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Prof. Gladys Herrera C. – M. Sc.
Matemática FinancieraIngeniería Económica
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Objetivo Financiero Personal
PRESENTE
PASADO
FUTURO
+ =
PROPIO AJENO
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Ti
VALOR ACTUAL
VF
VP
El Valor del Dinero en el Tiempo
VALOR FUTURO
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Valor Futuro y Valor Presenteo Caso de Un Periodo
o Caso de Varios Periodos
o Periodos Compuestos
El concepto de VAN
Perpetuidades
Anualidades
TIR
El Valor del Dinero en el Tiempo
Agenda
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El Valor del Dinero en el Tiempo
El Dilema
Considere el siguiente caso:
0 1 2 3 4 5 6 7
Inversión Inicial: 12,000
1,500 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 3,000
Cash Inflows
Se justifica la Inversión?
7,000
3,500
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Valor Futuro
–
Valor PresenteVAN
Caso de UN Periodo
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso de Un Periodo
Asumamos lo siguiente:
– Tiene $100 en una cuenta bancaria
(definido como Inversión Inicial o C0)
– La tasa de interés actual es 6% por año
$ 100 ???
Año 0 Año 1
Pregunta:
Cuanto tendrás en un año?
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In terés
Definición: La cantidad monetaria $ que gana la inversión
Interés = Inversión Inicial * Tasa de Interés = $100 * 0.06 = $6
Valor Futu ro (VF)
Definición: Cantidad a la que la inversión crecerá después de ganarel interés
VF1 = Inversión Inicial + Interés= $100 + $6 = $100 + $100 * 0.06 = 100 * (1+ 0.06)= $106
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso de Un Periodo
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Suponga que recibirá $110 en un periodo a partir de ahora. Cual es elvalor de ese dinero el día de hoy?
Valor Presente (VP) = 110 / (1+0.1) = 100
Alternativa: Cuanto tendría que depositar hoy para tener $110 en un año apartir de ahora, si el banco paga 10% de interés en los depósitos?
Tiempo 0 Tasa de descuento 10% Tiempo 1
??? $110
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso de Un Periodo
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Actual Neto: VAN
Imagine que el flujo de caja por comprar una obra de arte es como sigue:
Tasa de descuento: 25%
0 1
Cash Outflows: 400,000
Cash Inflows Esperado: 480,000
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Pregunta: Es una buena oportunidad de inversión?
RESPUESTA EQUIVOCADA: 480,000 – 400,000 = 80,000 > 0
Sí, es una buena inversión!
Porque es incorrecto?
Pues no estamos considerando que ha pasado un año
Además no estamos considerando el riesgo: Flujos esperados vs.Flujos reales o realizados
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Actual Neto: VAN
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Pregunta (otra vez!): Es una buena oportunidad de inversión?
Paso 1: Calcular el Valor Presente
VF1 = C0 * (1 + i)
o, si lo desconocido es C0, podemos reacomodar así:
donde VP0 (Valor Presente en el tiempo cero) es empleado enlugar de C0
000,384
25.01
000,480
)1(
10
i
FV PV
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Actual Neto: VAN
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Paso 2: Calcular el Valor Actual Neto (VAN)
VAN0 = VP0 – C0
Esto es:
VAN0 = 384,000 – 400,000 = - 16,000 < 0
Por lo tanto NO es una buena oportunidad de Inversión
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso de Un Periodo
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente vs. Valor Futuro:
Reformulando
El mismo problema puede ser visto desde una perspectiva distinta:
Tienes fondos ascendentes a $400,000 que deseas invertir
Dos Oportunidades:
Comprar una obra de arte: VF1 = 480,000
Invertir el dinero al 25%: VF1 = 400,000 (1 + 0.25) = 500,000
La segunda es la mejor alternativa
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Valor Futuro – Valor Presente
VAN
Caso MULTI-Periodo
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
Considere el siguiente problema:
Pregunta: Cuanto dinero tendré en el Tiempo 2?
Respuesta: Depende del tipo de Interés usado
Año 0 Año 1 Año 2
$ 100 ???
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
Tasa de Interés Compuesta:
Interés ganado sobre la Inversión Inicial Y el Interés
Equivalentemente: VF1 = VP0 + VP0 * i = VP0 * (1+ i) and VF2 = VF1 * (1 + i)
Por lo tanto: VF2 = VP0 (1 + i)2 = 100 * (1 + 0.06)2 = 112.36
Año 0 Año 1 Año 2
$ 100 Interés1: 100 * 0.06 = 6
Principal1: 100
Total1 106
Interés2: 106 * 0.06 = 6.36
Principal2: 106
Total2 112.36
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
Tasa de Interés Simple:
Interés ganado sobre la Inversión Inicial UNICAMENTE:
Equivalentemente: VF1 = VP0 * (1 + i) and VF2 = VP1 + VP0 * i
Por lo tanto: VF2 =VP0 (1 + 2 * i ) = 100 * (1 + 2 * 0.06) = 112
Año 0 Año 1 Año 2
$ 100 Interés1: 100 * 0.06 = 6
Principal1: 100
Total1 106
Interés2: 100 * 0.06 = 6
Principal2: 106
Total2 112
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
Algebraicamente:
Tasa de Interés Compuesta: VFT = C0 * (1 + i)T
Tasa de Interés Simple: VFT = C0 * (1 + T * i)
La diferencia entre los dos enfoques:
Es exactamente igual al Interés ganado sobre el Interés!
Usaremos la metodología del interés compuesto al menos que seindique lo contrario.
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Considerar el siguiente problema:
Usted invierte $100,000 al 5% por 25 años
Encontrar el VF considerando: Interés simple
Interés compuesto
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valores Futuros – La diferencia puede ser muy
grande!
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valores Futuros – La diferencia puede ser muy
grande!
0
50,000
100,000
150,000200,000
250,000
300,000
350,000
400,000
1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5
Years
Future
Values
Simple Compound Compound Minus Simple
VFC25 = 338,635
VFS25 = 225,000
C0 = 100,000
i = 0.05
Año
V a l o r F
u t u r o
Compuesto Compuesto menos Simple
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El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso Multi-Periodo
Algebraicamente:
Tasa de Interés Compuesta:
Cual es el Valor Presente de 100,000 recibido en el Año 3?
Tasa de Interés: 5%
VP0 = 100,000 / (1 + 0.05)3 = 86,383.76
T
T
i
VF
VP )1(0
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Considere el siguiente problema:
el Valor Presente de la suma de cash-flows es igual a la suma delValor Presente de cada cash-flow individual.
Año 0 1 2 3 4
VP0 = ??? CF1 = 200 CF2 = 350 CF3 = 150 CF4 = 100
Tasa de descuento: 0.1
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso Multi-Periodo
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Calcular el VP de cada CF…
Año 0 1 2 3 4
VP0 = ??? CF1 = 200 CF2 = 350 CF3 = 150 CF4 = 100
VP0 = 200 / (1 + 0.1) = 181.81
VP0 = 350 / (1 + 0.1)2 = 289.25
VP0 = 150 / (1 + 0.1)3 = 112.69
VP0 = 100 / (1 + 0.1)4 = 68.30
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso Multi-Periodo
Tasa de descuento: 0.1
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…y luego se debe sumar todos los VPs!
Año 0 1 2 3 4
VP0 = ??? CF1 = 200 CF2 = 350 CF3 = 150 CF4 = 100
)1()1()1()1(
4
4
3
3
2
210
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF PV
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso Multi-Periodo
Tasa de descuento: 0.1
07.65230.6869.11225.28981.181
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A modo general, si tenemos T-periodos:
Año 0 1 2 … T
VP0 = ??? CF1 CF2 CF… CFT
T
t
t
t
T
T
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF PV
1
2
210
)1()1(
...
)1()1(
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Valor Presente: Caso Multi-Periodo
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Lo mismo aplica para el VAN!
Año 0 1 2 … T
C0 CF1 CF2 CF… CFT
∑1
0221
00
)1(
-
)1(
...
)1()1(
- T
t
t
t
T
T
i
CF C
i
CF
i
CF
i
CF C VAN
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Presente: Caso Multi-Periodo
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Este es un problema típico de Valor Futuro. En términos algebraicos:
la solución por lo tanto es:
13.152,32= )025.0+1(
)025.0+1( *000,10- )025.0+1( *000,20-000,65
=CF
23
2
000,65= )025.0+1( *CF+ )025.0+1( *000,10+ )025.0+1( *000,20 223
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
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Veamos otra forma de hallar el resultado…
Año 0 1 2 3
20,000 10,000 CF2= ??? 65,000
20,000*(1+0.025)3 = 21,537.81
10,000*(1+0.025)2 = 10,506.25
Sub-Total: 32,044.06
Hace falta = 32,955.94
13.152,32)025.01(
94.955,232
CF
El Valor del Dinero en el Tiempo
Valor Futuro: Caso Multi-Periodo
CF2 (1 + 0.025) = 65,000 - 32,044