerse una gráfica del esfuerzo cortante contra su deformación se observará que sigue
una tendencia como la del esfuerzo normal y su correspondiente deformación. Por lo que
de manera semejante a la ley de Hooke se plantea una ecuación para el esfuerzo cortante:
τ xy=G ∙ γ xy
Esta ecuación se conoce como la ley de Hooke para esfuerzo cortante y deformación.
Donde G se conoce como modulo de rigidez, τ es el esfuerzo cortante y γ es la
deformación del material (ver figura 6).
El modulo de rigidez del material no es independiente del modulo de Poisson ni del
modulo de elasticidad, se relacionan según la ecuación:
E2G
=1+v
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Materiales
Flexor SN019320, Measurements Group
Viga de aluminio con galgas para módulo de elasticidad
Viga de aluminio con galgas para módulo de Poisson
Deformímetro digital, Instrument Division
Calibrador
Balanza digital
Vernier digital
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Procedimiento
Módulo de elasticidad:
1. Encuentre las dimensiones de la viga. Tome en cuenta que la longitud será la
distancia entre el centro de la galga de deformación y el centro del punto de
aplicación de la carga.
2. Calcule la carga máxima de manera que el esfuerzo no supere 80MPa (10MPa por
debajo del esfuerzo de fluencia del aluminio 606x-Tx del que están hechas las
vigas). Elija diez pesos espaciados regularmente (por ejemplo, incrementos de 50
g ó 100 g).
3. Instale la viga en el flexor y conecte las terminales de la galga según como se
muestra en la siguiente figura:
4. Retire el tornillo por completo, y lleve el deformímetro a cero con un factor de
galga de gf=2.905
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Figura 5. Puente para módulo de elasticidad
5. Aplique las cargas elegidas en forma creciente y haga las lecturas de deformación
unitaria correspondientes. Cuando se haya llegado a la máxima carga, elimine las
cargas en forma decreciente y haga nuevas lecturas de deformación.
Módulo de Poisson:
1. Instale la viga para módulo de Poisson en el flexor y conecte las terminales de las
galgas como se muestra en la figura 2. La galga que mide deformación axial debe
encontrarse en la parte superior, la transversal en la inferior.
2. Retire el tornillo de carga por completo, y lleve el deformímetro a cero (factor de
galga o gf=2.095) para la galga axial (Con el cable #4 concetado en P+ en vez del
cable #3).
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Figura 6. Puente para módulo de Poisson
3. Conecte nuevamente el cable #3 a la terminal P+ para volver a la galga transversal
y haga una lectura inicial sin carga. Ahora, aplique la carga con el tornillo
lentamente hasta alcanzar una lectura de 500μ mayor a la lectura inicial. En ese
momento, sin mover el tornillo de carga vuelva a la galga axial (cable #4 al P+) y
anote su lectura.
4. Por último descargue la viga. Y anote el valor de la sensibilidad transversal Kt de
la galga la cual debe estar anotada en la placa.
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Datos y Resultados
Dimensiones de las vigas utilizadas:
Ancho: 25.35mm ≈ 0.02535 m
Longitud: 259.42mm ≈ 0.25942 m
Espesor: 3.12mm ≈ 0.00312m
Modulo de Elasticidad
Calculando la carga máxima, utilizando la siguiente fórmula:
Pmax=b∗t 2∗80 MPa6∗L
Pmax=(0.02535 )∗0.003122∗80 x 106
6∗0.25942=12.68301 N
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Tabla 1. Lecturas del deformímetro para deformación unitaria en μ
Carga(g) Deformación unitaria (cargando)
Deformación unitaria (descargando)
100 88x10-6 87 x10-6
200 174 x10-6 174 x10-6
300 261 x10-6 261 x10-6
400 347 x10-6 349 x10-6
500 434 x10-6 436 x10-6
600 521 x10-6 520 x10-6
700 607 x10-6 606 x10-6
800 695 x10-6 691 x10-6
900 781 x10-6 785 x10-6
1000 868 x10-6 868 x10-6
Calculando los esfuerzos en la superficie mediante el uso de la siguiente fórmula:
σ=6∗P∗L
b∗t 2
Ejemplo del cálculo de los esfuerzos:
σ=6∗(0.1∗9.81)∗0.25942
0.02535∗0.003122 =6.18780 MPa
Tabla 2. Esfuerzos en la superficie
Carga(Kg) Esfuerzo (MPa)0.1 6.187800.2 12.375600.3 18.563410.4 24.751210.5 30.939020.6 37.126820.7 43.314620.8 49.502430.9 55.690231 61.87804
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Tabla 3. Deformación Unitaria
Carga(g) Deformacion unitaria (cargando)
Deformacion unitaria
(descargando)
Deformación unitaria
100 88 x10-6 87 x10-6 87.5 x10-6
200 174 x10-6 174 x10-6 174 x10-6
300 261 x10-6 261 x10-6 261 x10-6
400 347 x10-6 349 x10-6 348 x10-6
500 434 x10-6 436 x10-6 435 x10-6
600 521 x10-6 520 x10-6 520.5 x10-6
700 607 x10-6 606 x10-6 606.5 x10-6
800 695 x10-6 691 x10-6 693 x10-6
900 781 x10-6 785 x10-6 783 x10-6
1000 868 x10-6 868 x10-6 868 x10-6
Nota: La deformación unitaria se obtuvo realizando un promedio de la deformación
unitaria en carga y descarga.
Módulo de elasticidad experimental del aluminio aleado de la viga: 0.0714
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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
10
20
30
40
50
60
70
f(x) = 0.0713544102892028 x − 0.0495160746377081R² = 0.999987149366024
Gráfico 1. Esfuerzo-Deformación unitaria
Deformación Unitaria
Esfu
erzo
N/m
2
Módulo de Poisson
Lectura de galga axial: εa=187x10-6
Valor de sensibilidad transversal (Kt)=+1.2
Cálculo de la relación entre la deformación transversal y la axial de las deformaciones
unitarias, mediante el uso de la siguiente ecuación
εt
εa
=−ε a
500 μ
εt
εa
=−187 x10−6
500 x10−6 =−0.374
Factor de corrección para la deformación transversal(C): 0.86
Para calcular el módulo de Poisson se utilizó la siguiente fórmula:
v=500 μ∗Cεa
Modulo de Poisson => v=500∗10−6∗0.86
187∗10−6 =2.299
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Análisis de resultados
De acuerdo a los resultados que se obtuvieron en la primera parte que se refiere al
módulo de elasticidad, se puede observar que conforme se va aumentando el valor de las
cargas que va a soportar la viga de aluminio, el esfuerzo también va a ir creciendo, esto
debido a que el esfuerzo depende de la carga que se ejerce sobre el material, tal y como se
puede observar en la tabla 2. Además, en la tabla 1 se puede ver como conforme se
aumenta la carga, la deformación unitaria crece linealmente, esto porque al igualmente
que el esfuerzo, depende de la carga.
Ahora bien, los resultados obtenidos del experimento arrojan resultados sumamente
precisos, esto debido a que el deformímetro tiene una precisión de micras en cuanto a
deformación, por lo que el error de todas las mediciones serán de ±.5µ, haciéndolo
extremadamente preciso. También, como en todo experimento, se presentaron ciertas
fuentes de error, dentro de las cuales se encuentran, los pesos de las cargas, ya que no se
sabe con certeza si esas piezas son de 100 g cada una, y por lo tanto nunca fueron
confirmadas para sumar todo el peso que en realidad tenían las mismas, por lo que no se
sabe si es exactamente 1kg lo que se termina usando para deformar la barra; además,
otro factor que pudo influir fue la pieza en donde se posaban las cargas, ya que no se
mantenía estable y oscilaba, lo cual afectó a la hora obtener los valores de la deformación
unitaria de descarga, los cuales deben ser iguales a los de la deformación unitaria en
carga; sin embargo hubo datos que no dieron igual.
Respecto al gráfico 1, se puede observar que el comportamiento de la misma es una
pendiente creciente, debido a que conforme se aumenta el esfuerzo, la deformación
unitaria va creciendo también; además este comportamiento está correcto, ya que la zona
que está representando es la de deformación elástica.
Por último, en lo que respecta a la parte del módulo de Poisson, no se presentó ninguna
complicación, por lo cual se pudo obtener el valor del módulo sin ningún problema.
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Conclusiones
Gracias a la realización de este laboratorio, se pudo apreciar de mejor manera lo que
corresponde al cálculo del módulo de elasticidad y módulo de Poisson de una viga de
aluminio, mediante la obtención de datos gracias al uso de un deformímetro digital.
También se pudo observar el comportamiento del gráfico que se presenta respecto al
esfuerzo y la deformación unitaria, la cual corresponde a la deformación elástica del
material.
Además, durante la realización del laboratorio se pudo experimentar las dificultades que
se presentan al trabajar con galgas de deformación y con un deformímetro digital, ya que
se debe de tener mucho cuidado a la hora de conectar la galga al deformímetro, ya que se
deben de seguir pasos distintos para el calculo del modulo de elasticidad y el módulo de
Poisson. Otro problema que se presentó y es importante mencionar, es que la pieza en
donde se ponía las cargas para ir deformando la viga de aluminio no se quedaba quieta y
apenas se ponía una masa empezaba a oscilar, por lo cual era complicado obtener el valor
correcto de la deformación unitaria.
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Recomendaciones
A la hora de realizar el experimento, la mayor dificultad se presento con en el uso de las
barras de aluminio y con los pesos que las deformaban, por lo cual, la principal
recomendación seria la de utilizar un equipo más moderno, especialmente el sistema para
colocar los pesos sobre las barras, esto debido a que cuando la pieza en donde se
cargaban los pesos, esta no se quedaba quieta, y debido a esto era complicado obtener el
dato de la deformación unitaria del deformímetro digital
Por último, otro punto a recomendar es el de tener diferentes materiales para realizar la
prueba, y así poder observar el comportamiento de los mismos a la deformación; así
mismo se recomienda tener más de una barra de cada material, por si en algún
determinado momento se sobrepasara la carga máxima, y la barra llegara a fallar.
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Bibliografía
Beer & Johnston. 2010 Mecánica de materiales. Segunda edición. Colombia, McGraw-Hill Interamericana S.A., 1993.
Universidad Carlos III de Madrid. 2000. Determinación del coeficiente de Concentraciónde tensiones y deformaciones.
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