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CURSO
INGENIERIA SISMORESISTENTE I
Modelos Dinmicos.-Principio de Dalambert.- Sistemas de un grado de
Libertad.- Ecuacin de Equilibrio Dinmico.- Vibracin Libre no
Amortiguada.
Ing. Omart Tello Malpartida
Modelos Dinmicos
En problemas de ingeniera no siempre es posible obtener soluciones matemticas rigurosas.
Cuando los problemas implican propiedades de los materiales, distribucin de carga y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una solucin matemtica que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la economa.
El nexo entre el sistema fsico y la posible solucin matemtica se obtiene con el modelo matemtico. Esta es la designacin simblica del sistema idealizado de sustitucin que incluye todas las simplificaciones impuestas al problema fsico.
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Caractersticas del Problema Dinmico.
Caractersticas del problema Dinmico Presenta una sucesin de soluciones los desplazamientos y
esfuerzos dependen del tiempo.
Las fuerzas de inercia son parte del sistema de cargas. Se presentan fuerzas de amortiguamiento el
amortiguamiento genera que el movimiento se disipe.
Caractersticas del Problema Esttico. Las cargas no dependen del tiempo. La magnitud de la carga es independiente de el mecanismo de
respuesta.
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Dinmico vs. Esttico
Dinmico.El resultado de los desplazamiento esta asociado con la aceleracin el cual es producto de la fuerza de inercia opuesta al movimiento.
Esttico.La respuesta estructural es funcin de la aplicacin de las cargas y es independiente del tiempo.
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
El Principio de Dalembert
Un sistema puede ser puesto en equilibrio dinmicoagregndole a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comnmente conocida como fuerza de inercia.
La fuerza de inercia es igual a la masa multiplicada por la aceleracin y debe estar siempre dirigida en direccin contraria al movimiento.
.IF M u= &&
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Grados de Libertad
En dinmica estructural, el numero de coordenadas independientes necesario para especificar la configuracin o posicin de un sistema en cualquier instante del tiempo se conoce como el numero de grados de libertad.
Toda estructura continua tiene un numero infinito de grados de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de seleccin o idealizacin de un modelo matemtico apropiado permite reducir los grados de libertad a un numero discreto y en algunos casos a uno solo.
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Estructuras de un gdl
Estructuras que pueden ser modeladas con un grado de libertad
y
p (t)
F (t)
F (t)
yy
c)Ingeniera Sismo Resistente I
a)
b)
Ing. Omart Tello Malpartida
Modelo de un gdl
Las estructuras vistas anteriormente pueden ser representadas por el siguiente modelo matemtico:
y
F(t)c
k
m
Donde:
Un elemento masa m, que representa la masa o propiedad de inercia de la estructura.
Un elemento resorte k, que representa las fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura a almacenar energa potencial.
Un elemento de amortiguacin c, que representa las caractersticas friccionantes y las perdidas de energa de la estructura.
La fuerza de excitacin F(t), que representa las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema estructural, la fuerza F(t) se escribe de esta forma para indicar que es funcin del tiempo
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Resortes en paralelo y en serie
ke = k1 + k2
ke = ki
k1
k2
a) En paralelo
k1 k2
PP
yy
y1 = P / k1 y2 = P / k2
b) En serie
y = y1 +y2
1 / ke = 1 / k1 + 1 / k2
1 / ke = 1 /kiIng. Omart Tello MalpartidaIngeniera Sismo Resistente I
Ecuacin de Equilibrio Dinmico
c
F(t)
k
m
u
Sistema de un grado de libertad
Donde :
F(t) = Fuerza que varia con el tiempo
k = Constante total de los resortes de los elementos resistentes
c = Coeficiente de amortiguamiento
u = Desplazamiento lateral
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Ecuacin de Equilibrio Dinmico
c
F(t)
k
m
uFI = Fuerza de inercia de
sentido contrario al movimiento.
FD = Fuerza de amortiguamiento de sentido contrario al movimiento.
Fs = Fuerza elstica de resorte o fuerza recuperadora, de sentido contrario al movimiento.
= m. u
= c. u
= k. u
..
.
FI + FD + Fs = F(t)
m. u + c. u + k. u = F(t).. .
Sistema de un grado de libertad
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Ecuacin de Equilibrio Dinmico
ck
mu
Sistema de un grado de libertad Para el caso de excitacin ssmica, la nica carga externa tiene la forma de un movimiento aplicado al nivel del suelo, ug(t) ,entonces la aceleracin total de la masa m es:
ut = u + ug
FI = m. ut = m.( u + ug )
..
FI + FD + Fs = 0
m.(u + ug) + c. u + k. u = 0.. .
ut
ug
.. ..
.. .. ..
..
m.u + c. u + k. u = - m.ug.. . ..
m.u + c. u + k. u = Feff(t).. .Feff(t) = Fuerza efectiva resultante
del movimiento del suelo
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Vibracin libre,sin amortiguamiento
Feff(t) = 0 c = 0 ; Movimiento peridico
m.u + k. u = 0..
u + (k/m). u = 0.. Ecuacin diferencial lineal
de 2do orden homognea
Haciendo : 2 = k / m ; = Frecuencia circular del sistemau + 2 .u = 0.. Solucin :
u = A. cos t + B. sen t u = -A. .sen t + B. . cos t
Calculo de constantes de integracin A y BPara condiciones iniciales :
Para t = 0 uo = A A = uoPara t = 0 uo = B. B = uo/
.
. . Ingeniera Sismo Resistente I
Ing. Omart Tello Malpartida
Vibracin libre,sin amortiguamiento
Reemplazando :
u = A. cos t + B. sen t u = -uo. cos t + (uo/ ) . sen t
Donde : uo = Desplazamiento inicial
uo = Velocidad inicial.
.
uo
uo.
C
u
t
T
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Vibracin libre,sin amortiguamiento
Del grafico anterior :
= Frecuencia Circular o Natural del Sistema. (rad/seg)
T = Periodo de vibracin del Sistema, tiempo necesario para efectuar un ciclo completo de vibracin.(seg)
f = frecuencia de vibracin, numero de vibraciones en la unidad del tiempo.(ciclos/seg , hertz)
C = Amplitud, desplazamiento mximo con respecto ala posicin media.
= k/m
= 2. /
= 1 / T
= (uo)2+ (uo/ )2.
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Determine la Ecuacin de movimiento.
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Determine la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura, que consiste en una carga de 100kg aplicado en una viga en voladizo a travs de un resorte k2.
La viga tiene un espesor t = 0.5 cm. , un ancho b = 5cm, un modulo de elasticidad E = 2.1x106 kg/cm2 y una longitud L = 50 cm. La constante k2 = 2kg/cm.
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Determine la Ecuacin de movimiento.
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Propiedades:
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Ejemplo:
Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Masa:
Frecuencia Natural
Periodo del Sistema
Preguntas ?
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